castanhaecastroparte2

Problemas de Capacidade

_{Problemas de Capacidade}

UNIDADE

Objetivo

Aqui, na Unidade 3, trataremos dos Problemas de Capacidade. De forma

simplificada, apresentaremos a seguir problemas em que temos que tomar

decisões de otimização considerando fluxos e suas limitações: as

Restrições de Capacidade. Novamente abordaremos algumas aplicações e

demonstraremos as suas respectivas Modelagens. Algumas atividades

serão sugeridas ao longo do texto aguardando por sua análise.

Produção de Laticínios

Diferenciando-se das demais aplicações vistas até o momento neste material, apresentamos aqui os Problemas de Capacidade. As Modelagens são exemplificadas a partir de uma situação clássica para o Administrador: unidades de produção consomem e/ou fornecem insumos caracterizando um fluxo de materiais com quantidades e cus-tos ou valores definidos.

Vejamos a seguir o exemplo de produção de leite em pó e queijo em uma indústria de laticínios.

Vamos imaginar que uma indústria de laticínios produza leite em pó e queijo, num processo como o demonstrado na figura a seguir. O laticínio recebe, de fornecedores externos, 10.000 litros por dia de leite cru. A produção de cada quilo de leite em pó requer 5 litros de leite fresco. Para o queijo, são necessários 10 litros de leite in natura para cada quilo produzido. Por questões relacionadas à capacidade de alguns dispositivos de produção, a quantidade de leite cru processada na fabricação de leite em pó não pode ser maior do que 6000 litros por dia e, pelo mesmo motivo, a de queijo não pode ultrapassar o valor de 7500 litros. Em termos de preço de venda, o leite em pó é vendido a R$ 20,00 kg e o queijo, a R$ 15,00 kg. Perguntamos: qual a receita máxima que pode ser obtida pelo laticínio?

Figura 33: Esquema do Problema de Produção de Laticínios

Em termos de formulação matemática, as Restrições tomam a forma das seguintes inequações:

x₁ – x₂ – x₃ = 0: identifica que todo leite cru recebido (x₁) ou é destinado à fabricação de leite em pó (x₂) ou destinado à fabricação de queijo (x₃). Assim, x₁ = x₂ + x₃

x₃ – 10x₅ = 0: para cada quilo de queijo (x₅) produzido são necessários 10 litros de leite pasteurizado (x₃). Então, entrando com 10 litros de leite pasteurizado (x₃=10), temos 1 quilo de queijo (x₅=1). Para que a igualdade se satisfaça é necessário x₃ = 10 x5.

x₂ – 5x₄ = 0: idem para a produção de leite em pó.

5x₄ + 10x₅ – x₁ = 0: como x₁ = x₂ + x₃, e x₃ = 10 x₅ e x₂ = 5x₄, substituindo na primeira Restrição, obtemos este resultado. As outras Restrições são de Capacidade e não-negatividade:

x₂ 6000 x₃ 7500 x₄ ! 0 x₅ ! 0 x₁ = 10000

Assim, de maneira simplificada, escrevemos: x₁ – x₂ – x₃ = 0 5 x₄ + 10 x₅ – x₁ = 0 x₃ – 10 x₅ = 0 x₂ – 5 x₄ = 0 x₂ 6000 x₃ 7500 x₄ ! 0 x₅ ! 0 x₁ = 10000

A Função-Objetivo, nesse problema, é representada pela quan-tidade de cada produto (leite em pó e queijo) multiplicada pelo seu valor de venda. Assim:

z = 20 x₄ + 15 x₅

Resumindo, a Forma Canônica do novo problema é descrita como: Encontrar: z, x₄ , x₅ Maximizar: z = 20x₄ + 15x₅ Restrito a: x₁ – x₂ – x₃ = 0 5x₄ + 10x₅ – x₁ = 0 x₂ – 5 x₄ = 0 x₃ – 10 x₅ = 0 x₁ = 10000 x₂ 6000 x₃ 7500 x₄ ! 0 x₅ ! 0

Solucionando o Problema de

Produção de Laticínios com o

Uso da Planilha Eletrônica

Com as fórmulas descritas anteriormente, podemos construir nossa planilha eletrônica. A Figura 34 mostra um exemplo de como ela pode ser elaborada.

Figura 34: Planilha para resolução do Problema de Produção de Laticínios

Fonte: elaborada pelos autores

O aspecto geral da planilha continua parecido com os dos pro-blemas vistos nos capítulos anteriores. A célula D2 permanece como a escolhida para conter a Função-Objetivo do problema. Os dados co-nhecidos do problema, neste caso, os preços de venda dos dois produ-tos (leite em pó e queijo), são inseridos nas células D6 e D7.

Para as Variáveis de Decisão (x₁, x₂, x₃, x₄ e x₅) foram reserva-das, respectivamente, as células do bloco que vai de (D10 a D14). Os coeficientes das Restrições ficam no bloco que vai de E10 (limite su-perior esquerdo) a K14 (limite inferior direito). O lado esquerdo das Restrições, na linha “16”, entre as células (E16 a K16) e, o lado

direi-to das Restrições, de (E18 a K18). Veja abaixo os conteúdos (valores e fórmulas) que devem ser digitados nas principais células:

D2 "#=(D6*D13)+(D7*D14) D6 "#20

D7 " 15 D10 a D14 " 0

E16 " =(E10*$D$10) + (E11*$D$11) + (E12*$D$12) + (E13*$D$13) + (E14*$D$14) F16 " =(F10*$D$10) + (F11*$D$11) + (F12*$D$12) + (F13*$D$13) + (F14*$D$14) G16 " =(G10*$D$10) + (G11*$D$11) + (G12*$D$12) + (G13*$D$13) + (G14*$D$14) H16 " =(H10*$D$10) + (H11*$D$11) + (H12*$D$12) + (H13*$D$13) + (H14*$D$14)

