A distribuição Fréchet generalizada.

Centro de Ciên ias e Te nologia

Programa de Pós-Graduação em Matemáti a

Curso de Mestrado em Matemáti a

A Distribuição Fré het Generalizada

†

por

Elizabete Cardoso Ma hado

sob orientação do

Prof. Dr. Alexsandro Bezerra Caval anti

DissertaçãoapresentadaaoCorpoDo entedoPrograma

dePós-GraduaçãoemMatemáti a-CCT-UFCG, omo

requisito par ial para obtenção do título de Mestre em

Matemáti a.

†

por

Elizabete Cardoso Ma hado

Dissertação apresentada ao Corpo Do ente do Programa de Pós-Graduação em

Matemáti a- CCT- UFCG, omorequisito par ialpara obtenção dotítulode Mestre

emMatemáti a.

Áreade Con entração: Probabilidadee Estatísti a

Aprovada por:



Prof. Dr. Gauss Moutinho Cordeiro - UFPE



Profa. Dra. Mi helli Karinne Barros da Silva - UFCG



Prof. Dr. Alexsandro Bezerra Caval anti - UFCG

Orientador

Universidade Federal de Campina Grande

Centro de Ciên ias e Te nologia

Programa de Pós-Graduação em Matemáti a

Curso de Mestrado em Matemáti a

Neste trabalho zemos um estudo sobre a lasse de distribuições generalizadas

exponen ializadas, adistribuiçãoFré het generalizadae adistribuiçãoWeibullinversa

log-generalizada. ObtemosalgumaspropriedadesdadistribuiçãoFré hetgeneralizada.

Uma nova distribuição é proposta: a distribuição log-Fré het generalizada. Esta

dis-tribuição é uma estensão da distribuição Fré het. Outra proposta deste trabalho é

introduzir um modelo de regressão log-Fré het generalizada om ensura Tipo I

base-ado nadistribuição log-Fré het generalizada.

Palavras- have: Distribuiçõesgeneralizadasexponen ializadas,distribuiçãoF

In this work, we did a resear h study about the exponentiated generalized lass

of distributions, the generalized Fré het distribution and the log-generalized inverse

Weibull distribution. We obtain some properties of generalized Fré het distribution.

Furthermore,a new distribution is proposed: the generalizedlog-Fré het distribution.

This new distribution isan extensionof Fré het distribution. Another propose of this

work isto introdu e a generalizedlog-Fre hét regression model with Type-I ensoring

basedon the generalized log-Fre hét distribution.

Keywords: Exponentiated generalized distributions,generalized Fré het

Agradeço ini ialmente a Deus, pela bênção de ter a vida privilegiadaque tenho

eporter mimdado forças para onseguir on retizareste sonho.

Aos meus pais pelos esforços realizados para me propor ionar a oportunidade

de estudar, pelos ensinamentos valiosos, pelo exemplo de vida e pela edu ação que

me foramdados, sem eles eu não seria quem sou. Estes sempre serão meus melhores

mestrese exemplo aser seguido.

Asminhasirmãs: Valderina,ErisvaldaeChaguinhapeloenorme arinhoe

in en-tivo. Vo ês são irmãs maravilhosas.

A minha sobrinhaJennifer pela enormealegria queme trouxe.

Aomeu amor, Bruno Guerra,por sempreestá ao meu lado medando forças nos

momentos de "fraqueza", e por se sujeitar a uma distân ia não mensurável ao longo

destes dois anos. É difí il dizer o quanto vo ê representa para minha vida porque a

adadia en ontroem mimum novo espaçoo upado porvo ê.

Aosmeus Cunhados: Mar os ePaulo que mesmo distantes tor eram muito pelo

meu su essoneste trabalho.

As minhas amigas de Co al dos alves que plantaram essa semente omigo. Em

espe ial: Antnia Araújo, Crediane, Sandra, Fran is a Moura e Maria(prima

Maria-zinha).

A MariaSiqueira pelos os in entivos em todas as etapas deste trabalho. Vo ê é

uma peça fundamental nesta onquista.

A Fran iane Vieira pela longa aminhada que permane emos juntas, desde o

ensinomédioaté agraduação. Porpartilhartodos osmomentosde tensão ede alegria

viven iados naResidên ia Universitáriada UFPI.Vo ê éuma irmã para mim.

Aosmeusamigos: VitalianoAmaral,RaimundoAlveseAntniaAlmeida(prima)

Asminhasamigasasquaistiveasorteeoprazerde onhe ere onviver: Emiliana,

Jaqueline,Pris ila,JusamaraeMariapelosmomentosdedes ontração,pelas onversas

eamizade.

Aosmeus tios eprimos pelator ida e pelo arinho.

A So orro Veras (Comadre) efamíliapeloin entivoe tor ida.

Aos meus amigos de Graduação. Em espe ial, Ítalo Dowell, João Eudson,

Leo-nardo Coimbra, Jailson, Paulo Erison, FillipheLeitão, Edem Assunção, Thiago

Este-ves, Sérgio,JeersonSousa,Jardel,Adelson,Antnia,Suzane, VivianeGomes,Viviane

Gonçaloe Jainarapelos onhe imentos ompartilhados, peladiversão e amizade.

Aos meus Professores do Ensino Médio pela dedi ação mesmo diante a tantas

di uldades. Em espe ial Narjara Bení io, Antnio Amaral, João Amaral, Kuerly,

Aurilene, Geovane, Darkison e Lindomar. Vo ês me ensinaram o verdadeiro valor de

uma onquista.

Aos Mestres da Graduação: Jurandir, João Xavier, Vi ente, Bení io, Newton

Santos, Roger, A a ia, Mar os Viní ios, João Mendes, João Batista, Mar ílio.

Agra-deçoemespe ialaoprofessorPauloAlexandre,"paia adêmi o",pelapa iên iaemme

orientare pelos valiosos ensinamentos.

A dona Elza Farias (In memórian) por ter me a olhido em sua asa e por ter si

tornadouma pessoa tão espe ial em minhavida, "umaverdadeira mãe".

AdonaMariaJoséeseu Pedro pelo arinho,apoiaein entivo. AdonaFran is a

(Chi osa) esua famíliapelator ida eamizade.

AosmeusamigosdoMestradoosquaistiveumenormeprazerde onhe er: Nan y,

Sirlene, Débora, Arthur, Brito, José Mar os, Rosilda, Alex, Mi hel, Jogli, Emanuela,

Claudemir, Antonio Mar os, Carlos, Luis, Fabrí io, Arlandson, Alan Carlos, Bruno,

Misaelle,Levi. Pelaaenergia,peladedi ação epreo upação om opróximo. Sinto-me

orgulhosa de ter feito parte desse grupo unido. Mesmo durante o desenvolvimento

dadissertação, as palavras de estímulo, a demonstração de amizade e a solidariedade

foramde extrema importân iapara a on lusão desse trabalho.

Ao amigos: Arthur, Brito e Mi hel pela ajuda no Latex. Vo ês ontribuiram

Aosfuturos doutores e doutoras: Romildo,Ailton, Fabiana,Fábio, Alinee

Lu i-ano. Pelas palavras de in entivo eamizade.

A Vanessa Santiago, ompanheira de apartamento, pela ex elente onvivên ia,

onversas, orações, onselhos, risadas e apoio. Uma pessoa que aprendi a respeitar e

admirar. Vo ê se tornouuma pessoa importantíssimaem minhahistória.

Aosamigos: Navilta, Suélio,Raphaelae Rodrigo pela tor ida.

Agradeço de forma espe ial ao Professor Alexsandro Caval anti, pela ex elente

orientação, pelapa iên ia, pelos ensinamentos e onselhos.

A Professora Mi helli Barros pelas aulas ex ep ionais. A senhora nas eu om o

dompara ser transmissora do onhe imento.

