Cap08

Exerc´ıcios Resolvidos de Dinˆamica Cl´assica

Jason Alfredo Carlson Gallas,

Doutor em F´ısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Instituto de F´ısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul

91501-970 Porto Alegre, BRASIL

Mat´eria para a QUARTA prova. Numerac¸˜ao conforme a quarta edic¸˜ao do livro “Fundamentos de F´ısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Sum´ario

8 Conservac¸˜ao da Energia 2

8.1 Problemas e Exerc´ıcios . . . 2 8.1.1 Determinac¸˜ao da Energia

Po-tencial . . . 2

8.1.2 Usando a Curva de Energia Po-tencial . . . 9 8.1.3 Conservac¸˜ao da Energia . . . . 9 8.1.4 Trabalho Executado por Forc¸as

de Atrito . . . 9 8.1.5 Massa e Energia . . . 12

Coment´arios/Sugest˜oes e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br

8

Conservac¸˜ao da Energia

8.1

Problemas e Exerc´ıcios

8.1.1 Determinac¸˜ao da Energia Potencial

E 8-1 (

na 6 edic¸˜ao)

Uma determinada mola armazena  J de energia po-tencial quando sofre uma compress˜ao de  cm. Qual a constante da mola?

Como sabemos que a energia potencial el´astica arma-zenada numa mola ´e  , obtemos facilmen-te que        !  ""  $#%'&)(*"+ N/m E 8-6 (8-3/6 )

Um pedacinho de gelo se desprende da borda de uma tac¸a hemisf´erica sem atrito com! cm de raio (Fig. 8-22). Com que velocidade o gelo est´a se movendo ao chegar ao fundo da tac¸a?

A ´unica forc¸a que faz trabalho sobre o pedacinho de gelo ´e a forc¸a da gravidade, que ´e uma forc¸a conservati-va.

Chamando de,.- a energia cin´etica do pedacinho de ge-lo na borda da tac¸a, de ,0/ a sua energia cin´etica no fundo da tac¸a, de1- sua energia potencial da borda e de 2/ sua energia potencial no fundo da tac¸a, temos ent˜ao

, /43  / $, -53  - 

Consideremos a energia potencial no fundo da tac¸a co-mo sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo vale1-687:9; , onde; representa o raio da tac¸a e 7 representa a massa do pedacinho de gelo. Sabemos que ,.-<=" pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Cha-mando de> a velocidade do pedacinho de gelo ao atin-gir o fundo, temos ent˜ao, da equac¸˜ao da conservac¸˜ao da energia acima que709;?=7@> , o que nos fornece

>'BA C9;D

A

 %#!E " !F$GH( m/s

E 8-8 (8-13/6 )

Um caminh˜ao que perdeu os freios est´a descendo uma estrada em declive a (*I" km/h. Felizmente a estrada disp˜oe de uma rampa de escape, com uma inclinac¸˜ao de

(J (Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa para que a velocidade do caminh˜ao chegue a zero an-tes do final da rampa? As rampas de escape s˜ao quase sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou cascalho. Por quˆe?

Nota: uso o valor(KI!" km/h da sexta edic¸˜ao do livro, em vez dos(*" km/h da quarta, j´a que na quarta edic¸˜ao n˜ao ´e fornecida nenhuma resposta.

Despreze o trabalho feito por qualquer forc¸a de fricc¸˜ao. Neste caso a ´unica forc¸a a realizar trabalho ´e a forc¸a da gravidade, uma forc¸a conservativa. Seja,.- a energia cin´etica do caminh˜ao no in´ıcio da rampa de es-cape e ,0/ sua energia cin´etica no topo da rampa. Seja 2- e / os respectivos valores da energia potencial no in´ıcio e no topo da rampa. Ent˜ao

,0/ 3 2/6$,.- 3 1-L

Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no in´ıcio da rampa, ent˜ao 2/MN709O , onde O ´e a altura final do caminh˜ao em relac¸˜ao `a sua posic¸˜ao inicial. Te-mos que,.-P$7@> , onde> ´e a velocidade inicial do caminh˜ao, e,0/0Q" j´a que o caminh˜ao para. Portanto 7:9O.R7@> , donde tiramos que

O: > C9  S(*I" &T(K" + CI!U""S 5%5# =U!U I m Se chamarmos deV o comprimento da rampa, ent˜ao te-remos que V sen (J)WO , donde tiramos finalmente que VX O sen(* J  U!U I sen(* J "U m

Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como um “fluido”, tem mais atrito que uma pista s´olida, aju-dando a diminuir mais a distˆancia necess´aria para parar o ve´ıculo.

E 8-10 (

na 6 )

Um proj´etil com uma massa de GY kg ´e disparado pa-ra cima do alto de uma colina de ( m de altura, com uma velocidade de(" m/s e numa direc¸˜ao que faz um ˆangulo de Y(*J com a horizontal. (a) Qual a energia cin´etica do proj´etil no momento em que ´e disparado? (b) Qual a energia potencial do proj´etil no mesmo mo-mento? Suponha que a energia potencial ´e nula na ba-se da colina (Z$[" ). (c) Determine a velocidade do proj´etil no momento em que atinge o solo. Supondo que a resistˆencia do ar possa ser ignorada, as respostas acima dependem da massa do proj´etil?

(a) Se 7 for a massa do proj´etil e> sua velocidade ap´os o lanc¸amento, ent˜ao sua energia cin´etica imediata-mente ap´os o lanc¸amento ´e

,.-\ (  7@>   (   Y"!]S(*"!  $!G"'&T(K" + J 

(b) Se a energia potencial ´e tomada como zero quando o proj´etil atinge o solo e sua altura inicial acima do solo for chamada deO , ent˜ao sua energia potencial inicial ´e

 - R7:9O.^_GYE %#!]S(*!F$%Y &)(*" + J (c) Imediatamente antes de atingir o solo a energia po-tencial ´e zero e a energia cin´etica pode ser escrita co-mo sendo , / `7@>

/

 , onde > / ´e a velocidade do proj´etil. A energia mecˆanica ´e conservada durante o voo do proj´etil de modo que, / R7@>

/

D=, -a3  - donde tiramos facilmente que

>/  b ,0- 3 2-  7  b cH !G" 3 G%Y&T(K" +ed GY!" f(*% m/s Os valores de,.-Lgh,0/5ga2- e/ dependem todos da mas-sa do proj´etil, por´em a velocidade final>/ n˜ao depende da massa se a resistˆencia do ar puder ser considerada desprez´ıvel.