I16 " =(I10*$D$10) + (I11*$D$11) + (I12*$D$12) + (I13*$D$13) + (I14*$D$14) J16 " =(J10*$D$10) + (J11*$D$11) + (J12*$D$12) + (J13*$D$13) + (J14*$D$14) K16 " =(K10*$D$10) + (K11*$D$11) + (K12*$D$12) + (K13*$D$13) + (K14*$D$14) E18 " 0 F18 " 0 G18 " 0 H18 " 0 I18 " 10000 J18 " 6000 K18 " 7500

O espaço reservado para os coeficientes segue a lógica de cada Restrição. Vejamos o exemplo da figura a seguir. Para a segunda Res-trição, usamos a segunda coluna não hachurada. Veja que a primeira

linha na Figura 35 está associada à variável x1. Assim, seu coeficiente é “–1”. O mesmo é feito com as outras variáveis.

Em seguida ao preenchimento das células da planilha, você pode passar à entrada de dados no Solver do Excel. Não há diferenças em relação aos exercícios que você já solucionou nos capítulos I e II. Veja na Figura 36 o aspecto da tela de entrada de dados do Solver:

Figura 35: Esquema de entrada das Restrições do Problema de Produ-ção de Laticínios

Fonte: elaborada pelos autores

Figura 36: Tela do Solver para o Problema de Produção de Laticínios

Tome cuidado para não confundir o tipo de otimização deseja-da. Nesse caso, maximizar a solução. Assim, selecione a opção cor-respondente. Outra consideração importante é que temos dois tipos de Restrições neste problema. As quatro Restrições mais à esquerda são equações de igualdade e as outras três mais à direita são inequações do tipo “ ”. Desta forma, duas linhas distintas de Restrições têm de ser inseridas no espaço correspondente da tela de Parâmetros.

Isso é tudo o que é necessário para podermos calcular a Solução Ótima. Clique no botão resolver e o Excel calculará para você os re-sultados. Aceite-os e retorne para a planilha. Veja na Figura 37 o as-pecto final da mesma, após a execução do Solver:

Figura 37: Planilha final resolvida para o Problema de Produção de Laticínios

Fonte: elaborada pelos autores

Os valores resultantes são fáceis de serem percebidos. A receita máxima que pode ser obtida segundo as Restrições utilizadas é de R$ 30.000,00. Isto corresponde a uma produção diária de 1200 kg de leite em pó e 400 kg de queijo.

Análises mais sofisti-cadas realizam o aumento gradativo de uma variável através da simulação. O valor é aumentado gradativamente em um número de iterações pré-determinado. Observa-se então o resultado frente a esta variação.

Vale a pena observar que pelos resultados podemos determinar qual setor do laticínio está mais sobrecarregado: o da produção de leite em pó. Veja na célula J16 que o valor de x₂ (capacidade máxima de leite cru que pode ser processada) se encontra no limite. Isto pode ser explicado, em parte, pelo maior valor de venda deste produto, que cria uma tendência de privilegiar sua produção.

Atividade de aprendizagem: problema sugerido

4. Na resolução do problema anterior, você verificou que o proces-so de produção de leite em pó é o que está sendo utilizado com sua capacidade máxima. Perguntamos: qual o preço do quilograma de queijo que faria o balanceamento da produção pender para a utili-zação máxima do processo de fabricação de queijo? E qual seria a receita obtida nesta situação?

Resolução

Aumentando gradativamente o valor do kg de queijo na célula D7 e recalculando, a cada nova inserção, a otimização com o Solver. Observe os quantitativos processados nas células J16 e K16. Quan-do o conteúQuan-do destas células se modificar, você terá encontraQuan-do a solução.

5. Ainda considerando o mesmo problema , o que aconteceria se o preço de venda do quilograma de leite em pó baixasse de R$ 20,00 para R$ 10,00 o kg, e o de queijo permanecesse em R$ 15,00 o kg? Haveria alguma modificação na estratégia de produção dos dois itens?

Problema de Produção de Vidros

A empresa BestGlass S.A. tem capacidade para produzir três tipos de vidros planos. Um primeiro tipo comum de superfície lisa, um segundo tipo comum de superfície texturizada e, um terceiro tipo, temperado e de superfície lisa. Veja na Figura 38 o fluxo de produção da empresa, com os processos envolvidos na fabricação dos diversos vidros.

Figura 38: Fluxo de produção da empresa BestGlass

Fonte: elaborada pelos autores

Cada um dos processos possui uma determinada capacidade, conforme discriminado a seguir:

mistura para produção de liso: 50 toneladas/mês mistura para produção de texturado: 60 toneladas/mês liso para vidro comum: 50 toneladas/mês

liso para vidro temperado: 70 toneladas/mês textura: 45 toneladas/mês

têmpera: 35 toneladas/mês

Os preços de venda são R$ 5.000,00 por tonelada para os vidros comuns e R$ 7.200,00 por tonelada para o vidro temperado. Pergun-tamos: qual a receita máxima que pode ser obtida com a venda dos três tipos de vidro?

