Chirped FBG (CFBG)

De modo a resolver o problema das FBG uniformes, que reside no facto da sua utilização não ser indicada para ritmos binários elevados, foram criadas as Chirped Fiber Bragg Gratings (CFBG), ou redes aperiódicas. Como o próprio nome indica, existe uma não periodicidade inerente: este tipo de dispositivo possibilita a variação da condição de Bragg ao longo do seu comprimento, ou seja, uma variação progressiva do centro da banda proibida. Fisicamente, este tipo de rede obtém-se pela variação longitudinal do índíce de refracção modal, variando o período espacial da amplitude de modulação do índice Λ(z) (equação (3.13)), ou por variação simultânea de ambas as grandezas [1].

Figura 3.28: Chirped FBG - espaçamento Λ não uniforme (adaptado de [16]).

A variação do período espacial ao longo da posição longitudinal na rede apresenta uma característica linear, sendo dada pela expressão [11]

Λ(z) = Λ(0) + CΛz, (3.34)

onde Λ0 representa o período espacial da rede numa das suas extremidades e CΛ o coeficiente de

A sua representação é apresentada de seguida.

Figura 3.29: Perfil do período espacial Λ(Z) ao longo do comprimento da Chirped FBG.

É então possível obter uma aperiodicidade linear, já que é provocado o aumento do comprimento de onda de Bragg. Consequentemente dá-se uma translação do centro da banda proibida para frequências cada vez mais baixas à medida que aumenta o período espacial. Desta maneira, os vários comprimentos de onda pertencentes ao sinal que coincidem com o comprimento de onda de Bragg são reflectidos em posições diferentes da CFBG: as frequências mais altas são reflectidas no início e as frequências mais baixas são reflectidas mais tardiamente. Isto significa que as componentes mais lentas do espectro são reflectidas primeiro e as componentes mais rápidas percorrem um caminho mais longo na CFBG até serem reflectidas (situação correspondente a uma DVG anómala). Para uma situação com DVG normal é necessário incidir o sinal no extremo oposto ao da CFBG [1]. Os restantes comprimentos de onda do sinal são reflectidos normalmente. O caminho que cada comprimento de onda percorre no interior do dispositivo é inversamente proporcional à velocidade de propagação do sinal na FBG. Assim, os sinais chegam à saída do dispositivo praticamente no mesmo instante sendo possível compensar a dispersão de velocidade de grupo [9].

Figura 3.30: Perfil do índice de refracção n(Z) ao longo do comprimento da CFBG.

Figura 3.31: Reflexão das altas e baixas frequências em pontos diferentes da CFBG devido à variação no comprimento de onda de Bragg λB [5].

Como foi referido, os variados comprimentos de onda do sinal são reflectidos em posições diferentes. Como tal, existe um atraso de grupo associado que depende do comprimento de onda. Como a aperi- odicidade é linear então o atraso de grupo também é linear, o que faz com que este tipo de redes seja

actrativo na implementação de técnicas de compensação de dispersão em sistemas de comunicação por meio de fibra óptica [12]. A CFBG possui uma largura de banda mais extensa que a largura de banda de uma FBG uniforme. Isto porque nas CFBG, a condição de Bragg verifica-se para um número maior de componentes espectrais o que faz com que a sua banda total seja formada pela sobreposição de várias minibandas [1] [11].

Considerando como referência a componente espectral reflectida numa das extremidades da rede (z = 0), observa-se que a componente espectral reflectida na extremidade oposta tem um atraso de grupo τg

dado por [1]

τg=

2˜nLg

c , (3.35)

onde c representa a velocidade da luz no vazio.

Figura 3.32: Reflectividade (esquerda) e atraso de grupo τg(direita) de uma CFBG de comprimento 2.5cm

e coeficiente de aperiodicidade linear de 0.8nm/cm.

A análise da equação (3.35) indica que quanto menor for o comprimento da rede, menor atraso de grupo existirá. Pela figura acima (direita) verifica-se que o atraso de grupo das componentes, sem considerar a componente de referência, varia linearmente com o comprimento de onda.

