ANÁLISE POR ELEMENTOS FINITOS DA RESPOSTA DINÂMICA DE EIXOS ROTATIVOS APOIADOS EM MANCAIS RADIAIS CILÍNDRICOS E ELÍPTICOS
Wéderley M. MIRANDA
wederley@yahoo.com.br
Centro Universitário UNA
– Av. Raja Gabáglia, 3950 , Estoril, Belo Horizonte/MG, CEP 30494-310, Brasil Marco Túlio C. FARIA
mtcdf@uol.com.br
Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Minas Gerais – Av.Antônio Carlos, 6627 – Belo Horizonte/MG, CEP 31270-901, Brasil.
Apresenta-se nesse trabalho o desenvolvimento de um procedimento baseado no método de elementos finitos para a análise dinâmica de rotores flexíveis apoiados em mancais hidrodinâmicos. O modelo do eixo usa elementos finitos de viga de Timoshenko e os componentes acoplados, como discos rotativos, são modelados como discos rígidos. Os mancais são modelados utilizando-se elementos finitos quadrangulares isoparamétricos de quatro nós. As equações de lubrificação para os mancais são obtidas aplicando-se o método de perturbação linear à equação clássica de Reynolds para o filme fluido. Analisa-se a resposta desbalanceada do sistema pela integração da equação do movimento usando-se o método de Newmark. Medições experimentais em uma bancada de rotores horizontais são usadas para validar o procedimento de cálculo da resposta desbalanceada. Compara-se a resposta dinâmica de rotores flexíveis apoiados em mancais hidrodinâmicos elípticos e cilíndricos, o que permite comparar a capacidade de atenuação da resposta dinâmica gerada pelas diferentes geometrias de mancais radiais.
1. INTRODUÇÃO
Os avanços tecnológicos nos projetos de turbomáquinas têm impulsionado o desenvolvimento de procedimentos de elementos finitos cada vez mais eficientes nos últimos anos. São procedimentos que permitem predizer o comportamento dinâmico de turbomáquinas, modelando o eixo rotativo, mancais, selos, fundações e demais elementos rotativos (Childs, 1993; Vance, 1988). Os trabalhos pioneiros de obtenção de modelos de elementos finitos para eixos rotativos de Nelson et al.(1976) e Nelson(1980) contribuíram muito para esta análise computacional, onde foram considerados os efeitos de inércia rotatória, momento giroscópico e deformação por cisalhamento na modelagem. Muitos outros autores (Özgüven e Özkan, 1984; Elmadany et al., 2001; Hong et al., 2001) contribuíram também para a análise dinâmica de máquinas rotativas introduzindo melhorias no modelo dos eixos rotativos. Outros trabalhos abordam o modelo do sistema de apoio do eixo rotativo, usando o método de elementos finitos (Armentrout,1998; Faria,2001; Balantrapu, 2004; Faria
et al., 2006; Yan et al.,2010).
O mancal cilíndrico é o tipo de mancal de deslizamento de geometria fixa mais amplamente usado em máquinas rotativas industriais (Allaire e Flack,1981). Esse mancal é o de menor custo, dentre os mancais de geometria fixa, tem boa capacidade de carga, mas possui baixa estabilidade hidrodinâmica. Por outro lado, os mancais de geometria variável, como os mancais de sapatas móveis, têm sido aplicados onde a estabilidade do filme fluido é um requisito operacional, principalmente em grandes turbomáquinas. Os mancais de sapatas móveis têm custos maiores de fabricação, montagem e manutenção, em relação aos mancais de geometria fixa (Allaire e Flack,1981). Além disso, os mancais de geometria variável requerem um maior fluxo de lubrificante e apresentam menores valores de rigidez e de capacidade de carga quando comparados com os de geometria fixa. A análise da estabilidade de mancais de geometria fixa tem sido abordada em importantes trabalhos da literatura técnica (Singh e Gupta, 1982), mas não são comuns trabalhos sobre mancais de geometria fixa com outros perfis, tais quais os não-cilíndricos. Trabalhos experimentais e computacionais têm mostrado que mancais elípticos têm a vantagem de apresentar melhor estabilidade dinâmica do que mancais cilíndricos (Wang et al.,2010).
