PROPAGAÇÃO DA ATITUDE DE SATÉLITES ARTIFICIAIS COM QUATÉRNIONS E TORQUE DEVIDO À FORÇA DE LORENTZ

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PROPAGAÇÃO DA ATITUDE DE SATÉLITES ARTIFICIAIS COM

QUATÉRNIONS

E TORQUE DEVIDO À FORÇA DE LORENTZ

RELATÓRIO FINAL DE PROJETO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA

(PIBIC/CNPq/INPE)

Pedro Raphael de Souza Pedroso Bento (UNESP, Bolsista PIBIC/CNPq)

Email: prdsouza@ymail.com

Dr. Valcir Orlando (CCS/INPE, Orientador)

E-mail: valcir@ccs.inpe.br

Profª. Dra. Maria Cecília F. P. S. Zanardi (DMA/UNESP, Co-orientadora)

E-mail: cecilia@feg.unesp.br

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Relatório corrigido e aprovado. ___________________________ Valcir Orlando Orientador ___________________________ Maria Cecília F. P. S. Zanardi Co-orientadora

___________________________ Pedro Raphael de Souza Pedroso Bento Orientado

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AGRADECIMENTOS

Ao CONSELHO NACIONAL DE PESQUISA E DESENVOLVIMENTO - CNPq

pelo apoio financeiro recebido através da Bolsa de Iniciação Científica junto ao Programa PIBIC do INPE.

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RESUMO

Os objetivos principais deste trabalho são apresentar um modelo para o torque devido à força de Lorentz (torque elétrico) atuante em satélites artificiais, verificar a sua influência no movimento rotacional de satélites artificiais e analisar seu comportamento mediante a variação de alguns de seus parâmetros chave. Muitas análises foram realizadas para avaliar os efeitos do torque devido à força de Lorentz e mostraram que em princípio este possui valor negligenciável em relação aos demais torques. Entretanto, a necessidade de alta precisão nos resultados de experimentos espaciais de certas missões requer um conhecimento claro do efeito eletrodinâmico conectado a tal torque. A carga elétrica do satélite é a grandeza essencial na determinação da magnitude do torque devido à força de Lorentz. A teoria aqui apresentada é importante para a análise da dinâmica de atitude de satélites artificiais. A influência do torque elétrico no movimento rotacional do satélite pode ser determinada pela integração numérica das equações deste movimento, após a substituição das expressões das componentes do torque elétrico expressas no sistema principal, nas equações de Euler. Neste trabalho o movimento rotacional é descrito pelas equações de Euler e pelas equações cinemáticas em termos de quatérnions. A partir dos resultados numéricos obtidos pretende-se verificar o comportamento global de tal torque para diversas configurações de distribuição de carga elétrica. A relação entre o torque elétrico e a altitude do satélite também é avaliada, já que para altitudes mais baixas o campo geomagnético é mais forte e, conseqüentemente, torna-se maior a interação entre ele e a carga elétrica inerente ao satélite artificial. Esta análise poderá ser útil para as missões de satélites brasileiros, principalmente no que se refere à propagação e controle de atitude de satélites.

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ATTITUDE PROPAGATION OF ARTIFICIAL SATELLITE WITH QUATERNIONS AND TORQUE DUE LORENTZ FORCE

ABSTRACT

The main objectives of this paper are to present a model to the torque due to Lorentz force (electrical torque) acting on artificial satellites, check its influence on the rotational motion of artificial satellites and analyze its behavior by varying some of its key parameters. Many tests were performed to evaluate the effects of the torque due to Lorentz force and showed that in principle this has negligible value in comparison with other torques. However, the need for precision in the results of space experiments on certain mission requires clear understanding of the electrodynamic effects connected to this torque. The electric charge of the satellite is the essential term in determining the magnitude of the torque due to Lorentz force. The theory presented here is important to analyze the attitude dynamics of artificial satellites. The influence of Torque Electric in rotational movement of the satellite can be determined by numerical integration of the equations of this movement, after replacement of the components of electric torque expressed in the main system in the Euler equations. In this study the rotational motion is described by Euler equations and the kinematic equations in terms of quatérnions. From the numerical results is intended to check the global behavior of torque for various configurations of distribution of electric charge. The relationship between electrical torque and altitude of the satellite is also evaluated, since for lower altitudes the geomagnetic field is stronger and therefore of the interaction between this and the electric charge inherent in the artificial satellite. This analysis may be useful for satellite missions Brazilians, especially with regard to prediction and attitude control of satellites.

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SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS...7

LISTA DE TABELAS...8

LISTA DE SÍMBOLOS...9

LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS...10

1 - INTRODUÇÃO...11

2 - DESENVOLVIMENTO...11

2.1 – Quatérnions...11

2.2 – Equações do Movimento Rotacional...12

2.3 – Torque devido à Força de Lorentz ou Torque elétrico...12

2.3.1 – Modelo Matemático para o Torque elétrico...13

2.3.2 – Componentes do Torque elétrico...13

3 – RESULTADOS...15

3.1 – Resultados para o Satélite SCD1 - Simulações com Atualização Diária dos Dados...15

3.1.1 – Resultados para Ascensão Reta, Declinação e Velocidade de Rotação...16

3.1.2 – Resultados para Magnitude do Torque Elétrico...23

3.2 – Resultados para o Satélite SCD1 - Simulações sem Atualização Diária dos Dados...29

3.3 – Resultados para o Satélite SCD2 - Simulações com Atualização Diária dos Dados...34

3.3.1 – Resultados para Ascensão Reta, Declinação e Velocidade de Rotação...34

3.3.2 – Resultados para Magnitude do Torque Elétrico...41

3.4 – Resultados para o Satélite SCD2 sem atualização diária dos dados...47

4 – CONCLUSÃO...50

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LISTA DE FIGURAS

1 - Comportamento temporal da Ascensão Reta para SCD1 – Configuração 10...18

2 - Comportamento temporal da Declinação para SCD1 – Configuração 10...18

3 - Comportamento temporal da Velocidade de Rotação para SCD1 – Configuração 10...18

4 - Comportamento temporal dos Desvios para SCD1 – Configuração 10...18

5 - Comportamento temporal da Ascensão Reta para SCD1 – Configuração 6...20

6 - Comportamento temporal da Declinação para SCD1 – Configuração 6...20

7 - Comportamento temporal da Velocidade de Rotação para SCD1 – Configuração 6...20

8 - Comportamento temporal dos Desvios para SCD1 – Configuração 6...20

9 - Comportamento temporal da Ascensão Reta para SCD1 ...21

10 - Comportamento temporal da Declinação para SCD1 ...21

11 - Comportamento temporal da Velocidade de Rotação para SCD1 ...22

12 - Comportamento temporal do Desvio da Ascensão Reta para SCD1 ...22

13 - Comportamento temporal do Desvio da Declinação para SCD1 ...22

14 - Comportamento temporal do Desvio da Velocidade de Rotação para SCD1 ...23

15 - Comportamento temporal da Magnitude do Torque Elétrico – Configuração 4...24

16 - Comportamento temporal da Magnitude do Torque Elétrico – Configuração 10...24

17 - Comportamento temporal da Magnitude do Torque Elétrico...26

18 - Evolução Magnitude do Torque Elétrico durante um dia – Dia 1 – Configuração 1...27

19 - Desvio do TE em Função da Altura...28

20 - Magnitude do TE em função da Carga Elétrica...28

21 - Resultados da Ascensão Reta para o SCD1 Sem Atualização Diária dos Dados...30

22 - Resultados da Declinação para o SCD1 sem Atualização Diária dos Dados...31

23 - Resultados da Velocidade de Rotação para o SCD1 sem Atualização Diária dos Dados...31

24 – Resultados da Ascensão Reta para o SCD1 sem Atualização Diária dos Dados...32

25 – Resultados da Declinação para o SCD1 sem Atualização Diária dos Dados...32

26 – Resultados da Velocidade de Rotação para o SCD1 sem Atualização Diária dos Dados...33

27 – Comportamento temporal da Ascensão Reta para SCD2 – Configuração 7...36

28 – Comportamento temporal da Declinação para SCD2 – Configuração 7...36

29 – Comportamento temporal da Velocidade de Rotação para SCD2 – Configuração 7...36

