QuimFisica4Cap1 (Introdução à Mecânica Quântica)[Aula]

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Físico-Química IV

Química Quântica & Espectroscopia

Introdução à Química Quântica

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2 Otávio Santana

Otávio Santana

Introdução à Mecânica Quântica Introdução à Mecânica Quântica

• CONTEÚDO

– Introdução à Química Quântica:

• Quantização da Energia e Dualidade Onda-Partícula: Radiação do Corpo Negro, Efeito Fotoelétrico, Átomo de Bohr; Princípios da Mecânica Quântica: Função de Onda e sua Interpretação, Operadores, Autofunções e Autovalores, Superposições e Valores Esperados, Observáveis Complementares e Forma Geral do Princípio da Incerteza; Aplicações a Microssistemas: Partícula na Caixa em Uma e Várias Dimensões; Oscilador Harmônico em Uma e Várias Dimensões; Rotor Rígido em Duas e Várias Dimensões. – Estrutura Atômica e Molecular.

– Espectroscopia Rotacional, Vibracional e Eletrônica. Programa da Disciplina: Conteúdo

Parte 1 Parte 2 Parte 3

Cont. Parte 4

Otávio Santana

• Mecânica Clássica:

– Trajetórias:Trajetórias:

• É possível prever com exatidão/precisão posições e velocidades (momentos) de partículas em qualquer instante.

– Energias:Energias:

• É possível modificar arbitrariamente qualquer modo de movimento (translação, rotação, vibração...) a partir da aplicação de forças.

– Sistemas Microscópicos?Sistemas Microscópicos?

➔Estas observações não são válidas para sistemas microscópicos! ➔_{Nestes casos, é preciso outra abordagem:}_{Mecânica Quântica}_{Mecânica Quântica.}

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Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 1. Radiação dos Corpos:1. Radiação dos Corpos:

• Todo corpo, qualquer que seja o material do qual seja feito, absorve e emite radiação eletromagnética.

• Em baixas temperaturas os corpos emitem a maior parte da radiação na região do infravermelho.

• Como aumento da temperatura passam a emitir luz visível: vermelho → branco azulado (baixas freqs. → altas frequências). • A emissão depende da superfície, do tipo de material e,

principalmente, da temperatura.

• O caso mais simples é o de um corpo negrocorpo negro, um corpo capaz de absorver toda a radiação incidente.(*)

(*) Um corpo negro é uma idealização!

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

➔Relação: ν = c/λ.

Introdução

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

➔_{Em altas temperaturas os corpos}

passam a emitir radiação na região visível do espectro eletromagnético. Introdução

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Otávio Santana

– 1. Radiação dos Corpos:1. Radiação dos Corpos: Radiação de Corpo Negro • O que mais se aproxima da definição de corpo negro é

uma cavidade isotérmica com uma pequena abertura.

➔_{A experiência mostra que}

a abertura por onde a radiação escapa fica clara a medida que a temperatura aumenta, aproximando-se do branco em temperaturas elevadas. 8 Otávio Santana Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 1. Radiação dos Corpos:1. Radiação dos Corpos: Radiação de Corpo Negro • A dependência da radiação emitida

por um corpo negro com a temperatura é mostrada ao lado:

➔_{A figura se refere à distribuição de}

energia ρ(λ,T), que é uma função do comprimento de onda e da temperatura. (Unidade: J/m4₎

➔_{A distribuição de energia ρ(λ,T) está}

relacionada à densidade de energia Є(λ,T), a energia na cavidade por unidade de volume. (Unidade: J/m3₎ Introdução 9 Otávio Santana Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 1. Radiação dos Corpos:1. Radiação dos Corpos: Radiação de Corpo Negro • A dependência da radiação emitida

por um corpo negro com a temperatura é mostrada ao lado:

➔_{A figura se refere à distribuição de}

energia ρ(λ,T), que é uma função do comprimento de onda e da temperatura. (Unidade: J/m4₎

➔_{A densidade de energia Є, por sua vez,}

é proporcional à emitância/excitância M, a energia emitida por unidade de área (do orifício) e unidade de tempo. (Unidade: J/m2_{s)[intensidade]} Introdução

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Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 1. Radiação dos Corpos:1. Radiação dos Corpos: Radiação de Corpo Negro • Leis Empíricas:

➔_{Lei de Stefan}_{Lei de Stefan}(*)_-Boltzmann_-Boltzmann(**)_:

Formulação de uma expressão para a densidade Є e emitância M: (quantidades totais, independentes de λ)

➔_{Lei do Deslocamento de Wien}_{Lei do Deslocamento de Wien}(***)_:

Formulação de uma expressão para o máximo da distribuição λmax:

Є = aT

4

_⇔

_{M = σT}

4 Constante de Stefan-Boltzmann

σ

(exp)

=

5,67×10⁻⁸ Wm⁻²K ⁻⁴

T λ

max

=

1 ₅

c

2 2a_{Constante de Radiação}

c

2(exp)

=

1,44 cm K

(*) _{Joseph Stefan, físico alemão (procedimento empírico, 1897).} (**)_{Ludwig Boltzmann, físico austríaco ( procedimento termodinâmico, 1884).} (***) Wilhelm Wien, físico alemão (procedimento empírico, 1893).

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 1. Radiação dos Corpos:1. Radiação dos Corpos: Radiação de Corpo Negro • A explicação da radiação de corpo negro foi um dos desafios mais

perturbadores para os físicos do final do século 19.

• Rayleigh(*)_{e Jeans}(**)_{consideraram que a radiação era produzida} por osciladores (elétrons) com todas as frequências ν possíveis. • A partir do princípio da equipartição , calcularam a energia média

de todos cada oscilador como sendo kBT, do qual obtiveram: Introdução

(*)_{Lorde Rayleigh (John William Strutt) , físico inglês (1842-1919).} (**) Sir James Hopwood Jeans, matemático, astrônomo e físico inglês (1877-1933).

dЄ = ρ(λ ,T )d λ

Distribuição de Energia

ρ( λ

, T ) =

8π k

B

T

λ

4 12 Otávio Santana Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 1. Radiação dos Corpos:1. Radiação dos Corpos: Radiação de Corpo Negro • Segundo a expressão obtida por

Rayleig e Jeans, ρ aumenta indefinida-mente nas altas frequências (pequeno λ).

