Sistemas de Fibra Óptica com Compensação de Dispersão

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Sistemas de Fibra Óptica com Compensação de

Dispersão

Ana Filipa Fazenda Cabete

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Electrotécnica e de Computadores

Júri

Presidente: Prof. Doutor Fernando Duarte Nunes

Orientador: Prof. Doutor António Luís Campos da Silva Topa

Vogal: Prof. Doutor António Armando Rodrigues da Costa

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Agradecimentos

Em primeiro lugar agradeço ao professor António Topa pelo seu apoio, envolvimento constante e dis-ponibilidade ao longo da elaboração desta dissertação.

Agradeço à minha família pelas boas oportunidades que me têm dado. À minha Mãe e Irmã, ficarei eternamente grata pelo apoio que sempre me deram e têm dado e por me incentivarem a continuar e a procurar sempre um lado positivo, mesmo em situações que despertam desespero.

Finalmente, mas não menos importante, um muito obrigada ao meu amigo Henrique Silva por todas as conversas, incentivos e companhia dada quando tudo se tornou mais solitário.

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Resumo

Esta dissertação pretende analisar e compreender o fenómeno da dispersão temporal asociada à propa-gação de impulsos numa fibra óptica e estudar técnicas eficazes no combate a este efeito degradador num sistema de comunicação óptica.

O trabalho inicia-se com uma descrição breve dos vários tipos de dispersão passando de seguida para a inclusão destes na equação que rege a propagação de impulsos numa fibra monomodal em regime linear. São efectuados estudos dos efeitos dispersivos (dispersão de velocidade de grupo e dispersão de ordem superior) para vários tipos de impulsos.

São estudadas as principais técnicas utilizadas na compensação dos efeitos dispersivos em regime linear. É apresentada a compensação de dispersão baseada em fibras de compensação de dispersão, descrevendo o modo de funcionamento desta técnica e se simulando para vários impulsos a compensação da dispersão de velocidade de grupo, da dispersão de ordem superior e de ambas simultâneamente. No estudo da com-pensação por fiber Bragg gratings, são descritos os fundamentos teóricos essenciais para compreensão das Redes de Bragg, efectuando simulações de parâmetros correspondentes a redes de Bragg uniformes e não uniformes.

Por fim, as fibras ópticas são analisadas como um meio de transmissão não-linear. Tal como em regime linear, deduz-se a equação que rege a propagação de impulsos em regime não-linear. São estudados os efeitos dispersivos neste tipo de regime, nomeadamente a Dispersão de Velocidade de Grupo e a Auto-Modulação de Fase, cujo equilíbrio possibilita a propagação de impulsos do tipo solitão em fibras ópticas. São apresentadas simulações da propagação deste tipo de impulsos e é estudada uma técnica de compen-sação de dispersão: a utilização de fibras de dispersão decrescente.

Palavras chave

Propagação de Impulsos em Fibras Ópticas, Dispersão de Velocidade de Grupo, Dispersão de Ordem Supe-rior, Compensação de Dispersão, Fibra de Compensação de Dispersão, Redes de Bragg, Auto-Modelação de Fase, Solitões, Fibra de Dispersão Decrescente.

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Abstract

This dissertation intends to analyze and understand the dispersion phenomenon, associated with pulse propagation in optical fibers and to study effective techniques that are able to solve this degrading effect.

The work begins with a brief description of the several types of dispersion, including these into the equation that governs pulse propagation on linear regime for a single-mode fiber. Studies of dispersive effects (group velocity dispersion and higher order dispersion) are carried out for various types of pulses.

The main techniques used to compensate the dispersive effects in the linear regime are analyzed. The first one is based on dispersion compensating fibers, which operation mode is described and, for several pulses, simulations are done considering the group velocity dispersion, higher order dispersion and both simultaneously. Another compensation approach is using fiber Bragg gratings. In this topic, theoretical foundations essential for understanding the Bragg gratings are described along with uniform and non-uniform Bragg gratings parameters simulations.

Finally, optical fibers are analyzed as non-linear transmission media. As in the linear regime, the equa-tion that governs the pulse propagaequa-tion in the nonlinear regime is derived. Dispersive effects of this type of regime are identified, namely the group velocity dispersion and self-phase modulation, which equilibrium determines the propagation of a special type of pulses, the Soliton. Simulations for this type of pulses are presented, as well as the study of one of the most common non-linear regime dispersion compensation technique: the dispersion decreasing fibers.

Keywords

Pulse Propagation in Optical Fibers, Group Velocity Dispersion, Higher Order Dispersion, Dispersion Compensation, Dispersion Compensating Fibers, Fiber Bragg Gratings, Self-Phase Modulation, Solitons, Decreasing Dispersion Fibers.

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Índice

1 Introdução 1

1.1 Enquadramento . . . 2

1.2 Perspectiva histórica da evolução das fibras ópticas . . . 3

1.3 Estado da arte . . . 4

1.4 Objectivo da dissertação . . . 5

1.5 Organização e estrutura da dissertação . . . 5

1.6 Contribuições . . . 6

2 Propagação de impulsos numa fibra óptica 7 2.1 Dispersão em fibras ópticas monomodais . . . 8

2.1.1 Dispersão de velocidade de grupo . . . 8

2.1.2 Dispersão material, dispersão do guia e dispersão de ordem superior . . . 10

2.2 Propagação de impulsos em regime linear numa fibra óptica monomodal . . . 11

2.2.1 Equação de propagação de impulsos em regime linear . . . 12

2.3 Resolução numérica . . . 15

2.3.1 Normalização das variáveis espaço e tempo . . . 16

2.4 Factor de mérito . . . 18

2.5 Efeito da dispersão de velocidade de grupo . . . 20

2.5.1 Impulso gaussiano . . . 20

2.5.2 Impulso supergaussiano . . . 22

2.5.3 Impulso supergaussiano com efeito de chirp . . . 23

2.6 Efeito da dispersão de ordem superior . . . 27

2.6.1 Evolução do impulso gaussiano . . . 27

2.6.2 Evolução do impulso gaussiano em termos da função de Airy . . . 30

2.7 Conclusões . . . 33

3 Compensação de dispersão em regime linear 35 3.1 Compensação de dispersão por DCF . . . 36

3.1.1 Compensação da DVG . . . 37

3.1.1.1 3.1.1.1 Impulso gaussiano . . . 37

3.1.1.2 3.1.1.2 Impulso supergaussiano . . . 38

3.1.2 Compensação de dispersão de ordem superior . . . 39

3.1.2.1 3.1.2.1 Impulso gaussiano . . . 40

3.1.2.2 3.1.2.2 Impulso supergaussiano . . . 41

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3.2 Compensação de dispersão baseada em Redes de Bragg . . . 43

3.2.1 Princípio de funcionamento das Redes de Bragg . . . 44

3.2.2 FBG uniforme . . . 45

3.2.3 Chirped FBG (CFBG) . . . 51

4 Compensação de dispersão em regime não-linear 57 4.1 Efeito óptico não-linear de Kerr . . . 58

4.2 Equação de propagação de impulsos em regime não-linear . . . 62

4.3 Sistemas com solitões . . . 65

4.3.1 Solitão fundamental . . . 66

4.3.2 Solitão fundamental com perdas . . . 67

4.3.3 Solitão de segunda ordem (N = 2) . . . 68

4.3.4 Solitão de terceira ordem (N = 3) . . . 69

4.3.5 Impulso gaussiano . . . 70

4.4 Fibra de dispersão decrescente . . . 72

5 Conclusão 77 5.1 Perspectiva de trabalho futuro . . . 80

A Dedução da equação do coeficiente de alargamento de impulsos 81 A.1 Equação geral do alargamento de impulsos em regime linear . . . 82

A.2 Dedução da equação do coeficiente de alargamento de impulsos particularizada a um impulso gaussiano com efeitos dispersivos de ordem superior . . . 85

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Lista de Figuras

1.1 Esquema básico de um sistema de comunicação óptica. . . 2

2.1 Dispersão total D e as suas contribuições de dispersão material e do guia, respectivamente DM e DW, numa fibra monomodal típica. [1] . . . 11

2.2 Diagrama de blocos representativo dos passos a seguir na resolução numérica da equação (2.90). . . 17

2.3 Evolução da largura dos impulsos na zona de dispersão anómala (β2 < 0) para C = −2, C = 0 e C = 2. . . 19

2.4 Influência do parâmetro chirp C no produto B20L. . . 20

2.5 Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra para ζ = 2. . . 21

2.6 Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra para ζ = 10. . . 21

2.7 Evolução ao longo da fibra de um impulso gaussiano no tempo para ζ∈[0, 10]. . . 21

2.8 Evolução do espectro de um impulso gaussiano para ζ∈[0, 10]. . . 22

2.9 Representação de um impulso supergaussiano à entrada e saída da fibra para ζ = 2. . . 22

2.10 Evolução ao longo da fibra de um impulso supergaussiano no tempo para ζ∈[0, 2]. . . 23

2.11 Evolução do espectro de um impulso supergaussiano para ζ∈[0, 2]. . . 23

2.12 Impulso supergaussiano com chirp C = 2 à entrada e saída da fibra para ζ = 2. . . 24

2.13 Evolução ao longo da fibra de um impulso supergaussiano no tempo com C = 2 para ζ∈[0, 2]. 24 2.14 Evolução do espectro de um impulso supergaussiano com C = 2 para ζ∈[0, 2]. . . 25