Observe que o tal ˆangulo deY(*J n˜ao foi usado para na-da! Talvez seja por isto que este exerc´ıcio j´a n˜ao mais aparec¸a nas edic¸˜oes subsequentes do livro...

E 8-12 (8-17/6 )

Uma bola de gude de g ´e disparada verticalmente pa-ra cima por uma espingarda de mola. A mola deve ser comprimida de# cm para que a bola de gude apenas al-cance um alvo situado a" m de distˆancia. (a) Qual a variac¸˜ao da energia potencial gravitacional da bola de gude durante a subida? (b) Qual a constante da mola?

(a) Neste problema a energia potencial possui dois termos: energia potencial el´astica da mola e energia po-tencial gravitacional.

Considere o zero da energia potencial gravitacional co-mo sendo a posic¸˜ao da bola de gude quando a co-mola est´a comprimida. Ent˜ao, a energia potencial gravitacional da bola de gude quando ela est´a no topo da ´orbita (i.e. no ponto mais alto) ´eFij=7:9GO , ondeO ´e a altura do pon-to mais elevado. Tal altura ´eO0"

3

""#6"5"!# m. Portanto

1i?B '&T(K"Gk + E %#!] "5"!#!1R"5%Y!# J

(b) Como a energia mecˆanica ´e conservada, a energia da mola comprimida deve ser a mesma que a ener-gia potencial gravitacional no topo do voo. Ou seja, G*lm709O[Fi , onde ´e a constante da mola. Portanto,    i     "%Y#!  ""#  RI"  N/m Observe que I!"  N/mn=IH(D&)(*"  N/m =I5o( N/cmg que ´e a resposta oferecida pelo livro-texto.

E 8-13 (8-5/6 )

Uma bola de massa7 est´a presa `a extremidade de uma barra de comprimento V e massa desprez´ıvel. A outra extremidade da barra ´e articulada, de modo que a bo-la pode descrever um c´ırculo pbo-lano vertical. A barra ´e mantida na posic¸˜ao horizontal, como na Fig. 8-26, at´e receber um impulso para baixo suficiente para chegar ao ponto mais alto do c´ırculo com velocidade zero. (a) Qual a variac¸˜ao da energia potencial da bola? (b) Qual a velocidade inicial da bola?

(a) Tome o zero da energia potencial como sendo o ponto mais baixo atingido pela bola. Como a bola est´a inicialmente a uma distˆancia verticalV acima do pon-to mais baixo, a energia potencial inicial ´e 1-p^7:9GV , sendo a energia potencial final dada por2/qR7:9_Vp . A variac¸˜ao da energia potencial ´e, portanto,

r

s2/?tu1-P=C7:9GV)tT7:9Vu=709GVv

(b) A energia cin´etica final ´e zero. Chamemos de ,0-lw7@> a energia cin´etica inicial, onde > ´e a velocidade inicial procurada. A barra n˜ao faz traba-lho algum e a forc¸a da gravidade ´e conservativa, de modo que a energia mecˆanica ´e conservada. Isto sig-nifica que

r

,xyt

r

 ou, em outras palavras, que tz7@>*Dftz709GV de modo que temos

>  A C9Vv

P 8-16 (8-19/6 )

Um bloco de kg ´e encostado numa mola num plano in-clinado sem atrito e com uma inclinac¸˜ao deI"J graus. A mola em quest˜ao, cuja constante vale(*%U N/cm, ´e com-primida" cm sendo depois liberada. A que distˆancia ao longo do plano inclinado ´e arremessado o bloco?

Quando o bloco ´e liberado, toda energia potencial el´astica armazenada na mola transforma-se em energia potencial gravitacional, que ´e usada para levantar o cor-po verticalmente de uma altura O . A conservac¸˜ao de energia nos diz que {

 G  R709O| Portanto, O:  709  S(K%5U &T(K"!]E " L  ] !E%5#  S(K"!K]Y]S(*" k *  $ m Chamando de} a distˆancia percorrida ao longo do pla-no, temos queO~s} sen I"J , donde tiramos a resposta procurada: }v O senI!" J   (C Y m P 8-17 (8-21/6 )

Uma mola pode ser comprimida cm por uma forc¸a de !" N. Um bloco de ( kg de massa ´e liberado a par-tir do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito cuja inclinac¸˜ao ´eI"!J . (Fig. 8-30). O bloco comprime a molaG  cm antes de parar. (a) Qual a distˆancia total percorrida pelo bloco at´e parar? (b) Qual a velocidade do bloco no momento em que se choca com a mola?

A informac¸˜ao dada na primeira frase nos permite cal-cular a constante da mola:

€   !C" "5" f(I!q&T(K"‚ N/m

(a) Considere agora o bloco deslizando para baixo. Se ele parte do repouso a uma altura O acima do ponto onde ele para momentaneamente, sua energia cin´etica ´e zero e sua energia potencial gravitacional inicial ´e 7:9GO , onde 7 ´e a massa do bloco. Tomamos o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto onde o bloco para. Tomamos tamb´em a energia poten-cial inipoten-cial armazenada na mola como sendo zero. Su-ponha que o bloco comprima a mola uma distˆancia antes de parar momentaneamente. Neste caso a ener-gia cin´etica final ´e zero, a enerener-gia potencial gravitacio-nal figravitacio-nal ´e zero, e a energia potencial figravitacio-nal da mola ´e  . O plano inclinado n˜ao tem atrito e a forc¸a nor-mal que ele exerce sobre o bloco n˜ao efetua trabalho

(pois ´e perpendicular `a direc¸˜ao do movimento), de mo-do que a energia mecˆanica ´e conservada. Isto significa que7:9O0= , donde tiramos que