Ao Professor Gauss Cordeiro eMi helliBarrospor terema eitado parti ipar da

minhaban a e pelas valiosas sugestões.

AoProfessor Mar elo Bourguignon pela ajuda, orreções esugestões.

Aos Professores Joelson Campose Manoel Neto, pelaamizade e disponibilidade

de sempre tiraremminhas dúvidas.

Aosdemaisprofessores doPPGMat. Emespe ialaosProfessoresDanielCordeiro

eMar o Antnio.

Aosfun ionários omdestaqueaAndrezza, Claudiana,Renato,Davi, Suênia,Du

eRodrigo. Que sempre zeramde tudo para meajudar.

A Capespeloapoionan eiro, sem o qualjamais teria onseguido.

Aos meus pais, Maria de Fátima

1 Introdução 1

2 A lasse de distribuições generalizadas exponen ializadas 3

2.1 Introdução . . . 3

2.2 Expansõespara asfunções de distribuição edensidade . . . 6

2.3 Momentos . . . 7

2.4 Função Geradora de Momentos . . . 8

2.5 Desvios Médios . . . 9

2.6 Estatísti as de ordem . . . 11

2.7 Estimação de MáximaVerossimilhança . . . 12

2.8 Casos Parti ulares . . . 15

2.8.1 Fré het GeneralizadaExponen ializada . . . 15

2.8.2 Normal Generalizada Exponen ializada . . . 18

2.8.3 Gama Generalizada Exponen ializada. . . 23

2.8.4 Gumbel GeneralizadaExponen ializada. . . 26

2.8.5 Exponen ialGeneralizada Exponen ializada . . . 29

2.8.6 Pareto GeneralizadaExponen ializada . . . 33

2.9 Apli ações . . . 35

2.10 Con lusões. . . 39

3 A distribuição Fré het Generalizada 41 3.1 A distribuição Fré het . . . 41

3.4 Propriedades e distribuições rela ionadas . . . 44

3.5 Uma expansãogeral para a função de densidade . . . 47

3.6 Momentos e momentos in ompletos . . . 48

3.7 Função quantil . . . 51

3.8 Desvios médios . . . 51

3.9 Estatísti as de ordem,momentos das estatísti as de ordeme L-momentos 52 3.9.1 L-momentos . . . 54

3.10 Entropias Shannon e Rényi. . . 54

3.11 Estimação de MáximaVerossimilhança . . . 61

3.12 Apli ação . . . 63

3.12.1 Tempos de vida de Alumínio . . . 63

4 Modelo de Regressão Log-Fré het Generalizada 66 4.1 A distribuição Weibull Inversa Generalizada . . . 66

4.2 A distribuição Log-Weibull Inversa Generalizada . . . 66

4.3 Con eitos bási os . . . 69

4.4 Modelo de Regressão Log-WeibullInversa Generalizada . . . 70

4.5 A Distribuição Log-Fré het Generalizada . . . 72

4.6 Modelo de Regressão Log-Fré het Generalizada . . . 75

5 Considerações Finais 79 5.1 Trabalhos Futuros. . . 80

A Distribuição Generalizada Exponen ializada 81

B Distribuição Fré het Generalizada 83

C Distribuição Log-Weibull Inversa Generalizada 88

D Distribuição Log-Fré het Generalizada 94

2.1 Dados sobre asuperação dainundação dorioWheaton . . . 36

2.2 Dados donívelde estresse . . . 37

2.3 Des rição estatísti a . . . 37

2.4 EMVs e ritérios de informação . . . 38

2.5 Testes daRV (

Λ

) . . . 39

3.1 Tempo de vida de alumínio . . . 63

3.2 EMVs para osparâmetros do modelo e ritérios de informações AIC, BIC e CAIC . . . 64

2.1 Função Densidade da EGF

(σ, λ, α, β)

para alguns valores dos

parâme-tros. (a)Para

σ = 1.5

e

λ = 2.0

. (b) Para

α = 1.5

e

σ = 1.5

. . . 17

2.2 Função Densidade daEGN

(σ, µ, α, β)

para alguns valores dos

parâme-tros. (a)Para

µ = 0

e

σ = 1.0

. (b) Para

α = 1.5

e

µ = 0

. . . 19

2.3 Função DensidadedaEGGa

(a, b, α, β)

paraalgunsvalores dos

parâme-tros. (a)Para

a = 1.5

e

b = 2.0

. (b) Para

α = 1.5

e

a = 1.5

. . . 24

2.4 Função Densidade da EGGu

(σ, µ, α, β)

para alguns valores dos

parâ-metros. (a)Para

µ = 0

e

σ = 1.0

. (b) Para

β = 1.5

e

µ = 0

. . . 27

2.5 FunçãoDensidadedaEGE

(α, β, λ)

paraalgunsvaloresdosparâmetros.

(a)Para

α = 1.5

e

β = 2.0

. (b) Para

λ = 1.5

. . . 30

2.6 FunçãoDensidadedaEGPa

(α, β, ν)

paraalgunsvaloresdosparâmetros.

(a)Para

α = 2.0

e

β = 1.5

. (b) Para

ν = 1.5

. . . 34

2.7 Densidades estimadas dos modelos EG para os onjuntosde dados. . . 40

3.1 Grá o da função de densidade FrG

(σ, λ, a, b)

para alguns valores dos

parâmetros. (a)Para

σ = 1.5

e

λ = 1.0

. (b) Para

σ = 2.0

e

λ = 1.0

. . . 45

3.2 Grá o da função de ris o da FrG

(σ, λ, a, b)

para alguns valores dos

parâmetros. (a)Para

σ = 1

e

λ = 1.0

. (b) Para

σ = 1.5

e

λ = 1.0

. . . . 46

3.3 Densidades e funções de distribuições a umuladas estimadas para os

modelos FrG,BF e Fré het, guras (a) e(b), respe tivamente. . . 65

4.1 Grá o da função de densidade LWIG

(γ, σ, µ)

para alguns valores dos

Introdução

Ateoriadedistribuiçõesgeneralizadastem res idomuitonosúltimosanos.

Mui-tas formas de distribuições generalizadas podem ser en ontradas na literatura. Por

exemplo, a Fré het exponen ializada (Nadarajah e Kotz, 2006), a Beta generalizada

(Eugene etal., 2002),a Gumbelexponen ializada(Nadarajah, 2006) ea BetaFré het

(Nadarajahe Gupta,2004).

Nosso trabalho está organizado em in o Capítulos. No Capítulo 2, estudamos

a lasse de distribuições generalizadas exponen ializadas introduzida por Cordeiro et

al. (2013)quegeneralizaostrabalhos de (Nadarajah,2006)e(Nadarajah;Kotz, 2006),

além de ter omo asos parti ulares diversos outros modelos bastantes onhe idos na

literatura. Muitos autores tem estudado as propriedades da distribuição generalizada

exponen ializada,verporexemplo, Mudholkare Srivastana (1993)e Mudholkar etal.

(1996) para a distruição weibull exponen ializada, Gupta et al. (1998) para a

Pa-reto exponen ializada, Gupta e Kundu (1999) para a exponen ial exponen ializada,

Nadarajah (2005) para a Gumbel exponen ializada, Kakde e Shirke (2006) para a

log-normal exponen ializada, e Nadarajah e Gupta (2007) para a distribuição gama

exponen ializada. Ainda neste apítulo,dis utimos algumaspropriedades desta lasse

dedistribuições. No Capítulo3,apresentamosa prin ipal ontribuiçãodestetrabalho.

