Produção de significados matemáticos e história da matemática: uma
proposta de tarefas didáticas sobre o Teorema de Tales
Benjamim Cardoso da Silva Neto1
GDn° 5 – História da matemática e cultura
Resumo do trabalho. O presente trabalho em andamento tem como objetivo principal analisar os significados matemáticos produzidos por alunos de uma turma do 2º ano do Ensino Médio em tarefas didáticas sobre o teorema de tales e semelhança de triângulos. Partiremos de um enfoque histórico matemático para a construção das tarefas que serão desenvolvidas pelo professor pesquisador utilizando a história da matemática como elemento motivador para busca de soluções. A história da matemática será ancorada nas ideias expressas por Miguel (2009) e Baroni, Teixeira e Nobre (2012). Esta pesquisa é de cunho qualitativo, baseada em um estudo de caso e como teoria epistemológica ou teorização, utilizaremos o Modelo dos Campos Semânticos (MCS) estruturado por Lins (2012) que trata da produção de significados matemáticos. As tarefas terão como princípio norteador a história da matemática estruturada no episódio em que Tales de Mileto teria medido a altura de uma pirâmide por meio da semelhança de triângulos formados pelas sombras de objetos. As tarefas serão realizadas em grupos, todas as suas conversações gravadas em áudio, e totalizarão cinco tarefas em material impresso de onde identificaremos e analisaremos a produção de significados de acordo com o MCS. Também haverá aplicação de um questionário sobre o conhecimento que os alunos possuem sobre história da matemática. Após a validação das tarefas elaboraremos um material de apoio a professores que contenha a história da matemática envolvida neste trabalho, assim como as tarefas que poderão ser aplicadas em outras salas de aulas.
Palavras-chave: produção de significados; tarefas didáticas; história da matemática; modelo dos campos
semânticos.
Introdução
O presente projeto de pesquisa de cunho qualitativo procura analisar os significados matemáticos sobre o teorema de tales e semelhança de triângulos, produzidos por alunos do 2º ano do Curso Técnico em Agropecuária Integrado ao Médio do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão na perspectiva do Modelo dos Campos Semânticos (MCS), diante da aplicação de tarefas didáticas envolvendo a história da matemática como recurso mediador para motivação em busca das soluções. As tarefas didáticas abordarão a construção histórica e a necessidade crescente da criação de novos artifícios matemáticos para a solução de problemas práticos enfrentados pelas civilizações antigas. Levando o aluno a uma compreensão de que a matemática é uma construção social, provocando a motivação e o despertar para um novo modo de aprender.
1 Instituto Federal de Educação, Ciência Tecnologia de Goiás – Câmpus Jataí, e-mail:
As tarefas serão elaboradas pelo professor pesquisador e seguirá ideias expressas por Loth (2011) que escreve que as tarefas didáticas de matemática serão utilizadas em salas de aulas reais; as tarefas exigirão dos alunos a leitura de textos em oposição a enunciados curtos; serão elaboradas considerando contextos que permitam ao aluno aprender matemática; as tarefas devem permitir aos alunos que experienciem situações-problema que não possuam apenas uma única resposta; na elaboração de tarefas deve-se buscar a familiaridade e não a usualidade (LOTH, 2011).
Adotaremos a metodologia do (MCS) desenvolvido por Rômulo Campos Lins para reconhecermos a distância que existe entre o que é ministrado em sala de aula e o que é compreendido pelos alunos e entendermos a forma como acontece a produção de significados e quais significados são produzidos, durante a aplicação das tarefas didáticas.
Um campo semântico, segundo Lins (2012, p.18), “indica um modo legítimo de produção de significado. Legítimo porque está acontecendo”. Está em constante movimento. Partimos da prerrogativa de que a produção de significados é necessária para a produção de conhecimentos, como Lins (2012, p.28) afirma, “Sempre que há produção de significado há produção de conhecimento e vice versa”. O MCS não visa o resultado de um questionamento, mas todo processo que o aluno executa para construir seu próprio conhecimento. Acreditamos que erros e dúvidas só ocorrem quando existe a produção de significados. Questionar o que o aluno disse, porque disse o que está dizendo e como o disse, são práticas que permitem a produção de significados e que conduzem à construção de conhecimento.
Justificamos, desta forma, a presente pesquisa como uma proposta instigante e motivadora, pois coloca em pauta a prática docente, o planejamento de aulas e a aquisição de conhecimento pelos alunos, além de estabelecer uma ligação entre o conteúdo matemático e a história da matemática.
A pesquisa classifica-se como qualitativa e em um estudo de caso em que todo o material escrito pelos alunos será analisado por meio da teoria epistemológica MCS assim como as gravações em áudio realizadas durantes as tarefas em grupos.