O objetivo desse trabalho é apresentar a análise da resposta desbalanceada de rotores flexíveis apoiados em mancais de deslizamento de perfis elípticos. O método de elementos finitos é usado no modelo do eixo e também no modelo dos mancais. Aplica-se a teoria de vigas de Timoshenko no modelo do eixo rotativo, considerando-se os efeitos de cisalhamento, inércia rotatória e momento giroscópico. O modelo de elementos finitos de mancais hidrodinâmicos é baseado na equação clássica de Reynolds. O método de perturbação linear é aplicado à equação de Reynolds, obtendo-se as equações que levam aos oito coeficientes de força associados à rigidez e ao amortecimento dos mancais (Lund, 1987; Faria, 2001). A resposta desbalanceada de rotores flexíveis apoiados em mancais hidrodinâmicos cilíndricos e elípticos é calculada através da integração no tempo baseada no método de Newmark (Bathe, 1982). Os coeficientes de força linearizados dos mancais hidrodinâmicos são calculados em sua posição de equilíbrio estático. O procedimento computacional permite determinar a resposta desbalanceada no domínio do tempo e no domínio da frequência, para diferentes pré-cargas e excentricidades. Os resultados obtidos neste trabalho são comparados com medidas feitas em uma bancada de teste de um rotor horizontal. São obtidas as respostas desbalanceadas para diferentes condições operacionais e analisada a influência dos coeficientes de força dos mancais na resposta dinâmica do sistema rotor flexível – mancal. Os resultados apresentados nesse trabalho mostram a influência da pré-carga dos mancais na resposta da vibração lateral de eixos rotativos apoiados em mancais hidrodinâmicos.
2. PROCEDIMENTOS
Nesse item, são descritas as etapas de modelagem do eixo rotativo e dos mancais hidrodinâmicos. Primeiramente, são apresentadas as matrizes associadas ao eixo rotativo, que são: [M] – Inércia translacional, [N] – Inércia rotatória, [G] – Efeito Giroscópico, [K] – Rigidez (Nelson, 1980). Em seguida, apresenta-se o procedimento de derivação das matrizes de rigidez e de amortecimento associadas aos mancais, que são: [Km] – Rigidez do filme fluido, [Cm] – Amortecimento do filme fluido. Os coeficientes cruzados de rigidez e de amortecimento das matrizes dos mancais são considerados na análise.
Por último, é montado o problema de autovalor através da formulação de variáveis de estado, a partir das equações geradas pelas matrizes de elementos finitos. Os autovalores complexos associados ao sistema permitem analisar a estabilidade do sistema rotor-mancal hidrodinâmico em função de diferentes parâmetros constitutivos e geométricos.
2.1 Modelagem do Eixo
O modelo do eixo em elementos finitos, implementado nesse trabalho, está baseado nas funções de forma especiais obtidas por Nelson (1980). O autor utiliza a teoria de vigas de Timoshenko para obter as equações de equilíbrio para um eixo circular flexível suportado em apoios elásticos e considerando o efeito do cisalhamento, momento giroscópico e inércia rotatória. O sistema é representado esquematicamente na Figura 1.