30 – Comportamento temporal dos Desvios para SCD2 – Configuração 7...36

31 – Comportamento temporal da Ascensão Reta para SCD2 – Configuração 3...38

32 – Comportamento temporal da Declinação para SCD2 – Configuração 3...38

33 – Comportamento temporal da Velocidade de Rotação para SCD2 – Configuração 3...38

34 – Comportamento temporal dos Desvios para SCD2 – Configuração 3...38

35 – Comportamento temporal da Ascensão Reta para SCD2...39

36 – Comportamento temporal da Declinação para SCD2...39

37 – Comportamento temporal da Velocidade de Rotação para SCD2 ...40

38 – Comportamento temporal dos Desvios da Ascensão Reta para SCD2...40

39 – Comportamento temporal dos Desvios da Declinação para SCD2...40

40 – Comportamento temporal dos Desvios da Velocidade de Rotação para SCD2 ...41

41 – Comportamento Temporal da Magnitude do Torque Elétrico...43

42 – Variação da Magnitude do TE em Função da Altura – Q = 1.1020_C...44

43 – Desvios em Função da Altura – Q = 1.1020_C...44

44 – Variação da Magnitude do TE em Função da Altitude – Q = 1.1020_C...45

45 – Desvios em Função da Altitude – Q = 1.1020_C...46

46 – Variação da Magnitude do TE em Função do Diâmetro – Q = 1.1020_C...46

47 – Desvios em Função do Diâmetro – Q = 1.1020_C...47

48 – Resultados da Ascensão Reta para o SCD2 sem Atualização Diária dos Dados...49

49 – Resultados da Declinação para o SCD2 sem Atualização Diária dos Dados...49

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LISTA DE TABELAS

1 - Configurações de Distribuição de Carga. ...16

2 - Resultados para SCD1 com Atualização Diária dos Dados – Configuração 10...19

4 - Magnitudes do Torque Elétrico – Configurações Quatro e Dez...23

5 - Magnitudes do Torque Elétrico – Configurações 1 a 10 (exceto configuração 5 e 6) – SCD1.25 6 - Evolução do TE durante o período de simulação Dia 1 – Configuração 1...26

7 - Variação da Magnitude do TE em função da Altura...27

8 - Variação da Magnitude do TE em função da Carga Elétrica...28

9 - Resultados para o SCD1 Sem Atualização Diária dos Dados - Configuração 4 – Dia 2 ...30

10 - Resultados para o SCD1 – Sem Atualização Diária dos Dados - Configuração 10 – Dia 8...32

11 - Configurações de Distribuição de Carga...34

14 - Magnitudes do Torque Elétrico – Configurações 1 a 9 – SCD2 ...42

15 - Variação da Magnitude do TE em função da Altura...43

16 - Variação da Magnitude do TE em função da Altitude...45

17 - Variação da Magnitude do TE em função do Diâmetro...46

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LISTA DE SÍMBOLOS

B

- campo magnético terrestre local

L F

- força de Lorentz

Ix, Iy e Iz - momentos principais de inércia do satélite

K , J , I

- vetores unitários do sistema Inercial ou Equatorial k

,j , i

- vetores unitários no Sistema do Satélite m

m m,jˆ ,kˆ

iˆ - vetores unitários do Sistema Magnético

l

- módulo do vetor do momento magnético do campo

terrestre

Mx, My e Mz - componentes dos torques externos atuantes no satélite no

sistema do satélite

M - soma dos momentos magnéticos individuais do satélite

L M

- torque elétrico

O - centro de massa do Satélite

O’ - centro de massa da Terra

O’xmymzm - Sistema Magnético

OXYZ - Sistema Equatorial

Oxyz - Sistema do Satélite

OZ - eixo de maior momento principal de inércia

O’XYZ - Sistema Inercial

p, q e r - componentes da velocidade de rotação no sistema do satélite

qi - quatérnion de atitude

Q - carga elétrica

T

R

- raio equatorial da Terra

r

- vetor posição do centro de massa do satélite ao centro de massa da Terra

V - velocidade de translação

W - módulo da velocidade de rotação

X, Y, Z - coordenadas de um vetor no sistema inercial

x, y, z - coordenadas de um vetor no sistema de eixos principais

α

- ascensão reta do eixo de rotação

δ

- declinação do eixo de rotação

m

kˆ

- vetor unitário que descreve a direção do momento geomagnético

β - inclinação do vetor de dipolo em relação ao eixo equatorial OZ

η - argumento do nodo ascendente do equador geomagnético

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LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS UNESP - Universidade Estadual Paulista

CRC - Centro de Rastreio e Controle

INPE _{- Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais} SCD1 - Primeiro Satélite de Coleta de Dados Brasileiro SCD2

@

- Segundo Satélite de Coleta de Dados Brasileiro TE _{- Torque Elétrico}

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1 INTRODUÇÃO

O objetivo deste projeto é realizar um estudo preliminar sobre a influência do torque devido à força de Lorentz (torque elétrico) no movimento rotacional de satélites artificiais através da integração numérica das equações dinâmicas em termos das componentes da velocidade de rotação e das equações cinemáticas, representadas em termos dos quatérnions de atitude (Shuster, 1993). Nestas simulações as componentes do torque elétrico são substituídas nas equações do movimento rotacional do satélite e estas são integradas de modo a obter o comportamento da evolução temporal das variáveis envolvidas.

As simulações numéricas permitem realizar previsões da evolução futura da atitude e da velocidade de rotação do satélite. Daí sua grande importância nas áreas científica e tecnológica, em que vem sendo utilizada largamente. Geralmente essas aplicações envolvem equações diferenciais de grande complexidade, que muitas vezes são impossíveis de serem resolvidas analiticamente, tornando indispensável o uso de um método de integração numérica.

Neste trabalho o sistema diferencial a ser integrado é não-linear de primeira ordem com sete equações e sete incógnitas e para tanto é utilizado o método numérico de Runge-Kutta de oitava ordem. O uso de ordem elevada garante uma maior precisão para o processo de integração. As aplicações são realizadas para os satélites brasileiros de coleta de dados ambientais SCD1 e SCD2, e os resultados são apresentados em termos dos ângulos de ascensão reta ( α ) e declinação ( δ ) do eixo de rotação e da magnitude da velocidade de rotação (W).

2 DESENVOLVIMENTO

As equações do movimento rotacional do satélite integradas neste projeto são dadas através dos quatérnions de atitude, como dito anteriormente. Estes conceitos são apresentados a seguir. 2.1 Quatérnions

Se φ é o ângulo de rotação e t

1 2 3

ˆn (n n n )= é o vetor unitário ao longo do eixo de rotação, com t indicando a transposta da matriz, o quatérnion de rotação é um vetor (4x1) definido por (Wertz, 1978; Pisacane e Moore, 1994; Zanardi, 2005):

t

(

)

t

4 1 2 3 4

q = (q q ) = q q q q ₍₁₎

onde t

1 2 3

q (q q q )= representa a parte vetorial do quatérnion e q4 a parte escalar, sendo:

) 2 cos( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 4 3 3 2 2 1 1 φ φ φ φ = = = = q sen n q sen n q sen n q (2)

Várias propriedades do quatérnion encontram-se em Shuster (1993), dentre as quais destaca-se que o Módulo do quatérnion é igual à unidade, ou destaca-seja:

1 q q q

(12)

2.2 Equações do Movimento Rotacional

As equações do movimento rotacional são dadas pelas equações dinâmicas e cinemáticas apresentadas a seguir.

Equações Dinâmicas

As equações dinâmicas do movimento rotacional de satélites artificiais descritas no Sistema do Satélite (Oxyz), são dadas por (Zanardi, 2005):

q p I I M r I r p I I M q I r q I I M p I y x z z x z y y z y x x ) ( ) ( ) ( − + = − + = − + = (4)

onde Ix, Iy e Iz são os momentos principais de inércia do satélite; p, q e r são as componentes da

velocidade de rotação no sistema do satélite (com eixos paralelos aos eixos principais de inércia do satélite); Mx, My, Mz são componentes dos torques externos no sistema do satélite.

