cap4 aula3

EQUAÇÕES DINÂMICAS DO FOGUETE RÍGIDO

No sistema principal (sistema do veículo), eixo x ao longo do eixo longitudinal:

- Velocidade do centro de massa do foguete

𝑉⃗

= 𝑢𝑒

+ 𝑣𝑒

+ 𝑤𝑒

- velocidade de rotação do foguete em relação ao sistema inercial (= velocidade

angular do sistema principal em relação ao sistema inercial)

𝛺⃗ = 𝑝𝑒

+ 𝑞𝑒

+ 𝑟𝑒

- posição do centro de massa do fluxo de massa na saída da tubeira:

𝑟

= 𝑥

𝑒

+ 𝑦

𝑒

+ 𝑧

𝑒

- componentes da força de tração:

𝑇⃗ = 𝑇

𝑒

+ 𝑇

𝑒

+ 𝑇

𝑒

e como T

e T

são pequenos quando comparados com T

e que y

e z

são pequenos

comparados com x

, desprezaremos os termos em 2ª ordem nestes elementos.

-as componentes da força aerodinâmica:

𝐹

= 𝑋

𝑒

+ 𝑌

𝑒

+ 𝑍

𝑒

Sendo X

denominada força axial, Y

força lateral e Z

força normal.

-as componentes do momento aerodinâmico:

sendo L’ denominado momento de rolamento (roll), M’ momento de arfagem (Pitch) e

N’ momento de guinada (Yam).

- as componentes de força de gravidade: 𝑊

⃗⃗⃗ = 𝑀𝑔

𝑔 = 𝑔

𝑒

+ 𝑔

𝑒

+ 𝑔

𝑒

EQUAÇÕES DINÂMICAS SÃO DADAS POR:

𝑀

𝑑𝑉⃗

𝑑𝑡

= −2𝑚𝛺⃗ × 𝑟

+ 𝑇⃗ + 𝑊

⃗⃗⃗ + 𝐹

𝑑

𝑑𝑡

(𝐼 𝛺⃗ ) = −𝑚𝑟

× (𝛺⃗ × 𝑟

) + 𝑟

× 𝑇⃗ + 𝑀

⃗⃗

(𝐼 𝛺⃗ ) =

(𝐼 𝛺⃗ ) + 𝛺⃗ × (𝐼 𝛺⃗ )=𝐼

(𝛺⃗ ) +

(𝐼 ) 𝛺⃗ +𝛺⃗ × (𝐼 𝛺⃗ )

𝐼

(𝛺⃗ ) = −

(𝐼 ) 𝛺⃗ -𝛺⃗ × (𝐼 𝛺⃗ ) − 𝑚𝑟

× (𝛺⃗ × 𝑟

) + 𝑟

× 𝑇⃗ + 𝑀

⃗⃗

EQUAÇÕES DE TRANSLAÇÃO

𝑀

= 𝑀(𝑣𝑟 − 𝑤𝑞) + 𝑇

+ 𝑀𝑔

+ 𝑋

𝑀

= 𝑀(𝑤𝑝 − 𝑢𝑟) + 𝑇

+ 𝑀𝑔

+ 𝑌

𝑀

= 𝑀(𝑢𝑞 − 𝑣𝑝) + 𝑇

+ 𝑀𝑔

+ 𝑍

EQUAÇÕES DE ROTAÇÃO

𝐼

= −

+ 𝑟𝑞(𝐼

− 𝐼

) + 𝑚𝑥

(𝑦

𝑞 + 𝑧

𝑟) + 𝐿′

𝐼

= −𝑞

+ 𝑝𝑟(𝐼

− 𝐼

) − 𝑚𝑞𝑥

+ 𝑧

𝑇

− 𝑥

𝑇

+ 𝑀′

𝐼

= −𝑟

+ 𝑝𝑞(𝐼

− 𝐼

) − 𝑚𝑟𝑥

+ 𝑥

𝑇

− 𝑦

𝑇

+ 𝑁

𝑚 = −

5 – As Equações da Cinemática

FORNECEM A RELAÇÃO ENTRE:

a posição e orientação do foguete com a velocidade translacional e rotacional.