Considerando as componentes espectrais reflectidas nos extremos, a equação da dispersão na rede é dada pela expressão seguinte e resulta da derivada do atraso de grupo em relaçao ao comprimento de onda.

Dg=

2˜nLg

c∆λ (3.36)

onde ∆λ representa a diferença entre as componentes espectrais reflectidas nos extremos da CFBG e é dado por

∆λ = 2˜nCΛLg. (3.37)

A dispersão obtém-se por substituição de (3.37) em (3.36):

Dg=

1 cCΛ

. (3.38)

Na figura 3.33 observa-se que se a rede for suficientemente longa, a sua dispersão será independente do comprimento, variando apenas com o coeficiente de aperiodicidade (equação (3.38)). Assim, na compensa-

Figura 3.33: Dispersão numa CFBG com coeficiente de aperiodicidade de 1nm/cm em função do compri- mento da rede.

Figura 3.34: Dispersão numa CFBG com 2.5cm de comprimento em função do coeficiente de aperiodi- cidade CΛ.

ção da DVG numa fibra convencional com comprimento na ordem das centenas de quilómetros, utiliza-se uma CFBG com comprimento na ordem das dezenas de centímetros. Como exemplo, Dg ≈ 5 ∗ 107 para

∆λ = 0.2nm. Devido a valores tão altos de Dg, bastam apenas 10cm de FBG para compensar a DVG

adquirida em 300km [1].

A compensação da dispersão por meio de CFBG em relação à compensação da dispersão por meio de DCF apresenta algumas vantagens, nomeadamente o facto de ter uma largura de banda mais elevada e custo muito mais reduzido (poucos centímetros compensam grandes distâncias enquanto na DCF são necessários vários troços de comprimentos mais elevados para compensar a mesma distância). Em contrapartida, ao actuarem como um filtro reflector, as CFBG necessitam de um circulador para separar o sinal reflectido do incidente [5].

3.3

Conclusões

Este capítulo focou-se no estudo de duas técnicas de compensação de dispersão em regime linear, a compensaçao da dispersão por meio de DCF e por FBG. O estudo da eficácia das DCF foi efectuado em três partes distintas: compensaçao da DVG, compensação da DOS e a compensação da DVG na presença de DOS. Verifica-se que a introdução da DCF, de comprimento L2, faz com que o sinal original transmitido

na fibra seja completamente recuperado, apesar de sofrer alargamento e perda de amplitude devido à dispersão. Contudo, aquando do estudo da compensação da DVG na presença de DOS, verifica-se que a DCF não consegue compensar totalmente o impulso transmitido na fibra: apesar dos efeitos da DVG serem compensados, a presença da dispersão de ordem superior impõe oscilações e uma assimetria no impulso transmitido.

Estes tipos de fibras têm algumas desvantagens, nomeadamente custos elevados, perdas relativamente maiores do que nas fibras convencionais e contribuírem para a ocorrência de fenómenos não-lineares (têm uma densidade inferior às fibras convencionais o que conduz a um aumento da potência no seu interior).

Em relação ao estudo das FBG, foram focadas primeiramente as características das FBG uniformes e realçada a sua aplicação na compensação da dispersão. Utilizou-se a reflexão de Fresnel e a teoria dos modos acoplados para uma descrição quantitativa dos fenómenos existentes na FBG, que permite obter

um conjunto de equações diferenciais para as duas ondas com sentidos de propagação contrários. Devido a esta interação forma-se uma banda proibida, onde se dá a reflexão máxima. Foi demonstrada a sua capacidade de funcionamento como filtro óptico.

Concluiu-se que quanto maior o produto κgLg, maior será a reflectividade aproximando-se do valor

máximo 100%. Considerando um valor constante do coeficiente de acoplamento κg, verifica-se que quanto

menor for o comprimento da FBG, maior é a largura de banda proibida e consequentemente menor será o valor de reflectividade máxima. Na proximidade dos limites da banda proibida constatou-se que o sinal sofre elevada distorção, o que inibe a utilização desta zona para efectuar compensação de dispersão. Por este motivo, recorre-se à utilização de CFBG.