Neste Capítulo zemos um estudo mais aprofundado da distribuição Fré het

Genera-lizada (FrG). Esta distribuição tem as seguintes vantagens: fórmulas explí itas para

depende da função beta, omo na distribuição beta Fré het e não tem problema de

identi abilidade omo a distribuição Kumaraswamy Fré het. Apresentamos algumas

propriedadesdestadistribuiçãobaseadasnotrabalhodeCordeiroetal. (2013). No

Ca-pítulo4, trabalhamos om a distribuiçãoWeibull inversa log-generalizada introduzida

porGusmão,OrtegaeCordeiro (2011),naqualé onsideradaumaestruturade

regres-são. Aindaneste apítulo,propomosumatransformaçãologarítmi aeemseguidauma

reparametrizaçãonomodeloFrG,denominadodelog-Fré hetgeneralizada(LFrG).

De-nimos um modelo de regressão ao qual denominamos de modelo de regressão LFrG.

Finalmente, no apítulo5, apresentamos as onsiderações nais.

Éimportanteressaltarqueemtodosos apítulosforamdis utidasexpressõespara

afunçãodedistribuiçãoa umulada,funçãodensidadedeprobabilidade,expansõespara

a função densidade de probabilidade, expressões gerais para os momentos, momentos

das estatísti as de ordem e, estimação dos parâmetros. No nal de ada apítulo

apli amos as distribuições, dis utidas ao longo deste trabalho, a onjuntos de dados

reais e omparamos osajustes om outrosmodelos.

Os grá os apresentados nesta dissertação foram produzidos utilizando o

ambi-entede programação

R

emsua versão 2.15.3para o sistemaopera ionalWindows que

seen ontradisponívelgratuitamentenoendereçohttp://www.r-proje t.org. Paramais

detalhes ver Ihaka e Gentleman (1996),Cribari-Neto e Zarkos (1999).

A presentedissertação foies ritade talformaque todos os apítulossejam

inde-pendentes um dos outros, fa ilitando assim, a leitura individual dos apítulos. Dessa

A lasse de distribuições generalizadas

exponen ializadas

Neste apítulodis utimossobreumanova lassededistribuições

generaliza-dasexponen ializadasobtidaadi ionandodoisparâmetrosaumadistribuição ontínua,

introduzidaporCordeiro, OrtegaeCunha (2013). Assim omoestudamos algumasde

suas propriedadesestruturais.

2.1 Introdução

Guptaetal.(1998)propuserampelaprimeiravez uma generalizaçãoda

dis-tribuiçãoexponen ial padrão, a qual hamaramde distribuição exponen ial

exponen- ializada(EE), uja funçãode distribuição a umulada (fda)é

F (x; λ, α) = (1 − e

−λx

₎

α

para

x > 0

,

λ > 0

e

α > 0

, onde os parâmetros

λ

e

α

representam a es ala e aforma,

respe tivamente. Para mais detalhes ver Gupta e Kundu (2001). Segundo Gupta e

Kundu(2002),uma das vantagens dessadistribuição é quedevido a estrutura simples

de suas funções de distribuição e sobrevivên ia a distribuição EE pode ser usada de

forma e az na análise de dados de tempo de vida, parti ularmente, na presença de

observações ensuradas ou dados orrela ionados. De forma semelhante, Nadarajah e

Kotz (2006) introduziram três distribuições exponen ializadas, a saber; a distribuição

adistribuiçãoFré het exponen ializada(EF), queéuma generalizaçãodadistribuição

Fré het ea distribuição Gumbelexponen ializada (EGu),que é uma generalizaçãoda

distribuiçãoGumbel,emboraaforma omoelesdeniramasfdasdasdistribuiçõesF

ré- het exponen ializada e Gumbel exponen ializada seja um pou o diferente. Ou seja,

osautoresgeraram esses novos modelos na lasse de distribuiçõesexponen ializadasa

partirda expressão

F (x; λ, α) = 1 − [1 − G(x)]

α

.

Denição 2.1 Seja

G(x)

uma função de distribuição a umulada ontínua. A lasse

de distribuições generalizadas exponen ializadas(EG) é denida por

F (x) = [1 − {1 − G(x)}

α

]

β

,

(2.1)

emque

α > 0

e

β > 0

são dois parâmetros de forma. Sua função densidade é

repre-sentada por

f (x) = α β



_{1 − G(x)}}

α−1

_{[1 − {1 − G(x)}}

α



β−1

g(x),

(2.2)

emque

g(x) = G

′

_(x)

.

Notequeafunção(2.1)ésimplesenãodependedafunçãobetain ompleta, omo

no aso dafamília beta generalizada(Eugene etal., 2002).

A distribuição uja a fda é

G(x)

é um aso espe ial de (2.1) quando

α = β = 1

.

Considerando

α = 1

em (2.1) temos a distribuição do tipo exponen ializada denida

por Gupta et al. (1998). Além disso, as distribuições EE e

EΓ

são obtidas tomando

G(x)

omo sendo a fda exponen ial e gama, respe tivamente. Para

β = 1

, e

G(x)

sendo a distribuição a umulada Gumbel e Fré het, obtemos as distribuições EGu e

EF, respe tivamente, tal omo denido por Nadarajah e Kotz (2006). Assim, a lasse

de distribuições(2.1) estende as duas distribuiçõesdo tipoexponen ializada.

A famíliade densidades em (2.2) permite maior exibilidadenas audas e pode

ser apli ada em muitas áreas da biologia e da engenharia. Os novos parâmetros

de-sempenhamopapelde introduzirassimetriaevariaçãodopesoda auda. Observamos

que, mesmo se

g(x)

for uma distribuição simétri a, a distribuição

f (x)

não será uma

distribuiçãosimétri a,a menos que

α = β = 1

.

A partir de agora, usaremos a expressão

X ∼ Exp

c

_G

,

c > 0

, para denotar que a

variávelaleátoria

X

segueumadistribuição ujafdaefdpsão

H

c

(x) = G(x)

c

cg(x)G(x)

c−1

, respe tivamente. Esta distribuição também é hamada de Lehmann

tipoI.Alternativamente, podemosgerardistribuiçõesna lasse

Exp

c

Gfazendo

F (x) =

1 − {1 − G(x)}

c

, onhe ida omo adistribuição Lehmann tipoII. Portanto, afunção

em(2.1) englobaas distribuições Lehmann tipo I (

α = 1

) e Lehmann tipo II (

β = 1

)

introduzidasemLehmann (1953).

A lasse de distribuições Exponen ializadas Generalizadas parte de uma

inter-pretaçãofísi ainteressantequando

α

e

β

sãonúmerosinteirospositivos. Considereum

dispositivo feito de

β

omponentes independentes em um sistema em paralelo. Além

disso, ada um dos omponentes é omposto de

α

sub omponentes independentes e

identi amente distribuídos de a ordo om

G(x)

, em um sistema em série. O

dispo-sitivo falha se todos os omponentes

β

falhar e ada um dos omponentes falham se

houverfalha de pelo menos um dos sub omponentes. Sejam

X

j1

, ..., X

jα

os tempo de vidados sub omponentes dentrodo omponente j,

j = 1, ..., β

, om fda

G(x)

omum.

Denotemos

X

j

omosendootempode vidado omponente

j

eseja

X

otempode vida dodispositivo. A fda de

X

é dada por

F (x) =

Pr

(X

1

≤ x, ..., X

β

≤ x)

=

Pr

(X

1

≤ x)

β

= [1 −

Pr

(X

1

> x)]

β

= [1 −

Pr

(X

11

> x, ..., X

1α

> x)]

β

= [1 − {1 −

Pr

(X

11

≤ x)}

α

]

β

= [1 − {1 − G(x)}

α

_]

β

_.

Portanto,otempode falhadodispositivoobede eáfamíliade distribuiçõesEG.

A seguir, apresentamos expansões para as funçõesde distribuição e densidade do

2.2 Expansões para as funções de distribuição e

den-sidade

Se

β

é qualquer número real não inteiro e

|z| < 1

, então a expansão em

série binomialédada por

(1 − z)

β−1

=

∞

X

k=0

(−1)

k

_Γ(β)

Γ(β − k)k!

z

k

_.