Para a modelagem do deslocamento lateral dos eixos flexíveis, são utilizados elementos de viga com dois nós e com oito graus de liberdade. A influência dos mancais nos coeficientes de rigidez e amortecimento do rotor também é considerada na modelagem. O método em elementos finitos se baseia nas seguintes equações de movimento global:
}
R
{
}
U
]{
K
[
}
U
]{
C
[
}
U
{
])
N
[
M]
([
+
&
&
+
&
+
=
(1)onde, [M] representa a matriz global de inércia translacional, [N] é a matriz global de inércia rotatória, [K] a matriz de rigidez do eixo e [C] a matriz de amortecimento equivalente do eixo, que é expressa como [C]=[C1]−Ω.[G], onde [G] é a matriz de efeito giroscópico do eixo. A matriz [C1] representa o amortecimento do mancal. Os vetores de aceleração, velocidade e deslocamento são dados, respectivamente, por {U&&},{U&},{U} eΩ é a velocidade de rotação do eixo (rad/s).
O vetor carregamento sobre rotor, gerado pelo desbalanceamento de massa, é representado pelo vetor {R} na Eq.(1). Um disco rotativo rígido desbalanceado é montado em uma posição axial pré-determinada do eixo, permitindo a aplicação de carga. Um fasor rotatório com amplitude de F0 = md.ud. Ω², representa a carga da massa desbalanceada, onde
md é a massa desbalanceada (kg) e ud é a excentricidade da massa desbalanceada (m). Uma massa excêntrica hipotética é usada para introduzir a carga desbalanceada no modelo de elementos finitos.
Figura 1. Eixo flexível apoiado por mancais radiais hidrodinâmicos.
2.2 Modelagem dos Mancais
O modelo de elementos finitos do mancal hidrodinâmico é desenvolvido a partir da equação clássica de Reynolds para mancais radiais lubrificados a óleo (Childs, 1993). Para as coordenadas (X, Z), esta equação é dada por:
t h dX dh R Z P h Z X P h X ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂∂ ∂∂ µ ∂∂ + Ω = + 2 12 12 3 3 (2)
A velocidade rotacional do eixo é denotada por Ω. Excentricidades do mancal nas direções vertical e horizontal são expressas por eX e eY, respectivamente. A razão de excentricidade é definida como ε= e/c, onde e2=eX2+eY2. A coordenada circunferencial é X =
R.θ, onde R é o raio do mancal. A viscosidade do fluido lubrificante é dada por µ, P representa a pressão hidrodinâmica e h é a espessura do filme fluido. Um procedimento de perturbação linear é utilizado em conjunto com a Eq.(2) para representar as equações de lubrificação de ordem zero e primeira ordem (Faria, 2001). Estas equações, apresentadas a seguir, permitem o cálculo das forças de reação do mancal e de oito coeficientes dinâmicos de força.
{
e sin( t.) e cos( t.)}
dX dh 2 R Z P 12 h Z X P 12 h X X0 Y0 0 3 3 Ω θ Ω θ Ω Ω ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ =− − + − + + (3) Z P 12 h h 3 Z X P 12 h h 3 X dX dh R h i dX dh 2 R Z P 12 h Z X P 12 h X 0 2 0 0 2 0 3 3 − − + + − = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂∂ ∂ ∂ µ ∂∂ Ω ω Ω µ µ σ σ σ σ σ (4)Nas equações acima, h0 representa a espessura do filme de ordem zero e hσ representa a
espessura proveniente da perturbação de primeira ordem. A perturbação é aplicada na freqüência de excitação ω em uma posição de equilíbrio (eX0, eY0). P0 representa a pressão de ordem zero e {Pσ}, σ = X, Y, representa o campo de pressão causada pelas perturbações
dinâmicas dos deslocamentos e velocidades do rotor. Os coeficientes dinâmicos de força dos mancais são estimados a partir dos campos de pressão de ordem zero e de primeira ordem (Faria, 2001). Os coeficientes dinâmicos do mancal associados à rigidez {Kσβ}β,σ=X,Y e ao amortecimento {Cσβ}β,σ=X,Y são calculados a partir das impedâncias complexas na forma apresentada a seguir: ∫ ∫ − = + = L 0 2 0 dz . d . R h p C i K Zσβ σβ ω σβ π β σ θ ; β,σ =X ,Y (5) ou dz . d . R . h p h p h p h p C C C C . . i K K K K L 0 2 0 X Y Y Y X Y X X YY YX XY XX YY YX XY XX ω π θ ∫ ∫ − = + (6)
A rigidez [Km] e o amortecimento [Cm] representam a resistência do filme fluido às variações do deslocamento e da velocidade do rotor, respectivamente. Essas são definidas como: = YY YX XY XX m K K K K ] [K ; = YY YX XY XX m C C C C ] [C (7)
A Figura 2 mostra a seção transversal de um sistema rotor-mancal de deslizamento, na qual há oito coeficientes lineares de rigidez e amortecimento representando as características dinâmicas do filme de óleo.
