Jason Alfredo Carlson Gallas

Exerc´ıcios Resolvidos de Teoria Eletromagn´etica

Jason Alfredo Carlson Gallas

Professor Titular de F´ısica Te´orica

Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Instituto de F´ısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul

91501-970 Porto Alegre, BRASIL

Mat´eria para a SEGUNDA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Conte ´udo

27 Capacitˆancia 2 27.1 Quest˜oes . . . 2 27.2 Problemas e Exerc´ıcios . . . 3 27.2.1 Capacitˆancia . . . 3 27.2.2 C´alculo da capacitˆancia . . . 4

27.2.3 Capacitores em paralelo e em s´erie 5 27.2.4 Armazenamento de energia num campo el´etrico . . . 8

27.2.5 Capacitor com um diel´etrico . . 10 27.2.6 Os diel´etricos e a lei de Gauss . 11

Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br

27

Capacitˆancia

27.1

Quest˜oes

Q 27-3.

Uma folha de alum´ınio de espessura desprez´ıvel ´e co-locada entre as placas de um capacitor, como mostra a Fig. 27-18. Que efeito ela produzir´a sobre a capa-citˆancia se (a) a folha estiver eletricamente isolada e (b) a folha estiver ligada `a placa superior?

(a) Como a folha ´e met´alica, aparecer˜ao cargas

in-duzidas em ambos lados dela, transformando assim o capacitor original em uma associac¸˜ao em s´erie de dois capacitores cuja distˆancia entre as placas ´e a metade da distˆancia original “d”:  c/folha                !"     $#

Esta capacitˆancia coincide com a capacitˆancia origi-nal. Logo, n˜ao existe alterac¸˜ao da capacitˆancia pela introduc¸˜ao da folha met´alica a meia distˆancia.

(b) O efeito ´e reduzir a distˆancia



, entre as placas, pela metade. Ou seja, duplicar a capacitˆancia original.

Q 27-6.

Considere um capacitor de placas paralelas, com placas quadradas de ´area

e separac¸˜ao



, no v´acuo. Qual ´e o efeito qualitativo sobre sua capacitˆancia, de cada uma das seguinte operac¸˜oes: (a) Reduzir



. (b) Introduzir uma placa de cobre entre as placas, sem toc´a-las. (c) Du-plicar a ´area de ambas as placas. (d) DuDu-plicar a ´area de apenas uma das placas. (e) Deslizar as placas paralela-mente uma `a outra, de modo que a ´area de superposic¸˜ao seja, digamos,% &!' do seu valor original. (f) Duplicar a diferenc¸a de potencial entre as placas. (g) Inclinar uma das placas de modo que a separac¸˜ao permanec¸a

numa das extremidades, mas passe a 

na outra.

(a) A capacitˆancia aumenta. Para verificar isto, use a

relac¸˜ao  )( * + .

(b) A capacitˆancia aumenta. Para verificar esta afirmac¸˜ao, note que a nova capacitˆancia dada pela relac¸˜ao  ,(   .-/10324 , onde 

´e a distˆancia entre as placas e

2

´e a espessura da placa introduzida. O efei-to ´e pequeno quando

2

for muito menor que



. Tudo se passa como se a nova distˆancia entre as placas fosse

-50624 .

(c) A capacitˆancia dobra.

(d) A carga sobre a placa maior se distribuir´a numa ´area

maior. Portanto, a densidade de carga sobre a placa maior ´e7

 

, onde7 ´e a densidade de carga sobre a pla-ca menor. O pla-campo el´etrico deixar´a de ser uniforme e, como as linhas de forc¸a ficam afastadas, conclu´ımos que o campo el´etrico torna-se menor e a diferenc¸a de poten-cial tamb´em diminui. Como

98 ":

, conclu´ımos que a capacit ˆancia aumenta. Contudo este efeito ´e muito pequeno.

(e) Como a ´area torna-se igual  

, sendo

a ´area ini-cial, conclu´ımos que a capacitˆancia se reduz aproxima-damente a %"&;' do valor inicial (a capacitˆancia n˜ao se reduz exatamente a%"&;' do valor inicial devido ao efei-to de borda).

(f) O valor de

permanece inalterado. A carga tamb´em dobra.

(g) A capacitˆancia aumenta. Pense numa associac¸˜ao em

paralelo de capacitores, sendo que para cada capacitor a distˆancia entre as placas vai diminuindo de



at´e !"

. Ao diminuir a distˆancia entre as placas, a capacitˆancia de cada capacitor vai aumentando. Donde se conclui que a capacitˆancia total ´e bastante maior do que a capa-citˆancia do capacitor de placas paralelas.

Q 27-14.

Um objeto diel´etrico experimenta uma forc¸a l´ıquida quando ´e submetido a um campo el´etrico n˜ao-uniforme. Por que n˜ao h´a uma forc¸a l´ıquida quando o campo ´e uni-forme?

Num campo el´etrico uniforme a polarizac¸˜ao tamb´em ´e uniforme, de modo que o diel´etrico funciona como se fosse um corpo carregado apenas na sua superf´ıcie ex-terna. A carga total ´e nula, ou seja, as cargas superficiais s˜ao iguais e contr´arias. Portanto, a forc¸a total que age sobre o diel´etrico ´e igual a zero.

