A existência de solitões depende directamente da existência de um equilíbrio gerado entre a DVG e a AMF. Caso existam perdas que consequentemente atenuam o impulso e diminuem o efeito da AMF, este equilíbrio é destruido. Para resolver este problema, é implementada uma solução com fibras de dispersão decrescente (DDF- Decreasing Dispersion Fibers) [3].
Sabe-se que a relação entre LD e LNL é dada por
N2= LD LN L
. (4.65)
Para o caso do solitão fundamental, N = 1 e, atendendo a que
LD= τ2 0 β2 (4.66) e que LN L= 1 γP, (4.67)
resolvendo para β2, vem
β2= τ02γP. (4.68)
Assumindo o perfil de potência
P = P0exp(−αz), (4.69)
conclui-se que
β2= |β2|exp(−αz) (4.70)
em que α representa as perdas na fibra óptica e |β2| = τ02γP0.
Este perfil de β2 aqui evidenciado corresponde à solução ideal para a resolução deste problema. Con-
tudo, a sua implementação em termos práticos não é fácil, pelo que se adopta uma solução que aproxima a curva descrita na equação (4.70) a uma função em degrau. Em seguida encontra-se representada a aproximação à função original, para três valores de patamares considerando sempre a mesma distância normalizada ζ e perdas normalizadas Γ = 1.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 ζ β2 DDF ideal DDF aproximaca o em degrau
Figura 4.16: Aproximação em degrau do perfir de β2
com 4 patamares. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 ζ β2 DDF ideal DDF aproximacao em degrau
Figura 4.17: Aproximação em degrau do perfir de β2
com 6 patamares. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 ζ β2 DDF ideal DDF aproximacao em degrau
Figura 4.18: Aproximação em degrau do perfil de β2com 300 patamares.
Figura 4.19: Evolução do impulso solitão funda- mental a propagar-se numa DDF com 4 patama- res.
Figura 4.20: Evolução do impulso solitão funda- mental a propagar-se numa DDF com 6 patama- res.
Figura 4.21: Evolução do impulso solitão fundamental a propagar-se numa DDF com 300 patamares.
Através dos resultados obtidos, verifica-se que entre 4 patamares e 6 patamares existe alguma melhoria relativamente à oscilação da amplitude do impulso solitão fundamental. Para um número considerável de patamares a aproximação torna-se praticamente linear sobrepondo a função ideal de β2. Assim, pode
concluir-se que quanto maior for o número de patamares utilizados, melhor é a aproximação à função ideal de β2 e consequentemente mais eficiente será a compensação. Contudo, o facto de aumentar o número de
patamares para melhorar a aproximação implica uma maior capacidade de processamento [4].
4.5
Conclusões
As fibras ópticas nem sempre se comportam como um meio-linear. Neste capítulo, foi feita uma análise dos efeitos não-lineares que existem aquando da propagação de um impulso. Existe um equilíbrio formado entre a DVG e a AMF que possibilita o aparecimento de impulsos do tipo solitão. Quando não são con- sideradas perdas e se desprezam os efeitos da DOS, a equação não-linear de Schrödinger (NLS) descreve a propagação destes impulsos em fibras ópticas. Nestas mesmas condições, os solitões propagam-se sem alteração de forma o que constitui uma característica com elevado potencial para utilização em sistemas de comunicação óptica, já que permitem ritmos e transmissão elevados e não se encontram sujeitos a in- terferência inter-simbólica.
O estudo do solitão fundamental e solitões de ordem superior evidenciou as diferenças entre eles. Um solitão fundamental propaga-se mantendo as suas características de forma e amplitude constantes, excepto se se propagar numa situação em que existam perdas, Nesse caso, o solitão fundamental mostra uma perda de amplitude ao longo da distância percorrida. Em relação aos solitões de ordem superior repara-se que mostram uma evolução periódica, recuperando a sua forma inicial período a período. Nestes últimos a presença da AMF e da DVG faz-se notar através de picos de energia aquando da sua propagação. Relati- vamente ao estudo de um impulso gaussiano em regime não-linear, verificou-se que existe alargamento e consequente diminuição de amplitude do mesmo, embora sejam menos pronunciados que o mesmo tipo de impulso em regime linear. Para distâncias mais curtas, estabelece-se um estado de equilíbrio nas caracte- rísticas do impulso, já que se mantêm inalteráveis na sua propagação, tendendo para a forma do solitão fundamental à medida que perde energia. Considerando distâncias maiores, os fenómenos de alargamento e variação na amplitude são mais evidentes que para pequenas distâncias. Este facto é justificado pela
presença simultânea da AMF e DVG, em que inicialmente o impulso perde amplitude (DVG predominante em relação à AMF) e de seguida sofre um estreitamento e aumento de amplitude (AMF predominante em relação à DVG). A semelhança entre o comportamento de um impulso gaussiano e o dos solitões em regime não-linear, mostra que podem ser utilizados para descrever solitões em mapas de dispersão, baixando a DVG média da ligação.
