aula5-RTE

Cinemática Multidimensional Movimento 3D

Mecânica Clássica

Prof. Gabriel Hickel

Exercício: Projetil Simples, Terra com rotação (Terra plana e sem ar)

Resolver a trajetória genérica do projétil A Terra é plana, mas tem rotação.

Eixo X aponta para Leste, Y aponta para Norte e Z cresce na direção da altura

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Mecânica Clássica

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Exercício: Projetil Simples, Terra com rotação (Terra plana e sem ar)

Vamos resolver o problema nas coordenadas cilíndricas girantes, uma vez que nelas, só precisamos introduzir a rotação da Terra, em relação à solução do ensino médio.

Conforme o documento tutorial enviado a vocês, para auxiliar na solução, a velocidade angular do plano tangente à

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Exercício: Projetil Simples, Terra com rotação (Terra plana e sem ar)

Então, as velocidades do projétil, no sistema cilíndrico girante, serão:

Lembrando que β é o ângulo de lançamento do projétil, em relação ao plano horizontal e

δ, a declinação do local.

dρ´ρ´

dρ´t

= v

0

⋅cos

(

β

)

dρ´ϕ ´

dρ´t

=

−Ω⋅sen(

δ

)

dρ´z´

dρ´t

= v

0

⋅sen

(

β

)

−g⋅t

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Exercício: Projetil Simples, Terra com rotação (Terra plana e sem ar)

E as posições ficarão facilmente determinadas:

ρ´

(t ) = v

₀

⋅cos

(

β

₎

⋅t

ϕ ´

_{(t) = ϕ}

₀

´

_{− Ω⋅sen(}

_δ

_)⋅t

z ´

_{(t) = v}

₀

_⋅sen

(

β

)

_{⋅t−(g/2)⋅t}

2

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Simulação: v₀ = 1000 m/s; β = 55o _{; φ}

0 = 30

o _{; Ω = 4,167×10-3} o_{/s ;}

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Simulação: v₀ = 1000 m/s; β = 55o _{; φ}

0 = 30

o _{; Ω = 4,167×10-3} o_{/s ;}

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Simulação: avião

Cinemática Multidimensional A Física do Movimento 3D

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas

Podemos representar grandezas vetoriais em qualquer sistema de coordenadas, mas temos que estar atentos às derivações destes vetores, pois alguns sistemas não tem as direções ordenadas constantes no tempo.

Seja o vetor tridimensional

⃗A

Em coordenadas retangulares, as direções são invariantes:

⃗A= A

_x

^x+ A

_y

^y+ A

_z

^z ⇒

dρ´ ⃗A

dρ´t

=

dρ´ A

_x

dρ´t

^x +

dρ´ A

_y

dρ´t

^y+

dρ´ A

_z

dρ´t

^z

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas

Em coordenadas cilíndricas, temos que ver as variações dos direcionais:

⃗A= A

_ρ

_ρ

^

+ A

ϕ

ϕ

^

+ A

z

^z ⇒

dρ´ ⃗A

dρ´t

=

dρ´ A

_ρ

dρ´t

ρ

^

+ A

ρ

dρ´

ρ

^

dρ´t

+

dρ´ A

_ϕ

dρ´t

ϕ

^

+ A

ϕ

dρ´ ^

ϕ

dρ´t

+

dρ´ A

_z

dρ´t

^z

Como analisamos na aula passada:

dρ´

_ρ

^

dρ´t

=

dρ´

_ϕ

dρ´t

ϕ

^

;

dρ´ ^

_ϕ

dρ´t

=−

dρ´

_ϕ

dρ´t

ρ

^

E assim:

dρ´ ⃗A

dρ´t

=

(

dρ´ A

_ρ

dρ´t

− A

ϕ

dρ´

_ϕ

dρ´t

)

ρ

^

+

(

dρ´ A

_ϕ

dρ´t

+ A

ρ

dρ´

_ϕ

dρ´t

)

ϕ

^

+

dρ´ A

_z

dρ´t

^z

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas

Nas coordenadas esféricas, é ainda mais complexo:

⃗A= A

r

^r+ A

ϕ

ϕ

^

+ A

θ

θ

^

⇒

dρ´ ⃗A

dρ´t

=

dρ´ A

_r

dρ´t

^r+ A

r

dρ´

^r

dρ´t

+

dρ´ A

_ϕ

dρ´t

ϕ

^

+ A

ϕ

dρ´ ^

_ϕ

dρ´t

+

dρ´ A

_θ

dρ´t

θ

^

+A

θ

dρ´ ^

_θ

dρ´t

Também analisado na aula passada:

E assim: dρ´ ⃗A dρ´t =

[

dρ´ A_r dρ´t − Aϕ⋅sen(θ ) dρ´ϕ dρ´t − Aθ dρ´θ dρ´t

]