Um capacitor de placas paralelas ´e carregado por meio de uma bateria que, logo a seguir, ´e retirada. Uma lˆamina diel´etrica ´e, ent˜ao, introduzida entre as placas do capacitor. Descreva qualitativamente o que acontece com a carga, a capacitˆancia, a diferenc¸a de potencial, o campo el´etrico, a energia armazenada e com a lˆamina.

A carga8 nas placas permanece inalterada quando a bateria ´e removida (Lei da Conservac¸˜ao da Carga). Sendo



o valor da capacitˆancia antes de se introduzir o diel´etrico, o novo valor da capacitˆancia ser´a dado por

 =<   . Se<?> 

, ent˜ao a capacitˆancia ir´a aumentar. Se<A@



, ent˜ao a capacitˆancia ir´a diminuir.

Como8 permanece constante (ap ´os a retirada da bateria) e devemos sempre satisfazer a relac¸˜ao8B

 :

, vemos que uma alterac¸˜ao para



9<





da capacitˆancia impli-ca na necessidade da nova diferenc¸a de potencial passar a ser :  :   < , onde : 

representa o valor do poten-cial antes de introduzir-se o diel´etrico. Somente assim iremos garantir que o produto

 :

permanec¸a constan-te. Note que o potencial poder´a tanto aumentar quanto diminuir, dependendo se<C@  ou<C>  , respectiva-mente.

O campo el´etrico resultante D

E

entre as placas diminui:

D E  D E  0 D E5F , onde D E5F

´e o campo oposto a D

E



produzido pelas cargas superficiais8

F

induzidas no diel´etrico. O diel´etrico fica polarizado. O livro-texto discute bem isto...

Dito de outro modo: As cargas de polarizac¸˜ao na

su-perf´ıcie do diel´etrico s˜ao negativas para a susu-perf´ıcie pr ´oxima da placa positiva. Sendo assim, conclu´ımos que o campo el´etrico entre as placas diminui. Como a diferenc¸a de potencial ´e igual

E 

, a diferenc¸a de po-tencial tamb´em diminui. Como



G8  :

, e a carga 8 permanece constante, conclu´ımos que a capacitˆancia



aumenta. Conforme sabemos, a energia el´etrica ar-mazenada entre as placas de um capacitor ´e dada por:

H

I8    

. Portanto, conclu´ımos que a energia el´etrica armazenada entre as placas do capacitor dimi-nui. Para entender qualitativamente esta diminuic¸˜ao de energia, fac¸a o seguinte racioc´ınio: a placa ´e atra´ıda pa-ra o interior do capacitor de modo que o agente externo precisa realizar um trabalho negativo sobre a placa pa-ra introduzi-la no interior do capacitor com velocidade constante.

Q 27-18.

Enquanto um capacitor permanece ligado a uma bate-ria, uma lˆamina diel´etrica ´e introduzida entre as placas. Descreva qualitativamente o que acontece com a carga, a capacitˆancia, a diferenc¸a de potencial, o campo el´etrico,

e a energia armazenada. ´E necess´ario a realizac¸˜ao de trabalho para introduzir a lˆamina?

A carga 8 livre nas placas aumenta pois a bateria est´a ligada; a capacitˆancia aumenta para



,<





; a diferenc¸a de potencial n˜ao muda pois ´e mantida constan-te pela baconstan-teria. O campo el´etrico D

E

resultante tamb´em permanece constante pois

:  0KJ D EML  D N , ou seja, :  E  , onde : e 

(que ´e a distˆancia constante entre as placas) s˜ao constantes. A energia

H O8  -  4   :  " 98 :P  aumenta pois :

´e constante mas



e8 aumentam.

A forc¸a externa realiza um trabalho [para introduzir o diel´etrico com velocidade constante]:

Q  R D S ext L  D N  R S ext ;TVUWYX *Z &;[ \ ]^ _ `ba  @ &.c de modo que d Energiatotal  d H capacitor \ ]e^ _ f   Q?g ext \ ]e^ _ h   &.c

princ´ıpio da conservac¸˜ao da energia.

27.2

Problemas e Exerc´ıcios

27.2.1 Capacitˆancia E 27-1.

Um eletrˆometro ´e um instrumento usado para medir car-ga est´atica: uma carcar-ga desconhecida ´e colocada sobre as placas do capacitor do medidor e a diferenc¸a de poten-cial ´e medida. Que carga m´ınima pode ser medida por um eletrˆometro com uma capacitˆancia de%"& pF e uma sensibilidade `a voltagem de& #

 % V?
8i  :  % &Bj  & a   jA& #  %  k #%1j  & a   C  k #% pC# Como a magnitude da carga elementar ´el

  #m j  & a n

C, vemos que a carga m´ınima acima corresponde a ter-mos o  k #%pj  & a    #m j  & a qn  r m j  &"s  r

m milh˜oes de cargas elementares sobre as placas do capacitor. Mesmo sendo um valor ‘m´ınimo’, o n´umero de cargas ainda ´e enorme!

E 27-3.

O capacitor da Fig. 27-22 tem uma capacitˆancia de

%

pF e est´a inicialmente sem carga. A bateria fornece uma diferenc¸a de potencial de



& V. Ap´os a chavet ter fica-do fechada por um longo tempo, quanta carga ter´a pas-sado atrav´es da bateria?

