CONHECENDO E EXPLORANDO ÂNGULOS

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Anais do II Seminário de Escrita e Leitura em Educação Matemática. São Paulo, 2013

CONHECENDO E EXPLORANDO ÂNGULOS

Vitor Paulo Rodolfo de Souza vitimprds@gmail.com

Maria Aparecida Teixeira de Siqueira mariatsiqueira@hotmail.com

Iris Aparecida Custódio irisapcustodio@gmail.com Francilmar Andréia da Silveira andreiafrancilmar8@gmail.com Zilda Carvalho Pereira Altomare

zildaaltomare@oi.com.br Silvia Maria Medeiros Caporale

silviacaporale@dex.ufla.br Resumo

Neste trabalho apresentamos um recorte do projeto “Encaixando ideias: a geometria dos mosaicos”, desenvolvido com alunos do sexto ano de uma Escola Municipal de Lavras/MG e coordenado pelo grupo de trabalho (GT) do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação a Docência - PIBID de Matemática da Universidade Federal de Lavras, no período de maio a novembro de 2012. O Objetivo do projeto foi trabalhar com a geometria, através de mosaicos, numa perspectiva de resolução de problemas. Para finalização do mesmo, foram confeccionados mosaicos geométricos, feitos a partir de restos de pisos. As atividades aconteceram no mês de maio com objetivo de propiciar aos alunos a compreensão do conceito de ângulo. Para isso, utilizamos materiais como: transferidor, régua, folha de atividades e um compasso “gigante” construído de barbante, nosso intuito foi explorar o conceito de ângulo a partir do movimento. Ao elaborar as atividades para conceituar ângulo, surgiram outras necessidades, como a de trabalhar com a compreensão de assuntos relacionados a frações, retas, semirretas, segmentos de retas e ponto. Percebemos que as maiores dificuldades apareceram ao trabalhar com as frações e as medidas de ângulos, porém ao final desta etapa conseguimos avanços significativos no que diz respeito à compreensão e a postura investigativa dos estudantes. Por fim, alcançamos nossos objetivos e assim pudemos dar continuidade ao projeto.

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INTRODUÇÃO

Fazemos parte do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) na área de Matemática, da Universidade Federal de Lavras (UFLA), atuamos em uma Escola Municipal da cidade de Lavras/MG, com alunos de sexto ano.

Em 2012 iniciamos o projeto “Encaixando ideias: a geometria dos mosaicos”. O mesmo surgiu com a sugestão da professora da escola de trabalhar com mosaicos, unindo Matemática e arte. Baseamo-nos também na metodologia de resolução de problemas, pois acreditamos que

permitir que o sujeito seja problematizador significa possibilitar que os estudantes desejem saber por que as coisas são como são, questionar, procurar soluções e solucionar incongruências. Significa que tanto o currículo quanto o ensino devem começar propondo problemas, dilemas e

questões – desafios – para os estudantes. (HIEBERT E

COLABORADORES, 1996 apud VAN DE WALLE, 2009, p.57).

Buscávamos ainda, trabalhar com mosaicos geométricos, que segundo Imenes (1996, p.16) são planos recobertos com figuras geométricas coloridas, de modo que se encaixem perfeitamente sem sobrepor uma a outra e que seus vértices se ajustem somando 360°.

Para dar prosseguimento ao projeto surgiu a necessidade de se trabalhar com o conceito de ângulo, que é definido como o encontro de dois segmentos de reta ou duas semirretas que se interceptam em um ponto. Nosso objetivo era levar os alunos a compreensão sobre o que seria um ângulo, onde podemos encontrá-lo, como identificá-lo e medi-lo, queríamos ainda que os alunos adquirissem a ideia de ângulo não estático, ou seja, de ângulo a partir do movimento. Segundo Diniz & Smole (1993 apud SALLES, 2003, p. 126) “uma visão estática de ângulos (segmentos de retas em um pedaço de papel) dificulta para os alunos a percepção do conceito de ângulo.” A seguir, apresentamos a sequência de

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Anais do II Seminário de Escrita e Leitura em Educação Matemática. São Paulo, 2013 atividades elaborada para que os alunos adquirissem esse conceito.