2.15 Impulso supergaussiano com chirp C = −2 à entrada e saída da fibra para ζ = 2. . . 25

2.16 Evolução ao longo da fibra de um impulso supergaussiano no tempo com C = −2 para ζ∈[0, 2]. 26 2.17 Evolução do espectro de um impulso supergaussiano com C = −2 para ζ∈[0, 2]. . . 26

2.18 Impulso gaussiano com largura τ0= 3ps para diferentes comprimentos da fibra. . . 28

2.20 Impulso gaussiano com largura τ0 = 1ps em z = 5L0D para três casos distintos: impulso inicial, β2= 0 e L0D= LD. . . 29

2.21 Evolução do Impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ0= 1ps para β2= 0 e chirp C = 0. . . 29

2.22 Deterioração do impulso gaussiano com largura τ0= 1ps e β2= 0. . . 30

2.23 Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ0= 1ps para β2= 0 e chirp C = 2. . . 30

2.26 Impulso gaussiano com largura τ0 = 1ps em z = 5L0D para três casos distintos: impulso inicial, β2= 0 e L0D= LD. . . 32

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2.27 Evolução do Impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ0= 1ps para β2= 0 e chirp

C = 0. . . 32

2.28 Deterioração do impulso gaussiano com largura τ0= 1ps e β2= 0. . . 33

2.29 Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ0= 1ps para β2= 0 e chirp C = 2. . . 33

3.1 Sistema de transmissão utilizando fibra de compensação de dispersão (DCF). . . 36

3.2 Representação de um impulso gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DVG. . . 38

3.3 Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = 0. . . 38

3.4 Evolução de um impulso gaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = 0. . . 38

3.5 Representação de um impulso supergaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DVG. . . 39

3.6 Evolução de um impulso supergaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = 0. . . . 39

3.7 Evolução de um impulso supergaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = 0. . . . 39

3.8 Representação de um impulso gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DOS. . . 40

3.11 Representação de um impulso supergaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DOS. . . 41

3.12 Evolução de um impulso supergaussiano desde a entrada à saída da SMF para C = 0. . . . 42

3.13 Evolução de um impulso supergaussiano desde a entrada à saída da DCF para C = 0. . . . 42

3.14 Representação de um impulso gaussiano à entrada da SMF, à saída da SMF e à saída da DCF para C = 0 com compensação da DVG na presença de DOS. . . 43

3.17 Representação esquemática de uma FBG (adaptado de [16]). . . 44

3.18 Fenómeno de reflexão numa FBG (adaptado de [16]). . . 45

3.19 FBG uniforme - espaçamento Λ constante e variação periódica do índice de refracção (adap-tado de [16]). . . 45

3.20 Variação do parâmetro δ com κg, demostrando a existência de uma banda proibida. . . 46

3.21 Reflectividade em função de δLgpara κgLg= 2 e κgLg= 4. . . 47

3.22 Reflectividade máxima em função do comprimento da rede Lg[mm] para coeficientes de acoplamento κg= 10cm−1, κg= 5cm−1, κg= 2cm−1 e κg= 1cm−1. . . 48

3.23 Transmissividade em função de δLg para κgLg= 2 e κgLg= 4. . . 48

3.24 Variação da fase do coeficiente de reflexão φg em função de δLg para κgLg= 2 e κgLg= 4. 49 3.25 Atraso de grupo τg numa FBG uniforme com Lg= 10mm e λB= 1550nm, para κgLg= 2 e κgLg= 4. . . 49

3.26 Dispersão Dg numa FBG uniforme com Lg = 10mm e λB = 1550nm, para κgLg = 2 e κgLg= 4. . . 50

3.27 Largura de banda numa FBG uniforme em função do comprimento da rede Lg, para κg = 2.84cm−1_{, κ} g = 1.62cm−1 e κg= 0.4cm−1 . . . 51

3.28 Chirped FBG - espaçamento Λ não uniforme (adaptado de [16]). . . 51

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3.30 Perfil do índice de refracção n(Z) ao longo do comprimento da CFBG. . . 52

3.31 Reflexão das altas e baixas frequências em pontos diferentes da CFBG devido à variação no comprimento de onda de Bragg λB [5]. . . 52

3.32 Reflectividade (esquerda) e atraso de grupo τg (direita) de uma CFBG de comprimento 2.5cm e coeficiente de aperiodicidade linear de 0.8nm/cm. . . 53

3.33 Dispersão numa CFBG com coeficiente de aperiodicidade de 1nm/cm em função do com-primento da rede. . . 54

3.34 Dispersão numa CFBG com 2.5cm de comprimento em função do coeficiente de aperiodici-dade CΛ. . . 54

4.1 Desvio de frequência num impulso gaussiano. . . 61

4.2 Evolução da velocidade de grupo vg em função da frequência ω. . . 61

4.3 Efeito da AMF no desvio de frequências de um impulso gaussiano. . . 61

4.4 Impulso solitão fundamental à entrada e saída da fibra óptica. . . 66

4.5 Evolução do impulso solitão fundamental ao longo da fibra óptica. . . 67

4.6 Impulso solitão fundamental à entrada e saída da fibra óptica numa situação com perdas normalizadas de Γ = 0.6. . . 67

4.7 Evolução do impulso solitão fundamental ao longo da fibra óptica numa situação com perdas normalizadas de Γ = 0.6. . . 68

4.8 Impulso solitão de segunda ordem à entrada e saída da fibra óptica. . . 68

4.9 Evolução do solitão de segunda ordem ao longo da fibra óptica. . . 69

4.10 Impulso solitão de terceira ordem à entrada e saída da fibra óptica. . . 69

4.11 Evolução do solitão de terceira ordem ao longo da fibra óptica. . . 70

4.12 Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra em regime não-linear para ζ = 6. . . 71

4.16 Aproximação em degrau do perfir de β2 com 4 patamares. . . 73

4.17 Aproximação em degrau do perfir de β2 com 6 patamares. . . 73

4.18 Aproximação em degrau do perfil de β2 com 300 patamares. . . 73

4.19 Evolução do impulso solitão fundamental a propagar-se numa DDF com 4 patamares. . . . 73

4.20 Evolução do impulso solitão fundamental a propagar-se numa DDF com 6 patamares. . . . 73

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Lista de Tabelas

3.1 Características dos troços L1 e L2 para a simulação de um impulso gaussiano com

compen-sação da DVG. . . 37 3.2 Características dos troços L1 e L2 para a simulação de um impulso gaussiano com

compen-sação da DVG. . . 38 3.3 Características dos troços L1 e L2 para a simulação de um impulso gaussiano com

compen-sação da DOS. . . 40 3.4 Características dos troços L1 e L2 para a simulação de um impulso gaussiano com

compen-sação da DOS. . . 41 3.5 Características dos troços L1 e L2 para a simulação de um impulso gaussiano com

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Lista de Símbolos

α Coeficiente de atenuação de potência β Constante de propagação longitudinal

β0 Constante de propagação longitudinal perturbada β0 Constante de propagação transversal

β1 Inverso da velocidade de grupo

β2 Coeficiente de dispersão de velocidade de grupo

β3 Coeficiente de dispersão de ordem superior

β21 Dispersao de velocidade de grupo de uma fibra SMF

β22 Dispersão de velocidade de grupo duma DCF

β31 Dispersão de ordem superior de uma fibra SMF

β32 Dispersão de ordem superior de uma DCF

βb Constante de propagação longitudinal para λB

β2g Coeficiente de dispersão de velocidade de grupo de uma FBG

γ Coeficiente não-linear δ Factor de dissintonia

ε Constante dieléctrica relativa

ε0 Constante dieléctrica relativa perturbada ζ Variável normalizada da distância

ζ0 Período de solitão em unidades normalizadas

η Coeficiente de alargamento θi Ângulo incidente θr Ângulo difractado k Coeficiente associado a β3 κg Coeficiente de acoplamento λ Comprimento de onda

λZD Comprimento de onda de dispersão nula

λB Comprimento de onda de Bragg

λ0 Comprimento de onda central da banda

vg Velocidade de grupo

ξ Frequência normalizada σ Largura efectiva do impulso

σ0 Largura RMS de um impulso em regime linear à entrada da fibra

σω Largura RMS de um impulso em regime linear ao longo da fibra

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τ Variável normalizada do tempo τg Atraso de grupo

τ0 Largura temporal característica do impulso

φg Fase do coeficiente de reflexão de uma FBG

φN L Fase não-linear

φN Ltotal Fase não-linear no final da ligação

ω Frequência angular

ω0 Frequência angular da portadora

δω Desvio de frequência

Γ Coeficiente de atenuação normalizado

Γg Coeficiente de confinamento de uma rede de Bragg

∆ Contraste dieléctrico ∆β Perturbação de β ∆ε Perturbação de ε ∆n Perturbação de n

