Professor: Adhimar
e-mail: adhimarflavio@unifei.edu.br
https://sites.google.com/site/adhimarflavio/unifei/fis004
10 de mar¸co de 2017
1 Nota¸c˜ao cient´ıfica
2 Opera¸c˜oes com algarismos significativos
Nota¸c˜ao cient´ıfica
Muitas medidas s˜ao expressas com n´umeros muito pequenas ou muito
grandes. Exemplo:
1 Distˆancia m´edia da Terra ao Sol = 149.500.000 km
2 Volume da Terra = 1.083.230.000.000 km3
3 Nanˆometro = 0,000000001 m
4 Massa do pr´oton = 0,00000000000000000000000000167 g.
Nota¸c˜ao cient´ıfica
O uso da nota¸c˜ao cient´ıfica facilita escrever n´umeros. Para escrever um
n´umero em nota¸c˜ao cient´ıfica deve-se:
1 Colocar a v´ırgula ap´os o primeiro algarismo n˜ao-nulo, a parti da
esquerda;
2 Multiplicar por uma potˆencia de 10, para indicar a real posi¸c˜ao da
Exemplos
1 0,000000678 kg = 6,78×10−7 kg
2 56980 m = 5,6980 ×104m
3 0,00000352 m = 3,52×10−6m
4 3524,32 kg =3,52432 ×103kg
Nota¸c˜ao cient´ıfica
1 Nunca suprima A.S. quando for expressar uma medida em nota¸c˜ao
cient´ıfica.
Potˆencia Nome Prefixo
1024 yotta Y
1021 zetta Z
1018 exa E
1015 peta P
1012 tera T
109 giga G
106 mega M
103 kilo K
102 hekto H
101 deca da
Nota¸c˜ao cient´ıfica
Tabela:Continua¸c˜ao da Tabela anterior
Potˆencia Nome Prefixo
10−1 deci d
10−2 centi c
10−3 mili m
10−6 micro µ
10−9 nano n
10−12 pico p
10−15 femto f
10−18 ato a
10−21 zepto z
Adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao
1 O resultado ´e obtido arredondando-se o resultado na casa decimal da
parcela mais pobre em decimais, ap´os efetuar a opera¸c˜ao, ou em
outras palavras, o resultado deve conter o mesmo n´umero de casas
decimais da parcela de menor precis˜ao. Exemplos:
1,23 m+0,547 m =1,777 m=1,78 m
12,1 s+ 1,11 s=13,21s=13,2 s
Opera¸c˜oes com algarismos significativos
Multiplica¸c˜ao e Divis˜ao
1 o resultado da opera¸c˜ao deve possuir o mesmo n´umero de algarismos
significativos da medida participante (parcela) com o menor n´umero
de algarismos significativos. Exemplos:
22,34 m/2,1 s= 10,63809523809524m/s=11m/s
Demais opera¸c˜oes
1 Nas demais opera¸c˜oes, como radicia¸c˜ao, potencia¸c˜ao e etc., efetua-se
a opera¸c˜ao e mant´em-se o n´umero de significativos da grandeza
operada. Exemplos:
(4,26 m/s)2 = 18,1476m2/s2 = 18,1 m2/s2
sen 65◦ = 0,90631= 0,91
Opera¸c˜oes com algarismos significativos
Exerc´ıcios
1)Escreva as medidas abaixo em nota¸c˜ao cient´ıfica e indique os algarismos corretos e o primeiro duvidoso, em cada medida.
a) 473 m b) 0,0705 cm c) 37mm d) 37,0 mm
2) Efetue as opera¸c˜oes indicadas abaixo. Os n´umeros est˜ao expressos
corretamente em algarismos significativos. Dˆe a resposta em m.
3,020m+ 0,0012km+ 320cm
3) Efetue as opera¸c˜oes indicadas abaixo. Os n´umeros est˜ao expressos
corretamente em algarismos significativos. Dˆe a resposta em m2.
4) Uma lata cont´em 18,2 litros de ´agua. Se vocˆe despejar mais 0,2360
litros, o volume ter´a o n´umero de algarismos significativos igual a:
5) Um estudante, tendo medido o corredor de sua casa, encontrou os
seguintes valores: Comprimento: 5,7 m Largura: 1,25 m
Desejando determinar a ´area deste corredor com a maior precis˜ao poss´ıvel, o estudante multiplica os dois valores anteriores e registra o resultado com
o n´umero correto de algarismos, isto ´e, somente com os algarismos que
sejam significativos. Assim fazendo, ele deve escrever:
Opera¸c˜oes com algarismos significativos
6) Na literatura, podemos encontrar os seguintes valores para a constante
de Rydberg R, que aparece no estudo dos espectros atˆomicos: R1 =
109677,576 cm−1 R
2 = 109737,31 cm−1 Arredonde esses valores de modo
que R1=R2 com o maior n´umero poss´ıvel de algarismos, expressando o
7) Um colega, tendo medido o tamanho de uma c´elula no microsc´opio em
mm (4,5 mm), queria dar a resposta em angstrons, e escreveu 45000 ˚A.
Vocˆe o alertou que isto n˜ao seria correto. Por que?