Nas CFBG, através da variação do índice de refracção modal e/ou da variação da periodicidade espacial da rede, os diferentes comprimentos de onda são reflectidos em diferentes lugar na mesma. Assim, os valores da DVG são estimados com base na diferença entre percursos entre altas e baixas frequências. Verifica-se que nas CFBG, os valores da dispersão são elevados comparativamente com os valores da DCF, possibilitando a compensação da dispersão por meio de uma CFBG da ordem dos centímetros. Neste tipo de redes aperiódicas, a condição de Bragg é satisfeita para vários comprimentos de onda, o que significa que a largura de banda é superior relativamente às fibras convencionais. A utilização de CFBG implica a utilização de um circulador para separar os sinais reflectidos dos sinais incidentes, o que pode ser apontado como uma desvantagem.

4

Compensação de dispersão em regime

não-linear

As análises apresentadas nos capítulos anteriores foram feitas considerando uma fibra óptica como um meio linear. Acontece que nem sempre estes dispositivos têm este tipo de comportamento. De facto, para potências muito elevadas do sinal de entrada ou para comprimentos maiores da ligação, efeitos não-lineares são sentidos.

Para campos electromagnéticos com intensidades elevadas, verifica-se um aumento no índice de refrac- ção na fibra óptica, o que reflecte um comportamento não-linear. Este efeito é dado pelo Efeito Óptico Não-Linear de Kerr, cujo estudo é feito em seguida de modo a ser possível caracterizar as limitações im- postas por este tipo de regime. Neste capítulo é determinada, tendo como base o Capítulo 2, a equação de propagação de impulsos em regime não-linear, identifica-se o comportamento de um sistema com soli- tões e estuda-se a utilização de Fibras de Dispersão Decrescente na compensação da dispersão em regime não-linear.

4.1

Efeito óptico não-linear de Kerr

Como foi referido acima, quando a fibra é exposta a intensidades elevadas de campo electromágnético, o seu índice de refracção modifica-se (efeito não-linear de Kerr). Sendo β a constante de fase de propagação linear e ˜n o índice de refracção modal correspondente, tem-se [13]

β = ˜nk0 (4.1)

em que k0= ω/c é a constante de propagação no vácuo e c a velocidade de propagação da luz no vácuo.

No plano transversal (x, y) o índice de refracção da fibra é n = n(x, y) tal que

ε(x, y) = n2(x, y) (4.2)

onde ε é a constante dieléctrica relativa.

Em regime linear, a equação de Helmholtz permite escrever

∇t2F + [n2(x, y)k20− β2]F (x, y) = 0, (4.3)

que, em coordenadas rectangulares é dada por

∇t2F =

∂2_F

∂x2 +

∂2_F

∂y2. (4.4)

Na aproximação dos modos LP para fibras de pequeno contraste dieléctrico considera-se a expressão do campo eléctrico dada pela equação (2.40). Supondo que existe uma perturbação na constante eléctrica relativa, tem-se

ε0= ε(x, y) + ∆ε. (4.5)

Desta maneira, a nova constante de propagação longitudinal é dada por

β0= β + ∆β, (4.6) com ∆β = k 2 0 2β R∞ −∞ R∞ −∞∆ε|F (x, y)| 2_dxdy R∞ −∞ R∞ −∞|F (x, y)|2dxdy . (4.7)

Tendo em conta a equação (4.2), vem que

∆ε = 2n(x, y)∆n. (4.8)

Admitindo a aproximação n(x, y) ≈ ˜n e substituindo a equação (4.1) na equação (4.7), obtém-se a expressão ∆β = k0 R∞ −∞ R∞ −∞∆n|F (x, y)| 2_dxdy R∞ −∞ R∞ −∞|F (x, y)|2dxdy . (4.9)

Numa fibra óptica de sílica, o efeito não linear de Kerr determina que

n0 = n(x, y) + n0₂|E0|2, (4.10)

onde E0 é um campo fictício e o valor de n02 é n02= 3 ∗ 10−20m2/W . Considera-se

|E0|2= y0|E|2= I, (4.11)

em que I representa a intensidade óptica e y0 uma admitância apropriada. Assim,

∆n = n02|E0|2. (4.12)