Equações Cinemáticas

As taxas de variação de cada componente do quatérnion são dadas pelas equações cinemáticas (Zanardi, 2005): ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 3 2 1 4 1 2 4 3 3 1 4 2 2 3 4 1 q r q q q p q q q q p q r q q p q r q q q q r q q q p q ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ = • • • • (5)

2.3 Torque devido à Força de Lorentz ou Torque Elétrico

Muitas análises já foram realizadas para avaliar os efeitos da força de Lorentz e mostraram que em princípio esta força possui um valor negligenciável em comparação com as demais forças externas (Sehnal, 1969). Entretanto, a necessidade de uma alta precisão nos resultados de experimentos em algumas missões espaciais requer um conhecimento claro do efeito eletrodinâmico devido à força de Lorentz no movimento rotacional do veículo espacial. Esse efeito será estudado com detalhes neste projeto. A carga elétrica do satélite é a grandeza mais importante na determinação da magnitude do efeito da força de Lorentz. A superfície do satélite é carregada com um potencial negativo e em primeira aproximação comporta-se como um capacitor esférico para a vizinhança ao redor. Deve se levar também em consideração a importância da missão e a configuração do satélite.

A imposição de grandes potenciais no satélite aumenta a contaminação da superfície do satélite, a qual degrada suas propriedades térmicas. O aumento do potencial ainda pode produzir uma diferença de potencial na superfície do satélite ou entre a superfície do satélite e o interior do mesmo acima do limite de ruptura. Quando este limite é excedido, uma descarga eletrostática pode ocorrer e o veículo espacial pode oscilar ou cambalear (Purvis et al., 1984).

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2.3.1 Modelo Matemático para o Torque Elétrico

O modelo para o torque devido à força de Lorentz depende da velocidade de rotação do satélite, da velocidade de rotação diurna do campo geomagnético e da Terra e de características físicas e de inércia da blindagem de proteção, que define a carga elétrica do satélite. Neste projeto é considerado que a carga elétrica do satélite é constante e que o campo geomagnético é descrito pelo modelo de vetor de dipolo.

A força de Lorentz é dada por (Sehnal, 1969):

F_L =QV B× (6) sendo Q a carga elétrica do satélite, V

a velocidade do satélite em órbita e B B = βˆ é o campo magnético da Terra, cuja direção ˆβ é definida pelo modelo de vetor de dipolo.

O modelo a ser utilizado neste projeto para o torque devido à força de Lorentz é o mesmo utilizado por Abdel-Aziz (2007) e dado por ( Beletskii e Khentov, 1985):

ML =W× β +S wg ×βS

(7) sendo: W a velocidade de rotação do satélite; w_g vetor velocidade de rotação diurna do campo

geomagnético junto com a Terra , cuja direção é também dada pelo versor ˆβ , e β = βS Sˆ

(8) com S sendo a matriz de uma manta cilíndrica carregada, dada por (Beletskii e Khentov, 1985):

          = 2 2 2 4 0 0 0 4 0 0 0 4 Dh Dd Dd S (9) onde D = ₃ '

4rQB , com B sendo a magnitude do campo geomagnético, 'r a distância geocêntrica do satélite, d e h o diâmetro e o comprimento da manta cilíndrica carregada que envolve o satélite, onde idealmente a carga é depositada uniformemente.

Uma vez determinadas as componentes do torque devido à força de Lorentz ML

, a partir de (7), no sistema do satélite, tais componentes são substituídas nas equações dinâmicas (4) e essas equações são integradas para se determinar a influência do torque elétrico e compará-la com as influências dos outros torques.

2.3.2 Componentes do Torque elétrico

Nas equações do movimento rotacional são necessárias as componentes do torque elétrico no sistema do satélite: k M j M i M M_L = _L₁ˆ+ _L₂ˆ+ _L₃ˆ (10)

Para a determinação das componentes do torque elétrico parte-se de (7), com:

t

1 2 3

ˆ ₍ ₎

β = β β β - dado no sistema equatorial.

t

g g 1 2 3

w = w (β β β ) - dado no sistema equatorial. W = (p q r)t - dado no sistema principal do satélite.

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As componentes do vetor ˆβ no sistema principal do satélite foram determinadas no projeto anterior do bolsista (Bento, 2009), utilizando a matriz de rotação envolvendo quatérnions, sendo dadas por: = P 1 β (q₁2 −q₂2−q₃2 +q₄2)β₁+2(q₁q₂ +q₄q₃)β₂+2(q₁q₃−q₄q₂)β₃ (11) 3 3 4 3 1 2 2 4 2 3 2 2 2 1 1 3 4 2 1 2 2( )β ( )β 2( )β β _P = qq −q q + −q +q −q +q + qq +q q (12) 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 3 4 3 1 1 2 4 3 1 3 2( )β 2( )β ( )β β _P = qq +q q + qq −q q + −q −q +q +q (13) Do mesmo modo, as componentes do torque elétrico foram determinadas do projeto anterior do bolsista, e são apresentadas como (Bento, 2009):

( ) 2 ₂ ( ₃ ) 2 3 2 1L Dh P q wg P Dd P r wg P M = β + β − β + β (14) ( ) 2 ₃ ( ₁ ) 3 1 2 2L Dd P r wg P Dh P p wg P M = β + β − β + β (15) ( 2 1 ) 2 3L Dd p P q P M = β − β (16) 3 RESULTADOS

A partir dos resultados apresentados neste trabalho pretende-se determinar o comportamento do torque elétrico e de seu efeito sobre o movimento rotacional de satélites artificiais de acordo com a configuração de distribuição e intensidade de carga elétrica no satélite. Serão verificadas também a relação de tal torque com a altitude do satélite.

Os resultados a seguir representam as simulações executadas a cada variação nos parâmetros das componentes do torque elétrico aos quais tem-se acesso. O integrador simula a ação do torque sobre o movimento rotacional do satélite por um período de 17 dias para o Satélite de Coleta de Dados Brasileiro 1 - SCD1 – e 16 dias para o Satélite de Coleta de Dados Brasileiro 2 – SCD2.

São realizadas também algumas simulações numéricas para um dos três satélites da série PEGASUS, o PEGASUS A, com intuito de se analisar o efeito do TE em um satélite de maiores dimensões.

O conjunto de simulações tem o propósito de comparar os desvios causados pelo torque a partir da variação da carga elétrica do satélite, da altura e diâmetro da casca cilíndrica - onde idealmente esta carga está depositada -, na ascensão reta, declinação e velocidade de rotação.

A análise dos resultados é feita através da comparação dos resultados da propagação com os dados reais do satélite fornecidos pelo CRC/INPE. Neste processo utiliza-se a média dos erros de propagação, pois no caso da propagação sem atualização dos dados, ela é utilizada como parâmetro para determinar o intervalo de validade da abordagem realizada. Este intervalo está associado ao período de simulação em que as precisões se mantêm menores que 0,1 rpm para a velocidade de rotação e que 0,5º para a média do erro em ascensão e declinação do eixo de rotação, valores estes que satisfazem aos requisitos operacionais do CCS/INPE para as missões dos satélites SCD1 e SCD2

(15)

3.1 Resultados para o Satélite SCD1 - Simulações com Atualização Diária dos Dados

Para tais simulações, a cada período de 24 horas de integração, os dados são atualizados com os valores reais fornecidos pelo CRC/INPE.

Os resultados estão apresentados em forma de tabelas e gráficos. As tabelas apresentam os valores reais fornecidos pelo CRC/INPE e os resultados obtidos nas simulações a cada 24 horas para a ascensão reta (α) e declinação (δ) do eixo de rotação do satélite e velocidade de rotação do satélite (W), indicando também os desvios entre estes dois valores.

A Tabela 1 abaixo representa as diversas configurações de carga e altura da casca cilíndrica carregada, utilizadas nas simulações.

Tabela 1 – Configurações de Distribuição de Carga Configuração Carga Q [C] Altura h [m]

1 1,00 0,01 2 1,00 0,10 3 1,00 0,50 4 1,00 1,00 5 1,00 1,50 6 1,00 2,00 7 1,00E-3 1,00 8 1,00E-6 1,00 9 1,00E-9 1,00 10 1,00E-12 1,00

Para cada uma dessas combinações de parâmetros, mantendo-se o diâmetro da casca cilíndrica em d = 1,00 m, realizam-se as simulações para um período de 17 dias.

A partir do modelo obtido para o TE, a configuração 10 deve ser aquela a apresentar menores intensidades de torque enquanto que a configuração 6 apresentará as maiores magnitudes. São então apresentados, antes dos demais resultados, os resultados para estes dois casos em particular.