Figura 2. Coeficientes lineares de rigidez e de amortecimento de um mancal radial hidrodinâmico.
2.3. Procedimento de integração no tempo
Para se garantir a convergência do procedimento de integração no tempo no método de Newmark (Bathe, 1982), foram adotados os parâmetros α=0,25 e β=0,5. Inicialmente, o sistema de equações que representa o sistema rotor-mancal é construído. Então, os vetores da resposta do eixo {U&&},{U&},{U} recebem um valor inicial, para todos os pontos do eixo. O
processo de integração usa um incremento de tempo menor do que o incremento crítico (∆tcr=τn π), onde τ
n representa o menor período natural do sistema rotor-mancal. O processo de integração no tempo para quando o erro relativo da resposta dinâmica do eixo é menor que 1%, para a órbita obtida em cada mancal.
3. RESULTADOS NUMÉRICOS
Nesta seção, apresenta-se um exemplo de validação do procedimento numérico proposto, seguido de uma análise de sistema rotor-mancal apoiado em mancais elípticos. O exemplo de validação apresenta uma análise comparativa entre resultados numéricos obtidos pelo procedimento computacional proposto e medições experimentais realizadas em uma bancada de testes de um rotor horizontal apoiado em mancais hidrodinâmicos. Em seguida, apresenta-se uma análise da resposta desbalanceada de sistema rotor-mancal apoiado em mancais elípticos, com diferentes valores de pré-carga. Os coeficientes de força dos mancais nos exemplos numéricos apresentados neste trabalho são calculados usando-se 1200 elementos finitos retangulares isoparamétricos. Para o modelo do eixo rotativo são adotados 80 elementos de viga. Estes parâmetros garantem uma convergência com menos de 1% de erro relativo da resposta dinâmica do sistema eixo-mancal.
3.1 Exemplo de validação
A validação do procedimento proposto consiste em comparar os resultados obtidos pelo método de elementos finitos com dados experimentais coletados em uma bancada de testes (Fig.3). A bancada de testes foi construída para testar diferentes tipos de mancais hidrodinâmicos no sistema de suporte de um rotor horizontal. A bancada permite ainda montar um ou mais discos rotativos desbalanceados, de modo a simular condições reais de desbalanceamento. Um motor elétrico é usado para acionar o rotor através de uma transmissão por correias e polias e é usado um inversor de frequência para controlar a rotação do motor (Miranda et al., 2005).
Figura 3. Esquema da bancada de testes do rotor apoiado em mancais
Para este teste de validação foram montados dois mancais hidrodinâmicos cilíndricos com diferentes valores de folga. Os parâmetros adotados são apresentados na Tab. 1.