Objetivos
Objetivo Geral
Analisar os significados matemáticos produzidos por alunos do Ensino Médio sobre o teorema de tales e a semelhança entre triângulos em tarefas didáticas utilizando a história da matemática.
Objetos Específicos
Identificar os significados matemáticos produzidos pelos alunos.
Compreender os significados produzidos pelos alunos de acordo com o Modelo Teórico dos Campos Semânticos.
Validar as tarefas didáticas elaboradas com apoio da história da matemática.
Referencial teórico
Produção de significados: o modelo dos Campos Semânticos
O MCS foi desenvolvido por Romulo Campos Lins em 1992 em sua tese de doutorado intitulada “A framework for understanding what algebric thinking is” (Um quadro de referência para entender o que é pensamento algébrico). Após 1994 muitos pesquisadores passaram a utilizar o MCS como fundamentação teórica em pesquisas em Educação Matemática (SAD, 2000, s.p.). Lins ao desenvolver o MCS procurava “dar conta de caracterizar o que os alunos estavam pensando quando „erravam‟, mas sem recorrer a esta ideia de erro” (LINS, 2012, p.11), levando os alunos a questionarem suas respostas, para construir o próprio conhecimento.
Um campo semântico de acordo com a ontopsicologia de Meneghetti (1993, p.09) é o deslocamento de intencionalidade psicoenergética de um indivíduo (mandante) para outro (executor). Essa pulsão transferencial de um organismo para outro pode também ser mediada por um terceiro: A emite em B para C; quando B encontrará C, C executará segundo A. Cada aluno é capaz de produzir significados diferentes, por meios diferentes de produção de significados numa mesma enunciação.
Em seus trabalhos sobre o MCS, Lins tentava responder o que é conhecimento e o que é significado. Conhecimento de acordo com Lins (apud SILVA, 2003, p.18, grifos do autor) “é entendido como uma crença – algo que o sujeito acredita e expressa, e que caracteriza-se, portanto, como uma afirmação – junto com o que o sujeito considera ser uma justificação para sua crença-afirmação”. Um conhecimento só existe em sua enunciação, aquilo que alguém diz sobre algo. Dar legitimidade a uma enunciação é um dos papéis da justificação, no estabelecimento do conhecimento (HENRIQUES; SILVA, 2012, p.503). A justificação é parte do que constitui um conhecimento. Lins (2012, p.13) sobre a crença “direi que uma pessoa acredita em algo que diz se age de maneira coerente com o que diz.”. Sad (2000, s.p.) afirma que,
[...] o conhecimento tem por elementos constitutivos uma crença-afirmação junto com uma justificação para a crença-afirmação. O que nos faz estar diante de um
sujeito do conhecimento, ou seja, de uma existência interdependente e intrínseca
do conhecimento a partir do sujeito, e também, do sujeito do conhecimento (produtor assujeitado). Começamos então a evidenciar conhecimento como algo dinâmico, do domínio da fala, da enunciação e que, uma vez admitido, nos permite afirmar alguns pontos importantes em termos epistemológicos (SAD, 200, s.p).
O conhecimento que um aluno adquire durante uma aula não é fácil de ser interpretado, mas o fato é que este conhecimento adquirido está atrelado a outros fatores, dentre eles, a forma como o conteúdo é ministrado ao aluno e também aos significados que ele pode produzir sobre um determinado conteúdo de Matemática. Dois alunos podem ler o mesmo texto e produzir significados diferentes ou mesmo conhecimentos diferentes. Para Lins (2012, p.28, grifo do autor) “significado de um objeto é aquilo que efetivamente se diz a respeito de um objeto, no interior de uma atividade”, o objeto, por sua vez, é aquilo para que se produz significado. Na prática em sala de aula o aluno é passível de produção de significado, sua experiência e interação social alimenta a informação de mundo facilitando essa produção. “A noção de significado no MCS não é ambiciosa, ela é pragmática e pretende ser prática o bastante para tornar as leituras suficientemente finas.” (LINS, 2012, p.28). Os livros didáticos não possuem conhecimento, possuem texto que por sua vez são enunciações que geram produções de significados diferentes numa mesma atividade. A elaboração de tarefas que levem ao aluno textos que devem ser interpretados em busca de uma solução que pode ser efetivada de diferentes maneiras é uma das formas de se alcançar a produção de significados matemáticos por alunos.
Sobre a produção de significados, Lins (apud SILVA, 2003, p.21) considera que: “o ponto central é que produzimos significados para que pertençamos a uma prática social ou, em escala maior, a uma cultura, tanto quanto produzimos enunciações pelo mesmo motivo”. O interesse do MCS, para Santos (2007, p.40) “i) não é olhar para estados e produtos e sim para os processos; ii) é entender o que as pessoas dizem e por que dizem o que estão dizendo, em vez de olhá-las pelo erro”. O que importa não é mostrar que o sujeito está certo ou errado com relação a um questionamento (problema), e sim aceitar que ele produziu algum tipo de significado.