3.1.1 Resultados para Ascensão Reta, Declinação e Velocidade de Rotação

Para a configuração 10 os resultados estão apresentados na Tabela 2, em conjunto com as Figuras 1 a 3. As Figuras e Tabelas apresentam os comportamentos temporais dos ângulos de ascensão reta e declinação do eixo de rotação do satélite e da magnitude da velocidade de rotação. Na Figura 4 apresenta-se a curva de evolução do desvio entre os valores reais e valores obtidos a partir das simulações para as s variáveis citadas.

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Tabela 2 – Resultados para SCD1 com Atualização Diária dos Dados – Configuração 10

Valores Reais Valores Simulados

Dias Ascensão Reta [º] Declinação [º] Rotação [rpm] Velocidade de Dias Ascensão Reta [º] Declinação [º] Rotação [rpm] Velocidade de Torque Elétrico [10-39_{N.m ]}

17/08/93 280,09 81,1 87,06 17/08/93 280,09 81,1 87,06 - 18/08/93 281,01 80,82 86,88 18/08/93 280,0900035579790 81,0999984741232 87,0599975585938 15,4114519368247 19/08/93 281,74 80,53 86,71 19/08/93 281,0100197835390 80,8199996948195 86,8799972534179 24,0982479124544 20/08/93 282,24 80,23 86,54 20/08/93 281,7400002522880 80,5299987792935 86,7099990844727 22,6733241380993 21/08/93 282,57 79,93 86,37 21/08/93 282,2400002522870 80,2300033569358 86,5400009155273 2,59792859266406 22/08/93 282,7 79,64 86,21 22/08/93 282,5700173421400 79,9300003051736 86,3700027465820 24,8824398532910 23/08/93 282,67 79,35 86,04 23/08/93 282,7000222249530 79,6399993896469 86,2099990844727 26,8298766300675 24/08/93 283,5 79,22 85,88 24/08/93 282,6700234456470 79,3499984741222 86,0400009155273 12,6729831376011 25/08/93 283,01 78,95 85,8 25/08/93 283,5000100179090 79,2200012207058 85,8799972534180 2,34160289359711 26/08/93 282,43 78,7 85,73 26/08/93 283,0100197835310 78,9499969482433 85,8000030517578 25,9985856264757 27/08/93 281,01 78,7 85,58 27/08/93 282,4300026936900 78,6999969482455 85,7300033569335 5,43534747641020 28/08/93 281,01 78,27 85,58 28/08/93 281,0100197835250 78,6999969482400 85,5800018310547 11,1095991838403 29/08/93 280,18 78,08 85,51 29/08/93 281,0100197835940 78,2699966430629 85,5800018310547 10,1468178155319 30/08/93 279,29 77,91 85,44 30/08/93 280,1800026936950 78,0800018310600 85,5100021362305 16,8669093185624 31/08/93 278,34 77,78 85,37 31/08/93 279,2900185628330 77,9100036621076 85,4400024414063 22,7581812769466 01/09/93 277,36 77,67 85,31 01/09/93 278,3400063557990 77,7799987792952 85,3700027465820 1,57667857533041 02/09/93 276,34 77,58 85,24 02/09/93 277,3599953694790 77,6699981689464 85,3099975585938 9,53467516829361 03/09/93 276,3400063557960 77,5800018310550 85,2399978637695 22,5640476049991

(17)

Figura 1 – Comportamento temporal da Figura 2 – Comportamento temporal da Ascensão Reta para SCD1 – Configuração 10 Declinação para SCD1 – Configuração 10

Velocidade 85,2 85,4 85,6 85,8 86 86,2 86,4 86,6 86,8 87 87,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Dias Módulo ( rpm) Entrada Saída Desvios -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Dias Deltas Ascenção Reta Declinação Velocidade

Figura 3 – Comportamento temporal da Figura 4 – Comportamento temporal dos Velocidade de Rotação para SCD1 – Configuração 10 Desvios para SCD1 – Configuração 10

A média e desvio padrão dos desvios para ascensão reta, declinação e velocidade de rotação foram, respectivamente, ∆

α

=(0,234386369 ± 0,75468081) º, ∆

δ

= (0,219999352 ± 0,10819749)º e ∆W = (0,11375061 ± 0,057255979) rpm.

É importante ressaltar que apesar de haver uma linha conectando os pontos nos gráficos representados, tais dados são gerados ao final de cada simulação de 24 horas, sendo assim discretos. Pode haver valores intermediários entre um dia que não são representados.

Para a configuração 6 os resultados estão apresentados na Tabela 3, em conjunto com as Figuras 5 a 7. As Figuras e Tabelas apresentam os comportamentos temporais dos ângulos de ascensão reta e declinação do eixo de rotação do satélite e da magnitude da velocidade de rotação. Na Figura 8 apresenta-se a curva de evolução do desvio entre os valores reais e valores obtidos a partir das simulações para as s variáveis citadas.

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Dias Ascensão Reta [º] Declinação [º] Velocidade de Rotação [rpm] Dias Ascensão Reta [º] Declinação [º] Velocidade de Rotação [rpm] Torque Elétrico [10-39 N.m ] 17/08/93 280,09 81,1 87,06 17/08/93 280,09 81,1 87,06 - 18/08/93 281,01 80,82 86,88 18/08/93 280,0900035579790 81,0999984741232 87,0599975585938 15,4114519368247 19/08/93 281,74 80,53 86,71 19/08/93 281,0100197835390 80,8199996948195 86,8799972534179 24,0982479124544 20/08/93 282,24 80,23 86,54 20/08/93 281,7400002522880 80,5299987792935 86,7099990844727 22,6733241380993 21/08/93 282,57 79,93 86,37 21/08/93 282,2400002522870 80,2300033569358 86,5400009155273 2,59792859266406 22/08/93 282,7 79,64 86,21 22/08/93 282,5700173421400 79,9300003051736 86,3700027465820 24,8824398532910 23/08/93 282,67 79,35 86,04 23/08/93 282,7000222249530 79,6399993896469 86,2099990844727 26,8298766300675 24/08/93 283,5 79,22 85,88 24/08/93 282,6700234456470 79,3499984741222 86,0400009155273 12,6729831376011 25/08/93 283,01 78,95 85,8 25/08/93 283,5000100179090 79,2200012207058 85,8799972534180 2,34160289359711 26/08/93 282,43 78,7 85,73 26/08/93 283,0100197835310 78,9499969482433 85,8000030517578 25,9985856264757 27/08/93 281,01 78,7 85,58 27/08/93 282,4300026936900 78,6999969482455 85,7300033569335 5,43534747641020 28/08/93 281,01 78,27 85,58 28/08/93 281,0100197835250 78,6999969482400 85,5800018310547 11,1095991838403 29/08/93 280,18 78,08 85,51 29/08/93 281,0100197835940 78,2699966430629 85,5800018310547 10,1468178155319 30/08/93 279,29 77,91 85,44 30/08/93 280,1800026936950 78,0800018310600 85,5100021362305 16,8669093185624 31/08/93 278,34 77,78 85,37 31/08/93 279,2900185628330 77,9100036621076 85,4400024414063 22,7581812769466 01/09/93 277,36 77,67 85,31 01/09/93 278,3400063557990 77,7799987792952 85,3700027465820 1,57667857533041 02/09/93 276,34 77,58 85,24 02/09/93 277,3599953694790 77,6699981689464 85,3099975585938 9,53467516829361 03/09/93 276,3400063557960 77,5800018310550 85,2399978637695 22,5640476049991

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Velocidade de Rotação 85,2 85,4 85,6 85,8 86 86,2 86,4 86,6 86,8 87 87,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Dias Módulo (rpm) Valores Iniciais Valores Finais Desvios -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Dias Deltas Ascenção Reta Declinação Velocidade

α

= (0,234386544 ± 0,73292419)º, ∆

δ

= (0,219999352 ± 0,11756730)º e ∆W = (0,113750610 ± 0,06192323) rpm.

Observa-se que os desvios para a configuração 6 – com maior intensidade de torque - foram praticamente os mesmos apresentados para a configuração 10, onde o TE apresentou sua menor magnitude.

Tal resultado é esperado e se deve ao fato da baixa magnitude do torque. Para a configuração 10 a intensidade média do TE foi ET = (1,514698218 ± 0,89464203).10-38 N.m ,

enquanto que para a configuração 6 foi ET = (1,514698226 ± 0,89464204).10-26 N.m.

