Poti1F

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Conceitos b´

asicos: ponto, reta, plano e ˆ

angulo

Vamos dar in´ıcio ao estudo de uma ´area muito conhecida da matem´atica e que temos mais contato. Vemos formas geom´etricas em todo os cantos: o formato da lousa, da carteira, do espelho do banheiro, canetas e etc. Para estudar geometria plana, precisamos entender seus elementos b´asicos: ponto, reta e plano. A partir destes conceitos, entendemos o que ´e um segmento(peda¸co) de uma reta e um ˆangulo(regi˜ao entre duas semi-retas). Um segmento de reta pode ser representado de duas formas AB ou simplesmente AB, sendo o primeiro modo mais utilizado. Dizemos que trˆes pontos A, B e C s˜ao colinea-res quando os trˆes pertencem `a mesma reta. Apesar de serem exerc´ıcios bem b´asicos, ´e em cima de tudo isso que a geometria plana ´e constru´ıda, ent˜ao, vamos testar nossos conhecimentos!

Problema 1 Dados 3 pontos X, Y e Z, com XY = 12, XZ = 8 e Y Z = 5, eles podem pertencer `a mesma reta?

Solu¸c˜ao: Se eles est˜ao em uma mesma reta, existe um ponto que est´a no meio dos outros dois e ent˜ao ao somarmos dois dos segmentos o tamanho deve ser igual ao tamanho do segmento completo. Por´em, como XY + Y Z 6= XZ, Y X + XZ 6= Y Z e XZ + ZY 6= XY , esses 3 pontos n˜ao podem estar na mesma reta.

Problema 2 Calcule os ˆangulos complementares e suplementares aos ˆ

angulos: a) α = 30o

b) β = 60o

Solu¸c˜ao: Como sabemos, o complementar de um ˆangulo ´e a quantidade de graus que precisam ser somados ao ˆangulo para chegarmos a 90o e o su-plementar para chegarmos a 180o_{. Logo, as respostas s˜ao:}

a) 90o_{− α = 60}o _{e 180}o_{− α = 150}o_.

b) 90o− β = 30o _{e 180}o_{− β = 120}o_.

c) 90o_{− θ = 45}o _{e 180}o_{− θ = 135}o_.

Problema 3 (Olimp´ıada Portuguesa - 2010) Na cena final de um filme, a m˜ae canguru(A) pula ao encontro do seu filho canguru(B). Sabe-se que a m˜ae salta 4 metros a cada segundo e que seu filho salta 1 metro a cada segundo. Se eles est˜ao inicialmente a 100 metros de distˆancia um do outro, quantos segundos demorar˜ao at´e se encontrarem?

A B

Solu¸c˜ao: A cada segundo, a m˜ae canguru percorre um segmento de 4 me-tros e o filho um segmento de 1 metro, o que reduz a distˆancia entre eles em 5 metros. Como a distˆancia ´e de 100 metros, demorar˜ao 100/5 = 20 segundos.

C

B

A O

3x - 40º 2x - 30º

Solu¸c˜ao: Como A ˆOB = 2x − 30, B ˆOC = 3x − 40 e eles s˜ao suplementa-res ⇒ 2x−30+3x−40 = 180 ⇒ 5x = 250, logo, x = 50 e ent˜ao B ˆOC = 110o_.

Problema 5 Se A, B e C s˜ao pontos colineares, determine os poss´ıveis valores do segmento AC, sabendo que AB = 37cm e BC = 23cm.

Solu¸c˜ao: Veja que C pode estar entre A e B ou B est´a entre A e C. Se C est´a entre A e B, AB = AC + CB ⇒ 37 = AC + 23 ⇒ AC = 14cm. Caso B esteja entre A e C, AC = AB + BC = 37 + 23 = 60cm.

Problemas Propostos

Problema 6 Calcule o valor de x, sabendo que A ˆOB = 90o_.

A

O 2x - 20º _B

x+10º x

Problema 7 Qual ´e o ponto indicado abaixo?

19 20

18

Problema 8 Sejam P, Q e R trˆes pontos distintos de uma reta. Se o seg-mento PQ ´e igual ao triplo do segmento QR e P R = 32 cm, determine as poss´ıveis medidas dos segmentos PQ e QR.