Conforme Cézar (2014, p.33) “o erro e a incerteza são elementos que surgem quando produzimos significados. Questionar essas verdades nos permite essa produção, e essa produção de significados nos conduz a construção do conhecimento.” A forma como construímos conhecimento se relaciona com a forma que compreendemos uma enunciação.
Não existe conhecimento sem produção de significado, nem existe produção de significado sem construção de conhecimento. O processo em que se dá a produção é o que deve ser levado em consideração. Os alunos pensam por serem seres humanos, a credibilidade naquilo que eles se manifestam deve ser importante e levada em consideração no processo de ensino aprendizagem.
O ensino de história da matemática
A Matemática, apresenta grande evolução em seus métodos, processos e técnicas, em sua organização, na sua relação com outras áreas de atividades humanas e na importância de sua aplicação. O estudo da história da matemática fortalece e concretiza a relação da matemática com a educação matemática abrindo perspectivas de pesquisa em várias frentes. A introdução da história da matemática no processo educacional mostra que as ideias, dúvidas e críticas que foram surgindo não devem ser ignoradas; a história da matemática levanta questões relevantes que podem motivar, estimular e atrair os alunos; inter-relaciona a matemática com outras disciplinas; desenvolve a leitura, escrita, pesquisa, análise e argumentação dos alunos; a história da matemática leva o aluno a entender o erro como parte do desenvolvimento da matemática (BARONI, TEIXEIRA, NOBRE, 2012).
A nova organização da estrutura do currículo de matemática permite “desengessar” o ensino de matemática baseado em contas, contas e contas. A incorporação das novas tendências em educação matemática tem propiciado um ensino mais relevante e se tornado menos professor e mais aluno. A história da matemática entendida como uma dessas novas tendências do ensino desta disciplina é para D‟Ambrósio (2012, p.27) “um elemento fundamental para perceber como teorias e práticas matemáticas foram criadas, desenvolvidas e utilizadas num contexto específico de sua época”. Este mesmo autor complementa que “conhecer, historicamente, pontos altos da matemática de ontem poderá, na melhor das hipóteses, e de fato faz isso, orientar no aprendizado e no desenvolvimento da matemática hoje”.
Miguel (2009, p.183) afirma que “não há ciência que seja totalmente inútil. Muitas vezes, na história das ciências, descobertas aparentemente inúteis prepararam o caminho para outras descobertas úteis”. A produção em história da matemática voltada para a sala de aula vem sendo discutida em diversos tipos de trabalhos, apresentações em eventos, divulgações científicas, livros didáticos resumidamente, livros paradidáticos, sequências elaboradas individual ou coletivamente por professores.
A possibilidade de desenvolvimento de um ensino da Matemática escolar preparado sobre a perspectiva de uma sequencia de tarefas didáticas baseadas na compreensão e na significação é que se realiza a função pedagógica da história da matemática, vista como recurso à sala de aula. É importante que o professor valorize e adapte as informações históricas às suas necessidades, visando o seu melhor uso possível na sala de aula (MENDES, 2009), seja mediado por atividades, tarefas, sequência didáticas.
Metodologia
Este trabalho de dissertação terá como lócus de pesquisa o Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Maranhão - Campus São Raimundo das Mangabeiras em uma turma de 2º ano do Curso Técnico em Agropecuária Integrado ao Médio – AGRO 20, período diurno, composta de 23 alunos, a quantidade ingressante no processo seletivo de 2014 foram 40 alunos, houve 17 desistências na turma. A pesquisa ocorrerá durante as aulas de matemática, a previsão é que sejam necessárias oito horários de 50 minutos da disciplina e um encontro extra classe.
Para evidenciarmos a produção de significados matemáticos pelos alunos, o professor pesquisador elaborará tarefas didáticas que utilizem a história da matemática para o conteúdo de teorema de tales e semelhança de triângulos. Todas as tarefas serão realizadas em grupos e o material escrito produzido pelos alunos será coletado para posterior análise, e suas conversações serão gravadas em áudio.