∆ω Largura espectral do impulso Λ Periodicidade espacial

Ω Desvio de frequência angular em relação à portadora ω0

a Raio da secção circular da fibra óptica A Envolvente do campo eléctrico

Aef f Área efectiva

A0 Amplitude do impulso

Af Amplitude espectral da onda positiva

Ab Amplitude espectral da onda negativa

˜

A Transformada de Fourier de A

A(0, t) Amplitude do impulso na entrada da fibra óptica b Índice de refracção modal normalizado

B Variação longitudinal do campo eléctrico B Débito binário

˜

B Transformada de Fourier de B B(0.t) Variação longitudinal do modo LP01

c Velocidade da luz no vazio C Parâmetro chirp

CΛ Coeficiente de aperiodicidade

D Coeficiente de dispersão DM Dispersão material

DW Dispersão no guia

Dg Coeficiente de dispersão de uma FBG

E Vector campo eléctrico E0 Amplitude do campo eléctrico

˜

E Transformada de Fourier de E f Frequência

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i Imaginário I Intensidade óptica J0 Função de Bessel

k0 Constante de propagação no vácuo

L Comprimento da fibra óptica LD Comprimento de dispersão

L0_D Comprimento de dispersão de ordem superior L1 Comprimento da fibra SMF

L2 Comprimento DCF

Lg Comprimento de uma FBG

Lef f Comprimento efectivo

LN L Comprimento não-linear

mg Ordem de difracção de Bragg

M2 Dispersão material

n1 Índice de refracção no núcleo da fibra

n2 Índice de refracção na bainha da fibra

˜

n Índice de refracção modal ng Índice de grupo do guia

nd Índice de modulação de profundidade

Nj Índice de grupo

N2 Índice de grupo da bainha da fibra óptica

NA Número de secções de amplificação

P Potência transportada na fibra P0 Potência de pico do impulso incidente

Pin Potência máxima do impulso à entrada da fibra

Q Normalização da envolvente A segundo perspectiva não-linear qg Constante de propagação longitudinal das ondas positiva e negativa

q0 Separação entre impulsos vizinhos

r Raio da fibra óptica em coordenadas cilíndricas

R Parte linear da equação de propagação de impulos em regime não-linear Rmax Reflectividade máxima de uma FBG

rg Coeficiente de reflexão de uma FBG

S Declive de dispersão

SD Parâmetro de dispersão de ordem superior para S(λZD)

t Tempo

tg Coeficiente de transmissão de uma FBG

TB Período de um bit

hti Momento de primeira ordem ht2_i _{Momento de segunda ordem}

u Constante de propagação transversal no núcleo da fibra u(ζ, τ ) Amplitude normalizada de U

U Envolvente normalizada de Q ν Frequência normalizada

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V Largura espectral normalizada da fonte w Constante de atenuação na bainha da fibra y0 Admitância

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Lista de Acrónimos

AMF Auto-Modelação de Fase BER Bit-Error Rate

CFBG Chirped Fiber Bragg Grating DCF Decreasing Compensating Fiber DDF Decreasing Dispersion Fiber DOS Dispersão de Ordem Superior DVG Dispersão de Velocidade de Grupo EDFA Erbium-Doped Fiber Amplifier FBG Fiber Bragg Grating

FFT Fast Fourier Transform FTTx Fiber To The "x" HE Modos Híbridos

IFFT Inverse Fast Fourier Transform IST Inverse Scattering Transform LP Linearmente Polarizados NLS Nonlinear Schrödinger Equation RLD Regime Linear Dispersivo RLND Regime Linear Não Dispersivo RNLD Regime Não-Linear Dispersivo RNLND Regime Não-Linear Não Dispersivo RZ Return Zero

SMF Single Mode Fiber

SSMF Split-Step Fourier Method

TAT Transatlantic Telecommunication Cable TPC Trans-Pacific Cable

XPM Cross Phase Modulation WDM Wave Division Multiplexing

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Este capítulo tem como objectivo descrever e fundamentar o trabalho realizado. É caracterizada a estrutura elementar de um sistema de comunicações ópticas e os avanços tecnológicos que definiram o uso e evolução das fibras ópticas nestes sistemas. São apresentadas as motivações para a realização desta dissertação, bem como os objectivos a que se propôs. Por fim, elabora-se de uma forma resumida a estrutura da dissertação e principais contribuições do trabalho realizado.

1.1 Enquadramento

Um sistema de comunicação é uma linha de conexão entre dois pontos, através da qual informação é deslocada de um dos pontos ao outro. Com a generalização dos sistemas de comunicação e o crescente número de serviços de telecomunicações disponíveis, a sua respectiva adopção em massa foi possível. Desta maneira, foi necesário aumentar a capacidade dos sistemas para satisfazer o tráfego de informação existente. A utilização de fibras ópticas veio satisfazer esta procura. A sua descoberta revolucionou o ramo das telecomunicações, tornando possível estabelecer ligações de alta qualidade, alta capacidade e ao longo de distâncias muito grandes. Nas últimas três décadas, os avanços feitos neste dispositivo melhorou e redesenhou, sem qualquer dúvida, a tecnologia empregue nas fibras. Em adição à já certa aplicação em telecomunicações, as fibras ópticas são também utilizadas nos ramos em crescimento dos sensores, lasers e amplificadores de fibras [6].

Define-se um sistema de comunicação óptica aquele que tem como portadora dos sinais ondas elec-tromagnéticas no espectro óptico. Este está contido no intervalo de frequências que vai desde a região do infravermelho longínquo (≈ 100µm), passando pela faixa do visível (0.39 a 0.77µm), e terminando no domínio do ultravioleta (0.05µm). Um sistema deste tipo é caracterizado por três elementos base: um transmissor óptico que converte os sinais eléctricos em sinais ópticos enviando-os para o meio físico de transmissão, que neste caso é a fibra óptica e um receptor, que converte o sinal óptico recebido num sinal eléctrico [1].

Figura 1.1: Esquema básico de um sistema de comunicação óptica.

As comunicações ópticas enquadram-se nos sistemas de longa distância. A distância da ligação pode comprometer a qualidade do sinal transmitido por meio de perdas e efeitos degradadores inerentes à transmissão. Para resolver este problema, são utilizados amplificadores ópticos, geralmente a cada troço de 80 − 100km de fibra, que compensam as perdas e amplificam o sinal de modo a que este chegue ao destino com a maior qualidade possível. A avaliação da qualidade do sistema é feito através do parâmetro

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bit-error-rate (BER), que indica a probabilidade de ocorrência de um bit errado. Assim, quanto menor for o valor deste indicador, maior será a qualidade do sistema.

1.2 Perspectiva histórica da evolução das fibras ópticas

A possíbilidade de controlar um raio de luz, dirigindo-o numa trajectória recta, é conhecida desde há muito tempo. Em 1820, Augustin-Jean Fresnel já conhecia as equações pelas quais se governa a captura de luz numa placa de vidro [18].

No ínicio da década de 1840, os físicos Daniel Colladon e Jacques Babinet demonstraram ser possível o confinamento e direccionamento da luz através da refracção, o que constitui o princípio fundamental da propagação de luz em fibras ópticas.

Em 1854, o físico irlandês John Tyndall descobriu, através de uma experiência que consiste em focar a luz num recipiente com água e verificar que esta se propaga no fluxo de água que sai por um orifício do recipiente, que a luz pode viajar num material (água), curvando-se por reflexão interna. Em 1970 a sua descoberta foi divulgada e a partir desse princípio foram realizados uma série de estudos.

Mais tarde, em 1920, John Logie Baird registou patentes que descrevem o uso de vidro para transmissão de luz com o objectivo de transmitir imagens no sistema de televisão primitivo. O grande problema, no entanto, foi que as técnicas e os materiais utilizados não permitiam um bom desempenho na transmissão de luz apresentando um baixo rendimento.

Foi na segunda metade do século XX que as fibras ópticas começaram a despertar maior interesse nos investigadores, com muitas aplicações práticas a serem desenvolvidas. Por este motivo, a tecnologia das fibras ópticas sofreu uma grande evolução neste período.

Em 1952, uma parceria entre Brian O’Brien e Narinder Kapany conduziu à invenção da fibra óptica. Os primeiros testes aos sistemas de comunicação por meio de fibras ópticas não foram favoráveis. Existiam perdas ópticas muito elevadas na transmissão que consequentemente limitavam as distâncias das ligações. Desta maneira, numa perspectiva de melhoramento dos resultados obtidos, adicionou-se uma bainha à fibra, que permitia um maior confinamento da luz dentro do núcleo, o que reduziu consideravelmente as perdas.

A necessidade de criar uma fonte capaz de gerar impulsos ópticos levou a que em 1957, se desenvolvesse a tecnologia Laser que revolucionou a utilização de fibras ópticas em sistemas de comunicação óptica. A 16 de Maio de 1960, Theodore Maiman fez a primeira demonstração do funcionamento de um laser, sendo que em 1962 foram criados os primeiros lasers semicondutores. Estes lasers funcionavam à temperatura do azoto líquido e em 1970 surgiram os primeiros lasers semicondutores que operavam à temperatura ambiente [2].

