Modelagem matemática da ação das plaquetas na prevenção de infecção de hemácias por merozoítos

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE

CAMPINAS

Instituto de Matemática, Estatística e

Computação Científica

FELIPE ALVES RUBIO

Modelagem matemática da ação das plaquetas

na prevenção de infecção de hemácias por

merozoítos

Campinas

2017

Felipe Alves Rubio

Modelagem matemática da ação das plaquetas na

prevenção de infecção de hemácias por merozoítos

Dissertação apresentada ao Instituto de Mate-mática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada.

Orientador: Hyun Mo Yang

Este exemplar corresponde à versão

final da Dissertação defendida pelo

aluno Felipe Alves Rubio e orientada

pelo Prof. Dr. Hyun Mo Yang.

Campinas

2017

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CAPES

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Maria Fabiana Bezerra Muller - CRB 8/6162

Rubio, Felipe Alves,

R825m RubModelagem matemática da ação das plaquetas na prevenção de infecção de hemácias por merozoítos / Felipe Alves Rubio. – Campinas, SP : [s.n.], 2017.

RubOrientador: Hyun Mo Yang.

RubDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Rub1. Sistemas dinâmicos diferenciais. 2. Malária. 3. Estabilidade. 4. Fisiologia - Matemática. I. Yang, Hyun Mo,1959-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Mathematical modeling of the action of platelets in the prevention of red blood cell infection by merozoites

Palavras-chave em inglês: Differentiable dynamical systems Malaria

Stability

Physiology - Mathematics

Área de concentração: Matemática Aplicada Titulação: Mestre em Matemática Aplicada Banca examinadora:

Hyun Mo Yang [Orientador] José Luiz Boldrini

Artur César Fassoni

Data de defesa: 10-03-2017

Programa de Pós-Graduação: Matemática Aplicada

Dissertação de Mestrado defendida em 10 de março de 2017 e aprovada

Pela Banca Examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof.(a). Dr(a). HYUN MO YANG

Prof.(a). Dr(a). JOSÉ LUIZ BOLDRINI

Prof.(a). Dr(a). ARTUR CÉSAR FASSONI

A Ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vida acadêmica do aluno.

À minha mãe (in memoriam), um anjo que do céu ilumina minha vida,

“The deep study of Nature is the most, fruitful source of mathematical discoveries”. (Joseph Fourier)

Agradecimentos

Primeiramente agradeço a Deus, sem Ele nada sou.

Aos meus pais Sérgio e Sônia (in memoriam) e minha irmã Izabela que sempre me incentivaram e apoiaram a continuar os estudos. Agradeço a toda minha família, que sempre rezou para que eu alcançasse meus objetivos. Em especial à minha namorada Vivian, que sempre com muito amor esteve ao meu lado me ajudando e apoiando quando mais precisava.

Ao meu orientador Prof. Dr. Hyun Mo Yang, que sempre teve paciência e disposição a me ajudar e aconselhar nas dificuldades dessa dissertação, que despertou em mim um interesse maior pela Biomatemática e a entender o papel de um pesquisador.

Aos meus amigos, obrigado por tornar essa caminhada menos árdua. Em especial aos amigos do EPIFISMA: Luiz, Miller, Evandro, Roberta, Carlos, Geisel e Josemeri; e aos amigos Richard, Felipe (in memoriam), Domingos, Danuza, Pammela, Nilmara, Livia, Cristina, Oscar, Victor e Vinicius. Muito obrigado a todos vocês, que de algum modo contribuíram para os meus dias serem melhores, com palavras de apoio e boa convivência.

Ao João, que me auxiliou na interpretação e no entendimento dos fenômenos biológicos, essenciais para o desenvolvimento desta pesquisa.

À Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP) e principalmente ao Insti-tuto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC) por todo apoio durante esses dois anos.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes) pela bolsa de estudos, que foi imprescindível para concluir esse Mestrado.

Resumo

Em países tropicais e subtropicais a malária representa um grande problema de saúde pública, estando entre as doenças infecciosas que mais matam no mundo. Um modelo matemático de equações diferenciais ordinárias não lineares é elaborado para uma melhor compreensão da infecção de malária, em particular o efeito que a doença tem na produção das células vermelhas e plaquetas. Desta forma, neste trabalho busca-se esclarecer o aumento da concentração de plaquetas de volumes aumentados com um tempo de maturação menor em detrimento de plaquetas normais. Este modelo apresenta de maneira simplificada a dinâmica de hemácias e produção de plaquetas em interação com os merozoítos, forma infectante da malária. Para entender melhor as ações das plaquetas circulantes e das de volume aumentada no combate a malária, o modelo foi analisado considerando ação isolada de cada um dos dois grupos de plaquetas. Determinou-se pontos de equilíbrio, e estudou-se a estabilidade desses pontos. Simulações numéricas do sistema de equações foram feitas para obter as trajetórias dinâmicas e confirmar propriedades dos pontos de equilíbrio.

Palavras-chave: Sistemas dinâmicos diferenciais. Malária. Estabilidade. Fisiologia

Abstract

In tropical and subtropical countries, malaria is one of the main public health problem, being among the infectious diseases that kill most in the world. A mathematical model of nonlinear ordinary differential equations is designed for a better understanding of malaria infection. In particular, the effect that the disease has on the production of red cells and platelets. Thus, in this work the aim is to clarify the increase in the concentration of platelets of increased volumes with a lower maturation time in detriment of normal platelets. This model presents in a simplified way the dynamics of red blood cells and production of platelets in interaction with the merozoites, an infective form of malaria. To better understand the actions of circulating platelets and in those of increased volume in the fight against malaria, the model was analyzed considering the isolated action of each of the two groups of platelets. The equilibrium points were determined, and the stability of these points was studied. Numerical simulations of the system of equations were done to obtain the dynamic trajectories and confirm properties of the equilibrium points.

Keywords: Differentiable dynamical systems. Malaria. Stability. Mathematical

Lista de ilustrações

Figura 1 – Mosquito do gênero Anopheles . . . 18

Figura 2 – Casos de malária por espécie no Brasil . . . 20

Figura 3 – Áreas de transmissão de malária nos anos de 2000 e 2008 de acordo com o IPA . . . 21

Figura 4 – Hematopoiese : Processo de formação das células sanguíneas . . . 23

Figura 5 – Eritropoiese : Processo de formação das hemácias . . . 24

Figura 6 – Trombopoiese: Processo de formação das plaquetas . . . 25

Figura 7 – Ciclo de vida do Plasmodium falciparum . . . 27

Figura 8 – Dinâmica de hemácias e merozoítos . . . 30

Figura 9 – Convergência das populações para R0 menor do que 1. . . 38

Figura 10 – Convergência das populações para R0 maior do que 1 . . . 38

Figura 11 – Diagrama da Trombopoiese . . . 39

Figura 12 – Diagrama de hemácias, merozoítos e das produções de plaquetas normais e megaplaquetas . . . 43

Figura 13 – Diagrama do modelo matemático . . . 47

Figura 14 – Variação do limiar β˚ _{em relação aos parâmetros de agregação. . . . . 55}

Figura 15 – Diagrama da interação da linha de produção normal de plaquetas com hemácias e merozoítos . . . 60

Figura 16 – Análise do sinal de HI . . . 62

Figura 17 – Caso: α ą αth e Rcą 1 . . . 64 Figura 18 – Caso: α ą αth e 0 ă Rcă 1 . . . 65 Figura 19 – Caso: α ă αth, γX ą γXth e Rcą 1 . . . 67 Figura 20 – Caso: α ă αth, γX ą γXth e 0 ă Rc ă 1 . . . 68 Figura 21 – Caso: Rc ą 1 . . . 71 Figura 22 – Caso: Rthă Rcă 1 . . . 71 Figura 23 – Caso: Rc ă Rth . . . 72

Figura 24 – Análise do sinal de HI para γX nulo . . . 72

Figura 25 – Diagrama de bifurcação Backward e Forward . . . 74

Figura 26 – Diagramas de bifurcação para X em função de γa.. . . 75

Figura 27 – Diagramas de bifurcação para X em função de γX. . . 76

Figura 28 – Comportamento Backward para β “ 6.5 ˆ 10´9 _{. . . . 77}

Figura 29 – Existência de bifurcação de Hopf . . . 77

Figura 30 – Dinâmica das populações de hemácias e merozoítos ao longo do tempo para o caso de comportamento Backward . . . 78

Figura 31 – Dinâmica das populações de hemácias e merozoítos ao longo do tempo para o caso oscilatório . . . 79