Da relac¸˜ao entre carga e ddp, Eq. 1, encontramos:

85  :   %uj  & a s j   & wv j  & ayx Cwv mC # 27.2.2 C´alculo da capacitˆancia E 27-5.

Um capacitor de placas paralelas possui placas circula-res de raioZ #  cm e separac¸˜ao  # v mm. (a) Calcule a capacitˆancia. (b) Que carga aparecer´a sobre as placas se a ddp aplicada for de  & V?
(a)        Z # Z %pj  & a  pz -Z #  j  & a  4   # v j  & a{x   # r"r j  & a     rYr pF # (b) 8|  :   r"r j  & a   j   &   # k+v j  & ay}   k # v nC # E 27-7.

A placa e o catodo de um diodo a v´acuo tˆem a forma de dois cilindros concˆentricos com a catodo sendo o ci-lindro central. O diˆametro do catodo ´e de 

#m mm e o diˆametro da placa ´e de Z

mm; os dois elementos tˆem comprimento de

#

r cm. Calcular a capacitˆancia do dio-do.

Para um capacitor cil´ındrico (com ~

@€ ) temos da Eq. 27-14 ou da Tabela 1:    z    ‚ƒ„-  ~ 4  % #%  j  & a  x F  & #%Y%  pF# P 27-12.

Calculamos, na Sec¸˜ao 27-3, a capacitˆancia de um capa-citor cil´ındrico. Usando a aproximac¸˜ao

‚ƒ„- †… 4ˆ‡ … , quando…†‰ 

(veja o Apˆendice G), mostre que ela se aproxima da capacitˆancia de um capacitor de placas pa-ralelas quando o espac¸amento entre os dois cilindros ´e pequeno.

A capacitˆancia em quest˜ao ´e dada por

   z   ‚ŠƒŒ‹" Ž. # Chamando-se de 

o espac¸amento entre os dois cilin-dros, temos que

~   .    z    ‚Šƒ ‹Y Ž.   z   ‚ŠƒŒ‹‘Ž’  Ž“   z   ‚Šƒ ‹    Ž. ‡  z   ! ~    z ~       c ondeC”  z ~

 ´e a ´area das placas e a aproximac¸˜ao foi feita supondo-se que~u•



.

P 27-13.

Suponha que as duas cascas esf´ericas de um capacitor esf´erico tenham aproximadamente raios iguais. Sob tais condic¸˜oes, tal dispositivo se aproxima de um capacitor de placas paralelas com

0

~





. Mostre que a Eq. 27-17 se reduz, de fato `a Eq. 27-9, nesse caso.

A capacitˆancia do capacitor esf´erico em quest˜ao ´e

 9r z   ~   0 ~ #

Chamando-se de – os dois raios supostos aproximada-mente iguais, segue que ~



‡

–



. Por outro lado,

 0 ~   . Portanto,  wr z  ~   0 ~ ‡  r z –       c ondeC” r z – 

´e a ´area das placas.

Um capacitor foi construido para operar com uma capa-citˆancia constante, em meio a uma temperatura vari´avel. Como se demonstra na Fig. 27-23, o capacitor ´e do tipo de placas paralelas com “separadores” de pl´astico para manter as placas alinhadas. (a) Mostre que a taxa de variac¸˜ao da capacitˆancia



com a temperatura— ´e dada por    —  K˜      — 0  …  …  —Œ™ c onde

´e a ´area de cada placa e… a separac¸˜ao entre as placas. (b) Se as placas forem de alum´ınio, qual dever´a ser o coeficiente de expans˜ao t´ermica dos separadores a fim de que a capacitˆancia n˜ao varie com a temperatura? (Ignore o efeito dos separadores sobre a capacitˆancia.)

(a) A capacitˆancia



´e uma func¸˜ao de duas var´aveis: (i) da ´area

das placas e (ii) da distˆancia … entre as placas:     … #

Portanto, a disciplina de C´alculo nos ensina que as variac¸˜oes da capacitˆancia

com a temperatura — s˜ao determinadas pela equac¸˜ao

   — €š  š     —  š  š …  …  — #

Calculando-se as derivadas parciais, encontramos

š  š     …    c š  š …  0  …   0  … c

que, substituidas da express˜ao para

   — acima, nos fornecem    —  š  š     —  š  š …  …  —       — 0  …  …  —  K˜      — 0  …  …  —Œ™ c

que ´e o resultado pedido.

(b) Da Eq. 19-9 sabemos que a variac¸˜ao

d

 de um com-primento qualquer quando submetido a uma variac¸˜ao

d

— de temperatura ´e dado pela equac¸˜ao

d   œ› d —ˆc

onde› ´e o chamado ‘coeficiente de expans˜ao t´ermica’ do material em quest˜ao. Esta equac¸˜ao pode tamb´em ser re-escrita como   d  d —  ›ž

onde ›  j´a representa agora o valor do coeficiente de expans˜ao t´ermica do separador.

Analogamente (veja o Exerc´ıcio 19-37), a variac¸˜ao

d



de uma ´area

em func¸˜ao de uma variac¸˜ao

d

— de tem-peratura pode ser escrita como

  d  d —   › Al c onde › Al €r m j  & a s /[ C representa o coeficiente de expans˜ao t´ermica do alum´ınio (veja a Tabela 19-3) de que s˜ao feitas as placas, e o fator

leva em conta a bidi-mensionalidade das ´areas.

