Notas de Análise Matemática

(1)

Rui Rodrigues

Departamento de F´ısica e Matem´atica Instituto Superior de Engenharia de Coimbra

(2)

(3)

1 Primitiva¸cão de fun¸cões reais de variável real 1

1.1 Primitiva¸c˜ao . . . 1

1.2 Processos de primitiva¸c˜ao . . . 4

1.2.1 Primitiva¸c˜ao imediata . . . 4

1.2.2 Primitiva¸c˜ao por partes . . . 7

1.2.3 Primitiva¸c˜ao por substitui¸c˜ao . . . 10

1.3 Primitiva¸c˜ao de fun¸c˜oes racionais . . . 13

2 C´alculo integral 19 2.1 Somas de Riemann . . . 19

2.2 Integral definido . . . 23

2.2.1 Teorema fundamental do c´alculo . . . 24

2.3 Propriedades do integral definido . . . 26

2.3.1 Integra¸cão por substitui¸cão e integra¸cão por partes . . . 30

2.4 Outras propriedades do integral definido . . . 31

2.5 Aplica¸c˜oes do integral definido . . . 32

2.5.1 Area de regi˜´ oes planas . . . 32

2.5.2 Volume de s´olidos de revolu¸c˜ao . . . 35

2.5.3 Comprimento do arco de uma curva y = f (x) . . . 38

2.6 Integral indefinido . . . 40

2.7 Integrais impr´oprios . . . 43

2.7.1 Integrais em intervalos n˜ao limitados . . . 43

2.7.2 Integrais de fun¸c˜oes n˜ao limitadas . . . 45

2.8 Métodos numéricos de integra¸cão . . . 46

2.8.1 Regra dos trap´ezios . . . 47

(4)

3.2 Equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias . . . 55

3.3 Equa¸c˜oes diferenciais de primeira ordem . . . 60

3.3.1 Equa¸c˜ao diferencial linear de primeira ordem . . . 60

3.3.2 Equa¸cão diferencial de variáveis separáveis . . . 63

3.3.3 Equa¸c˜ao diferencial homog´enea de grau zero . . . 66

3.3.4 Equa¸c˜ao diferencial de Bernoulli . . . 68

4 Séries numéricas 71 4.1 Sucessões numéricas . . . 71

4.1.1 Progress˜ao aritm´etica . . . 74

4.1.2 Progress˜ao geom´etrica . . . 74

4.2 S´eries num´ericas . . . 75

4.2.1 Defini¸c˜ao e natureza de uma s´erie . . . 75

4.2.2 S´erie geom´etrica . . . 78

4.2.3 S´erie telesc´opica . . . 79

4.2.4 S´erie de Dirichlet . . . 81

4.2.5 Propriedades das s´eries num´ericas . . . 81

4.2.6 Condi¸cão necessária de convergência . . . 82

4.2.7 Critérios de compara¸cão para séries de termos não negativos . . . 84

4.2.8 Outros critérios para séries de termos não negativos . . . 87

4.2.9 Convergˆencia absoluta e convergˆencia simples . . . 90

4.2.10 S´eries alternadas . . . 92

4.2.11 Reordena¸cão dos termos de uma série numérica . . . 94

5 Séries de potências 95 5.1 Introdu¸cão . . . 95

5.2 Raio e intervalo de convergˆencia . . . 96

5.3 Propriedades das s´eries de potˆencias . . . 101

Referˆencias bibliogr´aficas 107

(5)

Primitiva¸

c˜

ao de fun¸

c˜

oes reais de vari´

avel real

1.1 Primitiva¸

c˜

ao

Iniciamos este tema com a defini¸cão de primitiva de uma fun¸cão real de variável real. Defini¸cão 1.1

Seja f uma fun¸cão real de variável real definida num intervalo D. Primitiva de f em D é qualquer fun¸cão F também definida em D, tal que

F′(x) = f (x) para todo o x ∈ D .

Considere a fun¸c˜ao f (x) = cos x definida para todo o x ∈ R. A fun¸c˜ao F (x) = sin x ´e uma primitiva de f pois (sin x)′ _{= cos x para todo o x ∈ R. Existem outras primitivas} de f , como por exemplo G(x) = sin x + 1.

Se F é uma primitiva de f em D, então a fun¸cão G(x) = F (x) + c, qualquer que seja c ∈ R, é também uma primitiva de f em D. De facto, G′_{(x) = (F (x)+c)}′_{= F}′_{(x) = f (x)} para todo o x ∈ D. Ou seja, não existe apenas uma primitiva de f num intervalo D.

A figura apresenta o gráfico de três primitivas da fun¸cão f (x) = cos x.

x y

(6)

Teorema 1.1

Se F e G são duas primitivas de f num intervalo D, então as fun¸cões F e G diferem apenas de uma constante, isto é, existe k ∈ R tal que G(x) = F (x) + k qualquer que seja

x ∈ D.

Para demonstrar este resultado é necessário o seguinte corolário do Teorema de Lagrange.

Corol´ario 1.1 (do Teorema de Lagrange)

Se f : [a, b] → R é uma fun¸cão cont´ınua e f′_{(x) = 0 para todo o x no intervalo aberto} ]a, b[, então f é constante em [a, b].

Demonstra¸cão - (do teorema 1.1) Considere a fun¸cão h(x) = G(x) − F (x) definida em D. A fun¸cão h é cont´ınua em D (porque resulta da soma de duas fun¸cões diferenciáveis em D) e

h′(x) = (G(x) − F (x))′= f (x) − f(x) = 0 ,

para todo o x ∈ D (porque F e G são duas primitivas de f em D). O corolário anterior permite concluir que existe k ∈ R tal que h(x) = k, isto é, que G(x) = F (x) + k em D. Ou seja, se F é uma primitiva de f em D, então toda a outra primitiva da fun¸cão f em D é da forma

F (x) + c

para alguma constante c ∈ R. Ao primitivar obtém-se uma fam´ılia de fun¸cões e não apenas uma fun¸cão. O gráfico de uma primitiva resulta directamente de uma transla¸cão no eixo das ordenadas do gráfico de outra primitiva (recorde a figura na página 1).

As nota¸cões mais usadas no cálculo da primitiva de uma fun¸cão são as seguintes: → P f(x) = F (x) + c , c ∈ R → Z f (x) dx = F (x) + c , c ∈ R . Exemplos: • Z 2x dx = x2+ c. • Z cos x dx = sin(x) + c. • Z ₁ xdx = ln(x) + c, (x > 0). • Z ₁ 1 + x2dx = arctan(x) + c.

(7)

Exerc´ıcio 1.1

Verifique por defini¸c˜ao que

lnx +p1 + x2

´e uma primitiva da fun¸c˜ao f (x) =√ 1 1 + x2. Exerc´ıcio 1.2

(a) Verifique que

−cos (2x)₂ e sin2(x)

s˜ao duas primitivas da fun¸c˜ao f (x) = sin(2x). (b) Determine a diferen¸ca entre as duas primitivas.

Exerc´ıcio 1.3

Em qual das figuras está representado o gráfico de uma primitiva da fun¸cão f (x) = sinh x.

x y x y x y (a) (b) (c)

O próximo resultado fornece uma condi¸cão suficiente para a existência de primitiva. Teorema 1.2 (existência de primitiva)

Se f é uma fun¸cão cont´ınua num intervalo D, então f tem primitiva em D.

Se uma fun¸cão não tem primitiva, então é necessariamente uma fun¸cão descont´ınua. Importa referir que certas fun¸cões descont´ınuas são também primitiváveis.

Proposi¸c˜ao 1.1 (linearidade)

Se f e g são duas fun¸cões primitiváveis, então

Z α f (x) dx = α Z f (x) dx , ∀ α ∈ R \ {0} (1.1) e _Z f (x) + g(x) dx = Z f (x) dx + Z g(x) dx . (1.2)

A demonstra¸cão deste resultado é simples, basta usar a defini¸cão de primitiva. A aplica¸cão conjunta das propriedades (1.1) e (1.2) permite escrever

Z f1(x) ± f2(x) ± · · · ± fn(x) dx = Z f1(x) dx ± · · · ± Z fn(x) dx ,

(8)

onde se assume que cada fun¸cão fi, i = 1, 2, . . . , n, n ∈ N, é primitivável no mesmo intervalo. Primitiva-se por decomposi¸cão ao utilizar em simultâneo as propriedades (1.1) e (1.2).

Nem sempre é poss´ıvel determinar uma expressão finita para a primitiva de toda a fun¸cão primitivável. Considere a t´ıtulo de exemplo as fun¸cões

e−x2

sin(x)/x e ln(sin x) .

Estas fun¸cões são cont´ınuas nos seus dom´ınios, contudo, não é poss´ıvel encontrar uma representa¸cão da primitiva de cada fun¸cão, como soma finita de fun¸cões elementares.

1.2 Processos de primitiva¸

c˜

ao

Doravante, consideram-se os seguintes processos de primitiva¸c˜ao: → Primitiva¸c˜ao imediata

→ Primitiva¸cão por partes → Primitiva¸cão por substitui¸cão

1.2.1 Primitiva¸

c˜

ao imediata

Este processo consiste na interpreta¸cão, no sentido inverso, da tabela de deriva¸cão. Na maior parte das situa¸cões a consulta da tabela não é no entanto suficiente. É necessária alguma manipula¸cão algébrica para poder reconhecer uma expressão familiar. Deduzem-se Deduzem-sem dificuldade as Deduzem-seguintes primitivas:

• Z 0 dx = c, • Z 1 dx = x + c, • Z k dx = k x + c, k, c ∈ R Quando surge uma primitiva da forma

Z

u′uαdx

onde α ∈ R\{−1} e u representa uma fun¸cão da variável x, a resposta é imediata, tem-se, Z

u′uαdx = u α+1

(9)

A confirma¸c˜ao ´e simples, basta derivar. uα+1 α + 1 + c ′ = 1 α + 1 u α+1′ = 1 α + 1[(α + 1) u α+1−1_u′_] = u′uα.

A fórmula (1.3) é usualmente designada como regra da potência. Um caso particular é Z

xαdx = x α+1

α + 1 + c , α ∈ R \ {−1} . Outras express˜oes podem deduzir-se de forma quase imediata.