Figura 32 – Diagrama da produção de plaquetas normais e da produção e interação de plaquetas de volume aumentado com hemácias e merozoítos. . . 80 Figura 33 – Diagrama de bifurcação de X variando γ_X . . . 83 Figura 34 – Diagrama de bifurcação de X em função de γ_a para β “ 2.0 ˆ 10´8 _e

γ_X “ 0 . . . 84 Figura 35 – Diagramas de bifurcação para X em função de γ_X . . . 86 Figura 36 – Efeito do aumento da quantidade de megaplaquetas liberadas por

me-gacariócito na população de merozoítos variando γ_X . . . 87 Figura 37 – Diagramas de bifurcação para X em função de γ_a . . . 88 Figura 38 – Diagrama de bifurcação de X em função de γ_a para β “ 5.0 ˆ 10´8 _{. . 89}

Figura 39 – Efeito da ação de megaplaquetas na dinâmica de merozoítos sob ação de plaquetas γX “ 1.0 ˆ 10´9 e γa “ 7.0 ˆ 10´9 . . . 91

Figura 40 – Efeito da ação de megaplaquetas na dinâmica de merozoítos sob ação de plaquetas γX “ 6.0 ˆ 10´10 e γa“ 1.0 ˆ 10´8 . . . 92

Figura 41 – Efeito da ação de plaquetas na dinâmica de merozoítos sob ação de megaplaquetas γ_X “ 1.0 ˆ 10´7 e γa“ 2.0 ˆ 10

´7 _{. . . . 92}

Figura 42 – Efeito da ação de plaquetas na dinâmica de merozoítos sob ação de megaplaquetas γ_X “ 1.0 ˆ 10´7 e γ_a “ 3.0 ˆ 10´7 para uma baixa e alta inoculação do parasita. . . 93 Figura 43 – Análise de sensibilidade para a população de hemácias não infectadas . 97 Figura 44 – Análise de sensibilidade para a população de células precursoras de

megacariócitos . . . 97 Figura 45 – Análise de sensibilidade para a população de megacariócitos . . . 98 Figura 46 – Análise de sensibilidade para a população de plaquetas normais . . . . 98 Figura 47 – Análise de sensibilidade para a população de hemácias sob uma alta

Lista de tabelas

Tabela 1 – Descrição das variáveis e parâmetros relacionados às hemácias e merozoítos 31 Tabela 2 – Descrição das variáveis e parâmetros relacionados às plaquetas . . . 40 Tabela 3 – Descrição das novas variáveis e parâmetros relacionados ao surgimento

de megaplaquetas . . . 45 Tabela 4 – Parâmetros relacionados à ação antiparasitária das plaquetas . . . 49 Tabela 5 – Intervalo considerado nos parâmetros analisados na análise de sensibilidade 95

Lista de abreviaturas e siglas

OMS Organização Mundial de Saúde HIV Vírus da Imunodeficiência Humana AIDS Síndrome da Imunodeficiência Adquirida

CTH Célula-tronco hematopoiética/Célula-tronco pluripotenciais CMP Células Progenitoras comuns mielóides

CLP Células Progenitoras comuns linfóides MPP Células Progenitoras pluripotenciais

MEP Células Progenitoras de megacariócitos/eritrócitos

MK Megacariócito

EB Eritroblasto Retic Reticulócitos

GMP Células progenitoras de granulócitos/macrófagos MDP Células progenitoras de macrófagos/células dentríticas EPO Eritropoietina

TPO Trombopoietina

CDC Centers for Disease Control and Prevention WHO World Health Organization

Sumário

2.3 Interação entre merozoítos e células sanguíneas . . . 26

3 MODELAGEM MATEMÁTICA. . . 29

3.1 Infecção de hemácias por merozoítos . . . 30

3.2 Dinâmica de plaquetas. . . 39

3.3 Interação das plaquetas com hemácias e merozoítos sem a ação antiparasitária . . . 42

3.4 Interação das plaquetas com hemácias e merozoítos com a ação antiparasitária . . . 47

3.4.1 Ponto de equilíbrio livre da infecção . . . 50

3.4.2 Interpretação biológica de Rc. . . 55

3.4.3 Ponto de equilíbrio endêmico . . . 56

4 ANÁLISE INDIVIDUAL DA AÇÃO ANTIPARASITÁRIA DAS PLA-QUETAS NAS HEMÁCIAS E MEROZOÍTOS . . . 59

4.1 Interação do curso normal de plaquetas com hemácias e merozoítos 59 4.1.1 Análise das funções f e g . . . 63

4.1.2 Inibindo a ação das plaquetas . . . 69

4.1.3 Inibindo a ação de plaquetas nas hemácias infectadas . . . 69

4.1.4 Inibindo a ação direta de plaquetas nos merozoítos . . . 72

4.2 Interação do curso secundário de produção de plaquetas com he-mácias e merozoítos . . . 79

4.2.1 Inibindo a ação de megaplaquetas nas hemácias infectadas . . . 81

4.2.2 Inibindo a ação direta de megaplaquetas nos merozoítos . . . 83

4.2.3 Ação de megaplaquetas nas hemácias infectadas e merozoítos . . . 85

5 DISCUSSÕES E RESULTADOS DO MODELO COMPLETO . . . . 90

5.2 Análise de sensibilidade do modelo . . . 94

6 CONCLUSÕES . . . 100

REFERÊNCIAS . . . 103

APÊNDICES

107

APÊNDICE A – CRITÉRIO DE ROUTH-HURWITZ . . . 108

APÊNDICE B – CRITÉRIO DO SINAL DE DESCARTES . . . 110

APÊNDICE C – PONTO DE EQUILÍBRIO ENDÊMICO P˚ _{. . . . 111}

APÊNDICE D – COEFICIENTES DOS POLINÔMIOS f E g . . . 113

D.1 Coeficientes do polinômio f . . . 113

16

1 Introdução

Em países tropicais e subtropicais, doenças transmitidas por mosquitos repre-sentam grande problema de saúde pública e são responsáveis por doenças que acarretam dias de ausência no trabalho, gastos com medicação e diagnóstico. Em meio a essas doenças estão malária, febre amarela, dengue, chikungunya (GHOSH; LASHARI; LI, 2013) e mais recentemente o zika.

Como visto no relatório da OMS de 2015, foram registrados 438 mil mortes por malária e muitas outras pessoas foram infectadas por essa doença. A malária é causada por um protozoário pertencente ao gênero Plasmodium que é transmitida pelo mosquito fêmea Anopheles, estando entre as doenças infecciosas que mais matam no mundo (WHO, 2016).

O foco de diversas pesquisas, ao longo dos anos, têm sido a busca de uma melhor compreensão ou solução do problema e diversas ferramentas e teorias vêm sendo utilizadas com esse objetivo de um melhor entendimento. Um exemplo disso é a utilização de modelos matemáticos para o estudo de fenômenos biológicos. Conhecida como Biomatemática ou Biologia Teórica, essa área da Matemática Aplicada vem tendo cada vez mais destaque na busca para explicar e solucionar problemas biológicos. Conforme as palavras de Joel Cohen, “A matemática é o próximo microscópio da Biologia, só que melhor.” (COHEN, 2004).

Neste trabalho, um modelo matemático de equações diferenciais ordinárias não lineares foi elaborado em busca de compreender a infecção por malária. Em particular o efeito que a doença têm na eritropoiese (produção de células vermelhas) e na trombopoiese (produção de plaquetas). Procura-se esclarecer o aumento da concentração de plaquetas de volumes aumentados com um tempo de maturação menor em detrimento de plaquetas normais que surgem durante a infecção de malária.

A infecção e posterior destruição de hemácias por merozoítos (forma da malária infectante nos humanos) podem influenciar a hematopoiese e a trombopoiese. Nestas infecções, plaquetas atuam no processo inflamatório e na mediação da resposta imunológica. Tais ações de plaquetas, junto a trombocitopenia, ocorrem logo após a infecção em humanos e em ratos. A compreensão quantitativa desse fenômeno poderá elucidar o papel desempenhado por plaquetas na infecção por malária.

Esta dissertação está estruturada da seguinte forma: no capítulo2é apresentada uma breve descrição sobre a malária, células sanguíneas , eritropoiese, trombopoiese e como ocorre a interação do parasita da malária com as células do sangue.

Capítulo 1. Introdução 17

No capítulo 3 apresenta-se o modelo matemático proposto, que exibe de forma simplificada a interação entre eritropoiese e trombopoiese na presença de merozoítos.