(2.3)

Apli andoa Identidade (2.3) em (2.1),temos

F (x) =

∞

X

k=0

(−1)

k

_{Γ(β + 1)}

Γ(β + 1 − k)k!

[1 − G(x)]

αk

=

∞

X

k=0

(−1)

k

_{Γ(β + 1)}

Γ(β + 1 − k)k!

∞

X

j=0

(−1)

j

_{Γ(αk + 1)}

Γ(αk + 1 − j)j!

G(x)

j

=

∞

X

j=0

∞

X

k=0

(−1)

k+j

_{Γ(β + 1)Γ(αk + 1)}

Γ(β + 1 − k)Γ(αk + 1 − j)k!j!

G(x)

j

=

∞

X

j=0

w

j

G(x)

j

,

(2.4) emque

w

j

=

∞

X

k=0

(−1)

k+j

_{Γ(β + 1)Γ(αk + 1)}

Γ(β + 1 − k)Γ(αk + 1 − j)k!j!

.

(2.5)

Portanto,

F (x)

pode ser es rita omouma somainnita de

G(x)

.

Proposição 2.1 Para

α > 0

, não inteiro, podemos es rever

f (x)

em (2.2) omo

f (x) = α β g(x)

∞

X

j=0

t

j

G(x)

j

,

emque

t

j

=

∞

X

k=0

(−1)

k+j

_{Γ(β)Γ(α(k + 1))}

Γ(β − k)Γ(α(k + 1) − j)k!j!

.

(2.2),obtemos

f (x) = α β

∞

X

k=0

(−1)

k

_Γ(β)

Γ(β − k)k!

[1 − G(x)]

α(k+1)−1

_g(x)

= α β

∞

X

k=0

(−1)

k

_Γ(β)

Γ(β − k)k!

∞

X

j=0

(−1)

j

_{Γ(α(k + 1))}

Γ(α(k + 1) − j)j!

G(x)

j

_g(x)

= α β g(x)

∞

X

j=0

∞

X

k=0

(−1)

k+j

_{Γ(β)Γ(α(k + 1))}

Γ(β − k)Γ(α(k + 1) − j)k!j!

G(x)

j

= α β g(x)

∞

X

j=0

t

j

G(x)

j

,

(2.6)

t

j

=

∞

X

k=0

(−1)

k+j

_{Γ(β)Γ(α(k + 1))}

Γ(β − k)Γ(α(k + 1) − j)k!j!

.

(2.7)

Por outrolado, podemosrees revera equação (2.6) omo

f (x) =

∞

X

j=0

t

∗

j

h

j+1

(x),

(2.8) emque

t

∗

j

= αβt

j

/j+1

e

h

j+1

(x) = (j+1)g(x)G(x)

j

éafunçãodensidadeda

Exp

j+1

_(G)

.

O que mostra que a função densidade EG é uma ombinação linear de funções

den-sidades da distribuição G exponen ializadas (Exp-G). Assim, algumas propriedades

estruturais da lasse de distribuições EG, por exemplo, momentos in ompletos e

fun-çõesgeradoraspodemser obtidasdiretamentedaspropriedadesdadistribuiçãoExp-G.

2.3 Momentos

Seja

G(·)

a fda da variável aleatória

X

e

F (·)

a fda da variável aleatória

Y

om densidadedada em(2.2). Osmomentos ponderadosporprobabilidade(MPPs) de

X

são denidos por

τ

r,j

= E[X

r

G(x)

j

] =

Z

∞

−∞

x

r

G(x)

j

g(x)dx,

(2.9)

Osmomentos dadistribuiçãoEGpodem ser obtidosapartirdos momentos

pon-deradospor probabilidadedados por

E(Y

r

) = α β

∞

X

j=0

t

j

Z

∞

−∞

y

r

G(y)

j

g(y)dy

α β

∞

X

j=0

t

j

τ

r,j

.

(2.10)

Portanto, os momentos de qualquer distribuição EG podem ser expressos omo

uma soma ponderada innitade MPPs dadistribuição prin ipal.

A segunda fórmulapara

τ

r,j

ébaseada nafunção quantil

Q

G

(x) = G

−1

_(x)

omo

τ

r,j

=

Z

1

0

Q

G

(u)

r

u

j

du,

(2.11)

de modoque a integralé al ulada agora sobre ointervalo (0,1).

2.4 Função Geradora de Momentos

Estudamostrêsfórmulasparaafunçãogeradorademomentos(fgm)

M(s) =

E[exp(sY )]

de

Y

, om função densidade de probabilidadedada em (2.2). A primeira

éobtida expandindo o termo

exp(sY )

emsérie de Taylor omo

M(s) = E

"

_∞

X

r=0

(sY )

r

r!

#

=

∞

X

r=0

µ

′

r

r!

s

r

_,

(2.12) emque

µ

′

r

= E[Y

r

]

é obtidoa partir daequação (2.10).

A segunda expressão para

M(s)

éobtida a partirda função (2.8) omo

M(s) =

∞

X

j=0

t

j

∗

M

j+1

(s).

(2.13) De fato,

M(s) = E(e

sY

) =

Z

∞

−∞

e

sy

f (y)dy.

Da equação(2.8) segue que

M(s) =

∞

X

j=0

t

j

∗

Z

∞

−∞

e

sy

h

j+1

(y)dy

=

∞

X

j=0

t

j

∗

E

j+1

(e

sY

)

=

∞

X

j=0

t

j

∗

M

j+1

(s),

emque

M

j+1

(s)

é afunção geradora de momentosda distribuição Exp

j+1

_(G)

.

A ter eiraexpressão para

M(s)

é determinadaapartir dafunção (2.6) dada por

M(s) = α β

∞

X

j=0

t

j

ρ

j

(s).

(2.14)

De fato,segue dafunção (2.6) que

M(s) =

Z

∞

−∞

exp(s x)f (x)dx

= α β

∞

X

j=0

t

j

Z

∞

−∞

exp(s x)G(x)

j

g(x)dx.

Denindo

ρ

j

(s) =

R

∞

−∞

exp(sx)G(x)

j

_g(x)dx

naúltima expressão, obtemos

M(s) = α β

∞

X

j=0

t

j

ρ

j

(s),

emque

ρ

j

(s)

pode ser obtido a partirda função quantil

Q

G

(u) = G

−1

_(u)

omo

ρ

j

(s) =

Z

1

0

exp[sQ

G

(u)]u

j

du.

(2.15)

Portanto, as fgm's de muitas distribuições EG podem ser obtidas a partir das

equações (2.12),(2.13) e (2.14).

Afunção ara terísti a(f h)

φ(s) = E[exp(isX)]

dasdistribuiçõesEGsãoobtidas

a partir das equações (2.12)-(2.14) avaliando as respe tivas fgm's em

is

, em que

i =

√

−1

denota onúmero imaginário.

2.5 Desvios Médios

A quantidade da dispersão em uma população é medida até erto ponto,

damedianasão expressos omo

δ

1

(Y ) = E(|Y − µ

′

1

|) e δ

2

(Y ) = E(|Y − M|),

respe tivamente. Tem-se

δ

1

(Y ) = 2µ

′

1

F (µ

′

1

) − 2m

1

(µ

′

1

) e δ

2

(Y ) = µ

′

1

− 2m

1

(M),

(2.16)

em que

F (·)

é a função de distribuição de

Y

e

m

1

(z) =

R

z

−∞

xf (x)dx

é o primeiro

momentoin ompleto.

Estudamos duas formas alternativas de al ular

δ

1

(Y )

e

δ

2

(Y )

. Estas mudanças onsistem emrees rever afunção geral

m

1

(z)

. Segue por denição e daequação (2.8) que

m

1

(z) =

∞

X

j=0

t

∗

j

Z

z

−∞

xh

j+1

(x)dx

=

∞

X

j=0

t

∗

j

J

j+1

(x),

(2.17) om

J

j+1

(x) =

Z

z

−∞

xh

j+1

(x)dx.