A orientação do foguete em relação ao sistema inercial é dado pela matriz de

transformação L_pI, e como a velocidade do foguete em relação do sistema inercial é 𝜴⃗⃗ :

𝑑𝐿𝑝𝐼 𝑑𝑡 = [ 0 𝑟 −𝑞 −𝑟 0 𝑝 𝑞 −𝑝 0 ] 𝐿𝑝𝐼 Com 𝐿_𝑝𝐼 = 𝐿_𝑝𝑣(𝜓, 𝜃, 𝜙)𝐿_𝑣𝑔(𝜆, Φ)𝐿_𝑔𝐼(Hg)

Sejam as coordenadas do CM do foguete no sistema inercial dadas por:

𝑅⃗ _𝐶𝑀 = 𝑋𝑒 _𝑋 + 𝑌𝑒 _𝑌 + 𝑍𝑒 _𝑍

𝑉⃗ _𝐶𝑀 = 𝑑𝑅⃗ 𝐶𝑀

𝑑𝑡 = 𝑋̇𝑒 𝑋 + 𝑌̇𝑒 𝑌 + 𝑍̇𝑒 𝑍

Mas sabe que a velocidade no sistema principal:

𝑉⃗ _𝐶𝑀 = 𝑢𝑒 _𝑥 + 𝑣𝑒 _𝑦 + 𝑤𝑒 _𝑧 temos que:

[𝑋̇_𝑌̇ 𝑍̇ ] = 𝐿𝑡 𝑝𝐼 [ 𝑢 𝑣 𝑤] (*)

As equações (*) nos dão a posição do foguete em termos das componentes u,v,w e dos

Portanto temos 18 equações diferenciais:

6 equações dinâmicas ( 3 de translação –

u,v,w

e 3 de rotação –

p, q ,r

)

12 equações cinemáticas ( 3 da velocidade

𝑋,̇ 𝑌̇, 𝑍̇

e 9 dos elementos da matriz L

ℓ

).

Considerando

condições iniciais apropriadas

, estas equações podem ser

integradas,

sendo que podemos obter as componentes da velocidade

u, v, w

, as

componentes da velocidade angular

p,

q, r

os cossenos diretores

𝓵

e as

coordenadas

X, Y, Z

.

5.1 – A Posição do Foguete no Sistema Geocêntrico

Quando as coordenadas do CM do foguete no sistema inercial são

conhecidas, a posição do foguete no sistema geocêntrico pode ser determinada.

Sejam X_g, Y_g, Z_g as coordenadas do CM do foguete no sistema geocêntrico, então:

(𝑅⃗ _𝐶𝑀)_𝑔 = 𝐿_𝑔𝐼(𝐻𝑔)(𝑅⃗ _𝐶𝑀)_𝐼 [ 𝑋_𝑔 𝑌_𝑔 𝑍_𝑔] = 𝐿𝑔𝐼 [ 𝑋 𝑌 𝑍 ] 𝑋_𝑔 = 𝑅_𝐶𝑀𝑐𝑜𝑠(𝜙)cos (𝜆) 𝑌_𝑔 = 𝑅_𝐶𝑀cos (𝜙)𝑠𝑒𝑛(𝜆) 𝑍_𝑔 = 𝑅_𝐶𝑀𝑠𝑒𝑛(𝜙)

𝑅_𝐶𝑀 = (𝑋2_𝑔 + 𝑌2_𝑔 + 𝑍2_𝑔)12 𝑠𝑒𝑛(𝜙) = 𝑍𝑔 𝑅_𝐶𝑀 − 90° ≤ ϕ ≤ 90° 𝑠𝑒𝑛(𝜆) = 𝑌𝑔 (𝑋2_𝑔+𝑌2_𝑔)12 − 180° ≤ 𝜆 ≤ 180° 𝑐𝑜𝑠(𝜆) = 𝑋_𝑔 (𝑋2_𝑔+𝑌2_𝑔)12 𝑍_𝑔 𝑋𝑔 𝑌𝑔 𝑅⃗ 𝜙 𝜆 0 Plano do Equador 𝑅_𝐶𝑀 cos(𝜙) = (𝑋2_𝑔 + 𝑌2_𝑔)12