A análise do modelo se dá em três partes: primeiro estuda-se um modelo simplificado, onde não há interação da trombopoiese com a eritropoiese, assim a doença é analisada apenas no contexto da interação com as hemácias. Em seguida é realizado um estudo da dinâmica de plaquetas.

No capítulo 4 analisa-se o modelo em sua forma quase completa, assim, nesta abordagem é inibida a diferenciação de megacariócitos para produzir plaquetas de volume aumentado, ou seja, os megacariócitos não se diferenciam para produzir dois tipos de plaquetas, produzindo apenas as plaquetas normais, dessa forma, não há interação das plaquetas maiores com merozoítos e hemácias infectadas. Posteriormente, estuda-se a interação das plaquetas de volume aumentado com as hemácias e merozoítos, inibindo a ação das plaquetas normais. Em cada caso determina-se pontos de equilíbrio e é estudada a estabilidade desses pontos. Simulações numéricas do sistema de equações são realizadas para obter as trajetórias dinâmicas e confirmar propriedades dos pontos de equilíbrio.

No capítulo 5 o modelo é considerado em sua forma completa. Realizou-se e um estudo de casos para averiguar a ação conjunta das plaquetas e megaplaquetas na dinâmica do sistema. Após este estudo, fez-se uma análise de sensibilidade dos parâmetros que compõe o modelo a fim de verificar a existência de uma relação (positiva ou negativa) dos parâmetros nas populações.

18

2 Aspectos biológicos

2.1

Malária

A malária é uma doença parasitária que pode ter evolução rápida e ser grave, sendo uma das doenças infecciosas mais comuns e que lidera as causas de morte. Pode ser provocada por cinco protozoários do gênero Plasmodium: P. vivax, P. falciparum, P. malariae, P. ovale e P. knowlesi, e sua transmissão natural se dá pela picada de mosquitos fêmeas do gênero Anopheles infectados com o Plasmodium (FIOCRUZ, 2016). Há duas fases no ciclo de vida do protozoário: o ciclo sexual que ocorre nos mosquitos e o ciclo assexual que ocorre nos seres humanos (hospedeiros intermediários). O ciclo sexual é chamado esporogonia, porque são produzidos esporozoítos, e o ciclo assexual é chamado de esquizogonia, porque são formados esquizontes (JAWETZ; LEVINSON, 2006). O ciclo assexual será detalhado na seção 2.3.

Figura 1 – Mosquito do gênero Anopheles

Fonte: CDC (2012)

O Plasmodium falciparum é o parasita da malária mais prevalente no continente africano e é responsável pela maioria das mortes relacionadas com a malária em todo o mundo. Já o P. vivax têm uma distribuição mais ampla do que o P. falciparum, e predomina em muitos países fora da África. O P. ovale está restrito somente em algumas regiões do continente africano. O P. knowlesi, parasita de macacos que tem sido registrado em casos humanos, ocorre apenas no sudeste asiático (MINISTÉRIO DA SAÚDE, 2015). O P. malariae tem uma distribuição global, sendo encontrado na América do Sul, Ásia e África, mas é menos frequente do que o P. falciparum em termos de casos de infecção (CENTERS FOR DISEASE CONTROL AND PREVENTION, 2013).

Capítulo 2. Aspectos biológicos 19

por outros plasmódios. Ela é caracterizada pela infecção de muito mais eritrócitos do que outras espécies causadoras de malária e pela oclusão de capilares com agregados de hemácias parasitadas, que acaba levando à hemorragia e necrose, particularmente no cérebro (malária cerebral) podendo levar à morte (JAWETZ; LEVINSON,2006).

O P. falciparum destrói de 2% a 25% do total de hemácias (glóbulos vermelhos) provocando um quadro de anemia grave, devido ao alto grau de parasitemia, pois infecta eritrócitos de todas as idades (JAWETZ; LEVINSON, 2006). Além disso, as hemácias parasitadas pelo P. falciparum sofrem algumas alterações em sua estrutura que as tornam mais adesivas entre si e às paredes dos vasos sanguíneos, podendo levar à redução e obstrução do fluxo sanguíneo na microcirculação. Se não tratada nas primeiras 24 horas de febre, a malária por P. falciparum pode progredir para uma enfermidade mais grave, como a malária cerebral, frequentemente levando à morte (FIOCRUZ, 2013).

Já o P. vivax causa um tipo de malária mais branda, que não atinge mais do que 1% das hemácias, e é raramente mortal. No entanto, seu tratamento pode ser mais complicado, já que o P. vivax se aloja por mais tempo no fígado, dificultando sua eliminação. Além disso, pode haver diminuição do número de plaquetas (trombocitopenia), o que poderia confundir esta infecção com outra doença bastante comum, a Dengue, retardando o diagnóstico (FIOCRUZ, 2013).

O tempo do ciclo febril é de 72 horas para o P. malariae e de 48 horas para os demais plasmódios. A doença causada pelo P. malariae é chamada de malária quartã (ocorre periodicamente a cada 4 dias), a doença causada pelos outros plasmódios é chamada de malária terçã (ocorre a cada 3 dias), esta pode ser subdivida em terçã maligna, causada pelo P. falciparum, e terçã benigna, causada pelo P. vivax e P. ovale (JAWETZ; LEVINSON,2006).

Além da transmissão via picada do mosquito infectado, ela também pode ser adquirida por meio do contacto direto com o sangue de uma pessoa infectada, como por exemplo, em transfusões sanguíneas ou transplante de órgãos, compartilhamento de seringas, ou até mesmo da mãe para o feto durante a gravidez (FIOCRUZ,2016;JAWETZ; LEVINSON,2006).

Alguns grupos de populações são considerados de alto risco para contrair a malária e desenvolvem doenças graves em relação a outros grupos. Esses grupos incluem crianças menores do que 5 anos, mulheres grávidas e pacientes com HIV/AIDS.

De acordo com a última estimativa da Organização Mundial de Saúde (OMS) lançada em dezembro de 2015, houve 212 milhões de casos de malária e 438 mil mortes somente naquele ano. Segundo a OMS, em 2015 aproximadamente 3, 2 bilhões de pessoas - quase metade da população mundial - estavam em risco de malária. Muitos casos de malária ocorrem na África subsaariana, entretanto a Ásia, América Latina e em menor

Capítulo 2. Aspectos biológicos 20

escala o Oriente Médio, também estão em risco.

No Brasil a malária ainda é um dos principais problemas de saúde pública, com aproximadamente 143 mil casos registrados em 2015 (PENIDO,2016). Este número é animador se compararmos com o número obtido em 2009 que foi cerca de 306 mil casos registrados (OLIVEIRA-FERREIRA et al., 2010), mas ainda estamos longe de um valor ideal.

Dentre as cinco espécies de Plasmodium associadas à malária em humanos, há três espécies no Brasil: P. vivax, P. falciparum, e P. malariae. A Figura 2 exibe os casos de malária de 1989 a 2014 de cada espécie no país. Nota-se que o P. vivax é o plasmódio responsável pela maioria dos casos de malária no país, seguido pelo P. falciparum.

Figura 2 – Casos de malária por espécie no Brasil

Fonte: Reproduzida de PAHO (2015)

Uma forma de se medir o risco de malária é dada por IPA (Incidência Parasitária Anual) que expressa o número de exames positivos de malária por mil habitantes (hab.) em determinado local a cada ano, sendo o resultado classificado como alto risco (IPAě 50 casos/1 mil hab.), médio risco (10 ďIPAď 49 casos/1 mil hab.) e baixo risco (IPAă 10 casos/1 mil hab.) (MINISTÉRIO DA SAÚDE,2015). A Figura 3 indica sucessos e falhas cometidos no controle da doença. Por exemplo, algumas regiões em 2000 apresentavam alto risco, como o estado do Pará, mas em 2008 houve sucesso no controle, com a maior parte do estado apresentando baixo e médio risco. No entanto também houve regiões sem

Capítulo 2. Aspectos biológicos 21

transmissão em 2000, que passaram a ter de médio a alto risco no ano de 2008. Nota-se na figura abaixo que a região com maior índice de transmissão da malária é a região ocidental amazônica.

