Estudo e modelamento computacional de emissores de elétrons por efeito de campo de formato hemi-elipsoidal utilizando o método de elementos finitos

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação

HILTON HENRIQUE BERTAN

ESTUDO E MODELAMENTO COMPUTACIONAL DE EMISSORES DE ELÉTRONS POR EFEITO DE CAMPO DE FORMATO HEMI-ELIPSOIDAL UTILIZANDO O

MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

CAMPINAS 2016

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HILTON HENRIQUE BERTAN

ESTUDO E MODELAMENTO COMPUTACIONAL DE EMISSORES DE ELÉTRONS POR EFEITO DE CAMPO DE FORMATO HEMI-ELIPSOIDAL UTILIZANDO O

MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Tese apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica, na Área de Eletrônica, Microeletrônica e Optoeletrônica.

Orientador: Prof. Dr. Marco Antonio Robert Alves Co-orientador: Prof. Dr. Edmundo da Silva Braga

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO HILTON HENRIQUE BERTAN, E ORIENTADA PELO PROF. DR. MARCO ANTONIO ROBERT ALVES.

CAMPINAS 2016

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COMISSÃO JULGADORA - TESE DE DOUTORADO

Candidato: Hilton Henrique Bertan, RA: 993414 Data da Defesa: 18 de outubro de 2016

Título da Tese: "Estudo e Modelamento Computacional de Emissores de Elétrons por Efeito de Campo de Formato Hemi-Elipsoidal utilizando o Método de Elementos Finitos”.

Prof. Dr. Marco Antonio Robert Alves (Presidente, FEEC/UNICAMP) Prof. Dr. Davi Sabbag Roveri (Faculdade Anhanguera de Piracicaba - FPI)

Prof. Dr. Evandro Luis Linhari Rodrigues (Escola de Engenharia de São Carlos - USP) Prof. Dr. Fabiano Fruett (FEEC/UNICAMP)

Prof. Dr. Gilmar Barreto (FEEC/UNICAMP)

A ata de defesa, com as respectivas assinaturas dos membros da Comissão Julgadora, encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

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AGRADECIMENTOS

Ao meu orientador, Prof. Dr. Marco Antonio Robert Alves, pela confiança e apoio em todas as fases deste trabalho.

Ao meu co-orientador, Prof. Dr. Edmundo da Silva Braga, pela inestimável colaboração e conselhos.

Ao Eng. Davi Sabbag Roveri, que pacientemente muito contribuiu com este trabalho, principalmente durante a fase de otimização das simulações.

Ao Eng. Guilherme Mauad Sant’Anna, pelas discussões relacionadas à pesquisas semelhantes.

À FEEC – Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Unicamp (Universidade Estadual de Campinas).

À ESSS – Engineering Simulation & Scientific Software, pelas licenças de uso do

software Ansys Maxwell, em especial ao Eng. Juliano Fujioka Mologni, pelo precioso suporte

relacionado às simulações.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP).

Aos meus pais, Henrique e Benedita, pelos ensinamentos na vida. À minha esposa, Danieli, pela paciência, amor e incentivo.

Aos meus filhos, a pequena Letícia e o menor ainda Felipe, que tornaram nossos dias ainda mais felizes.

A todos que contribuíram direta ou indiretamente no desenvolvimento desse trabalho.

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RESUMO

Este trabalho apresenta os resultados das simulações numéricas para emissores de elétrons por efeito de campo utilizando um software baseado no Método de Elementos Finitos. Os emissores hemi-elipsoidais foram modelados usando o software Ansys Maxwell, e essas estruturas foram simuladas em duas e três dimensões. A influência do screening effect dos emissores foi considerada no caso de um array de 9 emissores alinhados e com um espaçamento regular. Foi demonstrado que dispositivos reais equivalentes podem ser simulados através de uma matriz de 9x9 emissores.

Foram comparadas as simulações entre os modelos 2D e 3D (resultados numéricos no presente estudo), e baixos desvios percentuais foram encontrados. Esses resultados foram comparados com sucesso com diferentes equações de outros trabalhos (resultados analíticos na literatura).

Uma importante metodologia foi estabelecida, a qual poderá ser utilizada como referência para o desenvolvimento e simulação de projetos equivalentes ou mais complexos dedicados à emissão por campo.

Palavras-chaves: Nanotecnologia, Emissão por Campo, Simulação Numérica, Emissor Hemi-elipsoidal.

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ABSTRACT

This work presents the results of numerical simulation for field effect electron emitters using software based on the Finite Element Method. The hemi-ellipsoidal emitters were modeled using the Ansys Maxwell software, and these structures were simulated in two and three dimensions. The influence of the screening effect of emitters was considered in the case of 9 emitters array located on one line having regular spacing. We have demonstrated that equivalent real devices can be simulated through a 9x9 matrix of emitters.

We have compared the simulations between 2D and 3D models (numerical results in current study), and low percent deviations were found. These results were successfully compared with different equations from other research works (analytical results in literature). We have established a very important methodology which could serve as a reference for the development and simulation of equivalent or more complex projects dedicated for field emissions.

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LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 2.1 – Imagem através de microscópio eletrônico mostrando emissores de diversos

materiais [10]. ... 18

Figura 2.2 – Conjunto de emissores com pequenas imperfeições [10]. ... 19

Figura 2.3 – Conjunto de emissores de alta qualidade [10]... 19

Figura 2.4 – Display Emissor de Campo (Field Emission Display) [13]. ... 21

Figura 2.5 –Diagrama simplificado de um FED [2]. ... 21

Figura 2.6 – Emissor e seu gate (a) [2]. Conjunto de emissores de um mesmo dispositivo (b) [2]. ... 22

Figura 2.7 – Imagem mostrando emissor danificado, mas os demais intactos [2]. ... 22

Figura 2.8 – Barreira de energia potencial na interface metal-vácuo, na ausência de campo elétrico (linha tracejada) e com campo intenso (linha cheia) [9]. ... 23

Figura 2.9 – Formatos de emissores [15]. ... 25

Figura 2.10 – Emissor hemi-elipsoidal e seus parâmetros geométricos. ... 26

Figura 3.1 – Estrutura hemi-elipsoidal em 2D (a) e 3D (b). ... 28

Figura 3.2 – Modelo completo do dispositivo e suas estruturas. ... 29

Figura 3.3 – Elementos básicos da malha em 2D (a) e 3D (b), exibindo seus respectivos nodos. ... 30

Figura 4.1 – Detalhes da estrutura (a) e modelo para simulação (b). ... 36

Figura 4.2 – Hemi-elipsoide em 2D (a) e Probe situado na extremidade (b)... 37

Figura 4.3 – Malha de elementos no emissor (a) e no seu ápice (b). ... 39

Figura 4.4 – Campo elétrico no emissor (a) e no seu ápice (b). ... 39

Figura 4.5 – Campo elétrico no ápice do emissor x Raio da base do emissor (simulado). ... 40

Figura 4.6 – Fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Raio da base do emissor – Simulado (linha cheia) e para diversas equações (linha tracejada) [14][16][17]. ... 41

Figura 4.7 – Desvio no fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Raio. ... 42

Figura 4.8 – Desvio [%] no fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Raio. . 43

Figura 4.9 – Fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Distância anodo-catodo. ... 44

Figura 4.10 – Campo elétrico x Ângulo de emissão... 45

Figura 4.11 – Fator de enriquecimento de campo x Ângulo de emissão. ... 45

Figura 4.12 – Campo elétrico no ápice do emissor x Razão de aspecto... 46

Figura 4.13 – Fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Razão de aspecto – Simulado (linha cheia) e Teórico (linha tracejada) [14][16][17]. ... 47

Figura 4.14 – Desvio no fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Razão de aspecto. ... 48

Figura 4.15 – Desvio [%] no fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Razão de aspecto. ... 48

Figura 4.16 – Corrente emitida x Tensão no Anodo. ... 49

Figura 4.17 – Campo elétrico no ápice do emissor x Tensão no anodo. ... 50

Figura 4.19 – Densidade de corrente x Ângulo de emissão. ... 52

Figura 4.20 – Estrutura completa em 3D (a) e o hemi-elipsoide (b). ... 54

Figura 4.21 – Ápice do emissor (a) e sua vista em perfil (b). ... 55

(9)