➔_{Este resultado é conhecido como a}

catástrofe do ultra-violeta . Introdução

dЄ = ρ(λ ,T )d λ

Distribuição de Energia

ρ( λ

, T ) =

8π k

B

T

λ

4

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Otávio Santana

– 1. Radiação dos Corpos:1. Radiação dos Corpos: Radiação de Corpo Negro • Plack(*)_{, admitindo que os osciladores só}

poderiam assumir valores discretos de energia E = nhν (n = 0, 1, 2, …), obteve a expressão:

➔_{Este resultado está de acordo com a}

observação experimental, com a constante h determinada pelo ajuste com os dados experimentais.

(*) Marx Planck, físico alemão (1858-1947).

ρ( λ

, T ) =

8 π hc

λ

5

₍

_e

hc / λ kBT

₋₁₎

dЄ = ρ(λ ,T )d λ

Distribuição de Energia 14 Otávio Santana Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 1. Radiação dos Corpos:1. Radiação dos Corpos: Radiação de Corpo Negro • A distribuição de Planck também explica as leis empíricas de

Stefan-Boltzmann e de Wien.

➔A primeira se deduz da integração da densidade de energia sobre

todo o intervalo de comprimentos de onda:

➔A substituição dos valores das constantes fundamentais fornece:

Introdução

Є =

∫

0 ∞

ρ( λ

, T )d λ = aT

4

_{, a = 4σ}

c

, σ =

2π

5

_k

B

T

15 c

2

_h

3 Constante de Stefan-Boltzmann

σ

(teor)

₌

_{5,6704 × 10⁻⁸ Wm⁻ ²K ⁻ ⁴}

_{Excelente concordância} com o valor experimental

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 1. Radiação dos Corpos:1. Radiação dos Corpos: Radiação de Corpo Negro • A distribuição de Planck também explica as leis empíricas de

Stefan-Boltzmann e de Wien.

➔_{A segunda se deduz determinando-se o comprimento de onda para}

o qual dσ/dλ = 0 (admitindo-se que λ <<hc/kT):

➔_{A substituição dos valores das constantes fundamentais fornece:}

Introdução

T λ

_max

= 1

5 (

hc

k

B

)

, c

₂(teor)

_{= hc}

k

B 2a_{Constante de Radiação}

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Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 2. Capacidades Caloríficas:2. Capacidades Caloríficas:

• No início do século 19 as capacidades caloríficas de muitos sólidos monoatômicos foram determinadas.

• A lei empírica de Dulong(*)_-Petit(**)_{afirmava, até então, que a} capacidade destes sólidos era, aproximadamente, 25 J ·K-1_mol-1_.

➔_{De acordo com a física clássica (e do princípio da equipartição), a}

energia média de um átomo devido a uma vibração é kBT.

➔Como cada átomo oscila independentemente em três dimensões, a

energia média total por átomo devida à vibração é 3 kBT.

(*)_{Pierre Louis Dulong, físico francês (1785-1838).} (**) Alexis Thérèse Petit, físico francês (1791-1820).

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• No início do século 19 as capacidades caloríficas de muitos sólidos monoatômicos foram determinadas.

• A lei empírica de Dulong(*)_-Petit(**)_{afirmava, até então, que a} capacidade destes sólidos era, aproximadamente, 25 J ·K-1_mol-1_.

➔Portanto, da energia média total devida às vibrações para um mol

de átomos e da definição de capacidade calorífica:

de modo que CV,m ≈ 24,9 J·K-1mol-1, o que concorda bem com os

dados experimentais. Introdução

U

m

=

3N

A

k

B

T = 3 RT ⇒ C

V , m

=

(

∂

U

m

∂

T

)

V

=

3R

23 Otávio Santana Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• No entanto, verificou que as capacidades caloríficas de todos os metais não é constante, tendendo a zero quando T → 0! • Para explicar o comportamento nas baixas temperatura, em 1905

Einstein(*)_{retomou a hipótese de Planck:}

➔Assumindo que cada átomo oscile em torno da posição de

equilí-brio com uma única frequência ν e energias E = nhν (n = 0, 1, …):

para a qual f(T) → 1 quanto T → ∞, e f(T) → 0 quanto T → 0, o que está de acordo com resultados experimentais.

Introdução

U

m

=

3 N

A

hν

e

h ν/kBT

₋₁

⇒

C

V ,m

=

(

∂

U

m

∂

T

)

V

=

3 R · f (T )

2

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Otávio Santana

• No entanto, verificou que as capacidades caloríficas de todos os metais não é constante, tendendo a zero quando T → 0!

➔A expressão de Einstein erra nos detalhes,

devido a consideração de uma única frequência, mas não no essencial: é preciso considerar a quantização da energia!

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 3. Espectros Atômicos e Moleculares:3. Espectros Atômicos e Moleculares:

• A manifestação mais significativa da quantização da energia: absorção e emissão de radiação por átomos e moléculas. Introdução

Radiação de Corpo Negro

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• A manifestação mais significativa da quantização da energia: absorção e emissão de radiação por átomosátomos e moléculas. Introdução

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Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• A manifestação mais significativa da quantização da energia: absorção e emissão de radiação por átomos e moléculasmoléculas.

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• O estudo do espectro produzido por chamas e descargas em gases e vapores metálicos é feito desde 1880: espectroscopiaespectroscopia. • Os espectros atômicos ainda são importantes devido a aplicações

na determinação da composição de materiais (ex.: estrelas).

➔O espectro do hidrogênio é o mais simples, sendo conhecidos

diverso grupos de linhas: séries de Lyman, Balmer, Paschen, …

➔_{Em 1889, Rydberg}(*)_{propôs, a partir dos dados experimentais, uma} fórmula geral para as linhas de emissão do hidrogênio: Introdução

(*) Johanes Robert Rydberg, físico sueco (1854-1919).

1 λ

=

R

H

(

1 n

f 2

− 1

_n

i 2

)

R

H(exp)

=

1,09678× 10⁻ ⁷m⁻¹

• Observações Experimentais Cruciais:

• O estudo do espectro produzido por chamas e descargas em gases e vapores metálicos é feito desde 1880: espectroscopiaespectroscopia. • Os espectros atômicos ainda são importantes devido a aplicações

na determinação da composição de materiais (ex.: estrelas).