A Modelagem do problema é semelhante a do exemplo anterior. Repare, entretanto, que considerando que não há perdas no fluxo

pro-Discuta essa questão com seu tutor.

dutivo, o quantitativo total deve permanecer constante. Desta for-ma, as Restrições associadas ao fluxo são modeladas como igualdades.

x₁ – x₂ – x₃ = 0 "#mistura

x₅ + x₆ + x₇ – x₁ = 0 "#ton. produzidas = ton. insumos x₂ – x₅ – x₄ = 0 "#liso x₄ – x₇ = 0 "#temperado x₃ – x₆ = 0 "#texturado x₂ 50 x₃ 60 x₄ 70 x₅ 50 x₆ 45 x₇ 35

A Função-Objetivo, por sua vez, é maximizar a receita total da empresa. Repare que os preços de venda dos dois tipos de vidro são diferentes. O vidro comum (x₅ quando liso e x₆ quando texturado) é multiplicado por 5000, que é seu preço de venda. Por sua vez, o vidro temperado (x₇) é multiplicado por 7200:

Solucionando o Problema de Produção

de Vidros com o uso do

Excel

O aspecto da planilha que você deve elaborar para o Problema da Produção de Vidros é idêntico ao do problema de Produção de Laticíni-os. Na realidade, as únicas modificações em relação à outra planilha é o acréscimo de mais duas Variáveis de Decisão (x₆ e x₇) e mais quatro Restrições. Além, é claro, das modificações nas fórmulas e valores con-tidos nas células. Desta forma, você pode iniciar a construção da nova planilha aproveitando e modificando a do exercício anterior.

Comece por inserir duas linhas em branco entre o bloco reserva-do para os coeficientes e o bloco das Restrições na planilha de produ-ção de laticínios, conforme pode ser visto na Figura 39. Isto abrirá espaço para as novas Variáveis de Decisão. Depois, copie toda a linha “13” e “14” e cole nas linhas “15” e “16”. Modifique o conteúdo das células C15 e C16 para x6 e x7, e pronto!

Figura 39: Inserindo linhas na planilha

O próximo passo é copiar o bloco que vai de (H10 a K20) para (L10 a O20). Isto criará a região para as quatro novas Restrições.

Agora salve este arquivo com o nome de vidros.xls. Para isso, use a função “Salvar Como” do Excel.

Vejamos agora em detalhes as outras modificações que deverão ser realizadas na planilha.

A célula D2, como sempre, vai conter a Função-Objetivo do problema. Neste caso, os preços de venda por tonelada dos vidros comum e temperado (células D6 e D7) multiplicados pelos quantitati-vos de cada um deles, (células D14 + D15) para os vidros comuns e D16 para o vidro temperado. Assim, insira em D2:

=(D6*(D14+D15))+(D7*D16)

As Variáveis de Decisão (x1 a x7) estão nas células (D10 a D16). Inicialmente, como de costume, insira o valor zero. Como você já sabe, estas células terão seus valores modificados pelo Solver do Excel. Modifique o conteúdo de D6 e D7 para conter os valores 5000,00 e 7200,00 respectivamente.

Figura 40: Copiando um bloco de células na planilha

Os coeficientes das Restrições ficam no bloco que vai de E10 (limite superior esquerdo) a O16 (limite inferior direito). Insira, para cada Restrição, os novos coeficientes. Note que para este problema todos são valores “1” ou “–1”.

Novamente, como no exemplo do problema da produção de la-ticínios, o lado esquerdo das Restrições estará contido agora na linha “18”, entre as células (E18 a O18), e o lado direito das Restrições na linha “20”, de (E20 a O20). Os conteúdos (valores e fórmulas) que deverão ser digitados nestas duas linhas são praticamente os mesmos do exercício anterior. Apenas se acrescentarão às fórmulas os cálculos referentes às novas Variáveis de Decisão. Veja por exemplo a fórmula para a primeira Restrição, que será digitada na célula E18:

E18 " =(E10*$D$10) + (E11*$D$11) + (E12*$D$12) + (E13*$D$13) + (E14*$D$14) + (E15*$D$15) + (E16*$D$16)

O trecho em negrito acima especifica o que existe de diferente entre a nova fórmula e a fórmula correspondente do Problema de La-ticínio. Para todas as outras Restrições, a modificação é semelhante. Assim, copiando a equação e colando nas células (F18 a O18), obte-mos:

F18 " =(F10*$D$10) + (F11*$D$11) + (F12*$D$12) + (F13*$D$13) + (F14*$D$14) + (F15*$D$15) + (F16*$D$16)

O18 " =(O10*$D$10) + (O11*$D$11) + (O12*$D$12) + (O13*$D$13) + (O14*$D$14) + (O15*$D$15) + (O16*$D$16)

Finalmente, para o lado direito das Restrições, entre com os va-lores correspondentes nas células (E20 a O20):

0; 0; 0; 0; 0; 50; 60; 70; 50; 45; 35;

Modifique ainda o sinal de cada uma das Restrições, de acordo com as fórmulas do problema. Veja agora na Figura 41 o aspecto da

planilha finalizada. Não é exatamente igual a do exercício anterior? Apenas acrescida de mais duas Variáveis de Decisão e mais quatro Restrições?

Figura 41: A planilha para resolução do Problema de Produção de Vidros

Fonte: elaborada pelos autores

Neste ponto você já pode passar à entrada de dados no Solver do

Excel. É tudo exatamente igual ao da planilha dos laticínios que deu origem a esta nova. Assim, basta modificar as regiões de Células Vari-áveis e das Restrições e executar os cálculos. Veja na Figura 42 a tela de Parâmetros do Solver. Clique no botão Resolver e o Excel calcula-rá os resultados.