Nos anos 60 as fibras ópticas exibiam ainda perdas superiores a 1000dB/km, cuja implementação em telecomunicações era impraticável. Em 1966, Charles Kao e George Hockham divulgaram uma proposta de sistemas de comunicação óptica baseados em fibras ópticas com perdas inferiores a 20dB/km, o que representava um grande avanço em relação aos 1000dB/km. Contudo, foi só em 1970 que Robert Maurer, Donald Keck e Peter Schultz criaram fibras ópticas com atenuações inferiores a 20dB/km (16dB/km), tornando finalmente a sua utilização em sistemas ópticos posssível [2].

Nas últimas três décadas foram desenvolvidas algumas gerações de sistemas de comunicação por fibras ópticas. A primeira geração data de 1980 e tratava-se de fibras multimodais a operar na primeira janela (0.8µm) com um débito binário de 45M b/s e um espaçamento entre repetidores de cerca de 10km [2].

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inferior a 1dB/km e a dispersão é mínima. Esta geração dava uso a fibras monomodais, conseguindo débitos binários da ordem dos 1.7Gb/s, com repetidores espaçados cerca de 50km. Pertencente a esta geração, em 1988 foi instalado o primeiro cabo submarino com fibra óptica (TAT-8 - Transatlantic Telecommunication Cable). Este utilizava lasers semicondutores multimodais a operar a 1.3µm com repetidores a cada 70km e atingia débitos binários de 0.28Gb/s. Em 1989, foi instalado o TPC-3 (Trans-Pacific Cable), semelhante ao TAT-8 [2].

Desde 1979 que era sabido que as fibras atingiam o mínimo absoluto de atenuação na terceira janela (0.2dB/km em 1.55µm). Contudo, havia um problema que assumia uma extrema importância: a dispersão nesta janela tinha um valor considerável, cerca de 16ps/(km.nm). Assim, combinando o uso de fibras de dispersão modificada com lasers semicondutores monomodais, surge em 1990 a terceira geração de sistemas de comunicação óptica (cabos submarinos TAT-9, TPC-4 E TAT-10/11). Esta geração opera na terceira janela (1.55µm) com débitos binários até 10Gb/s. A principal contrariedade que os sistemas de terceira geração apresentavam, era o uso de repetidores electrónicos com espaçamentos típicos entre 60 − 70km, conhecidos como repetidores 3R por fazerem regeneração de amplitude (rescaling), regeneração de forma (reshaping) e regeneração temporal (retiming). Foi devido ao aparecimento dos amplificadores ópticos, que amplificam directamente os sinais no domínio óptico sem necessidade de electrónica adicional, que se entrou na era da fotónica. Destes amplificadores destacam-se as fibras amplificadoras dopadas que garantem uma maior transparência dos sistemas. Em 1986, surgiram as primeiras fibras amplificadoras dopadas com Érbio ou EDFAs (Erbium-Doped Fiber Amplifiers), que operam na terceira janela, têm uma largura de banda considerável, utilizam lasers semicondutores para o bombeamento e permitem aumentar o espaçamento entre repetidores entre cerca de 60 − 100km [2].

A quarta geração de sistemas de comunicação óptica recorre à amplificação óptica para aumentar o es-paçamento entre amplificadores e a transparência dos sistemas e faz uso da multiplexagem por comprimento de onda WDM (Wavelenght Division Multiplexing) para aumentar os débitos binários. Constitui a pri-meira geração inteiramente fotónica. Os primeiros cabos submarinos desta geração (TPC-5 e TAT-12/13) apareceram em 1996, utilizavam EDFAs e operavam a 1, 55µm atingindo débitos binários de 5.30Gb/s. Em 2000, o TPC-6 oferecia um débito binário de 100Gb/s. Actualmente, os sistemas ainda são de quarta geração. A utilização de técnicas de WDM permite aos sistemas de comunicação óptica atingir débitos binários muito elevados (>1T b/s) [2].

1.3 Estado da arte

O estudo da quinta geração de sistemas de comunicação óptica encontra-se ainda em desenvolvimento. Tendo em conta que o problema das perdas foi resolvido com a introdução de fibras amplificadoras, resta contornar o problema da dispersão na propagação de impulsos. Várias técnicas têm sido desenvolvidas neste âmbito, nomeadamente compensação de dispersão como forma de fazer um upgrade aos sistemas pré-instalados, gestão da dispersão como uma forma de projectar sistemas convencionais e, por fim, sis-temas com solitões (sissis-temas RZ não-lineares), como uma forma revolucionária de conceber sissis-temas de comunicação óptica. Estas três soluções têm características comuns, como a utilização de EDFAs para amplificação óptica, a necessidade de inclusão da técnica WDM para aumentar o débito binário e o uso da técnica de gestão de dispersão nos sistemas WDM (sistemas convencionais ou sistemas com solitões) [2]. Como referido, a necessidade do aumento da capacidade de tráfego de informação resulta da generalização de novas tecnologias. Tendo em conta as grandes vantagens e capacidades das fibras ópticas, é possível aferir que a utilização destes dispositivos como meio de transmissão (redes FTTx) será a maneira mais

(27)

apropriada de responder a estes requisitos.

1.4 Objectivo da dissertação

O trabalho desenvolvido nesta dissertação tem como base o estudo de sistemas de comunicação por fibra óptica. Pretende-se estudar o comportamento dos impulsos perante efeitos de dispersão degradadores do sistema e apresentar técnicas de compensação de dispersão que permitam idealmente anular ou minimizar estes efeitos.

Para tal, primeiramente pretende-se identificar alguns conceitos fundamentais acerca da propagação de impulsos em fibras ópticas, caracterizando os efeitos dispersivos de velocidade de grupo e de ordem superior. O objectivo seguinte passa por caracterizar a propagação de ondas numa fibra óptica e obter, desta forma, a equação que rege a propagação de impulsos em regime linear. De seguida, tendo como base o resultado anterior, efectuar várias simulações para diferentes impulsos de maneira a observar os efeitos degradadores inerentes à propagação de impulsos.

Estando devidamente identificados os problemas da propagação de impulsos em fibras ópticas em regime linear, são estudados dois mecanismos para compensar os efeitos já referidos, nomeadamente as DCFs e as FBGs. Nesta parte tem-se o objectivo de descrever e compreender o funcionamento destas técnicas, analisando os resultados e respectivas potencialidades de cada uma.

Por fim, o último capítulo tem como objectivo focar o estudo da propagação de fibras ópticas em regime não-linear, já que nem sempre este tipo de dispositivo se comporta como um meio linear. Para isso, é necessário identificar a equação que rege a propagação de impulsos neste tipo de regime, estudar os efeitos da DVG e AMF que não podem ser dissociados neste caso e estudar a propagação de solitões em fibras ópticas. Por fim, tal como em regime linear, pretende-se efectuar o estudo de uma técnica de compensação de dispersão em solitões, as DDFs.

1.5 Organização e estrutura da dissertação

De seguida apresenta-se a estrutura utilizada nesta dissertação.

No Capítulo um, procede-se a um enquadramento suscinto nas comunicações ópticas, passando para uma breve perspectiva histórica da evolução das fibras ópticas, finalizando com os objectivos propostos para esta dissertação, respectiva estrutura e principais contribuições.

No Capítulo dois são introduzidos os mecanismos de dispersão e os seus componentes numa fibra monomodal. Obtém-se a equação descritiva do comportamento dos impulsos que se propagam ao longo de uma fibra óptica monomodal e em regime linear. São simulados e analisados os efeitos produzidos pela DVG (alargamento temporal, que é contabilizado para um impulso gaussiano e verificada a respectiva influência no produto B2L e amplitude do impulso) e pela DOS (simetria do impulso e oscilações).

No Capítulo três, tendo em conta os efeitos introduzidos pela DVG, DOS e DVG na presença de DOS, são apresentados dois esquemas de compensação da mesma: DCFs e a técnica FBGs. Em ambas descreve-se o modo de implementação e são efectuadas simulações para vários impulsos de modo a aferir a suas principais característics, potencialidades e desvantagens.

No Capítulo quatro, foca-se o estudo na análise de impulsos do tipo solitão em fibras ópticas. Começa-se por considerar os efeitos não-lineares, nomeadamente o efeito óptico não-linear de Kerr. Deduz-Começa-se a expressão da propagação de impulsos numa fibra óptica em regime não-linear. Verifica-se que a propagação

(28)

de solitões é possível quando existe um equilíbrio entre a DVG e a AMF, apontando as características que definem este tipo de impulso. Por fim, analisa-se a propagação de um impulso gaussiano em regime linear e estuda-se uma técnica de compensação de dispersão neste regime, por meio de DDFs.

No Capítulo cinco, são expostas as considerações finais mais importantes, no que diz respeito às prin-cipais ideias a reter desta dissertação e o possível trabalho futuro a desenvolver.

O Apêndice A, tem como objectivo apresentar todos os passos pertencentes à determinação da fór-mula de alargamento de impulsos nas fibras ópticas em regime linear, particularizando para um impulso gaussiano.

O Apêndice B descreve os passos para a obtenção da fórmula que deduz a equação de um solitão fundamental.

1.6 Contribuições

As principais contribuições do trabalho desenvolvido nesta dissertação são:

- Caracterização da propagação de impulsos em fibras ópticas em regime linear, analisando o fenómeno de dispersão temporal;

- Estudo do impacto da dispersão de ordem superior na propagação de impulsos em sistemas de fibra óptica;

- Na compensação de dispersão em regime linear, a análise de técnicas de compensação de dispersão (DCFs e FBGs);

- Em regime não-linear, a análise dos efeitos de auto-modelação de fase e de dispersão temporal; - Na compensação de dispersão em regime não-linear, o estudo da técnica de compensação de dispersão em solitões fundamentais por meio de DDFs.