Observa-se que mesmo para uma variação da ordem 1012 na magnitude do TE, causada principalmente pela variação na ordem de grandeza da carga elétrica, a ordem de grandeza do TE é ainda muito pequena. Fica também evidente que os valores obtidos nas médias dos torques,

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desconsiderando-se as ordens de grandeza são bastante similares, evidenciando, portanto, que a altura – que variou em 100% – não provoca um desvio tão significativo neste quanto a variação da carga elétrica – que provocou no TE uma variação praticamente linear na intensidade do TE. Tal comportamento ficará mais evidente a partir de outros resultados descritos neste relatório.

Os resultados com os comportamentos temporais dos ângulos de ascensão reta, declinação, do módulo da velocidade de rotação do satélite e dos desvios entre os valores simulados e os valores reais, para as diferentes configurações descritas mostram-se bastante análogos, pelos motivos apresentados anteriormente. Estes são apresentados em conjunto nas Figuras 9 a 14.

Figura 9 – Comportamento temporal da Ascensão Reta para SCD1

Figura 10 – Comportamento temporal da Declinação para SCD1

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Figura 11 – Comportamento temporal da Velocidade de Rotalção para SCD1

Figura 12 – Comportamento temporal do Desvio da Ascensão Reta para SCD1

(22)

Desvios: Velocidade de Rotação 0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Dias Deltas (rpm ) _{Configuração 1} Configuração 2 Configuração 3 Configuração 4 Configuração 5 Configuração 6 Configuração 7 Configuração 8 Configuração 9 Configuração 10

Figura 14 – Comportamento temporal do Desvio da Velocidade de Rotação para SCD1

Através das curvas representadas nos gráficos fica evidente que apesar das variações na intensidade do torque, esta se mantém ainda muito baixa, não causando assim variações significativas entre uma configuração e outra.

Como a intensidade do torque é baixa, os desvios nada mais representam que a diferença nos valores das variáveis entre um dia e o dia seguinte, já que a ação de tal torque não provoca variações significativas nas variáveis monitoradas.

3.1.2 Resultados para Magnitude do Torque Elétrico

O resultado das simulações apresentado a seguir tem o intuito de se obter o comportamento temporal da magnitude do TE. A Tabela 4 em conjunto com as Figuras 15 e 16 representa tais resultados para as configurações 4 e 10.

Tabela 4 – Magnitudes do Torque Elétrico – Configurações Quatro e Dez Dia TE – Configuração 4 - [10-27 N.m ] TE – Configuração 10 - [10-39 N.m ]

17/08/93 - - 18/08/93 15,4114519998406 15,4114519368247 19/08/93 24,0982480087463 24,0982479124544 20/08/93 22,6733242286974 22,6733241380993 21/08/93 2,59792860304487 2,59792859266406 22/08/93 24,8824399527163 24,8824398532910 23/08/93 26,8298767372744 26,8298766300675 24/08/93 12,6729831882398 12,6729831376011 25/08/93 2,34160290295369 2,34160289359711 26/08/93 25,9985857303609 25,9985856264757 27/08/93 5,43534749812878 5,43534747641020 28/08/93 11,1095992282320 11,1095991838403 29/08/93 10,1468178560766 10,1468178155319 30/08/93 16,8669096145485 16,8669093185624 31/08/93 22,7581813678838 22,7581812769466 01/09/93 1,57667858163051 1,57667857533041 02/09/93 9,53467520498309 9,53467516829361

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Magnitude Torque Elétrico 0 5E-39 1E-38 1,5E-38 2E-38 2,5E-38 3E-38 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Dias T o rq u e [ N .m ] Torque Elétrico Média

Magnitude Torque Elétrico

0 5E-27 1E-26 1,5E-26 2E-26 2,5E-26 3E-26 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Dias T o rq u e [ N .m ] Torque Elétrica Media

Figura 15 – Comportamento temporal da Figura 16 – Comportamento temporal da Magnitude do Torque Elétrico – Configuração 4 Magnitude do Torque Elétrico – Configuração 10

Através destes gráficos é possível observar que a intensidade do torque varia de forma semelhante com o passar dos dias isto é, os valores obtidos para o TE desconsiderando-se a ordem de grandeza são bastante similares. Tal fato evidencia a dependência do TE dos elementos orbitais do satélite e de sua atitude – descrita pela ascensão reta, declinação e velocidade de rotação – além, é claro, dos parâmetros do próprio torque. Observa-se também, a partir dos gráficos acima, a linearidade existente entre a intensidade do TE e a carga elétrica depositada no satélite.

São plotadas as curvas com o comportamento temporal da magnitude do TE para as demais configurações de distribuição de carga. A Tabela 5 abaixo apresenta os valores da magnitude do TE para as diversas configurações de distribuição de carga elétrica, e estas são representadas graficamente na Figura 17.

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Tabela 5 – Magnitudes do Torque Elétrico – Configurações 1 a 10 (exceto configuração 5 e 6) – SCD1

Dia

TE Configuração 1

[10-27_{N .m]} TE Configuração 2 _[10-27_{N .m]} TE Configuração 3 _[10-27_{N.m ]} TE Configuração 4 _[10-27_{N.m ]} TE Configuração 7 _[10-30_{N.m ]} TE Configuração 8 _[10-33_{N.m ]} TE Configuração 9 _[10-36_N.m] TE Configuração 10 _[10-39_N.m]

17/8/93 15,4114519973890 15,4114519973891 15,4114519974526 15,4114519998406 15,4114527304105 15,4114519594957 15,4114515625402 15,4114519368247 18/8/93 24,0982480085338 24,0982480085339 24,0982480085471 24,0982480087463 24,0982491533516 24,0982479479041 24,0982473272013 24,0982479124544 19/8/93 22,6733242283838 22,6733242283838 22,6733242284034 22,6733242286974 22,6733253056226 22,6733241714528 22,6733235874520 22,6733241380993 20/8/93 2,59792859430078 2,59792859430166 2,59792859484729 2,59792860304487 2,59792872643985 2,59792859648573 2,59792852957043 2,59792859266406 21/8/93 24,8824399525772 24,8824399525772 24,8824399525859 24,8824399527163 24,8824411345688 24,8824398898942 24,8824392489928 24,8824398532910 22/8/93 26,8298767372743 26,8298767372743 26,8298767372743 26,8298767372744 26,8298780116251 26,8298766695354 26,8298759784736 26,8298766300675E 23/8/93 12,6729831868826 12,6729831868828 12,6729831869674 12,6729831882398 12,6729837901742 12,6729831562436 12,6729828298234 12,6729831376011 24/8/93 2,34160289333412 2,34160289333508 2,34160289393534 2,34160290295369 2,34160301417386 2,34160289704171 2,34160283672864 2,34160289359711 25/8/93 25,9985857303320 25,9985857303320 25,9985857303340 25,9985857303609 25,9985869652274 25,9985856647208 2,59985849950707 25,9985856264757 26/8/93 5,43534749433569 5,43534749433607 5,43534749457276 5,43534749812878 5,43534775629393 5,43534748440585 5,43534775629393 5,43534747641020 27/8/93 11,1095992267348 11,1095992267349 11,1095992268283 11,1095992282320 11,1095997559097 11,1095992001830 1,11095997559097 11,1095991838403 28/8/93 10,1468178544049 10,1468178544051 10,1468178545094 10,1468178560766 10,1468183380245 10,1468178304583 1,01468175691049 10,1468178155319 29/8/93 16,8669096139307 16,8669096139307 16,8669096139693 16,8669096145485 16,8669104156837 16,8669095719636 1,68669091375197 16,8669093185624 30/8/93 22,7581813677894 22,7581813677894 22,7581813677953 22,7581813678838 22,7581824488394 22,7581813104249 227581807242385 22,7581812769466 31/8/93 1,57667857024616 1,57667857024730 1,57667857095768 1,57667858163051 1,57667865651872 1,57667857764978 1,57667853703899 1,57667857533041 1/9/93 9,53467520488914 9,53467520488929 9,53467520498309 9,53467520498309 9,53467565926506 9,53467518231955 9,53467493673326 9,53467516829361 2/9/93 22,5640476951605 22,5640476951605 22,5640476951605 22,5640476951605 22,5640487668953 22,5640476381918 22,5640487668953 22,5640476049991 MÉDIA 15,1469822562646 15,1469822562649 15,1469822564190 15,1469822587364 15,1469829781779 15,1469822204924 15,1469820046816 15,1469821847641

(25)

Magnitude do Torque Elétrico

1E-39 1E-38 1E-37 1E-36 1E-35 1E-34 1E-33 1E-32 1E-31 1E-30 1E-29 1E-28 1E-27 1E-26 1E-25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Dias T o rq u e [ N .m ] Configuração 1 Configuração 2 Configuração 3 Configuração 4 Configuração 7 Configuração 8 Configuração 9 Configuração 10

Figura 17 – Comportamento Temporal da Magnitude do Torque Elétrico

Mais uma vez pode ser observado como as variações no TE seguem uma espécie de curva padrão, independente de sua ordem de grandeza, com o passar dos dias. Para tais simulações não foram inclusas as configurações cinco e seis já que outras variações na altura (acima de 1,0 m) não causariam efeitos visíveis no gráfico.