Figura 42: Tela do Solver para o Problema de Produção de Vidros

Se você seguiu todos os passos corretamente, sua planilha deve-rá estar idêntica a da Figura 43 a seguir. A Solução Ótima indica que a receita máxima que pode ser obtida é de R$ 552.000,00. Veja na planilha que o Total Ótimo de produção de cada tipo de vidro está apresentado nas células das Variáveis de Decisão:

X₅ $ vidro liso comum $ célula D14 = 15 toneladas X₆ $ vidro texturado comum $ célula D15 = 45 toneladas X₇ $ vidro temperado $ célula D16 = 35 toneladas

Figura 43: A planilha resolvida para o Problema de Produção de Vidros

RESUMO

Nesta Unidade, estudamos os chamados Problemas de Capacidade. Este tipo de problema trata de situações em que temos que tomar decisões de otimização considerando fluxos e suas limitações: as Restrições de Capacidade.

Iniciamos os exemplos com um caso de produção de la-ticínios. Modelamos uma situação clássica para o Administra-dor: unidades de produção que consomem e/ou fornecem insumos caracterizando um fluxo de materiais com quantida-des e custos ou valores definidos. Novamente enfatizamos as aplicações práticas e suas resoluções através de planilhas ele-trônicas. Assim, repetindo a metodologia anterior, seguimos os passos da Modelagem do problema, a construção da planilha e a sequência de comandos para a obtenção da Solu-ção Ótima no Solver.

Como segunda aplicação nesta Unidade, sugerimos para estudo outro problema, o da produção de vidros. Mais uma vez, todas as etapas foram bastante similares, no seu aspecto geral, precisando apenas que você ficasse atento às particula-ridades de cada situação.

Não se esquecendo do valor da prática no aprendizado, propusemos novamente outras atividades, que esperamos te-nham lhe rendido boas horas de estudo.

Atividades de aprendizagem

6. Considerando o Problema de Produção de Vidro estudado ante-riormente inverta os valores dos custos por tonelada do vidro co-mum e do vidro temperado, monte matematicamente o problema e

Problemas de Transportes

_{Problemas de Transportes}

UNIDADE

Objetivo

Nesta Unidade, vamos conhecer os Problemas de Transporte. O nome

desta classe de problemas deve sua origem à utilização da Pesquisa

Operacional para encontrar o menor custo de transporte na distribuição

de cargas entre centros produtores e consumidores. Seguindo a

orientação adotada neste material, convidamos você a estudar aplicações

Problemas de Transporte

Um típico Problema de Transporte trata do transporte de alguma carga – um produto, um material ou insumo, por exemplo – de diver-sas fontes até um conjunto de destinos, procurando minimizar custo ou maximizar lucro ou receita, respeitando as capacidades de forneci-mento das fontes e de absorção dos destinos.

Exemplificando, este é o problema de uma empresa que conta com certo número de fábricas espalhadas em um território – cada qual com uma determinada capacidade de produção – e precisa satisfazer a demanda de diversos centros de consumo - com necessidades de quan-tidades específicas – buscando o menor custo para transportar seus produtos e bem atender seus clientes.

Apesar desta origem, diversas outras situações podem ser otimizadas como aplicações do Problema de Transporte, como por exemplo, cronogramas de produção.

Os Problemas de Transporte pertencem a uma, por assim dizer, classe de aplicações da Pesquisa Operacional denominada Problemas de Rede. A sua Modelagem é facilitada com o uso de diagramas de nós ligados por um conjunto de arcos. E, devido também as suas especificações, é possível aperfeiçoar o Simplex para a sua resolução.

Saiba mais...

!

Uma das premissas que adotamos inicialmente nesta etapa é que o problema deve estar balanceado. Isto quer dizer que a soma da capa-cidade de fornecimento (oferta total) é igual a soma da necessidade ou demanda de consumo (demanda total) – em outras palavras, tudo que

é ofertado é consumido; não há sobras de fornecimento e nem deman-da de consumidor sem ser atendideman-da. Ok?

Para fixar, chamamos esta situação de Problema de Transporte Balanceado.

Antes de seguir sua leitura, pense: o que aconteceria se isso não fosse satisfeito?

Pois é, caso isso não seja satisfeito, uma das duas situações po-dem ocorrer:

Oferta maior do que a Demanda, e neste caso ou há forma-ção de estoques ou capacidade ociosa nas fábricas.

Demanda maior do que a Oferta, ocasionando Demanda não atendida e insatisfação de consumo.

Reflita sobre estas duas situações. Quais os impactos gerenciais que podem ser gerados por cada uma delas?

Caso o problema não seja balanceado, devemos resolver o pro-blema tratando as Restrições como inequações. O que sobrar na Res-trição, representará o desbalanceamento entre oferta e demanda. Ou-tra maneira de solucionar o problema seria criar uma origem ou desti-no fictício para fornecer/absorver o excesso a um custo zero e balan-cear o problema. Neste material, pelo suporte computacional adotado, optamos pela primeira abordagem.

Problema de Escoamento

da Produção #1

Vamos começar com um exemplo bem simples de Problema de Transporte.

A indústria Pés Felizes Ltda possui 3 unidades de produção de calçados e 2 lojas para a venda dos produtos. A primeira fábrica apre-senta um estoque de 2000 unidades, a segunda de 3000 unidades e a terceira de 2500 unidades. Para o próximo mês, as lojas estão preven-do uma demanda de 3000 e 3500 pares respectivamente. Os custos de transporte de 100 pares de calçados das fábricas para cada uma das lojas são calculados conforme a tabela 5 a seguir. Não há problema em permanecer certa quantidade de estoque nas fábricas, mas a deman-da tem de ser atendideman-da. O interesse deman-da empresa é escoar sua produção minimizando ao máximo os custos de transporte envolvidos. Pergunta-mos: qual fábrica deve atender qual loja e em quais quantidades?