X,Y,Z, Hg 𝑋_𝑔 = 𝑋𝑐𝑜𝑠(𝐻𝑔) + 𝑌sen (𝐻𝑔) 𝑌_𝑔 = −𝑋sen(𝐻𝑔) + 𝑌𝑐𝑜𝑠(𝐻𝑔) 𝑍_𝑔 = 𝑍 𝑅_𝐶𝑀 = (𝑋2 𝑔 + 𝑌2𝑔 + 𝑍2𝑔) 1 2 𝑠𝑒𝑛(𝜙) = 𝑍𝑔 𝑅_𝐶𝑀 𝑠𝑒𝑛(𝜆) = 𝑌𝑔 (𝑋2 𝑔 + 𝑌2𝑔) 1 2 𝑐𝑜𝑠(𝜆) = 𝑋𝑔 (𝑋2 𝑔 + 𝑌2𝑔) 1 2

[𝑋𝑌 𝑍 ] = 𝐿𝑡_𝑔𝐼 [ 𝑋_𝑔 𝑌_𝑔 𝑍_𝑔] = 𝐿𝑡_𝑔𝐼. 𝑅_𝐶𝑀 [ 𝑐𝑜𝑠(𝜙)cos (𝜆) cos (𝜙)𝑠𝑒𝑛(𝜆) 𝑠𝑒𝑛(𝜙) ] RCM, λ , ϕ, Hg 𝑋_𝑔 = 𝑅_𝐶𝑀𝑐𝑜𝑠(𝜙)cos (𝜆) 𝑌_𝑔 = 𝑅_𝐶𝑀cos (𝜙)𝑠𝑒𝑛(𝜆) 𝑍_𝑔 = 𝑅_𝐶𝑀𝑠𝑒𝑛(𝜙) LgI =[ 𝑐𝑜𝑠𝐻𝑔 𝑠𝑒𝑛𝐻𝑔 0 −𝑠𝑒𝑛 𝐻𝑔 cos 𝐻𝑔 0 0𝑞 0 1]

5.2 – A Orientação do Foguete com Relação ao Sistema Vertical

A solução das equações do movimento nos dá a orientação do foguete com relação ao sistema inercial.

Se a longitude e latitude geográfica do foguete são conhecidas, a orientação do foguete com relação ao sistema vertical podem ser determinadas:

o ângulo de elevação θ, o ângulo de declive ϕ e o ângulo de azimute ψ. COMO: 𝑳_𝒑𝑰 = 𝑳_𝒑𝒗𝑳_𝒗𝒈𝑳_𝒈𝑰 Então 𝑳_𝒑𝒗 = 𝑳_𝒑𝑰𝑳𝒕_𝒈𝑰𝑳𝒕_𝒗𝒈

Os elementos da matriz Lpv sendo conhecidos, podemos determinar os ângulos de Euler ψ,

ϕ, 𝜃. Inversamente, os valores iniciais da matriz LpI podem ser determinados se os valores

iniciais dos ângulos de elevação, declive, azimute, longitude, latitude geográfica e ângulo horário são conhecidos.