Para primitivar uma fun¸c˜ao exponencial de base a, onde a > 0 e a 6= 1, obt´em-se Z

u′audx = a u

ln a+ c . (1.4)

A confirma¸cão de (1.4) é mais uma vez muito simples. au ln a+ c ′ = 1 ln a(a u₎′₌ 1 ln au ′_au _{ln a = u}′_au_. Alguns casos particulares são _Z

u′eudx = eu+ c

e _Z

exdx = ex+ c .

A consulta de uma tabela de deriva¸c˜ao permite escrever de imediato.

• Z u′

u dx = ln |u|+c (passa por considerar α = −1 em Z u′_uα_{dx, recordar (1.3))} • Z u′_{cos u dx = sin(u) + c} • Z _u′ 1 + u2dx = arctan(u) + c • Z _u_′ √ 1 − u2dx = arcsin(u) + c .

(10)

Exemplos: Calcular as primitivas (a) Z x3− 5x2+ 2x + 1 dx (b) Z ₁ x (x − 1)dx (c) Z e2xdx (d) Z ₂ 4 + x2dx Al´ınea (a) Z x3− 5x2+ 2x + 1 dx = Z x3dx − 5 Z x2dx + 2 Z x dx + Z 1 dx = x 4 4 − 5x3 3 + x 2_{+ x + c} Al´ınea (b) Z ₁ x (x − 1)dx = Z ₁ x − 1− 1 xdx = Z ₁ x − 1dx − Z ₁ xdx = ln |x − 1| − ln |x| + c Al´ınea (c) Z e2xdx = 1/2 Z 2 e2xdx = e 2x 2 + c Al´ınea (d) Z ₂ 4 + x2dx = Z ₂ 4 (1 + x2_/4)dx = Z 1 2 1 + (x/2)2dx = arctan(x/2) + c Teorema 1.3

Seja f uma fun¸c˜ao primitiv´avel no intervalo D, x0 um ponto de D e y0∈ R. Existe uma

´

unica primitiva F da fun¸c˜ao f que satisfaz a condi¸c˜ao F (x0) = y0.

Demonstra¸cão - Admitamos que F e G são duas primitivas de f em D que satisfazem a condi¸cão prescrita. Tem-se F′_{(x) = G}′_{(x) = f (x) em D e F (x}

0) = G(x0) = y0. Considerando a fun¸c˜ao h(x) = F (x) − G(x), definida para todo o x ∈ D, verifica-se

(11)

imediatamente que h′_{(x) = 0 em D. Constata-se que h é uma fun¸cão constante, isto} é, que h(x) = k, k ∈ R, em D. Calculando h no ponto x0 obtém-se k = 0, e portanto F (x) = G(x) em todo o intervalo.

Exemplo:

Considere o problema da determina¸cão da única primitiva F da fun¸cão f (x) = x ex2

que satisfaz a condi¸cão F (0) = 1. O cálculo da expressão geral da primitiva de f revela que F (x) = Z x ex2 dx = 1/2 Z 2 x ex2 dx = e x2 2 + c . Da equa¸cão F (0) = 1 resulta c = 1/2. Assim, a primitiva pretendida é

F (x) = e x2

+ 1

2 .

1.2.2 Primitiva¸

c˜

ao por partes

O processo de primitiva¸cão por partes baseia-se na expressão da derivada do produto de duas fun¸cões. É por este motivo muito utilizado na procura de primitiva para um produto de duas fun¸cões.

Considere duas fun¸cões u e v (da variável x) definidas e diferenciáveis num certo intervalo D. Calculando a derivada do produto de u por v obtém-se

(u(x) v(x))′ = u′(x) v(x) + u(x) v′(x) express˜ao que se pode reescrever como

u(x) v′(x) = (u(x) v(x))′− u′(x) v(x) .

Primitivando por decomposi¸cão, ambos os membros da identidade anterior, deduz-se Z u(x) v′(x) dx = Z [(u(x) v(x))′− u′(x) v(x)] dx = Z (u(x) v(x))′_{dx −} Z u′_{(x) v(x) dx} = u(x) v(x) − Z u′(x) v(x) dx + c . Isto é, obtém-se a seguinte expressão

Z

u(x) v′(x) dx = u(x) v(x) − Z

u′(x) v(x) dx + c (1.5) que é a fórmula do processo de primitiva¸cão por partes.

Assim, se se pretende utilizar a fórmula (1.5) para determinar a primitiva de um produto de duas fun¸cões, é necessário identificar uma das fun¸cões por u e a outra por v′_{. Exigimos a u que seja uma fun¸c˜}_{ao diferenci´}_{avel (porque é preciso calcular u}′_{) e a v}′

(12)

que seja uma fun¸cão primitivável, para a qual se consegue calcular explicitamente uma primitiva (pois é preciso determinar v =R v′_dx).

Uma vez percebida a f´ormula (1.5), esta pode ainda interpretar-se de forma equiva-lente como Z f (x) g(x) dx = Z f (x) dx g(x) − Z Z f (x) dx g′(x) dx + c onde se escolheu f para primitivar e g para derivar.

Exemplo:

Pretende-se calcular a primitiva Z

x exdx .

Escolhe-se u(x) = x e v′_{(x) = e}x_{. Tem-se u}′_{(x) = 1 e uma primitiva de v}′ _´e v(x) = ex_{. Aplicando a f´}_{ormula (1.5) resulta}

Z x exdx = x ex− Z exdx + c = x ex− ex+ c = (x − 1) ex+ c , isto ´e, Z x exdx = (x − 1) ex+ c , como se pode comprovar derivando a express˜ao (x − 1) ex_{+ c.} ´

E natural colocar a seguinte questão: Será que não se consegue obter o mesmo resultado escolhendo u(x) = ex _{e v}′_{(x) = x? `}_{A partida, esta op¸cão também não} parece apresentar dificuldades. Neste caso, tem-se u′_{(x) = e}x _{e uma primitiva de} v′ _{é v(x) =} x2 2. Obtém-se Z x exdx = x2₂ex − Z x2_ex 2 dx + c . que apresenta mais dificuldades pois é preciso calcular

Z

x2exdx (elevou-se o grau do polin´omio que existia inicialmente).

Note que a presen¸ca da constante de primitiva¸cão surge logo na aplica¸cão da fórmula (1.5) e não apenas no final de todos os cálculos. Este é um pormenor importante. De facto, ao aplicar a fórmula (1.5) está impl´ıcito que a primitiva de (u(x) v(x))′ _{já foi calculada o} que justifica a coloca¸cão da constante.

O sucesso na aplica¸cão do processo de primitiva¸cão por partes depende em grande parte da escolha das fun¸cões u e v′. Para poder escolher adequadamente sugere-se sim-plesmente o seguinte: Quando existe alternativa na escolha da fun¸cão a primitivar, deve-se optar por primitivar aquela que menos se simplifica quando derivada.

(13)

Observa¸c˜ao 1.1

´

E importante observar que a seguinte fórmula não é válida

Z f (x) g(x) dx = Z f (x) dx Z g(x) dx ,

isto é, que a primitiva do produto de duas fun¸cões não é igual ao produto das primitivas (tal como acontece também com a derivada do produto de duas fun¸cões). Da´ı que, na presen¸ca de um produto de duas fun¸cões, o processo de primitiva¸cão por partes acabe por surgir como uma boa ideia para poder calcular a primitiva da fun¸cão produto.

Antes de aplicar o processo de primitiva¸cão por partes, convém verificar se a primitiva que se pretende calcular é da forma

Z

v(x) v′(x) dx .

Tudo ´e mais simples se se observar que estamos na presen¸ca de uma primitiva imediata Z

v(x) v′_{(x) dx =} v(x)2 2 + c . Exemplos:

Calcule primitivando por partes. (a) Z x ln x dx (b) Z x2exdx (c) Z sin x cos x dx (d) Z ln x dx . Al´ınea (a) Z x ln x dx = Z x dx ln x − Z Z x dx (ln x)′dx + c = x2_{/2 ln x −} Z x/2 dx + c = x2/2 ln x − x2/4 + c

(14)

Al´ınea (b)

Primitivando duas vezes por partes Z x2_ex_{dx =}Z _ex_dx x2₋ Z Z ex_dx x2′ _{dx + c} = x2ex− 2 Z x exdx + c = x2_ex_{− 2} x ex₋ Z ex_dx + c = (x2− 2x + 2) ex+ c Al´ınea (c)

A primitiva ´e imediata. No entanto, tamb´em se pode determinar primitivando por partes. Z sin x cos x dx = Z cos x dx sin x − Z Z cos x dx (sin x)′ dx + c = (sin x)2₋ Z sin x cos x dx + c

Observando com aten¸cão nota-se que a aplica¸cão do processo de primitiva¸cão por partes originou a equa¸cão

A = (sin x)2− A + c

onde a inc´ognita A representa a primitiva que se pretende calcular. Resolvendo em ordem a A resulta _Z

sin x cos x dx = (sin x) 2

2 + c . Al´ınea (d)

Uma aplica¸c˜ao interessante do processo de primitiva¸c˜ao por partes. Z ln x dx = Z 1 dx ln x − Z Z 1 dx (ln x)′_{dx + c} = x ln x − Z 1 dx + c = x ln x − x + c

1.2.3 Primitiva¸

c˜

ao por substitui¸

c˜

ao

O próximo resultado estabelece uma fórmula para o cálculo da primitiva através de uma mudan¸ca de variável.

Teorema 1.4

Se f é uma fun¸cão primitivável num intervalo J e g é uma fun¸cão simultaneamente diferenciável e invert´ıvel num intervalo J1 de tal forma que g(J1) = J, então

Z f (x) dx = Z f (g(t)) g′(t) dt t = g−1(x) . (1.6)

(15)

Com a substitui¸cão ou mudan¸ca de variável x = g(t) pretende-se simplificar o cálculo da primitiva, isto é, espera-se que a primitiva que surge no segundo membro da equa¸cão (1.6) seja mais simples de determinar que a primitiva da fun¸cão inicial. Note que a primitiva no segundo membro de (1.6) é calculada em ordem à variável t, dando lugar à posterior substitui¸cão de t pela expressão de g−1_.