Figura 4.23 – Campo elétrico ao redor do emissor (a) e na superfície do catodo virtual (b). .. 57

Figura 4.24 – Corrente emitida x Tensão no anodo. ... 58

Figura 4.25 – Campo elétrico no ápice do emissor x Tensão no anodo. ... 58

Figura 4.27 – Densidade de corrente x Ângulo de emissão. ... 59

Figura 4.28 – Array linear de emissores simulado em 2D. ... 65

Figura 4.29 – Região de operação de malha sobre o emissor central (a) e Probe situado na extremidade do mesmo hemi-elipsoide (b). ... 66

Figura 4.30 – Linhas equipotenciais na região do array. ... 67

Figura 4.31 – Campo elétrico na região do array... 68

Figura 4.32 – Linhas equipotenciais no emissor central. ... 68

Figura 4.33 – Campo elétrico no emissor central. ... 69

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LISTA DE TABELAS

Tabela 4.1 – Dimensões e parâmetros do hemi-elipsoide simulado em 2D. ... 37

Tabela 4.2 – Parâmetros de simulação do hemi-elipsoide modelado em 2D. ... 38

Tabela 4.3 – Dimensões e parâmetros do hemi-elipsoide simulado em 3D. ... 55

Tabela 4.4 – Parâmetros de simulação do hemi-elipsoide modelado em 3D. ... 56

Tabela 4.5 – Dimensões e parâmetros do array de emissores. ... 64

Tabela 4.6 – Parâmetros de simulação do array de emissores. ... 65

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LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

CNT Carbon Nanotube

2D Duas dimensões

3D Três dimensões

CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico ESSS Engineering Simulation & Scientific Software

FAPESP Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo FED Field-Emission Display

FEM Finite Element Method

F-N Fowler-Nordheim

Ge Germânio

Mo Molibdênio

PEC Perfect Electric Conductor

RAM Random Access Memory

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LISTA DE SÍMBOLOS

A Área de emissão de corrente

D Densidade de fluxo elétrico

d Distância entre anodo e catodo

E Intensidade do campo elétrico na superfície

e- Elétron

E0 Nível de Vácuo

EF Nível de Fermi

FM Campo elétrico macroscópico

I Corrente emitida

J Densidade de corrente emitida

JFN Densidade de corrente emitida calculada através da equação de F-N

L Altura do emissor

r Raio da base do emissor

ra Raio de curvatura do ápice do emissor

S Superfície do emissor

V Diferença de potencial entre anodo e catodo

X, Y, Z Eixos geométricos

γ Fator de enriquecimento de campo

ε Permissividade elétrica do material

θ Ângulo de emissão em relação ao eixo Z, onde 0° corresponde ao seu ápice

ρ Densidade de carga

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SUMÁRIO

PUBLICAÇÕES DO AUTOR ... 14 1. INTRODUÇÃO ... 15 1.1. OBJETIVOS ...16 1.2. ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ...17 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ... 18 2.1. APLICAÇÕES ...20

2.2. TEORIA DE EMISSÃO DE ELÉTRONS POR CAMPO ...23

3. METODOLOGIA ... 28

4. RESULTADOS E ANÁLISE ... 34

4.1. EMISSOR SIMULADO EM 2D ...35

4.1.1. Modelamento ...35

4.1.2. Campo Elétrico ...38

4.1.3. Fator de Enriquecimento de Campo ...40

4.1.4. Distância Anodo-Catodo ...43 4.1.5. Ângulo de Emissão ...44 4.1.6. Razão de Aspecto ...46 4.1.7. Corrente Emitida ...48 4.2. EMISSOR SIMULADO EM 3D ...54 4.2.1. Modelamento ...54 4.2.2. Corrente Emitida ...57

4.3. COMPARAÇÃO DOS MODELOS EM 2D E 3D ...61

4.4. ARRAY DE EMISSORES SIMULADO EM 2D ...63

4.4.1. Modelamento ...63

4.4.2. Simulações ...66

5. CONCLUSÕES ... 72

5.1. TRABALHOS FUTUROS ...74

(14)

14

PUBLICAÇÕES DO AUTOR

H. H. Bertan, D. S. Roveri, G. M. Sant’Anna, J. F. Mologni, E. S. Braga, M. A. R. Alves. “Numerical simulations of electron field emitters based on hemiellipsoid geometry”. Journal of Electrostatics. v. 81, p. 59-63. 2016.

D. S. Roveri, G. M. Sant’Anna, H. H. Bertan, J. F. Mologni, M. A. R. Alves, E. S. Braga. “Simulation of the enhancement factor from an individual 3D hemisphere-on-post field emitter by using finite elements method”. Ultramicroscopy. v. 160, p. 247-251. 2016.

H. H. Bertan, D. S. Roveri, G. M. Sant’Anna, J. F. Mologni, E. S. Braga, M. A. R. Alves. “Estudo e Modelamento Computacional de Emissores de Elétrons por Efeito de Campo de Formato Hemi-Elipsoidal”. Revista SODEBRAS. v. 10, n. 112, p. 58-63. 2015.

G. M. Sant´Anna, D. S. Roveri, H. H. Bertan, J. F. Mologni, E. S. Braga, M. A. R. Alves. “Analysis of the electric field behavior in the vicinity of a triple junction, using finite elements method computational simulations”. Journal of Electrostatics. v. 74, p. 96-101. 2015.

D. S. Roveri, H. H. Bertan, M. A. R. Alves, J. F. Mologni, E. S. Braga. “Use of Ansoft Maxwell software platform for investigation of electrostatic properties of a hemisphere on a post geometry aimed to model field emission devices”. ESSS Conference & ANSYS Users Meeting, 2013.

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15 INTRODUÇÃO

1. INTRODUÇÃO

No final da década de 50, os dispositivos eletrônicos a vácuo, como a válvula termoiônica, ainda apresentavam diversas desvantagens, tais como o consumo indesejável de potência para o aquecimento do filamento emissor de elétrons e a limitação na densidade de corrente que podia ser emitida [1]. Estes pontos negativos foram então superados pela introdução dos componentes microeletrônicos de estado sólido, tendo como principal representante o transistor, que foi responsável também pela rápida miniaturização dos dispositivos.

Com este salto evolutivo, os componentes baseados nos semicondutores passaram a apresentar desempenhos muito superiores e servir para diversas aplicações antes impraticáveis. Entretanto, pesquisas realizadas nas últimas décadas revelaram que os dispositivos eletrônicos a vácuo voltaram a ser competitivos, desta vez utilizando-se do fenômeno de emissão por campo (Field Emission).

A emissão de elétrons por efeito de campo está associada ao fenômeno físico de tunelamento quântico, ou efeito túnel, e ocorre quando um intenso campo elétrico é aplicado na superfície do material, extraindo os elétrons e fazendo com que os mesmos atravessem a barreira de potencial existente e atinjam o vácuo [2].

Emissores baseados neste princípio possuem numerosas características, tais como: baixo custo de fabricação, baseada em técnicas semelhantes à produção de componentes semicondutores, e possibilidade de suportar grandes densidades de correntes. Também chamados de Cold Cathodes, eles podem operar à temperatura ambiente, não desperdiçando energia para aquecimento do emissor, ao contrário daqueles baseados na emissão termoiônica [3][4]. Como os elétrons são injetados e transportados no vácuo, estes emissores são também resistentes a variações da radiação incidente e mudanças de temperatura [5], e não ocorre dissipação de energia no transporte dos elétrons [1]. A emissão responde rapidamente a variações do campo elétrico aplicado e há uma grande sensibilidade na curva I-V, pois pequenas variações de intensidade de campo resultam em grandes alterações na corrente emitida.

(16)

16 INTRODUÇÃO

1.1. Objetivos

O principal objetivo deste trabalho foi o de estabelecer uma metodologia de análise de emissores por efeito de campo utilizando modelos computacionais, baseados no Método de Elementos Finitos (Finite Element Method – FEM). Os modelos foram projetados e simulados considerando as limitações de memória RAM e tempo de execução impostas pelo

hardware utilizado.