^r+

[

dρ´ A_ϕ dρ´t + Ar⋅sen(θ) dρ´ϕ dρ´t + Aθ⋅cos(θ) dρ´ϕ dρ´t

]

ϕ^+

[

dρ´ A_θ dρ´t + Ar dρ´θ dρ´t − Aϕ⋅cos(θ) dρ´ϕ dρ´t

]

θ^ dρ´^r dρ´t = dρ´_θ dρ´t ⋅^θ +sen[θ (t)]⋅ dρ´ϕ dρ´t ⋅^ϕ ; dρ´ ^ϕ dρ´t =− dρ´ϕ dρ´t ⋅(sen[θ (t)]⋅^r+cos[θ (t)]⋅^θ) ; dρ´ ^_θ dρ´t =− dρ´_θ dρ´t ⋅^r+cos[θ (t)]⋅ dρ´ϕ dρ´t ⋅^ϕ

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas

A derivação temporal não é o único cálculo efetuado na Física. É bastante comum o uso de grandezas físicas que dependem de variações espaciais, ou seja, como esta grandeza varia com as coordenadas. Vamos ver algumas delas:

* GRADIENTEGRADIENTE

O gradiente de uma função escalar qualquer, fornece a direção, ponto-a-ponto no espaço, para a qual a função escalar apresenta a maior variação possível. Como indica uma direção, o gradiente é um vetor.

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * GRADIENTEGRADIENTE

Seja a função escalar f (x, y, z), o infinitesimal de variação df é definido por:

dρ´f

_{=dρ´ ⃗r∘ ∇ f}

com

∇ f =

∂ f

∂ x

^x+ ∂

f

∂ y

^y+ ∂

f

∂ z

^z

É normal escrever o operador  (“nabla”) com as componentes nabla”) com as componentes

direcionais (aqui, para coordenadas retangulares):

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * GRADIENTEGRADIENTE

E como fica o gradiente em outros tipos de coordenadas?

dρ´f

_{=dρ´ ⃗r∘ ∇ f}

Podemos usar a expressão para avaliar, pois temos como determinar e , bastando deduzir o operador “nabla”) com as componentes nabla”.

dρ´f

dρ´

⃗r

Coordenadas Cilíndricas: dρ´f =_∂∂ f

_ρ

dρ´

_ρ

+_∂∂ f

_ϕ

dρ´

_ϕ

+∂ f_{∂ z} dρ´z dρ´_{⃗r=dρ´ρ⋅^ρ+ρ⋅dρ´ ^ρ+dρ´z⋅^z=dρ´ρ⋅^ρ +ρ⋅dρ´ϕ⋅^ϕ +dρ´z⋅^z}

∇

cil

= ^

ρ

∂

∂

ρ

+

^

ϕ

ρ

⋅ ∂

_∂

_ϕ

+^z ∂

_{∂ z}

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * GRADIENTEGRADIENTE Coordenadas Esféricas: dρ´f =∂ f_∂r dρ´r+_∂∂ f

_ϕ

dρ´

_ϕ

+_∂∂ f

_θ

dρ´

_θ

_dρ´

_{⃗r=dρ´r⋅^r+r⋅dρ´ ^r=dρ´r⋅^r+r⋅sen(}

_θ

_)⋅dρ´

_ϕ

_⋅^

_ϕ

_+r⋅dρ´

_θ

_⋅^

_θ

∇

esf

=^r ∂

∂r

+

^

ϕ

r

_⋅sen(

θ

₎

⋅ ∂

∂

ϕ

+

^

θ

r

⋅ ∂

∂

θ

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * DIVERGENTEDIVERGENTE

O divergente é o quantitativo variacional espacial de um vetor qualquer, ponto-a-ponto no espaço. Como indica uma quantidade, o divergente é um escalar.

Sejam o vetor , como o definimos e o operador . O divergente é definido como (para coordenadas retangulares):

⃗A

∇ ∘ ⃗A =

[

^x ∂

∂ x

+ ^y ∂

∂ y

+^z ∂

∂ z

]

∘

(

A

x

^x+ A

y

^y + A

z

^z

)

∇

∇ ∘ ⃗A =

∂ A

x

∂ x

+

∂ A

_y

∂ y

+

∂ A

_z

∂ z

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * DIVERGENTEDIVERGENTE

Por fornecer o quantitativo variacional espacial de um vetor qualquer, ponto-a-ponto no espaço, o divergente pode ser utilizado para avaliar fluxos de grandezas vetoriais. Isto é efetuado pela formalização do Teorema da Divergência ou Teorema de Gauss-Ostrogradski.