➔O espectro do hidrogênio é o mais simples, sendo conhecidos

diverso grupos de linhas: séries de Lyman, Balmer, Paschen, …

➔As diferentes séries conhecidas são obtidas a partir do ajuste do

parâmetro nf (com ni > nf): Introdução

1 λ

=

R

H

(

_n

1

f 2

−

1 n

i2

)

nf = 1: Série de Lyman (ultravioleta)

nf = 2: Série de Balmer (visível)

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Otávio Santana

– 3. Espectros Atômicos e Moleculares:3. Espectros Atômicos e Moleculares: Modelo de Bohr • A equação de Rydberg pôde ser explicada a partir de um modelo

simples proposto, em 1913, por Bohr(*)_{, cujos postulados são:} 1. No átomo de hidrogênio, o elétron se move em órbitas circulares,

com momento angular múltiplo inteiro de ћ = h/2π. 2. Enquanto descreve o movimento circular, o elétron não irradia

energia, como prevê o eletromagnetismo clássico.

3. O elétron salta de uma órbita para outra, absorvendo ou emitindo energia na forma de radiação de frequência ν = ΔE/h.

➔_{Esta última equação é obtida da relação de Planck E = nhν, e a}

frequência assim obtida é chamada de frequência de Bohr.

(*) Niels Bohr, físico dinamarquês (1885-1919).

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• Observações Experimentais Cruciais:

– 3. Espectros Atômicos e Moleculares:3. Espectros Atômicos e Moleculares: Modelo de Bohr • A equação de Rydberg pôde ser explicada a partir de um modelo

simples proposto, em 1913, por Bohr.

➔A partir deste modelo, pôde-se prever os níveis quantizados de

energia para o átomo de hidrogênio:

a partir do qual pôde-se obter um valor teórico para a constante de Rydberg RH: Introdução

E

n

= −

(

Z

2

_e

4

_m

e

32π

2

_ε

0 2

_ℏ

2

)

1 n

2

≈ −

(

13,6 Z

2

n

2

)

eV

R

H

(teor )

₌

_{1,09737 ×10 ⁻⁷m ⁻ ¹}

Excelente concordância com o valor experimental

Otávio Santana

• Conclusões Importantes:

– Quantização da Energia:Quantização da Energia:

• Radiação de Corpo Negro, Capacidades Caloríficas, Espectros Atômicos e Moleculares.

– Comportamento Corpuscular da Radiação Eletromag.:Comportamento Corpuscular da Radiação Eletromag.: • Efeito Fotoelétrico,

Espalhamento Compton.

– Comportamento Ondulatório da Matéria:Comportamento Ondulatório da Matéria: • Difração de Elétrons. Introdução D u a lid a d e O n d a -P a rt íc u la

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Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 4. Efeito Fotoelétrico:4. Efeito Fotoelétrico: Caráter Corpuscular da Radiação • A radiação eletromagnética de frequência ν possui somente valores

de energia múltiplos de hν.

• Esta observação levou Einstein(*)_{a sugerir, em 1905, que a} radiação seja composta de partículas de energia hν: fótons.

➔_{Segundo este modelo, a intensidade da radiação está associada ao}

número de fótons emitidos pela fonte.

➔_{O caráter corpuscular se manifesta apenas na interação da}

radiação com a matéria.

• A propagação ocorre com intensidades dadas pela amplitude da onda eletromagnética associada: difração e interferência.

(*) Albert Einstein, físico alemão (1879-1955).

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 4. Efeito Fotoelétrico:4. Efeito Fotoelétrico: Caráter Corpuscular da Radiação • Forte indício para a validade da hipótese de Einstein(*)_{é fornecida}

pelo efeito fotoelétrico.

• Este efeito corresponde a emissão de elétrons da superfície de um metal quando exposto à radiação ultravioleta, para o qual: 1. Não se observa emissão sob qualquer intensidade, a menos que a

radiação possua frequência superior a certo valor crítico; 2. A energia dos elétrons emitidos cresce com a frequência da

radiação incidente, e independente da intensidade da radiação; 3. Mesmo sob baixa intensidade, os elétrons são emitidos

imediatamente após a incidência da radiação. Introdução

(*) Albert Einstein, físico alemão (1879-1955).

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 4. Efeito Fotoelétrico:4. Efeito Fotoelétrico: Caráter Corpuscular da Radiação • Estas observações sugerem que a ejeção do elétron ocorre quando

este colide com uma partícula.

• A partícula colidente deve ter energia suficiente para arrancar o elétron do metal.

➔Se admitirmos que a partícula tem energia hν e que Ф seja a

energia mínima para remover o elétron (função trabalho), então:

onde EK é a energia cinética do elétron ejetado pela incidência da radiação de frequência ν: equação de uma reta em ν! Introdução

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Otávio Santana

– 4. Efeito Fotoelétrico:4. Efeito Fotoelétrico: Caráter Corpuscular da Radiação

Otávio Santana

• Ex.#1: Determinação do Número de Fótons

– (a) Calcule o número de fótons emitido por uma lâmpada amarela de 100 W, em 1,0 s. Considere o comprimento de onda da luz amarela como 560 nm e admita que a eficiência da lâmpada seja de 100 %.

(b) Calcule o tempo necessário para esta lâmpada produzir 1,0 mol de fótons.

Dados: h = 6,626×10-34_{J·s, c = 2,998×10}8_m·s-1_.

Nota: Operando a 100 % de eficiência esta lâmpada produziria apenas fótons com o comprimento de onda mencionados, sem produzir calor.

Introdução

Resp.: (a) N = 2,82×1020_{fótons; (b) Δt = 35,6 min.}

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 5. Efeito Compton:5. Efeito Compton: Caráter Corpuscular da Radiação • Apesar do modelo de Einstein explicar o efeito fotoelétrico, a ideia

de “partículas de luz” não foi prontamente aceita.

• O efeito (ou espalhamento) Compton(*)_{, no entanto, forneceu a} comprovação de que o quantum de luz é uma partícula. Introdução

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Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 5. Efeito Compton:5. Efeito Compton: Caráter Corpuscular da Radiação • Apesar do modelo de Einstein explicar o efeito fotoelétrico, a ideia

de “partículas de luz” não foi prontamente aceita.

• O efeito (ou espalhamento) Compton(*)_{, no entanto, forneceu a} comprovação de que o quantum de luz é uma partícula.