Para que a capacitˆancia n˜ao varie com temperatura ´e preciso que



+

—



& , ou seja, que

     — 0  …  …  —   › Al 0 ›   &Ÿc

onde consideramos variac¸˜oes

d



e

d

— infinitesimais. Da igualdade mais `a direita vemos que, para evitar variac¸˜oes de



com — , o coeficiente de expans˜ao t´ermica dos separadores dever´a ser escolhido tal que

›    › Al C   j  & a s / [ C #

27.2.3 Capacitores em paralelo e em s´erie

E 27-15.

Quantos capacitores de ˆ¡

F devem ser ligados em pa-ralelo para acumularem uma carga de 

C com um po-tencial de"

& V atrav´es dos capacitores?

Para poder armazenar  C a Y

& V a capacitˆancia equivalente do arranjo a ser construido dever´a ser:

£¢q¤  8 :   " & ‡   &   V¡ F# Para uma conex˜ao em paralelo sabemos que

 ¢q¤  o  onde 

´e a capacitˆancia individual de cada capacitor a ser usado. Portanto, o n´umero total de capacitores ser´a:

o  £¢q¤     &   ¥¡ F i¡ F 9  &    # E 27-16.

Na Fig. 27-24, determine a capacitˆancia equivalente da combinac¸˜ao. Suponha     & ¡ F,    % ¡ F e  x 9r ¡ F.

Os capacitores



e

 est˜ao em paralelo, formando um capacitor equivalente



 que, por sua vez, est´a em s´erie com

x . Portanto, a capacitˆancia equivalente total ´e dada por

 eq     j  x      x  -  &  % 4 j r - &  % 4  r  m &    ‡ v #  % ¡ F# E 27-17.

Na Fig. 27-25, determine a capacitˆancia equivalente da combinac¸˜ao. Suponha     & ¡ F,    % ¡ F e  x 9r ¡ F.
Os capacitores   e 

 est˜ao em s´erie. Portanto

          ¦   & v ¡ F#

O capacitor equivalente total ´e dado pela ligac¸˜ao em pa-ralelo de   e  x :  ¢q¤   & v  rp  & v    v  " v ‡ k # v"v ¡ F# E 27-18.

Cada um dos capacitores descarregados na Fig. 27-26 tem uma capacitˆancia de



%

¡

F. Uma diferenc¸a de po-tencial der



&Y& V ´e estabelecida quando a chave ´e fecha-da. Quantos coulombs de carga passam ent˜ao atrav´es do amper´ımetro

?

Basta usar a f´ormula86 P¢¤ :

, onde £¢q¤

´e o ca-pacitor equivalente da ligac¸˜ao em paralelo,

£¢q¤ §v  , onde   % ¡ F, e: ¨r 

&Y& Volts. Portanto, a carga total medida ´e

8i9v j  %pj  & a s j r  &Y& Cv  % mC # P 27-19. Uma capacitˆancia    m ¡

F ´e ligada em s´erie com uma capacitˆancia





,r

¡

F e uma diferenc¸a de po-tencial de

&Y& V ´e aplicada atrav´es do par. (a) Calcule a capacitˆancia equivalente. (b) Qual ´e a carga em cada capacitor? (c) Qual a diferenc¸a de potencial atrav´es de cada capacitor?

(a) A capacitˆancia equivalente ´e

 ¢¤     m    r   r r  m    % ¡ F#

(b) A carga no capacitor equivalente ´e

8| £¢q¤ :    j  & a s % j  &"&  & # r Z j  & ayx C# Como os capacitores est˜ao em s´erie, este valor ´e o m´odulo da carga que est´a sobre cada uma das placas dos dois capacitores. Ou seja,8

 C8   & # r Z mC. (c) :   8     & # r Z j  & a{x m j  & a s  Z & Voltsc e :   8     & # r Z j  & a{x r j  & a s    & Volts# P 27-26.

A Fig. 27-28 mostra dois capacitores em s´erie, cuja sec¸˜ao central, de comprimento , pode ser deslocada verticalmente. Mostre que a capacitˆancia equivalente dessa combinac¸˜ao em s´erie ´e independente da posic¸˜ao da sec¸˜ao central e ´e dada por

     ~ 0  #
Chamando-se de 

a distˆancia entre as placas da par-te superior da figura, obpar-temos as seguinpar-tes express˜oes para as capacitˆancias individuais de cada um dos dois capacitores:    *  c     ~ 0  06 #

Ligando-os em s´erie obtemos £¢q¤    ©{ª   ©y«      Ž a  a     ~ 0  #

Desta express˜ao vemos que a capacitˆancia equivalente n˜ao depende de



, ou seja, n˜ao depende da posic¸˜ao da sec¸˜ao reta central.

P 27-28. Na Fig. 27-29, os capacitores   ¡ F e  ¬v ¡ F s˜ao ambos carregados a um potencial:





&"& V mas com polaridades opostas, como ´e mostrado. As chaves

t



et

 s˜ao, ent˜ao fechadas. (a) Qual ´e a diferenc¸a de potencial entre os pontos~ e

 ? (b) Qual ´e a carga sobre





? (c) Qual ´e a carga sobre



 ?