Problema 9 Uma semi-reta ´e chamada de bissetriz, quando divide um ˆ

angulo ao meio. Dados dois ˆangulos adjacentes(vizinhos) cuja soma ´e 244o_,

qual o ˆangulo formado por suas bissetrizes?

Problema 10 Sabendo que−→OR e−→OS s˜ao bissetrizes, calcule o valor de x.

22.67° O S R x 4x - 40º

Problema 11 (Banco OBMEP - 2009) Cinco tartarugas apostaram uma corrida em linha reta e na chegada a situa¸c˜ao foi a seguinte: Sininha est´a 10m atr´as de Olguinha e 25m `a frente de Rosinha que est´a 5m atr´as de El-zinha que est´a 25m atr´as de Pulinha. Qual foi a ordem de chegada?

Problema 12 (OBMEP - 2005) Qual ´e a medida do menor ˆangulo for-mado pelos ponteiros de um rel´ogio quando ele marca 12 horas e 30 minutos?

Problema 13 A soma de um ˆangulo com a ter¸ca parte do seu comple-mento ´e igual a 46o. Determine o suplemento desse ˆangulo.

Problema 14 Dados dois ˆangulos α > β, sabe-se que o complementar de α ´e o suplementar de β e que eles diferem de 30o_{. Encontre o valor, em}

graus, dos ˆangulos α e β.

Problema 15 (Banco OBMEP - 2013) Um certo robˆo s´o anda para a frente ou vira `a direita, com um ˆangulo de x graus em rela¸c˜ao `a dire¸c˜ao original com que estava andando, conforme ´e mostrado na figura a seguir. Para retornar `a dire¸c˜ao e ao sentido original, o robˆo precisa virar `a direita um certo n´umero de vezes. Por exemplo, se x = 90o, ent˜ao, o robˆo precisa virar `a direita quatro vezes. Observe isto na segunda figura a seguir.

a) Quantas vezes o robˆo precia virar `a direita se x = 60o_?

b) Quantas vezes o robˆo precisa virar `a direita se x = 42o? c) E se x = 47o_?

Solu¸c˜oes dos problemas propostos

6. Do enunciado, temos que x + x + 10 + 2x − 20 = 90o_{, logo, 4x = 100}o

e x = 25o.

7. O ponto indicado est´a 4 marcas `a direita de 19. Entre 18 e 19 e entre 19 e 20 s˜ao feitas subdivis˜oes em 10 partes iguais, logo cada marca equivale a 0, 1 nessa escala. Assim, o ponto indicado ´e 19,4.

8. Aqui, novamente, temos duas op¸c˜oes: Q entre P e R e R entre P e Q. Caso Q esteja entre os outros, podemos montar a seguinte equa¸c˜ao 3x + x = 32 ⇒ x = 8cm e ent˜ao P Q = 24cm e QR = 8cm. Caso R esteja entre os outros, podemos montar a equa¸c˜ao P R + RQ = P Q ⇒ 32 + x = 3x ⇒ x = 16cm e ent˜ao P Q = 48cm e QR = 16cm.

9. Sejam x e y os ˆangulos dados, do enunciado temos que x + y = 244o, o ˆ

angulo entre as bissetrizes ser´a formado por dois outros ˆangulos: x₂ e y₂, logo, tal ˆangulo ser´a igual a x₂ +y₂ = x+y₂ = 122o_.

10. Como −→OR e −→OS s˜ao bissetrizes, temos que 2x = 4x − 40 ⇒ 2x = 40 ⇒ x = 20.

11. Vamos representar cada tartaruga numa reta, utilizando a sua letra inicial. Veja que S vem antes da O e esta `a frente da R. Al´em disso, a distˆancia

que S est´a `a frente de R ´e maior que a distˆancia que E est´a `a frente de R. Per-cebemos ainda que P deve estar entre S e O. Temos ent˜ao a seguinte situa¸c˜ao:

R E S P O

Logo, Sininha est´a 20m `a frente de Elzinha. Portanto, Pulinha est´a 5m `

a frente de Sininha. A ordem de chegada forma a palavra:OPSER.