Demonstra¸c˜ao - (do teorema 1.4) Para obter o resultado pretendido basta mostrar que Z f (x) dx x = g(t) = Z f (g(t)) g′(t) dt , ou de forma equivalente que

F (g(t)) + c = Z

f (g(t)) g′(t) dt , (1.7)

onde F representa uma primitiva da fun¸cão f . A derivada em ordem à variável t da fun¸cão composta F (g(t)), origina

d

dt( F (g(t)) ) = F

′_{(g(t)) g}′_{(t) = f (g(t)) g}′_{(t) .}

A derivada, em ordem à variável t, da expressão que está no segundo membro de (1.7) permite obter d dt Z f (g(t)) g′(t) dt = f (g(t)) g′(t) .

Obteve-se o mesmo resultado em ambas as deriva¸c˜oes, logo, fica estabelecida a identi-dade (1.7) e consequentemente (1.6).

Assim, os passos a efectuar na aplica¸cão do processo de primitiva¸cão por substitui¸cão ao cálculo da primitiva

Z

f (x) dx s˜ao os seguintes:

1. Identificar a mudan¸ca de variável adequada x = g(t) onde g é uma fun¸cão diferen-ciável e invert´ıvel, recorrendo geralmente à consulta de uma tabela de substitui¸cões. 2. Primitivar a fun¸cão f (g) g′ _{em ordem `}_{a variável t, isto é, calcular}

Z

f (g(t)) g′(t) dt .

3. Finalmente, repor a variável original, isto é, substituir a variável t pela expressão de g−1 _{no resultado obtido no passo anterior.}

(16)

Exemplos:

(a) Calcular

Z (ln x)2

x dx , x > 0 .

Esta primitiva pode calcular-se directamente. Basta notar que a fun¸cão que se pretende primitivar é da forma u′u2 com u = ln x. Mostramos que a aplica¸cão do processo de primitiva¸cão por substitui¸cão também permite determinar a primitiva pretendida.

Primeiro passo: Consideramos a substitui¸cão x = et_{, isto é, escolhemos g(t) =} et_{, t ∈ R, que é uma fun¸cão invert´ıvel e diferenciável em todo o seu dom´ınio.} A sua derivada é g′_{(t) = e}t_{. Se x = e}t_{, ent˜}_{ao t = ln x e a fun¸cão inversa de g é} g−1_{(x) = ln x.}

Segundo passo: Calcula-se Z f (g(t)) g′_{(t) dt .} Tem-se Z f (g(t)) g′(t) dt =Z (ln e t₎2 et e t_dt = Z t2dt = t 3 3 + c .

Finalmente, substituindo t pela express˜ao de g−1_{, obt´em-se a primitiva} pre-tendida, Z (ln x)2 x dx = t3 3 + c t = ln x = (ln x) 3 3 + c , c ∈ R . (b) Determinar Z x + 1 √_x dx , x > 0 .

Consideramos a substitui¸cão x = t2_{, isto é, escolhemos g(t) = t}2_{, impondo} t > 0 para que g seja uma fun¸cão invert´ıvel. Temos então t =√x. Assim,

Z f (g(t)) g′_{(t) dt =}Z t2+ 1 t 2t dt =2 t 3 3 + 2t + c . Logo, Z x + 1 √_x dx = 2 t 3 3 + 2t + c t =√x =2x √ x 3 + 2 √ x + c , c ∈ R .

(17)

(c) Calcular

Z _p

1 − x2_{dx ,} _{x ∈ [−1, 1] .}

Consideramos a substitui¸cão x = sin t onde se assume que t ∈ [−π/2, π/2]. A substitui¸cão inversa é t = arcsin x. Primitivando por substitui¸cão obtém-se

Z f (g(t)) g′(t) dt = Z p 1 − (sin t)2_{cos t dt} =Z √cos2_{t cos t dt} = Z cos t cos t dt = Z cos2t dt =Z 1 + cos(2t) 2 dt = t 2 + sin(2t) 4 + c .

Porque se pretende que o resultado final seja o mais simples poss´ıvel, ´e preciso simplificar um pouco mais a express˜ao obtida. Tem-se

Z f (g(t)) g′(t) dt = t 2 + 2 sin t cos t 4 + c = t 2+ sin t cos t 2 + c .

Usando a f´ormula fundamental da trigonometria com sin t = x e t ∈ [−π/2, π/2] deduz-se que cos t =√1 − x2_{. Logo, a primitiva pretendida ´e}

Z _p

1 − x2_{dx =} arcsin x

2 +

x√1 − x2 2 + c .

1.3 Primitiva¸

c˜

ao de fun¸

c˜

oes racionais

Iniciamos esta seçcão com a defini¸cão de uma fun¸cão racional. Defini¸cão 1.2 (fun¸cão racional)

Toda a fun¸cão definida como o quociente de dois polinómios é uma fun¸cão racional.

Ou seja, fun¸cão racional é toda a fun¸cão da forma f (x) = p(x)

d(x)=

anxn+ · · · + a1x + a0

bmxm+ · · · + b1x + b0 (n, m ∈ N0

) , (1.8)

definida para todo x ∈ R tal que d(x) 6= 0.

Defini¸cão 1.3 (fun¸cão racional própria e fun¸cão racional imprópria)

Uma fun¸cão racional diz-se imprópria se o grau do polinómio em numerador for superior ou igual ao grau do polinómio em denominador. Caso contrário, a fun¸cão racional diz-se própria.

(18)

´

E costume chamar fraçcões racionais às fun¸cões racionais (1.8) para as quais m ≥ 1. O próximo resultado indica que toda a fraçcão racional própria se pode escrever como soma de determinadas fraçcões com uma expressão mais simples.

Teorema 1.5 (decomposi¸c˜ao em elementos simples)

Toda a fraçcão racional própria se pode decompor na soma de certas fraçcões racionais designadas como fraçcões simples. A esta decomposi¸cão muito particular chama-se de-composi¸cão em elementos simples.

Apresentamos o processo composto por três etapas que permite obter a decomposi¸cão enunciada no teorema. Considera-se a fraçcão racional própria

p(x) d(x)

1. Determinam-se os zeros do polinómio d em denominador, isto é, determinam-se as ra´ızes da equa¸cão d(x) = 0.

2. Efectua-se a seguinte correspondˆencia:

(i) Cada raiz real simples α origina a frac¸c˜ao simples A

x − α onde A ´e uma constante real a determinar.

(ii) Cada raiz real α de multiplicidade k origina as k fraçcões simples B1 x − α, B2 (x − α)2 , . . . Bk (x − α)k, onde B1, . . . , Bk são k constantes reais a determinar.

(iii) Cada par de ra´ızes complexas conjugadas a±bi origina uma frac¸c˜ao simples da forma

Cx + D (x − a)2_{+ b}2 onde C e D s˜ao constantes reais a determinar.

(iv) Cada par de ra´ızes complexas conjugadas a ± bi de multiplicidade k dá origem a k fraçcões simples da forma

C1x + D1 (x − a)2_{+ b}2, C2x + D2 [(x − a)2_{+ b}2_]2, . . . Ckx + Dk [(x − a)2_{+ b}2_]k, onde C1, . . . , Ck e D1, . . . , Dk s˜ao constantes reais a determinar.

3. Por fim, a fraçcão racional própria reescreve-se como a soma de todas as fraçcões simples apresentadas na etapa anterior.

(19)

A primitiva¸cão de uma fun¸cão racional própria p(x) d(x)

´e agora bastante simples de concretizar. Basta executar os seguintes passos:

1. Decompor a fraçcão racional própria em elementos simples com o respectivo cálculo das constantes (cujo o cálculo é descrito nos exemplos apresentados mais à frente). 2. Primitivar por decomposi¸cão sabendo que:

(i) A fraçcão simples associada a uma raiz real simples origina um logaritmo. (ii) As fraçcões simples associadas a uma raiz real de multiplicidade k originam

um logaritmo e k − 1 potˆencias.

(iii) A fraçcão simples associada a um par de ra´ızes complexas conjugadas dá origem a um logaritmo ou um arco-tangente.

N˜ao se descreve o caso das ra´ızes complexas conjugadas de multiplicidade k. Este assunto espec´ıfico pode encontrar-se na bibliografia.

Exemplos:

(a) Pretende-se calcular

Z ₂

x2_{− 4}dx ,

onde x2 _{− 4 6= 0. Os zeros do polinómio d(x) = x}2_{− 4 são x = ±2 e a} decomposi¸cão em elementos simples é

2 x2_{− 4} = 2 (x − 2)(x + 2) = A x − 2 + B x + 2.

Para determinar as constantes A e B recorremos ao m´etodo dos coeficientes

indeterminados que descrevemos de seguida. Tem-se a decomposi¸c˜ao 2 x2_{− 4} = A x − 2 + B x + 2. Logo, 2 x2_{− 4} = A (x + 2) + B (x − 2) x2_{− 4} .

Da igualdade das fraçcões resulta a equa¸cão

2 = A (x + 2) + B (x − 2) , que ´e equivalente a

(20)

Da identidade de polin´omios resulta    A + B = 0 2A − 2B = 2 e portanto    A = 1/2 B = −1/2

A decomposi¸c˜ao em elementos simples fica agora completa 2 x2_{− 4} = 1/2 x − 2 − 1/2 x + 2. Assim, Z ₂ x2_{− 4}dx = Z _1/2 x − 2dx − Z _1/2 x + 2dx =1 2 Z ₁ x − 2dx − 1 2 Z ₁ x + 2dx = 1/2 ln |x − 2| − 1/2 ln |x + 2| + c . (b) Calcular Z _x2_{+ 2x + 3} (x − 1)(x + 1)2dx onde x 6= −1, 1.

A decomposi¸cão da fraçcão racional própria em elementos simples origina x2+ 2x + 3 (x − 1)(x + 1)2 = A x − 1+ B1 x + 1 + B2 (x + 1)2 = 3/2 x − 1− 1/2 x + 1 − 1 (x + 1)2. Logo, Z _x2_{+ 2x + 3} (x − 1)(x + 1)2dx = Z _3/2 x − 1dx − Z _1/2 x + 1dx − Z (x + 1)−2dx = 3/2 ln |x − 1| − 1/2 ln |x + 1| +_{x + 1}1 + c .