Para montar nosso Modelo, vamos denominar os escoamentos da produção como x_mn, “m” como o local de produção e “n” como a loja que apresenta a demanda. Em termos de Restrições, temos que:

Unidade Produtiva Fábrica A Fábrica B Fábrica C Loja 1 15 10 12 3000

Custo do transporte ( R$ / 100 pares ) Loja 2 10 12 18 3500 Estoque 2000 3000 2500 Demanda da Loja

Fonte: elaborada pelos autores

toda demanda deve ser atendida e que os envios não podem ultrapas-sar os estoques disponíveis.

Assim, comecemos pela soma dos envios de cada fábrica “m” para cada loja “n”:

x_A1 + x_B1 + x_C1 = 3000 x_A2 + x_B2 + x_C2 = 3500

Em seguida, vamos considerar os estoques. A soma dos envios de cada fábrica para as lojas está limitada. Assim:

x_A1 + x_A2 2000 x_B1 + x_B2 3000 x_C1 + x_C2 2500

E, como sempre, existem as Restrições de não-negatividade, que sintetizamos na forma:

x_A1; x_A2; x_B1; x_B2; x_C1; x_C2 ! 0

Quanto à Função-Objetivo em um Problema de Transporte, ela é construída levando-se em conta o custo total associado à distribui-ção. Para isso, consideramos o custo individual para cada par fábrica/ loja multiplicado pela quantidade enviada. Veja que dividimos os va-lores constantes da tabela por 100, pois os custos de envio são dados para lotes desta quantidade. Em termos matemáticos:

A resolução do Problema

de Transporte através de

Planilha Eletrônica

Determinadas todas as fórmulas, podemos construir nossa planilha eletrônica. Veja na Figura 44 uma sugestão de como ela pode ser elaborada.

Figura 44: Planilha para resolução do Problema de Transporte

Fonte: elaborada pelos autores

Neste ponto do curso você já deve estar habituado ao aspecto geral das planilhas que foram construídas para a solução dos proble-mas. A planilha que devemos elaborar para o Problema de Transporte não é muito diferente das demais. Mantenha a célula D2 para conter a Função-Objetivo do problema. Os dados conhecidos do problema, neste caso os custos individuais de transporte entre as fábricas e os mercados consumidores, são inseridos nas células do bloco que vai de (D5 a E7). Para as Variáveis de Decisão reservamos as células do bloco que vai de (D10 a E12). Os coeficientes das Restrições, neste problema,

são iguais a unidade e, portanto não é preciso reservar células para contê-los. O lado esquerdo das Restrições foi imaginado na coluna “D”, entre as linhas “16” e “20”, e o lado direito das Restrições, na coluna “F”, de (F16 a F20). Veja abaixo os conteúdos (valores e fór-mulas) que deverão ser digitados nas principais células:

D2 "# =(D5*D10)+(D6*D11)+(D7*D12)+(E5*E10)+ (E6*E11)+(E7*E12) D5 " 0,15 D6 " 0,10 D7 " 0,12 E5 " 0,10 E6 " 0,12 E7 " 0,18 D16 " =SOMA(D10:D12) D17 " =SOMA(E10:E12) D18 " =SOMA(D10:E10) D19 " =SOMA(D11:E11) D20 " =SOMA(D12:E12) F16 " 3000 F17 " 3500 F18 " 2000 F19 " 3000 F20 " 2500

Em seguida ao preenchimento das células da planilha, você pode passar à entrada de dados no Solver do Excel. Não há diferenças com relação aos exercícios que você já solucionou em outros capítulos. Veja na Figura 45 o aspecto da tela de entrada de dados do Solver:

Lembre-se de escolher o tipo de otimização desejada. Nesse caso, minimizar a solução. Seguindo a mesma abordagem dos capítulos an-teriores, entre também com os dois tipos de Restrições: igualdade e menor ou igual.

Estando concluída a nossa planilha, clique então no botão resol-ver para calcular a Solução Ótima. Veja na Figura 46 a seguir o aspec-to final da planilha após a execução do Solver:

Figura 45: Tela do Solver para o Problema de Transporte

Fonte: elaborada pelos autores

Figura 46: Planilha com a solução calculada para o Problema de Transporte

Fonte: elaborada pelos autores

O resultado mostra que o menor custo de transporte, igual a R$ 710,00, é obtido com o envio de 2000 pares de sapatos da fábrica “A” para a loja 2; 1500 pares da fábrica “C” para a loja 1; e o estoque da fábrica “B” dividido igualmente entre as duas lojas, com o envio de 1500 pares para cada uma.

Problema de Escoamento

de Produção #2

O seguinte problema é muito parecido com o anterior, mas ago-ra vamos acrescentar o fato de que não pode permanecer estoque nas unidades de produção. Digamos, portanto, que o interesse da empresa seja escoar toda a sua produção minimizando ao máximo os custos de transporte envolvidos.

Imagine uma indústria que possua 3 unidades produtivas e que atenda a 5 mercados diferentes, produzindo um produto que é caracte-rizado por seu volume em m³. Para realizar os cálculos envolvidos, as quantidades produzidas e os custos de transporte entre cada unidade de produção e cada mercado, podem ser vistos na Tabela 6. Já os vo-lumes consumidos pelos mercados estão mostrados na Tabela 7. Per-guntamos: considerando esses valores tabelados, qual o menor valor do custo de transporte possível de ser obtido?