Tabela 1. Parâmetros experimentais do sistema rotor-mancal
D (diâmetro do eixo) = 0,015 m µ (viscosidade do lubrificante) = 25 x 10-3 Pa s L (comprimento do mancal) = 0,012 m ρL (densidade do lubrificante)= 892 kg/m³ c1 (folga do mancal 1) = 34,5 µm c2 (folga do mancal 2) = 77,5 µm
l (comprimento do eixo entre mancais) = 0,30 m ρ (densidade do eixo) = 7850 kg/m³
Ω (rotação do rotor) = 0 a 10.000 rpm mu (massa desbalanceada) = 0,0035 kg
E (Módulo de Young do eixo) = 205x109 Pa ud (excentricidade da massa desbalanceada) = 0,035 m
Os espectros de frequência experimentais foram obtidos para diferentes rotações do rotor, através de testes de batida (bump test), e ensaios a rotação constante (Vance, 1988). Foram usados acelerômetros instalados na parte superior dos mancais e um analisador digital de sinais Hewlett Packard HP350670A. Foi usada uma pequena massa (mu) afixada no disco massivo, simulando um desbalanceamento do conjunto.
Na simulação numérica do sistema, foram adotados os valores da Tab.1, e a massa desbalanceada foi incluída no vetor carregamento {R}, definido na Eq.(1), cujo módulo vale
F0 = md.ud. Ω². Algumas pequenas alterações nos coeficientes de força dos mancais foram efetuadas para se ajustar o modelo aos dados experimentais coletados.
O espectro de frequência obtido numericamente é comparado com o experimental na rotação de 8890rpm (Fig. 4 e Fig.5). Observa-se que o modelo de elementos finitos reproduz alguns importantes picos de frequência do espectro experimental coletado na bancada de testes. Estes picos são comparados na Tab. 2.
Figura 5. Espectro de frequência experimental coletado no mancal 1 a 8890rpm
Figura 4. Espectro de frequência obtido numericamente no mancal 1 a 8890rpm
Tabela 2: Comparação dos valores das três primeiras frequências naturais na velocidade de 8890rpm Experimental (rpm) Numérico (rpm) Desvio (%) 8.890 8.850 -0,4% 26.800 26.200 -2,2% 45.600 44.400 -2,6%
3.2 Análise de Mancais Elípticos
A resposta desbalanceada de rotores, analisada para diferentes mancais, é normalmente usada como um parâmetro de eficiência dos mancais nas velocidades críticas (Flack e Rooke, 1980). Nesta seção, a reposta desbalanceada é analisada para o sistema apoiado em mancais elípticos, sob diferentes valores de pré-carga. A resposta desbalanceada é calculada através do raio médio das órbitas obtidas pelo procedimento numérico. Os parâmetros do sistema são apresentados na Tab.3, e outros parâmetros geométricos estão ilustrados na Fig.3. O rotor simulado não possui discos massivos e está apoiado em mancais hidrodinâmicos elípticos. A resposta desbalanceada é calculada no mancal da extremidade esquerda, cuja órbita representa o movimento da linha de centro do eixo na posição do mancal.
Tabela 3. Parâmetros do sistema rotor-mancal elíptico utilizado na análise D (diâmetro do eixo) = 0,015 m µ (viscosidade do lubrificante) = 27 x 10-3 Pa s L (comprimento do mancal) = 0,012 m ρL (densidade do lubrificante)= 915 kg/m³ c1 (folga do mancal 1) = 24 µm c2 (folga do mancal 2) = 24 µm
l (comprimento do eixo entre mancais) = 0,90m ρ (densidade do eixo) = 7850 kg/m³
Ω (rotação do rotor) = 0 a 10.000 rpm mu (massa desbalanceada) = 0,0035 kg
E (Módulo de Young do eixo) = 205x109 Pa ud (excentricidade da massa desbalanceada) = 0,035 m
A resposta desbalanceada é mostrada na Fig.6 para o sistema da Tab.3, apoiado em mancais hidrodinâmicos elípticos de pré-carga 0,45. Os picos representam a primeira e segunda velocidades críticas do sistema, com valores de 2230rpm e 8905rpm, respectivamente.