Figura 3 – Áreas de transmissão de malária nos anos de 2000 e 2008 de acordo com o IPA

Fonte: Adaptada de Oliveira-Ferreira et al. (2010)

Basicamente o estudo de malária no Brasil se resume em duas grandes regiões: a região amazônica e a região extra-amazônica(que compreende os demais estados brasileiros). Entre 2000 e 2013 a IPA reduziu drasticamente seu valor na região amazônica, cerca de 80%, passando de 29, 4 casos/1 mil hab. para 6, 3 casos/1 mil hab. (MINISTÉRIO DA SAÚDE, 2015). No entanto a grande extensão geográfica e as condições climáticas favorecem o desenvolvimento dos transmissores e agentes causais da malária, especialmente na Amazônia Legal (divisão política do território nacional que engloba 9 estados: Amazonas, Acre, Amapá, Maranhão, Mato Grosso, Pará, Rondônia, Roraima e Tocantins).

2.2

Células sanguíneas

O sangue é composto por dois ingredientes principais, o líquido plasmático do sangue e diferentes tipos de células suspensas dentro do plasma. As células constituem aproximadamente 40% do volume total de sangue e são agrupadas em três grandes categorias: eritrócitos (células vermelhas ou hemácias), leucócitos (células brancas) e trombócitos (plaquetas) (KEENER; SNEYD, 2009).

Cada célula possui um formato e uma função biológica própria. As células vermelhas permanecem dentro dos vasos sanguíneos e têm a função de transportar oxigênio

Capítulo 2. Aspectos biológicos 22

e dióxido de carbono. As células brancas lutam contra infecções, e são capazes de migrar para outros vasos sanguíneos e tecidos. As plaquetas não são funcionalmente células, uma vez que são pequenos fragmentos achatados oriundos de uma célula maior chamada megacariócito, sendo sua principal função ajudar na coagulação do sangue (KEENER; SNEYD, 2009). Apesar dessas diferenças existentes entre as células, evidências mostram que a maioria das células do sangue são originárias de um único tipo de célula: a célula-tronco hematopoiética (CTH). Os processos que envolvem a produção dessas células é chamado hematopoiese (QUIGLEY; MEANS; GLADER,2013).

2.2.1

Hematopoiese

A hematopoiese se inicia no desenvolvimento embrionário e continua ao longo de toda a vida da pessoa. A maior parte da hematopoiese ocorre na medula óssea. Todas as células sanguíneas têm uma origem comum na medula óssea, as células-tronco hematopoiéticas pluripotenciais (CTH). Das CTH (a sigla em inglês, HSC) derivam todas as células do sangue. Essas células crescem e se reproduzem, porém uma porção dessas células permanece exatamente como as CTH originais, mantendo mais ou menos constante a sua produção. Uma grande porção dessas células reproduzem-se para tronco diferenciadas para formar outros tipos de células, e elas são chamadas células-tronco comprometidas ou progenitoras comprometidas. As células-células-tronco comprometidas inicialmente se diferenciam em duas grandes linhas: progenitoras mielóides comuns (a sigla em inglês, CMP) e progenitoras linfóides comuns (a sigla em inglês, CLP).

As progenitoras mielóides comuns através de diversas divisões, diferenciações e maturações darão origem as plaquetas, eritrócitos, granulócitos e a linha de macrófagos. As progenitoras linfóides comuns dão origem as células de defesa. A figura abaixo ilustra melhor essas ramificações celulares.

Capítulo 2. Aspectos biológicos 23

Figura 4 – Hematopoiese : Processo de formação das células sanguíneas

Fonte: Reproduzida de Chow e Frenette (2013)

Na Figura 4, MPP representa as células progenitoras pluripotenciais, já com-prometidas à diferenciação. A partir destas dividem-se em CMP e CLP. MEP representa as células progenitoras de megacariócitos/eritrócitos, MK, os megacariócitos, EB, os eritroblastos, Retic, os reticulócitos e RBC os eritrócitos (hemácias). GMP representa as células progenitoras de granulócitos/macrófagos, MDP, as células progenitoras de macrófa-gos/células dentríticas. Mφ, os macrófagos e DC, as células dentríticas. A proliferação das células-tronco é controlada por uma resposta negativa do sistema mediada por citocinas hematopoiéticas. Sabe-se que a eritropoietina (EPO) é o hormônio que media a produção das células vermelhas, o G-CSF (em inglês, granulocyte colony-stimulating factor) con-trola a geração de neutrófilos e por fim a trombopoietina (TPO), conhecida como "c-mpl ligand"/fator de desenvolvimento e crescimento de megacariócitos, é o regulador primário de produção de plaquetas (APOSTU; MACKEY,2008; LEI; MACKEY, 2014).

A hematopoiese é um sistema homeostático, ou seja, através de mecanismos reguladores internos o próprio organismo mantém as composições e reações físico-químicas em equilíbrio. Consequentemente, a maioria dos distúrbios dessa regulação conduz a falhas crônicas na produção de uma ou até mesmo todas as células sanguíneas (APOSTU; MACKEY, 2008). Entre as várias doenças que afetam as células sanguíneas, existem algumas que são caracterizadas por distúrbios/oscilações previsíveis em um ou mais elementos celulares do sangue. Elas são chamadas de doenças periódicas ou dinâmicas (GLASS; MACKEY,1988).

Capítulo 2. Aspectos biológicos 24

eritrócitos e até mesmo na produção de plaquetas, visto que as plaquetas são ativadas pelos eritrócitos infectados por Plasmodium (MORRELL, 2014). A fim de uma melhor compreensão do processo de formação de hemácias e plaquetas, as duas seções posteri-ores apresentam com mais detalhes como se dá a produção de eritrócitos e plaquetas, respectivamente.

2.2.2

Eritropoiese

O sangue humano contém aproximadamente 5 ˆ 106 eritrócitos por microlitro de sangue, com um tempo de vida médio de 120 dias e medem de 6 a 8µm de diâmetro. Novos eritrócitos são constantemente produzidos na medula óssea, por um processo chamado eritropoiese. Este processo se divide em vários estágios, partindo das células-tronco pluripotenciais até os eritrócitos já em circulação na corrente sanguínea, resultando em uma diminuição progressiva do tamanho da célula. Sob condições normais, a eritropoiese resulta na produção de hemácias, tal que a massa das células vermelhas do sangue permanecem constante, indicando a presença de mecanismos de controles regulatórios. O hormônio EPO é estabelecido como o maior fator regulador da produção das hemácias (APOSTU; MACKEY,2008;LEI; MACKEY,2014). Para manter o equilíbrio na produção, sendo que um indivíduo adulto possui em torno de 5l de sangue, aproximadamente 2, 4 ˆ 106 novos eritrócitos são produzidos por segundo (DZIERZAK; PHILIPSEN,2013).

Figura 5 – Eritropoiese : Processo de formação das hemácias

Fonte: Reproduzida de Dzierzak e Philipsen (2013)

2.2.3

Trombopoiese

Na seção 2.2.1, vimos que as plaquetas se originam de uma célula precursora, conhecida como CTH. No entanto, até a célula-tronco se tornar plaqueta ela passa por vários estágios transformando-se em diferentes tipos de células. A esse processo de formação das plaquetas se dá o nome de trombopoiese. As plaquetas são liberadas na corrente sanguínea pelos megacariócitos, que são grandes células poliplóides situadas dentro da medula óssea.

Capítulo 2. Aspectos biológicos 25

Historicamente, o desenvolvimento dos estágios de formação dos megacariócitos têm sido descrito baseado num critério morfológico, incluindo a qualidade, quantidade e tamanho do citoplasma, lobulação e o padrão de cromatina do núcleo. Assim, essas células podem ser categorizadas por promegacarioblasto e megacarioblasto (estágio I), promegacariócito (estágio II), megacariócitos maduros (estágio III) e megacariócitos preparando para liberar as plaquetas do citoplasma (estágio IV).

Os megacariócitos no estágio I contam aproximadamente com 25% das células megacariocíticas na medula óssea. Eles possuem de 6 a 24µm de diâmetro e contém de 2 a 4 núcleos. No estágio II, através de diversas replicações passam a medir de 14 a 30µm de diâmetro, possuindo de 8 a 64 núcleos, cuja fase também conta com 25% dos megacariócitos da medula. Os outros 50% das células megacariocíticas na medula, são do estágio III/IV. Essas células são muito maiores (40 a 60µm de diâmetro). Essa fase já compreende os megacariócitos maduros, os quais irão liberar as plaquetas de seu citoplasma. Calcula-se que entre o estágio I ao estágio III/IV leva-se aproximadamente 72 horas (GEDDIS,2013).