O0   C7:9  L(I!'&T(K" ‚ E ""!! L(*!E%5# $"H(Y m Se o bloco viajasse uma distˆancia} pelo plano inclinado abaixo, ent˜ao} senI"JƒO , de modo que

}4 O senI" J  "5o(CY senI" J ="I! m

(b) Imediatamente antes de tocar a mola o bloco dis-ta "5" m do ponto onde ir´a estar em repouso, e as-sim est´a a uma distˆancia vertical de  ""!! sen I!"!J6 "5"! m acima da sua posic¸˜ao final. A energia po-tencial ´e ent˜ao 7:9GO„j…L(*]%5#E"5"!.NI I J. Por outro lado, sua energia potencial inicial ´e 7:9GOR

L(*!E%5#E "H(Yv†"5 J. A diferenc¸a entre este dois valores fornece sua energia cin´etica final:,:/‡=" zt I5I?^(G J. Sua velocidade final ´e, portanto,

>' b ,0/ 7  b 5S(G! ( f(!  m/s P 8-18 (
na 6 )

Um proj´etil de"  ´e lanc¸ado da borda de um penhasco com uma energia cin´etica inicial de (" J e, no ponto mais alto da trajet´oria, est´a a (KY!" m acima do ponto de lanc¸amento. (a) Qual a componente horizontal da velo-cidade do proj´etil? (b) Qual a componente vertical da velocidade do proj´etil no momento do disparo? (c) Em um certo instante, a componente vertical da velocidade do proj´etil ´eU! m/s. Neste momento, a que altura ele se encontra acima ou abaixo do ponto de lanc¸amento?

(a) A energia cin´etica inicial do proj´etil ´e ,0-M 7@>-  , e a energia potencial gravitacional ´e tomada co-mo sendo zero. No topo da trajet´oria a velocidade do proj´etil apenas possui a componente horizontal da velo-cidade, que chamamos de>ˆ . Portanto

{  7@>  - {  7@>  ˆ 3 7:9Z maxg

donde tiramos que

> ˆ  ‰ >  -tX9Z max  b ,.-7 tX9Z max  b _]S(*!" "5! tX %#!]S(]Y"!1=Y m/s

(b) A componente vertical ´e dada por >Š‹ ‰ >  -tT>  ˆ  b ,.-7 tT>  ˆ  b  ]S(" "  tŒYq= m/s (c) No tal instante a energia cin´etica, do proj´etil ´e

, {  7@>   {  7Nc>  ˆ t)>  Š d  {   " !Ž Y  3 U e  (K%!UY J

Chamemos de‘ o deslocamento vertical desde o ponto inicial at´e o instante em quest˜ao. Ent˜ao,

’ -< {  7@>  -=, 3 “R, 3 709G‘5g

o que nos fornece

‘  ( 7:96” {  7:>  -tŒ,–•  ( "5!]%#!|— ("˜t(K%!UY™  t˜CU5# m

Portanto o ponto‘ em quest˜ao encontra-seABAIXOda posic¸˜ao inicial de lanc¸amento.

P 8-19 (

na 6 )

Uma bola de" g ´e arremessada de uma janela com uma velocidade inicial de# m/s e um ˆangulo deI"J para ci-ma em relac¸˜ao `a horizontal. Determine (a) a energia cin´etica da bola no ponto mais alto da trajet´oria e (b) a sua velocidade quando se encontra aI m abaixo da ja-nela. A resposta do item (b) depende (c) da massa da bola ou (d) do ˆangulo de arremesso?

(a) No topo da trajet´oria, a componente vertical da velocidade da bola ´e zero enquanto que sua componente horizontal continua sendo>

ˆ

s>Cš\›EœI" J , onde>Cš ´e o m´odulo da velocidade da bola. A energia cin´etica, da bola de massa7 ´e, portanto,

, {  7ž>  ˆ  { 

_" &T(K" k +]'Ÿ#E ›Eœ!I"

J

 



f(  J

(b) Quando a bola se move com uma velocidade> a uma distˆanciaOT^I m abaixo da janela, sua energia poten-cial ´e menor que o seu valor inipoten-cial, a diferenc¸a sendo igual a tz7:9GO . Conservac¸˜ao da energia ent˜ao fornece

{  7:>  š  {  7@>  tT7:9GO\g donde obtemos >'B‰ > š 3 9O. A # 

3  !E %#!E I!1^(( m/s (c) e (d) Da express˜ao para> acima, fica bem claro que > n˜ao depende nem da massa da bola nem do ˆangulo inicial.

P 8-20 (

na 6 )

A mola de uma espingarda de mola tem uma constan-te de ( N/cm. Quando a espingarda faz um ˆangulo de I!" J para cima em relac¸˜ao `horizontal, uma bala de" g ´e disparada e atinge uma altura de  m acima do cano da espingarda. (a) Qual a velocidade da bala ao deixar o cano? (b) De quanto a mola estava comprimida no momento do disparo?

(a) Chamando-se de>Cš o m´odulo da velocidade ini-cial da bala de massa 7 , temos que a componente ho-rizontal da velocidade ´e > ˆ 8>Cš<›Eœ!5I" J . No topo da trajet´oria, a bala tem apenas velocidade horizontal. Por-tanto, a conservac¸˜ao da energia mecˆanica nos diz que{

 7:>  J  {  7@>  ˆ 3 709Z max  {  7 — > š ›Eœ!5I" J   3 709Z max

o que nos fornece

> š  b 9Z max (ztŒ›Eœ!  I" J  A  !E %#!E_ senI!" J =Y¡ %#6f(G  m/s (b) A mola estava comprimida de  tal que, pela conservac¸˜ao da energia, tenhamos{

 G   {  7@>  š g donde obtemos @> š b 7  fL(*G  b "5"" (K"!" R"5# m P 8-21 (
na 6 )

Uma bala de morteiro de kg ´e disparada para cima com uma velocidade inicial de (*"" m/s e um ˆangulo deIYJ em relac¸˜ao `a horizontal. (a) Qual a energia cin´etica da bala no momento do disparo? (b) Qual ´e a variac¸˜ao na energia potencial da bala at´e o momento em que atinge o ponto mais alto da trajet´oria? (c) Qual a altura atingida pela bala?