Como já foi referido, a existência de solitões depende directamente da existência de um equilíbrio gerado entre a DVG e a AMF. Caso existam perdas que consequentemente atenuam o impulso e diminuem o efeito da AMF, este equilíbrio é destruido. Para resolver este problema, é implementada uma solução com fibras de dispersão decrescente (DDF- Decreasing Dispersion Fibers). Para este caso o perfil da dispersão é uma exponencial negativa, cuja realização em termos práticos é complicada. Para resolver este problema, faz-se uma aproximação em degrau à curva ideal de dispersão. Através das simulações feitas, verifica-se que este método é eficiente na compensação, sendo tanto mais eficiente quanto mais patamares forem utilizados na aproximação.
5
Esta dissertação tem como objectivo apresentar não só um estudo sobre o fenómeno de dispersão e as limitações que esta impõe na propagação de impulsos em fibras ópticas, mas também indicar e analisar técnicas de compensação de dispersão que podem ser utilizadas para contornar este problema. Os resulta- dos obtidos foram elaborados recorrendo ao programa Matlab.
No Capítulo dois, analisando as características das fibras monomodais e multimodais, foi possível perceber que as fibras monomodo são as mais indicadas para pertencerem a um sistema de comunicação óptico, já que são as que possuem menor dispersão. Antes de se avançar num estudo mais aprofundado sobre este tema, foi necessário deduzir a expressão de propagação de impulsos numa fibra óptica, primeiramente em regime linear. Confirma-se que a propagação é influenciada por mecanismos de dispersão e que existem dois factores representativos deste fenómeno.
Um deles é o coeficiente de dispersão de segunda ordem, β2. É o termo que rege a dispersão de velocidade
de grupo (DVG) e é responsável pelo alargamento temporal dos impulsos aquando da propagação na fibra. Este alargamento provoca o aumento de interferência inter-simbólica, o que limita o factor de mérito e o comprimento da ligação. Verifica-se que os impulsos estudados (gaussianos e supergaussianos), na presença da DVG, mantêm a sua forma sofrendo alterações a nível de amplitude e largura característica. A presença da DVG compromete a qualidade de recepção do sinal no destino, já que os seus efeitos são mais sentidos à medida que se avança na fibra. Contudo, quando a frequência da portadora de um impulso varia no tempo, é necessário incluir no seu estudo um parâmetro de chirp C. Verifica-se que na presença deste parâmetro, um impulso gaussiano tem um alargamento mais acentuado do que sem chirp o que permite aferir que o o parâmetro C provoca um alargamento extra. Para C > 0, existe uma ligeira contracção do impulso até determinado ponto, a partir do qual os efeitos da DVG se tornam novamente dominantes. Tendo em conta este último caso, para distâncias de ligação inferiores à distância de dispersão pode ser vantajoso utilizar chirp positivo, já que pode funcionar como uma técnica de pré-compensação de dispersão. Quando C < 0, verifica-se um aumento abrupto na largura do impulso o que representa o resultado mais degradado.
O segundo factor representativo de dispersão na equação de propagação de impulsos é o coeficiente de dispersão de terceira ordem, β3, que representa os efeitos de dispersão de ordem superior (DOS). Estes
efeitos são considerados apenas para impulsos ultra-curtos (< 5ps) ou quando a DVG é nula (λ = λZD).
Um impulso gaussiano na presença de β3 apresenta alterações na sua amplitude e forma, nomeadamente
alargamento e simetria em relação ao impulso inicial. Relativamente à influência do chirp C em impulsos em que se considera a DOS, verifica-se que quanto maior for o seu valor em módulo mais acentuados são os efeitos dispersivos. Para C = 2, o impulso sofre um estreitamento inicial alargando de seguida, o que confirma que os efeitos da DOS são dominantes.