(2.18) Con luímosque,

m

1

(z) =

∞

X

j=0

t

∗

j

J

j+1

(x).

Noteque aequação (2.18)é aquantidade bási a para al ularos désvios médios

para as distribuições EG. Note, também, que as quantidades em (2.16) dependem

somentedoprimeiromomentoin ompletodasdistribuiçõesExp-G.Consequentemente,

δ

1

(Y )

e

δ

2

(Y )

podem ser expressos omo

δ

1

(Y ) = 2µ

′

1

F (µ

′

1

) − 2

∞

X

j=0

t

∗

j

J

j+1

(µ

′

1

)

e

δ

2

(Y ) = µ

′

1

− 2

∞

X

j=0

t

∗

_j

J

j+1

(M).

Denindo

u = G(x)

em(2.8) obtemosa segunda fórmulapara

m

1

(z)

dadapor

m

1

(z) =

∞

X

j=0

(j + 1)t

∗

j

T

j

(z),

(2.19) om

T

j

(z) =

Z

G(z)

−∞

Q

G

(u)u

j

du.

(2.20)

Uma apli ação dos desvios médios são as urvas de Bonferroni e Lorenz. Dada

umaprobabilidade

π

,as urvassãodenidaspor

B(π) = m

1

(q)/πµ

′

1

e

L(π) = m

1

(q)/µ

′

1

, respe tivamente, om

q = Q

G

(π)

sendo al ulada a partir dafunção quantilprin ipal.

2.6 Estatísti as de ordem

Denição 2.2 A função densidade da

i

-ésima estatísti a de ordem

X

i:n

, digamos

f

i:n

(x)

, deumaamostraaleatóriaindependenteeidenti amente distribuidadetamanho

n

é dado por

f

i:n

(x) =

f (x)

B(i, n − i + 1)

F (x)

i−1

[1 − F (x)]

n−i

, i = 1, ..., n,

emque

f (·)

e

F (·)

são a fdp e fda da distribuição base, respe tivamente.

Substituindo(2.1) e(2.2) naequaçãoanterior eusando aexpansãobinomial,obtemos

f

i:n

(x) =

α β{1 − G(x)}

α−1

B(i, n − i + 1)

[1 − {1 − G(x)}

α

_]

β−1

g(x)[1 − {1 − G(x)}

α

]

βi−β

×



1 − [1 − {1 − G(x)}

α

]

β

n−i

=

α β

B(i, n − i + 1)

g(x){1 − G(x)}

α−1

×[1 − {1 − G(x)}

α

]

βi−1

_{{[1 − {1 − G(x)}}

α

]

β

_}

n−i

=

α β g(x)

B(i, n − i + 1)

{1 − G(x)}

α−1

n−i

X

k=0

(−1)

k



n − i

k



[1 − {1 − G(x)}

α

_]

β(i+k)−1

_.

Usando (2.3) repetidamente, para

β

real não inteiro,na expressão anterior,obtemos

f

i:n

(x) =

α β g(x)

B(i, n − i + 1)

∞

X

ℓ=0

n−i

X

k=0

∞

X

r=0

(−1)

k+r+ℓ

_{Γ(β(i + k))Γ(α(r + 1))}

Γ(β(i + k) − r)Γ(α(r + 1) − ℓ)ℓ!r!



n − i

k



G(x)

ℓ

=

α β

B(i, n − i + 1)

g(x)

∞

X

ℓ=0

n−i

X

k=0

∞

X

r=0

(−1)

k+r+ℓ

_{Γ(β(i + k))Γ(α(r + 1))}

Γ(β(i + k) − r)Γ(α(r + 1) − ℓ)k!ℓ!r!

Γ(n − i + 1)

Γ(n − i − k + 1)

× G(x)

ℓ

_.

Naúltima expressão usamoso fato de que

Γ(n + 1) = n!

. Segueque

f

i:n

(x) =

α β

B(i, n − i + 1)

g(x)

∞

X

ℓ=0

s

ℓ

G(x)

ℓ

,

(2.21)

emque

s

ℓ

= s

ℓ

(α, β, i, n)

tem a forma

s

ℓ

=

n−i

X

k=0

∞

X

r=0

(−1)

k+r+ℓ

_{Γ(β(i + k))Γ(α(r + 1))Γ(n − i + 1)}

Γ(β(i + k) − r)Γ(α(r + 1) − ℓ)Γ(n − i − k + 1)k!ℓ!r!

.

Podemos es rever a função em (2.21) em termos das funções densidades da Exp-G

omo

f

i:n

(x) =

α β

B(i, n − i + 1)

∞

X

l=0

s

ℓ

h

ℓ+1

(x)

(ℓ + 1)

.

De fato,temos que

h

ℓ+1

= (ℓ + 1)g(x)G(x)

ℓ

_{⇒ g(x)G(x)}

ℓ

_{= h}

ℓ+1

/(ℓ + 1)

, substi-tuindoessa expressão em(2.21), é imediatoque

f

i:n

(x) =

α β

B(i, n − i + 1)

∞

X

ℓ=0

s

ℓ

h

ℓ+1

(x)

(ℓ + 1)

.

Portanto,muitas das propriedadesmatemáti as das estatísti as de ordem, omo

momentos,momentosin ompletos,função geradorade momentosedesvios médios

po-dem ser obtidos apartir das propriedades dadistribuição Exp-G.

2.7 Estimação de Máxima Verossimilhança

Denição 2.3 Seja

X

1

, ..., X

n

uma amostra aleatória de tamanho

n

da variável ale-atória

X

om função densidade (ou de probabilidade)

f (x|θ)

, om

θ

∈ Θ

, em que

Θ ⊆ R

p+2

é o espaço paramétri o e

θ

= (α, β, γ

T

₎

T

modelo e

γ

é um vetor de parâmetros

p × 1

des onhe ido da distribuição prin ipal

G(x; γ)

. A função de verossimilhança de

θ

orrespondente a amostra aleatória

obser-vada x

= (x

1

, ..., x

n

)

é dada por

L(θ|

x

) =

n

Y

i=1

f (x

i

|θ).

Denição 2.4 O estimador de máxima verossimilhança(EMV) de

θ

é o valor

θ

ˆ

∈ Θ

quemaximiza a função de verossimilhança

L(θ|

x

)

.

Para obtermos o estimador de máxima verossimilhança, vamos onsiderar o

lo-garitmodafunção de verossimilhança de

θ

denotado por

ℓ(θ|

x

) = log L(θ|

x

),

pois na práti a, as vezes, é mais fá il trabalhar om o logaritmo da função

L(θ|

x

)

.

Comoa função logé res ente não temos problema.

Seja

x

1

, ..., x

n

umaamostraaleatóriade tamanho

n

dadistribuiçãoGeneralizada Exponen ializada om parâmetros

α

,

β

e

γ

, denotada por EG

(α, β, γ)

, em que

γ

é

um vetor de parâmetros

p × 1

des onhe idos da distribuição prin ipal. A função de

verossimilhança édada por

L(θ|

x

) = α

n

_β

n

n

Y

i=1

[{1 − G(x

i

; γ)}

α−1

[1 − {1 − G(x

i

; γ)}

α

]

β−1

g(x

i

; γ)],

om logaritmodafunção de verossimilhança orrespondente

ℓ(θ|

x

) = n log(α) + n log(β) +

n

X

i=1

log(g(x

i

; γ)) + (α − 1)

n

X

i=1

log{1 − G(x

i

; γ)}

+(β − 1)

n

X

i=1

log[1 − {1 − G(x

i

; γ)}

α

].