(a) Seja7 a massa da bala e> š sua velocidade inicial. A energia cin´etica inicial ´e ent˜ao

,.-\ (  7:>  š  (   !ES(*""  $q&Œ(K"‚ J (b) Tome o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto de tiro e chame de/ a energia potencial no topo da trajet´oria./ coincide ent˜ao com a variac¸˜ao da energia potencial deste o instante do tiro at´e o instan-te em que o topo da trajet´oria ´e alcanc¸ada. Nesinstan-te ponto a velocidade da bala ´e horizontal e tem o mesmo valor que tinha no in´ıcio:> ˆ s>Cš\›]œ!G¢š , onde¢š ´e o ˆangulo de tiro. A energia cin´etica no topo ´e

,0/‡ (  7:>  ˆ  (  7@>  š ›Eœ  ¢ š 

Como a energia mecˆanica ´e conservada

(  7@>  š / 3 (  7:>  š ›]œ!  ¢ š  Portanto 2/  (  7@>  š S(ztŒ›Eœ!  ¢ š   (  7@>  š sen  ¢ š  (   !EL(K""  sen IY J  # &)(*" + J 

(c) A energia potencial no topo da trajet´oria ´e tamb´em dada por/£7:9GO , ondeO ´e a altura (desn´ıvel) do topo em relac¸˜ao ao ponto de tiro. Resolvendo para O , encontramos: O0  / 7:9  G# &T(K" + _]%#! ^(KU!" m P 8-23 (8-23/6 )

A corda da Fig. 8-31 temVMQ(*" cm de comprimento e a distˆancia‘ at´e o pino fixo¤ ´e de  cm. Quando a bola ´e liberada em repouso na posic¸˜ao indicada na fi-gura, descreve a trajet´oria indicada pela linha tracejada.

Qual ´e a velocidade da bola (a) quando est´a passando pelo ponto mais baixo da trajet´oria e (b) quando chega ao ponto mais alto da trajet´oria depois que a corda toca o pino?

Chame de¥ o ponto mais baixo que a bola atinge e de ¦ o ponto mais alto da trajet´oria ap´os a bola to-car no pino. Escolha um sistemas de coordenada com o eixoZ originando-se no ponto¥ e apontando para ci-ma. A energia inicial da bola de massa 7 no campo gravitacional da Terra antes de ser solta vale’

7:9GV . Conservac¸˜ao da energia fornece-nos ent˜ao uma equac¸˜ao para a velocidade> da bola em qualquer lugar especifi-cado pela coordenadaZ :

’ =709GVu (  7:>  3 7:9Z (a) ComZ§ls" em709GVM {  7:> § 3 7:9Z§ , obtemos facilmente que > §  A 9GVŒ A  ]%5#ES(!!1RY# m/s (b) Importante aqui ´e perceber que o tal ponto mais alto

da trajet´oria depois que a corda toca o pino n˜ao ´e o

pon-toV t'‘ (como a figura parece querer indicar) mas sim o pontoZ¨l$V@t@‘, pois a bola tem energia suficiente para chegar at´e ele! ´E neste detalhezito que mora o pe-rigo... :-) SubstituindoZ¨ em7:9Vl {  7:> ¨ 3 7:9Z!¨ , obtemos ent˜ao facilmente que

> ¨  A 9© ‘DtTVpª A  %#!Ec "«!|tM(  d  Y m/s

Qual a raz˜ao deste ´ultimo valor ser a metade do ante-rior?...

P 8-25 (8-25/6 )

Deixa-se cair um bloco de kg de uma altura deY!" cm sobre uma mola cuja constante ´ef(*%U" N/m (Fig. 8-32). Determine a compress˜ao m´axima da mola.

Seja7 a massa do bloco, O a altura da queda e a compress˜ao da mola. Tome o zero da energia potencial como sendo a posic¸˜ao inicial do bloco. O bloco cai uma distˆanciaO 3  e sua energia potencial gravitacional final ´e tz709© O 3 . Valores positivos de indicam ter ha-vido compress˜ao da mola. A energia potencial da mola ´e inicialmente zero eC no final. A energia cin´etica ´e zero tanto no in´ıcio quanto no fim. Como a energia ´e conservada, temos "6^tz709©¬ 3  3 (    

As soluc¸˜oes desta equac¸˜ao quadr´atica s˜ao   7:9?­ A 709  3 C7:9GO   (*%Uz­ A S(K%5U  3 L(K%U!]_#Y (K%!U"

que fornece dois valores para : "5o(*" m outv""#!" m. Como procuramos uma compress˜ao, o valor desejado ´e "H(K" m.

P 8-27 (8-27/6 )

Duas crianc¸as est˜ao competindo para ver quem conse-gue acertar numa pequena caixa com uma bola de gu-le disparada por uma espigarda de mola colocada sobre uma mesa. A distˆancia horizontal entre a borda da mesa e a caixa ´e de m (Fig. 8-34). Jo˜ao comprime a mola (H( cm e a bola cai! cm antes do alvo. De quando deve Maria comprimir a mola para acertar na caixa?

A distˆancia que a bola de gude viaja ´e determina-da pela sua velocidetermina-dade inicial, que ´e determinadetermina-da pela compress˜ao da mola.