A ATIVIDADE “DEIXANDO RASTROS”

A primeira atividade desenvolvida foi a denominada “Deixando Rastros”, que consistia em introduzir a ideia intuitiva de ângulo, por meio do movimento em torno de um sistema de eixos ortogonais, formando uma volta completa, meia volta, um quarto de volta e assim por diante. Para o seu desenvolvimento foram necessárias quatro aulas.

Iniciamos dispondo as carteiras dos alunos em um grande círculo ao redor da sala de aula e em seguida desenhamos com giz no centro do círculo um sistema de eixos ortogonais, fixando na origem um cano de PVC por meio de uma lata com concreto. Nesse cano, amarramos dois barbantes que descreviam a proporção do círculo em função do deslocamento das extremidades do barbante, nessas extremidades estavam dois bolsistas (que representavam o ponto móvel e o ponto fixo do sistema criado), que determinavam os movimentos e o comprimento do arco descrito, como mostrado na Figura 1.

Figura 1: Sistema de eixos ortogonais montado na sala de aula.

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diante. A cada movimento os alunos registravam na folha de atividades o deslocamento descrito pelo ponto móvel e posteriormente socializavam suas conjecturas. A folha de atividades continha alguns sistemas de eixos ortogonais, onde os alunos deveriam representar cada movimento, colorindo a área varrida pelos barbantes. Muitos alunos já traziam algumas ideias intuitivas a respeito de ângulos e nos primeiros questionamentos utilizaram 360º graus para citar uma volta e 180º para meia volta.

Figura 2: Folha de atividades entregue aos alunos.

Demos continuidade com alguns questionamentos como: “Quanto o ponto móvel deveria se movimentar para que completasse uma volta? Até onde teria que ir?” Um aluno argumentou que para dar uma volta era necessário andar 360º. Então perguntamos como faria para andar 360º, caso não soubesse que uma volta era 360º? Ele então prosseguiu dizendo que o barbante móvel teria que sair do ponto de referência, dando uma volta inteira até retornar ao ponto inicial. Pedimos então, que os alunos colorissem na folha de atividade entregue, uma volta completa. Em seguida, mudamos o ponto de referência e fizemos os mesmos questionamentos, nesse momento eles não apresentaram dificuldades em enxergar que se tratava da mesma situação, mostrada anteriormente.

Fizemos outros questionamentos, como: “E agora se quisessem dar meia volta?” Imediatamente uma aluna insistiu em usar ângulos e disse que teria que andar 180°. Novamente pedimos que representassem essa situação em outro sistema de eixos ortogonais da folha de atividade, ou seja, o que seria meia volta, representando sempre o movimento do ponto móvel, de onde partiu e onde chegou.

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Como os alunos estavam sentados em círculo, ao redor do sistema de eixos ortogonais, percebemos que eles estavam enxergando as voltas em posições diferentes, por isso seus desenhos não estavam iguais, e quando eles visualizavam o desenho dos colegas, ficavam com dúvidas sobre qual deles estava correto. Então, explicamos que todos estavam certos, a diferença existia por conta do posicionamento de cada um em relação ao sistema de eixos ortogonais.

Em seguida perguntamos como fariam para percorrer um quarto de volta. Uma aluna explicou que “uma volta inteira é 360º que é uma roda, 180º é só a metade de uma roda e que um quarto é metade da metade dessa roda” (Aluna A). Questionamos se caso não soubesse como se dividir em graus aquela roda, como ela faria? A aluna respondeu que imaginaria que “a roda inteira é uma grande pizza dividida em quatro partes, se uma pessoa pegar dois pedaços da pizza, então ela comeu a metade dela, então um quarto era um pedaço dos quatro pedaços da pizza inteira” (Aluna A).