É importante ressaltar que os valores apresentados na Tabela 5 correspondem aos valores lidos ao final do período de simulação, o que não significa que a magnitude do TE não assuma valores acima destes durante o período de simulação (o dia em questão). Com o propósito de apresentar tal fato algumas simulações com período de propagação inferior a 24 horas foram realizadas. Os resultados são apresentados na Tabela 6 abaixo e plotados na Figura 18.

Os dados para a simulação são do primeiro e a configuração utilizada é a de número 1.

Tabela 6 – Evolução do TE durante o período de simulação Dia 1 – Configuração 1

T [segundos] T [horas] TE Configuração 1

[10-27_{N .m]} 1 0,000278 18,9628423496001 10 0,002778 21,1767109463982 100 0,027778 15,8310467916944 500 0,138889 50,1644546577592 1000 0,277778 85,5564267251680 5000 1,388889 7,0227340059989 10000 2,777778 2,4126874322316 20000 5,555556 41,6889038988232 30000 8,333333 3,4216678919788 40000 11,11111 99,0392271687816 50000 13,88889 77,5554514594497 60000 16,66667 47,1495572715869 70000 19,44444 77,0823590071946 86400 24 15,4114519973890 MÉDIA 40,1768229717182

(26)

Magnitude do Torque Elétrico 0,0E+00 2,0E-26 4,0E-26 6,0E-26 8,0E-26 1,0E-25 1 100 ₁₀00 1000 0 3000 0 5000 0 7000 0 Segundos T o rq u e [ N .m ] Torque Elétrico Média Valor do TE ao final do dia

Figura 18 – Evolução Magnitude do Torque Elétrico durante um dia Dia 1 – Configuração 1

Através destes resultados observa-se que o TE pode assumir valores algumas quase dez vezes maiores que aqueles apresentados ao final do período de simulação.

Para a verificar a correlação entre a magnitude do TE e parâmetros como a carga elétrica do satélite e a altura da manta cilíndrica carregada que recobre o satélite, foram levantadas algumas curvas geradas a partir dos valores médios do TE para cada simulação. Primeiro determina-se a médias das médias da magnitude do torque elétrico de todas as configurações de distribuição de carga elétrica e então, analisa-se o desvio entre esta e a média das configurações de 1 a 4, nas quais a altura h varia de h = 0,01 m até h = 1,0m.

Os resultados são apresentados através da Tabela 7 e da Figura 19 abaixo. Todas as simulações são realizadas com os dados do primeiro dia.

Tabela 7 – Variação da Magnitude do TE em função da Altura Altura

[m]

Média do TE – Dia 1 [10-27 N.m]

Média das Médias [10-27 N.m] Desvios [10-37 N.m] 0,01 15,14698225626460 15,14698225692120 -6,5659 0,1 15,14698225626490 - -6,5634 0,5 15,14698225641900 - -5,0219 1 15,14698225873640 - 18,1513

(27)

Desvio do Torque Elétrico x Altura -10,0 -5,0 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 0,01 0,1 0,5 1 Altura D e s v io s 1 E -3 7 N .m

Figura 19 – Desvio do TE em Função da Altura

A partir do gráfico acima nota-se que não há linearidade entre a altura e a magnitude do TE. Conforme é apresentado no gráfico tal correlação aproxima-se muito mais de uma exponencial.

Agora analisa-se a média das magnitude do TE para as configurações 4, 7, 8, 9 e 10. Em todas estas configurações tem-se h = 1,00m e a carga Q varia de Q = 1,00 C até Q = 1,00 pC.

Os resultados são apresentados através da Tabela 7 e da Figura 19 abaixo. Todas as simulações são realizadas com os dados do primeiro dia.

Tabela 8 – Variação da Magnitude do TE em função da Carga Elétrica Carga [C] Médias do TE [N.m] 1,00 1,514698225873640.10-26 1,00.10-03 1,514698297817790.10-29 1,00.10-06 1,514698222049240.10-32 1,00.10-09 1,514698200468160.10-35 1,00.10-12 1,514698218476410.10-38

Torque Elétrico x Carga Elétrica

1,0E-39 1,0E-36 1,0E-33 1,0E-30 1,0E-27

1,0E+00 1,0E-03 1,0E-06 1,0E-09 1,0E-12

Carga Elétrica T o rq u e E lé tr ic o

(28)

Através do gráfico acima observa-se uma linearidade praticamente perfeita entre a carga elétrica e a magnitude do TE, confirmando assim que a carga elétrica é realmente o parâmetro dominante para o TE.

3.2 Resultados para o Satélite SCD1 - Simulações sem Atualização Diária dos Dados

São apresentadas agora as simulações para o satélite SCD1, sem a atualização diária dos dados, sob a ação do TE.

Estas simulações são realizadas com intuito de averiguar por quantos dias o modelo desenvolvido para o TE consegue, sozinho, ser fidedigno aos valores reais, considerando-se a margem de erro aceita pelo CRC/INPS.

Iniciando-se a partir do segundo dia, escolhido aleatoriamente, para a configuração 4, realizam-se as simulações sem atualização diária dos dados. Esta configuração foi escolhida por apresentar um valor de TE relativamente alto sem que a altura h ultrapasse a altura do satélite.

Os resultados obtidos para a ascensão reta, declinação e velocidade de rotação são apresentados na Tabela 9 abaixo em conjunto com as Figuras 21 a 23, bem como a magnitude do torque ao final de cada período de simulação e os desvio em relação aos valores reais.

(29)

29

Tabela 9 – Resultados para o SCD1 Sem Atualização Diária dos Dados - Configuração 4 – Dia 2

Figura 21 – Resultados da Ascensão Reta para o SCD1 Sem Atualização Diária dos Dados

Valores Simulados Média dos Desvios

Dias Ascensão Reta [º] Declinação [º] Velocidade de Rotação [rpm] TE Configuração 4 Dia 2 [10-26 N.m] Ascensão Reta [º] Declinação [º] Velocidade de Rotação [rpm] 2 281,01 80,82 86,88 - 0 0 0 3 281,0100197835350 80,8199996948238 86,8799972534180 2,4098248008746 0,24500501 0,13500061 0,03999863 4 281,0100197835250 80,8199996948229 86,8799972534180 3,7172604524933 0,52000668 0,26333415 0,07666484 5 281,0100197835200 80,8199996948278 86,8799972534180 5,4737114233954 1,01250751 0,32750092 0,13249794 6 281,0100197835270 80,8199996948280 86,8799972534180 7,5855231480570 1,30800801 0,45200098 0,16599780

(30)

Figura 22 – Resultados da Declinação para o SCD1 sem Atualização Diária dos Dados Velocidade de Rotação 86 86,25 86,5 86,75 87 1 2 3 4 5 Dias

Módulo [rpm] Valores Simulados

Valores Reais

Figura 23 – Resultados da Velocidade de Rotação para o SCD1 sem Atualização Diária dos Dados Ainda com o mesmo propósito das simulações anteriores repete-se o processo, porém iniciando as simulações desta vez do oitavo dia e com um valor de carga mais baixo.

Então, para a configuração 10, os resultados da ascensão reta, declinação e velocidade de rotação são apresentados na Tabela 10 abaixo em conjunto com as Figuras 24 a 26, bem como a magnitude do torque ao final de cada período de simulação e os desvio em relação aos valores reais.