(2.22)

Podemosmaximizarologaritmodafunçãodeverossimilhançausandoumarotina

numéri a de algum software, por exemplo, o SAS (pro NLMixed) e OX através do

MaxBFGS (ver, Doornik, 2007). Ou resolvendo as equações não-lineares obtidas por

Derivando-se

ℓ(θ|

x

)

omrelaçãoa

α

,

β

e

γ

j

,oselementosdafunção es ore

U(θ)

são dados por

U

α

(θ) =

n

α

+

n

X

i=1

log[1 − G(x

i

; γ)] + (β − 1)

n

X

i=1

− log[1 − G(x

i

; γ)][1 − G(x

i

; γ)]

α

1 − [1 − G(x

i

; γ)]

α

=

n

α

+

n

X

i=1

log[1 − G(x

i

; γ)]



1 −

(β − 1)[1 − G(x

i

; γ)]

α

1 − [1 − G(x

i

; γ)]

α



,

U

β

(θ) =

n

β

+

n

X

i=1

log{1 − [1 − G(x

i

; γ)]

α

},

U

γ

j

(θ) =

n

X

i=1

1

g(x

i

; γ)

∂g(x

i

; γ)

∂γ

j

− (α − 1)

n

X

i=1

1

1 − G(x

i

; γ)

∂G(x

i

; γ)

∂γ

j

+

+(β − 1)

n

X

i=1

α[1 − G(x

i

; γ)]

α−1

1 − [1 − G(x

i

; γ)]

α

∂G(x

i

; γ)

∂γ

j

=

n

X

i=1

[ ˙g(x

i

; γ)]

γ

j

g(x

i

; γ)

− (α − 1)

n

X

i=1

[ ˙

G(x

i

; γ)]

γ

j

1 − G(x

i

; γ)

+

+α(β − 1)

n

X

i=1

[1 − G(x

i

; γ)]

α−1

[ ˙

G(x

i

; γ)]

γ

j

1 − [1 − G(x

i

; γ)]

α

=

n

X

i=1

(

[ ˙g(x

i

; γ)]

γ

j

g(x

i

; γ)

−

(α − 1)[ ˙

G(x

i

; γ)]

γ

j

1 − G(x

i

; γ)

+

α(β − 1)[1 − G(x

i

; γ)]

α−1

_{[ ˙}

_G(x

i

; γ)]

γ

j

1 − [1 − G(x

i

; γ)]

α

)

,

emque

[ ˙g(x

i

; γ)]

γ

j

= ∂g(x

i

; γ)/∂γ

j

e

[ ˙

G(x

i

; γ)]

γ

j

= ∂G(x

i

; γ)/∂γ

j

para

j = 1, ..., p

. Para aestimativaintervalaretestedehipótesesdos parâmetrosdomodelo

pre i-samosdanormalidadeassintóti a. Sob ertas ondiçõesderegularidade. Adistribuição

assintóti a de

θ

ˆ

é dada por

√

n(ˆ

θ

_{− θ) → N}

(p+2)

(0, I(θ)

−1

),

em que

I(θ)

é a matriz de informação esperada. Visto que, em muitas situações a

matriz

I(θ)

é des onhe ida, podemos utilizar a matriz de informação observada

J(θ)

¨

avaliada em

θ

ˆ

omo uma estimativa de

I(θ)

. Neste aso, a matriz de informação

observada

J(θ)

¨

édada por

¨

J(θ) =











¨

J

α,α

J

¨

α,β

J

¨

α,γ

j

¨

J

β,α

J

¨

β,β

J

¨

β,γ

j

¨

J

γ

j

,α

J

¨

γ

j

,β

J

¨

γ

j

,γ

s











,

emqueos elementos damatriz

J(θ)

¨

en ontram-se noApêndi eA.

A distribuiçãonormal assintóti a multivariada

N

(p+2)

(0, ¨

J(ˆ

θ

)

−1

₎

pode ser usada

para onstruir intervalos de onança aproximados e regiões de onanças para os

parâmetros do modelo. Para omparar o modelo EG om alguns de seus submodelos

podemosutilizarum dos três testes de hipóteses onhe idos, asaber, oteste daRazão

da Verossimilhanças (RV), o teste de Wald (W) e o teste es ore de Rao

(S

R

)

que são baseados na normalidadeassintóti a dos estimadores. Porexemplo, podemosestá

interessados emtestar as hipóteses

H

0

: α = 1

ontra

H

1

: α 6= 1

que é equivalente a omparar a distribuição EG e os tipos de distribuições exponen ializadas. Para este

aso, aestatísti a de teste RV édada por

Λ = 2{ℓ(ˆ

α, ˆ

β, ˆ

_{γ) − ℓ(1, ˜}

β, ˜

_γ)},

emque

α

ˆ

,

β

ˆ

e

γ

ˆ

são os EMVs sob

H

1

e

β

˜

e

γ

˜

são os EMVsde

β

e

γ

sob

H

0

.

Aseguir,apresentamososmodelosFré het,normal,gama,Gumbel,exponen iale

Pareto omomodelosespe iaisparaa lassede distribuiçõesgeneralizadas

exponen ia-lizadas. Assim, omoosgrá osdesuasdensidadesparaalgunsvaloresdosparâmetros.

2.8 Casos Parti ulares

Apresentamos, nestaseção,algumasdistribuiçõesespe iais. Afunção

den-sidade em (2.2) será mais tratável quando a fda

G(x)

e fdp

g(x)

tiverem expressões

analíti assimples.

2.8.1 Fré het Generalizada Exponen ializada

A fda da distribuição Fré het Generalizada Exponen ializada (EGF) é obtida a

partirdafunção em(2.1) onsiderando

G(x)

omosendo afdadadistribuiçãoFré het

om parâmetros

σ > 0

e

λ > 0

, denida por

G

σ,λ

(x) = exp[−(σ/x)

λ

_]

modoque

F (x) =



1 −



1 − exp



−

σ

_x



λ



α



β

, x > 0,

(2.23)

emque

σ > 0

é um parâmetro de es ala e os outrosparâmetros

λ > 0

,

a > 0

e

b > 0

sãoparâmetros deforma. A funçãodensidade de probabilidade(fdp)asso iadaé dada

por

f (x) = α β λ σ

λ

x

−(λ+1)

exp



−

σ

_x



λ

 

1 − exp



−

σ

_x



λ



α−1

×



1 −



1 − exp



−

σ

_x



λ



α



β−1

.

Se

β = 1

, obtém-se a distribuição EF denida por Nadarajah eKotz (2006).

Na Figura 2.1 apresentamos os grá os da função densidade de probabilidade

FGEpara alguns valores dos parâmetros sele ionados. Observamos quea distribuição

EGFéassimétri aàdireita. Quandoxamos

α = 1.5

e

σ = 1.5

(Figura(b))evariamos

osvalores de

β

e

λ

a distribuição  a mais dispersa.

Pela

F (x)

dada em(2.4) para

G(x) = exp[−(σ/x)

λ

_]

, obtemos

F (x) =

∞

X

j=0

w

j



exp



−

σ

_x



λ



j

=

∞

X

j=0

w

j

exp



−

σ j

1

λ

x

!

λ





=

∞

X

j=0

w

j

G

σ

∗

_,λ

(x),

emque

σ

∗

_{= σj}

1

λ

e

G

σ

∗

,λ

(x)

é afda da distribuição Fré het om parâmetros

σ

∗

_{> 0}

e

λ > 0

. A partir daProposição 2.1, obtemos

f (x) = α β λ σ

λ

x

−(λ+1)

∞

X

j=0

t

j

exp



−(j + 1)

σ

x



λ



.

emque

t

j

é dado naproposição 2.1.