Notamos que as maiores dificuldades apresentadas pelos alunos estavam em enxergar como deveriam representar no sistema de eixos ortogonais os números racionais, vários deles sabiam explicar o que era um quarto de volta, mas não conseguiam representá-lo no sistema de eixos ortogonais.

A ATIVIDADE “DEFININDO ÂNGULOS”

Na segunda atividade pretendíamos introduzir o conceito de ângulo e logo no início da aula, após um questionamento sobre o que seria um ângulo, alguns alunos citaram definições que envolviam retas e ponto, como por exemplo, que “o ângulo é formado por duas retas que saem do mesmo ponto”. Nesse momento, interrompemos por alguns instantes o assunto sobre ângulos e aproveitamos essa fala para diferenciar retas, semirretas e segmento de reta, assunto que a maioria demonstrou já trazer noções. Comentaram que era possível diferenciar um segmento de reta de uma semirreta colocando em uma das

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extremidades da semirreta uma seta indicando que ela não tem fim. Citamos como exemplo de segmentos de reta a base do quadro, as linhas que formam o contorno da porta e os dois eixos do compasso.

Aproveitamos também a fala de uma aluna, para introduzirmos a ideia intuitiva de ponto, utilizando como exemplo do mesmo, uma estrela vista por um observador que está na Terra. Outro exemplo utilizado foi uma marca deixada no quadro, quando friccionamos o giz.

Assim, após termos trabalhado com os conceitos necessários chegou o momento de conceituar ângulos. Para preparar essa atividade tivemos que refletir muito para conseguir encontrar uma maneira de levar os alunos a essa compreensão. O grupo de trabalho se reunia semanalmente para fazer estudos teóricos e de conteúdos e para elaborar o planejamento das atividades. Além disso, sempre fazíamos uma avaliação daquelas desenvolvidas durante a semana, para identificarmos o que deu certo, o que não deu, e com base nisto, formulávamos as próximas atividades ou fazíamos o replanejamento, quando necessário. Esses momentos eram fundamentais para o crescimento do grupo e para o sucesso do nosso trabalho em sala de aula.

Um dos questionamentos que surgiram entre nós bolsistas, em uma dessas reuniões semanais, foi: “Como levar os alunos a compreensão de que ângulo não dependia do comprimento do segmento de reta, mas sim de sua abertura?”.

Então decidimos que desenharíamos no quadro vários ângulos iguais, formados por segmentos de reta de comprimento distintos, para que eles tentassem perceber esta relação.

Como previsto, muitos alunos acreditavam que os ângulos eram diferentes porque eram formados por segmentos de reta de comprimentos distintos, uns maiores e outros menores. Não observavam a abertura e sim o comprimento dos segmentos de reta.

Para tentar solucionar a dúvida suscitada, desenhamos no quadro a representação de um ângulo formado por dois segmentos de reta, segmento OR e segmento OS. Partimos de um ponto A do segmento OR e por meio do compasso fizemos uma trajetória até um ponto

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B do segmento OS; posteriormente de um ponto C do segmento OR a um ponto D de OS (Figura 3). Queríamos que os alunos percebessem que os ângulos AÔB e CÔD possuíam mesmo valor, pois não havia ocorrido variação na abertura entre os segmentos OS e OR.

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Figura 3: Representação utilizada para mostrar que os ângulos AÔB e CÔD possuíam mesmo

valor.

Nosso intuito nesse momento era que os alunos percebessem que o ângulo é uma abertura e que esta varia apenas quando há movimento de um ou dos dois segmentos de reta e não quando percorremos trajetórias partindo de um segmento e indo para outro, em que ambos estão estáticos, como na Figura 3, porque se isso acontecesse o ângulo teria várias medidas distintas, que variariam de acordo com a posição em que eram feitas as medidas. Com isso pudemos retornar aos ângulos desenhados inicialmente. Utilizando um dos ângulos, diminuímos o comprimento dos segmentos de reta, mantendo a mesma abertura e perguntamos para os alunos se ele havia diminuído, ou seja, se a abertura do ângulo havia sido modificada para menor, Figura 4. Nesse momento os alunos conseguiram perceber que todos os ângulos desenhados eram iguais, pois possuíam a mesma abertura.