(31)

31

Tabela 10 – Resultados para o SCD1 – Sem Atualização Diária dos Dados - Configuração 10 – Dia 8

Figura 24 – Resultados da Ascensão Reta para o SCD1 Figura 25 – Resultados da Declinação para o SCD1

sem Atualização Diária dos Dados sem Atualização Diária dos Dados

Valores Simulados Média dos Desvios

Dias Ascensão Reta [º] Declinação [º] Velocidade de Rotação [rpm] TE Configuração 4 Dia 2 [10-39 N.m] Ascensão Reta [º] Declinação [º] Velocidade de Rotação [rpm] 8 283,5 79,22 85,88 - 0 0 0 9 283,5000100179150 79,2200012207011 85,8799972534179 2,34160289358919 0,00001002 0,00000122 -0,00000275 10 283,5000100178950 79,2200012207022 85,8799972534179 41,4650164301342 0,24501002 0,13500122 0,03999725 11 283,5000100179080 79,2200012207032 85,8799972534179 22,6046014789096 0,52001002 0,26333455 0,07666392 12 283,5000100179080 79,2200012207051 85,8799972534179 50,5140060559768 1,01251002 0,32750122 0,13249725

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Velocidade de Rotação 85,5 85,6 85,7 85,8 85,9 86 8 9 10 11 12 Dias

M ódulo (rpm) Valores Simulados

Valores Reais

Figura 26 – Resultados da Velocidade de Rotação para o SCD1 sem Atualização Diária dos Dados

Observa-se que o devido à baixa intensidade do torque, este afeta muito pouco o valor das variáveis observadas, fazendo com que o desvio entre os valores reais e simulados seja praticamente iguais a variação real de tal variável entre um dia e outro. Daí o grande aumento nos desvio em tão poucos dias, principalmente no segundo caso, iniciado no oitavo dia, em que há uma variação maior na ascensão reta ao decorrer dos dias.

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3.3 Resultados para o Satélite SCD2 - Simulações com Atualização Diária dos Dados

Agora, para o satélite SCD2 são realizadas simulações com atualização diária dos dados com o intuito de observar o desvio na ascensão reta, declinação e velocidade de rotação deste satélite.

Prevendo-se que, para as diferentes configurações de distribuição de carga elétrica, não haveria grande discrepâncias – idéia esta baseada nos resultados obtidos para o SCD1 – escolhe-se então um número menor de simulações. Estas são descritas na Tabela 11 abaixo.

Tabela 11 – Configurações de Distribuição de Carga Configuração Carga Q [C] Altura h [m]

1 1,00 0,01 2 1,00 0,50 3 1,00 1,00 4 1,00E-6 0,01 5 1,00E-6 0,50 6 1,00E-6 1,00 7 1,00E-12 0,01 8 1,00E-12 0,50 9 1,00E-12 1,00

Para cada uma dessas combinações de parâmetros, mantendo-se o diâmetro da casca cilíndrica em d = 1,00 m, realizam-se as simulações para um período de 16 dias.

A partir do modelo obtido para o TE, a configuração 7 deve ser aquela a apresentar menores intensidades de torque enquanto que a configuração 3 apresentará as maiores magnitudes. São então apresentados, antes dos demais resultados, os resultados para estes dois casos em particular.

3.3.1 Resultados para Ascensão Reta, Declinação e Velocidade de Rotação

Para a configuração 7 os resultados estão apresentados na Tabela 12, em conjunto com as Figuras 27 a 29. As Figuras e Tabelas apresentam os comportamentos temporais dos ângulos de ascensão reta e declinação do eixo de rotação do satélite e da magnitude da velocidade de rotação. Na Figura 30 apresenta-se a curva de evolução do desvio angular entre os valores reais e valores calculados das três variáveis citadas.

(34)

Dias Ascensão Reta [º] Declinação [º] Velocidade de Rotação [rpm] Dias Ascensão Reta [º] Declinação [º] Velocidade de Rotação [rpm] Torque Elétrico [10-39 N.m ] 12/2/2002 278,71 63,47 34,48 12/2/2002 278,71 63,47 34,48 - 13/2/2002 278,73 63,45 34,42 13/2/2002 278,710010017919 63,470000000001 34,480000000000 37,670425631992 14/2/2002 278,74 63,42 34,37 14/2/2002 278,730010017900 63,450000000001 34,420000000000 24,101167540667 15/2/2002 278,74 63,39 34,31 15/2/2002 278,740010017914 63,419999999995 34,370000000000 20,031889987216 16/2/2002 278,72 63,36 34,26 16/2/2002 278,740010017907 63,389999999992 34,310000000000 0,334022961083 17/2/2002 278,68 63,33 34,2 17/2/2002 278,720010017893 63,359999999998 34,260000000000 1,053814655110 18/2/2002 278,63 63,31 34,14 18/2/2002 278,680010017906 63,329999999998 34,200000000000 12,354529889092 19/2/2002 278,57 63,29 34,08 19/2/2002 278,630010017913 63,310000000003 34,140000000000 14,070205863824 20/2/2002 278,5 63,27 34,02 20/2/2002 278,570010017914 63,289999999999 34,080000000000 9,013117622134 21/2/2002 278,42 63,25 33,96 21/2/2002 278,500010017960 63,270000000000 34,020000000000 3,326974759506 22/2/2002 278,23 63,24 33,9 22/2/2002 278,420010017918 63,249999999992 33,960000000000 1,617992013286 23/2/2002 276,23 63,23 33,83 23/2/2002 278,330100179019 63,240000000000 33,900000000000 3,871203966728 24/2/2002 276,6 61,22 33,69 24/2/2002 276,230010017903 63,230000000008 33,830000000000 2,188615382789 25/2/2002 276,42 61,03 33,69 25/2/2002 276,600010017910 61,220000000002 33,690000000000 9,141154708246 26/2/2002 276,2 60,83 33,55 26/2/2002 276,420010017909 61,030000000002 33,690000000000 11,675508318126 27/2/2002 275,94 60,62 33,48 27/2/2002 276,200010017898 60,829999999997 33,550000000000 18,662045273359 28/2/2002 275,940010017907 60,620000000007 33,480000000000 3,558945660158

(35)

Velocidade de Rotação 32,8 33 33,2 33,4 33,6 33,8 34 34,2 34,4 34,6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Dias V e lo c id a d e d e R o ta ç ã o [ rp m ] Valores Iniciais Valores Finais Desvios -0,900 -0,400 0,100 0,600 1,100 1,600 2,100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Dias D e s v io s Ascensão Reta Declinação Velocidade

A média e desvio padrão dos desvios para ascensão reta, declinação e velocidade de rotação

foram, respectivamente, ∆

α

_{= 0,179390027 ± 0,53146613,} ∆

δ

_{= 0,178125000 ± 0,49385853 e}

W

∆ _{= 0,062500000 ± 0,03678768.}

Para a configuração 3 os resultados estão apresentados na Tabela 13, em conjunto com as Figuras 31 a 33. As Figuras e Tabelas apresentam os comportamentos temporais dos ângulos de ascensão reta e declinação do eixo de rotação do satélite e da magnitude da velocidade de rotação. Na Figura 34 apresenta-se a curva de evolução do desvio angular entre os valores reais e valores obtidos a partir das simulações para as três variáveis citadas.