∭

V

(

∇ ∘ ⃗A

)

dρ´V

₌

∬

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * DIVERGENTEDIVERGENTE

Em essência, o Teorema da Divergência nos diz que a variação total da grandeza vetorial “nabla”) com as componentes A” no volume “nabla”) com as componentes V” equivale ao balanço de fluxo desta mesma grandeza, através da superície “nabla”) com as componentes Σ”. Ele é muito importante para avaliar grandezas vetoriais que variam espacialmente.

∇ ∘ ⃗A >0 ⇒ grandeza ⃗A sai do volume V através de Σ ∇ ∘ ⃗A <0 ⇒ grandeza ⃗A entra no volume V através de Σ

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * DIVERGENTEDIVERGENTE

Em outros sistemas de coordenadas:

Coordenadas Cilíndricas: ∇∘ ⃗A =

[

ρ^ _∂∂_ρ +ϕ_ρ^⋅ ∂_∂ϕ +^z ∂

∂ z

]

∘

(

Aρ ρ^ + Aϕ ϕ^ + Az^z

)

(

∇ ∘ ⃗A

)

cil

=

ρ

1

⋅ ∂

∂

ρ

(

ρ

⋅A

_ρ

)+

ρ

1

⋅

∂ A

_ϕ

∂

ϕ

+

∂ A

_{∂ z}

z

Lembrando que: _{ρ^ = ^x⋅cosϕ + ^y⋅senϕ} ; ^ϕ=− ^x⋅senϕ + ^y⋅cosϕ

Teremos: ∂ ^ρ ∂ϕ = ^ϕ ; ∂ ^ ϕ ∂ϕ =− ^ρ Então: ∇∘ ⃗A =∂ A_{∂ ρ}ρ+ A_ρρ⋅^ϕ∘∂ ^_∂ϕρ+ _ρ1⋅∂ ^_∂A_ϕϕ + A_ρϕ⋅^ϕ∘∂ ^_∂ϕ_ϕ +∂ A_{∂ z}z

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * DIVERGENTEDIVERGENTE

Em outros sistemas de coordenadas: Coordenadas Esféricas:

(

∇ ∘ ⃗A

)

esf

=

1

r

2

⋅ ∂

∂

ρ

(r

2

⋅A

r

)+

1

r

⋅sen

θ

⋅

∂ A

ϕ

∂

ϕ

+

_r

_⋅sen

1

_θ

⋅ ∂

∂

θ

(sen

θ

⋅A

θ

)

Lembrando que: ^r=^x⋅senθ⋅cosϕ + ^y⋅senθ⋅senϕ+^z⋅cosθ ; ^ϕ=− ^x⋅senϕ + ^y⋅cosϕ ;

^

θ = ^x⋅cosθ⋅cosϕ+ ^y⋅cosθ⋅senϕ− ^z⋅senθ

Teremos: ∂ ^r

∂ϕ= ^ϕ⋅senθ ; ∂ ^∂θr= ^θ ; ∂

^

ϕ

∂ϕ =− ^ρ =−^r⋅senθ − ^θ⋅cosθ ; ∂∂ϕθ^ = ^ϕ⋅cosθ ; ∂∂θθ^ =−^r

Então: ∇∘ ⃗A =∂ Ar ∂ r + A_r r_⋅senθ⋅^ϕ∘ ∂ ^r ∂ϕ +r_⋅sen1 _θ⋅ ∂ A_ϕ ∂ϕ + A_ϕ r_⋅senθ⋅^ϕ ∘ ∂ ^ϕ ∂ϕ +r_⋅senAθ _θ⋅^ϕ ∘ ∂ ^ θ ∂ϕ + A_r r ⋅^θ ∘ ∂ ^r ∂θ + Arθ⋅^θ∘ ∂ ^ θ ∂θ +1r⋅ ∂ Aθ ∂θ ∇∘ ⃗A =

[

^r ∂ ∂ r+ ^ϕ r⋅sen(θ )⋅ ∂∂ϕ + ^θr⋅ ∂∂θ

]

∘(Ar^r+ Aϕ ^ϕ + Aθ ^θ)

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * ROTACIONALROTACIONAL

O rotacional é uma quantidade vetorial que indica o variacional espacial da direção de um vetor qualquer, ponto-a-ponto no espaço. Como indica alterações de direção (perpendiculares à direção do vetor), é chamado de “nabla”) com as componentes rotacional”, pois podem indicar rotações e torções em campos vetoriais.