Fonte: elaborada pelos autores

Tabela 6: Quantidades produzidas e custos de transporte no Problema de Escoamento de Produção # 2 Unidade Produtiva Fábrica A Fábrica B Fábrica C Mercado 1 50 60 100

Mercado Consumidor (Custo em R$ /m³) Produção em m³ x 1000 770 960 190 Mercado 2 75 85 135 Mercado 3 145 150 115 Mercado 4 280 285 300 Mercado 5 265 270 285

Da mesma forma que no exercício anterior, vamos denominar os escoamentos da produção como x_mn, “m” como o local de produção e “n” como o mercado consumidor. Agora, em termos de Restrições, podemos dividi-las em dois grupos distintos:

Toda a produção deve ser escoada. Toda demanda deve ser atendida.

Vejamos as equações das Restrições do primeiro grupo. Come-cemos pela fábrica “A”: a sua produção total de 770 mil m³, deve ser a soma dos escoamentos desta unidade produtiva para os diversos mer-cados consumidores. Assim,

x_A1 + x_A2 + x_A3 + x_A4 + x_A5 = 770 Da mesma forma, para as fábricas “B” e “C”:

x_B1 + x_B2 + x_B3 + x_B4 + x_B5 = 960 x_C1 + x_C2 + x_C3 + x_C4 + x_C5 = 190

Passemos então para as Restrições do segundo grupo. Aqui, a preocupação é atender as demandas dos cinco mercados. Assim, cada Restrição será a soma dos escoamentos de cada fábrica “m” para cada cidade “n”:

x_A1 + x_B1 + x_C1 = 20 x_A2 + x_B2 + x_C2 = 10 x_A3 + x_B3 + x_C3 = 1200

Tabela 7: Volumes consumidos pelos mercados no Problema de Escoa-mento de Produção # 2

Fonte: elaborada pelos autores Escoamento em milhares de m³ Mercado 1 20 Mercado Consumidor Total 1845 Mercado 2 10 Mercado 3 1200 Mercado 4 150 Mercado 5 65

x_A4 + x_B4 + x_C4 = 150 x_A5 + x_B5 + x_C5 = 65

Finalmente, não podemos nos esquecer das Restrições de não-negatividade, que sintetizamos na forma:

x_A1 ; x_A2 ; x_A3 ; x_A4 ; x_A5 ; x_B1 ; x_B2 ; x_B3 ; x_B4 ; x_B5 ; x_C1 ; x_C2 ; x_C3 ; x_C4 ; x_C5 ! 0 A Função-Objetivo, mais uma vez, é construída levando-se em conta o custo total associado à distribuição; considerando o custo in-dividual para cada par fábrica/mercado multiplicado pela quantidade escoada. Em termos matemáticos:

z = 50 xA1 + 75 xA2 + 145 xA3 + 280 xA4 + 265 xA5 + 60 xB1 + 85 xB2 + 150 xB3 + 285 xB4 + 270 xB5 + 100 xC1 + 135 xC2 + 115 xC3 + 300 xC4 + 285 xC5 Resumindo, a Forma Canônica do novo problema é descrita como:

Encontrar: z, xA1, xA2, xA3, xA4, xA5, xB1, xB2, xB3, xB4, xB5, xC1, xC2, xC3, xC4, xC5

Restrito a: xA1 + xA2 + xA3 + xA4 + xA5 = 770

Maximizar: z = 50 xA1 + 75 xA2 + 145 xA3 + 280 xA4 + 265 xA5 + 60 xB1 + 85 xB2 + 150 xB3 + 285 xB4 + 270 xB5 + 100 xC1 + 135 xC2 + 115 xC3 + 300 xC4 + 285 xC5 xB1 + xB2 + xB3 + xB4 + xB5 = 960 xC1 + xC2 + xC3 + xC4 + xC5 = 190 xA1 + xB1 + xC1 = 20 xA2 + xB2 + xC2 = 10 xA3 + xB3 + xC3 = 1200 xA4 + xB4 + xC4 = 150 xA5 + xB5 + xC5 = 65

Solucionando o Problema de

Transporte com o uso do

Excel

Com as fórmulas descritas acima, podemos construir nossa planilha eletrônica. Veja na Figura 47, que ela é praticamente igual a do problema da fábrica de calçados Pés Felizes Ltda.

Figura 47: Planilha para resolução do Problema de Escoamento de Produção

Fonte: elaborada pelos autores

A célula D2, como sempre, contém a Função-Objetivo do pro-blema. Os dados do problema são inseridos nas células do bloco que vai de (D5 a H7). Para as Variáveis de Decisão utilizaremos as células do bloco que vai de (D10 a H12). Para o lado esquerdo das Restrições foi reservada a coluna “D”, entre as linhas “16” e “23” e, para o lado direito das Restrições, a coluna “F”, de (F16 a F23). Em seguida, de-verão ser digitados os seguintes valores e fórmulas nas células:

D2 "#= (D5*D10)+(E5*E10)+(F5*F10)+(G5*G10)+ (H5*H10)+(D6*D11)+(E6*E11)+(F6*F11)+(G6*G11)+(H6*H11)+ (D7*D12)+(E7*E12)+(F7*F12)+(G7*G12)+(H7*H12)

D16 " =SOMA(D10:H10) D17 " =SOMA(D11:H11) D18 " =SOMA(D12:H12) D19 " =SOMA(D10:D12) D20 " =SOMA(E10:E12) D21 " =SOMA(F10:F12) D22 " =SOMA(G10:G12) D23 " =SOMA(H10:H12) F16 " 770 F17 " 960 F18 " 190 F19 " 20 F20 " 10 F21 " 1200 F22 " 150 F23 " 65

Continuando, este é o momento para passar à entrada de dados no Solver. Veja na Figura 48 o aspecto da tela de entrada de dados do mesmo:

Figura 48: Tela do Solver para o Problema de Escoamento de Produção

Escolha a opção de “minimizar” a solução. Mas atenção, pois este problema apresenta apenas um tipo de Restrição: são equações de igualdade. Você deve adicionar este tipo de Restrição no espaço cor-respondente da tela de Parâmetros.