Quando a frac¸c˜ao racional

p(x) d(x)

é imprópria, deve efectuar-se a divisão dos polinómios até que o polinómio resto, indicado por r, tenha grau inferior ao grau de d. Obtém-se assim a decomposi¸cão

p(x)

d(x) = q(x) + r(x) d(x)

(21)

onde q representa o polinómio quociente da divisão e r(x) d(x) é agora uma fraçcão racional própria.

Exemplo:

Pretende-se calcular

Z x3_{+ x}2_{+ x + 3} x2_{+ 2} dx

onde x2_{+ 2 6= 0. Porque a fraçcão racional é imprópria, é necessário efectuar a} divisão dos dois polinómios. Obtém-se

x3_{+ x}2_{+ x + 3}

x2_{+ 2} = x + 1 + 1 − x x2_{+ 2}. Observa-se que a fraçcão racional própria

1 − x x2_{+ 2}

j´a se encontra na sua forma mais simples. Esta corresponde ao par de ra´ızes com-plexas conjugadas x = ±√2 i e origina, por primitiva¸c˜ao, um logaritmo e um arco-tangente. Assim, Z x3_{+ x}2_{+ x + 3} x2_{+ 2} dx = Z x + 1 dx + Z 1 − x x2_{+ 2}dx = Z x + 1 dx + Z ₁ x2_{+ 2}dx − Z _x x2_{+ 2}dx = Z x + 1 dx + Z _1/2 x/√22+ 1dx − Z _x x2_{+ 2}dx = Z x + 1 dx +√2/2 Z _1/√₂ x/√22+ 1dx − 1/2 Z _2x x2_{+ 2}dx =x 2 2 + x + √ 2/2 arctanx√2/2− 1/2 ln(x2_{+ 2) + c .}

(22)

(23)

C´

alculo integral

2.1 Somas de Riemann

Considere uma decomposi¸c˜ao _{do intervalo real [a, b] em n ∈ N subintervalos da forma}

[x0, x1] , [x1, x2] , . . . [xn−1, xn] ,

onde os pontos xi, com i = 0, 1, . . . , n, são tais que x0 = a, xi−1 < xi (i = 1, 2, . . . , n) e xn = b. A decomposi¸cão é designada por ∆ e é representada apenas pelos seus pontos do seguinte modo

∆ : a = x0< x1< · · · < xn−1< xn= b . `

A decomposi¸cão estão associados n intervalos e n+1 pontos. Usa-se ∆xipara representar a amplitude do intervalo [x_i−1, xi], isto é, ∆xi = xi − xi−1, i = 1, 2, . . . , n, e define-se

diˆametro da decomposi¸c˜ao_{, representado por | ∆ |, como sendo a amplitude do maior}

intervalo de ∆, isto ´e, o n´umero real positivo dado por | ∆ | = max

i = 1,...,n∆xi. Exemplo:

Considere o intervalo [0, 2] e a seguinte decomposi¸c˜ao ∆ : 0 < 1/2 < 1 < 2. Tem-se os pontos x0= 0, x1= 1/2, x2= 1 e x3= 2, os subintervalos [0, 1/2], [1/2, 1] e [1, 2], com as correspondentes amplitudes ∆x1 = 1/2, ∆x2 = 1/2 e ∆x3 = 1, donde, | ∆ | = 1.

(24)

Defini¸c˜ao 2.1 (soma de Riemann)

Considere uma fun¸c˜ao real f definida e limitada no intervalo [a, b], uma decomposi¸c˜ao ∆ de [a, b] e um ponto ci em cada intervalo [xi−1, xi] de ∆, i = 1, 2, . . . , n.

Chama-se soma de Riemann da fun¸c˜ao f para a decomposi¸c˜ao ∆ e conjunto de pontos

ci escolhidos, à expressão matemática n

X

i=1

f (ci) ∆xi= f (c1) ∆x1+ · · · + f(cn) ∆xn (2.1)

que ´e representada por S(f, ∆).

Importa observar qual o significado geom´etrico de uma soma de Riemann. Para cada parcela da soma (2.1) pode deduzir-se o seguinte:

• Se f(ci) > 0 então f (ci) ∆xi representa o valor da área de um rectângulo Ri cujo comprimento da base é ∆xi e cuja altura é o valor f (ci).

- _x 6 y f Ri xi₋₁ xi f (ci) ci Figura 2.1

• Se f(ci) < 0 então f (ci) ∆xi é o simétrico do valor da área de um rectângulo Ri de base ∆xi e altura igual a −f(ci).

- _x 6 y f Ri xi₋₁ xi f (ci) ci Figura 2.2

(25)

Conclui-se que uma soma de Riemann consiste na diferen¸ca entre, a soma do valor das áreas dos rectângulos que estão “acima” do eixo das abcissas e a soma do valor das áreas dos rectângulos que estão “abaixo” do eixo das abcissas.

A pr´oxima figura ilustra estas conclus˜oes.

- _x 6 y f x0 q c1 x1 q c2 x2 q c3 q x3 c4 x4 q Figura 2.3 `

A figura corresponde a soma de Riemann

S(f, ∆) = f (c1) ∆x1+ f (c2) ∆x2+ f (c3) ∆x3+ f (c4) ∆x4 = A1+ A2− A3− A4

= A1+ A2− (A3+ A4)

onde Ai representa a ´area do rectˆangulo de base igual a ∆xi = xi− xi−1 e altura igual a |f(ci)|, com i = 1, 2, 3, 4.

Exerc´ıcio 2.1

Considere a fun¸c˜ao f (x) = x3_{, o intervalo [−1, 2], a decomposi¸c˜ao ∆ : −1 < 0 < 1 < 2 e}

calcule uma soma de Riemann de f para ∆.

Exemplo:

Considere a fun¸c˜ao f (x) = x definida no intervalo [a, b] = [0, 1] e considere tamb´em uma decomposi¸c˜ao ∆ de [0, 1] em n ∈ N subintervalos de igual amplitude.

A decomposi¸cão tem n + 1 pontos e a amplitude de cada subintervalo é ∆xi= b − a n = 1 n i = 1, 2 . . . , n. Os pontos da decomposi¸cão ∆ : 0 = x0< x1< · · · < xn= 1 são x0 = 0 x1 = x0+1 n = 1 n x2 = x1+ 1 n = 2 n .. . xi = i n .. . xn = n n = 1 .

(26)

Em cada subintervalo [xi−1, xi] escolhe-se ci= xi. A soma de Riemann correspon-dente ´e dada por

S(f, ∆) = n X i=1 f (ci) ∆xi= n X i=1 f (xi) ∆xi= n X i=1 f (i/n) ∆xi= 1 n2 n X i=1 i . Porque n X i=1 i = n(1 + n) 2 , tem-se finalmente, S(f, ∆) =1 + n 2n (n ≥ 1) . Exerc´ıcio 2.2

Considere os dados do exemplo anterior e calcule S(f, ∆) quando em cada intervalo

[x_i−1, xi] se escolhe ci= xi−1. Observa¸c˜ao 2.1

Recordam-se algumas fórmulas imprescind´ıveis na simplifica¸cão de cálculos semelhantes.

• n X i=1 i = n (1 + n) 2 , • n X i=1 i2= n(n + 1)(2n + 1) 6 , • n X i=1 i3= n(1 + n) 2 2 .

Considere as seguintes figuras.

- _x 6 y f a b R Figura 2.4

(27)

- _x 6 y f a R1 b R2 Figura 2.5

Se o número de subintervalos de uma decomposi¸cão ∆ de [a, b] é muito grande, ou de forma equivalente, se o diâmetro da decomposi¸cão de [a, b] é muito pequeno, então o valor da soma de Riemann correspondente, parece aproximar-se do valor:

1. Da ´area da regi˜ao R - area(R) - no caso da primeira figura.

2. Da express˜ao area(R1) − area(R2) na situa¸c˜ao apresentada na segunda figura.

2.2 Integral definido

A exposi¸cão da seçcão anterior conduz a defini¸cão de integral definido. Defini¸cão 2.2 (integral de Riemann ou integral definido)

Considere uma fun¸c˜ao f definida e limitada no intervalo real [a, b]. Chama-se integral de Riemann ou integral definido de f no intervalo [a, b] ao valor do limite

lim

|∆| → 0S(f, ∆) (2.2)

quando existe e ´e finito. O integral definido de f em [a, b] ´e representado por

Z b

a

f (x) dx . (2.3)

Por defini¸c˜ao de integral definido, tem-se Z b a f (x) dx = lim |∆| → 0S(f, ∆) = |∆| → 0lim n X i=1 f (ci) ∆xi.

Dizer que o limite (2.2) existe significa dizer que o seu valor é o mesmo qualquer que seja a decomposi¸cão ∆ de [a, b] escolhida e qualquer que seja o conjunto de pontos ci escolhido. O valor do limite tem de ser independente da decomposi¸cão e do conjunto de pontos. Na expressão (2.3), f é a fun¸cão integranda e a e b são os extremos de integra¸cão do integral definido.

(28)

Defini¸c˜ao 2.3

Uma fun¸cão f é integrável no intervalo [a, b] se existe o integral definido de f em [a, b].

O próximo resultado cuja demonstra¸cão é omitida apresenta uma condi¸cão suficiente para a existência de integral definido.

Teorema 2.1

Se f é uma fun¸cão cont´ınua no intervalo [a, b] então f é integrável em [a, b].

Note-se que uma fun¸cão pode ser descont´ınua em [a, b] e ser também integrável no inter-valo [a, b]. Voltaremos a esta situa¸cão particular um pouco mais à frente.

Exemplo:

Pretende-se calcular o integral definido da fun¸cão f (x) = x no intervalo [0, 1]. Porque f é uma fun¸cão cont´ınua, pelo teorema 2.1, f é uma fun¸cão integrável, isto é, o limite (2.2) existe e é finito, e é independente da decomposi¸cão e da escolha de pontos do intervalo [0, 1]. Pode escolher-se uma decomposi¸cão de [0, 1] em n subintervalos de igual amplitude e tomar-se ci= xiem cada subintervalo [xi−1, xi]. Recordando o exemplo na página 21, tem-se

|∆| = max i=1,...,n∆xi= 1 n e S(f, ∆) = 1 + n 2n . Note-se que n → +∞ equivale a |∆| → 0. Assim, por defini¸c˜ao, tem-se

Z 1 0 x dx = lim |∆| → 0S(f, ∆) = lim n → +∞S(f, ∆) = lim n → +∞ 1 + n 2n = 1 2.