SejaO a altura da mesa e a distˆancia horizontal at´e o ponto onde a bola de gude aterrisa. Ent˜ao“m> š*® e Om9

®

K , onde>Cš ´e a velocidade inicial da bola de gude e® ´e o tempo que ela permanece no ar. A segunda equac¸˜ao fornece

® 

A

!O9 de modo que @š

A

O*9

A distˆancia at´e o ponto de aterrisagem ´e diretamente proporcional `a velocidade inicial poisQ[>Cš ® . Seja >Cš

{

a velocidade inicial do primeiro tiro e

{

a distˆancia horizontal at´e seu ponto de aterrisagem; seja>Cš



a velo-cidade inicial do segundo tiro e



a distˆancia horizontal at´e seu ponto de aterrisagem. Ent˜ao

> š      { > š { 

Quando a mola ´e comprimida a energia potencial ´e }]C¯ , onde} ´e a compress˜ao. Quando a bola de gude perde contato da mola a energia potencial ´e zero e sua energia cin´etica ´e7@>

š

 . Como a energia mecˆanica ´e conservada, temos (  7@>  š  (  }  g

de modo que a velocidade inicial da bola de gude ´e dire-tamente proporcional `a compress˜ao original da mola. Se

}

{

for a compress˜ao do primeiro tiro e}

 a do segundo, ent˜ao> š  °±}  *} { S> š {

. Combinando isto com o resul-tado anterior encontramos}

 [   { } { . Tomando agora  { ²" tM"5)[(%I m, } { [(H(K" cm, e   $ m, encontramos a compress˜ao}  desejada: }   ” " m (!%!I m • S(!o(*" cmf(  cm P 8-31 (8-26/6 )

Tarzan, que pesa U!## N, decide usar um cip´o de (K# m de comprimento para atravessar um abismo (Fig. 8-36). Do ponto de partida at´e o ponto mais baixo da trajet´oria, desce I5 m. O cip´o ´e capaz de resitir a uma forc¸a m´axima de%!" N. Tarzan consegue chegar ao outro la-do?

Chamando de7 a massa do Tarzan e de> a sua ve-locidade no ponto mais baixo temos que

(



7@>



7:9GO\g

onde O ´e a altura que Tarzan desce. Desta express˜ao tiramos que

>  =C9GO.9©I5!F$UY9

Por outro lado, no ponto mais baixo temos, da segunda lei de Newton, que a forc¸a centr´ıpeta est´a relacionada com a tens˜ao no cip´o atrav´es da equac¸˜ao

³

tT7:9 7 > 

´g

onde´

´e o raio da trajet´oria. Portanto, temos que

³ R709 3 7 > ´  7:9 3 U5Y!709 ´  U#!# ” ( 3 U5Y (K# •  %IGU N Como ³`µ

%" N, vemos que Tarzan consegue atra-vessar, por´em estirando o cip´o muito perto do limite m´aximo que ele ag¨uenta!

P 8-32 (8-29/6 )

Na Fig. 8-31 mostre que se a bola fizer uma volta com-pleta em torno do pino, ent˜ao ‘$¶mI!Vp . (Sugest˜ao: A bola ainda deve estar se movendo quando chegar ao ponto mais alto da trajet´oria. Vocˆe saberia explicar por quˆe?)

Antes de mais nada, este problema ´e uma continuac¸˜ao do problema 8-23. Releia-o antes de continuar.

Use conservac¸˜ao da energia. A energia mecˆanica deve ser a mesma no topo da oscilac¸˜ao quanto o era no in´ıcio do movimento. A segunda lei de Newton fornece a ve-locidade (energia cin´etica) no topo. No topo a tens˜ao

³

na corda e a forc¸a da gravidade apontam ambas para baixo, em direc¸˜ao ao centro do c´ırculo. Note que o raio do c´ırculo ´e;D$VTtT‘ , de modo que temos

³ 3 7:9 R7 >  VŒtT‘ g

onde> ´e a velocidade e7 ´e a massa da bola. Quan-do a bola passa pelo ponto mais alto (com a menor velocidade poss´ıvel) a tens˜ao ´e zero. Portanto, 7:9M 7@>  G V)tŒ‘ e temos que>' A 9©VŒtŒ‘ .

Tome o zero da energia potencial gravitacional como sendo no ponto mais baixo da oscilac¸˜ao. Ent˜ao a ener-gia potencial inicial ´e7:9V . A energia cin´etica inicial ´e" pois a bola parte do repouso. A energia potencial final, no topo da oscilac¸˜ao, ´e7:9G5Vt‘ e a energia cin´etica final ´e7@>*6=7:9 VŒtŒ‘h . O princ´ıpio da conservac¸˜ao da energia fornece-nos

709GVuR7:9G5VTtŒ‘ 3

(



7:9 VŒtT‘e

Desta express˜ao obtemos sem problemas que ‘q +· Vv

Se‘ for maior do queI!Vp , de modo que o ponto mais alto da trajet´oria fica mais abaixo, ent˜ao a velocidade da bola ´e maior ao alcanc¸ar tal ponto e pode ultrapassa-lo. Se‘ for menor a bola n˜ao pode dar a volta. Portanto o valorIVƒ ´e um limite mais baixo.

P 8-35¸ (8-33¸ /6 )

Uma corrente ´e mantida sobre uma mesa sem atrito com um quarto de seu comprimento pendurado para fora da mesa, como na Fig. 8-37. Se a corrente tem um com-primentoV e uma massa7 , qual o trabalho necess´ario para pux´a-la totalmente para cima da mesa?

O trabalho necess´ario ´e igual `a variac¸˜ao da energia potencial gravitacional a medida que a corrente ´e pu-xada para cima da mesa. Considere a energia poten-cial como sendo zero quando toda a corrente estiver sobre a mesa. Divida a parte pendurada da corrente num n´umero grande de segmentos infinitesimais, ca-da um com comprimento‘Z . A massa de um tal seg-mento ´e _¹=CVºL‘Z e a energia potencial do segmen-to a uma distˆanciaZ abaixo do topo da mesa ´e‘G[

t67»Vº¼9Z6‘!Z . A energia potencial total ´e

sft 7 V 9v½u¾5¿ ‚ š ZG‘!Z  t (  7 V 9 ” V Y •   t ( I! 709GVv

O trabalho necess´ario para puxar a corrente para cima da mesa ´e, portanto,t˜=7:9VƒCI! .

P 8-37¸ (8-35¸/6  )

Um menino est´a sentado no alto de um monte he-misf´erico de gelo (iglu!) (Fig. 8-39). Ele recebe um pequen´ıssimo empurr˜ao e comec¸a a escorregar para bai-xo. Mostre que, se o atrito com o gelo puder ser des-prezado, ele perde o contato com o gelo num ponto cuja altura ´e 

´

I . (Sugest˜ao: A forc¸a normal desaparece no momento em que o menino perde o contato como o gelo.)