Finalizada a entrada dos Parâmetros, clique no botão resolver e aceite a solução sugerida pelo programa. A Figura 49 abaixo traz a planilha com seus conteúdos alterados pelo Solver:

Figura 49: Planilha resolvida para o Problema de Escoamento de Produção

Fonte: elaborada pelos autores

O custo mínimo de transporte é R$ 241.350.000,00 – note que o valor na célula D2 deve ser multiplicado por mil, pois os cálculos fo-ram realizados para o volume de milhares de m³ e os custos de trans-porte, por sua vez, são dados para cada m³.

Baseando-se nos resultados observe que para minimizar os cus-tos de transporte a fábrica “A” deve fornecer para os mercados 3 e 4; a fábrica “B” paras os mercados 1, 2 e 3; e a fábrica “C” apenas para os mercados 4 e 5.

Lembre-se de consul-tar seu Tutor sempre que julgar necessário.

RESUMO

Nesta Unidade, conhecemos os Problemas de Transpor-te. Basicamente, eles tratam de encontrar o menor custo de trans-porte ou a maior receita na distribuição de cargas entre centros produtores e consumidores. Em PO, estes problemas perten-cem a uma categoria de aplicações denominada Problemas de Rede. A sua Modelagem é facilitada com o uso de diagramas de nós ligados por um conjunto de arcos.

Uma consideração interessante nestas situações é que o problema deve estar balanceado, ou seja, a soma da capacidade de fornecimento (oferta total) é igual a soma da necessidade ou demanda de consumo (demanda total), não havendo sobras de fornecimento e nem demanda de consumidor sem ser atendida. Em seguida, você foi apresentado a dois exemplos de es-coamento de produção, teve que modelar as duas situações e resolvê-las através do Solver do Excel. Novamente, seguindo a mesma dinâmica das outras Unidades, sugerimos outros pro-blemas semelhantes.

Atividades de aprendizagem

Para nos certificarmos de que você aprendeu o conteúdo da Unida-de 4, apresentamos a seguir um problema semelhante aos anteriores deste capítulo. Tente resolvê-lo.

7. Uma usina de açúcar precisa otimizar a sua distribuição de pro-duto em relação a seus depósitos e seus mercados consumidores. Os valores dos fretes variam trimestralmente ao longo do ano, devi-do a fatores externos a empresa. Conhece-se ainda a produção total da usina, a capacidade máxima dos depósitos e a demanda do mer-cado consumidor. Perguntamos: qual a melhor estratégia em termos

de transporte, de modo a minimizar os custos de distribuição? Quan-to e quando se deve enviar de açúcar para cada depósiQuan-to?

Fonte: elaborada pelos autores

Tabela 8: Quantidades produzidas e custos de transporte no Problema de Escoamento de Produção proposto Trimestre 1 2 3 4 Depósito 1 1,35 1,30 1,05 1,25

Custo do Frete entre a Usina e os Depósitos (R$ / ton) Produção (ton) 1400 2900 1200 500 Depósito 2 1,50 1,40 1,00 1,35 Depósito 3 1,25 1,10 1,10 1,20 Depósito 4 1,75 1,85 1,90 1,65 Depósito 5 1,80 2,10 2,35 1,90 Depósito 6 1,45 1,40 1,60 1,75

Fonte: elaborada pelos autores

Tabela 9: Capacidade dos depósitos no Problema proposto

Fonte: elaborada pelos autores

Tabela 10: Demanda do mercado consumidor no Problema de Escoamento de Produção proposto Trimestre 1 2 3 4 Depósito 1 170 200 150 180

Demanda para cada um dos Depósitos (ton) Demanda Total (ton) 1500 1500 1500 1500 Depósito 2 250 250 300 250 Depósito 3 280 300 250 270 Depósito 4 250 220 300 320 Depósito 5 400 380 300 230 Depósito 6 150 150 200 250 Depósito 1 200

Custo do Frete entre a Usina e os Depósitos (R$ / ton) Depósito 2 300 Depósito 3 300 Depósito 4 350 Depósito 5 400 Depósito 6 250

Outras Aplicações em

Pesquisa Operacional

Outras Aplicações em

Pesquisa Operacional

5

Objetivo

Nesta Unidade, condensaremos outras aplicações de

Pesquisa Operacional de uso do Administrador.

Ampliando o uso da

Pesquisa Operacional

Além das aplicações mais comuns de Pesquisa Operacional que estudamos até este momento, existem outras que atendem casos e ne-cessidades específicas. Desta forma, pensamos esta Unidade como sendo um grande saiba mais no contexto deste material de estudo.

Veja bem, a Programação Linear tem em sua formulação uma grande limitação: suas variáveis não necessariamente são inteiras, e nem sempre podemos aceitar respostas fracionadas. Pensem em alocações de pessoas. Estes problemas requerem Programação Inteira.

Outro situação de destaque ocorre quando não é possível for-mular o problema como funções lineares – neste caso, entra em uso a Programação Não-Linear.