Mostrou-se que o integral definido de f (x) = x em [0, 1] ´e 1/2, isto ´e, Z 1

0

x dx = 1/2 .

Usando em simultâneo a defini¸cão de integral definido e a interpreta¸cão geométrica das somas de Riemann, conclui-se que, se f é cont´ınua e não negativa no intervalo [a, b], então o valor do seu integral definido é exactamente igual ao valor da área da região limitada superiormente pelo gráfico de f , inferiormente pelo eixo das abcissas e lateralmente pelas rectas verticais x = a e x = b. O exemplo anterior permite verificar facilmente este facto.

2.2.1 Teorema fundamental do c´

alculo

Teorema 2.2 (teorema fundamental do c´alculo)

Se f é uma fun¸cão cont´ınua no intervalo [a, b] e F é uma primitiva de f em [a, b], então

Z b

(29)

O resultado anterior mostra que o cálculo do integral definido de uma fun¸cão cont´ınua é, pelo menos do ponto de vista teórico, simples de concretizar.

Observa¸c˜ao 2.2

A expressão F (b) − F (a) representa-se de forma condensada por [F (x)]x = bx = a ou [F (x)] b a. Demonstra¸cão - (do teorema fundamental do cálculo)

Seja ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn = b uma decomposi¸cão do intervalo [a, b] e seja F uma primitiva da fun¸cão f em [a, b] (isto é, F′_{(x) = f (x) para todo o x em [a, b] - est´}_a impl´ıcito que F′(a+) = f (a) e F′(b−) = f (b)). Verifica-se com facilidade que

F (b) − F (a) = n X

i=1

[ F (xi) − F (xi−1) ] . (2.4) Porque f é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], pode deduzir-se que F é diferenciável em [a, b]. Logo, o teorema de Lagrange justifica a existência de um ponto ci em cada intervalo aberto ]x_i−1, xi[, de tal modo que

F (xi) − F (xi−1) xi− xi−1 = F

′_(c i) . Ou seja, deduz-se que

F (xi) − F (xi−1) = f (ci) ∆xi pois ∆xi= xi− xi−1 e F′= f . Assim, de (2.4), obt´em-se

F (b) − F (a) = n X

i=1

f (ci) ∆xi.

Se para toda a decomposi¸c˜ao ∆ de [a, b], os pontos ci forem escolhidos como foi descrito, pode concluir-se que

lim |∆| → 0 n X i=1 f (ci) ∆xi= F (b) − F (a) . Porque f ´e integr´avel, tem-se necessariamente

Z b

a f (x) dx = F (b) − F (a) como se pretendia.

Teorema 2.3

Se f é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], então o integral definido

Z b

a

f (x) dx

(30)

Demonstra¸cão - Se F e G são duas primitivas de f no intervalo [a, b], então existe k ∈ R tal que F (x) = G(x) + k para todo o x ∈ [a, b]. Basta observar que F (b) − F (a) = G(b) − G(a) para concluir a demonstra¸cão.

Exemplos:

Considere a fun¸c˜ao cont´ınua f (x) = x. Uma primitiva de f ´e F (x) = x2_{/2. Logo,}

• Z 1 0 x dx = x 2 2 1 0 = 1 2, • Z 1 2 −1 x dx = x 2 2 1 2 −1 = 1 8 − 1 2 = − 3 8, • Z 1 −1 x dx = x 2 2 1 −1 = 0 .

Interprete estes resultados do ponto de vista geom´etrico.

2.3 Propriedades do integral definido

Proposi¸c˜ao 2.1

Se f e g são duas fun¸cões integráveis no intervalo [a, b]. então

(i) Z b a f (x) ± g(x) dx = Z b a f (x) dx ± Z b a g(x) dx ; (ii) Z b a α f (x) dx = α Z b a f (x) dx , α ∈ R . Proposi¸c˜ao 2.2

Se f é uma fun¸cão integrável no intervalo [a, b], então

(i) Z a a f (x) dx = 0 ; (ii) Z b a f (x) dx = − Z a b f (x) dx ; (iii) Z b a f (x) dx = Z c a f (x) dx + Z b c

f (x) dx , para todo o c ∈ [a, b] ;

(iv) Se f (x) ≥ 0 em [a, b], ent˜ao

Z b

(31)

Exemplo: Pretende-se calcular Z e2 e 1 + 3 (ln x)2 x ln x dx . Obt´em-se Z e2 e 1 + 3 (ln x)2 x ln x dx = Z e2 e 1 x ln xdx + 3 Z e2 e ln x x dx = [ ln(ln x) ]e_e2+ 3 (ln x) 2 2 e2 e = ln 2 + 9/2 . Teorema 2.4

Se f e g são duas fun¸cões integráveis no intervalo [a, b], tais que f (x) ≥ g(x) para todo o x ∈ [a, b], então Z b a f (x) dx ≥ Z b a g(x) dx .

Demonstra¸cão - Considere a fun¸cão h(x) = f (x) − g(x) definida e integrável no intervalo [a, b]. Logo, h(x) ≥ 0 para todo o x ∈ [a, b]. Pelo ponto (iv) na proposi¸cão 2.2, pode concluir-se que

Z b

a h(x) dx ≥ 0 ⇔ Z b

a f (x) − g(x) dx ≥ 0 . Pela propriedade (i) na proposi¸c˜ao 2.1, obt´em-se finalmente

Z b a f (x) dx ≥ Z b a g(x) dx . Exemplo:

Considere as fun¸c˜oes f (x) = x e g(x) = x2_.

• No intervalo [0, 1] ocorre x2_{≤ x e portanto pode concluir-se que} Z 1 0 x2dx < Z 1 0 x dx . • No intervalo [1, 2] tem-se x ≤ x2 _{e por isso}

Z 2 1 x dx < Z 2 1 x2dx . Teorema 2.5

Se f é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], m é o valor m´ınimo de f em [a, b] e M é o valor máximo de f em [a, b], então

m (b − a) ≤ Z b

(32)

Demonstra¸cão - Porque a fun¸cão f é cont´ınua num intervalo fechado, o teorema de Weierstrass indica que f atinge em [a, b] um valor máximo M e um valor m´ınimo m, isto é, tem-se m ≤ f(x) ≤ M para todo o x ∈ [a, b]. Pelo teorema 2.4, conclui-se que

Z b a m dx ≤ Z b a f (x) dx ≤ Z b a M dx . Ou seja, m (b − a) ≤ Z b a f (x) dx ≤ M (b − a)

como se pretendia. Finalmente, observe que a igualdade s´o tem sentido se f for uma fun¸c˜ao constante no intervalo [a, b].

Teorema 2.6 (do valor m´edio para integrais)

Se f é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], então existe um ponto c ∈ ]a, b[ tal que

f (c) = 1 b − a

Z b

a

f (x) dx . (2.5)

A interpreta¸cão geométrica deste resultado é simples no caso em que f ≥ 0. Considere a seguinte figura. - _x 6 y f a f (c) c b Figura 2.6 A expressão (2.5) pode reescrever-se como

f (c) (b − a) = Z b

a

f (x) dx .

Ou seja, existe pelo menos um ponto c ∈ ]a, b[ de tal modo que, o valor da área da região plana limitada superiormente pelo gráfico da fun¸cão f , inferiormente pelo eixo das abcissas e lateralmente pelas rectas verticais x = a e x = b, é exactamente igual ao valor da área de um rectângulo de base igual a b − a e altura igual a f(c).

Demonstra¸c˜ao - (do teorema do valor m´edio para integrais)

Se f é constante igual a k então c é qualquer ponto do intervalo [a, b]. De facto, Z b

a

f (x) dx = Z b

(33)

qualquer que seja c em [a, b]. Suponhamos então que f não é uma fun¸cão constante. Porque f é cont´ınua em [a, b], existem u e v em [a, b] tais que f (u) = m e f (v) = M , onde m e M são respectivamente o valor m´ınimo e o valor máximo de f em [a, b]. Pelo teorema 2.5 conclui-se que

f (u) (b − a) < Z b a f (x) dx < f (v) (b − a) , isto ´e, f (u) < 1 b − a Z b a f (x) dx < f (v) . Considere agora o n´umero real

α = 1 b − a

Z b

a

f (x) dx .

Porque f é cont´ınua e α é um número entre f (u) e f (v), a aplica¸cão do teorema de Bolzano permite garantir a existência de um ponto c entre u e v tal que f (c) = α, como se pretendia.

Teorema 2.7

Se f é uma fun¸cão cont´ınua em [a, b], então

Z b a f (x) dx ≤ Z b a |f(x)| dx .

Demonstra¸c˜ao - Porque se tem −|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)| para todo o x ∈ [a, b], a aplica¸c˜ao do teorema 2.4 permite concluir que

− Z b a |f(x)| dx ≤ Z b a f (x) dx ≤ Z b a |f(x)| dx , condi¸c˜ao que implica

Z b a f (x) dx ≤ Z b a |f(x)| dx . Teorema 2.8

(34)

2.3.1 Integra¸

c˜

ao por substitui¸

c˜

ao e integra¸

c˜

ao por partes

Integra¸c˜ao por substitui¸c˜ao

Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo [x0, x1]. Pretende-se calcular o integral definido Z x1

x0

f (x) dx

por meio da mudan¸ca de variável x = g(t) onde g é uma fun¸cão diferenciável e invert´ıvel num intervalo [t0, t1] de tal forma que x0= g(t0) e x1= g(t1). Assumindo ainda que a fun¸cão composta f ◦ g está bem definida no intervalo [t0, t1] e que g′ é uma fun¸cão cont´ınua nesse mesmo intervalo, mostra-se que é válida a seguinte identidade

Z x1 x0 f (x) dx = Z t1 t0 f (g(t)) g′(t) dt . (2.6) Exemplo: Pretende-se calcular Z 2 1 x + 1 √ x dx .