12. `As 12h 30min o ponteiro dos minutos deu meia volta no rel´ogio a partir do n´umero 12 do mostrador, ou seja, percorreu 360o_{/2 = 180}o_{. Os}

n´umeros 1, 2, 3, ,12 do mostrador do rel´ogio dividem a circunferˆencia em doze ˆangulos iguais, cada um com 360o_{/12 = 30}o _{. Logo, a cada hora, o}

ponteiro das horas (o menor) percorre um ˆangulo de 30o _{; em meia-hora este}

ponteiro percorre ent˜ao 30o/2 = 15o. Logo, o ˆangulo formado pelos dois ponteiros ´e 180o _{− 15}o _{= 165}o_.

13. Seja x o ˆangulo dado. Montamos a equa¸c˜ao x + 90o−x₃ = 46o ⇒ 3x + 90o_{− x = 138}o _{⇒ 2x = 48}o _{⇒ x = 24}o_{. O suplemento de 24}o _{´e 180}o

-24o _{= 156}o_.

14. Pelo enunciado, podemos formar as equa¸c˜oes 90o _{− α = 180}o_{− β e}

α − β = 30o_{, de modo que α + β = 90}o _{e α − β = 30}o _{⇒ α = 60}o _{e β = 30}o_.

15. A cada vez que o robˆo vira `a direita, a dire¸c˜ao ao longo da qual ele se movimenta varia em 60o_{no sentido hor´ario. Assim a varia¸c˜ao total da dire¸c˜ao}

do seu movimento ap´os um certo n´umero de viradas ´e sempre um m´ultiplo de 60. Ap´os virar seis vezes, a varia¸c˜ao total na dire¸c˜ao do seu movimento ser´a de 6×60o _{= 360}o _{no sentido hor´ario. Por´em girar um ˆangulo de 360}o _significa

voltar `a dire¸c˜ao e sentido originais. Assim, ap´os virar seis vezes, a dire¸c˜ao e o sentido do movimento do robˆo ser˜ao iguais `a dire¸c˜ao e ao sentido original. b) A varia¸c˜ao total da dire¸c˜ao do movimento do robˆo ap´os um certo n´umero de viradas ´e sempre um m´ultiplo de 42o_{. Note que 360}o _{n˜ao ´e um}

m´ultiplo de 42o. Assim ´e imposs´ıvel que o robˆo varie a dire¸c˜ao e o sentido do seu movimento por 360o _{virando cada vez `a direita por um ˆangulo de 42}o_.

No entanto, logo que a varia¸c˜ao total do ˆangulo de seu movimento seja igual a um m´ultiplo de 360o, ent˜ao o robˆo ter´a novamente retornado `a dire¸c˜ao e sentido originais de movimento. Assim, vamos procurar o menor n´umero que seja, ao mesmo, tempo m´ultiplo de 42o _{e de 360}o_{. Notando que 42 = 6 × 7}

e que 360 = 62 × 10 temos que o m´ınimo m´ultiplo comum (mdc) entre 42 e 360 ´e igual a 62 × 7 × 10 = 2520. Como 2520o _{= 42}o _{× 60, ´e necess´ario}

que o robˆo vire `a direita 60 vezes para que a varia¸c˜ao total da dire¸c˜ao do seu movimento no sentido hor´ario seja igual a 2520o. Assim, somente ap´os virar 60 vezes o robˆo retornar´a `a dire¸c˜ao e ao sentido originais do seu movimento. c) Assim como no item anterior, devemos encontrar o menor m´ultiplo de 47o _{que seja tamb´em um m´ultiplo de 360}o_{. Como 47 e 360 s˜ao n´umeros}

primos entre si, o mmc entre eles ´e igual a 47 × 360. Isso quer dizer que o robˆo deve virar 360 vezes para que o seu movimento retorne `a dire¸c˜ao e ao sentido originais.