(a) Ap´os as chaves serem fechadas as diferenc¸as de potencial s˜ao as mesmas e os dois capacitores est˜ao em paralelo. A ddp de ~ at´e  ´e : Ž  ,­  £¢q¤ , one ­ ´e

a carga l´ıquida na combinac¸˜ao e£¢q¤

´e a capacitˆancia equivalente.

A capacitˆancia equivalente ´e

 ¢q¤       9r j  & a s F#

A carga total na combinac¸˜ao ´e a carga l´ıquida sobre ca-da par de placa conectaca-das. A carga sobre o capacitor ´e 8     :  -  j  & a s 4e-  &"& V 4   j  & a¯® C e a carga sobre o capacitor

 ´e 8     :  -v j  & a s 4- &"& V 4 Cv j  & ay® Cc de modo que a carga l´ıquida sobre a combinac¸˜ao ´e

-v 0  4 j  & ay® C  j  & a¯® C. Portanto, a diferenc¸a de potencial pedida ´e

: Ž    j  & ay® C r j  & a s F  %"& V# (b) A carga no capacitor ´e agora 8     : Ž   - j  & a s 4-% & 4  %uj  & a ¦ C# (c) A carga no capacitor  ´e agora 8     : Ž   -v j  & a s 4e-%"& 4   #%uj  & ay® C# P 27-29.

Quando a chavet , na Fig. 27-30, ´e girada para a esquer-da, as placas do capacitor C, adquirem uma diferenc¸a de potencial :  . Os capacitores   e   est˜ao inicialmente descarregados. A chave ´e, agora, girada para a direita. Quais s˜ao as cargas finais8

 ,8  e 8 sobre os capacitores correspondentes?

As cargas nos capacitores



e v s˜ao as mesmas, de modo que eles podem ser substituidos por um capacitor equivalente dado por

  eq        x      x    x # Portanto  eq     x .-    x 4 # A carga no capacitor equivalente ´e a mesma que em qualquer um dos capaci-tores da combinac¸˜ao. A diferenc¸a de potencial atrav´es

do capacitor equivalente ´e8



 

eq. A diferenc¸a de po-tencial atrav´es do capacitor

´e8     , onde8  ´e a carga em  .

A diferenc¸a de potencia atrav´es da combinac¸˜ao dos ca-pacitores

ev tem que ser a mesma diferenc¸a de poten-cial atrav´es do capacitor

, de modo que 8     8   eq # -~ 4

Quando fechamos a chave pela segunda vez, par-te da carga originalmenpar-te no capacitor 

flui para a combinac¸˜ao de



e v . Sendo 8



´e a carga original, a lei da conservac¸˜ao da carga nos fornece

8   8  98     :  c - 4 onde : 

´e a diferenc¸a de potencial original atrav´es do capacitor

.

Da Eqs. (b) tiramos que

8     :  0 8 

que, quando substituida na Eq. (a), fornece

8       :  0 8   eq c

que, finalmente, nos fornece8

 : 8      :   eq       :  ©y«©y° © « ’ © °        -    x 4:          x     x #

As cargas nos capacitores

ev s˜ao 8  C8 x    :  0 8     :  0    -    x 4:          x     x       x :          x     x #

Segunda soluc¸˜ao:Considere a figura abaixo:

As cargas iniciais est˜ao indicadas `a esquerda de cada pacitor. As cargas finais est˜ao indicadas `a direita de

ca-da capacitor. Inicialmente, podemos escrever a seguinte relac¸˜ao: 85   :  #

De acordo com a Lei da Conservac¸˜ao da Carga, ao co-nectarmos os capacitores   e  x , a carga total 0 8 no condutor,± indicado na figura da soluc¸˜ao deste proble-ma, deve permanecer constante. Logo,

0 8| 0 8  0 8 x

Donde se conclui que

8   8 x    : 

Aplicando a Lei da Conservac¸˜ao da Carga no condutor

²

indicado na figura de soluc¸˜ao deste problema, encon-tramos:&  0 8   8

x . Donde se conclui que

8



w8 x . Aplicando a Lei da Conservac¸˜ao da Carga para o con-dutor ³ , indicado na figura do problema, n˜ao conduz a nenhuma equac¸˜ao nova. Sabemos que o campo ele-trost´atico ´e conservativo. Ent˜ao, as somas de diferenc¸a de potencial ao longo da malha fechada deve ser nula (Lei das Malhas). Portanto,

&  8     8 x  x 0 8   

As relac¸˜oes (1), (2) e (3) formam um sistema de trˆes equac¸˜oes e trˆes inc´ognitas8



,8  e

8

x . A soluc¸˜ao deste sistema fornece a resposta

8           x         x     x   :  c 8  C8 x     x         x     x   :  #

27.2.4 Armazenamento de energia num campo el´etrico

E 27-34.

Que capacitˆancia ´e necess´aria para armazenar uma ener-gia de

& kW

L

h sob uma diferenc¸a de potencial de &"&Y& V?