Selecionamos para este estudo os emissores de formato hemi-elipsoidal, pois, além de possuírem uma grande importância em aplicações diversas, como veremos mais adiante, este formato é raramente reportado na literatura. Analisamos modelos contendo apenas um único emissor, e também um conjunto de emissores reunidos em array. Para comparar e validar nossos dados, as simulações foram executadas em duas e três dimensões. As principais características avaliadas foram o campo elétrico, o fator de enriquecimento de campo e a densidade de corrente emitida. Essas grandezas foram analisadas em função principalmente da geometria e das dimensões dos dispositivos. O objetivo foi comparar entre si todos os modelos produzidos durante a pesquisa, e também analisar esses resultados em conjunto com equações já presentes na literatura, para demonstrar que o modelamento de emissores por campo através do FEM pode produzir resultados extremamente práticos e confiáveis, fazendo uso dos métodos aqui descritos e também utilizando recursos computacionais limitados.

Este trabalho também teve como objetivo servir de guia para todos os estudantes ou pesquisadores que buscam um modelo a seguir para a simulação destes dispositivos utilizando softwares equivalentes. Seguindo esse objetivo, reunimos toda a informação suficiente e necessária relacionada ao tema, unificando desta forma o conhecimento e facilitando o estudo e aplicação da presente pesquisa. Considerando que trabalhos de modelamento de emissores deste formato (hemi-elipsoide) são bem mais raros que pesquisas utilizando outras geometrias, esta pesquisa também será de grande valia para trabalhos mais complexos.

(17)

17 INTRODUÇÃO

1.2. Organização do Trabalho

Veremos a seguir as principais aplicações para esses emissores, sua teoria de funcionamento e a importância em estudar os emissores hemi-elipsoidais, bem como os resultados e conclusões da pesquisa. O trabalho está organizado de tal forma que a complexidade seja crescente e ao mesmo tempo de fácil entendimento.

O Capítulo 2 faz uma revisão bibliográfica do assunto, destacando as mais importantes aplicações comerciais e explicando de maneira didática a teoria de emissão de elétrons por campo.

O Capítulo 3 traz a metodologia utilizada minuciosamente comentada, principalmente para orientar os leitores interessados em utilizá-la em seus trabalhos correlatos.

No Capítulo 4 está concentrada a apresentação e análise de todos os resultados. São discutidos os modelos de um emissor simulado em 2D (Seção 4.1) e em 3D (Seção 4.2), e a comparação entre eles está na Seção 4.3. Os resultados referentes a um array de emissores são apresentados na Seção 4.4.

(18)

18 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

O dispositivo básico de emissão por campo consiste em uma ponteira emissora de elétrons (catodo) e um anodo, entre os quais é aplicada uma diferença de potencial que resulta em um forte campo elétrico no ápice do emissor. Este intenso campo distorce a barreira de potencial na superfície do material, permitindo que os elétrons sejam extraídos para o vácuo devido ao efeito túnel [6]. O anodo, que possui potencial positivo com relação ao catodo, atrai e captura os elétrons emitidos, produzindo uma corrente elétrica.

Uma característica comum em todos os emissores de elétrons por campo é o seu formato, que não pode ser muito diferente de uma ponteira [7]. Seu aspecto alongado faz com que o campo elétrico na extremidade do emissor seja muitas vezes maior que o campo elétrico macroscópico aplicado entre catodo e anodo. Isto reduz a diferença de potencial que precisa ser aplicada na estrutura [8], diminuindo também suas dimensões, além de maximizar a corrente emitida [9]. Cilindros, cones e hemi-elipsoides são formatos de emissores muito estudados, sendo que o Molibdênio (Mo), Germânio (Ge) e Silício (Si) são exemplos de materiais frequentemente utilizados. Os emissores podem ser fabricados isoladamente sobre um substrato ou construídos em conjuntos (arrays) [10] formando dispositivos com milhões de ponteiras por mm2.

Na Figura 2.1 temos imagens através de microscópio eletrônico de diversos emissores fabricados em diferentes materiais. O diâmetro da base de cada um deles é de 130nm [10].

(19)

É possível observar as imperfeições na forma dos mesmos, sendo que alguns apresentam grandes deformações. A Figura 2.2 apresenta parte de um substrato contendo um conjunto de emissores construídos de maneira organizada (array), com um espaçamento de 300nm entre eles. Cada ponteira possui um diâmetro de base de 130nm e uma altura média de 257nm [10]. O conjunto de emissores apresenta imperfeições e diferenças significativas entre alguns dos elementos.

Figura 2.2 – Conjunto de emissores com pequenas imperfeições [10].

A Figura 2.3 mostra um conjunto de emissores de Germânio (Ge) mais homogêneo, exibindo emissores praticamente idênticos. É possível observar a uniformidade de altura e formato dos mesmos, além da ausência de irregularidades na superfície do substrato entre eles.

(20)

Pesquisas recentes [11][12] mostram que os nanotubos de carbono (Carbon

Nanotubes - CNT´s) apresentam qualidades excelentes como emissores de elétrons: robustez

mecânica, alta condutividade elétrica e baixo custo de produção, além de grande enriquecimento de campo em sua extremidade devido ao formato extremamente alongado [13]. Como o processo de fabricação pode ser muito bem controlado, conjuntos de CNT´s são precisamente construídos com os parâmetros geométricos desejados, como altura, raio e densidade de ponteiras.

Os emissores hemi-elipsoidais também possuem qualidades interessantes que necessitam de um estudo aprofundado, o que é uma das motivações para o desenvolvimento desta pesquisa. Alguns emissores do tipo agulhas metálicas [14], fabricadas em escalas nanométricas, possuem um formato que pode ser bem representado por um modelo geométrico como o hemi-elipsoide. Este formato reúne características vantajosas dos CNT´s (alto enriquecimento de campo) e dos emissores cônicos ou piramidais (maior robustez mecânica) [15], que serão melhor avaliadas na Seção 2.2 deste trabalho. A literatura fornece soluções analíticas para o cálculo do enriquecimento de campo de emissores de formato hemi-elipsoidal [14][16][17], que serão comparadas com as soluções aqui encontradas.

2.1. Aplicações

Existem diversas aplicações para os emissores de elétrons por campo, como os amplificadores de micro-ondas [7][18], microscópios eletrônicos [11], fontes de elétrons de alta precisão [19] e sensores de deslocamento/pressão [20][21]. A aplicação mais conhecida e de maior potencial comercial é o FED (Field-Emission Display) [22][23][24]. Devido à sua vantagem, que inclui um maior ângulo de visão, maior brilho e baixo consumo de energia elétrica [2], este poderá substituir os displays atualmente utilizados.

A Figura 2.4 exibe o funcionamento de um FED de 5 polegadas, enquanto que a Figura 2.5 mostra o diagrama simplificado deste dispositivo.

(21)

Figura 2.4 – Display Emissor de Campo (Field Emission Display) [13].

Figura 2.5 –Diagrama simplificado de um FED [2].

O anodo do FED consiste de uma tela transparente revestida de Fósforo (P). Os elétrons extraídos dos emissores (catodos) e que passam pelo gate são acelerados pelo campo elétrico através do vácuo para colidir com esta tela, sendo geradas as cores primárias. A Figura 2.6(a) mostra a imagem de um emissor analisada através de um microscópio eletrônico, onde vemos o gate utilizado para o controle da corrente. Seu diâmetro da base é de aproximadamente 1µm. A Figura 2.6(b) exibe parte da matriz de emissores que forma o dispositivo.

(22)

(a) (b)

Figura 2.6 – Emissor e seu gate (a) [2]. Conjunto de emissores de um mesmo dispositivo (b) [2].