Figura 6 – Trombopoiese: Processo de formação das plaquetas

Fonte: Reproduzida de Geddis (2013)

A principal função das plaquetas é sua participação no processo de coagulação, processo pelo qual os trombos sanguíneos (agregados de plaquetas) impedem a perda de sangue de vasos lesionados. Isso se dá pela propriedade das plaquetas de se aderirem aos vasos sanguíneos lesionados e a outras plaquetas, formando assim o tampão plaquetário que atuará como uma barreira para a perda de sangue do vaso lesionado. No entanto, descobriu-se recentemente que as plaquetas também agem contra o parasita da malária (MORRELL, 2014), podendo agir diretamente no parasita, ou de forma indireta atuando

na célula infectada.

Lacerda (2007) em sua tese de Doutorado, sugere que os megacariócitos são capazes de liberar megaplaquetas na circulação, para compensar o baixo número absoluto de plaquetas periféricas. Resultados similares foram apresentados em crianças com malária falciparum (MAINA et al., 2010). As megaplaquetas também possuem maior quantidade de grânulos, o que aumenta, por consequência, sua capacidade de adesão e agregação

Capítulo 2. Aspectos biológicos 26

(LACERDA, 2007).

Lacerda et al. (2011) relata que essas megaplaquetas são provavelmente capazes de sustentar uma boa hemostasia primária (considera-se como hemostasia primária a capacidade de adesão e agregação das plaquetas, após a ruptura do endotélio), o que pode explicar a baixa frequência de hemorragia grave nos pacientes de malária.

2.3

Interação entre merozoítos e células sanguíneas

Nesta seção será apresentado como ocorre a interação do agente causal de malária com as células sanguíneas; mais especificamente, nos eritrócitos (hemácias) e nas plaquetas. Estes resultados serão utilizados para a formulação do modelo matemático.

Os merozoítos são introduzidos no sangue por meio da saliva do mosquito durante a picada, na forma de esporozoítos, sendo captados pelos hepatócitos (células que se encontram no fígado) dentro de 30 minutos. Essa fase consiste num período de maturação e replicação em que se diferenciam para merozoíto. Os merozoítos são liberados pelas células hepáticas, entram na corrente sanguínea e infectam os eritrócitos. Durante a fase eritrocítica, o merozoíto se diferencia para uma forma em anel, o trofozoíto. Essa forma em anel cresce e se diferencia formando um esquizonte repleto de novos merozoítos (JAWETZ; LEVINSON,2006). Após a liberação, os merozoítos infectam outros eritrócitos e esse ciclo nos eritrócitos repete-se em intervalos regulares, particular para cada espécie. A liberação periódica dos merozoítos causa os sintomas típicos de calafrio, sudorese e febre, vistos em pacientes com malária (IGGIDR et al., 2006).

Dentro do eritrócito alguns merozoítos evoluem para gametócitos machos e outros para gametócitos fêmeas. Os eritrócitos que contêm esses gametócitos são ingeridos pelo mosquito fêmea Anopheles, e através de diferenciações e fertilização, serão produzidos os esporozoítos no seu interior (JAWETZ; LEVINSON,2006). Os esporozoítos são liberados e migram para as glândulas salivares, local este que aguardarão para que o ciclo recomece no instante que o mosquito se alimente de sangue novamente.

Capítulo 2. Aspectos biológicos 27

Figura 7 – Ciclo de vida do Plasmodium falciparum

Fonte: Reproduzida de Rowe et al. (2009)

Plaquetas tradicionalmente têm sido vistas como fragmentos mediadores da coagulação. No entanto, estudos recentes por análises detalhadas de receptores expressados por plaquetas revelaram uma grande variedade de novas descobertas moleculares em relação as plaquetas, incluindo sua importância na imunologia, particularmente na imunidade inata (CLEMETSON, 2010; YEAMAN, 2014; MORRELL, 2014).

Elas se ligam preferencialmente aos eritrócitos infectados por merozoítos e esta junção é associada com a morte do parasita (MCMORRAN et al., 2009). Essa ligação envolve interações entre as moléculas CD36 de plaquetas e moléculas especificamente expressadas nos eritrócitos infectados (MCMORRAN, 2014). Após unir-se aos eritrócitos infectados por merozoítos as plaquetas são especificamente ativadas e liberam proteínas α´grânulos. A proteína α´grânulo, principal responsável pela ação citocida de plaquetas, é o fator 4 plaquetário (PF4) (MCMORRAN et al., 2012).

Mc. Morran et al. (2012) descobriram que tanto o PF4 quanto o antígeno Duffy (expresso nos eritrócitos) são necessários para matar o parasita pela ação das plaquetas. Estudos recentes mostram que o PF4 é especificamente internalizado pelo parasita e o mata no interior da célula. O antígeno Duffy é igualmente importante, e descobriu-se que nos eritrócitos que careciam de Duffy, os parasitas não foram afetados por plaquetas (MCMORRAN, 2014).

Além da ação das plaquetas, de forma direta nos merozoítos, elas também interagem de forma indireta no parasita. A ativação das plaquetas por Plasmodium pode levar a formação de microagregados de eritrócitos infectados e plaquetas, os quais podem

Capítulo 2. Aspectos biológicos 28

obstruir os vasos sanguíneos, sendo encontrado sobretudo nos casos de malaria por P. falciparum (COX; MCCONKEY, 2010).

A trombocitopenia, quadro clínico comumente reportado em pacientes com infecção de malária (MCMORRAN et al., 2009), pode envolver a ativação das plaquetas, a liberação dos receptores plaquetários, bem como a apoptose de plaquetas (MORRELL, 2014), mas o processo ainda não é algo completamente entendido.

Desta forma, a ação das plaquetas tanto diretamente nos merozoítos, quanto indiretamente pela formação de microagregados de plaquetas e eritrócitos infectados, devido à adesão das plaquetas nas células infectadas, podem ajudar a controlar a doença de malária. Sua ação logo no inicio da infecção faz com que a densidade dos parasitas não cresça incontrolavelmente. Logo, a ação das plaquetas indica ser um importante agente controlador da infecção de malária. No entanto é preciso cautela quanto a ação das plaquetas, a formação desses microagregados pode levar a trombocitopenia devido ao consumo de plaquetas e ao estreitamento vascular que pode resultar em uma anemia hemolítica microangiopática (KUMAR,2011).

29

3 Modelagem Matemática

Há inúmeros modelos matemáticos que descrevem as linhas de produção das células vermelhas e plaquetas (WICHMANN et al.,1979;APOSTU; MACKEY,2008;LEI; MACKEY, 2014) e modelos que descrevem a interação entre hemácias e a infecção de malária (THIBODEAUX, 2010; ANDERSON; GUPTA, 1989), apresentando um modelo considerando apenas a dinâmica de hemácias e o parasita.

No entanto, não existem modelos que descrevam o efeito da destruição de hemácias por merozoítos (forma da malária infectante nos humanos) com plaquetas atuando no processo inflamatório e na mediação da resposta imunológica. Desta forma, neste trabalho é apresentado um modelo matemático determinístico contínuo que descreve a interação entre hemácias e plaquetas na presença da infecção da malária.

O modelo matemático proposto é subdividido em compartimentos, que ilustram a dinâmica: das hemácias (suscetíveis e infectadas), dos merozoítos livres, das células precursoras dos megacariócitos, dos megacariócitos, das plaquetas normais e megaplaquetas (plaquetas maiores do que 5µm), considerando o desenvolvimento da infecção de malária

apresentada no capítulo 2.

Neste capítulo apresenta-se a formulação do modelo isolado da dinâmica de hemácias e merozoítos, do modelo da dinâmica de produção de plaquetas e a formulação do modelo considerando a interação entre os dois modelos isolados, devido à ação de plaquetas nas hemácias infectadas e merozoítos, além do estudo da estabilidade dos pontos de equilíbrio para cada um dos modelos.

A análise da estabilidade local dos modelos apresentados a seguir, é realizada por meio da linearização do sistema de equações diferenciais. Para isso, utiliza-se o Teorema de Hartman-Grobman.

Teorema 3.1. (Hartman-Grobman) Se x é um ponto de equilíbrio hiperbólico do

sistema 9x “ f pxq, então existe uma vizinhança de x na qual f é topologicamente equivalente ao campo de vetores lineares 9x “ Df pxqx (HALE; KOÇAK, 1991).

Definição 3.1. Um ponto de equilíbrio x de 9x “ f pxq é dito hiperbólico se todos os

autovalores da matriz jacobiana Df pxq têm parte real não nula (HALE; KOÇAK, 1991).