Atendendo à definição do campo eléctrico e à variação longitudinal do campo representadas nas equações (2.40) e (2.48) respectivamente, tem-se

|E0|2(x, y, z, t) = y0F (x, y)2|A(z, t)|2. (4.13)

Substituindo as equações (4.12) e (4.13) na equação (4.9), tem-se que

∆β = y0n02k0 R∞ −∞ R∞ −∞∆n|F (x, y)| 2_dxdy R∞ −∞ R∞ −∞|F (x, y)|2dxdy |A(z, t)|2_{. (4.14)}

Introduzindo uma nova amplitude

Q(z, t) = A(z, t) s y0 Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ |F (x, y)|2_{dxdy, (4.15)}

a equação (4.14) pode ser reescrita obtendo-se

∆β = γ|Q(z, t)|2, (4.16)

onde o coeficiente não-linear γ é dado por

γ = n 0 2k0 Aef f = 2πn 0 2 λAef f , (4.17)

em que Aef f é a área efectiva definida por

Aef f = (R∞ −∞ R∞ −∞|F (x, y)| 2_dxdy)2 R∞ −∞ R∞ −∞|F (x, y)|4dxdy . (4.18)

Representando |Q(z, t)|2_{pela potência transportada P (z, t), a equação (4.16) modifica-se para}

∆β = γP (z, y). (4.19)

Sendo

P (z, t) = Pin(t)exp(−αz), (4.20)

em que α é o coeficiente de atenuação e Pin a potência máxima do impulso à entrada da fibra, a fase

não-linear gerada pelo efeito de Kerr é dada por

φN L(t) = Z L 0 (β0− β)dz = Z L 0 ∆βdz = γ Z L 0 P (z, t)dz. (4.21) Assim, φN L= γPin(t)Lef f, (4.22)

onde Lef f é o comprimento efectivo tal que

Lef f =

1

α(1 − exp(−αL)). (4.23)

Verifica-se que existe um desvio na fase não-linear, o qual é designado de auto-modulação de fase (AMF), que dá origem a uma variação da frequência instantânea ao longo da propagação dos impulsos [13]. Se forem utilizadas secções de amplificação, a fase não-linear à saída do conjunto total das secções de amplificação é dada por

φN Ltotal(t) = NAφN L, (4.24)

onde NA corresponde ao número de secções de amplificação.

Tomando em consideração o efeito não-linear provocado pela AMF, obtém-se o desvio de frequência. É dado por

δω(t) = −∂φN Ltotal

∂t = γLef fNA ∂Pin

∂t . (4.25)

Assim, tem-se na frente do impulso ∂Pin

∂t > 0 ⇒ δω(t) < 0, (4.26) que implica um desvio negativo de frequência (desvio para o vermelho). De forma análoga, na cauda do impulso ter-se-á

∂Pin

∂t < 0 ⇒ δω(t) > 0, (4.27) provocando um desvio para o azul.

Figura 4.1: Desvio de frequência num impulso gaussiano.

O coeficiente de dispersão da velocidade de grupo β2é dado pela equação (2.52), logo como

∂vg

∂ω > 0, (4.28)

tem-se

Figura 4.2: Evolução da velocidade de grupo vg em função da frequência ω.

Assim, verifica-se que as componentes à esquerda de ω0viajam a menor velocidade que as componentes

à direita (Figura 4.2), verificando-se um deslocamento para o azul na frente do impulso e desvio para o vermelho na sua cauda (Figura 4.3).

Esta antagonia entre os efeitos da DVG e da AMF, faz com que haja um equilíbrio que possibilita a propagação de solitões claros (solitões cuja forma é mantida ao longo da sua propagação). Evitam-se os casos em que os efeitos da DVG e da AMF não se anulam, já que o fenómeno de alargamento dos impulsos e consequente degradação do sistema seria ainda mais acentuado [13].