Cada pixel na tela possui seu respectivo conjunto de emissores de elétrons, que é endereçado independentemente dos demais. Caso alguns dos emissores deste conjunto apresentem falhas e deixem de funcionar, o pixel correspondente continua sendo iluminado pelos outros emissores. Na Figura 2.7 temos uma imagem obtida através do miscroscópio eletrônico mostrando a falha de um emissor de silício devido ao aquecimento excessivo. Vemos que o gate ao redor do emissor danificado está derretido e uma grande cavidade foi formada. Apesar da destruição desta unidade, é interessante notar que os emissores próximos continuam intactos, permitindo que o dispositivo como um todo ainda esteja operacional e cumprindo com sua função original [2].

(23)

2.2. Teoria de Emissão de Elétrons por Campo

A teoria relacionada à emissão de elétrons por efeito de campo foi primeiramente estudada em 1928 por Fowler e Nordheim [25][26].

O esquema da Figura 2.8 mostra a barreira de energia potencial existente entre um metal e o vácuo. A altura da barreira é igual à função trabalho do material (), que é a diferença entre o nível de Fermi (EF) e o nível de vácuo (E0). Quando não há campo elétrico

aplicado (linha tracejada), a altura da barreira impede que elétrons com energia insuficiente (menor que ) escapem da superfície do metal. Quando existe um campo elétrico suficientemente intenso (linha cheia), a barreira tem sua altura diminuída. Além disso, sua largura também é menor, possibilitando o tunelamento dos elétrons [27]. Estes podem, inclusive, atravessar a barreira sem necessidade de energia térmica, ou seja, teoricamente em zero absoluto [9].

Figura 2.8 – Barreira de energia potencial na interface metal-vácuo, na ausência de campo elétrico (linha tracejada) e com campo intenso (linha cheia) [9].

A densidade de corrente emitida JFN (A/cm2) está relacionada com a intensidade

do campo elétrico na superfície E (V/cm) e a função trabalho  (eV) de acordo com (1), também chamada equação de Fowler-Nordheim (F-N) [28][29][30].

𝐽_𝐹𝑁= 𝐴𝐸 2 𝜙𝑡2_(𝑦)exp (−𝐵 𝜙3 2⁄ 𝐸 𝑣(𝑦)) (1) E0 EF  Metal Vácuo 0 x e- e -Energia

(24)

24 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Onde: 𝐴 = 1,54. 10−6_{A eV V}−2_, 𝐵 = 6,87. 107eV−3/2 V cm−1, 𝑦 = 3,79. 10−4𝐸1 2⁄ /𝜙

Os fatores de correção 𝑡2_{(𝑦) e 𝑣(𝑦) são dependentes do campo elétrico, e podem}

ser simplificados conforme (2) [31].

𝑡2(𝑦) = 1,1 𝑣(𝑦) = 0,95 − 𝑦2 (2)

Para materiais com função trabalho  de 4,5eV, a emissão de elétrons ocorre com um campo elétrico E de aproximadamente 107V/cm [32].

A corrente emitida I pode ser calculada com a integração da densidade de corrente

JFN sobre a superfície S do emissor, como mostrado em (3).

𝐼 = ∬ 𝐽_𝐹𝑁 𝑑𝑆

𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑜𝑟

(3)

O campo elétrico macroscópico FM é definido por (4), onde V é a diferença de

potencial entre anodo e catodo, e d a distância entre eles.

𝐹𝑀 =

𝑉

𝑑 (4)

Devido ao formato alongado do emissor, o campo elétrico E na superfície do mesmo é significantemente maior que o campo macroscópico FM aplicado. A razão entre E e

FM é chamada de fator de enriquecimento de campo γ, sendo expresso por (5).

𝛾 = 𝐸

𝐹_𝑀 (5)

Vários estudos já mostraram que determinadas geometrias possuem γ maiores, produzindo uma maior densidade de corrente com uma tensão aplicada menor, que são características de um bom emissor. A esfera flutuando sobre o catodo, com o mesmo

(25)

potencial deste [15], é considerada o emissor de formato ideal, embora um catodo “flutuante” não possa obviamente ser construído.

A Figura 2.9 exibe os mais conhecidos formatos de emissores, incluindo o CNT (a), considerado aquele que mais se aproxima do ideal [33] e um dos mais estudados utilizando simulações numéricas [34][35][36] e também experimentalmente [12]. Embora esteja claro que o nanotubo de carbono apresente ótimas qualidades, notamos que as outras geometrias de construção possuem suas vantagens, como a maior robustez mecânica do emissor piramidal (d), apesar de apresentar um γ muito menor [15]. Uma geometria que reúne as qualidades destes dois tipos de emissores, ou seja, apresenta um alto fator de enriquecimento de campo e funcionamento com boa robustez mecânica, é o emissor hemi-elipsoidal (c).

Figura 2.9 – Formatos de emissores [15].

O modelo do emissor hemi-elipsoidal pode ser construído a partir da rotação de um arco de elipse sobre seu semi-eixo maior. Na Figura 2.10 destacamos os principais parâmetros geométricos deste emissor: altura (L), raio da base (r) e o raio de curvatura do ápice do emissor (ra). Temos ainda o ângulo de emissão (θ) em relação ao eixo Z (semi-eixo

(26)

Figura 2.10 – Emissor hemi-elipsoidal e seus parâmetros geométricos.

A equação (6) fornece o fator de enriquecimento γ no ápice de um hemi-elipsoide de altura L e raio da base r [16]. Além desta, outras equações disponíveis na literatura também foram analisadas no presente trabalho (Seção 4.1.3).

𝛾 = 𝜁 3 [{𝜈 𝑙𝑛(𝜈 + 𝜁)} − 𝜁] (6) Onde: 𝜁 = (𝜈2− 1)1 2⁄ , 𝜈 = 𝐿/𝑟

Uma característica do modelo que representa o CNT é que, como ele é constituído por um cilindro, o raio de sua extremidade é igual ao raio da base. Como o emissor hemi-elipsoidal possui o raio da extremidade significantemente menor que o da base, é importante a definição do raio de curvatura ra do ápice do emissor [16], dado por (7).

𝑟𝑎 = 𝑟2 𝐿 = 𝑟 𝜈 (7) Onde: 𝜈 = 𝐿/𝑟

O fator de enriquecimento de campo para o hemi-elipsoide foi um dos objetos de estudo deste trabalho, onde várias comparações com simulações numéricas foram efetuadas

(27)

(Seções 4.1, 4.2 e 4.3). Conjuntos de hemi-elipsoides formando arrays de emissores também foram simulados, pois nestes casos ocorre o Screening Effect [37], que provoca a distorção do campo ao redor dos emissores e a alteração no valor de γ (Seção 4.4).

(28)

28 METODOLOGIA

3. METODOLOGIA

As simulações numéricas foram realizadas com o software Ansys Maxwell [38][39][40], que faz uso do Método de Elementos Finitos (Finite Element Method – FEM) para a resolução dos problemas e determinação da distribuição dos campos elétricos. Através deste método, é possível resolver as equações diferenciais parciais para a obtenção de resultados com diferentes graus de precisão, que são limitados de acordo com os recursos computacionais disponíveis. Para a configuração dos parâmetros do software, não apenas a quantidade de memória RAM das máquinas é considerada, mas também o tempo de execução das simulações.

O software possui uma interface para a inserção dos objetos a serem estudados e configuração de suas características físicas. O método mais prático para o desenho dos objetos é sua construção em duas dimensões (2D). Os objetos em três dimensões (3D) são obtidos com a revolução dos desenhos em 2D ao redor de um eixo de simetria. A Figura 3.1(a) mostra uma estrutura de formato hemi-elipsoidal inserida no software para simulações em 2D, onde somente a metade do arco de elipse é desenhada. Para a construção do modelo em 3D, o

software executa a revolução do objeto em torno do seu eixo de simetria Z, conforme visto na

Figura 3.1(b).

(a) (b)

Figura 3.1 – Estrutura hemi-elipsoidal em 2D (a) e 3D (b).

Várias condições foram estabelecidas para a simplificação dos modelos. Embora os emissores do tipo nano-agulhas [14] sejam fabricados com ligas metálicas, nas simulações

(29)

29 METODOLOGIA

consideramos os materiais como condutores elétricos perfeitos (Perfect Electric Conductor –

PEC), eliminando incertezas e complexidades advindas de características dos metais

envolvidos. As estruturas modeladas também estão imersas em região de vácuo absoluto, além do software não considerar influência de temperatura.