Como sabemos que a energia armazenada num capa-citor ´eH





:   

, a ‘dificuldade’ do problema consis-te apenas em deconsis-terminar quantos Joules correspondem a

 & kW L h. Lembrando que  J   WattL segundo, simplesmen-te precisamos multiplicar - & x W ´ Q 4e-v m &Y& s/h 4 para obter que & kW L hwv #m j  &"µ J. Portanto    H :   .-v #m j  &Yµ 4 - &Y&"& 4  “k  F# E 27-37.

Dois capacitores, de capacitˆancia



¡

F er

¡

F, s˜ao liga-dos em paralelo atrav´es de uma diferenc¸a de potencial dev

&Y& V. Calcular a energia total armazenada nos capa-citores.

A energia total ´e a soma das energias armazenadas em cada capacitor. Com eles est˜ao conectados em paralelo, a diferenc¸a de potencial :

a que est˜ao submetidos ´e a mesma. A energia total ´e, portanto,

H    -     4:5    ˜  j  & a s  r j  & a s ™ -v &Y& 4 x  & #  k J # P 27-47.

Um capacitor cil´ındrico tem raio interno~ e raio externo  (como indicado na Fig. 27-6, p´ag. 95). Mostre que me-tade da energia potencial el´etrica armazenada est´a den-tro de um cilindro cujo raio ´e

– =¶ ~  #

A energia acumulada num campo el´etrico que ocupa um volume· ´e obtida integrando-se, sobre todo o vo-lume · , a densidade de energia¸y¹ do campo el´etrico. Portanto, H -– 4  R ¸ ¹  ·    R†º Ž E   ·Vc onde ;:   z –  

– ´e o elemento de volume da gaus-siana cil´ındrica de raio– considerada (ver Fig. 27-6). Usando a Eq. 27-12, encontramos que o campo el´etrico entre as placas de um capacitor cil´ındrico de compri-mento contendo uma carga

8 e de raio

– ´e dado por

E -– 4  8  z    – #

Substituindo-se este valor na equac¸˜ao paraH

-–

4

, acima, encontramos a seguinte relac¸˜ao para a energia acumula-da no campo el´etrico dentro do volume compreendido entre o cilindro de raio~ e o cilindro de raio– :

H -– 4     R º Ž ˜ 8  z   –{™   z  –  –  8  r z   R»º Ž  – –  8  r z    ‚Šƒ ˜ – ~ ™ #

A energia potencial m´aximaH½¼

´e obtida para–

”  : H½¼ ” H - 4  8  r z    ‚ƒ ˜  ~ ™ #

Para obter o valor de – pedido precisamos simples-mente determinar o valor de – para o qual tenhamos H

-–

4



Hœ¼ "

. Substituindo-se nesta equac¸˜ao os va-lores deH

-–

4

eHœ¼

acima, encontramos sem nenhuma dificuldade que – =¶ ~  # P 27-49.

Mostre que as placas de um capacitor de placas paralelas se atraem mutuamente com uma forc¸a dada por

S  8    #

Obtenha o resultado calculando o trabalho necess´ario para aumentar a separac¸˜ao das placas de… para…u



… , com a carga8 permanecendo constante.

O trabalho feito num campo el´etrico ´e definido por  Q  S  …  8 !: 98 E  … #

Portanto, por comparac¸˜ao destas f´ormulas, obtemos a magnitude da forc¸a ´eS



l

E

.

Para um capacitor de placas paralelas sabemos que a magnitude do campo ´e dada por E

 7    onde 7 w8   . Portanto S 98 E C8 7    98 8      8      #

Modo alternativo, n˜ao supondo8 constante: Consi-dere uma carga infinitesimal

8 sobre uma das placas

do capacitor. O m´odulo  S

da forc¸a infinitesimal de-vida ao campo el´etrico D

E

existente no capacitor ´e dada por  S  E  8 #

A Eq. 27-7 nos diz que m´odulo do campo el´etrico D

E

existente no capacitor ´e

E  8  # Portanto S  R  S  R E  85     R ¤  8  8| 8      # P 27-50.

Usando o resultado do Problema 27-49, mostre que a forc¸a por unidade de ´area (a tens˜ao eletrost´atica) atuan-do sobre cada placa ´e dada por 

E   

. (Na realida-de, este resultado ´e geral, valendo para condutores de

qualquer formato, com um campo el´etrico¾ na sua su-perf´ıcie.

De acordo com o problema 27-49, a forc¸a em cada placa do capacitor ´e dada por S

¿8  -À

  

4

, onde8 ´e a carga sobre a placa e

´e a ´area da placa. O campo el´etrico entre as placas ´e E

Á8 .- 4 , de modo que 8i * E e S  8          E          E  #

Assim sendo, a forc¸a por unidade de ´area ´e

S      E  # P 27-51Â .

Uma carga8 ´e colocada lentamente na superf´ıcie de uma bolha de sab˜ao, de raio Ã



. Devido `a repuls˜ao m´utua existente entre as cargas superficiais, o raio aumenta li-geiramente paraà . Por causa da expans˜ao, a press˜ao do ar dentro da bolha cai para ·

Ä  · onde Ä ´e a press˜ao atmosf´erica,· 

´e o volume inicial e· ´e o volume final. Mostre que 8  9v  z   Ä Ã -Ã x£0 Ã x  4 #

(Sugest˜ao: Considere forc¸as que atuam sobre uma pe-quena ´area da bolha carregada. Forc¸as decorrentes de (i) press˜ao do g´as; (ii) a press˜ao atmosf´erica; (iii) a tens˜ao eletrost´atica. Ver o Problema 50.)