Definição 3.2. Define-se x como um ponto de equilíbrio assintoticamente estável se todas

as trajetórias ~xptq, cujas condições iniciais estão contidas numa hiperesfera de raio δ com centro em x, tendem para x conforme t Ñ 8. Se a hiperesfera possui raio δ finito, diz-se que x é ponto de equilíbrio localmente assintoticamente estável, se o raio δ for infinito, ou

Capítulo 3. Modelagem Matemática 30

seja, abrange todo o espaço de fases, o ponto de equilíbrio é globalmente assintoticamente estável (MONTEIRO, 2011).

3.1

Infecção de hemácias por merozoítos

Figura 8 – Dinâmica de hemácias e merozoítos

Em condições normais, a produção de hemácias suscetíveis oriundas das células-tronco hematopoiéticas é considerada constante, independente da infecção. Tais células possuem um tempo de vida de aproximadamente 120 dias. Com relação ao parasita, após o período de reprodução no fígado, ele se diferencia para merozoíto e por meio da corrente sanguínea entra em contato com as hemácias suscetíveis que estão em circulação, conforme apresentado no capítulo 2.

Desta forma, para a dinâmica das hemácias não infectadas é considerada a equação,

dH

dt “ K1´ µHH ´ βHX. (3.1)

O primeiro termo representa as células vermelhas que são geradas de forma constante. O termo µH representa a taxa de mortalidade das hemácias, e o último termo na equação é dado pela lei de ação de massas, em que as hemácias em contato com os merozoítos livres na corrente sanguínea serão infectadas à uma taxa β, representando assim a infecção.

Para a dinâmica dos merozoítos livres na circulação tem-se a seguinte equação, dX

dt “ αpµH ` µIqHI´ µXX ´ δ1βHX. (3.2) O primeiro termo representa a quantidade de merozoítos que estão sendo produzidos no interior das hemácias infectadas, que ao se romperem liberam α novos merozoítos por hemácia na corrente sanguínea.

Capítulo 3. Modelagem Matemática 31

O segundo termo representa a mortalidade natural dos merozoítos, já o termo δ1βHX são os merozoítos que serão “perdidos” em contato com as hemácias não infectadas,

tornando-as infectadas, e δ1 representa a quantidade de merozoítos que invadem uma

hemácia suscetível.

A dinâmica das hemácias infectadas tem a seguinte equação dHI

dt “ βHX ´ pµH ` µIqHI. (3.3)

O termo de produção é dado pelo termo de infecção, pµH` µIq é a mortalidade das hemácias infectadas, note que, além do parâmetro de mortalidade µH tem-se uma mortalidade adicional devido à infecção, dada por µI.

Portanto, para a dinâmica de hemácias e merozoítos tem-se o seguinte sistema, dH dt “ K1´ µHH ´ βHX, dX dt “ αpµH ` µIqHI´ µXX ´ δ1βHX, (3.4) dHI dt “ βHX ´ pµH ` µIqHI.

As variáveis e parâmetros do modelo são apresentados na tabela abaixo, considerou-se para a unidade a concentração da população em questão por microlitro de sangue.

Tabela 1 – Descrição das variáveis e parâmetros relacionados às hemácias e merozoítos

Símbolo Definição Unidade

H população de hemácias não infectadas [hemácias] X população de merozoítos livres [merozoítos] HI população de hemácias infectadas [hemácias] K1 taxa de produção das hemácias não infectadas [hemácias]ˆ dia´1

µH taxa de mortalidade das hemácias não infec-tadas

dia´1

β taxa de infecção de hemácias por interação de merozoítos

[merozoítos]´1

ˆ dia´1

α quantidade de merozoitos liberados por he-mácia infectada

[merozoítos]ˆ[hemácias]´1

µI taxa de mortalidade adicional das hemácias infectadas

dia´1

µX taxa de mortalidade dos merozoítos dia´1 δ1 quantidade de merozóitos que invadem uma

hemácia

Capítulo 3. Modelagem Matemática 32

Os pontos de equilíbrio são obtidos resolvendo o sistema de equações não-lineares

0 “ K1´ µHH ´ βHX,

0 “ αpµH ` µIqHI ´ µXX ´ δ1βHX, (3.5)

0 “ βHX ´ pµH ` µIqHI.

No caso do estado livre da infecção, no equilíbrio temos X “ 0. Considerando este fato no sistema (3.5) encontramos o seguinte ponto de equilíbrio

P0 “ pH, X, HIq “ p K1

µH , 0, 0q,

que corresponde a situação em que não há merozoítos em circulação no organismo. Observe que devido a ausência de merozoítos a população de hemácias infectadas é nula, como o esperado.

A estabilidade local do ponto de equilíbrio livre da infecção é determinada pelos autovalores da matriz jacobiana do sistema (3.4) calculada no ponto P0. Desta

forma, sendo I uma matriz identidade de ordem 3, se a parte real das raízes do polinômio característico dado por ppλq “ detpJpP0q ´ λIq for negativa, então o ponto de equilíbrio

trivial é local e assintoticamente estável.

A matriz jacobiana do sistema é dada por

J pP q “ » — – ´µH ´ βX ´βH 0 ´δ1βX ´pµX ` δ1βHq αpµH ` µIq βX βH ´pµH ` µIq fi ffi fl, (3.6)

assim, segue que a matriz jacobiana calculada em P0 é

J pP0q “ » — — — — — – ´µH ´β K1 µH 0 0 ´ ˆ µX ` δ1β K1 µH ˙ αpµH ` µIq 0 βK1 µH ´pµH ` µIq fi ffi ffi ffi ffi ffi fl .

Dessa forma, a matriz jacobiana associada ao ponto de equilíbrio P0 possui o

seguinte polinômio característico

ppλq “ p´µH ´ λqqpλq, (3.7)

tal que

Capítulo 3. Modelagem Matemática 33

com os coeficientes dados por: q2 “ 1, q1 “ 1 µH pK1βδ1` µH2` µHµI` µHµXq, q0 “ µXpµH ` µIq „ 1 ´ K1pα ´ δ1qβ µHµX  .

Note que, da equação ppλq “ 0, temos um autovalor negativo dado por λ1 “ ´µH.

Os outros dois autovalores são obtidos calculando as raízes do polinômio qpλq. Para determinar o sinal da parte real desses autovalores utilizaremos o Critério de Routh-Hurwitz (ver apêndice A).

Pode-se observar que q2 ą 0 e q1 ą 0, em razão da natureza positiva de todos

os parâmetros que compõem os coeficientes q1 e q2.

Assim basta que o coeficiente q0 seja positivo, para se assegurar que a parte

real dos outros dois autovalores seja negativa e desta forma, obter que o ponto de equilíbrio trivial P0 é localmente e assintoticamente estável.

Para que q0 seja positivo, deve-se ter

β β0

ă 1, em que o limiar para β é dado por

β0 “ µHµX K1pα ´ δ1q . Denotado por R0 “ β β0

, biologicamente pode ser interpretado da seguinte forma, R0 “ K1pα ´ δ1qβ µHµX “ 1 µX ˆ β ˆ K1 µH ˆ pα ´ δ1q

Um merozoíto em seu tempo médio de vida 1{µX infecta a uma taxa β uma população K1{µH de hemácias suscetíveis. Essas hemácias, agora infectadas, liberam liquidamente para a corrente sanguínea α ´ δ1 merozoítos, uma vez que α representa a

quantidade de merozoítos que são liberados por hemácia infectada e δ1 a quantidade de

merozoítos que adentram uma hemácia suscetível.

Neste caso R0 ě 0, visto que adotou-se que a quantidade α de merozoítos

liberados por uma hemácia infectada é maior que a quantidade δ1 de merozoítos que

Capítulo 3. Modelagem Matemática 34

Portanto, se obtem o seguinte teorema:

Teorema 3.2. Se R0 ă 1 então o ponto de equilíbrio P0 é localmente e assintoticamente

estável. Se R0 ą 1, então o ponto de equilíbrio P0 é instável.

Demonstração:

A demonstração de que se R0 ă 1 então o ponto de equilíbrio P0 é assintoticamente estável,

decorre da necessidade dos coeficientes do polinômio característico satisfazerem o critério de Routh-Hurwitz; o segundo caso é análogo.

A partir de agora o sistema (3.4) será analisado considerando que há merozoítos em circulação no organismo, ou seja, temos X ą 0. O ponto de equilíbrio neste caso é dito ponto de equilíbrio endêmico, sua obtenção está detalhada no apêndice C.