Figura 6. Resposta desbalanceada calculada no mancal da extremidade esquerda do rotor apoiado em mancais elípticos de pré-carga 0,45
A influência da pré-carga dos mancais elípticos na resposta desbalanceada é analisada na velocidade crítica do sistema. Na primeira velocidade crítica, a resposta desbalanceada é mostrada para o sistema apoiado em mancais hidrodinâmicos elípticos com diferentes pré-cargas (preload), e em dois intervalos de integração distintos: 10 segundos (Fig. 7) e 30 segundos (Fig. 8). Para ambos intervalos, a resposta desbalanceada máxima aumenta à medida em que a pré-carga aumenta. Porém, a amplificação da resposta desbalanceada na velocidade crítica não tem o mesmo comportamento, para diferentes pré-cargas.
Figura 7. Resposta desbalanceada no intervalo de integração de 10s
Figura 8. Resposta desbalanceada no intervalo de integração de 30s
A amplificação da resposta desbalanceada na velocidade crítica é um parâmetro importante na análise da estabilidade do sistema (Zeidan e Paquette, 1994). Neste exemplo numérico ela é calculada através da relação entre a resposta desbalanceada a 2000rpm e na primeira velocidade crítica. Esta comparação permite inferir sobre a capacidade do mancal elíptico
atenuar a resposta desbalanceada do rotor ao passar pela velocidade crítica. A Fig. 9 apresenta os valores de amplificação para o sistema apoiado em mancais elípticos com diferentes valores de pré-carga. A pré-carga zero representa o caso particular de mancal cilíndrico. São apresentadas duas curvas, relativas a dois intervalos diferentes de integração: 10s e 30s. As curvas da Fig.9 mostram que os mancais elípticos com pré-carga 0,45 apresentam uma menor amplificação (maior atenuação) da resposta desbalanceada do sistema na primeira velocidade crítica. Este comportamento é observado em ambos intervalos de integração 10s (linha tracejada) e 30s (linha contínua). A literatura técnica apresenta uma recomendação de aplicação de mancais elípticos com pré-carga de 0,5, por apresentar melhor estabilidade (Pinkus, 1956; Allaire e Flack, 1981).
Figura 9. Amplificação da resposta desbalanceada na primeira velocidade crítica para o rotor apoiado em mancais elípticos
CONCLUSÕES
O desenvolvimento tecnológico das máquinas rotativas requer procedimentos computacionais eficientes e precisos, capazes de analisar o comportamento de diferentes sistemas rotor-mancal, desde a fase de projeto. Os resultados apresentados neste artigo mostram que o procedimento de elementos finitos proposto é capaz de analisar eficientemente rotores horizontais apoiados em mancais hidrodinâmicos. Assim, pode-se gerar informações técnicas importantes que auxiliam técnicos, engenheiros e pesquisadores na análise e desenvolvimento de máquinas rotativas industriais.
Diferente da maioria dos trabalhos de pesquisa sobre o comportamento dinâmico de máquinas rotativas encontrados na literatura técnica, o procedimento de elementos finitos desenvolvido neste trabalho contempla um modelo detalhado, tanto do eixo rotativo quanto dos mancais hidrodinâmicos. O modelo do eixo é baseado na teoria de vigas de Timoshenko e o modelo dos mancais adota os oito coeficientes de força linearizados, não utilizando a teoria simplista de mancais curtos. Estes coeficientes podem ser calculados para mancais cilíndricos ou elípticos com qualquer valor de pré-carga, a várias condições operacionais.
A análise de rotores flexíveis apoiados em diferentes mancais hidrodinâmicos mostra que a pré-carga nos mancais tem uma forte influência na capacidade do mancal atenuar a resposta desbalanceada do rotor. Mesmo que a resposta desbalanceada máxima do rotor aumenta quando a pré-carga aumenta, vale destacar que é um valor de pré-carga em torno de 0,5, que corresponde à melhor capacidade de atenuação da resposta desbalanceada na velocidade crítica. Este resultado contribui para o melhor entendimento da influência da pré-carga na resposta desbalanceada de rotores flexíveis.
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