5.3 – Componentes da Velocidade no Sistema Vertical

Algumas vezes é conveniente descrever a velocidade translacional do foguete pela

- magnitude V_CM,

- o ângulo da trajetória de voo γ e

- o ângulo de azimute da trajetória de voo 𝜓_𝑉

𝑍_𝑔 𝑋𝑔 𝑌𝑔 𝑉⃗ 𝐶𝑀 𝑋_𝑣 𝜓𝑣 𝛾

 γ é o ângulo que a velocidade forma com a horizontal local, −90° ≤ 𝛾 ≤ 90°

 𝜓_𝑉 é o ângulo que a projeção da velocidade no plano do horizonte forma com a direção norte, −180° ≤ 𝜓_𝑉 ≤ 180°

 se a direção da velocidade coincidir com a direção longitudinal do foguete então 𝜓_𝑉 = 𝜓

A velocidade 𝑉⃗ _𝐶𝑀 possui então as seguintes componentes no sistema vertical:

𝑉⃗ _𝐶𝑀 = 𝑉_𝐶𝑀{cos(𝛾) cos(𝜓_𝑉) 𝑒 _𝑋𝑣 + cos(𝛾) 𝑠𝑒𝑛(𝜓_𝑉)𝑒 _𝑌𝑣 − 𝑠𝑒𝑛(𝛾)𝑒 _𝑍𝑣} (48) Mas:

(𝑉⃗ _𝐶𝑀)_𝑝 = 𝐿_𝑝𝑣(𝑉⃗ _𝐶𝑀)_𝑣 (𝑉⃗ _𝐶𝑀)_𝑣 = 𝐿𝑡_𝑝𝑣(𝑉⃗ _𝐶𝑀)_𝑝

Portanto 𝑉 [ cos (𝛾)cos (𝜓_𝑉) cos (𝛾)𝑠𝑒𝑛(𝜓_𝑉) −𝑠𝑒𝑛(𝛾) ] = 𝐿 𝑡 𝑝𝑣 [ 𝑢 𝑣 𝑤]

sendo que Lpv é dada em termos dos ângulos de Euler ψ, 𝜃, ϕ.

A velocidade angular do foguete com relação ao sistema inercial também pode ser obtida

em termos de um conjunto de ângulos de Euler ψI, 𝜃𝐼, ϕI.

Sabemos que: 𝐿_𝑝𝐼 = 𝐿_𝑝𝑣𝐿_𝑣𝑔𝐿_𝑔𝐼 𝐿_𝑝𝑣 = 𝐿_𝑝𝐼𝐿𝑡_𝑔𝐼𝐿𝑡_𝑣𝑔 Diferenciando obtemos: 𝑑𝐿_𝑑𝑡𝑝𝑣 = 𝑑𝐿_𝑑𝑡𝑝𝐼𝐿𝑡_𝑔𝐼𝐿𝑡_𝑣𝑔 + 𝐿_𝑝𝐼 𝑑𝐿 𝑡 𝑔𝐼 𝑑𝑡 𝐿𝑡𝑣𝑔 + 𝐿𝑝𝐼𝐿𝑡𝑔𝐼 𝑑𝐿𝑡_𝑣𝑔 𝑑𝑡 (50)

Desta equação, as expressões de 𝑑𝜃_𝑑𝑡, 𝑑𝜓_𝑑𝑡 e 𝑑𝜙_𝑑𝑡 podem ser deduzidas. Estas expressões, entretanto, são muito complexas.

Isto é consequência do fato que 𝜃̇, 𝜓̇, 𝜙̇ não são componentes da velocidade angular 𝛺⃗

(velocidade angular do foguete com relação ao sistema inercial), mas sim componentes da velocidade angular do sistema do veículo com relação ao sistema vertical, o qual também se move em relação ao inercial:

- O termo que contém 𝑑𝐿

𝑡 𝑔𝐼

𝑑𝑡 é devido a rotação do sistema geocêntrico com relação ao sistema

inercial,

- o termo que contém 𝑑𝐿

𝑡 𝑣𝑔

Em geral, durante o voo de um foguete, as variações em longitude e latitude são pequenas,

do mesmo modo que a duração do voo não é muito longa, de maneira que podem ser

desprezadas quando comparadas com as oscilações do foguete em torno do CM.