Não nos atentaremos aos erros dos alunos que porventura surgirem, mas nas justificações que os alunos apresentarem para suas respostas. Tentando focar naquilo que o aluno diz, porque o diz e como justifica o que disse sobre o conteúdo estudado no contexto histórico matemático. Nossa análise obedecerá aos propósitos do MCS que visa à produção de significados matemáticos pelos alunos. Sabemos que neste percurso encontraremos incertezas, dúvidas, inconsistências no pensamento dos alunos, que como escreve Cézar (2014, p.33) surgem quando produzimos significados. Levaremos em consideração as enunciações e justificações dos alunos para os questionamentos inseridos nas atividades. O MCS será utilizado como forma de estabelecermos a comunicação autor-leitor – autor (LINS, 2012), adotando esta estrutura ora como sujeito pesquisado – pesquisador – sujeito pesquisado, ora pesquisador – sujeito pesquisado – pesquisador.
Como o professor da turma será o próprio pesquisador na função de observador participante, alguns detalhes podem passar despercebidos, por isso utilizaremos a gravação
em áudio como forma de arquivar e não perder nenhum detalhe que condiz a produção de significados durante a aplicação das tarefas didáticas.
A técnica adotada para se realizar este trabalho será o estudo de caso, pois como afirma Marconi e Lakatos (2009, p. 274), “estudo de caso se caracteriza por dar especial atenção a questões que podem ser conhecidas por meio de casos”. Neste sentido, pesquisar em uma sala de aula a produção de significados pelos alunos do 2º ano do Ensino Médio, mediante o Modelo Teórico dos Campos Semânticos, após a aplicação de uma sequência didática é um “caso” que, segundo Triviños (1987, p.133) pode-se “analisar profundamente”. A identificação da produção de significados pode proporcionar a validação das tarefas didáticas desenvolvidas e aplicadas em sala de aula.
O material escrito produzido pelos alunos será escaneado e entregue de volta aos alunos participantes da pesquisa. A turma pesquisada foi escolhida aleatoriamente, por sorteio dentre as turmas trabalhadas pelo professor pesquisador. Desta forma fica possibilitado a adoção de tarefas que envolvam a história da matemática como princípio norteador da produção de significados em turmas reais de qualquer ano ou período letivo.
Resultados esperados
Esperamos que os alunos da turma pesquisada, durante a aplicação das tarefas didáticas sobre o teorema de tales e a semelhança de triângulos que utilizam como elemento motivador a história da matemática produzam significados matemáticos em suas falas e seus materiais escritos, criando campos semânticos próprios. Também que os alunos percebam através de problemas históricos que a resolução destes problemas desencadeou o desenvolvimento social, econômico e cultural de muitas civilizações e a superação de problemas históricos.
É de nosso interesse que os alunos conheçam os homens que criaram as vastas ideias matemáticas e também o contexto em que se deram diversos problemas matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento das ciências.
Também que as tarefas desenvolvidas neste trabalho subsidiem práticas de professores de Matemática de outras salas de aula que visem ou não a produção e significados. Para isto disponibilizaremos em material impresso o produto educacional originado para o Mestrado Profissional e também no Portal do Professor.
BARONI, R. L. S; TEIXEIRA, M. V; NOBRE, S. R. A investigação científica em história da matemática e suas relações com o programa de pós graduação em educação matemática. In: BICUDO, M. A. V; BORBA, M. de C. (Orgs.). Educação matemática: pesquisa em movimento. 4. ed. São Paulo: Cortez, 2012. p. 179 – 202.
CÉZAR, M. dos S. Produções de significados matemáticos na construção dos números
reais. 2014. 167 f. Dissertação (Mestrado em Educação em Ciência e Matemática) –
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Espírito Santo, Vitória, 2014. D‟AMBROSIO, U. Educação Matemática: da teoria à prática. 23. ed. São Paulo: Papirus, 2012.
HENRIQUES, M. D.; SILVA, A. M, da. Sobre a produção de significados para a área de perímetros no ensino fundamental. In: SEMINÁRIO HISPANO BRASILEIRO – CTS, 2., 2012, São Paulo (SP). Anais do II Seminário hispano brasileiro – CTS. São Paulo (SP): UNICSUL, 2012. p.499-511. (Versão impressa).
LINS, R. C. O modelo dos campos semânticos: estabelecimentos e notas de teorizações. In: ANGELO, C. L. et al. (Orgs.) Modelo dos campos semânticos: 20 anos de história. São Paulo: Midiograf, 2012. p.11-30.
LOTH, M. H. M. Uma investigação sobre a produção de tarefas aritméticas para o 6º
ano do Ensino Fundamental. 2011. 212 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) – Instituto de Ciências Exatas, Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, MG, 2011.
MARCONI, M. de A.; LAKATOS, E. M. Metodologia científica. 5. ed. 3. reimp. São Paulo: Atlas, 2009.
MENDES, I. A. Investigação histórica no ensino de matemática. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2009.
MENEGHETTI, A. Campos semânticos. Porto Alegre: ABO, 1993. (Coleção ontopsicologia).
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