O facto da dispersão degradar os sistemas de comunicação óptica levou ao desenvolvimento de técnicas de compensação de dispersão. No capítulo três são apresentadas duas das técnicas de compensação mais usadas em regime linear, as Dispersion Compensating Fibers (DCFs) e as Fiber Bragg Gratings (FBGs). A base de funcionamento das DCFs consiste em inserir troços de fibra optica com coeficiente de dispersão de sinal contrário às fibras de transmissão SMF, de modo a reduzir o valor médio da dispersão para zero e aumentar consideravelmente o comprimento das ligações. Nesta técnica verifica-se que os efeitos da DVG e da DOS são compensados quando considerados separadamente ao contrário do que acontece quando se pretende compensar a DVG na presença de DOS. Neste último caso verifica-se que as DCFs não compensam totalmente o impulso transmitido na fibra, já que os efeitos da DVG são compensados mas a DOS impõe oscilações e assimetrias no impulso transmitido.
Relativamente às FBGs, o estudo foi iniciado pelas FBGs uniformes. Verificou-se a existência de uma banda proibida na qual ocorre reflexão máxima, apresentando uma resposta na frequência similar a um filtro óptico. Observou-se que quanto maior o produto entre o coeficiente de acoplamento e o comprimento da rede, maior será a reflectividade aproximando-se do valor máximo 100%. Nesta banda proibida a dispersão induzida é nula, verificando-se que existe apenas dispersão na fronteira da banda proibida devido às múltiplas reflexões de alguns comprimentos de onda nas extremidades da rede para alguns comprimentos de onda. Para aumentar a largura de banda é necessário diminuir o comprimento da rede uniforme, o que tem o inconveniente de reduzir a refletividade da rede.
A reduzida largura de banda e a elevada distorção não controlável do sinal na zona próxima da fron- teira da banda proibida inibe a utilização das FBG’s uniformes na compensação de dispersão. Deste modo, introduz-se a compensação da dispersão baseada em Chirped Fiber Bragg Gratings (CFBGs). Com este dispositivo, os diversos comprimentos de onda do sinal que coincidem com o comprimento de onda de Bragg são refletidos em diferentes posições da CFBG. Deste modo é possível compensar a dispersão inerente a um sinal que percorreu centenas de quilómetros com uma CFBG na ordem das dezenas de centímetros. As CFBGs são, desta maneira, consideradas mais vantajosas que as DCFs, já que na compensação com DCF’s seria necessário uma fibra de comprimento bastante superior. Uma desvantagem das FBGs é a necessidade de um circulador para separar o sinal refletido do incidente, introduzindo perdas na ordem dos 2 dB.
Por último, o Capítulo quatro foca-se na análise da influência dos efeitos não-lineares na propagação de impulsos em fibras ópticas, nomeadamente no regime não-linear dispersivo.Verificou-se que a equação não- linear de Schrödinger é responsável pela caracterização da propagação dos impulsos em meios não-lineares e que devido aos elevados campos ópticos induzidos, existe uma variação do índice de refracção associado ao efeito óptico não-linear de Kerr. Esta dependência da intensidade do campo vai ser responsável pelo efeito de Auto-Modulação de Fase (AMF). Em circunstâncias que permitam a existência de um equilíbrio entre a DVG e a AMF, a propagação de impulsos tipo solitão é possível. Este tipo de impulsos são caracterizados por não sofrerem alterações na sua forma ao longo da fibra, o que torna a sua utilização em sistemas de comunicação óptica apelativa.
Com recurso ao método SSFM (Split-Step Fourier Method) foram simulados quatro impulsos. Ini- cialmente observou-se a propagação de um solitão fundamental, confirmando-se o resultado teórico que previa a manutenção da sua forma em termos de amplitude e largura. Verificou-se que para este mesmo impulso, a presença de perdas implica uma diminuição de amplitude ao longo da propagação, o que é indesejável. De seguida, simulou-se a propagação de um solitão de segunda ordem e de terceira ordem. Para ambos verificou-se que o solitão volta à sua forma original num período de solitão π2 e que o princípio de conservação de energia é respeitado. Por fim simulou-se a propagação de um impulso do tipo gaussiano que permitiu verificar a robustez dos solitões, uma vez que se observa a perda de energia do impulso até adquirir a forma de um solitão.
Como referido, a existência de solitões está dependente da existência de um equilíbrio entre a DVG e a AMF. Contudo, este equilíbrio pode ser destruído na presença de perdas. Desta maneira, e como forma de compensar este efeito indesejável, são estudadas as fibras de dispersão decrescente (DDF). Verifica-se que o perfil da dispersão assume a forma de uma exponencial negativa, cuja realização a nível prático é muito difícil. Por este mesmo motivo, recorre-se a uma aproximação em degrau da curva. É possível concluir que este método compensa os efeitos de dispersão, sendo tanto mais eficiente consoante o número de patamares utilizados na aproximação.