Nestes casos, os dois últimos termos da expressão (50) podem ser desprezados e temos:

𝑑𝐿 _𝑝𝑣 𝑑𝑡 = [ 0 𝑟 −𝑞 −𝑟 0 𝑝 𝑞 −𝑝 0 ] 𝐿𝑝𝐼𝐿 𝑡 𝑔𝐼𝐿𝑡𝑣𝑔 ou seja: 𝑑𝐿_𝑝𝑣 𝑑𝑡 = [ 0 𝑟 −𝑞 −𝑟 0 𝑝 𝑞 −𝑝 0 ] 𝐿𝑝𝑣

Solucionando estas equações para as variações dos ângulos de elevação, azimute e declive,

𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝑞𝑐𝑜𝑠(𝜙) − 𝑟𝑠𝑒𝑛(𝜙) 𝑑𝜓 𝑑𝑡 = 𝑞 𝑠𝑒𝑛(𝜙) cos(𝜃) + 𝑟 cos(𝜙) cos(𝜃) 𝑑𝜙 𝑑𝑡 = 𝑝 + 𝑞𝑠𝑒𝑛(𝜙)𝑡𝑔(𝜃) + 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝜙)𝑡𝑔(𝜃) Ou ainda: 𝑟 = 𝜓̇ cos(𝜙) cos(𝜃) − 𝜃̇𝑠𝑒𝑛(𝜙) 𝑞 = 𝜃̇ cos(𝜙) + 𝜓̇cos (𝜃)𝑠𝑒𝑛(𝜙) 𝑝 = 𝜙̇ − 𝜓̇𝑠𝑒𝑛(𝜃)

Em geral estas equações não podem ser integradas analiticamente. Uma solução analítica é obtida apenas em casos muito específicos (vácuo, campo gravitacional uniforme), como veremos nos capítulos seguintes.

5.4 – Ângulos Aerodinâmicos

É interessante também, em alguns casos, expressar a velocidade de translação do foguete em termos dos ângulos aerodinâmicos:

- 𝛼, ângulo de ataque,

- 𝛽, ângulo de ataque lateral,

Z X Y 𝜔 𝛽 𝛼 V’ v u 𝑉⃗ 𝐶𝑀

 𝛽 = ângulo que a velocidade forma com o plano xz

 𝛼 = ângulo que a projeção da velocidade no plano xz forma com o eixo longitudinal.

 𝛼 > 0 para 𝑤 > 0  𝛼 < 0 para 𝑤 < 0, com −𝜋 ≤ 𝛼 ≤ 𝜋,  𝛽 > 0 para 𝑣 > 0  𝛽 < 0 para𝑣 < 0, com −𝜋₂ ≤ 𝛽 ≤ 𝜋₂ X Y 𝜔 𝛽 𝛼 V’ v u 𝑉⃗ 𝐶𝑀

As componentes de 𝑉⃗ _𝐶𝑀 no sistema do veículo (u, v, w) sendo conhecidos, os ângulos 𝛼 e 𝛽 são determinados por:

𝑠𝑒𝑛(𝛼) = _𝑉𝑤_′ cos(𝛼) = _𝑉𝑢_′ cos(𝛽) = 𝑉_𝑉′ 𝑠𝑒𝑛(𝛽) = _𝑉𝑣 sendo: 𝑉2 𝐶𝑀 = 𝑢2 + 𝑣2 + 𝑤2 𝑉′2 = 𝑤2 + 𝑢2 X Y 𝜔 𝛽 𝛼 V’ v u 𝑉⃗ 𝐶𝑀

As componentes de 𝑉⃗ _𝐶𝑀 no sistema do veículo :

𝑢 = 𝑉_𝐶𝑀cos (𝛽)cos (𝛼) 𝑣 = 𝑉_𝐶𝑀𝑠𝑒𝑛(𝛽) 𝑤 = 𝑉_𝐶𝑀cos (𝛽)𝑠𝑒𝑛(𝛼) X Y 𝜔 𝛽 𝛼 V’ v u 𝑉⃗ 𝐶𝑀