Conforme o Problema 27-50, a forc¸a eletrost´atica que atua numa pequena ´area d

 ´e S ¢   E  d    . O campo el´etrico na superf´ıcie ´eE

Å8 .-r z  Ã  4 , onde 8 ´e a carga na bolha. Portanto

S ¢     8  d   m z     Ã ®  8  d  v  z     Ã ® c

apontando para fora. A forc¸a do g´as dentro ´e o produto da press˜ao dentro pela ´area, ou seja,

SÇÆ  Ä ·  · d   Ä ® x z à x  ® x z à x d   Ä Ã x  à x d  c

apontando para fora. A forc¸a do ar fora ´eS

Ž  Ä d  , apontando para dentro.

Como a superf´ıcie da bolha esta em equil´ıbrio, a soma das trˆes forc¸as deve anular-se:S ¢

 SÇÆ 0 S Ž  & . Esta equac¸˜ao fornece-nos 8  v  z   à ®  Ä Ã x  à x 0 Ä  &.c

de onde tiramos facilmente que

8  9v  z   à ® Ä ˜  0 à x  à x ™ Cv  z  Ä Ã -à x£0 à x  4 #
Em outras palavras:

As forc¸as que atuam sobre o elemento de ´area da bolha carregada s˜ao causadas pelas seguintes press˜oes: (a) A press˜ao do g´asÄ

Æ

do interior da bolha (atuando de den-tro para fora), (b) A press˜ao atmosf´ericaÄ

(atuando de fora para dentro), (c) A tens˜ao eletrost´atica mencionada no Problema 27-12 (atuando de dentro para fora). No equil´ıbrio, como a soma das forc¸as ´e igual a zero, can-celando a ´area comum considerada, podemos escrever:

Ä Æ   E    Ä # -ÀÈ 4

De acordo com o enunciado do problema, temos:

Ä Æ  ·  · Ä  ® x z à x  ® x z à x Ä  à x  à x Ä #

O campo el´etrico da distribuic¸˜ao de cargas esfericamen-te sim´etrica exisesfericamen-tenesfericamen-te na superf´ıcie da bolha ´e dado por

E   r z  8 Ã  # Substituindo-seÄ Æ eE

na Eq. (*) acima obtemos

à x  à x Ä    ˜   m z     8  à ® ™  Ä

de onde se tira facilmente que o valor pedido ´e

8  Cv  z  Ä Ã -Ã x 0 Ã x  4 #

27.2.5 Capacitor com um diel´etrico

E 27-53.

Dado um capacitor de k

#

r pF, cheio de ar, pedimos convertˆe-lo num capacitor que armazene k

#

r

¡

J com uma diferenc¸a de potencial m´axima dem %



V. Qual dos diel´etricos listados na Tabela 27-2 poderia ser usado pa-ra preencher a lacuna de ar do capacitor?

Com o diel´etrico dentro, a capacitˆancia ´e dada por

 É<   , onde  

representa a capacitˆancia antes do diel´etrico ser inserido. A energia armazenada ´e dada por

H     :1    <   :1 # Portanto, <Ê  H   :   B-k # r j  & a s 4 -k # r j  & a   4e-m % Y4  wr # k #

Da Tabela 27-2 vemos que poder´ıamos usar pirex para preencher a lacuna do capacitor.

E 27-56.

Um cabo coaxial usado numa linha de transmiss˜ao tem um raio interno de & #



mm e um raio externo de & #m mm. Calcular a capacitˆancia por metro de cabo. Supo-nha que o espac¸o entre os condutores seja preenchido compoliestireno.

Usando as Eqs. 27-14 e 27-30 encontramos que a ca-pacitˆancia do cabo ´e

 “<  ar“<  z   ‚ƒ„-  ~ 4 #

Portanto, por unidade de comprimento temos

Ë  ”   C<  z  ‚ŠƒÇ-m   4  Z & # k pF/m # onde usamos<Ì 

#m (que corresponde ao poliestireno, veja Tabela 27-2, p´ag. 101).

Uma certa substˆancia tem uma constante diel´etrica de



#

Z

e uma rigidez diel´etrica deZ

MV/m. Se a usarmos como material diel´etrico num capacitor de placas para-lelas, qual dever´a ser a ´area m´ınima das placas para que a capacitˆancia seja dek

j



&

a  ¡

F e para que o capa-citor seja capaz de resistir a uma diferenc¸a de potencial der kV?
A capacitˆancia ´e  Å<   Å<      , onde   ´e a capacitˆancia sem o diel´etrico,< ´e a constante diel´etrica do meio,

a ´area de uma placa e



a separac¸˜ao das pla-cas. O campo el´etrico entre as placas ´e

E



:P+ , onde

:

´e a diferenc¸a de potencial entre as placas. Portanto,  :P E e C<  E  : , donde tiramos    : <  EÍ#

Para que esta ´area seja m´ınima, o campo el´etrico deve ser o maior poss´ıvel sem que rompa o diel´etrico:

  -k j  & ay} F 4e-r j  & x V4  # Z -Z # Z %pj  & a   F/m 4-Z j  & s V/m 4  & #m v m  # P 27-64.