(36)

Dias Ascensão Reta [º] Declinação [º] Rotação [rpm] Velocidade de Dias Ascensão Reta [º] Declinação [º] Rotação [rpm] Velocidade de Torque Elétrico [10-39_{N.m ]}

12/2/2002 278,71 63,47 34,48 12/2/2002 278,71 63,47 34,48 - 13/2/2002 278,73 63,45 34,42 13/2/2002 278,710010017905 63,469999999990 34,480000000000 37,670425782573 14/2/2002 278,74 63,42 34,37 14/2/2002 278,730010017908 63,450000000003 34,420000000000 24,101167640422 15/2/2002 278,74 63,39 34,31 15/2/2002 278,740010017909 63,419999999999 34,370000000000 20,031890071417 16/2/2002 278,72 63,36 34,26 16/2/2002 278,740010017903 63,389999999999 34,310000000000 0,334023317719 17/2/2002 278,68 63,33 34,2 17/2/2002 278,720010017893 63,360000000004 34,260000000000 1,053814746328 18/2/2002 278,63 63,31 34,14 18/2/2002 278,680010017909 63,329999999990 34,200000000000 12,354529941400 19/2/2002 278,57 63,29 34,08 19/2/2002 278,630010017920 63,310000000012 34,140000000000 14,070205920143 20/2/2002 278,5 63,27 34,02 20/2/2002 278,570010017929 63,289999999999 34,080000000000 9,013117658540 21/2/2002 278,42 63,25 33,96 21/2/2002 278,500010017923 63,270000000010 34,020000000000 3,326974774155 22/2/2002 278,23 63,24 33,9 22/2/2002 278,420010017903 63,249999999991 33,960000000000 1,617992020241 23/2/2002 276,23 63,23 33,83 23/2/2002 278,330010017922 63,240000000005 33,900000000000 3,871203982262 24/2/2002 276,6 61,22 33,69 24/2/2002 276,230010017923 63,229999999995 33,830000000000 2,188615396508 25/2/2002 276,42 61,03 33,69 25/2/2002 276,600010017922 61,220000000003 33,690000000000 9,141154746192 26/2/2002 276,2 60,83 33,55 26/2/2002 276,420010017918 61,030000000001 33,690000000000 11,675508366583 27/2/2002 275,94 60,62 33,48 27/2/2002 276,200010017924 60,830000000003 33,550000000000 18,662045347974 28/2/2002 275,940010017912 60,620000000010 33,480000000000 3,558945697347

(37)

Velocidade de Rotação 32,8 33 33,2 33,4 33,6 33,8 34 34,2 34,4 34,6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Dias V e lo c id a d e d e R o ta ç ã o [ rp m ] Valores Iniciais Valores Finais Desvios -0,900 -0,400 0,100 0,600 1,100 1,600 2,100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Dias D e s v io s Ascensão Reta Declinação Velocidade

Figura 33 – Comportamento temporal da Figura 34 – Comportamento temporal dos Velocidade de Rotação para SCD2 – Configuração3 Desvios para SCD2 – Configuração 3

α

= 0,17938439 ± 0,53144441, ∆

δ

= 0,17812500 ± 0,49385853 e

W

∆ = 0,06250000 ± 0,03678768.

Observa-se que os desvios foram praticamente os mesmos apresentados para a configuração onde o TE apresentou sua menor magnitude, assim como havia acontecido para o SCD1.

Para a configuração 7 a intensidade média do TE foi TE = (1,079197589 ±

1,02796842).10-38 N.m , enquanto que para a configuração 3 foi TE = (1,079197596 ±

1,02796842).10-26_N.m.

O comportamento apresentado na ordem dos desvios e na magnitude do TE para este caso é o mesmo apresentado anteriormente para o SCD1.

(38)

Os resultados com os comportamentos temporais dos ângulos de ascensão reta, declinação, do módulo da velocidade de rotação do satélite e dos desvios entre os valores calculados e os valores reais, para as diferentes configurações descritas mostram-se bastante análogos.

Estes são apresentados em conjunto nas Figuras 35 a 40.

Figura 35 – Comportamento temporal da Ascensão Reta para SCD2

Figura 36 – Comportamento temporal da Declinação para SCD2

(39)

Velocidade de Rotação 33,4 33,5 33,6 33,7 33,8 33,9 34 34,1 34,2 34,3 34,4 34,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Dias V e lo c id a d e d e R o ta ç ã o [ rp m ] _{Configuração 1} Configuração 2 Configuração 3 Configuração 4 Configuração 5 Configuração 6 Configuração 7 Configuração 8 Configuração 9 Valores Reais

Figura 37 – Comportamento temporal da Velocidade de Rotação para SCD2

Figura 38 – Comportamento temporal do Desvio da Ascensão Reta para SCD2

(40)

Desvios: Velocidade de Rotação 0,000 0,030 0,060 0,090 0,120 0,150 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Dias D e s v io s [r p m ] Configuração 1 Configuração 2 Configuração 3 Configuração 4 Configuração 5 Configuração 6 Configuração 7 Configuração 8 Configuração 9

Figura 40 – Comportamento temporal do Desvio da Velocidade de Rotação para SCD2

Os gráficos demonstram aquilo que já havia sido observado para o SCD1. Devido à baixa intensidade do torque, apesar das variações causadas em sua magnitude pelas diferentes configurações de distribuição carga, este não produz alterações significativas nos desvios nas variáveis monitoras e novamente tem-se que os desvios representam praticamente a diferença nos valores das variáveis entre um dia e o dia seguinte.

3.3.2 Resultados para Magnitude do Torque Elétrico

Também para o SCD2, foram realizadas simulações com intuito de se obter o comportamento temporal da magnitude do TE. A Tabela 14 abaixo apresenta os valores da magnitude do TE para as diversas configurações de distribuição de carga elétrica, e estas são representadas graficamente na Figura 41.

(41)

41

Tabela 14 – Magnitudes do Torque Elétrico – Configurações 1 a 9 – SCD2

Dia TE Configuração 1 [10-27_{N .m]} TE Configuração 2 [10-27_{N .m]} TE Configuração 3 [10-27_{N.m ]} TE Configuração 4 [10-33_{N.m ]} TE Configuração 5 [10-33_{N.m ]} TE Configuração 6 [10-33_{N.m ]} TE Configuração 7 [10-39_N.m] TE Configuração 8 [10-39_N.m] TE Configuração 9 [10-39_N.m] 12/2/2002 37,670135093524 37,670425782527 37,670425782573 37,670425782524 37,670425782527 37,670425687455 37,670425631992 37,670425631995 37,670425632040 13/2/2002 24,101167636968 24,101167637184 24,101167640422 24,101167636968 24,101167636968 24,101167579569 24,101167540667 24,101167540877 24,101167544115 14/2/2002 20,031890067271 20,031890067530 20,031890071417 20,031890067271 20,031890067530 20,031890020830 20,031889987216 20,031889987475 20,031889991362 15/2/2002 0,334022962413 0,334022984619 0,334023317719 0,334022962413 0,334022984619 0,334023316880 0,334022961083 0,334022983289 0,334023316389 16/2/2002 1,053814659328 1,053814664766 1,053814746328 1,053814659328 1,053814664766 1,053814743660 1,053814655110 1,053814660548 1,053814742110 17/2/2002 12,354529938449 12,354529938633 12,354529941400 12,354529938449 12,354529938633 12,354529910218 12,354529889092 12,354529889277 12,354529892044 18/2/2002 14,070522601771 14,070522601777 14,070205920143 14,070205920044 14,070205920051 14,070205884621 14,070205863824 14,070205863830 14,070205863923 19/2/2002 9,013117658140 9,013117658165 9,013117658540 9,013117658140 9,013117658170 9,013117635794 9,013117622134 9,013117622159 9,013117622535 20/2/2002 3,326974772787 3,326974772873 3,326974774155 3,326974772787 3,326974772873 3,326974765767 3,326974759506 3,326974759591 3,326974760873 21/2/2002 1,617992019751 1,617992019782 1,617992020241 1,617992019751 1,617992019782 1,617992016155 1,617992013286 1,617992013316 1,617992013775 22/2/2002 3,871203982204 3,871203982207 3,871203982262 3,871203982204 3,871203982207 3,871203972481 3,871203966728 3,871203966731 3,871203966786 23/2/2002 2,188615391533 2,188615391844 2,188615396508 2,188615391533 2,188615391844 2,188615390984 2,188615382789 2,188615383100 2,188615387764 24/2/2002 9,141154744776 9,141154744864 9,141154746192 9,141154744776 9,141154744864 9,141154723109 9,141154708246 9,141154708334 9,141154709662 25/2/2002 11,675508364783 11,675508364896 11,675508366583 11,675508364783 11,675508364896 11,675508337100 11,675508318126 11,675508318238 11,675508319925 26/2/2002 18,662045347932 18,662045347935 18,662045347974 18,662045347932 18,662045347935 18,662045300854 18,662045273359 18,662045273362 18,662045273401 27/2/2002 3,558945674384 3,558945675819 3,558945697347 3,558945674384 3,558945675819 3,558945688357 3,558945660158 3,558945661593 3,558945683121 MÉDIA 10,791977557251 10,791995727214 10,791975963113 10,791975932705 10,791975934593 10,791975935865 10,791975889582 10,791975891482 10,791975919989