Chame deÀ a forc¸a normal exercida pelo gelo no menino e desenhe o diagrama de forc¸as que atuam no menino. Chamando de ¢ o ˆangulo entre a vertical e o raio que passa pela posic¸˜ao do menino temos que a forc¸a que aponta radialmente para dentro ´e7:9p›]œ!G¢2tÀ que, de acordo com a segunda lei de Newton, deve ser igual a forc¸a centr´ıpeta7@>*

´

, onde> ´e a velocidade do me-nino. No ponto em que o menino se desprende do gelo temosÀmR" , de modo que

9ƒ›EœG¢‡ > ´=

Precisamos agora determinar a velocidade> . Tomando a energia potencial como zero quando o menino est´a no topo do iglu, teremos para¢! a express˜ao

 ¢ftz7:9

´

L(ƒtT›]œ!G¢!E

O menino inicia seu movimeno do repouso e sua energia cin´etica na hora que se desprende vale7:>* . Portan-to, a conservac¸˜ao da energia nos fornece" 7:>Cjt 7:9 ´ L(ƒtT›]œ!G¢! , ou seja, >  9 ´ S(ƒtT›]œ!G¢e

Substituindo este resultado na express˜ao acima, obtida da forc¸a centr´ıpeta, temos

9º›EœG¢‡$C9L(ƒtT›]œ!G¢!Eg

ou, em outras palavras, que

›EœG¢‡



I

A altura do menino acima do plano horizontal quando se desprende ´e ´ ›]œ!G¢‡  I ´ 

8.1.2 Usando a Curva de Energia Potencial

P 8-39 (8-37/6 )

A energia potencial de uma mol´ecula diatˆomica (H



ou O



, por exemplo) ´e dada por “ ¥ ; {  t ¦ ;CÁ

onde ; ´e a distˆancia entre os ´atomos que formam a mol´ecula e¥ e¦ s˜ao constantes positivas. Esta energia potencial se deve `a forc¸a que mant´em os ´atomos unidos. (a) Calcule a distˆancia de equil´ıbrio, isto ´e, a distˆancia entre os ´atomos para a qual a forc¸a a que est˜ao subme-tidos ´e zero. Verifique se a forc¸a ´e repulsiva (os ´atomos tendem a se separar) ou atrativa (os ´atomos tendem a se aproximar) se a distˆancia entre eles ´e (b) menor e (c) maior do que a distˆancia de equil´ıbrio.

(a) A forc¸a ´e radial (ao longo a line que une os ´atomos) e ´e dada pela derivada de em relac¸˜ao a; :

€ ft ‘G ‘;  (*¥ ; { + t U!¦ ; 

A separac¸˜ao; š de equil´ıbrio ´e a separac¸˜ao para a qual temos

€

; š =" , ou seja, para a qual (¥MtTU!¦6;

Á

š

$"

Portanto a separac¸˜ao de equil´ıbrio ´e dada por

; š  ” ¥ ¦ • { ¿ Á f(!o( ” ¥ ¦ • { ¿ Á 

(b) A derivada da forc¸a em relac¸˜ao a; , computada na separac¸˜ao de equil´ıbrio vale

‘ € ‘!;  t (˜Ã(KI!¥ ; { ‚ š 3 Y¦ ;CĚ  t L(*U¥Mt)Y¦‡; Á J  ; { ‚ š  t ¥ ; { ‚ š g

onde usamos o fato que, do item anterior, sabemos que

;

Á

š

…¥?C¦ . A derivada ´e negativa, de modo que a forc¸a ´e positiva se; for um pouco menor que; š , indi-cando uma forc¸a de repuls˜ao.

(c) Se; for um pouco maior que; š a forc¸a ´e negativa, indicando que a forc¸a ´e de atrac¸˜ao.

8.1.3 Conservac¸˜ao da Energia

8.1.4 Trabalho Executado por Forc¸as de Atrito

E 8-45 (8-48/6 )

Aproximadamente:&M(K"

Á kg de ´agua caem por se-gundo nas cataratas de Ni´agara a partir de uma altura de " m. (a) Qual a energia potencial perdida por segun-do pela ´agua que cai? (b) Qual seria a potˆencia gerada por uma usina hidrel´etrica se toda a energia potencial da ´agua fosse convertida em energia el´etrica? (c) Se a companhia de energia el´etrica vendesse essa energia pe-lo prec¸o industrial de ( centavo de d´olar por quilowatt-hora, qual seria a sua receita anual?

(a) O decr´escimo na energia potencial gravitacional por segundo ´e

 G '&T(K"

Á

E%5#E_"!2$G«q&)(*"Å J (b) A potˆencia seria

¤f^_G«q&)(*" Å JEL( s= q&T(K" Å W (c) Como a energia total gerada em um ano ´e

’

$¤ ®    q&T(K" Á kW

EL( ano]#CU" h/ano  GY&)(*"

{

š

kWÃhg o custo anual seria

_GY&)(*" { š E ""(*2$GY&)(*" Ä d´olares g

ou seja,Y!" milh˜oes de d´olares.

E 8-50 (

na 6 )

Um menino de ( kg sobe, com velocidade constante, por uma corda deU m em (*" s. (a) Qual o aumento da energia potencial gravitacional do menino? (b) Qual a potˆencia desenvolvida pelo menino durante a subida?

(a)

r

“R7:9O.^_G(*]%5#EU1=I5" &T(K"!+ J (b) ¤s r  ®  I"!"" (*" RI!"" W

E 8-51 (

na 6 )

Uma mulher de kg sobe correndo um lance de escada deY5  m de altura emI5 s. Qual a potˆencia desenvol-vida pela mulher?

¤s  !E %#!]Y5  I  $U%!I W E 8-55 (
na 6 )

Um nadador se desloca na ´agua com uma velocidade m´edia de"  m/s. A forc¸a m´edia de arrasto que se op ˜oe a esse movimento ´e de((K" N. Qual a potˆencia m´edia de-senvolvida pelo nadador?