➔_{Devido as leis de conservação (energia e momento), a variação do}

comprimento de onda entre o fóton incidente e o espalhado é:

onde me é a massa do elétron e θ ângulo de espalhamento: θ > 0 ⇒ Δλ > 0 ≡ Aumento no comprimento da onda espalhada.

(*) Arthur Compton, físico americano (1892-1962).

E

fóton

=

hν =

hc

λ , p

fóton

=

h

λ ⇒ Δ λ =

_m

h

e

c

(1−cosθ)

• Observações Experimentais Cruciais:

– 6. Difração de Elétrons:6. Difração de Elétrons: Caráter Ondulatório da Matéria • A partir de 1923, de Broglie(*)_{apresentou uma série de trabalhos}

sobre a teoria dos quanta (plural de quantum) de energia.

➔Estes trabalhos foram fundamentais para o surgimento da

mecânica quântica (ondulatória) .

➔_{A hipótese central de seu trabalho era a de que poderia haver uma}

simetria mais ampla no comportamento dual onda-partícula.

➔_{Se ondas podem se comportar como partículas, poderiam}

partículas se comportar como ondas, segundo as equações: Introdução

(*) Louis de Broglie, físico francês (1892-1987).

E = hν ⇔ ν =

E

h

, p =

h

λ

⇔

λ =

h

_p

?

• Observações Experimentais Cruciais:

➔_{De Broglie apresentou evidências de suas ideias aplicando}

conceitos ao modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio.

➔Notou-se que a condição de quantização do momento angular

proposto por Bohr corresponderia a uma onda estacionária.

➔Das relações de simetria, estima-se o comprimento de onda do

elétron em um átomo de hidrogênio é dado por: Introdução

λ

n

=

h

(−2m

e

E

n

)

1/2

≈

3,3 Å , n = 1

(13)

Otávio Santana

➔De Broglie apresentou evidências de suas ideias aplicando

conceitos ao modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio.

➔Notou-se que a condição de quantização do momento angular

proposto por Bohr corresponderia a uma onda estacionária.

➔_{O comprimento de onda de elétrons acelerados por uma diferença}

de potencial V é dado por:

λ

n

=

_(2m

h

e

eV )

1/2

≈

6,1 pm , V = 40 kV

(*) Louis de Broglie, físico francês (1892-1987).

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 6. Difração de Elétrons:6. Difração de Elétrons: Caráter Ondulatório da Matéria • Davisson(*)_{, Germer}(**)_{(em 1925) e Thomson}(***)_{(em 1927)}

observaram a difração de elétrons em metais cristalinos.

➔A difração é um efeito relacionado a ondas, devido a interferência

que ocorre da sobreposição de máximos e mínimos da onda .

➔_{Quando máximos se sobrepõem: interferência construtiva;}

quando máximos e mínimos se sobrepõem: interf. destrutiva.

➢₁₁aa_observação_{observação (1925): interferência devido a reflexão entre}

diferentes planos do cristal. 2

2aa_observação_{observação (1927): interferência em um feixe de elétrons que}

atravessa uma fina folha de ouro. Introdução

(*)_{Clinton Davisson, físico americano (1881-1958).} (**)_{Lester Germer, físico americano (1896-1971).} (***) George Thomson, físico inglês (1892-1975).

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

– 6. Difração de Elétrons:6. Difração de Elétrons: Caráter Ondulatório da Matéria • Davisson(*)_{, Germer}(**)_{(em 1925) e Thomson}(***)_{(em 1927)}

observaram a difração de elétrons em metais cristalinos. Introdução

(*)_{Clinton Davisson, físico americano (1881-1958).} (**) Lester Germer, físico americano (1896-1971).

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Otávio Santana

• Ex.#2: Comprimento de Onda de de Broglie

– Estime o comprimento de onda de elétrons acelerados por uma diferença de potencial de 40 kV, a partir do repouso. Dados: h = 6,626×10-34_J·s, m_e = 9,109×10-31_{kg, e = 1,609×10}-19_C. Resp.: λ = 6,1 pm. 78 Otávio Santana Otávio Santana

• Conclusões Importantes:

– Quantização da Energia:Quantização da Energia:

• Radiação de Corpo Negro, Capacidades Caloríficas, Espectros Atômicos e Moleculares.

– Comportamento Corpuscular da Radiação Eletromag.:Comportamento Corpuscular da Radiação Eletromag.: • Efeito Fotoelétrico,

Espalhamento Compton.

– Comportamento Ondulatório da Matéria:Comportamento Ondulatório da Matéria: • Difração de Elétrons. Introdução D u a lid a d e O n d a -P a rt íc u la 79 Otávio Santana Otávio Santana

• Conclusões Importantes:

– Relações de Planck-Einstein:Relações de Planck-Einstein: •

➔Quantização da Energia

•

➔Comportamento Corpuscular da Radiação Eletromagnética

Introdução

E = hν = ℏ ω

Energia do fóton [Planck ]

⃗p = ℏ ⃗k ⇔ | ⃗k | = 2

_λ

π

Vetor de Onda

[Einstein]

| ⃗p| = ℏ | ⃗k | =

(

h 2π

)

(

2π

(15)

Otávio Santana

Fim da Parte 1

Origens da Mecânica Quântica

Otávio Santana

• Mecânica Clássica:

– A descrição do movimento é determinística: determinística

Trajetórias perfeitamente definidas.

➔ Eq. de Movimento (Newton, séc. 1687): F = m·a → r = f(t)

• Mecânica Quântica:

– A descrição do movimento é probabilística: probabilística

Estado*_{descrito por uma função de onda.}

➔ Eq. de Onda (Schrödinger, séc. 1925): Função de Onda?

*_{O que inclui energia e distribuição espacial.} Dinâmica de Sistemas Microscópicos

Otávio Santana

• Equação de Schrödinger (Erwin Schrödinger, 1926):

(*)

– Determinação da função de onda de qualquer sistema. (Postulado da Mecânica Quântica)

– Equação Dependente do Tempo:

(Partícula de massa m e energia E dependente do tempo)

∇2_{≡ Nabla}

∇2_{≡ Nabla Dois ou Laplaciano} Dinâmica de Sistemas Microscópicos

−

ℏ

2

2m

∇

2

_Ψ

_(⃗

_{r ,t) + V (⃗r ,t)}

_Ψ

_(⃗

_{r ,t ) = i ℏ ∂}

∂

t

Ψ

(⃗

r ,t)

(16)

Otávio Santana

• Equação de Schrödinger (Erwin Schrödinger, 1926):

(*)

– Determinação da função de onda de qualquer sistema. (Postulado da Mecânica Quântica)

– Equação Independente do Tempo:

(Partícula de massa m e energia E dependente do tempo)

∇2_{≡ Nabla}

∇2_{≡ Nabla Dois ou Laplaciano}

−

ℏ

2

2m

∇

2

_ψ

(⃗

r ) + V (⃗r)

ψ

(⃗

r ) = E

ψ

(⃗

r )

(*) Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger, físico austríaco (1887-1961).