(29)

2

Propagação de impulsos numa fibra

óptica

(30)

2.1 Dispersão em fibras ópticas monomodais

As fibras multimodo, como o próprio nome sugere, permitem a propagação de vários modos. Ao gerar um impulso neste tipo de fibras verifica-se uma ampliação dos mesmos. A justificação para este facto baseia-se na existência de vários raios luminosos que percorrem variados caminhos e na existência de vários modos em funcionamento, o que implica velocidades de grupo distintas. Existem assim, dois tipos de dispersão presentes nestas fibras: a dispersão intermodal e a dispersão de velocidade de grupo (DVG). Relativamente às fibras multimodo, as fibras monomodais apresentam uma grande vantagem que está relacionada com o facto de a dispersão intermodal ser completamente eliminada. Contudo, no seu modo fundamental (HE11), o alargamento dos impulsos não desaparece totalmente e a velocidade de grupo

depende da frequência devido à dispersão cromática. Como resultado, existem diferentes componentes espectrais que percorrem a fibra com velocidades de grupo diferentes o que significa que continua a existir uma grande componente de dispersão nas fibras monomodais - dispersão de velocidade de grupo. Existem dois tipos de contribuições para a DVG - dispersão material e dispersão do guia de ondas [1].

2.1.1 Dispersão de velocidade de grupo

Sendo ∆ o contraste dieléctrico, assume-se na determinação da DVG que ∆ << 1 [2]. Teoricamente, ∆ deveria ter o maior valor possível de maneira a concentrar o máximo de luz na fibra, mas este facto invalidaria as fibras na sua utilização em comunicações ópticas já que possibilitava o aparecimento de um diferente tipo de dispersão (dispersão modal) em que vários impulsos luminosos percorrem caminhos de distâncias diferentes dispersando no tempo no final da fibra, mesmo que sejam coincidentes no seu início e viagem à mesma velocidade [1].

Assim, tendo em conta que n1 é o índice de refração no núcleo da fibra, n2 o índice de refração na

bainha e b o índíce de refracção modal normalizado, tem-se o índice de refracção modaln

n = q n2 2+ 2bn21∆ ≈ n2 √ 1 + 2b∆. (2.1)

Utilizando a aproximação para x << 1 √

1 + x ≈ 1 +x

2 (2.2)

então

n = n2(1 + b∆) (2.3)

Como foi referido acima, a DVG depende da frequência, o que implica que os índices de refracção no núcleo e na bainha da fibra também dependam da frequência. Assim, estabelecem-se os índices de grupo (para j=1,2, em que N1 representa o índice de grupo no núcleo e N2o da bainha)

Nj = ∂njk0 ∂k0 = nj+ k0 ∂nj ∂k0 . (2.4)

Da mesma maneira, é estabelecido o índice de grupo do guia

ng= ∂B ∂k0 =∂(k0n) ∂k0 = n + k0 ∂n ∂k0 . (2.5)

(31)

relação à frequência (dispersão de perfil) ∂n ∂k0 = (1 + b∆)∂n2 ∂k0 + n2k0 ∂b ∂k0 . (2.6)

Avançando para a substituição das equações (2.3), (2.4) e (2.6) na equação (2.5), obtém-se

ng= N2+ N2b∆ + n2k0∆

∂b ∂k0

. (2.7)

Sendo ν a frequência normalizada da fibra, a o raio da secção circular da fibra e k0= 2π_λ a constante

de propagação no vácuo ν = q n2 1− n22k0a = n1k0a √ 2∆ (2.8) determina-se que ∂ν ∂k0 = νN2 n2k0 (2.9) chegando à equação (2.10) ∂b ∂k0 = ∂b ∂ν ∂ν ∂k0 = νN2 n2k0 ∂b ∂ν. (2.10) Ao substituir (2.10) em (2.7) obtém-se ng= N2 1 + ∆∂νb ∂ν , (2.11)

tendo em conta que

∂νb

∂ν = b + ν ∂b

∂ν. (2.12)

O coeficiente de dispersão D é definido, então, pela equação (2.13)

D(λ) = 1 L

∂τg

∂λ (2.13)

em que L é o comprimento da fibra e τg é o atraso de grupo dado por

τg= L vg , (2.14) em que vg= c ng (2.15) corresponde à velocidade de grupo.

Atendendo às equações (2.5), (2.13), (2.14) e (2.15) D = 1 c ∂ng ∂λ = − 2πc λ2 β2= − 2π λ2 2∂n ∂ω+ ω ∂2n ∂ω2 = −λ c ∂2n ∂λ2 (2.16) onde β2 = ∂ 2_β

∂ω2 é o parâmetro da DVG e é responsável pelo alargamento do impulso no interior da fibra.

(32)

2.1.2 Dispersão material, dispersão do guia e dispersão de ordem superior

A dispersão material resulta da variação do índice de refractividade na sílica, que constitui o material usado na fabricação de fibras, com a frequência óptica de funcionamento ω. A dispersão do guia ocorre aquando da libertação de energia para a bainha da fibra em vez de estar confinada totalmente no seu núcleo [1].

Analisando o processo de determinação da dispersão de velocidade de grupo, o cálculo da dispersão material torna-se similar [2]. Desta maneira,

DM = M2=

1 c

∂N2

∂λ . (2.17)

Utilizando as equações (2.11) e (2.16) retira-se que

D = M2+ M2∆ d(νb) dν + N2∆ c ∂ ∂λ d(νb) dν . (2.18)

Tendo em conta a equação (2.9) tem-se ∂ν ∂λ = − νN2 n2k0 , (2.19) e consequentemente ∂ ∂λ d(νb) dν = d 2_(νb) dν2 ∂ν ∂λ = − νN2 n2λ d2_(νb) dν2 . (2.20)

Por fim, a partir das equações (2.17) e (2.18) retira-se que

D = DM + DW (2.21)

onde DW é a dispersão do guia e é dada por

DW = M2∆ d(νb) dν − N2 2∆ n2λc νd 2_(νb) dν2 . (2.22)

Para uma fibra óptica monomodal típica, a Figura 2.1 representa as contribuições da dispersão material, dispersão do guia e a junção de ambas (dispersão total D). É de notar que que o parâmetro de dispersão total D é anulado para um comprimento de onda muito próximo de 1.31µm (2a janela), denominado de comprimento de onda de dispersão nula λZD. Pode observar-se que as componentes de baixas frequências

do impulso para dispersões negativas deslocam-se com uma velocidade maior que as mesmas para altas frequências e valores de dispersão positivos. Assim, é possível através do controlo das características da fibra, fazer com que a dispersão seja minimizada. Alterando o perfil do índice de refracção e diminuindo as dimensões do núcleo, é possível utilizar fibras com dispersão total nula para um comprimento de onda de 1.55µm (3a _{janela), que são uma mais valia em comunicações ópticas já que operam na banda onde a}

(33)

Figura 2.1: Dispersão total D e as suas contribuições de dispersão material e do guia, respectivamente DM e DW, numa fibra monomodal típica. [1]

O efeito da DVG é predominante. Contudo, quando a portadora se encontra na vizinhança do com-primento de dispersão nulo, λ = λZD, onde D = β2 = 0 ou quando o sinal tem uma largura temporal

muito pequena, torna-se necessária a inclusão de um termo cúbico β3 em β(Ω) (referenciada na secção

2.2.1, equação (2.64)). Este coeficiente representa o parâmetro de dispersão de ordem superior (DOS). Os efeitos de dispersão de ordem superior provocam a distorção de impulsos muito pequenos tanto em regime linear como não-linear, provocando oscilações e corte na simetria do impulso.

A dispersão de ordem superior é determinada através do declive de dispersão S [2], tal que

S =∂D

∂λ. (2.23)

A expressão seguinte relaciona a dispersão total em função do comprimento de onda [2]

D(λ) = λSD 4 1 − λZD λ 4 (2.24)

em que SD é o parâmetro de dispersão de ordem superior para o nulo da DVG.

Aplicando as equações (2.16) e (2.24) na equação (2.23), obtém-se

S = 4πc λ3 β2+ 2πc λ2 2 β3= SD 4 1 + 3 λZD λ 4 , (2.25)

sendo β3 = ∂β_∂ω2 o já referido parâmetro de dispersão de ordem superior. Para λ = λZD e β2 = 0, S é

proporcional a β3.

2.2 Propagação de impulsos em regime linear numa fibra óptica

monomodal

Como foi referido, a existência da dispersão da velocidade de grupo provoca um alargamento temporal em regime linear nos impulsos transmitidos na fibra, provocando interferência inter-simbólica que

(34)

compro-mete a fidelidade da transmissão. A equação que traduz a propagação de impulsos de uma fibra óptica monomodal em regime linear é deduzida em seguida [2].