A Figura 3.2 mostra a disposição do anodo e do catodo no modelo. Estas duas estruturas foram construídas no formato circular para que suas bordas, que determinam o limite da região de simulação, permaneçam equidistantes do emissor. Este último, de formato hemi-elipsoidal, está localizado no centro do catodo e com mesmo potencial deste (0V). Para melhor visualização, o emissor foi desenhado nesta figura com uma altura maior que o modelo utilizado nas simulações deste trabalho.

Figura 3.2 – Modelo completo do dispositivo e suas estruturas.

Como o campo elétrico é nulo no interior dos condutores, a condição de contorno de Dirichlet [41] é utilizada, onde determinamos o potencial elétrico na superfície do catodo e emissor como sendo igual à zero, enquanto que no anodo temos um valor constante que foi determinado nas simulações.

As paredes laterais dos modelos, que limitam a região para a simulação (Figura 3.2), foram dispostas a uma distância suficiente do emissor para minimizar erros. Quando o afastamento das paredes é grande, o modelo possui largura suficiente para que as linhas equipotenciais terminem nestes limites laterais de maneira perpendicular (não sofrendo perturbação do emissor), obedecendo, portanto, as condições de contorno de Neumann [41]. Nestas condições, o campo elétrico no sentido horizontal (eixos X e Y) é nulo e no sentido vertical (eixo Z) é constante. No presente estudo, foi selecionado um raio para o catodo e anodo igual a 10µm, pois nesta distância foi observada a situação acima.

(30)

30 METODOLOGIA

Além das condições de contorno, é especificada a diferença de potencial V entre anodo e catodo. Os modelos simulados neste trabalho necessitam, como veremos mais tarde, de V aproximado de 1000V para produzir um campo elétrico da ordem de 107V/cm [32] e iniciar a emissão de elétrons. Portanto, o potencial do catodo e emissor foi mantido fixo em 0V e os modelos analisados no intervalo 0 < V < 1200V.

A função trabalho do material foi configurada para 5eV, pois este valor foi também reportado na literatura para trabalhos experimentais [42] e utilizando simulações numéricas [43].

Foram também parametrizadas as dimensões de interesse do dispositivo dentro de uma ampla faixa de valores. Selecionamos variações de raio (40nm ≤ r ≤ 150nm) e altura (0,1µm ≤ L ≤ 8µm) de emissores que permitiram analisar várias razões de aspecto (L/r) [17]. Logo, estão dentro da faixa de estudo desde os emissores semi-esféricos, que possuem altura igual ao raio (L/r = 1), até os hemi-elipsoides extremamente alongados (L/r = 80). No caso do

array de emissores, selecionamos L = 1µm porque este valor representa a média aproximada

entre as alturas utilizadas em alguns trabalhos sobre modelamentos de arrays disponíveis na literatura [36][43][44].

Também escolhemos uma variação de distância anodo-catodo d no intervalo 1µm ≤ d ≤ 100µm para verificar sua influência sobre os valores de enriquecimento de campo na extremidade do emissor. Alguns autores [16] realizam cálculos considerando d = ∞, para que

γ não seja dependente de d.

Quando iniciamos a simulação, o software analisa os objetos e os dividem em elementos menores de geometria simplificada, como triângulos (em modelos 2D) ou tetraedros (em modelos 3D), gerando uma malha inicial. A Figura 3.3 mostra os elementos triangulares (a), compostos por 6 nodos, e os tetraédricos (b), que possuem 10 nodos. Esses nodos são pontos, localizados nos vértices e arestas dos elementos, nos quais os cálculos serão executados pelo software.

(a) (b)

(31)

31 METODOLOGIA

Para os cálculos, é utilizada a Equação de Maxwell que relaciona a densidade de fluxo elétrico D com a densidade de carga ρ (Lei de Gauss), conforme (8).

𝑑𝑖𝑣 𝑫 = 𝜌 (8)

Onde: 𝑫 = 𝜀𝑬

Fazendo a substituição, obtemos a equação (9), onde ε é a permissividade elétrica do material e E a intensidade do campo elétrico.

𝑑𝑖𝑣 𝜀𝑬 = 𝜌 (9)

Onde: 𝑬 = −∇𝑉

Sabendo que E é o gradiente do potencial elétrico V, temos a equação (10).

𝑑𝑖𝑣 𝜀(−∇𝑉) = 𝜌 (10)

Reescrevendo em três dimensões obtemos (11), chamada equação de Poisson.

𝜕 𝜕𝑥𝜀 𝜕𝑉 𝜕𝑥+ 𝜕 𝜕𝑦𝜀 𝜕𝑉 𝜕𝑦+ 𝜕 𝜕𝑧𝜀 𝜕𝑉 𝜕𝑧 = −𝜌 (11)

Considerando ε constante, ou seja, um único material existente, temos (12):

𝛻²𝑉 =𝜕²𝑉 𝜕𝑥²+ 𝜕²𝑉 𝜕𝑦²+ 𝜕²𝑉 𝜕𝑧² = − 𝜌 𝜀 (12)

Supondo uma região destituída de cargas, ou seja, apresentando densidade de carga nula (ρ = 0), a equação pode ser simplificada conforme (13), chamada equação de Laplace [41]. 𝛻²𝑉 =𝜕²𝑉 𝜕𝑥²+ 𝜕²𝑉 𝜕𝑦²+ 𝜕²𝑉 𝜕𝑧² = 0 (13)

(32)

32 METODOLOGIA

O potencial e o campo elétrico em cada elemento da malha e seus respectivos nodos são então calculados pelo software utilizando a Equação (13) e as condições de contorno impostas.

Embora o próprio software ajuste automaticamente os elementos da malha para a obtenção de maior precisão, precisamos manualmente alterar diversos parâmetros relativos à densidade da malha nos pontos de interesse. Por exemplo, nas extremidades dos catodos, onde a variação do campo elétrico é maior, necessitamos de um refinamento de malha superior, cujo aumento do número de elementos precisa ser feito com critério, buscando um equilíbrio entre recursos computacionais (memória e tempo de execução) e precisão de resultados [45][46].

Para melhorarmos o refinamento da malha nas regiões mais críticas, introduzimos algumas estruturas ao redor do ápice do catodo que, embora tenham sido configuradas como “vácuo” e não tenham influência no campo elétrico, as mesmas induzem o software a incrementar a densidade de elementos da malha nestas regiões. Podemos aplicar nestes locais alguns limites para otimizar as simulações, como o tamanho máximo dos elementos (Maximum Lenght of Elements) e sua quantidade (Maximum Number of Elements). A distribuição dos elementos de malha em uma região delimitada pode ser configurada como On

Selection, quando os elementos são menores nas bordas da região selecionada e maiores no

centro, ou Inside Selection, quando o software distribui os elementos de mesmo tamanho de maneira uniforme dentro da região.

Antes de iniciar a simulação, configuramos o número mínimo de passos (Minimum Number of Passes) e também o máximo (Maximum Number of Passes), que são os limites de passos de iteração que o software irá realizar. Definimos o refinamento da malha por passo (Refinement per Pass), que indica o número de tetraedros que são adicionados a cada iteração. Quanto à convergência dos resultados, especificamos o Percent Error, que define qual o mínimo erro percentual final desejado, tipicamente próximo de 0,1% [44], e o

Minimum Converged Passes, que indica o número mínimo de passos convergidos (com

respeito ao erro percentual) antes que a simulação pare. Outros critérios de convergência podem ser utilizados, como a condição de que o campo elétrico em uma região ao redor do emissor também deve convergir e alcançar um erro percentual predeterminado.

Durante a simulação, o software calcula de maneira iterativa o campo elétrico para refinar melhor a malha anteriormente gerada e obter uma redução do erro percentual. Enquanto as condições de convergência dos resultados ou o limite de número de passos estipulados inicialmente não são alcançados, o processo é repetido. No final do processo,

(33)

33 METODOLOGIA

temos os resultados expressos em gráficos que mostram o comportamento do campo elétrico nos pontos desejados.