8) Sendo a = 78,255 s ; b = 2,45×10−4s; c = 0,1303 s; d = 58,7 s,
calcule:
a) s1 =a+b+c+d
b) s2 =ab+cd
c)p1 = (a+b)(b+c)
d) p2 = (a−d)(c−b)
e)f1=b+cln(a/d)
f) f2= exp(ab/cd)
g)f3= ln(a/b)/ln(a/d)
h)f4 = [(a+b)(b+d)]1/2
Propaga¸c˜ao de incertezas
Propaga¸c˜ao de incertezas
Uma grandeza W, que ´e calculada como fun¸c˜ao de outras grandezas
x,y,z, ..., pode ser representada por
W =W(x,y,z, ...) (1)
As grandezas x,y,z, ...S˜ao admitidas como grandezas experimentais,
Se os erros nas vari´aveis s˜ao independentes entre si, a incerteza padr˜ao em
W ´e:
δ2W =
∂W
∂x δx
2
+
∂W
∂y δy
2
+
∂W
∂z δz
2
+... (2)
Propaga¸c˜ao de incertezas
Adi¸c˜ao e subtra¸c˜ao
Dadas as medidas: A= (a±δa) eB = (b±δb) Na opera¸c˜ao de adi¸c˜ao
temos que:
C =A+B = (a+b)±
q
(δa)2+ (δb)2 (3)
e
C =A−B = (a−b)±
q
Exemplo:
Dadas as medidas: A= (3,7±0,5) cm eA= (10,4±0,5) cm.
Na opera¸c˜ao de adi¸c˜ao:
C =A+B = (3,7 + 10,4)±
q
(0,5)2+ (0,5)2= (14,1±0,7) cm (5)
Na opera¸c˜ao de subtra¸c˜ao:
C =A−B = (3,7−10,4)±
q
(0,5)2+ (0,5)2 = (−6,7±0,7) cm (6)
Propaga¸c˜ao de incertezas
Produto
Dadas as medidas: A= (a±δa) eB = (b±δb) Temos queC =A×B ´e :
C =A×B = (a×b)±
q
Exemplo:
A= (10,5±0,5) m eB = (5,2±0,4) m Temos queC =A×B ´e :
C =A×B = (10,5×5,2)±
q
(5,2×0,5)2+ (10,5×0,4)2= (55±5) m2
(8)
Propaga¸c˜ao de incertezas
Raz˜ao
A= (a±δa) e B = (b±δb) Temos que C =A/B ´e :
C =A/B = (a/b)±(a/b)
q
Exemplo:
A= (10,5±0,5) m eB = (5,2±0,4) m Temos queC =A/B ´e :
C =A/B = (10,5/5,2)±(10,5/5,2)
q
(0,5/10,5)2+ (0,4/5,2)2 (10)
= (2,0±0,2)
Propaga¸c˜ao de incertezas
Potencia¸c˜ao
C = a×b×c×d ×...× ± q
Potencia¸c˜ao
Para
C = a×a×a×a×...× ±
q
(a×a×a×...×δa)2+ (a×a×a×...×δa)2+...
= an±n×a(n−1)×δa (12)
Propaga¸c˜ao de incertezas
Exemplo:
Se ∆x= (15,23±0,05) m et = (3,6±0,2) s, calcule a acelera¸c˜ao do movimento uniformemente acelerado.
Cuidados na representa¸c˜ao de medidas indiretas
1 O erro s´o pode ser representado com 1A.S., o que limita o n´umero de
casas decimais que a medida pode ser representada.
2 As regras de opera¸c˜oes com algarismos significativos tamb´em devem
ser respeitadas, podendo limitar a medida e o erro.
Propaga¸c˜ao de incertezas
Qual dos dois aspectos ´e mais importante?
1 Os dois tˆem a mesma importˆancia na representa¸c˜ao de medidas
Exemplos:
Volume de um cano de raio interno R= (2,905±0,002) cm e altura
h = (671,7±0,2) cm. Solu¸c˜aoV = (17808±8) cm3
Por´em, s´o podemos representar V com 4 A.S.
V = (1781±1)×10 cm3
Propaga¸c˜ao de incertezas
Exemplo 2:
Medir a acelera¸c˜ao da gravidade atrav´es de um pˆendulo simples de
comprimento L= (2,023±0,005) m, e per´ıodo T = (2,855±0,003) s.
T = 2π s
L
g (13)
ou
g = 4π
2×L
T2 (14)
Temos que: g = 9,79816 m/s2 e δg = 0,03179 m/s2
Arredondando a acelera¸c˜ao da gravidadade e seu erro, temos:
Exerc´ıcios
1) Suponha que foram medidos a hipotenusa e um cateto de um triˆangulo retˆangulo, a saber;h= (19,32±0,05) cm e l1 = (8,93±0,05) cm.
Calcule (levando em conta os algarismos significativos e a propaga¸c˜ao de
erros): o comprimento do outro cateto (l2); o coseno do ˆangulo entre h e
l1; o per´ımetro do triˆangulo; a ´area do triˆangulo.
Propaga¸c˜ao de incertezas
Exerc´ıcios
2) Calcule, atentando para algarismos significativos, propaga¸c˜ao de erros e unidades do Sistema Internacional de medidas:
a) a densidade, se m= (342,31±0,05) g eV = (126,78±0,06)cm3
b) a velocidade m´edia, se ∆x = (17,6±0,1) km e ∆t = (15,34±0,02)
minutos
c) a ´area esf´erica, se R = (7,45±0,02) cm
d) o momento linear, se m= (4,56±0,03) kg e v= (72,0±0,5) km/h
e) a potˆencia el´etrica, se V = (128±2) V eI = (3,1±0,3) A
f) o volume de um paralelep´ıpedo, se l1= (75,3±0,5) mm,