Proposição 2.2 O

(r, j)

-ésimo MPP da distribuição Fré het é

τ

r,j

=

σ

r

(j + 1)

1−

r

λ

Γ



1 −

_λ

r



,

Capítulo 2. Casos Parti ulares 17

α

=1.5;

β

=4

α

=2.5;

β

=3

α

=3.5;

β

=2

α

=4.5;

β

=1

α

=5.5;

β

=0.5

Dens

x

0 1 2 3 4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 5 6 (a)

β

=0.1;

λ

=4

β

=0.3;

λ

=3

β

=0.7;

λ

=2

β

=0.9;

λ

=1

β

=1.1;

λ

=0.5

Dens

x

0 1 2 3 4 0.0 0.0 0.5 0.5 1.0 1.0 1.5 1.5 2.0 2.0 2.5 3.0 3.5 5 6 (b)

Figura2.1: FunçãoDensidade daEGF

(σ, λ, α, β)

paraalgunsvaloresdos parâmetros.

(a)Para

σ = 1.5

e

λ = 2.0

. (b) Para

α = 1.5

e

σ = 1.5

.

para

r < λ

.

Demonstração: a distribuição Fré het possui fda dada por

G(x) = exp



−

σ

_x



λ



, x > 0.

A fdp orrespondentepode ser expressapor

g(x) = λ σ

λ

x

−(λ+1)

exp



−

σ

_x



λ



, x > 0.

Substituindoas duas últimasexpressões em (2.9) temos

τ

r,j

=

Z

∞

0

x

r



exp



−

σ

_x



λ



j

λ σ

λ

x

−(λ+1)

exp

h

₋₍

σ

x

)

λ

i

_dx

= λ σ

λ

Z

∞

0

x

r−(λ+1)

exp



−(j + 1)

σ

_x



λ



dx.

Denindo

u = (j+1)(σ/x)

λ

_{⇒ x = σ(j+1)}

1/λ

_u

−1/λ

_{⇒ dx = −σ(j+1)}

1/λ

_λ

−1

_u

−(1/λ+1)

_du

.

Segueque

τ

r,j

= λ σ

λ

Z

∞

0

[σ(j + 1)

λ

1

u

−

1

λ

]

r−(λ+1)

exp(−u)σ(j + 1)

1

λ

λ

−1

u

−(

1

λ

+1)

du

= σ

r

(j + 1)

r

λ

−1

Z

∞

0

u

−

_λ

r

exp(−u)du

=

σ

r

(j + 1)

1−

λ

r

Z

∞

0

u

−

_λ

r

exp(−u)du

=

σ

r

(j + 1)

1−

r

λ

Γ



1 −

_λ

r



.

Aintegral

R

∞

0

u

−

r

_λ

_exp(−u)du

onverge absolutamentepara

r < λ

. Consequentemente

para

r < λ

, temosque

E(Y

r

) = αβσ

r

Γ



_{1 −}

r

λ



_X

∞

j=0

t

j

(j + 1)

1−

r

λ

.

2.8.2 Normal Generalizada Exponen ializada

A distribuição Normal GeneralizadaExponen ializada (EGN)é expressa por

F (x) =



1 −



1 − Φ



x − µ

σ



α



β

.

(2.24)

Consequentemente, a densidade dadistribuição EGN orresponde a

f (x) = α β σ

−1



1 − Φ



x − µ

σ



α−1



1 −



1 − Φ



x − µ

σ



α



β−1

φ



x − µ

σ



,

(2.25)

emque

x ∈ R

,

µ ∈ R

éum parâmetrode lo ação,

σ > 0

éum parâmetrode es ala,

α >

0

e

β > 0

,e

Φ(.)

e

φ(.)

são afdaefdpdadistribuiçãonormalpadrão,respe tivamente. A Figura2.2 apresenta o omportamento dafunção densidade de probabilidade

da distribuição EGN para alguns valores dos parâmetros. Observe que a medida que

aumentamos o valor de

β

e diminuimos o valor de

α

(para

µ = 0

e

σ = 1.0

xados),

maisassimétri atorna-seadistribuição. Omesmoo orrequandodiminuimosovalores

de

β

e

σ

(para

α = 1.5

e

µ = 0

xados).

Os momentos de

X ∼ N(µ, σ)

podem ser obtidos utilizando

E(X

r

_{) =}

P

r

k=0

µ

r−t

σ

r

E(Z

r

)

, em que

Z ∼ N(0, 1)

. Assim, passamos a trabalhar om a distri-buiçãonormal padrão. Considere a fdada distribuiçãonormal denida por

Φ(x) =

1

2



1 + erf



x

√

2



,

(2.26)

Capítulo 2. Casos Parti ulares 19

α

=1.5;

β

=4

α

=2.5;

β

=3

α

=3.5;

β

=2

α

=4.5;

β

=1

α

=5.5;

β

=.5

Dens

x

0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 1.0 0.5 1 2 -2 3 4 -4 0.0 0 -0.5 -1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 5 6 (a)

β

=0.5;

σ

=0.2

β

=1.5;

σ

=0.3

β

=2.5;

σ

=0.5

β

=3.5;

σ

=0.7

β

=4.5;

σ

=0.9

Dens

x

0.2 0.4 0.6 0.8 0.2 1.0 1.0 0.5 0.5 1 2 -2 3 4 -4 0.0 0.0 0 -0.5 -1.0 1.5 1.5 2.0 2.0 2.5 3.0 3.5 5 6 (b)

Figura2.2: FunçãoDensidadedaEGN

(σ, µ, α, β)

para algunsvaloresdos parâmetros.

(a)Para

µ = 0

e

σ = 1.0

. (b) Para

α = 1.5

e

µ = 0

. em que

erf (x) =

√

2

π

Z

x

0

exp(−t

2

_)dt,

é a função erro. Considerando em (2.4) a distribuição normal padrão om

µ = 0

e

σ = 1

,obtemos

F (x) =

∞

X

j=0

w

j

[Φ(x)]

j

,

rees rever aequação anterior omo

F (x) =

∞

X

j=0

w

j



1

2



1 + erf



x

√

2



j

=

∞

X

j=0

2

−j

w

j



1 + erf



x

√

2



j

=

∞

X

j=0

2

−j

w

j

j

X

ℓ=0



j

ℓ

 

erf



x

√

2



ℓ

.

Logo,

F (x) =

∞

X

j=0

2

−j

w

j

j

X

ℓ=0



j

ℓ

 

erf



x

√

2



ℓ

.

Obteremos, agora uma expansão para a função em(2.25) ( om

µ = 0

e

σ = 1

).

Considere aIdentidade

erf (x) =

_√

2

π

∞

X

m=0

(−1)

m

_x

2m+1

(2m + 1)m!

.

(2.27)

Tomando

µ = 0

e

σ = 1

naequação (2.25), temos que

f (x) = αβ[1 − Φ(x)]

α−1

{1 − [1 − Φ(x)]

α

}

β−1

φ(x).

Utilizandoa equação(2.6) segue que

f (x) = αβ exp



−

x

2

2



2

−1/2

π

−1/2

∞

X

j=0

2

−j

t

j



1 + erf



x

√

2



j

.

Usando a expansão binomial e a expansão em série para a função erro (2.27),

respe -tivamente, na equação anterior,obtemos

f (x) = α β exp



−

x

2

2



2

−1/2

π

−1/2

∞

X

j=0

2

−j

t

j

j

X

ℓ=0



j

ℓ



erf



x

√

2



ℓ

= α β exp



−

x

2

2



2

−1/2

π

−1/2

∞

X

j=0

2

−j

t

j

j

X

ℓ=0



j

ℓ



2

ℓ/2

π

−ℓ/2

"

_∞

X

m=0

(−1)

m

_x

2m+1

2

m

_{(2m + 1)m!}

#

ℓ

= α β exp



−

x

2

2



2

−1/2

π

−1/2

∞

X

j=0

2

−j

t

j

j

X

ℓ=0



j

ℓ



2

ℓ/2

π

−ℓ/2

×

∞

X

m

1

=0

...

∞

X

m

ℓ=0

(−1)

m

1

+...+m

ℓ

x

2(m

1

+...+m

ℓ

)+ℓ

2

m

1

+...+m

ℓ

(2m

1

+ 1)...(2m

ℓ

+ 1)m

1

!...m

ℓ

!