5.1
Perspectiva de trabalho futuro
Tendo abordado alguns aspectos importantes da propagação de impulsos num sistema de comunicação óptica, existem ainda muitos aspectos que podem ser analisados. Dentro dos temas possíveis, considera-se importante depositar grande parte da atenção no estudo de impulsos em regime não-linear. Assim, para trabalhos futuros apresentam-se de seguida alguns tópicos interessantes:
- Numa situação com perdas, analisar as vantagens da utilização de amplificação num solitão de modo a que este mantenha a sua forma na propagação e possíveis consequências em termos de degradação do sistema;
- Impacto do efeito de dispersão de ordem superior de Raman em impulsos ultra-curtos;
- Caso se transmita em dois canais em simultâneo, estudar o efeito de modulação de fase cruzada (XPM) usando a técnica de multiplexagem de divisão por comprimentos de onda (WDM - Wavelength Division Multiplexing);
A
Dedução da equação do coeficiente de
alargamento de impulsos
Neste anexo é apresentada a dedução da equação do coeficiente de alargamento de impulsos em fibras ópticas aquando da sua propagação em regime linear. Posteriormente, é feita uma aplicação do resultado obtido na particularização para um impulso gaussiano com efeitos dispersivos de ordem superior, no qual é desprezada a largura espectral da fonte.
A.1
Equação geral do alargamento de impulsos em regime linear
No estudo da dispersão em fibras ópticas, para um impulso de forma arbitrária à saída da mesma, tem uma largura efectiva temporal
σ =pht2i − hti2 (A.1)
onde htmi representa diferentes momentos característicos do impulso. Podem ser definidos em termos do
espectro do impulso, obtendo-se
htmi = R∞ −∞t m|A(z, t)|2dt R∞ −∞|A(z, t)|2dt . (A.2) Admitindo que Z ∞ −∞ |A(z, t)|2dt = 1 2π Z ∞ −∞ |A(z, Ω)|2dΩ = 1 (A.3)
é possível simplificar a equação (A.2), obtendo
htmi =
Z ∞
−∞
tm|A(z, t)|2dt. (A.4)
Desta maneira, é possível definir os momentos de primeira e de segunda ordem, respectivamente hti e ht2i. Tem-se que hti = Z ∞ −∞ t|A(z, t)|2dt (A.5) ht2i = Z ∞ −∞ t2|A(z, t)|2dt. (A.6)
A equação (A.5) e equação (A.6) podem ser reescritas. Assim,
hti = Z ∞
−∞
tA(z, t)A∗(z, t)dt (A.7)
ht2i = Z ∞
−∞
t2A(z, t)A∗(z, t)dt. (A.8) Definindo a tranformada de Fourier do impulso A(z, t) e a sua inversa, respectivamente
˜
A(z, Ω) = Z ∞
−∞
A(z, t)exp(iΩt)dt (A.9)
A(z, t) = 1 2π
Z ∞
−∞
˜
A(z, Ω)exp(−iΩt)dΩ (A.10) e substituindo a equação (A.10) na equação (A.7) (equação que define o momento de primeira ordem),
obtém-se hti = Z ∞ −∞ tA(z, t) 1 2π Z ∞ −∞ A∗(z, Ω)exp(iΩt)dΩ dt. (A.11)
Alterando a ordem dos integrais a equação (A.11) fica
hti = 1 2π Z ∞ −∞ ˜ A∗(z, Ω) Z ∞ −∞ tA(z, t)exp(iΩt)dt dΩ. (A.12)
Aplicando a segunda relação de Parseval dada por Z ∞ −∞ tf (t)g∗(t)dt = − i 2π Z ∞ −∞ dF dωG ∗(ω)dω (A.13)
à equação (A.12), o momento de primeira ordem hti fica
hti = − i 2π Z ∞ −∞ ˜ A∗(z, Ω) ˜AΩ(z, Ω)dΩ, (A.14)
onde ˜AΩ(z, Ω) é a derivada parcial em relação à frequência da transformada de Fourier do impulso A(z, t).