Efectua-se a mudan¸ca de variável x = t2 _{com t > 0 (garantindo assim que a} fun¸cão g(t) = t2_{é invert´ıvel). Obtém-se dx = 2t dt, t}

0= g−1(x0) =√x0= 1 e t1= g−1(x1) = √x1= √ 2. Aplicando (2.6), tem-se Z 2 1 x + 1 √ x dx = Z √2 1 t2+ 1 t 2t dt = 2 t 3 3 + t √2 1 =10 √ 2 − 8 3 .

Integra¸cão por partes Mostra-se que Z b a u(x) v′(x) dx = [ u(x) v(x) |ba− Z b a u′(x) v(x) dx , (2.7) onde se assume que todas as fun¸cões envolvidas são cont´ınuas.

Exemplo:

Pretende-se calcular

Z 2

1

ln x dx . A aplica¸c˜ao de (2.7) permite escrever

Z 2

1

ln x dx = [ x ln x ]21− Z 2

(35)

2.4 Outras propriedades do integral definido

Mostramos que não é necessário exigir que uma fun¸cão seja cont´ınua para concluir que esta é integrável de acordo com a defini¸cão 2.2. Para o efeito, considere o seguinte resultado.

Teorema 2.9

Se f é uma fun¸cão limitada num intervalo [a, b] e f é descont´ınua num número finito de pontos de [a, b], para os quais existem e são finitos os limites laterais, então f é integrável no intervalo [a, b]. Exemplo: Considere a fun¸cão f (x) =    x se x ∈ [0, 1] x + 1 se x ∈ ]1, 2] .

A fun¸cão é limitada no intervalo [0, 2] e é descont´ınua em x = 1. No entanto, existem e são finitos os limites laterais

lim x→1−

f (x) = 1 e lim

x→1+f (x) = 2 .

Logo, pelo teorema anterior, pode concluir-se que f é uma fun¸cão integrável. Falta saber como calcular o integral definido de uma fun¸cão descont´ınua num número finito de pontos. O próximo resultado apresenta a resposta.

Teorema 2.10

Sejam f e g duas fun¸cões integráveis no intervalo [a, b]. Se f (x) 6= g(x) num número finito de pontos de [a, b], então

Z b a f (x) dx = Z b a g(x) dx . Exemplo:

Considere a fun¸c˜ao do exemplo anterior. Tem-se Z 2 0 f (x) dx = Z 1 0 f (x) dx + Z 2 1 f (x) dx .

Aplicando o teorema anterior com g(x) = x+1 definida no intervalo [1, 2], obt´em-se Z 2 0 f (x) dx = Z 1 0 f (x) dx + Z 2 1 g(x) dx . Assim, Z 2 0 f (x) dx = x 2 2 1 0 + x 2 2 + x 2 1 = 3 .

(36)

Exerc´ıcio 2.3

Verifique que a fun¸c˜ao

f (x) =    0 se x 6= 1 1 se x = 1

´e integr´avel e calcule

Z 2

0

f (x) dx .

2.5 Aplica¸

c˜

oes do integral definido

2.5.1 Area de regi˜

´

oes planas

Assume-se que f e g s˜ao duas fun¸c˜oes cont´ınuas.

(a) Considere a região plana R definida pela sua fronteira do seguinte modo: R é limitada superiormente pelo gráfico da fun¸cão f , é limitada inferiormente pelo eixo das abcissas e é limitada lateralmente pelas rectas verticais de equa¸cão x = a e x = b.

- _x 6 y f a b R Figura 2.7

O valor da área da região R é dado pelo integral definido Z b

a

f (x) dx . (b) No caso da regi˜ao plana

- _x 6 y f g a b R Figura 2.8

(37)

O valor da área da região R é Z b a f (x) dx − Z b a g(x) dx = Z b a ( f (x) − g(x) ) dx . (c) Na situa¸cão - _x 6 y f g a m b R Figura 2.9

O valor da área da região R é ainda Z b a ( f (x) − g(x) ) dx . De facto, area(R) = Z b a ( f (x) + |m| ) dx − Z b a ( g(x) + |m| ) dx = Z b a ( f (x) − g(x) ) dx . (d) Na situa¸cão - _x 6 y f a b R Figura 2.10

(38)

A área da região R é dada por − Z b

a

f (x) dx .

(e) Finalmente, na situa¸c˜ao

- _x 6 y f g a R1 c R2 b Figura 2.11

Conclui-se sem dificuldade que o valor da área da região R = R1∪ R2 é dado pela expressão

area(R) = area(R1) + area(R2) = Z c a ( f (x) − g(x) ) dx + Z b c ( g(x) − f(x) ) dx . Exemplo:

Pretende-se determinar o valor da área da região plana R que resulta da reunião de R1 - limitada pelas rectas x = −1 e x = 0, e pelas curvas y = x e y = x2, com R2 - limitada pelas rectas x = 0 e x = 1, e ainda pelas curvas y = x e y = x2. O resultado é area(R) = Z 0 −1 x2− x dx + Z 1 0 x − x 2_{dx = 1 .}

(39)

2.5.2 Volume de s´

olidos de revolu¸

c˜

ao

Assumindo que f e g s˜ao duas fun¸c˜oes cont´ınuas.

(a) Considere a figura que representa a região plana R, limitada pelo gráfico de uma fun¸cão f , pelo eixo das abcissas e pelas rectas verticais x = a e x = b.

- _x y 6 y f a b R Figura 2.12

Mostra-se que o volume V do sólido de revolu¸cão, gerado pela rota¸cão em torno do eixo das abcissas da região plana R, é dado por

V = π Z b a f (x)2dx . (b) Na situa¸c˜ao - _x y 6 y f g a b R Figura 2.13

O volume do sólido de revolu¸cão gerado pela rota¸cão em torno do eixo das abcissas da região plana R, limitada pelas rectas verticais x = a e x = b e pelo gráfico das fun¸cões f e g, é dado por

V = π Z b a f (x)2_{dx − π} Z b a g(x)2_dx = π Z b a f (x)2− g(x)2dx .

(40)

(c) No caso da regi˜ao plana - _x y 6 y f g a b R Figura 2.14

Comprove que o volume do sólido de revolu¸cão gerado pela rota¸cão em torno do eixo das abcissas da região plana R, limitada pelo gráfico das fun¸cões f e g e pelas rectas verticais x = a e x = b, é V = π Z b a g(x)2_{− f(x)}2_{dx .} Exemplo:

Pretende-se determinar o volume de uma esfera de raio r.

Considera-se a circunferência de equa¸cão x2_{+ y}2_{= r}2_{, de centro no ponto (0, 0) e} raio r > 0. A rota¸cão em torno do eixo das abcissas, da região plana limitada pelas curvas y = 0 e y =√r2_{− x}2_{, origina uma esfera de raio r. O seu volume é}

V = π Z r −r p r2_{− x}22_dx = π Z r −r r2_{− x}2_dx = π r2_{x −} x3 3 r −r = 4 3π r 3_.

O racioc´ınio é semelhante no cálculo do volume de um sólido de revolu¸cão, gerado pela rota¸cão de uma região plana em torno do eixo das ordenadas. Neste caso, é necessário interpretar o problema de outra perspectiva, que passa pela troca do papel do eixo das abcissas e do eixo das ordenadas, isto é, pela permuta entre a variável independente e a variável dependente. Será também necessário determinar a expressão da fun¸cão inversa de algumas fun¸cões envolvidas em cada problema particular.

(41)

Exemplo:

Pretende-se determinar o volume do sólido de revolu¸cão, gerado pela rota¸cão em torno do eixo das ordenadas, da região plana limitada pela curva y = x2_{, pela recta} horizontal y = 2 e pela condi¸cão x ≥ 0. Obtém-se

V = π Z 2 0 (√y)2_{dy = π} Z 2 0 y dy = 2π . ´

E importante reconhecer que o sólido de revolu¸cão gerado pela rota¸cão de uma região plana, em torno do eixo das abcissas, é geralmente diferente do sólido obtido pela rota¸cão da mesma região plana, em torno do eixo das ordenadas. Consequentemente, os volumes dos dois sólidos são também geralmente diferentes. Vejamos um exemplo.

Exemplo:

Considere a regi˜ao plana definida pelas condi¸c˜oes 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x.

x y

1

Figura 2.15

O volume do sólido gerado pela rota¸cão da região em torno do eixo das abscissas é V = π

Z 1

0

x2_{dx = π/3 .}

O volume do sólido gerado pela rota¸cão da região em torno do eixo das ordenadas é dado por

V = π Z 1 0 1 − y 2_{dy = 2 π/3 .} Observa¸cão 2.3 A aplica¸cão da fórmula 2π Z b a x f (x) dx

também permite obter o volume do sólido de revolu¸cão gerado pela rota¸cão em torno do eixo das ordenadas, da região plana limitada pelo gráfico de f , pelo eixo das abcissas e pelas rectas verticais de equa¸cão x = a e x = b. Verifique a aplica¸cão desta fórmula com os dados do exemplo anterior.

(42)

Exerc´ıcio 2.4

Defina uma região plana cuja rota¸cão em torno do eixo das abcissas e rota¸cão em torno do eixo das ordenadas, origine sólidos de revolu¸cão de igual volume. Verifique calculando os seus valores.

2.5.3 Comprimento do arco de uma curva y

= f (x)

Seja f uma fun¸c˜ao diferenci´avel no intervalo [a, b]. Considere a figura

- _x 6 y f a r b r Figura 2.16

Mostra-se que o integral definido Z b

a p

1 + [f′_(x)]2 _dx

´e igual ao valor do comprimento da curva representada pelo gr´afico de f , do ponto de coordenadas (a, f (a)) ao ponto de coordenadas (b, f (b)).

Exemplo:

Qual o comprimento do gráfico da fun¸cão f (x) = x no intervalo [1, 2]? O comprimento pretendido é

C = Z 2 1 p 1 + [f′_(x)]2_dx = Z 2 1 √ 2 dx =√2 .