2.2.1 Equação de propagação de impulsos em regime linear

Para z = 0 (correspondente à entrada da fibra óptica), considere-se um impulso A(0, t) com portadora de frequência angular ω0. Supondo que a polarização do campo eléctrico é linear no eixo x, tem-se:

E(x, y, 0, t) = ˆxE(x, y, 0, t) (2.26) com

E(x, y, 0, t)) = E0F (x, y)B(0, t), (2.27)

B(0, t) = A(0, t)exp(−iω0t). (2.28)

Sendo o regime monomodal, F (x, y) representa a variação transversal do modo fundamental LP01.

J0 corresponde à função de Bessel e num sistema de coordenadas cilíndricas a coordenada transversal r

corresponde a r =px2_{+ y}2_{. Então, tem-se}

F (r) =        J0 r au , r ≤ a J0(u) k0(w)k0 1 aw , r ≥ a (2.29)

onde a é o raio do núcleo da fibra óptica, u uma constante de propagação transversal no núcleo e w uma constante de atenuação na bainha. Estas duas constantes são normalizadas e, portanto, adimensionais:

u2+ w2= ν2, (2.30)

ν = k0a

q n2

1+ n22. (2.31)

Como em F (0) = 1 e F (a) = J0(u), em r = 0 a amplitude do campo eléctrico é E0.

São consideradas, como foi referido no ínício da seccção 2.1.1, fibras ópticas com um contraste dieléctrico ∆ muito pequeno e por este motivo a aproximação dos modos LP é aceitável.

De modo a determinar o campo eléctrico num qualquer ponto z > 0, recorre-se à transformada de Fourier do campo em z = 0. Introduzindo

˜ A(z, ω) = Z ∞ −∞ A(z, t)exp(iωt)dt, (2.32) ˜ B(z, ω) = Z ∞ −∞ B(z, t)exp(iωt)dt, (2.33) e as respectivas transformadas inversas

A(z, t) = 1 2π Z ∞ −∞ ˜ A(z, ω)exp(−iωt)dω, (2.34) B(z, t) = 1 2π Z ∞ −∞ ˜ B(z, ω)exp(−iωt)dω, (2.35)

(35)

retira-se das equações (2.27) e (2.28) que ˜

E(x, y, 0, ω) = E0F (x, y) ˜B(0, ω), (2.36)

˜

B(0, ω) = ˜A(0, ω − ω0). (2.37)

Sendo β = β(ω) a constante de propagação longitudinal do modo fundamental, tem-se ˜

E(x, y, z, ω) = E0F (x, y) ˜B(z, ω), (2.38)

˜

B(z, ω) = ˜B(0, ω)exp[iβ(ω)z]. (2.39) Admitindo que na fibra óptica a polarização não é alterada, é possível escrever a equação (2.40) que representa o campo eléctrico existente num qualquer ponto da fibra z > 0

E(x, y, z, t) = ˆxE(x, y, z, t), (2.40) com

E(x, y, z, t) = E0F (x, y)B(z, t). (2.41)

Tendo em conta a equação (2.39) tem-se

B(z, t) = 1 2π Z ∞ −∞ ˜ A(0, ω − ω0)exp i[β(ω)z − ωt] dω. (2.42)

Introduzindo o desvio de frequência Ω em relação à portadora

Ω = ω − ω0, (2.43) vem B(z, t) = 1 2πexp(−iω0t) Z ∞ −∞ ˜ A(0, Ω)exp i[β(ω0+ Ω)z − Ωt] dΩ. (2.44)

A introdução de um desenvolvimento em série de Taylor para β(ω0+ Ω) reduz a complexidade do

cálculo do integral presente na equação (2.44). Assim sendo,

β(ω0+ Ω) = β0+ Φ(Ω), (2.45) Φ(Ω) = ∞ X m=1 βm m!Ω m_, _(2.46) em que β0= β(ω0), (2.47) é possível escrever B(z, t) = A(z, t)exp[i(β0z − ω0t)], (2.48) A(z, t) = 1 2π Z ∞ −∞ ˜ A(0, Ω)exp i[Φ(Ω)z − Ωt] . (2.49)

Observando as duas últimas equações, verifica-se que a função A(z, t) varia mais lentamente no tempo que a função B(z, t). De uma maneira geral |Ω| << ω0, logo exp(−iΩt) sofre oscilações com uma frequência

(36)

Os coeficientes βminstroduzidos na equação (2.46), em que m corresponde a um número inteiro (m =

1, 2, 3...), são dados por

βm= ∂mβ ∂ωm _ω=ω 0 . (2.50) Particularizando, β1= 1 ν(ω0) , (2.51) β2= − 1 ν2_(ω 0) ∂vg ∂ω _ω=ω 0 , (2.52) onde vg= ∂β ∂ω −1 é a velocidade de grupo.

Tendo em conta as equações (2.41) e (2.49) é possível escrever

E(x, y, z, t) = E0F (x, y)A(z, t)exp[i(β0z − ωot)]. (2.53)

Torna-se então necessário calcular a função A(z, t) partindo de A(0, t). Para tal resolve-se a equação (2.49). Para m = 1, 2, 3.. Am(z, t) = 1 2π Z ∞ −∞ ΩmA(0, Ω)Q(z, t; Ω)dΩ,˜ (2.54) em que Q(z, t; Ω) = exp[iΦ(Ω)z]exp(−iΩt). (2.55) Assim, da equação (2.49) ∂A ∂z = i ∞ X m=1 βm m!Am(z, t). (2.56)

Considerando perdas a equação anterior (2.56) deve ser reescrita, sendo apresentada na equação seguinte onde α representa o coeficiente de atenuação de potência.

∂A ∂z = i ∞ X m=1 βm m!Am(z, t) − α 2A(z, t). (2.57) Sabe-se que ∂A ∂t = −iA1(z, t), (2.58) ∂2_A ∂t2 = −iA2(z, t), (2.59) ∂3_A ∂t3 = −iA3(z, t), (2.60) ∂4_A ∂t4 = −iA4(z, t). (2.61) Generalizando, ∂mA ∂tm = −i 2−m_A m(z, t). (2.62)

(37)

Assim, a partir das equações (2.57) e (2.62) obtém-se ∂A ∂z + ∞ X m=1 im−1 m! βm ∂m_A ∂tm + α 2A = 0, (2.63)

que representa a equação diferencial que permite calcular A(z, t) a partir de A(0, t). De uma maneira geral, os impulsos são de banda estreita (|Ω| << ω0), logo é possível considerar a truncatura dada pela equação

seguinte, desprezando todos os restantes termos de ordem superior

Φ(Ω) = β1Ω + 1 2β2Ω 2₊1 6β3Ω 3_. _(2.64)

Nesse caso. a equação (2.63) é dada por ∂A ∂z + β1 ∂A ∂t + i 1 2β2 ∂2_A ∂t2 − 1 6β3 ∂3_A ∂t3 + α 2A = 0. (2.65)

No caso de não serem consideradas perdas (α = 0), o cálculo de A(z, t) passa pelos seguintes passos

A(0, Ω) = Z ∞ −∞ ˜ A(0, t)exp(iΩt)dt (2.66) ˜

A(z, Ω) = ˜A(0, Ω)exp(−iΦ(Ω)z) (2.67) A(z, t) = 1 2π Z ∞ −∞ ˜ A(z, Ω)exp(−iΩt)dΩ. (2.68)

2.3 Resolução numérica

Tendo em conta a propagação de impulsos em regime linear, recorre-se ao uso do programa Matlab para efectuar o estudo dos diferentes tipos de impulsos numa fibra óptica monomodal. Para tal, são utilizadas como base duas funções inerentes a este programa: Fast Fourier Transform (FFT) e Inverse Fast Fourier Transform (IFFT) [2].

Os efeitos de atenuação e de dispersão de ordem superior são desprezados, ou seja, βm= 0 para m ≥ 3.

Desta maneira, no domínio de Fourier apenas se considera ∂ ˜A

∂z = iωβ1 ˜

A(z, ω), (2.69)

que tem como solução

A(z, ω) = ˜A(0, ω)exp(iωβ1z). (2.70)

Assim, tem-se A(z, t) = 1 2π Z ∞ −∞ ˜ A(0, ω)exp(−iΩt − β1z)dt (2.71)

de onde se retira que

A(z, t) = A(0, t − β1z). (2.72)

(38)

propagação do impulso sem dispersão e com velocidade de grupo

vg=

1 β1

. (2.73)

Contudo, o desprezo dos termos de dispersão superior não é aceitável para estudos práticos. Definindo o atraso de grupo por

τg= β1z = z vg(ω0) , (2.74) a equação (2.72) fica A(z, t) = A(0, t − τg). (2.75)

Define-se ainda o comprimento da dispersão por

LD=

τ2 0

|β2|

(2.76)

que representa a distância a partir da qual a dispersão se faz sentir. τ0 é um tempo característico da

duração do impulso A(0, t) e β2 é o coeficiente da DVG. Os efeitos dispersivos são desprezados numa

ligação de comprimento L, quando LD> L.