Na determinação da expressão do momento de segunda ordem ht2i, os passos aplicados são idênticos aos
utilizados na determinação do momento de primeira ordem hti. Na dedução de ht2i emprega-se a terceira
relação de Parseval Z ∞ −∞ t2f (t)g∗(t)dt = − i 2π Z ∞ −∞ dF dω dF∗ dω dω, (A.15) obtendo-se para ht2i ht2i = 1 2π Z ∞ −∞ | ˜AΩ(z, Ω)|2dΩ. (A.16)
Para a determinação da variação do atraso de grupo é necessário especificar ˜A(z, Ω), sendo ˜
A(z, Ω) = ˜A(0, Ω)exp[i(β − β0)z] (A.17)
em que ˜A(0, Ω) é dado por
˜
A(0, Ω) = S(Ω)exp(iθ(Ω)), (A.18) no qual θ(Ω) resulta do efeito de chirp inicial do impulso, S(Ω) é o espectro do impulso e β a constante de propagação.
Considerando o atraso de grupo τg(ω)
τg=
Z L
0
∂β(z, ω)
∂ω dz. (A.19)
Verifica-se pela equação (A.19) que existe uma dependência da constante de propagação β com a frequência e com a coordenada longitudinal z. Por simplificação, parte-se do princípio que β não varia ao longo da propagação, θ(Ω) = θ e S(Ω) = S. Desta maneira, a equação (A.19) fica
τg= ∂β ∂ωL = β1L = L vg (A.20)
As equações (A.17) e (A.18) permitem concluir que ˜
AΩ(z, Ω) = ˜AΩ(0, Ω)exp[i(β − β0)z] + ˜A(0, Ω)izβΩexp[i(β − β0)z] (A.21)
no qual
˜
AΩ(0, Ω) = SΩexp(iθ) + iθΩSexp(iθ), (A.22)
onde βΩ= dβdΩ, SΩ= dSdΩ e θΩ= dΩdθ. Aplicando a equação (A.17) e a equação (A.21) em (A.14), vem que
hti = −i 1 2π Z ∞ −∞ ˜ A∗(0, Ω) ˜AΩ(0.Ω)dΩ − i 1 2π Z ∞ −∞ ˜ A∗(0, Ω) ˜AΩ(0.Ω)izβΩdΩ. (A.23)
Tendo em consideração a equação (A.18) a equação (A.23) pode ser reescrita, obtendo-se
hti = −i 1 2π Z ∞ −∞ |S|2(θ Ω+ zβΩ)dΩ (A.24)
no qual se admite que S → 0 para Ω→ ± ∞. Como foi referido, considerou-se que β não varia ao longo da propagação. Assim, é possível substituir a equação (A.20) na equação (A.24). Tem-se
hti = 1 2π Z ∞ −∞ (θΩ+ τg)|S|2dΩ. (A.25) Seja hf i = 1 2π Z ∞ −∞ f (Ω)|S|2dΩ, (A.26)
é possível fazer uma comparação entre a equação (A.26) e a equação (A.25). Obtém-se a equação seguinte que representa a expressão final do momento de primeira ordem
hti = hθΩi + hτgi. (A.27)
O mesmo método foi utilizado para o momento de segunda ordem. Substituindo a equação (A.17) na equação (A.16), vem que
ht2i = 1 2π Z ∞ −∞ | ˜A∗(0, Ω) + ˜A∗(0, Ω)izβ Ω|2dΩ. (A.28)
Tendo em conta a equação (A.18), pode reescrever-se a equação (A.28). Obtém-se
ht2i = 1 2π Z ∞ −∞ |S2 Ω|dΩ + 1 2π Z ∞ −∞ |S|2θ2 ΩdΩ + 1 2π Z ∞ −∞ 2|S|2θΩτgdΩ + 1 2π Z ∞ −∞ |S|2τ2 gdΩ. (A.29)
Tendo como base a equação (A.6) infere-se que
ht2i = 1 2π Z ∞ −∞ |SΩ2|dΩ + hθ 2 Ωi + hτ 2 gi + 2hθΩτgi. (A.30)
Aplicando a equação (A.30) e (A.27) na equação (A.10), vem que
σ2= 1 2π Z ∞ −∞ |S2 Ω|dΩ + hθ 2 Ωi − hθΩi2+ hτg2i − hτgi2+ 2hθΩτgi − 2hθΩihτgi. (A.31) Com σ0=2π1 R∞ −∞|S 2 Ω|dΩ + hθ 2
efectiva de um impulso com forma arbitrária σ =qσ2
0+ [hτg2i − hτgi2] + 2[hθΩτgi − hθΩihτgi]. (A.32)
Verifica-se pela equação (A.32) que tanto a média da velocidade de grupo τg como o parâmetro θΩ
(responsável pelo efeito de chirp), afectam o alargamento do impulso.