Os pontos de medição de campo são chamados de Probes, e são desenhados muito próximos à superfície do emissor, sendo que nesta pesquisa foi selecionada uma distância de 1nm [36]. Esta escolha ocorreu porque Probes mais próximos causariam erros numéricos devido à proximidade da ordem de grandeza dos elementos da malha e também representariam incorretamente estruturas reais, pois a distância interatômica entre os átomos do emissor é de aproximadamente 1 angstrom (0,1nm) [36].

Para o cálculo da corrente emitida, um catodo virtual foi desenhado ao redor da ponta dos hemi-elipsoides. Este novo elemento, que não influencia o campo elétrico, consiste de uma superfície de espessura desprezível, equidistante e próxima do emissor (1nm) [36]. Na simulação, a corrente não pode ser calculada conforme mostrado em (3), pois o catodo possui potencial zero, impossibilitando uma integração da densidade de corrente JFN sobre a

superfície do emissor. Portanto, a corrente é calculada com a integração de JFN sobre este

(34)

34 RESULTADOS E ANÁLISE

4. RESULTADOS E ANÁLISE

Foram realizadas várias simulações, onde é notória a complexidade crescente das mesmas. Primeiramente construímos um emissor isolado no formato de um hemi-elipsoide utilizando o software de simulação descrito anteriormente. Comparamos o resultado modelado em 2D com a mesma estrutura projetada em 3D, de forma a validar a metodologia de simulação [47].

Depois, construímos um array de emissores, também em 2D, para um estudo do comportamento do campo elétrico nessas estruturas mais complexas, considerando a interação que ocorre entre os hemi-elipsoides [48].

Nesta pesquisa foram analisados primeiramente emissores com raios no intervalo 40nm ≤ r ≤ 150nm, onde fixamos L = 1µm.

Raios menores que 40nm foram evitados porque emissores com tais razões de aspecto podem ser estudados com se fossem CNT´s de grande altura [36], simplificando as análises, pois a geração de malha para hemi-elipsoides é mais complexa.

Raios maiores que 150nm foram considerados pouco eficazes como emissores, por apresentarem razões de aspecto (razão L/r) muito baixas, levando a pequenos valores de enriquecimento de campo [17].

Também analisamos emissores com a altura parametrizada no intervalo 0,1µm ≤ L ≤ 8µm, onde fixamos r = 100nm. Esta análise corresponde ao estudo da razão de aspecto no intervalo 1 ≤ L/r ≤ 80 (Seção 4.1.6). Este intervalo de valores de L/r é compatível com alguns trabalhos disponíveis na literatura [17].

Para o array de emissores (Seção 4.4), selecionamos uma altura de 1µm porque este valor representa a média aproximada entre as alturas utilizadas por alguns autores [36][43][44].

Utilizamos também uma função trabalho de 5eV [42][43] e diferença de potencial

V entre anodo e catodo no intervalo 0V ≤ V ≤ 1200V, pois é nesta faixa de valores que ocorre

(35)

4.1. Emissor simulado em 2D

Embora muitas variáveis e imperfeições naturais sejam encontradas durante um experimento utilizando emissores de elétrons, para um modelo computacional devemos simplificar a situação de forma a tornar mais efetiva a análise dos resultados. No caso da presente pesquisa, os emissores são considerados geometricamente perfeitos, sendo negligenciadas possíveis imperfeições de superfície, por exemplo, que seriam encontradas em emissores reais. O vácuo existente entre o anodo e catodo do dispositivo simulado é perfeito, assim como o material configurado via software. São também desconsideradas, pelos mesmos motivos, influências de temperatura e radiação.

Os modelos em 2D foram de extrema importância ao facilitarem a análise inicial dos dispositivos e permitirem a otimização mais rápida das simulações. Como a estrutura é mais simples, o tempo de processamento e memória RAM requeridos são relativamente pequenos, permitindo realizar certas simulações em minutos, utilizando computadores com 4GB de RAM, por exemplo. Pequenas falhas nas simulações, quando ocorriam, podiam ser rapidamente corrigidas com alterações no modelo ou parâmetros de software, e novamente simuladas.

Mais tarde, veremos comparações entre estes resultados obtidos em duas dimensões com os da mesma estrutura desenhada em 3D.

4.1.1. Modelamento

Na Figura 4.1(a) detalhamos os elementos da estrutura (fora de escala), onde destacamos o anodo, catodo e emissor. Os principais parâmetros de interesse são a altura do emissor (L), seu raio da base (r) e a distância anodo-catodo (d), também denominado gap. Temos ainda o ângulo de emissão (θ) em relação ao eixo Z, onde 0° corresponde ao ápice do emissor. A Figura 4.1(b) mostra o modelo inserido no software para simulação, lembrando que precisamos somente desenhar uma metade da estrutura, pois o software considera uma revolução da mesma em torno do eixo de simetria Z.

(36)

(a) (b)

Figura 4.1 – Detalhes da estrutura (a) e modelo para simulação (b).

Na Figura 4.2(a) temos, em uma vista mais aproximada, o desenho do hemi-elipsoide sobre o catodo. O padrão de cor usado no desenho do emissor e do catodo é o mesmo por tratar-se do mesmo material – no caso de nosso trabalho, condutores eletricamente perfeitos. É possível observar que, neste caso, a escala do desenho indica uma altura de 1µm e um raio de base de 100nm.

A Figura 4.2(b) exibe a extremidade do emissor, onde podemos observar a região de operação de malha e a localização do Probe de medição do campo elétrico no ápice, exatamente sobre o eixo de simetria.

Durante testes, notamos que quanto mais próximo o Probe do emissor, maior o campo e fator de enriquecimento, como já era esperado. As simulações foram realizadas com o Probe de medição localizado a 1nm da superfície. Distâncias menores causariam erros numéricos devido à proximidade da ordem de grandeza dos próprios elementos da malha. Além disso, modelos com Probe em distâncias inferiores à 1nm não corresponderiam a estruturas reais, pois a distância interatômica entre os átomos do emissor é de aproximadamente 1 angstrom (0,1nm) [36], lembrando que o software não considera efeitos quânticos e forças interatômicas caso as distâncias envolvidas estejam nesta escala.

A elipse que acompanha a superfície do emissor a uma distância de 2nm delimita uma região onde foi aplicada uma operação de malha. Nesta região, podemos configurar o

software para que os elementos usados nos cálculos sejam menores (Tabela 4.2), aumentando

(37)

(a) (b)

Figura 4.2 – Hemi-elipsoide em 2D (a) e Probe situado na extremidade (b).

As dimensões da estrutura e alguns parâmetros interessantes estão na Tabela 4.1, onde destacamos que foram utilizados raios de base do emissor entre 40nm e 150nm durante a simulação. Os raios do anodo e catodo, que determinam o limite espacial da simulação, foram escolhidos de forma que o modelo tenha uma largura tal que as linhas equipotenciais terminem nestes limites laterais de maneira perpendicular (condição de contorno de Neumann). Portanto, modelos com volumes de simulação muito pequenos não são representativos, enquanto que aqueles com limites que levam a grandes volumes são difíceis de serem simulados.

Os parâmetros de configuração do software foram listados na Tabela 4.2 para servirem de auxílio para os leitores que desejarem reproduzir, estudar pormenores da simulação ou simplesmente tomarem como base para modelamento e simulação de estruturas semelhantes.

Tabela 4.1 – Dimensões e parâmetros do hemi-elipsoide simulado em 2D.

Parâmetro Estrutura Dimensão

L Altura do emissor 0,1µm ≤ L≤ 8µm

r Raio da base do emissor 40nm ≤ r ≤ 150nm

d Distância anodo-catodo 1µm < d ≤ 100µm

θ Ângulo de emissão 0° ≤ θ ≤ 10°

L/r Razão de aspecto 1 ≤ L/r ≤ 80

- Espessura do anodo e catodo 1µm

- Raio do anodo e catodo 10µm

V Tensão do anodo 0V ≤ V ≤ 1200V

- Tensão do catodo e emissor 0V

- Distância do Probe ao emissor 1nm

(38)

Tabela 4.2 – Parâmetros de simulação do hemi-elipsoide modelado em 2D.