Programação Inteira

Como já adiantamos, os Problemas de Programação Inteira são aqueles em que a Função-Objetivo, bem como as Restrições, são line-ares, porém, uma ou mais Variáveis de Decisão apenas podem assumir valores inteiros. E, sendo assim, resultados fracionados não atendem a solução do problema.

Saiba mais...

!

Segundo Colin (2007), devemos inicialmente fazer uma análise criteriosa para saber se realmente existe a necessidade de inserir a va-riável inteira na Modelagem. Portanto, a princípio, deve-se tentar for-mular um problema de forma tradicional.

Caso realmente haja a limitação, partimos para a Programação Inteira. E, tenham a certeza de que, embora seja tentadora, não obtere-mos a melhor solução possível resolvendo o problema como se fosse um Problema de Programação Linear e arredondando os valores Óti-mos encontrados para cada uma das Variáveis de Decisão Inteiras. Para problemas de grande porte, isto normalmente gerará uma solução acei-tável, mas não Ótima sem a violação de nenhuma das Restrições. Po-rém, para problemas menores, esse tipo de procedimento poderá nos levar a Soluções Inviáveis ou Não Ótimas.

Utilizamos Programação Inteira em aplicações como: alocação Ótima de atividades (com duração ou custos diferentes, por exemplo); e a pessoal (com eficiência e/ou custos diferentes, por exemplo) objetivando minimizar custo ou maximizar a eficiência. Podemos ain-da citar os casos de definição de rotas (um problema clássico é o do caixeiro viajante) e o de sequenciamento de produção – quando bus-camos a melhor sequência de produção a fim de atender prazos a par-tir de quantidades e tempo de produção determinados.

Saiba mais...

!

Programação Não-Linear

Os Modelos empregados em Programação Linear são, como o próprio nome diz, lineares (tanto a Função-Objetivo quanto as Restri-ções). Este fato é, sem dúvida, a maior das Restrições impostas sobre um Modelo de Programação.

Em grande parte das aplicações, Modelos lineares refletem ape-nas aproximações dos Modelos reais. Fenômenos físicos ou econômi-cos são geralmente melhor representados por Modelos não-lineares. A maioria das não-linearidades englobadas em um Modelo de Progra-mação está dentro de duas principais categorias:

Relações observadas empiricamente, tais como variações não-proporcionais em custos, resultados de processos e caracte-rísticas de qualidade.

Relações deduzidas estruturalmente, que englobam fenôme-nos físicos, deduzidos matematicamente e regras administra-tivas.

O principal conceito envolvido em Programação Não-Linear é o de Taxa de Variação: derivadas e gradientes.

O grande problema que dificulta a obtenção da Solução Ótima nos Problemas de Programação Não-Linear são os mínimos e máxi-mos (extremáxi-mos) locais da Função-Objetivo – Lembra-se disso de seus estudos de matemática?

São problemas típicos de Programação Não-Linear quando te-mos um Problema de Mix de Produtos cujo lucro por produto varia conforme a quantidade vendida (se houver, por exemplo, desconto por compra de grande lote), e também problemas de escoamento de produ-ção cujo custo de transporte varia conforme a quantidade em carga.

Existem também diversos exemplos em livros sobre a aplicação de Programação Não-Linear. Podemos citar, desta forma, o caso de minimização de custos totais de estoque; localização de antenas de

transmissão de telefonia celular (cujos alcances são mensurados radi-almente a partir da localização das antenas), entre outros.

RESUMO

Nesta Unidade, apresentamos alguns conceitos básicos sobre outros problemas de Pesquisa Operacional que não po-dem ser solucionados pela Programação Linear. Na Programa-ção Inteira, as variáveis não podem ter valores fracionados. Na Programação Não-Linear, como o próprio nome diz, as fun-ções apresentam pelo menos uma de suas variáveis elevada a uma potência diferente de 1 (um).

Atividades de aprendizagem

8. Discuta com o seu tutor e seus colegas as situações em que a Programação Linear não resolveria um problema. Você consegue descrever, então, um problema deste tipo?

REFERÊNCIAS

BRONSON, R. Pesquisa Operacional. Série Schaum. São Paulo: McGraw-Hill, 1986.

COLIN, E. C. Pesquisa Operacional: 170 aplicações em estratégia, finanças, logística, produção, marketing e vendas. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à Pesquisa

Operacional. 8. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.

LACHTERMACHER, G. Pesquisa Operacional na Tomada de

Decisões: modelagem em Excel. 3. ed. Rio de Janeiro: Elsevier,

2007.

NOGUEIRA, Fernando Marques de Almeida. Notas de Aula de

Pesquisa Operacional. Disponível em: <http://www.engprod.ufjf.br/

Anderson Lopes Belli Castanha

Possui graduação em Engenharia Elétri-ca de Produção pela Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (1996); especializa-ção em Pós-Graduaespecializa-ção em Gestão Pela Quali-dade Total pela UniversiQuali-dade Federal Fluminense (2000); mestrado em Engenharia de Produção pela Universidade Federal Fluminense (2000) e doutorado em Engenharia Civil pela Universidade Federal Fluminense (2007). Atualmente é professor adjunto I no Curso de Administração da Universidade Federal de Juiz de Fora.

Eduardo Breviglieri Pereira de Castro

Possui graduação em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Juiz de Fora (1986); mestrado em Arquitetura pela Universidade Fe-deral do Rio de Janeiro (1996); e doutorado em Engenharia Mecânica pela Universidade Fede-ral do Rio de Janeiro (2005) e Engenharia Civil pelo INSA de Lyon, França (co-tutela com a UFRJ). Atualmente é professor adjunto III no Curso de Engenharia de Produção da Universidade Federal de Juiz de Fora.