Resolvendo o sistema (3.4), o ponto de equilíbrio endêmico é dado por P˚ “ pH˚, X˚_{, H}˚ Iq, (3.9) tal que H˚ “ K1 µHR0 , (3.10) X˚ “ µH β pR0´ 1q, (3.11) H˚ I “ K1pR0´ 1q R0pµH ` µIq . (3.12)

Sendo as variáveis acima populações biológicas, no equilíbrio endêmico essas populações são positivas, assim tem-se a seguinte condição biológica de existência das populações: R0 ą 1. O que era esperado, visto que R0 ă 1, caracteriza o estado livre da

infecção.

Encontrado o ponto de equilíbrio endêmico P˚_{, é preciso determinar sua}

estabilidade local, que se dá pelo sinal da parte real dos autovalores da matriz jacobiana do sistema (3.4) calculada em P˚_{. Novamente, se a parte real das raízes do polinômio}

característico dado por ppλq “ detpJpP˚

q ´ λIq for negativa, então o equilíbrio endêmico é local e assintoticamente estável.

A matriz jacobiana dada pela equação (3.6) calculada em P˚ _{pode ser re-escrita}

como J pP˚ q “ » — — – ´K1 H˚ ´βH ˚ ₀ ´δ1βX˚ ´αβH˚ αpµH ` µIq βX˚ <sub>βH</sub>˚ ´pµH ` µIq fi ffi ffi fl .

Capítulo 3. Modelagem Matemática 35

O polinômio característico dado por ppλq “ detpJpP˚

q ´ λIq é escrito por

ppλq “ λ3` a2λ2` a1λ ` a0, (3.13) em que a2 “ K1 H˚ ` αβH ˚ ` µH ` µI, a1 “ 1 H˚ ” H˚_K 1αβ ´ H˚2X˚β2δ1` K1pµH ` µIq ı , a0 “ H˚X˚β2pα ´ δ1qpµH ` µIq.

Pelo critério de Routh-Hurwitz precisa-se mostrar que os três coeficientes do polinômio característico são positivos e que, além disso, a desigualdade a1a2 ą a0 é

satisfeita, para que P0 seja assintoticamente e localmente estável.

Tem-se que a2 e a0 são positivos. Isto é verdade para R0 ą 1, pois nesse caso,

H˚ _{e X}˚ _{positivos. Falta verificarmos a positividade do coeficiente a} 1.

O coeficiente a1 pode ser escrito como

a1 “ αβµHH˚` β2H˚X˚pα ´ δ1q `

K1

H˚pµH ` µIq.

Por α ´ δ1 ą 0, a positividade de a1 é garantida.

Ainda falta verificar que a2a1 ą a0, ou seja, que a2a1 ´ a0 ą 0. Escrevendo

a2a1´ a0: a2a1´ a0 “ „ αβµHH˚` β2H˚X˚pα ´ δ1q ` K1 H˚pµH ` µIq  ˆ K1 H˚ ` αβH ˚ ` µH ` µI ˙ ´H˚X˚β2pα ´ δ1qpµH ` µIq “ „ αβµHH˚` K1 H˚pµH ` µIq  ˆ K<sub>1</sub> H˚ ` αβH ˚ ` µH ` µI ˙ `β2H˚<sub>X</sub>˚ pα ´ δ1q ˆ K<sub>1</sub> H˚ ` αβH ˚ ˙ ` β2H˚<sub>X</sub>˚ pα ´ δ1qpµH ` µIq ´H˚X˚_β2 pα ´ δ1qpµH ` µIq.

Nesta expressão se vê que os dois últimos termos se cancelam, restando apenas termos positivos. Assim sendo, conclui-se que a condição é satisfeita para R0 ą 1 (H˚ ą 0

e X˚

ą 0).

Portanto, como todas as condições do critério de Routh-Hurwitz foram satis-feitas obtém-se que a parte real de todos os autovalores da matriz jacobiana associada

Capítulo 3. Modelagem Matemática 36

é negativa. Desta forma, o ponto de equilíbrio endêmico é assintoticamente estável para R0 ą 1.

A fim de obter a estabilidade global do ponto de equilíbrio livre da infecção e do ponto de equilíbrio com presença de merozoítos, utilizou-se o método direto de Lyapunov. As demonstrações dos dois teoremas abaixo foram adaptadas de (GÓMEZ, 2016).

Teorema 3.3. Se R0 ď 1 então o ponto de equilíbrio P0 é globalmente e assintoticamente

estável.

Demonstração:

Considere W1 uma função definida por W1 : Ω1 Ñ R, tal que

Ω1 “ tpH, X, HIq P R3 : H ą 0, X ě 0, HI ě 0u e W1pH, X, HIq “ pα ´ δ1q żH K1 µH η ´ K1 µH η dη ` αHI` X. Note que W1pP0q “ 0 e W1 ą 0 em Ω1´ tP0u. Desta forma, obtém-se que

9 W1pH, X, HIq “ pα ´ δ1q ˆ 1 ´ K1 µHH ˙ 9 H ` α 9HI` 9X.

Substituindo as expressões de 9H, 9HI e 9X e efetuando algumas simplificações, obtém-se a equação equivalente,

9 W1pH, X, HIq “ ´pα ´ δ1qµHH ˆ 1 ´ K1 µHH ˙2 ` pR0 ´ 1qµXX.

Logo, 9W1 ă 0 em Ω1 ´ tP0u se e somente se R0 ď 1. Concluí-se que P0 é

globalmente e assintoticamente estável.

Encontrou-se que o ponto de equilíbrio com presença de merozoítos é global-mente e assintoticaglobal-mente estável soglobal-mente R0 ą 1 e se a quantidade líquida de merozoítos

que adentram uma hemácia não infectada durante seu tempo médio de vida é menor ou igual a um, isto é, se δ1βK1

µHµX

ď 1. Essa restrição é devido o modelo considerar que os merozoítos podem adentrar uma hemácia, caso não houvesse essa invasão por parte dos merozoítos nas hemácias, esse seria um modelo clássico de Epidemiologia Matemática e o ponto de equilíbrio não trivial seria globalmente estável, sem restrição.

Capítulo 3. Modelagem Matemática 37

Teorema 3.4. O ponto de equilíbrio com presença de merozoítos P˚ _{é globalmente e}

assintoticamente estável se R0 ą 1 e δ1βK1 µHµX ď 1. Demonstração:

Tome a função W2, definida por W2 : Ω2 Ñ R, tal que

Ω2 “ tpH, X, HIq P R3 : H ą 0, X ą 0, HI ą 0u e W2pH, X, HIq “ pα ´ δ1q żH H˚ η ´ H˚ η dη ` α żHI HI˚ η ´ HI˚ η dη ` żX X˚ η ´ X˚ η dη. Assim a função derivada de W2 é dada por

9 W2pH, X, HIq “ pα ´ δ1q ˆ 1 ´ H ˚ H ˙ 9 H ` α ˆ 1 ´ HI ˚ HI ˙ 9 HI` ˆ 1 ´ X ˚ X ˙ 9 X.

Utilizando as equações do sistema (3.5) e as equações do equilíbrio K1 “ βH˚X˚` µHH˚, µX “ pα ´ δ1qβH˚, pµH ` µIq “ βH˚_X˚ HI˚ obtém-se, 9 W2pH, X, HIq “ rδ1βX˚´ pα ´ δ1qµHs H˚ ˆ H˚ H ` H H˚ ´ 2 ˙ ´αβH˚X˚ˆ H ˚ H ` H H˚ X X˚ HI˚ HI ` X ˚ X HI HI˚ ´ 3 ˙ .

Sendo a média aritmética maior ou igual a média geométrica, ou seja, n ÿ i“1 xi n ě n d n ź i“1 xi encontra-se que H ˚ H ` H H˚ ě 2 e H˚ H ` H H˚ X X˚ HI˚ HI ` X ˚ X HI HI˚ ě 3.

Desta forma se rδ1βX˚´ pα ´ δ1qµHs H˚ ď 0 tem-se 9W2 ă 0. De fato, pois

rδ1βX˚´ pα ´ δ1qµHs H˚ ď

ˆ δ1βK1

µXµH

´ 1˙ µXµH β ď 0.

Assim 9W2 ă 0 em Ω2´ tP˚u. Além disso, W2pP˚q “ 0 e W2 ą 0 em Ω2´ tP˚u.

Portanto, para R0 ą 1 e

µHµX δ1βK1

ě 1, o ponto de equilíbrio P˚ é globalmente e assintotica-mente estável.