Otávio Santana

• Equação de Schrödinger (Erwin Schrödinger, 1926):

– Operador Hamiltoniano Operador Hamiltoniano ĤĤ(*)

• A equação de onda pode ser escrita em uma forma compacta com a introdução do operador Ĥ.

➔Dependente do Tempo:

➔_{Independente do Tempo}

Dinâmica de Sistemas Microscópicos

^H

Ψ

(⃗

r ,t) = i ℏ ∂

∂

t

Ψ

(⃗

r ,t )

^H = −

ℏ

2

2m

∇

2

₊

_{V (⃗r ,t)}

^H

ψ

(⃗

r ) = E

ψ

(⃗

r )

^H = −

ℏ

2

2m

∇

2

+

V (⃗r)

(*) William Rowan Hamiltom, físico e matemático irlandês (1805-1865).

Otávio Santana

• Equação de Schrödinger (Erwin Schrödinger, 1926):

– Operador Hamiltoniano Operador Hamiltoniano ĤĤ(*)

• A equação de onda pode ser escrita em uma forma compacta com a introdução do operador Ĥ.

➔_{O ponto importante é que:}_{O ponto importante é que:}

1. O operador Ĥ atua sobre a função de onda ψ da mesma forma que uma derivada d/dx sobre qualquer função f(x).

Observe que a derivada d/dx é, também, um operador! 2. A equação de onda assume formas diferentes, dependendo do

sistema em consideração, em função do operador laplaciano ∇2_. Por exemplo, no caso unidimensional: ∇2_{= d}2_/dx2_.

A forma final de Ĥ também depende do potencial V(r,t). Dinâmica de Sistemas Microscópicos

(17)

Otávio Santana

– Operador Laplaciano ∇Operador Laplaciano ∇22_{: Exemplos}_{: Exemplos}

1. Unidimensional: 2. Tridimensional: 3. Simetria Esférica: ∇2_{≡ Laplaciano}(*) Λ2_{≡ Legendriano}(**) ∇2 = d 2 dx2 ∇2 = ∂2 ∂x2+ ∂ 2 ∂y2+ ∂2 ∂z2 ∇2 = ∂2 ∂r2+ 2 r ∂ ∂r + 1 r2Λ 2 Λ2 = 1 senθ

(

∂ ∂θsenθ

)

∂∂θ+ 1 sen2_θ ∂2 ∂ϕ2

(*)_{Pierre-Simon Laplace, matemático e astrônomo francês (1749-1827).} (**) Adrien-Marie Legendre, matemático francês (1752-1833).

Otávio Santana

• Interpretação de Born (Max Born, ~1920):

– Significado da Função de Onda Significado da Função de Onda Ψ

➔_{Se a função de onda de uma partícula}

vale Ψ em um ponto x, então a proba-bilidade de se encontrá-la entre x e x+dx é proporcional a |Ψ|2_dx. |Ψ|2_{dx ≡ Probabilidade} |Ψ|2 _{≡ Densidade de Probabilidade} Ψ ≡ Amplitude de Probabilidade |Ψ|2 _{= Ψ*Ψ} Ψ* = Complexo Conjugado de Ψ

Otávio Santana

• Interpretação de Born (Max Born, ~1920):

➔_{Se a função de onda de uma partícula}

vale Ψ em um ponto r, então a proba-bilidade em um volume infinitesimal dτ é proporcional a |Ψ|2_dτ. |Ψ|2_{dτ ≡ Probabilidade} |Ψ|2 _{≡ Densidade de Probabilidade} Ψ ≡ Amplitude de Probabilidade |Ψ|2 _{= Ψ*Ψ} Ψ* = Complexo Conjugado de Ψ

(18)

Otávio Santana

• Interpretação de Born (Max Born, ~1920):

➔_{O sinal da função de onda em um}

determinado ponto do espaço não possui significado físico direto! (A função pode mesmo ser complexa!)

➔_{Efeito indireto: possibilidade de}

ocorrência do fenômeno de inter-ferência construtiva ou destrutiva. (Sobreposição de funções)

Otávio Santana

• Ex.#3: Interpretação da Função de Onda

– Para um elétron em um átomo de hidrogênio no estado de energia mais baixa, tem-se: ψ1s = e-r/a0, onde a0 é uma

constante e r a distância elétron-núcleo. Calcule as probabilidades relativas de se encontrar o elétron em uma região de volume 1,0 pm3_{localizado (a) no núcleo e (b) a uma}

distância a0 do núcleo. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

Resp.: 7,1.

Otávio Santana

• Interpretação de Born (Max Born, ~1920):

– Normalização:Normalização:

• O operador Ĥ é linear, ou seja, atua em qualquer combinação linear de funções Ψi na forma:

➔Consequência: se Ψ for uma solução da equação de autovalor, _{Consequência:}

então qualquer função NΨ também será uma solução aceitável.

➔Solução: é sempre possível encontrar uma constante N que torne a _Solução:

interpretação de Born uma relação matemática bem definida.

➔_{Fundamentação: a probabilidade de encontrar a partícula em}_{Fundamentação:}

algum lugar, considerando todo o volume do espaço, é 1. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

^

(19)

104 Otávio Santana Otávio Santana – Normalização:Normalização: ➔_Definição:_Definição: ➔_{Procedimento:}_{Procedimento:}

| N Ψ (⃗r ,t )|

2

_{d τ = (N Ψ}

*

₎₍

_{N Ψ )d τ}

≡

Probabilidade em ⃗r no instante t

∫

| N Ψ (⃗r , t )|

2

_{d τ = N}

2

_∫

_Ψ

*

_Ψ

_{d τ = 1 ⇒ N =}

1 (∫

Ψ

*

_Ψ

_{d τ}

₎

1/ 2 Integral em todo o espaço acessível a partícula

Otávio Santana

• Ex.#4: Normalização de uma função de onda

– Normalize a função de onda do orbital 1s para um elétron em um átomo de hidrogênio: ψ1s = e-r/a0.