Parâmetro Configuração

Número máximo de passos 20

Erro percentual 0,1%

Refinamento de malha por passo 15%

Número mínimo de passos 2

Número mínimo de passos convergidos 1

Expression Cache Desabilitado Operação de malha no vácuo On Selection

Tamanho máximo dos elementos 1nm

Número máximo de elementos 50000

4.1.2. Campo Elétrico

Os resultados obtidos com a simulação podem ser visualizados de diversas formas. A Figura 4.3(a) mostra a malha de elementos finitos construída pelo software nas imediações do emissor com 1µm de altura e raio de base 100nm. Como a variação do campo elétrico é maior próximo ao emissor, é nesta região em que mais elementos de malha foram automaticamente criados.

A Figura 4.3(b) exibe a malha formada na sua extremidade. Mais uma vez é possível notarmos como a malha de elementos é mais densa próximo da superfície, pois é justamente neste local que necessitamos de melhor precisão. A região de aplicação de operação de malha também é destacada na mesma figura. Com 2nm de espessura e desenhada imediatamente acima do emissor, esta região também induz o software a diminuir o tamanho dos elementos e aumentar a densidade dos mesmos de maneira controlada.

(39)

(a) (b)

Figura 4.3 – Malha de elementos no emissor (a) e no seu ápice (b).

Na Figura 4.4(a) temos a distribuição do campo elétrico ao redor do mesmo hemi-elipsoide e na Figura 4.4(b) destacamos o comportamento do campo no seu ápice. É evidente que o campo aumenta consideravelmente à medida que nos aproximamos do pico da estrutura (alcançando valores da ordem de 109V/m), característica esta que será melhor explorada mais adiante neste trabalho.

(a) (b)

Figura 4.4 – Campo elétrico no emissor (a) e no seu ápice (b).

A Figura 4.5 apresenta o gráfico do campo elétrico no ápice do emissor em função do raio da base, este parametrizado no intervalo de 40nm a 150nm (40nm ≤ r ≤ 150nm). Pelos motivos já expostos anteriormente, o campo é medido pelo Probe localizado a uma distância de 1nm da superfície. Conforme o esperado, mantendo-se constante a altura do emissor

(40)

(1um), ocorre um campo maior para valores menores de raio, pois estes últimos são os que apresentam formato mais alongado. O raio de 100nm foi selecionado como referência ao longo deste trabalho para permitir comparações mais práticas com outros resultados que serão apresentados. Observamos que para um raio de 100nm temos um campo elétrico de 4,10x109V/m, indicado pelo marker “m2”.

Figura 4.5 – Campo elétrico no ápice do emissor x Raio da base do emissor (simulado).

4.1.3. Fator de Enriquecimento de Campo

Para comprovar a validade de nosso modelo, traçamos o gráfico para o fator de enriquecimento de campo γ no ápice do emissor em função do raio da base (Figura 4.6), no intervalo 40nm ≤ r ≤ 150nm. A curva resultante da simulação (linha cheia) foi comparada com o γ calculado por 3 equações [14][16][17] (linha tracejada). Portanto, está presente no gráfico a comparação de nossa simulação com o γ dado por (6) [16], e também pelas equações (14) e (15), presentes na literatura [14][17]. 𝛾 = 2𝜉 3 (1 − 𝜉2_{) (𝑙𝑛}1+𝜉 1−𝜉− 2𝜉) (14) Onde: ξ = √1 −𝑟2 𝐿2

(41)

41 RESULTADOS E ANÁLISE 𝛾 = (𝜆 2_{− 1)}1,5 𝜆 𝑙𝑛[𝜆 + (𝜆2_{− 1)}1 2⁄ _{] − (𝜆}2_{− 1)}1 2⁄ (15) Onde: 𝜆 = 𝐿 𝑟⁄

Estas três equações utilizadas para comparação também concordam com as de outros autores [49][50][51]. Estes desenvolveram fórmulas mais gerais que, quando reduzidas ao caso particular de um hemi-elipsoide de base circular, como neste trabalho, resultam nas mesmas soluções. Observamos, ainda na Figura 4.6, que as equações resultaram em três curvas coincidentes (linha tracejada), e que a simulação gerou uma curva com comportamento semelhante (linha cheia).

Figura 4.6 – Fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Raio da base do emissor – Simulado (linha cheia) e para diversas equações (linha tracejada) [14][16][17].

De acordo com o modelo construído, para uma tensão V entre anodo e catodo de 1000V e uma distância d entre eles de 10um, temos um campo elétrico macroscópico conforme (16). 𝐹𝑀 = 𝑉 𝑑 = 1000 10. 10−6= 1. 108V/m (16)

Para raio 100nm temos, de acordo com a Figura 4.5, um campo elétrico E no ápice igual a 4,10x109V/m. Podemos calcular o fator de enriquecimento de campo γ de acordo com (17).

(42)

42 RESULTADOS E ANÁLISE 𝛾 = 𝐸 𝐹_𝑀 = 4,10. 109 1. 108 = 41 (17)

O valor calculado é igual ao encontrado no gráfico da Figura 4.6, onde temos, para um raio de 100nm, um γ simulado igual a 41 (marker “m6”), enquanto que o dado pela literatura é 49 (marker “m5”).

Os parâmetros ajustados no software estão bem otimizados, levando em consideração que alterações que resultam em mais precisão nas simulações levam a tempos de simulação e necessidade de memória RAM muito elevados, não melhorando substancialmente as curvas.

Na Figura 4.7 temos o desvio entre o fator de enriquecimento de campo simulado e o traçado pelas equações, e a Figura 4.8 apresenta este desvio em porcentagem com relação ao valor calculado a partir das equações. Notamos que a diferença entre o valor resultante da simulação e o teórico diminui à medida que o raio aumenta, e que este desvio é de aproximadamente 16% para um raio de 100nm (marker “m1”, da Figura 4.8). Conforme explicado, várias otimizações de parâmetros no software, baseados na Tabela 4.2, foram realizadas e este foi o melhor valor obtido. Foram testadas, por exemplo, variações no tamanho e número máximo de elementos na malha, bem como o refinamento da malha por passo.

(43)

Figura 4.8 – Desvio [%] no fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Raio.

4.1.4. Distância Anodo-Catodo

A distância entre o anodo e o catodo (d) pode influenciar na distribuição do campo elétrico no dispositivo e alterar o comportamento do fator de enriquecimento, o que levou à análise que se segue. A curva da Figura 4.9 exibe o enriquecimento de campo γ de um emissor de mesma geometria (L = 1µm e r = 100nm) em função da distância d, que foi parametrizada no intervalo 1µm < d ≤ 100µm.

Para distâncias anodo-catodo muito pequenas em relação à altura do emissor, observamos que a influência de d é marcante. Quando d é menor que 4µm, por exemplo, o anodo está muito próximo da extremidade do emissor, fazendo com que γ seja fortemente dependente da distância, o que é altamente indesejável. À medida que o anodo se distancia do catodo, e consequentemente também do emissor, a variável d deixa de influenciar o valor de

γ, e este permanece aproximadamente constante para distâncias maiores que 10µm. Neste

caso, o valor de γ é 41 (marker “m1”), concordando com o encontrado anteriormente (Figura 4.6). Em alguns trabalhos teóricos disponíveis na literatura, os cálculos consideram d = ∞ para que não ocorra dependência de γ com relação à distância [16].

Obviamente, distâncias muito grandes não são interessantes, pois a miniaturização de dispositivos, tanto comerciais como experimentais, é um dos objetivos principais. Quanto à simulação de modelos computacionais, objetos de grandes dimensões tendem a apresentar problemas na geração de malha, além do aumento considerável do número de elementos finitos, o que leva à exigência de máquinas de maior capacidade e tempo de simulação maior.