As figuras9e10exemplificam o comportamento das populações para 0 ă R0 ă 1

Capítulo 3. Modelagem Matemática 38

Figura 9 – Convergência das populações para R0 menor do que 1

0 200 400 600 800 1000 1200 0 1 2 3 4 5 6 7 8x 10 6 t H,X,HI Convergência da solução H(t) X(t) HI(t)

Figura 10 – Convergência das populações para R0 maior do que 1

0 200 400 600 800 1000 1200 0 1 2 3 4 5 6 7 8x 10 6 t H,X,HI Convergência da solução H(t) X(t) HI(t)

Capítulo 3. Modelagem Matemática 39

3.2

Dinâmica de plaquetas

Figura 11 – Diagrama da Trombopoiese

Para a dinâmica das células precursoras dos megacariócitos, Z, admitiu-se que são produzidas por um fluxo constante K2. Essas células sofrem apoptose à uma taxa µZ e se diferenciam em megacariócitos, com uma taxa de diferenciação σ1. A equação para

essa dinâmica é dada por

dZ

dt “ K2´ µZZ ´ σ1Z. (3.14)

Os megacariócitos M1 que produzem plaquetas P1, são obtidos a partir das

células precursoras que se diferenciaram, sofrem apoptose à uma taxa µ1 e após um período

1 liberam plaquetas na corrente sanguínea. Portanto a equação que representa a dinâmica

dos megacariócitos M1 é dada por

dM1

dt “ σ1Z ´ µ1M1´ 1M1. (3.15) Para a dinâmica de plaquetas normais (diz-se normal, para diferenciar das megaplaquetas) temos a seguinte equação,

dP1

dt “ δ21M1´ µP1P1. (3.16)

O primeiro termo representa as plaquetas liberadas pelos megacariócitos, com δ2

representando a quantidade de plaquetas liberadas por megacariócito M1 e µP1 representa

Capítulo 3. Modelagem Matemática 40

Para o modelo de produção de plaquetas, tem-se o seguinte sistema de equações dZ dt “ K2´ µZZ ´ σ1Z, dM1 dt “ σ1Z ´ µ1M1 ´ 1M1, (3.17) dP1 dt “ δ21M1´ µP1P1.

A descrição das variáveis e parâmetros do modelo da dinâmica de plaquetas é descrito na tabela abaixo,

Tabela 2 – Descrição das variáveis e parâmetros relacionados às plaquetas

Símbolo Definição Unidade

Z população de células precursoras de megaca-riócitos

[megacariócitos] M1 população de megacariócitos [megacariócitos]

P1 população de plaquetas normais [plaquetas]

K2 taxa de produção dos megacariócitos [megacariócitos]ˆdia´1

µZ taxa de mortalidade das células precursoras de megacariócitos

dia´1

σ1 taxa de diferenciação para megacariócitos M1 dia´1

µ1 taxa de mortalidade dos megacariócitos M1 dia´1

1 taxa de passagem de megacariócitos para o

compartimento das plaquetas normais

dia´1

δ2 quantidade de plaquetas normais liberadas

por megacariócito M1

[plaquetas]ˆ[megacariócitos]´1

µP1 taxa de mortalidade das plaquetas normais dia ´1

A dinâmica da produção de plaquetas é dada pelo sistema (3.17). Neste caso não há a necessidade de estudar o ponto de equilíbrio endêmico, visto que os merozoítos influenciam o sistema apenas via sinalização feita em decorrência da existência de hemácias infectadas. Como o sistema esta desacoplado, não há interação com hemácias infectadas ou merozoítos. Sendo assim, o estudo se resume apenas ao caso livre da infecção nas equações da produção normal de plaquetas.

Resolvendo o sistema de equações abaixo

0 “ K2´ µZZ ´ σ1Z,

0 “ σ1Z ´ µ1M1 ´ 1M1, (3.18)

Capítulo 3. Modelagem Matemática 41

encontra-se o ponto de equilíbrio trivial para a produção de plaquetas, que será denotado por T . T “ pZ, M1, P1q, (3.19) tal que Z “ K2 µZ ` σ1 , (3.20) M1 “ σ1K2 pµ1` 1qpµZ` σ1q , (3.21) P1 “ δ21σ1K2 µP1pµ1` 1qpµZ` σ1q . (3.22)

Matricialmente, o sistema (3.17) pode ser escrito da seguinte forma,

9 x “ Ax ` f (3.23) tal que x “ » — – Z M1 P1 fi ffi fl, A “ » — – ´µZ´ σ1 0 0 σ1 ´µ1´ 1 0 0 δ21 ´µP1 fi ffi fl e f “ » — – K2 0 0 fi ffi fl.

Para transformar o sistema (3.17) em um sistema homogêneo, fez-se a seguinte mudança de variável

z “ Z ´ Z, m1 “ M1´ M1,

p1 “ P1´ P1.

Desta forma, substituindo as variáveis Z, M1 e P1 em termos das novas variáveis

z, m1 e p1, obtem-se um sistema linear homogêneo

dz dt “ ´pµZz ` σ1qz, dm1 dt “ σ1z ´ pµ1` 1qm1, dp1 dt “ δ21m1´ µP1p1. Matricialmente, tem-se » — – 9 z 9 m1 9 p1 fi ffi fl “ » — – ´µZ´ σ1 0 0 σ1 ´µ1´ 1 0 0 δ21 ´µP1 fi ffi fl ˆ » — – z m1 p1 fi ffi fl. (3.24)

Capítulo 3. Modelagem Matemática 42

Como a matriz dos coeficientes da equação matricial (3.24) é uma matriz triangular inferior, o polinômio característico desse sistema é dado pelo produto dos elementos da diagonal principal. Consequentemente, obtem-se que os autovalores são todos negativos, dados por λ1 “ ´µZ´ σ1, λ2 “ ´µ1´ 1 e λ3 “ ´µP1. O que nos garante que

o ponto de equilíbrio T é localmente e assintoticamente estável. Além disso, a solução do sistema pode ser representada por

» — – zptq m1ptq p1ptq fi ffi fl “~v1e λ1t ` ~v2eλ2t` ~v3eλ3t, (3.25)

em que ~v1, ~v2 e ~v3 são vetores de R3 dependentes da condição inicial do sistema.

Note que quando t Ñ 8, a solução tende para o vetor nulo e utilizando a mu-dança de variável conclui-se que quando t Ñ 8 tem-se que rZ, M1, P1sT Ñ rZ, M1, P1sT.

Portanto para qualquer condição inicial, o sistema converge para o ponto de equilíbrio, resultando que o ponto de equilíbrio T é globalmente estável.

3.3

Interação das plaquetas com hemácias e merozoítos sem a ação

antiparasitária

Nesta seção será abordado o caso que ocorre o surgimento das plaquetas de volume aumentado na presença da infecção de malária. A figura 12ilustra este caso,

A Figura 12apresenta um diagrama ilustrando os compartimentos considerados no modelo. As setas contínuas representam o fluxo contínuo das células, ou seja, as diferenciações que vão ocorrendo na célula até sua morte devida a infecção ou morte natural. Já as setas pontilhadas representam uma influência que o compartimento do início da seta causa ao compartimento onde a mesma termina. Note que a seta pontilhada não representa um fluxo de passagem de compartimentos, mas apenas uma sinalização de influência que o compartimento de chegada sofre devido ao compartimento de saída.

Capítulo 3. Modelagem Matemática 43

Figura 12 – Diagrama de hemácias, merozoítos e das produções de plaquetas normais e megaplaquetas

A dinâmica de hemácias não infectadas, H, novamente é dada pela equação (3.1), a dinâmica dos merozoítos livres na circulação é dada pela equação (3.2), a dinâmica

das hemácias infectadas, HI, é dada pela equação (3.3).

Para modelar o comportamento da produção de plaquetas na presença da infecção de malária, considerou-se um compartimento para as células precursoras dos megacariócitos, dois compartimentos que representam a população de megacariócitos, um que produz plaquetas normais e outro que produz megaplaquetas, sob a hipótese de que essas megaplaquetas são produzidas devido à infecção por merozoítos; denotou-se por M1

os megacariócitos que produzem plaquetas normais e M2 os que produzem as plaquetas

de volume aumentado (megaplaquetas).

Para a dinâmica das células precursoras dos megacariócitos representada pela equação (3.14), admitiu-se também que na presença da infecção, podem sofrer diferenciação para megacariócitos que liberam plaquetas de forma emergencial sob a presença de uma