Para nada com velocidade constante o nadador tem que nadar contra a ´agua com uma forc¸a de (!(K" N. Em relac¸˜ao a ele, a ´agua passa a "5! m/s no sentido dos seus p´es, no mesmo sentido que sua forc¸a. Sua potˆencia ´e

¤fRÆMÃEÇ) €6È

^L((K"E " FCY W

E 8-64 (8-43/6 )

Um urso de  kg escorrega para baixo num troco de ´arvore a partir do repouso. O tronco tem ( m de al-tura e a velocidade do urso ao chegar ao ch˜ao ´e deGU m/s. (a) Qual a variac¸˜ao da energia potencial do urso? (b) Qual a energia cin´etica do urso no momento em que chega ao ch˜ao? (c) Qual a forc¸a m´edia de atrito que agiu sobre o urso durante a descida?

(a) Considere a energia potencial gravitacional inicial como sendo1-^" . Ent˜ao a energia potencial gravita-cional final ´e / ftz7:9GV , ondeV ´e o comprimento da ´arvore. A variac¸˜ao ´e, portanto,

2/?tu1-\^tz709GV  t6_]%5#ES(

 t4%Y'&T(K" + J (b) A energia cin´etica ´e

, (  7:>   (   !E_GU!  =I% J

(c) De acordo com a Eq. 8-26, a variac¸˜ao da energia mecˆanica ´e igual a t4ÉV , onde É ´e a forc¸a de atrito m´edia. Portanto É@ft r , 3 r  V “t I%˜tŒ%Y!" (* G(K" N P 8-66 (8-51/6 )

Um bloco de I  kg ´e empurrado a partir do repouso por uma mola comprimida cuja constante de mola ´eUY" N/m (Fig. 8-45). Depois que a mola se encontra total-mente relaxada, o bloco viaja por uma superf´ıcie hori-zontal com um coeficiente de atrito dinˆamico de "5! , percorrendo uma distˆancia de # m antes de parar. (a) Qual a energia mecˆanica dissipada pela forc¸a de atrito? (b) Qual a energia cin´etica m´axima possu´ıda pelo blo-co? (c) De quanto foi comprimida a mola antes que o bloco fosse liberado?

(a) A magnitude da forc¸a de fricc¸˜ao ´eÉ@RÊ\ËCÀ , onde Ê\Ë ´e o coeficiente de atrito dinˆamico eÀ ´e a forc¸a nor-mal da superf´ıcie sobre o bloco. As ´unicas forc¸as verti-cais atuantes no bloco s˜ao a forc¸a normal, para cima, e a forc¸a da gravidade, para baixo. Como a componente vertical da acelerac¸˜ao do bloco ´e zero, a segunda lei de Newton nos diz queÀmR709 , onde7 ´e a massa do blo-co. PortantoÉ~Ê Ë 7:9 . A energia mecˆanica dissipada ´e dada por r ’

ÌÉ}ÍÎÊ

Ë

709}, onde } ´e a distˆancia que o bloco anda antes de parar. Seu valor ´e

r ’

B"5!E I ]%#!]_G#P$UU5#!# J (b) O bloco tem sua energia cin´etica m´axima quando perde contato com a mola e entra na parte da superf´ıcie onde a fricc¸˜ao atua. A energia cin´etica m´axima ´e igual `a energia mecˆanica dissipada pela fricc¸˜ao:UU5#!# J. (c) A energia que aparece como energia cin´etica esta-va ariginalmente armazenada como energia potencial el´astica, da mola comprimida. Portanto r ’

†* , onde ´e a constante da mola e ´e a compress˜ao. Logo,

@ b  r ’   b 5U!U##! UY!" $"Y! mn=Y!U cm P 8-69 (8-55/6 )

Dois montes nevados tˆem altitudes de #" m e " m em relac¸˜ao ao vale que os separa (Fig. 8-47). Uma pis-ta de esqui vai do alto do monte maior at´e o alto do monte menor, passando pelo vale. O comprimento to-tal da pista ´e I  km e a inclinac¸˜ao m´edia ´e I"!J . (a) Um esquiador parte do repouso no alto do monte maior. Com que velovidade chegar´a ao alto do monte menor sem se impulsionar com os bast˜oes? Ignore o atrito. (b) Qual deve ser aproximadamente o coeficiente de atrito

dinˆamico entre a neve e os esquis para que o esquiador pare exatamente no alto do pico menor?

(a) Tome o zero da energia potencial gravitacional co-mo estando no vale entre os dois picos. Ent˜ao a energia potencial ´e - 7:9O -, onde7 ´e a massa do esquiador eO - ´e a altura do pico mais alto. A energia potencial final ´e / ^7:9O / , ondeO / ´e a altura do pico menor. Inicialmente o esquiador tem energia cin´etica, - †" . Escrevamos a energia cin´etica final como, / 7@>   , onde> ´e a velocidade do esquiador no topo do pico me-nor. A forc¸a normal da superf´ıcie dos montes sobre o esquiador n˜ao faz trabalho (pois ´e perpendicular ao mo-vimento) e o atrito ´e desprez´ıvel, de modo que a energia mecˆanica ´e conservada:2- 3 ,0-1°2/ 3 ,0/ , ou seja, 7:9GO-\R7:9O/ 3 7@> , donde tiramos >' ‰ C9_O5-tXO/! A 5%5#E#"jtu"1YY m s  (b) Como sabemos do estudo de objetos que deslizam em planos inclinados, a forc¸a normal da superf´ıcie in-clinada dos montes no esquiador ´e dada por À  7:9l›Eœ!¢ , onde¢ ´e o ˆangulo da superf´ıcie inclinada em relac¸˜ao `a horizontal,I"J para cada uma das superf´ıcies em quest˜ao. A magnitude da forc¸a de atrito ´e dada por É~Ê\ËCÀNÊ\Ë*7:9M›]œ!G¢ . A energia mecˆanica dissipa-da pela forc¸a de atrito ´eÉ}jsÊ\Ë7:9!}~›]œ!G¢ , onde} ´e o comprimento total do trajeto. Como o esquiador atinge o topo do monte mais baixo sem energia cin´etica, a ener-gia mecˆanica dissipada pelo atrito ´e igual `a diferenc¸a de energia potencial entre os pontos inicial e final da tra-jet´oria. Ou seja,