(44)

A partir desta análise, confirmamos que a maioria dos modelos com emissores de altura aproximada de 1µm pode ser construída com uma separação entre anodo e catodo de somente 10µm, o que diminui o volume do projeto simulado e reduz muito os recursos computacionais, pois a malha gerada possui menos elementos.

Figura 4.9 – Fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Distância anodo-catodo.

4.1.5. Ângulo de Emissão

Já havíamos observado (Figura 4.4) como o campo elétrico é elevado à medida que nos aproximamos do pico do emissor. Na análise que se segue, mostraremos quantitativamente o comportamento do campo na extremidade da estrutura.

O gráfico da Figura 4.10 mostra a distribuição do campo elétrico ao longo da superfície de um emissor de raio 100nm em função do ângulo de emissão θ em relação ao eixo Z no intervalo 0° ≤ θ ≤ 10°, onde 0° corresponde ao seu ápice. Observamos em sua extremidade o máximo de 4,10x109V/m (marker “m1”), o que confere com o encontrado na curva da Figura 4.5, que também mostra um campo elétrico de mesmo valor no pico para um emissor de mesmo raio. Notamos também como o valor do campo decresce rapidamente à medida que o ângulo aumenta (se afasta da extremidade), chegando a aproximadamente 50% do valor no ápice quando o ângulo θ é de somente 10°.

(45)

Figura 4.10 – Campo elétrico x Ângulo de emissão.

Na Figura 4.11 temos o fator de enriquecimento de campo γ para o mesmo hemi-elipsoide em função do ângulo θ no intervalo 0° ≤ θ ≤ 10°, onde 0° corresponde ao seu ápice. Observamos que na sua extremidade temos o γ máximo de 41 (marker “m1”), o que confere com o encontrado na curva da Figura 4.6, que também exibe um γ de mesmo valor no ápice do emissor quando o raio é 100nm. O comportamento da curva e a queda do fator de enriquecimento à medida que o ângulo aumenta é semelhante ao exibido anteriormente, conforme esperado.

(46)

4.1.6. Razão de Aspecto

Foram realizadas simulações para estudar o comportamento de emissores com razões de aspecto (razão L/r) no intervalo 1 ≤ L/r ≤ 80. Nestes modelos, fixamos a distância d entre anodo e catodo em 100µm e o raio da base em 100nm, e variamos a altura do emissor entre 100nm e 8000nm (0,1µm ≤ L ≤ 8µm). Escolhemos d com valor 10 vezes maior que nas simulações anteriores para que esta distância não influencie nos resultados para emissores muito longos, pois precisamos que o anodo permaneça suficientemente distante do emissor, conforme estudado anteriormente (Seção 4.1.4). Os principais parâmetros de configuração alterados no software foram: operação de malha no vácuo (On Selection), Maximum Lenght of

Elements (1nm) e Maximum Number of Elements (50000). Estes números foram escolhidos

após diversos testes de otimização.

A Figura 4.12 mostra o campo elétrico no pico do emissor em função da sua razão de aspecto. Quanto maior a razão de aspecto, logicamente maior será o campo, pois mais alongados serão os formatos destas estruturas. Podemos observar que para uma razão de aspecto 10, que equivale a um raio de 100nm (L/r = 1000nm/100nm), temos um campo elétrico de 0,41V/nm, ou 0,41x109V/m (marker “m1”). Como nesta simulação a distância entre anodo e catodo é de 100µm, ou seja, 10 vezes maior que nos modelos anteriores (10µm), E é 10 vezes menor que o valor encontrado na Figura 4.5 (4,10x109V/m), conforme esperado, pois E e d são inversamente proporcionais.

(47)

A Figura 4.13 apresenta o fator de enriquecimento de campo γ no ápice do mesmo hemi-elipsoide em função da sua razão de aspecto no intervalo 1 ≤ L/r ≤ 80, incluindo as curvas coincidentes das equações (6), (14) e (15). Para uma razão de aspecto unitário (L = r), correspondente a uma semi-esfera, temos o valor exato de γ igual a 3, conforme já conhecido da literatura [36]. Se a razão de aspecto for 10, equivalente ao raio 100nm, encontramos um fator igual a 41 (marker “m1”), também encontrado no gráfico da Figura 4.6, mostrando mais uma vez que esta análise está em concordância com o exposto desde a primeira simulação.

Figura 4.13 – Fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Razão de aspecto – Simulado (linha cheia) e Teórico (linha tracejada) [14][16][17].

Importante destacar a proximidade da curva simulada (linha cheia) com a teórica (linha tracejada), embora elas se distanciem para razões de aspecto maiores. A diferença entre o γ simulado e teórico em função da razão de aspecto é mostrada na Figura 4.14, enquanto que esta diferença percentual está na Figura 4.15. Para a razão de aspecto 10, ou seja, para o emissor de raio 100nm, temos um desvio de aproximadamente -16% (marker “m1”) entre os fatores de enriquecimento simulado e teórico, próximo ao valor indicado no gráfico da Figura 4.8. Para razões de aspecto inferiores a 10, os desvios percentuais são ainda menores. Lembramos mais uma vez que várias otimizações no software, baseadas na Tabela 4.2, inclusive configurações relacionadas ao número e tamanho de elementos na malha, foram realizadas de forma a obter o melhor resultado possível.

TEÓRICO

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Figura 4.14 – Desvio no fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Razão de aspecto.

Figura 4.15 – Desvio [%] no fator de enriquecimento de campo no ápice do emissor x Razão de aspecto.

4.1.7. Corrente Emitida

Para o estudo da corrente emitida, usamos um modelo com uma distância entre anodo e catodo de 10µm e um emissor com 1µm de altura e 100nm de raio. Os principais parâmetros de configuração alterados no software para melhora na eficiência da simulação foram: operação de malha no vácuo (On Selection), Maximum Lenght of Elements (1nm),

Maximum Number of Elements (50000), operação de malha ao redor do ápice (On Selection), Maximum Lenght of Elements (0,01nm) e Maximum Number of Elements (250000).

Utilizando o catodo virtual já descrito anteriormente, o software calculou a corrente emitida I em função da tensão V no anodo no intervalo 0V ≤ V ≤ 1200V, conforme

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pode ser visto na Figura 4.16. De forma a padronizar a análise de dispositivos desta natureza, a corrente de 1nA é tomada como referência por alguns autores por representar quando tem início a emissão de elétrons, ou seja, quando o dispositivo está ligado. A tensão correspondente à esta corrente é chamada de “turn-on voltage” [36].

Ainda na Figura 4.16, é simples observar o traçado típico de um dispositivo diodo, onde a corrente é desprezível para baixas tensões e aumenta consideravelmente a partir do

marker “m1”, correspondente a corrente suficiente para que seja considerada a condição de

ligado em 1nA. Portanto, a tensão necessária para ligar o dispositivo é de 1000V.

Figura 4.16 – Corrente emitida x Tensão no Anodo.

O gráfico da Figura 4.17 mostra a correspondência entre o campo elétrico E no ápice do emissor e a tensão V no anodo no intervalo 0V ≤ V ≤ 1200V. Como esperávamos, são diretamente proporcionais, e para V igual a 1000V (marker “m1”), temos um campo E de 4,11x109V/m. Logo, é a partir deste valor de E que nosso dispositivo estará ligado.

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Figura 4.17 – Campo elétrico no ápice do emissor x Tensão no anodo.

A Figura 4.18 mostra a distribuição do campo elétrico na superfície do hemi-elipsoide em função do ângulo de emissão θ no intervalo 0° ≤ θ ≤ 10°, para V igual a 1000V, onde 0° corresponde ao seu ápice. À medida que nos aproximamos do pico, o campo aumenta consideravelmente, alcançando em sua extremidade um campo elétrico máximo de 4,11x109V/m (marker “m1”), em concordância com o encontrado na curva da Figura 4.17. Lembramos que esta curva já havia sido traçada anteriormente (Figura 4.10), mas desta vez ela foi obtida utilizando-se de novos parâmetros escolhidos no software. Como o resultado foi semelhante, este serviu para validar nosso método e mostrar que as otimizações foram bem realizadas.