.

Denição 2.5 A função Lauri ella do tipo A (Exton, 1978; Aarts, 2000) é dada por

F

_A

(n)

(a; b

1

, ..., b

n

; c

1

, ..., c

n

; x

1

, ..., x

n

) =

∞

X

m

1

=0

...

∞

X

m

n

=0

(a)

m

1

+...+m

n

(b

1

)

m

1

...(b

n

)

m

n

(c

1

)

m

1

...(c

n

)

m

n

x

m

1

1

...x

m

n

n

m

1

!...m

n

!

,

(2.28)

emque

(a)

i

= a(a + 1)...(a + i − 1)

é o fatorial as edente ( om a onvenção

(a)

0

= 1

). Proposição 2.3 O

(r, j)

-ésimo MPP da distribuição normal podem ser expresso em

termos da função Lauri ellado tipo A omo

τ

r,j

= 2

r/2

π

−(j+1)/2

j

X

ℓ=0



j

ℓ



2

−l

π

ℓ/2

Γ



r + j − ℓ + 1

2



×

F

_A

(j−ℓ)



r + j − ℓ + 1

2

;

1

2

, ...,

1

2

;

3

2

, ...

3

2

; −1, ..., −1



,

para

r + j − ℓ

par.

Demonstração: da denição, dada em(2.9),

τ

r,j

=

Z

∞

−∞

x

r

Φ(x)

j

φ(x)dx

=

1

2

j

√

_2π

j

X

ℓ=0



j

ℓ

 Z

∞

−∞

x

r

exp



−

x

2

2



erf



x

√

2



j−ℓ

dx

=

1

2

j

√

_2π

j

X

ℓ=0



j

ℓ



I(j, ℓ).

(2.29)

Usando aexpansão (2.27),a integral

I(j, ℓ)

em(2.29) pode ser expressa omo

I(j, l) =

Z

∞

−∞

x

r

exp



−

x

2

2

 "

2

√

π

∞

X

m=0

(−1)

m

_x

2m+1

2

m+

1

2

(2m + 1)m!

#

j−ℓ

dx

=



2

√

π



j−ℓ

_X

∞

m

1

=0

...

∞

X

m

j−ℓ

=0

(−1)

m

1

+...+m

_j−ℓ

2

m

1

+...+m

j−ℓ

+

j−ℓ

2

(2m

1

+ 1)...(2m

j−ℓ

+ 1)m

1

!...m

j−ℓ

!

×

Z

∞

−∞

x

2(m

1

+...+m

j−ℓ

)+r+j−ℓ

_exp



−

x

2

2



dx

=



2

√

π



j−ℓ

_X

∞

m

1

=0

...

∞

X

m

j−ℓ

=0

(−1)

m

1

+...+m

j−ℓ

2

m

1

+...+m

_j−ℓ

+

j−ℓ

₂

_(2m

1

+ 1)...(2m

j−ℓ

+ 1)m

1

!...m

j−ℓ

!

×2

m

1

+...+m

j−ℓ

+

r+j−ℓ+1

2

Z

∞

−∞



x

2

2



(m

1

+...+m

j−ℓ

+

r+j−ℓ+1

2

)−1

exp



−

x

2

2



dx

=



2

√

π



j−ℓ

2

r+1

2

∞

X

m

1

=0

...

∞

X

m

j−ℓ

=0

(−1)

m

1

+...+m

j−ℓ

2

j−ℓ

_(m

1

+

1

₂

)...(m

j−ℓ

+

1

₂

)m

1

!...m

j−ℓ

!

×Γ



m

1

+ ... + m

j−ℓ

+

r + j − ℓ + 1

2



= π

ℓ−j

2

2

r+1

2

∞

X

m

1

=0

...

∞

X

m

j−ℓ

=0

(−1)

m

1

+...+m

j−ℓ

(m

1

+

1

₂

)...(m

j−ℓ

+

1

₂

)m

1

!...m

j−ℓ

!

×Γ



m

1

+ ... + m

j−ℓ

+

r + j − ℓ + 1

2



,

(2.30)

se

r + j − ℓ

é par. Agora, usandoo fatode que

(f )

k

= Γ(f + k)/Γ(f )

e adenição em (2.28),podemossimpli ar(2.30) para

I(j, ℓ) = π

ℓ−j

2

2

r+1

2

Γ



r + j − ℓ + 1

2



_X

∞

m

1

=0

...

∞

X

m

j−ℓ

=0

(r + j − ℓ + 1)

m

1

+...+m

j−ℓ

(−1)

m

1

+...+m

j−ℓ

(m

1

+

1

₂

)...(m

j−ℓ

+

1

₂

)m

1

!...m

j−ℓ

!

= π

ℓ−j

2

2

r+1

2

+j−ℓ

Γ



r + j − ℓ + 1

2



×

F

_A

j−ℓ



r + j − ℓ + 1

2

;

1

2

, ...,

1

2

;

3

2

, ...

3

2

; −1, ..., −1



.

(2.31)

Combinando(2.29) e (2.31),obtemos aexpressão

τ

r,j

= 2

r/2

π

−(j+1)/2

j

X

ℓ=0



j

ℓ



2

−ℓ

π

ℓ/2

Γ



r + j − ℓ + 1

2



×

F

_A

(j−ℓ)



r + j − ℓ + 1

2

;

1

2

, ...,

1

2

;

3

2

, ...

3

2

; −1, ..., −1



.

Portanto, o

(r, j)

-ésimoMPP da distribuiçãonormal é

τ

r,j

= 2

r/2

π

−(j+1)/2

j

X

ℓ=0



j

ℓ



2

−ℓ

π

ℓ/2

Γ



r + j − ℓ + 1

2



×

F

_A

(j−ℓ)



r + j − ℓ + 1

2

;

1

2

, ...,

1

2

;

3

2

, ...

3

2

; −1, ..., −1



,

para

r + j − ℓ

par. Notequea expressãoanterioréuma somade funçõesLauri ellado

2.8.3 Gama Generalizada Exponen ializada

A fda da distribuição gama om parâmetros

a > 0

(forma) e

b > 0

(es ala) é

G

a,b

(x) = γ(a, bx)/Γ(a)

(para

x > 0

), emque

γ(a, x) =

Z

x

0

w

a−1

e

w

dw

éa função gamain ompleta, que éfa ilmenteimplementada emvários softwares

esta-tísti os. A distribuição Gama Generalizada Exponen ializada (EGGa) tem fda dada

por

F (x) =



1 −



1 −

γ(a, bx)

_Γ(a)



α



β

, x > 0

efunção densidade asso iada

f (x) =

α β b

a

_x

a−1

_e

−bx

Γ(a)



1 −

γ(a, bx)

_Γ(a)



α−1



1 −



1 −

γ(a, bx)

_Γ(a)



α



β−1

,

(2.32)

emque

a

éum parâmetrode lo ação,

b

,

α

e

β

são parâmetrosde forma

AdistribuiçãoEGGa éumafamíliaquepossuialguns asosparti ulares. Quando

α = β = 1

na equação (2.32) temos uma distribuição gama, quando

α = β = a = 1

temosa distribuição exponen ial.

NaFigura2.3estãoosgrá osdafunçãodensidadeem(2.32)paraalgunsvalores

dos parâmetros sele ionados. Note que a medida que aumentamos o valor de

α

e

diminuimos o valor de

β

( om

a = 1.5

e

b = 2.0

xos), mais assimétri a torna-se a

distribuição. Veja, também, que de a ordo om os valores de

β

e

b

( om

α = 1.5

e

a = 1.5

xos) a formadadistribuição se altera.

Denição 2.6 Uma expansãoem sériede potên ias paraa função gamain ompletaé

dada por

G

a,b

(x) =

(b x)

a

Γ(a)

∞

X

m=0

(−b x)

m

(a + m)m!

.

(2.33)