Dados:

Resp.: N = (1/πa03)1/2. [N] = [Volume-1/2] = [Comprimento-3/2]

∫

0 ∞ xn_e−ax_{dx =} n! an+1 d τ = r2_{senθ dr d θ d φ} 107 Otávio Santana Otávio Santana

• Restrições às Funções de Onda:

– Condições:Condições:

1. A função de onda deve ser finita em todo o seu domínio. (A menos que seja infinita em um intervalo de largura nula) [Probabilidades finitas em cada ponto do espaço] 2. A função de onda deve ser unívoca.

(Ou seja, deve possuir apenas um valor em cada ponto do espaço) [Probabilidades unívocas em cada ponto do espaço]

3. A função de onda deve ser contínua e derivável. (De modo que a sua derivada segunda exista)

[Condição para a existência de solução da equação de Schrödinger] Dinâmica de Sistemas Microscópicos

(20)

Otávio Santana

• Restrições às Funções de Onda:

– Condições:Condições:

1. A primeira restrição diz respeito ao fato de que a integral para a constante de normalização deve ser bem definida, não podendo ser nula ou infinita: a integral de | Ψ|2_{deve ser finita.} 2. A segunda está associada ao fato de que a probabilidade de

localização de uma partícula em um ponto do espaço só pode assumir um valor.

3. A terceira é consequência de que a equação de Schrödinger é uma equação diferencial de segunda ordem, de modo que a segunda derivada de Ψ deve existir em todos os pontos do espaço.

➔_{Estas restrições são severas e levam a soluções que, em geral,}

possuem energias quantizadas.

Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

– Operadores, Autofunções & Autovalores:Operadores, Autofunções & Autovalores:

• Uma equação de autovalorequação de autovalor consiste em uma forma sistemática de extrair informações das funções de onda. Possuem a forma geral:

onde para cada autovalorautovalor corresponde uma autofunçãoautofunção. Autovalor = Valor próprio da função

• A equação de Schrödingerequação de Schrödinger é um exemplo de equação de autovalor,

uma vez que pode ser escrita nesta forma:

onde o autovalor E corresponde a energia total do estado descrito pela função de onda Ψ, autofunção do operador Hamiltoniano Ĥ. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

(Operador )(Função) = (Valor )

_⏟

Autovalor (Função)

⏟

Autofunção

^H

Ψ

(⃗

r , t ) = E

Ψ

(⃗

r , t )

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

• Se Ω representar um operador qualquer, associado a um autovalor ω, então, no caso geral:

onde para cada autovalor ω corresponde uma autofunção Ψ. Nota: o índice “n” distingue diferentes soluções (valores/funções). • Qualquer propriedade física mensurável (“observável”) está

associada a um operador, segundo a relação:

Nota: autovalor = um dos possíveis resultados de uma medida. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

^Ω

Ψ

_n

(⃗

r , t) =

ω

_n

Ψ

_n

(⃗

r , t )

[

Operador associado

(21)

Otávio Santana

• Os operadores Ω, associados a diferentes propriedades físicas, são formados a partir dos operadores posição e momento linear:

➔_{Operador Energia Potencial (Harmônico) :}_{Operador Energia Potencial (Harmônico)}

➔_{Operador Energia Cinética :}_{Operador Energia Cinética}

^

x = x , ^p

_x

=

ℏ

i

d

dx

V =1 2kx 2 ⇒ V =^ 1 2kx 2 EK= px 2 2m ⇒ E^K=_2m1

(

ℏ idxd

)(

ℏ idxd

)

= − ℏ2 2md 2 dx2 ^ H = ^EK+ ^V 115 Otávio Santana Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

• A forma do operador energia cinética fornece uma importante informação sobre a função de onda Ψ:

➔A energia cinética está

associada a curvatura da função de onda. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

• A forma do operador energia cinética fornece uma importante informação sobre a função de onda Ψ:

➔_{A energia cinética está}

associada a curvatura da função de onda. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

(22)

Otávio Santana

• Ex.#5: Identificação de uma Autofunção

– (a) Mostre que eax_{é uma autofunção do operador d/dx e}

encontre o seu autovalor.

(b) Mostre que eax2_{não é uma autofunção do operador d/dx.}

Resp.: Questão teórica...

Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

– Superposições, Ortogonalidades & Valores EsperadosSuperposições, Ortogonalidades & Valores Esperados • Se ψ não for uma autofunção de Ω, a propriedade associada ao

operador não possui um valor definido.

• Esta situação ocorre quando ψ for uma combinação linear (superposição) de autofunções do operador Ω.

➔As autofunções ψ

n do operador Ω formam um conjunto completoconjunto completo:

Qualquer função ψ pode ser escrita como uma combinação linear das autofunções ψn: {ψn} = conjunto de base.

n do operador Ω são ortogonaisortogonais:

Autofunções com autovalores diferentes são ortogonais; se “degeneradas” (autovalores iguais) podem ser ortogonalizadas. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

– Superposições, Ortogonalidades & Valores EsperadosSuperposições, Ortogonalidades & Valores Esperados • Se ψ não for uma autofunção de Ω, a propriedade associada ao

operador não possui um valor definido.

• Esta situação ocorre quando ψ for uma combinação linear (superposição) de autofunções do operador Ω.

➔As autofunções ψ_n do operador Ω formam um conjunto completoconjunto completo:

n do operador Ω são ortogonaisortogonais:

ψ

(⃗

r ) =

∑

n

c

_n

ψ

_n

∫

ψ

_i*

_ψ

j

d

τ

=

δ

ij (Superposição) (Ortonormalidade)

(23)

Otávio Santana

– (a) Mostre que sen(θ) e sen(2θ) são autofunções do operador

d2_/dθ2_{e encontre os autovalores.}

(b) Mostre que estas autofunções são ortogonais. Dado:

se: a2_{≠ b}2_.