Ê\Ë*7:9}:›EœG¢q7:9_O - tŒO / Eg

donde tiramosÊ Ë : Ê Ë  O-©tŒO/ }@›]œ!G¢  #!"˜tu" I5'&T(K" + '›Eœ'I!" J $""IU5 P 8-74 (
na 6 )

Uma determinada mola n˜ao obedece `a lei de Hooke. A forc¸a (em newtons) que ela exerce quando distendida de uma distˆancia (em metros) ´e deG# 3 I!#Y  , no sentido oposto ao da distens˜ao. (a) Calcule o traba-lho necess´ario para distender a mola deu†"5 m at´e ^`(!" m. (b) Com uma das extremidades da mola mantida fixa, uma part´ıcula de GH( kg ´e presa `a ou-tra extremidade e a mola ´e distendida de uma distˆancia

l²(" . Em seguida, a part´ıcula ´e liberada sem velo-cidade inicial. Calcule sua velovelo-cidade no instante em que a distens˜ao da mola diminuiu para w"5 m. (c) A forc¸a exercida pela mola ´e conservativa ou n˜ao-conservativa? Explique sua resposta.

(a) Para distender a mola aplica-se uma forc¸a, igual em magnitude `a forc¸a da mola por´em no sentido oposto. Como a uma distens˜ao no sentido positivo de  exerce uma forc¸a no sentido negativo de , a forc¸a aplicada tem que ser

€

BG# 3 I#Y , no sentido positivo de . O trabalho que ela realiza ´e

Ï  ½ {eÐ š š Ð ·  !G# 3 I#5Y!  L‘  Ž !G#    3 I#5Y I +  {eÐ š š Ð · =I5(" J (b) A mola faz I( J de trabalho e este deve ser o au-mento da energia cin´etica da part´ıcula. Sua velocidade ´e ent˜ao >' b , 7  b 5I5("! GH( =I m/s

(c) A forc¸a ´e conservativa pois o trabalho que ela faz quando a part´ıcula vai de um ponto

{

para outro pon-to  depende apenas de  { e 

, n˜ao dos detalhes do movimento entre { e  . P 8-79 (8-61/6 )

Uma pedra de pesoÑ ´e jogada verticalmente para cima com velocidade inicial>Cš . Se uma forc¸a constanteÉ de-vido `a resistˆencia do ar age sobre a pedra durante todo o percurso, (a) mostre que a altura m´axima atingida pela pedra ´e dada por

O0

>

š

C9L( 3 É|Cј



(b) Mostre que a velocidade da pedra ao chegar ao solo ´e dada por

> R>Cš ” Ñ=tXÉ Ñ 3 É • { ¿  

(a) Seja O a altura m´axima alcanc¸ada. A energia mecˆanica dissipada no ar quando a pedra sobe at´e a altu-raO ´e, de acordo com a Eq. 8-26,

r ’ ^t4É©O . Sabemos que r ’ B,0/ 3 2/Pt,.- 3 1-eg

onde,.- e,0/ s˜ao as energias cin´eticas inicial e final, e 1- e2/ s˜ao as energias poetenciais inicial e final. Esco-lha a energia como sendo zero no ponto de lanc¸amento da pedra. A energia cin´etica inicial ´e,.-˜Ò7@>

š

 , a energia potencial inicial ´e - “" , a energia cin´etica fi-nal ´e, / 8" e a energia potencial final ´e / ÎјO . Portantot4É©O:јO.t)7@>  J  , donde tiramos O0 7@> š Ñ 3 É©  Ñv> š 9©Ñ 3 É©  > š C9L( 3 É|Ñj g

onde substituimos7 porÑ?*9 e dividimos numerador e denominador porÑ .

(b) Note que a forc¸a do ar ´e para baixo quando a pe-dra sobe e para cima quando ela desce. Ela ´e sempre oposta ao sentido da velocidade. A energia dissipada durante o trajeto no ar todo ´e

r ’

Ót4!É©O . A ener-gia cin´etica final ´e, / B7@>C , onde> ´e a velocida-de da pedra no instante que antecevelocida-de sua colis˜ao com o solo. A energia potencial final ´e  / ²" . Portanto t4É©O.=7@>5tv7:>š  . Substituindo nesta express˜ao a express˜ao encontrada acima paraO temos

t É> š C9L( 3 É|Cј  (  7:>  t (  7@>  š 

Deste resultado obtemos

>  =>  š t É> š 7:9L( 3 É|Cј  >  š t É> š чS( 3 É|Cј  >  š ” (zt !É Ñ 3 É •  >  š ” ÑRtXÉ Ñ 3 É •Fg

de onde obtemos o resultado final procurado:

>'=> š ” ÑRtXÉ Ñ 3 É • { ¿  

Perceba que para ÉRÎ" ambos resultados reduzem-se ao que j´a conheciamos, como n˜ao podeia deixar de ser.

8.1.5 Massa e Energia

E 8-92 (

na 6 )

(a) Qual a energia em Joules equivalente a uma massa de (*"! g? (b) Durante quantos anos esta energia aten-deria `as necessidades de uma fam´ılia que consome em m´edia( kW?

(a) Usamos a f´ormula’

R7ÍÔE : ’ f "H(K"!!E_G%%#q&T(K" Ä   =%H(‡&)(*" { · J (b) Usamos agora’ R¤ ®, onde

¤ ´e a taxa de consumo de energia e® ´e o tempo. Portanto,

®  ’ ¤  %H(‡&T(K" { · (D&)(*" +  %H(‡&T(K" {  segundos  G%(?&T(K" · anos! P 8-96 (
na 6 )

Os Estados Unidos produziram cerca de GI(@&(*"

{



kWÃh de energia el´etrica em 1983. Qual a massa equi-valente a esta energia?

Para determinar tal massa, usamos a relac¸˜ao ’



7ÍÔE , ondeԇB%!%#&l(K" Ä m/s ´e a velocidade da luz. Primeiro precisamos converter kWÃh para Joules:

I5(˜&T(K" {  kW Ãh  GI(?&T(K" {  S(K" + WE IU"!" s  #I!q&T(K" { Ä J  Portanto 78 ’ Ô   #5I‡&T(K" { Ä _G%%#q&T(K" Ä   $%! kg