2

Ponto m´

edio e raz˜

oes entre segmentos

Passaremos agora a resolver problemas relacionados `a raz˜ao entre segmentos e ponto m´edio. Dizemos que M ´e o ponto m´edio do segmento AB, quando o mesmo divide o segmento ao meio, ou seja, AM = M B. A raz˜ao entre dois segmentos ´e a divis˜ao dos seus valores absolutos. Quando dizemos que a raz˜ao entre os segmentos AB e BC ´e de 2:1, significa que AB_BC = 2₁.

Problema 16 Se M ´e o ponto m´edio do segmento AB, AM = 2x − 3 e M B = 3x − 5, qual o tamanho, em cent´ımetros, do segmento AB?

Solu¸c˜ao: Como M ´e ponto m´edio, AM = M B, temos a seguinte equa¸c˜ao: 2x − 3 = 3x − 5 ⇒ x = 2

Logo, AB = 2 cm.

Problema 17 O ponto C divide o segmento AB na raz˜ao de 3:4, se CB = 12 cm, qual o valor do segmento AB?

Solu¸c˜ao: Pelo enunciado, temos que AC

CB =

3

4 ⇒ AC = 9 ⇒ AB = 21cm.

Problema 18 Determine o tamanho do segmento AB sabendo que M ´e o ponto m´edio do segemto e que AM = 4x − 8 e M B = 3x − 4.

Solu¸c˜ao: Como M ´e ponto m´edio, basta igualar as express˜oes, ou seja, 4x − 8 = 3x − 4 ⇒ x = 4 e ent˜ao AB = 16cm.

Problemas Propostos

Problema 19 Sejam A, B, C e D pontos colineares nessa ordem, se M ´

e o ponto m´edio de AB e N ´e o ponto m´edio de CD, calcule M C, sabendo que AB = 12cm, BC = 8cm e N D = 10.

Problema 20 Na figura a seguir temos que OA = 2 cm e AB = 3 cm. Se M ´e o ponto m´edio do segmento AB, se P e Q dividem o segmento AB em trˆes partes iguais, calcule os comprimentos dos segmentos OM e OP .

O A P M Q B

Problema 21 Sejam A, B e C pontos consecutivos e colineares tais que 2AC = 3AB e BC = 6. Calcule AC.

Problema 22 Sejam A, B, C, D e E pontos consecutivos e colineares, tais que AC = CE, AB + CD = 16 e DE − BC = 4, calcule CD.

Problema 23 Sejam A, B, C e D pontos consecutivos de uma reta, M ponto m´edio de AC e N ponto m´edio de BD. Calcule a distˆancia entre os pontos m´edios de BM e N C, se AC + BD = 100cm.

Solu¸c˜oes dos problemas propostos 19. Vejamos a figura:

A M B C N D

Como M ´e ponto m´edio de AB, ent˜ao M B = 6cm e desde que M C = M B + BC + CD ⇒ M C = 6 + 8 + 20 = 34cm.

20. Como M ´e ponto m´edio do segmento AB, temos que AM = 1₂AB = 1, 5 cm. Da´ı OM = OA + AM = 2 + 1, 5 = 3, 5 cm. Como P e Q di-videm o segmento AB em trˆes partes iguais, AP = 1₃AB = 1cm. Logo, OP = OA + AP = 2 + 1 = 3 cm.

21. Como 2AC = 3AB ⇒ AB = 2BC e ent˜ao AC = 2BC + BC =

3BC = 18.

22. Seja CD = x e AC = CE = a, ent˜ao AB = 16 − x. Vejamos que DE = a − x e BC = a − (16 − x) = a + x − 16, pela outra rela¸c˜ao, temos que (a − x) − (a + x − 16) = 4 ⇒ 16 − 2x = 4 ⇒ 2x = 12 e x = 6.

A

M P B

C

Q N

D

Onde P ´e o ponto m´edio de M B e Q o ponto m´edio de CN . Fazendo P Q = z, AC = 2x e BD = 2y, temos que 2x + 2y = 100 ⇒ x + y = 50cm. Veja que P Q = P B + BC + CQ. Usando que P e Q s˜ao pontos m´edios, temos duas express˜oes para o segmento P Q. Por um lado:

P Q = M P + y − CQ Pelo outro lado

P Q = CQ + x − M P