2.3.1 Normalização das variáveis espaço e tempo

Definem-se em seguida as variáveis adimensionais ζ e τ , respectivamente para o espaço e para o tempo [2] ζ = z LD , (2.77) τ = t − β1z τ0 . (2.78)

Transformando as variáveis reais (z, t) para as variáveis normalizadas(ζ, t), tem-se ∂A ∂z = ∂ζ ∂z ∂A ∂ζ + ∂τ ∂z ∂A ∂τ = 1 LD ∂A ∂ζ − β1 τ0 ∂A ∂τ (2.79) ∂A ∂t = ∂τ ∂t ∂A ∂τ = 1 τ0 ∂A ∂τ. (2.80)

Para normalizar a equação (2.65) tem-se: ∂2A ∂t2 = ∂ ∂t ∂A ∂t = ∂ ∂t 1 τo ∂A ∂τ = 1 τ0 ∂ ∂t ∂A ∂τ = 1 τ0 ∂ ∂τ ∂τ ∂t ∂A ∂τ = 1 τ2 0 ∂2A ∂τ2 (2.81) ∂3_A ∂t3 = ∂ ∂t ∂2_A ∂t2 = ∂ ∂τ ∂τ ∂t 1 τ2 0 ∂2_A ∂τ2 = 1 τ3 0 ∂3_A ∂τ3. (2.82)

Substituindo (2.81) e (2.82) na equação (2.65), vem 1 LD ∂A ∂ζ − β1 τ0 ∂A ∂τ + β1 1 τ0 ∂A ∂τ + i 1 2β2 1 τ2 o ∂2A ∂τ2 − 1 6β3 1 τ3 0 ∂3A ∂τ3 = 0. (2.83)

(39)

Multiplicando todos os factores por LD, obtém-se ∂A ∂ζ + i 1 2β2 LD τ2 0 ∂2A ∂τ2 − 1 6β3 LD τ3 o ∂3A ∂τ3 = 0. (2.84)

Tendo em conta (2.76) e que β2= sgn(β2).|β2|

β2LD τ₀2 = sgn(β2). (2.85) Na equação (2.84) k = 1 6 β3 τ3 0 LD= 1 6 β3 τ3 0 τ2 0 |β2| = β3 6|β2|τ0 (2.86) representa o coeficiente de dispersão de ordem superior.

A forma geral da equação será, portanto ∂A ∂ζ + i 1 2sgn(β2) ∂2_A ∂τ2 − k ∂3_A ∂τ3 = 0. (2.87)

Define-se a frequência normalizada como

ξ = Ωτ0= (ω − ω0)τ0. (2.88)

Tem-se, por isso, duas novas equações de Fourier ˜ A(ζ, ξ) = Z ∞ −∞ A(ζ, τ )exp(iξτ )dτ (2.89) A(ζ, τ ) = 1 2π Z ∞ −∞ ˜ A(ζ, ξ)exp(−iξτ )dξ. (2.90)

Assim, a equação (2.81) escreve-se no domínio da frequência da seguinte maneira ∂ ˜A ∂ζ = i 1 2sgn(β2)ξ 2_{− kξ}3 ˜ A(ζ, ξ) (2.91)

e tem como solução

˜

A(ζ, ξ) = ˜A(0, ξ)exp i 1 2sgn(β2)ξ 2 − kξ3 ζ . (2.92)

O diagrama de blocos seguinte representa o método de resolução numérica da equação (2.90).

(40)

2.4 Factor de mérito

O alargamento dos impulsos causado pela dispersão, falado no início deste capítulo, tem influência no nível de interferência inter-simbólica que por sua vez condiciona o débito binário. Este alargamento tem origem em vários factores, como por exemplo a largura espectral da fonte, a largura inicial dos impulsos e a dispersão (DVG e dispersão de ordem superior (DOS)) [2].

Sendo A(z, t) a envolvente do impulso a propagar, tem-se um sinal modulado

E(r, z, t) = E0F (r)A(z, t)exp[i(β0z − ω0t)], (2.93)

onde ω0representa a frequência da portadora e β0= β(ω0) a constante transversal de propagação.

Para estudar as repercussões no débito binário, torna-se essencial determinar a largura efectiva do impulso, dada por

σ(z) =pht2_{i − hti}2 _(2.94)

em que σ0 corresponde à largura RMS inicial dos impulsos.

A largura espectral normalizada da fonte é

V = 2σωσ0, (2.95)

em que σω é a largura espectral efectiva e é dada por

σω=

2πc

λ2 σλ. (2.96)

Tendo em conta que

∆ω ∂ω ∂λ ∆λ = 2πc λ2 ∆λ (2.97)

para impulsos gaussianos, a expressão seguinte representa o alargamento sofrido pelos impulsos σ σ0 2 = 1 + Cβ2L 2σ2 0 2 + (1 + V2) β2L 2σ2 0 2 + (1 + C2+ V2)21 2 β3L 4σ2 0 2 (2.98)

onde C é o parâmetro de chirp do impulso e L é o comprimento da ligação. A expressão pode ser também alargada a outro tipo de impulsos para obter uma estimativa do alargamento.

Desprezando a dispersão de ordem superior (β3 = 0) e considerando V << 1, razoável para um laser

monomodal com pequena largura espectral, a equação (2.98) fica reduzida a (Apêndice A) σ σ0 2 = 1 + Cβ2L 2σ2 0 2 + β2L 2σ2 0 2 (2.99)

que representa o factor de alargamento dos impulsos.

De modo a garantir a não existência de interferência inter-simbólica é utilizado o critério

σ≤TB 4 = 1 4B ⇒ B ≤ B0= 1 4σ, (2.100)

onde TB é o período temporal atribuído a um bit, sendo o débito binário B = T1B. Assumindo um

(41)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 1 2 3 4 5 6

Evolucao da largura dos impulsos com a distancia

ζ = z / L D η C = − 2 C = 0 C = 2

Figura 2.3: Evolução da largura dos impulsos na zona de dispersão anómala (β2< 0) para C = −2, C = 0

e C = 2.

η = σ σ0

(2.101) tem-se um débito binário correspondente

B = 1 2γ0σ0 = 1 2q0τ0 , (2.102) em que γ0 = √

2q0 é o critério de folga (q0 representa a separação entre impulsos vizinhos em unidades

normalizadas) e τ0=

√ 2σ0.

Pela Figura 2.3 verifica-se que para qualquer valor do parâmetro de chirp existe alargamento do impulso devido à influência da DVG. Para C = −2 regista-se um coeficiente de alargamento mais elevado, uma vez que o efeito de chirp é somado ao efeito da DVG; para C = 2 pode obervar-se uma ligeira contração do impulso que contraria a DVG, alargando logo de seguida o que revela que a DVG acaba por ser dominante.

Sendo

x = |β2|L 2σ2

0

= 2γ₀2|β2|(B2L) (2.103)

resolve-se a equação (2.99) em ordem a x. Obtém-se

(1 + C2)x2+ 2sgn(β2)Cx + (1 + η2) = 0 (2.104) x = −sgn(β2)C +pη 2_{(1 + C}2_{) − 1} 1 + C2 . (2.105) Então, B2L = −C + sgn(β2)pη 2_{(1 + C}2_{) − 1} 2γ2 0β2(1 + C2) . (2.106)

O produto B2L corresponde ao factor de mérito e é adimensional. Dadas duas ou mais ligações, este factor permite de uma maneira geral averiguar qual a melhor ligação - quanto maior o factor, melhor a ligação. É possível ajustar os valores do B2e do L de modo a ter a melhor ligação possível.

(42)

A figura seguinte demonstra influência do parâmetro chirp C no produto B2_{L representado pela equação}

acima, no regime de dispersão anómalo (β2< 0) e no regime de dispersão normal (β2> 0).

−6 −4 −2 0 2 4 6 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18x 10

24 Influencia do parametro de chirp C no produto B0

2_L C B0 2 L β 2 = − 20 ps 2_/km β 2 = 20 ps 2_/km

Figura 2.4: Influência do parâmetro chirp C no produto B2 0L.

2.5 Efeito da dispersão de velocidade de grupo

Neste subcapítulo pretende-se verificar os efeitos da dispersão de velocidade de grupo na propagação de impulsos, mais concretamente em impulsos gaussianos e supergaussianos com e sem chirp.

2.5.1 Impulso gaussiano

Um impulso supergaussiano é descrito de uma maneira geral, pela equação [3]

A(0, t) = exp −1 + iC 2 t t0 2m , (2.107)

em que C representa o parâmetro de chirp do impulso (um impulso tem chirp quando a frequência da sua portadora varia no tempo [1]) e m a rapidez com que o o impulso atinge o seu valor máximo.

Para estudar o impulso gaussiano, considera-se m = 1. Desta maneira tem-se

A(0, t) = exp −1 2 t t0 2 . (2.108)

(43)

Para m = 1 e C = 0: −30 −20 −10 0 10 20 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Impulso gaussiano (ζ=2) Tempo Amplitude Impulso inicial Impulso final

Figura 2.5: Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra para ζ = 2.

−30 −20 −10 0 10 20 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Impulso gaussiano (ζ=10) Tempo Amplitude Impulso inicial Impulso final

Figura 2.6: Representação de um impulso gaussiano à entrada e saída da fibra para ζ = 10.

(44)

Figura 2.8: Evolução do espectro de um impulso gaussiano para ζ∈[0, 10].