∫

sen(aθ )sen(bθ)d θ =sen[(a−b)θ] 2(a−b) − sen[(a+b)θ] 2(a+b) +const . 126 Otávio Santana Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

– Superposições, Ortogonalidades & Valores EsperadosSuperposições, Ortogonalidades & Valores Esperados 1. Em cada medida obtém-se um dos possíveis autovalores ωn,

correspondente a uma das autofunções ψn da superposição;

2. A probabilidade de se obter o autovalor ωn é proporcional ao

quadrado do coeficiente da autofunção ψn (|cn|2).

3. O valor médio de um grande número de medidas é dado pelo valor esperado

valor esperado <Ω> do operador Ω:

Nota: assume-se que a função de onda ψ seja normalizada. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

⟨Ω⟩ =

∫

ψ

*

_Ω

_^

_ψ

_d

_τ

₌

_∑

n

| c

n

|

2

ω

n 129 Otávio Santana Otávio Santana

• Ex.#7: Cálculo de um Valor Esperado

– Calcule o valor médio da distância de um elétron ao núcleo, no átomo de hidrogênio, no estado de energia mais baixa. Dados: ψ1s(H) = (1/πa03)1/2e-r/a0 (normalizada), a0 = 52,9 pm. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

(24)

Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

– Exemplo: Partícula LivreExemplo: Partícula Livre

• Consideremos uma partícula de massa m que se move livremente com energia potencial nula ao longo do eixo x. Tem-se:

➔_{Que informações podemos extrair desta solução?}

^ H ψ(⃗r) = E ψ(⃗r) ^ H = −ℏ 2 2m∇ 2 +V (⃗r) ∇2 = d 2 dx2 V (⃗r ) = 0

−

ℏ

2

2 m

d

2

_ψ(

_x)

dx

2

=

E ψ( x)

∴ ψ( x) = Ae

ikx

₊

_Be

−ikx

₌

_Ce

±ikx

∴ E =

k

2

ℏ

2

2m

Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

– Exemplo: Partícula LivreExemplo: Partícula Livre • Densidade de Probabilidade

➔_{A ≠ 0, B = 0 (similar para A = 0, B ≠ 0):}

➔_{Densidade constante:}

independente de x.

➔_{Não há como prever}

onde está a partícula. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

∴ | ψ( x)|

2

_{= (}

_Ae

ikx

₎

*

₍

_Ae

ikx

_{) = (}

_Ae

−ikx

₎₍

_Ae

ikx

_{) =}

_{| A |}

2

Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

– Exemplo: Partícula LivreExemplo: Partícula Livre • Densidade de Probabilidade

➔A = B ≠ 0:

➔_{Densidade periódica:}

dependente de x.

➔_{Onde está a partícula?}

Ocorrência de nósnós. Nó: ponto onde a densidade é nula. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

(25)

Otávio Santana

– Exemplo: Partícula LivreExemplo: Partícula Livre • Momento Linear

➔A ≠ 0 e B = 0 (ou A = 0, B ≠ 0):

➔_{Resultado de acordo com a}

relação de de Broglie

➔Sinal +: movimento no sentido dos x positivos;

Sinal –: movimento no sentido dos x negativos. Os dois movimentos possuem a mesma energia total E.

∴ ^p

_x

ψ(

x ) = p

_x

ψ(

x) ⇒

ℏ

i

d ψ( x )

dx

=

p

x

ψ (

x ) ⇒ p

x

= ±

k ℏ

= ±

h

λ

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

– Exemplo: Partícula LivreExemplo: Partícula Livre • Momento Linear

➔_{A = B ≠ 0:}

➔_{Esta não é uma}

equação de autovalor!

➔_{Qual o valor do momento linear? Neste caso, indefinido.}

ψ = Superposição de funções de onda ψ+ e ψ–.

Algumas medidas fornecerão + kħ, outras -kħ. Cálculo de <px>...

∴ ^p

x

ψ(

x ) = p

x

ψ(

x) ⇒

ℏ

i

d ψ( x )

dx

= −2

k ℏ

i

Asen(kx )

• Princípio da Incerteza (de Heisenberg)

– Posição & MomentoPosição & Momento

• O resultado obtido para a partícula livre resume o exemplo de um princípio geral da Mecânica Quântica:

➔_{“É impossível se determinar simultaneamente e com a precisão}

“que se queira a posição e o momento de uma partícula. ” (para cada direção do espaço)

➔_{Por exemplo, ao longo do eixo x:}

Δ

x Δ p

x

≥

1 ₂

ℏ

,

(

⟨

q

2

⟩−⟨

q⟩

2

)

1/2

, q = x , p

x

Desvio médio quadrático em relação ao valor médio

(26)

Otávio Santana

• Princípio da Incerteza (de Heisenberg)

– Observáveis ΩObserváveis Ω₁1 e Ω e Ω22

• O princípio é mais geral, pois se aplica a qualquer par de observáveis complementares

observáveis complementares .

➔Dois observáveis Ω

1 e Ω2 são complementares quando os

operadores correspondentes não comutam.

(a ordem em que atuam sobre a função de onda afeta o resultado)

➔_{Matematicamente:}

^

Ω

₁

Ω

^

₂

Ψ ≠ ^Ω

2

Ω

^

1

Ψ

[ ^

Ω

1,

Ω

^

2

] = ^

Ω

1

Ω

^

2

− ^

Ω

2

Ω

^

1 Comutador 144 Otávio Santana Otávio Santana

• Princípio da Incerteza (de Heisenberg)

– Observáveis ΩObserváveis Ω₁1 e Ω e Ω22

• A partir dos conceitos de observáveis complementares e de comutação, pode-se enunciar o princípio da seguinte forma:

➔_{“É impossível se determinar simultaneamente e com a precisão}

“que se queira qualquer par de observáveis complementares. ” (para cada direção do espaço)

➔Matematicamente:

Δ Ω

1

Δ Ω

2

Ψ ≥

1

2 | ⟨[ ^Ω

1,

^

Ω

2

]⟩|

Valor esperado do Comutador de Ω1 e Ω2 145 Otávio Santana Otávio Santana

• Princípio da Incerteza (de Heisenberg)

– Exemplo: Pacote de OndaExemplo: Pacote de Onda

• É possível representar uma função de onda bem localizada a partir da superposição de um grande número de funções do tipo eikx_.

• Neste caso, cada componente possui um valor diferente de k e, portanto, diferentes contribuições de momento p = ħk.