Resultado que ´e poss´ıvel comprovar aplicando o teorema de Pit´agoras. Exemplo:

Considere a regi˜ao plana limitada pelo gr´afico das curvas y = cosh x, x = − ln 2, x = ln 2 e y = 0 (ln 2 ≈ 0.69).

(a) Calcule a ´area da regi˜ao

(43)

A figura representa a regi˜ao plana enunciada

x y

− ln 2 ln 2

Figura 2.17 A área da região plana é

A = Z ln 2 − ln 2 cosh x dx = 2 Z ln 2 0 cosh x dx = 2 sinh(ln 2) = 3/2 . O comprimento da fronteira da regi˜ao ´e dado por

C = 2 ln 2 + 2 cosh(ln 2) + Z ln 2 − ln 2 p 1 + [(cosh x)′_]2 _dx = 2 ln 2 + 5/2 + 2 Z ln 2 0 p 1 + sinh2x dx = 2 ln 2 + 5/2 + 2 Z ln 2 0 cosh x dx = 2 ln 2 + 5/2 + 3/2 = 2 (ln 2 + 2) .

(44)

2.6 Integral indefinido

Seja f uma fun¸cão integrável no intervalo [a, b]. Logo, f também é integrável no intervalo [a, x], qualquer que seja x ∈ [a, b]. Usando a fun¸cão f define-se uma nova fun¸cão real de variável real cujo dom´ınio é [a, b], da seguinte forma

G(x) = Z x a f (t) dt . Exemplo: Considere a fun¸cão f (t) = 3t t2_{+ 1} onde t ∈ R . f é cont´ınua e por isso integrável. Logo,

G(x) = Z x 0 3t t2_{+ 1}dt = 3/2 ln(t2+ 1)x₀ = 3/2 ln(x2+ 1) . Ou seja, G(x) = 3/2 ln(x2_{+ 1) para todo o x ∈ R.}

Exemplo: Determine G(x) = Z x 0 f (t) dt onde a fun¸c˜ao f ´e

f (t) =    t, 0 ≤ t < 1 t2_{− 1, t ≥ 1} .

A fun¸cão f é integrável no seu dom´ınio apesar de não ser cont´ınua no ponto t = 1. Recordem-se as propriedades apresentadas na seçcão 2.4. Assim, para x ∈ [0, 1[ tem-se G(x) = Z x 0 f (t) dt = Z x 0 t dt = x 2 2 . Se x ≥ 1, então G(x) = Z x 0 f (t) dt = Z 1 0 f (t) dt + Z x 1 f (t) dt = Z 1 0 t dt + Z x 1 t2− 1 dt = x 3 3 − x + 7 6. Finalmente, G(x) =    x2/2, 0 ≤ x < 1 x3/3 − x + 7/6, x ≥ 1 . Exerc´ıcio 2.5

Determine o dom´ınio e estude o sinal da fun¸c˜ao G(x) =

Z x

1

e−t2dt .

O pr´oximo resultado estabelece algumas propriedades importantes do integral indefinido de uma fun¸c˜ao cont´ınua.

(45)

Teorema 2.11

Se f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervalo [a, b] e

G(x) = Z x

a

f (t) dt

para todo o x ∈ [a, b], então G é diferenciável em [a, b] e

G′(x) = f (x) ,

isto ´e, G ´e uma primitiva de f em [a, b].

` A fun¸c˜ao G(x) = Z x a f (t) dt

chama-se integral indefinido de f . A rela¸cão que o teorema 2.11 estabelece entre o integral indefinido e a fun¸cão integranda explica porque razão a expressão

Z

f (x) dx é a nota¸cão usada para indicar a primitiva da fun¸cão f . Demonstra¸cão - (do teorema 2.11)

Quer mostrar-se que G′_{(x) = f (x) para todo o x ∈ [a, b], isto ´e, que} lim

h→0

G(x + h) − G(x)

h = f (x) ,

onde x e x + h pertencem ao intervalo [a, b]. Para h 6= 0 tem-se G(x + h) − G(x) h = 1 h Z x+h a f (t) dt − Z x a f (t) dt ! = 1 h Z x+h x f (t) dt . (2.8)

O teorema do valor m´edio para integrais permite garantir a existˆencia de um ponto c pertencente ao intervalo de extremos x e x + h tal que

1 h

Z x+h

x

f (t) dt = f (c) . (2.9)

Logo, de (2.8) e (2.9), conclui-se que

G(x + h) − G(x)

h = f (c) .

Aplicando limites quando h → 0 a ambos os membros da equa¸c˜ao anterior obt´em-se lim

h→0

G(x + h) − G(x)

(46)

isto ´e

G′(x) = f (x) , pois quando h → 0 acontece for¸cosamente c → x. Exemplo: Considere a fun¸c˜ao f (t) = 3t t2_{+ 1} com t ∈ R e o integral indefinido G(x) = Z x 0 f (t) dt . Logo, G′(x) = Z x 0 3t t2_{+ 1}dt ′ = 3x x2_{+ 1} para todo o x ∈ R (recorde o exemplo na p´agina 40). Exerc´ıcio 2.6

Determine os extremos da fun¸c˜ao F (x) =

Z x

0

t (et_{− e) dt.} Corol´ario 2.1

Se f é uma fun¸cão cont´ınua no intervalo [a, b], u é uma fun¸cão diferenciável que toma valores em [a, b] para todo o x ∈ [a, b] e

G(x) = Z u(x) a f (t) dt , ent˜ao G′(x) = f (u(x)) u′(x) . Demonstra¸c˜ao - Observe que

G(x) = F (u(x)) onde F (u) = Z u a f (t) dt .

Aplicando directamente a regra da derivada de uma fun¸c˜ao composta, obt´em-se G′(x) = [ F (u(x)) ]′

= F′(u) u′(x) = f (u) u′(x) = f (u(x)) u′_{(x) .}

(47)

Exemplo:

Determine a primeira derivada dos integrais indefinidos (a) G(x) = Z √x 0 cos(t2_{) dt onde x > 0.} (b) G(x) = Z 0 √_xcos(t 2_{) dt onde x > 0.} Al´ınea (a) G′_{(x) =} Z √_x 0 cos(t2_{) dt} !′ = cos √x2 √x′ =cos x 2√x Al´ınea (b) G′(x) = Z 0 √_xcos(t 2_{) dt} ′ = − Z √ x 0 cos(t2) dt !′ = −cos x 2√x Exerc´ıcio 2.7 Considere a fun¸c˜ao G(x) = Z √x 1/x

cos(t2_{) dt definida para todo o x > 0 e determine uma}

express˜ao para G′_.

2.7 Integrais impr´

oprios

Nesta seçcão apresentamos uma extensão da defini¸cão de integral definido.

2.7.1 Integrais em intervalos n˜

ao limitados

Consideram-se integrais em que o intervalo de integra¸cão é ilimitado sendo a fun¸cão inte-granda cont´ınua e limitada nesse intervalo. A estes integrais também se chama integrais impróprios do primeiro tipo.

Considere o integral impr´oprio

Z +∞

a

f (x) dx (2.10)

onde f ´e cont´ınua e limitada no intervalo [a, +∞[. Se o limite lim t→+∞ Z t a f (x) dx

existe e ´e finito, ent˜ao o integral impr´oprio (2.10) diz-se convergente e escreve-se Z +∞ a f (x) dx = lim t→+∞ Z t a f (x) dx .

(48)

Observa¸c˜ao 2.4

De modo semelhante se estuda o caso

Z b

−∞

f (x) dx . Quando o integral impr´oprio ´e da forma

Z +∞

−∞

f (x) dx , (2.11)

deve-se em primeiro lugar escolher um ponto a conveniente e s´o depois analisar os limites lim t→−∞ Z a t f (x) dx (2.12) lim t→+∞ Z t a f (x) dx . (2.13)

O integral impr´oprio (2.11) ser´a convergente se estes limites existirem e forem finitos. Nesse caso, tem-se

Z +∞ −∞ f (x) dx = lim t→−∞ Z a t f (x) dx + lim t→+∞ Z t a f (x) dx .

Para que o integral impróprio (2.11) seja divergente, basta que um dos limites (2.12)-(2.13) não seja finito ou não exista.

Observa¸c˜ao 2.5

Importa observar que estas últimas conclusões não decorrem da análise do limite

lim t→∞

Z t

−t

f (x) dx .

Para confirmar este facto, basta escolher uma fun¸c˜ao ´ımpar, como por exemplo f (x) = x3_. Exemplos:

(a) Pretende-se determinar a natureza do integral impróprio Z +∞ 0 e−2xdx . Calcule-se lim t→+∞ Z t 0 e−2xdx . Tem-se lim t→+∞ Z t 0 e−2xdx = lim t→+∞ −e−2x₂ t 0 = lim t→+∞ 1 − e−2t 2 = 1 2. Ou seja, o integral impróprio é convergente e

Z +∞

0

(49)

(b) Pretende-se determinar a natureza do integral impr´oprio Z 2π

−∞

sin x dx . Este integral impróprio é divergente e não tem valor porque

lim t→−∞ Z 2π t sin x dx = lim t→−∞[ − cos x ] 2π t = lim t→−∞(−1 + cos t) n˜ao existe.

(c) Pretende-se determinar a natureza do integral impr´oprio Z +∞

−∞ x dx . Porque o integral impr´oprio

Z 0

−∞ x dx

´e divergente, pode concluir-se de imediato que o integral principal ´e divergente. Exerc´ıcio 2.8

1. Determine para que valores de p ∈ R o integral impr´oprio

Z +∞

1 1 xpdx

´e convergente.

2. Determine a natureza do integral impr´oprio

Z +∞

−∞

e3|x−1|dx .

2.7.2 Integrais de fun¸

c˜

oes n˜

ao limitadas

Consideram-se integrais em que a fun¸cão integranda não é limitada no intervalo de inte-gra¸cão. A estes integrais também se chama integrais impróprios do segundo tipo. Considere o integral impróprio

Z b

a

f (x) dx (2.14)

onde f é cont´ınua em qualquer intervalo [a, t] com a < t < b, mas é não limitada no intervalo [a, b[.

O integral impróprio (2.14) só será convergente se o limite lim

t→b−

Z t

a

f (x) dx existir e for finito. Nesse caso, escreve-se

Z b a f (x) dx = lim t→b− Z t a f (x) dx . Caso contrário, o integral impróprio (2.14) é divergente.