Um capacitor de placas paralelas, de ´area

, ´e preen-chido com dois diel´etricos como mostra a Fig. 27-35 na p´ag. 111. Mostre que neste caso a capacitˆancia ´e dada por

O valor pedido corresponde `a capacitˆancia



do ca-pacitor equivalente da ligac¸˜ao em s´erie de

  9<      e   “<      c

cuja ´unica diferenc¸a ´e o diel´etrico:

   !" <      !" <           <   <  <  <  # Portanto        ˜ <  <  <   <  ™ # Soluc¸˜ao alternativa:

O campo el´etrico uniforme para cada uma das cama-das diel´etricas entre as placas do capacitor ´e dada por

E   8   <    e E   8   <    # Sabemos que C8  : , onde :  :   :     E     E  # Portanto   8   -E   E  4   8  ˜ ¤ Î Ï ª    ¤ Î Ï «   ™     ˜ <  <  <   <  ™ #

Note que, no caso de um capacitor no ar (sem os diel´etricos), temos <  M<    e a relac¸˜ao acima se reduz a     

, conforme esperado. Quando os dois diel´etricos forem iguais, isto ´e, para<



Ð<



Ð< , a relac¸˜ao anterior tamb´em fornece o resultado esperado:



“<   

+ .

27.2.6 Os diel´etricos e a lei de Gauss E 27-66

Um capacitor de placas paralelas tem uma capacitˆancia de

&"& pF, placas de ´area igual a



&Y& cm



e usa mica co-mo diel´etrico (<Ê

%

#

r ). Pra uma diferenc¸a de potencial de% & V, calcule: (a)

E

na mica; (b) o m´odulo da carga livre sobre as placas, e (c) o m´odulo da carga superficial induzida.

(a) O campo el´etrico na regi˜ao entre as placas ´e

E



:Ñ  , onde:

´e a diferenc¸a de potencial entre as placas e

a separac¸˜ao das placas. Como Ð<

 +

, onde

´e a ´area de uma placa e< a constante diel´etrica, temos que 9< *   e, portanto, que E  :   :  <   % & - &"&pj  & a   4 % # r -Z # Z %pj  & a   4e- &"&Bj  & a¯® 4   j  & ® V/m#

(b) A carga livre nas placas ´e

8ÒP :   -  &Y&uj  & a   4-% & 4  %uj  & a n C#

(c) O campo el´etrico ´e produzido por ambas cargas, livre

e induzida. Como campo devido a uma camada grande e uniforme de carga ´e8

-À   

4

, o campo entre as placas ´e E  8Ò      8Ò     0 8Ó     0 8Ó     #

O primeiro termo deve-se `carga livre positiva em uma das placas, o segundo deve-se `a carga livre negativa na outra placa, o terceiro deve-se `a carga induzida positiva em uma das superf´ıcies do diel´etrico o quarto deve-se `a carga induzida negativa na outra superf´ıcie do diel´etrico. Observe que o campo devido a carga induzida ´e oposto ao campo devido `a carga livre, de modo que eles tendem a cancelar-se. A carga induzida ´e, portanto,

8ÓÔ 8Ò 0 * E  %uj  & a n C 05-Z # Z %pj  & a   4e- &"&Bj  & ®4e- j  & ®*4 C  r #  j  & a n C  r #  nC# P 27-71

Uma lˆamina diel´etrica de espessura ´e introduzida en-tre as placas de um capacitor de placas paralelas de separac¸˜ao

. Mostre que a capacitˆancia ´e dada por

  <    < 10Õ-< 0  4  #

(Sugest˜ao: Deduza a f´ormula seguindo o modelo do Exemplo 27-10.) Esta f´ormula prevˆe o resultado num´erico correto do Exemplo 27-10? Verifique que a f´ormula est´a de acordo com os casos especiais quando  & , <Ê  e£  .
SejaE

um campo el´etrico na regi˜ao vazia eE

 o cam-po el´etrico no interior do diel´etrico. Da Eq. 27-32 sabe-mos queE





E 

< . Portanto, observando a Fig. 27-17 que corresponde `a situac¸˜ao deste problema, vemos que a diferenc¸a de potencial atrav´es do capacitor ´e dada por

:  … E   E   -/10  0 … 4E c ou seja :  -/50    < 4E #

Como sabemos queE 98

.-V

4

(veja Eq. 27-7), segue que :  8 V  <ÌÖ < i0)-< 0  4 × c

donde tiramos sem dificuldades que, realmente,

 ” 8 :  <    < 10Õ-< 0  4  #

Note que este resultado n˜ao depende da posic¸˜ao exata da lˆamina dentro do diel´etrico. A lˆamina tanto poder´a estar tocando qualquer uma das placas como estar no meio delas, sem que se altere o valor acima.

Tanto para1

& quanto para <Í



a relac¸˜ao anterior fornece corretamente a capacitˆancia no v´acuo, ou seja,

       . Quando Ì 

, situac¸˜ao em que o diel´etrico preenche totalmente o espac¸o entre as placas do capacitor, a ex-press˜ao acima tamb´em fornece o resultado correto, a sa-ber,  C< Ø  + .