➔Consequências: _{Consequências:}

Pequena incerteza na posição x. Grande incerteza no momento p. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

(27)

Otávio Santana

– Mostre que os operadores posição x e momento linear px não

comutam, sendo, portanto, observáveis complementares.

Otávio Santana

• Ex.#9: Aplicação do Princípio da Incerteza

– (a) A velocidade de um projétil de massa 1,0 g é conhecida com incerteza de 1 μm·s-1_{. Calcule a incerteza mínima na}

posição do projétil.

(b) Repita o cálculo considerando a massa de um elétron. Dado: ħ = 1,055x10-34_{J·s, m}

e = 9,109x10-31 kg. Dinâmica de Sistemas Microscópicos

Resp.: (a) Δx ≥ 5x10-26_{m, (b) Δx ≥ 60 m.}

Otávio Santana

Introdução à Mecânica Quântica Introdução à Mecânica Quântica Dinâmica de Sistemas Microscópicos

Fim da Parte 2

(28)

Otávio Santana

• Movimento de Translação

– Partícula LivrePartícula Livre

• Vimos que, para uma partícula livre de massa m em uma dimensão, a solução da equação de Schrödinger leva a:

➔_{As soluções dependem do parâmetro k, para o qual não há}

restrições para o seu valor.

➔Ou seja, todos os valores de k são permitidos:

para este sistema as energias não são quantizadas.

^

H ψ( x) = E ψ (x )

^

H = −

ℏ

2

2 m

d

2

dx

2

ψ

k

(

x ) = Ae

+ikx

₊

_Be

−ikx

_{, E}

k

=

ℏ

2

k

2

2m

⇒

• Movimento de Translação

– Partícula em Uma Caixa: Uma DimensãoPartícula em Uma Caixa: Uma Dimensão

• Para uma partícula de massa m em uma caixa unidimensional, com paredes em x = 0 e x = L (V = 0 no interior, V = ∞ nas paredes): Aplicações a Microssistemas

Otávio Santana

• Movimento de Translação

• Para uma partícula de massa m em uma caixa unidimensional, com paredes em x = 0 e x = L (V = 0 no interior, V = ∞ nas paredes):

➔_{As soluções dependem do parâmetro k, mas agora os valores são}

restritos devido as condições de contorno.

➔_{Ou seja, apenas alguns valores de k são permitidos:}

para este sistema as energias são quantizadas. Aplicações a Microssistemas

^

H ψ( x) = E ψ (x )

^

H = −

ℏ

2

2 m

d

2

dx

2

ψ

k

(

x ) = Ae

+ikx

₊

_Be

−ikx

_{, E}

k

=

?

0 ≤ x ≤ L

(29)

Otávio Santana

➔_{As soluções em termos das funções harmônicas trigonométricas}

são equivalentes a solução complexa em e±ikx_.

➔No entanto, a análise em termos destas novas soluções é bastante

simplificada.

^

H ψ( x) = E ψ (x )

^

H = −

ℏ

2

2 m

d

2

dx

2

ψ

k

(

x ) = C cos(kx )+D sen(kx) , E

k

=

?

0 ≤ x ≤ L 158 Otávio Santana Otávio Santana

• Movimento de Translação

• Para uma partícula de massa m em uma caixa unidimensional, com paredes em x = 0 e x = L (V = 0 no interior, V = ∞ nas paredes): 1. As solução não-nula está restrita ao interior da caixa, pois a

partícula não pode estar presente onde o potencial é infinito. 2. No entanto, como a função não pode conter descontinuidades,

a solução nas paredes deve satisfazer as condições de contorno:

3. Esta condição é satisfeita apenas se os comprimentos de onda da partícula forem restritos aos valores quantizados:

Aplicações a Microssistemas

ψ

_k

(0) = 0, ψ

_k

(

L) = 0

n ×½ λ = L ⇒ λ =

2L

n

, n = 1, 2, 3. ..

• Movimento de Translação

• Para uma partícula de massa m em uma caixa unidimensional, com paredes em x = 0 e x = L (V = 0 no interior, V = ∞ nas paredes): Aplicações a Microssistemas

(30)

Otávio Santana

• Movimento de Translação

➔Esta condição é equivalente a restrição aos coeficientes C = 0,

D ≠ 0 e ao argumento da função trigonométrica aos valores:

∴ ψ

_n

(

x ) = D sen

[

(

n π

L

)

x

]

, n = 1, 2, 3... ⇒ E

n

=

n

2

_h

2

8m L

2 ψk(x ) = D sen(kx) , kL = nπ, n = 1, 2, 3. .. 161 Otávio Santana Otávio Santana

QuimFisica4Cap1 (Introdução à Mecânica Quântica)[Aula]

Físico-Química IV

Físico-Química IV

Química Quântica & Espectroscopia

Química Quântica & Espectroscopia

• CONTEÚDO

• Mecânica Clássica:

• Observações Experimentais Cruciais:

• Observações Experimentais Cruciais:

• Observações Experimentais Cruciais:

• Observações Experimentais Cruciais:

• Observações Experimentais Cruciais:

• Observações Experimentais Cruciais:

Є = aT

⇔

M = σT

σ

=

5,67×10⁻⁸ Wm⁻²K ⁻⁴

T λ

=

1

5

c

c

=

1,44 cm K

• Observações Experimentais Cruciais:

dЄ = ρ(λ ,T )d λ

ρ( λ

, T ) =

8π k

T

λ

• Observações Experimentais Cruciais:

dЄ = ρ(λ ,T )d λ

ρ( λ

, T ) =

8π k

T

λ

ρ( λ

, T ) =

8 π hc

λ

(

e

−1)

dЄ = ρ(λ ,T )d λ

• Observações Experimentais Cruciais:

Є =

∫

ρ( λ

, T )d λ = aT

, a = 4σ

c

, σ =

2π

k

T

15 c

h

σ

=

5,6704 × 10⁻⁸ Wm⁻ ²K ⁻ ⁴

• Observações Experimentais Cruciais:

T λ

= 1

5

(

hc

k

)

, c

= hc

k

• Observações Experimentais Cruciais:

• Observações Experimentais Cruciais:

U

=

_⇔

_{M = σT}

₅

₍

_e

₋₁₎

_{, a = 4σ}

_k

_h

₌

_{5,6704 × 10⁻⁸ Wm⁻ ²K ⁻ ⁴}

_{= hc}

₋₁

_n

_n

_e

_m

_ε

_ℏ