Sejam o vetor , como o definimos e o operador . O rotacional é definido como (para coordenadas retangulares):

⃗A

∇× ⃗A =

[

^x ∂

∂ x

+ ^y ∂

∂ y

+^z ∂

∂ z

]

×

(

A

x

^x+ A

y

^y + A

z

^z

)

∇

∇× ⃗A =^x

(

∂ Az ∂ y − ∂ A_y ∂ z

)

+ ^y

(

∂ A_x ∂ z − ∂ A_z ∂ x

)

+ ^z

(

∂ A_y ∂ x − ∂ A_x ∂ y

)

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * ROTACIONALROTACIONAL

A exemplo do divergente, o rotacional também pode ser utilizado para avalar fluxos vetorias. Isto é efetuado pela formalização do Teorema de Stokes.

∬

Σ

^n∘(∇× ⃗A)dρ´ Σ=

∮

C

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * ROTACIONALROTACIONAL

O Teorema de Stokes nos diz que a variação total da grandeza vetorial “nabla”) com as componentes A” que atarvessa a supefície “nabla”) com as componentes Σ”, equivale ao balanço de fluxo desta mesma grandeza, que passa internamente à curva fechada “nabla”) com as componentes C”.

∇× ⃗A >0 ⇒ variação direcional da grandeza ⃗A gira no sentido anti-horário,relativo ao campo vetorial normal da superfície _Σ

∇× ⃗A <0 ⇒ variação direcional da grandeza ⃗A gira no sentido horário, relativo ao campo vetorial normal da superfície_Σ

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * ROTACIONALROTACIONAL

Em outros sistemas de coordenadas:

Coordenadas Cilíndricas: _{∇× ⃗A =}

[

_ρ^ ∂

∂ ρ + ^ ϕ ρ⋅ ∂_∂ϕ +^z ∂_{∂ z}

]

×

(

Aρ ρ^ + Aϕ ϕ^ + Az^z

)

(

∇ ×⃗A

)

cil

= ^

ρ

⋅

(

ρ

1

⋅

∂ A

z

∂

ϕ

−

∂ A

_{∂ z}

ϕ

)

+ ^

ϕ

⋅

(

∂ A

_{∂ z}

ρ

−

∂ A

z

∂

ρ

)

+

ρ

^z

⋅

[

∂(

ρ

A

_ϕ

₎

∂

ρ

−

∂ A

∂

ϕ

ρ

]

Lembrando que: Teremos: ∂ ^ρ ∂ϕ = ^ϕ ; ∂ ^ ϕ ∂ϕ =− ^ρ Então: ∇× ⃗A =

(

∂ Aϕ ∂ρ

)

ρ^× ^ϕ+

(

∂ A∂ρz

)

ρ^× ^z+ρ1⋅

(

∂ A∂ϕρ

)

ϕ^× ^ρ+ A_ρ ρ ⋅^ϕ×

(

∂ ^_∂ϕρ

)

+Aρϕ⋅^ϕ×

(

∂ ^_∂ϕ_ϕ

)

+ρ1⋅

(

∂ A_∂ϕz

)

ϕ^×^z+

(

∂ A_{∂ z}ρ

)

^z× ^ρ+

(

∂ A_{∂ z}ϕ

)

^z× ^ϕ

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Análise Vetorial nos Sistemas de Coordenadas * ROTACIONALROTACIONAL

Em outros sistemas de coordenadas: Coordenadas Esféricas: (∇×⃗A)esf=_r ^r ⋅senθ⋅

[

∂(senθ⋅Aϕ) ∂θ −∂ A∂ϕθ

]

+ ^ ϕ r⋅

[

∂(r⋅Aθ) ∂ r − ∂ Ar ∂θ

]

+r_⋅senθ^ _θ⋅

[

∂ Ar ∂ϕ −senθ⋅∂(r⋅A_{∂ r} ϕ)

]

Lembrando que:

Teremos (só os termos não nulos):

Então: ∇× ⃗A =

(

∂ A_{∂ r}ϕ

)

^r× ^ϕ+

(

∂ Aθ ∂ r

)

^r× ^θ+ 1 r⋅senθ⋅

[

(

∂ Ar ∂ϕ

)

ϕ^×^r+ Aϕ⋅^ϕ×

(

∂ ^_∂ϕ_ϕ

)

+

(

∂ A_∂ϕθ

)

ϕ^× ^θ

]

+1_r⋅

[

(

∂ Ar ∂θ

)

θ^× ^r+

(

∂ A∂θϕ

)

θ^× ^ϕ+ Aθ⋅^θ×

(

∂ ^_∂θ_θ

)

]

∇× ⃗A =

[

^r ∂ ∂r+ ^ϕ r⋅sen(θ )⋅ ∂∂ϕ + ^θr⋅ ∂∂θ

]

×(Ar^r+ Aϕ ^ϕ + Aθ ^θ ) ∂ ^r ∂ϕ = ^ϕ⋅senθ ; ∂ ^∂θr = ^θ ; ∂ ^ ϕ