(50)

Quando f é cont´ınua em qualquer intervalo [t, b] com a < t < b mas é não limitada no intervalo ]a, b], o integral impróprio

Z b

a

f (x) dx s´o ´e convergente se existir e for finito o limite

lim t→a+ Z b t f (x) dx e neste caso Z b a f (x) dx = lim t→a+ Z b t f (x) dx .

Se f é ilimitada na vizinhan¸ca de um ponto c ∈ ]a, b[, então o integral impróprio Z b

a

f (x) dx

só é convergente se forem convergentes os integrais impróprios Z c a f (x) dx e Z b c f (x) dx . O seu valor é

Z b a f (x) dx = lim t→c− Z t a f (x) dx + lim t→c+ Z b t f (x) dx ! . Exerc´ıcio 2.9 Mostre que Z 2 0 1 (x − 1)2dx

´e um integral impr´oprio divergente.

2.8 M´

etodos num´

ericos de integra¸

c˜

ao

Apresentamos dois métodos numéricos que permitem obter um valor aproximado do integral definido de uma fun¸cão cont´ınua. Estes métodos tornam-se particularmente importantes quando não é poss´ıvel determinar uma expressão simples para a fam´ılia de primitivas da fun¸cão integranda, o que ocorre com a fun¸cão f (x) = ex2

.

As somas de Riemann de uma fun¸cão cont´ınua f , apresentadas na página 20, fornecem uma aproxima¸cão do integral definido de f no intervalo [a, b]. A obten¸cão dessa aprox-ima¸cão exige o conhecimento do valor da fun¸cão integranda em determinados pontos do intervalo de integra¸cão e o cálculo do valor da área de vários rectângulos.

Descrevemos de seguida dois métodos numéricos mais elaborados que têm também uma interpreta¸cão geométrica simples.

(51)

2.8.1 Regra dos trap´

ezios

Assumimos inicialmente que a fun¸cão f além de cont´ınua também é positiva no intervalo [a, b]. Na sua forma mais simples, a regra dos trapézios permite obter uma aproxima¸cão numérica do integral definido de f em [a, b], calculando o valor da área do trapézio definido pelos pontos (a, 0), (b, 0), (a, f (a)) e (b, f (b)).

- _x 6 y a b f Figura 2.18

Ou seja, em vez de calcular o integral da fun¸cão f no intervalo [a, b], calcula-se o integral do polinómio p de grau um, que une os pontos de coordenadas (a, f (a)) e (b, f (b)). Existe apenas um polinómio de grau um nestas condi¸cões cuja a expressão se determina sem dificuldade. Obtém-se a seguinte aproxima¸cão

Z b a f (x) dx ≈ Z b a p(x) dx = (b − a) (f (b) + f (a)) 2 .

A aproxima¸cão é válida mesmo que a fun¸cão não seja positiva no intervalo [a, b]. É de esperar que a aproxima¸cão seja razoável quando o intervalo [a, b] for pequeno e a fun¸cão f for suficientemente suave em [a, b]. A ideia de generalizar o processo descrito surge naturalmente. Na próxima figura considera-se uma decomposi¸cão em dois subintervalos de igual amplitude h. - _x 6 y a x1 b ((((( a a a a a f Figura 2.19

(52)

Seja p1o polinómio de grau um, que une os pontos de coordenadas (a, f (a)) e (x1, f (x1)) e p2 o polinómio de grau um, que une os pontos de coordenadas (x1, f (x1)) e (b, f (b)). Uma aproxima¸cão do integral definido da fun¸cão f em [a, b] é

Z b a f (x) dx = Z x1 a f (x) dx + Z b x1 f (x) dx ≈ Z x1 a p1(x) dx + Z b x1 p2(x) dx = (x1− a) (f (x1) + f (a)) 2 + (b − x1) (f (b) + f (x1)) 2

Porque x1 é o ponto médio do intervalo [a, b], tem-se x1− a = b − x1 = (b − a)/2 = h, logo, obtém-se

Z b

a f (x) dx ≈ h

2 [ f (a) + 2f (x1) + f (b)) ] .

A expressão da aproxima¸cão para o caso geral deduz-se sem dificuldade. Seja f uma fun¸cão cont´ınua no intervalo [a, b] e ∆ : a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b uma decomposi¸cão do intervalo [a, b] em n (n ∈ N) subintervalos de igual amplitude h = (b − a)/n. A aplica¸cão repetida do processo mais simples a cada intervalo [xi−1, xi], com i = 1, 2, . . . , n, origina a seguinte aproxima¸cão que se chama regra dos trapézios composta (é usual chamar regra dos trapézios simples ao caso particular em que n = 1)

Z b

a f (x) dx ≈ h

2[ f (x0) + 2f (x1) + · · · + 2f(xn−1) + f (xn) ] . Exemplo:

Considera-se a fun¸cão cont´ınua f (x) = √1 − x2 _{e aplica-se a regra dos trapézios} com n = 2 e n = 4 para determinar uma aproxima¸cão numérica do integral definido

I = Z 1

−1 p

1 − x2_{dx .}

O integral pode calcular-se integrando por substitui¸cão e o seu resultado é π/2 que é aproximadamente 1.571. Este resultado tem uma interpreta¸cão geométrica simples. Corresponde ao valor da área de meio c´ırculo de raio r = 1.

Considere-se n = 2. A decomposi¸cão do intervalo [−1, 1] é composta de dois inter-valos de amplitude h = (b − a)/2 = 1 e é definida pelos três pontos

x0= −1 , x1= x0+ h = 0 , x2= x1+ h = 1 . Obt´em-se Z 1 −1 p 1 − x2_{dx ≈} 1 2[ f (−1) + 2f(0) + f(1) ] = 1 .

(53)

Interprete geometricamente o resultado anterior. Para n = 4. A decomposi¸cão de [−1, 1] é composta de quatro intervalos de amplitude h = (b − a)/4 = 1/2 e é definida pelos pontos x0= −1, x1= −1/2, x2= 0, x3= 1/2 e x4= 1. Obtém-se

I = Z 1 −1 p 1 − x2_{dx ≈} (1/2) 2 [ f (−1) + 2f(−1/2) + 2f(0) + 2f(1/2) + f(1) ] , isto ´e, I ≈ 1.366.

Se a fun¸cão integranda não for apenas cont´ınua no intervalo [a, b], então é poss´ıvel apresentar uma expressão para o erro cometido quando se aproxima o integral definido pela regra dos trapézios. Não basta que a fun¸cão seja cont´ınua no intervalo [a, b] é preciso exigir que seja de classe C2 _{em [a, b]. Nota: no exemplo anterior consider´}_amos uma fun¸cão que é cont´ınua no intervalo [−1, 1] mas que não é diferenciável em todo o intervalo.

Teorema 2.12 (regra dos trap´ezios estendida)

Se f ´e uma fun¸c˜ao de classe C2 _{no intervalo [a, b] e a = x}

0< x1< · · · < xn−1< xn = b

é uma decomposi¸cão de [a, b] em n subintervalos de igual amplitude h = (b − a)/n, então

Z b a f (x) dx =h 2[ f (x0) + 2f (x1) + · · · + 2f(xn−1) + f (xn) ] − (b − a)3 12n2 f′′(c) , (2.15)

onde c ´e um ponto de [a, b].

O resultado anterior revela que ao aproximar o integral I =

Z b

a

f (x) dx pela regra dos trap´ezios

IT = h

2 [ f (x0) + 2f (x1) + · · · + 2f(xn−1) + f (xn) ] o erro absoluto |E| = |I − IT| cometido na aproxima¸c˜ao ´e dado por

(b − a)3 12n2 |f

′′_{(c)| ,} _{onde c ∈ [a, b] .} _(2.16) Assim, se M é o valor máximo de f′′ _{em [a, b] (|f}′′_{(x)| ≤ M para todo o x em [a, b])} então o erro absoluto cometido na aproxima¸cão é tal que

|E| ≤ (b − a) 3

12n2 M .

Basta conhecer M para poder calcular o número n de subintervalos necessários, por forma a conseguir obter determinada aproxima¸cão do integral definido. A expressão (2.15) é v´alida para todo o n ∈ N. Tomando em particular n = 1, obtém-se uma estimativa para o erro cometido na aproxima¸cão do integral definido, quando se aplica a regra dos trapézios simples.

(54)

Exemplo:

Determinar uma aproxima¸c˜ao do integral definido I =

Z 1

0

e−x2dx

e apresentar um majorante para o erro cometido na aproxima¸c˜ao.

Considera-se n = 2. Obt´em-se h = 1/2, x0= 0, x1= 1/2 e x2= 1. Observa-se que a fun¸c˜ao f (x) = e−x2

é uma fun¸cão infinitamente diferenciável. A aproxima¸cão de I é

IT = 1/2

2 [ f (0) + 2f (1/2) + f (1) ] = 0.731 .

Para conseguir majorar o erro absoluto da aproxima¸cão é necessário analisar a segunda derivada f′′_{(x) = (4x}2_{− 2) e}−x2

. O estudo anal´ıtico da segunda derivada permite concluir que |f′′(x)| ≤ |f′′(0)| para todo o x ∈ [0, 1]. Em alternativa, esta conclusão resulta de imediato da observa¸cão do gráfico da fun¸cão |f′′_{| no intervalo} [0, 1], como mostra a figura

x y

1

Figura 2.20 Logo, de (2.16), conclui-se que

|I − IT| = (b − a) 3 12n2 |f′′(c)| (c ∈ [0, 1]) = |f′′(c)| 48 ≤ |f ′′_(0)| 48 = 2/48 . Ou seja, obt´em-se |I − IT| ≤ 0.042.

Ao construir uma soma de Riemann para aproximar o integral definido de f em [a, b], estamos em simultâneo a aproximar, em cada subintervalo [x_i−1, xi], a fun¸cão f por uma fun¸cão polinomial de grau zero (isto é, um segmento de recta horizontal). Ou seja, a aproxima¸cão obtida não é mais do que o integral definido de uma fun¸cão cont´ınua, definida em [a, b], que é seccionalmente (isto é, em cada subintervalo) um polinómio