Verifica-se pela Figura 2.5 e 2.6 que as características do impulso, como a amplitude e largura, são alteradas o que é justificado pela influência da DVG. O espectro do impulso (Figura 2.8) mantém-se constante ao longo da fibra, já que a atenuação da fibra foi desprezada e consequentemente nenhuma das componentes espectrais é atenuada.

2.5.2 Impulso supergaussiano

Os impulsos supergaussianos constituem uma excelente aproximação de um impulso rectangular, po-dendo modular transições abruptas de estado (on/off). Uma vez que o parâmetro m regula a queda do impulso, quanto maior for o seu valor mais o impulso se aproxima de um impulso rectangular [4]. Para obter um impulso supergaussiano, considera-se m = 3 e C = 0 (sem influência de chirp). O impulso a simular é, então A(0, t) = exp −1 2 t t0 6 . (2.109) Para ζ = 2: −250 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Impulso Supergaussiano Tempo Amplitude Impulso inicial Impulso final

(45)

Figura 2.10: Evolução ao longo da fibra de um impulso supergaussiano no tempo para ζ∈[0, 2].

Figura 2.11: Evolução do espectro de um impulso supergaussiano para ζ∈[0, 2].

Nota-se que existem diferenças entre um impulso gaussiano (Figura 2.5) e um impulso supergaussiano (Figura 2.9) que podem ser atribuídas ao estreitamento e às caudas associadas a um impulso supergaus-siano. Enquanto um impulso gaussiano mantêm a sua forma ao propagar-se, o impulso supergaussiano sofre um alargamento muito mais rapidamente e apresenta oscilações. O alargamento sofrido pelo impulso supergaussiano pode ser justificado pelo facto de o seu espectro ser mais largo que o gaussiano. Como o atraso da DVG de cada componente da frequência está directamente relacionado com a sua separação da frequência central ω0, um espectro mais largo resulta num alargamento mais rápido do impulso [3].

2.5.3 Impulso supergaussiano com efeito de chirp

Nesta secção pretende-se demonstrar o efeito do parâmetro chirp num impulso supergaussiano. In-cluindo o parâmetro de chirp C na expressão de propagação do impulso, tem-se

A(0, t) = exp −1 + Ci 2 t t0 6 . (2.110)

(46)

Para C = 2: −30 −20 −10 0 10 20 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Impulso Supergaussiano com chirp (C=2)

Tempo

Amplitude

Impulso inicial Impulso final

Figura 2.12: Impulso supergaussiano com chirp C = 2 à entrada e saída da fibra para ζ = 2.

(47)

Figura 2.14: Evolução do espectro de um impulso supergaussiano com C = 2 para ζ∈[0, 2]. Para C = −2: −30 −20 −10 0 10 20 30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Impulso supergaussiano com chirp (C=−2)

Tempo

Amplitude

Impulso inicial Impulso final

(48)

Figura 2.16: Evolução ao longo da fibra de um impulso supergaussiano no tempo com C = −2 para ζ∈[0, 2].

Figura 2.17: Evolução do espectro de um impulso supergaussiano com C = −2 para ζ∈[0, 2].

Para as primeiras simulações apresentadas (C = 2), em que se considera β2< 0 (no regime de

disper-são anómalo), verifica-se que o chirp introduz uma compensação da DVG na fase inicial da propagação do impulso, ou seja, próximo do local onde o impulso é lançado. Contudo, essa compensação perde efeito e a partir de dada altura a DVG torna-se dominante. Comparando o impulso supergaussiano com chirp (Figura 2.12) e sem chirp (Figura 2.9), verifica-se que existe um alargamento maior do impulso na presença de chirp, o que é indesejável.

Analisando os resultados obtidos nas simulações com C = −2 (também no regime de dispersão anómalo β2 < 0), verifica-se que os resultados são mais degradados que os obtidos na presença de chirp positivo.

Existe um agravamento do fenómeno da dipersão da velocidade de grupo e de todos os problemas que este acarreta.

(49)

2.6 Efeito da dispersão de ordem superior

O alargamento sofrido pelos impulsos na sua propagação é causado pela DVG associada ao termo β2.

Apesar da sua contribuição ser na maioria dos casos dominante, é necessário incluir por vezes a dispersão de ordem superior (DOS), governada por β3 [3]. Este parâmetro não pode ser desprezado em situações

em que se considerem impulsos ultra-curtos (largura característica < 5 ps [1]) em que o espectro é largo e quando se opera num comprimento de onda muito próximo do comprimento de dispersão nulo λZD, onde

β2= 0 e portanto os efeitos da DVG deixam de existir.

Desprezando os efeitos não lineares e tendo em conta a equação (2.65) para α = 0 que representa a propagação de um impulso, introduz-se a amplitude normalizada U [3]

U (z, τ ) = A(z, τ ) √ P0exp −αz 2 (2.111)

onde P0 é a potência de pico do impulso e α as perdas na fibra. Sendo τ = _τT

0, U (z, T ) satisfaz a equação seguinte i∂U ∂z = 1 2β2 ∂2_U ∂T2 + i 1 6β3 ∂3_U ∂T3 (2.112)

sendo a solução geral representada por

U (z, T ) = 1 2π Z ∞ −∞ ˜ U (0, ω)exp i 2β2ω 2_{z +}i 6β3ω 3_{z − iωT} dω. (2.113)

Utilizando o método descrito em 2.3.1, efectuaram-se simulações em Matlab de modo a verificar a influência da dispersão de ordem superior em impulsos gaussianos. As simulações são apresentadas de seguida.

2.6.1 Evolução do impulso gaussiano

Como se pretende estudar os efeitos da DOS em impulsos gaussianos é importante estabelecer a relação entre o comprimento da dispersão de ordem superior e o parâmetro β3. Assim, tem-se

L0_D= τ0 |β3|

. (2.114)

Para um impulso gaussiano com chirp C = 0, β2= 0 e β3= 0.09ps3/km, são apresentadas de seguida

(50)

−100 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Impulso gaussiano Tempo Amplitude Impulso inicial z=200 km z=500 km

Figura 2.18: Impulso gaussiano com largura τ0= 3ps para diferentes comprimentos da fibra.

−100 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Impulso gaussiano Tempo Amplitude Impulso inicial z=10 km z=50 km

Figura 2.19: Impulso gaussiano com largura τ0= 1ps para diferentes comprimentos da fibra.

Analisando as figuras acima verifica-se que influência de β3 faz-se sentir para distâncias de ligação

diferentes dependendo do valor da largura do impulso τ0. Conclui-se assim que quanto menor for τ0, mais

curtas são as distâncias a partir das quais a DOS é verificada e maior é o seu grau de evidência. Estes efeitos têm um papel relevante quando L0_D= LD ou τ0|β2/β3| ≤ 1 [3].

Para uma distância de ligação z = 5L0_D, C = 0, β2= 0 e β3= 0.09ps3/km são representados na figura

2.20 o impulso inicial e, para dois casos distintos, o impulso final.

A presença da dispersão de ordem superior condiciona a forma do impulso, deformando-o. O impulso torna-se assimétrico em relação ao impulso inicial e apresenta oscilações nos seus extremos. É importante referir que quando β3é positivo, as oscilações surgem na parte de trás do impulso, enquanto se for negativo

surgem na parte da frente. Com L0_D= LD, (ou seja, contando também com a influência de β2) as oscilações

são menores ou quase inexistentes, mas o impulso continua distorcido apresentando uma assimetria em relação ao impulso inicial.

(51)

−5 0 5 10 15 20 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Impulso gaussiano Tempo Amplitude Impulso inicial L D=LD’ β 2=0

Figura 2.20: Impulso gaussiano com largura τ0 = 1ps em z = 5L0D para três casos distintos: impulso

inicial, β2= 0 e L0D= LD.

Para o caso β2 = 0, com chirp C = 0 e τ0 = 1ps, é representado na figura seguinte a evolução do

impulso gaussiano ao longo da fibra.

Figura 2.21: Evolução do Impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ0= 1ps para β2= 0 e chirp

C = 0.

O estudo da influência da dispersão de ordem superior num impulso gaussiano foi efectuado até agora com um parâmetro de chirp nulo. O parâmêtro β3 é afectado de um factor C2, portanto para valores

simétricos de C a evolução de impulsos gaussianos com chirp é similar [5]. A Figura 2.22 representa um impulso gaussiano para três valores diferentes do parâmetro de chirp, considerando β2= 0 e τ0= 1ps.

(52)

−100 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Impulso gaussiano Tempo Amplitude C=2 C=1 C=0

Figura 2.22: Deterioração do impulso gaussiano com largura τ0= 1ps e β2= 0.

Verifica-se quanto maior for o módulo do parâmetro C, mais significativos serâo os efeitos da dispersão de ordem superior.

Na Figura 2.23 é representada a evolução de um impulso gaussiano para C = 2: o impulso apresenta inicialmente um estreitamento e ao longo da sua propagação sofre um alargamento considerável.

Figura 2.23: Evolução do impulso gaussiano ao longo da fibra com largura τ0 = 1ps para β2= 0 e chirp

C = 2.

2.6.2 Evolução do impulso gaussiano em termos da função de Airy

Para um impulso gaussiano com chirp e tendo em conta [3]

˜ A(0, ω) = _2πτ2 0 1 + iC 12 exp − ω 2_τ2 0 2(1 + iC) , (2.115)