Figura 4: Mesmo sendo formados por semirretas de comprimentos distintos, os ângulos são iguais,

pois possuem a mesma abertura.

Assim, pudemos definir formalmente o conceito de ângulo, que não fugiu da

O R

A B

C D

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definição dada pela aluna: “ângulo é a região limitada por duas semirretas de mesma origem”.

Posteriormente, dissemos que uma volta completa ao redor de uma circunferência mede 360º e que graus é a medida do ângulo. Mostramos como exemplo o relógio, que é uma circunferência dividida em 12 partes iguais e pedimos para que eles convertessem uma hora em graus, utilizando estratégias pessoais, mas todos dividiram 360º por 12. Depois retornamos à atividade anterior, “Deixando Rastros”, para que eles pudessem converter as voltas em graus representadas no sistema de eixos ortogonais em graus. Percebemos que a maior dificuldade foi novamente o trabalho com frações.

A ATIVIDADE “EXPLORANDO ÂNGULOS’’

A atividade ‘’Explorando Ângulos’’ teve como objetivo de ensinar os alunos a manusearem o transferidor.

Inicialmente, foi feita uma retomada do que havíamos trabalhado nas aulas anteriores, nosso intuito era ativar os conceitos desenvolvidos e avaliar do que os alunos haviam se apropriado com relação a ângulos. Entregamos folhas de papel em branco para que pudessem escrever tudo o que conseguissem lembrar para definir ângulo.

Por meio de nossas intervenções alguns alunos encontraram novas maneiras de explicar o que era um ângulo utilizando-se até mesmo de desenhos. Após algum tempo, fomos para a lousa, para que os alunos pudessem socializar as suas respostas, fizemos isso por meio de questionamentos que objetivavam chegar a uma definição, de forma coletiva, para ângulo. Percebemos que alguns alunos ainda estavam confusos, por isso houve a necessidade de retomar algumas explicações feitas na aula anterior.

Posteriormente, perguntamos se eles sabiam como poderíamos medir um ângulo e qual era o instrumento utilizado para esta finalidade. Alguns alunos disseram que poderíamos medir um ângulo utilizando a régua, mas por meio de nossos questionamentos

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perceberam que este não era um instrumento adequado, já que se tomassem pontos em posições diferentes nos segmentos de reta, a medida obtida seria diferente e como o ângulo é a abertura existente entre eles, não poderiam encontrar valores distintos para um mesmo ângulo. Neste momento, alguns alunos disseram que existia um instrumento próprio para se medir ângulos, alguns não se recordavam o nome, outros disseram ser o transferidor. Uma fala muito interessante foi colocada por uma aluna que disse que “existia uma régua específica para medir ângulos, sendo ela diferente da régua convencional” (Aluna B). Outra disse ainda, que “o transferidor podia ser utilizado para se construir círculos” (Aluna C).

A partir das dúvidas e das próprias soluções encontradas pelos alunos, apresentamos o transferidor mostrando como utilizá-lo e porque sua necessidade e importância. Primeiramente, construímos um ângulo utilizando-o e depois o medimos, a ideia era mostrar como deveria ser feito o posicionamento do instrumento para não ocorrerem erros durante as construções e suas respectivas medições.

Em seguida, pedimos aos alunos que construíssem os seguintes ângulos: 45º, 30º e 90º, nosso intuito era perceber se os alunos haviam compreendido como posicionar o transferidor. Alguns tiveram dificuldades no seu manuseio, mas ao final, por meio de nossas intervenções, todos conseguiram realizar as tarefas propostas.

Demos prosseguimento a aula com a atividade “Explorando Ângulos’’, a qual se propunha descobrir, no desenho entregue aos alunos, qual jogador estava melhor posicionado, tendo assim o melhor ângulo para chutar a bola e marcar o gol. Queríamos que os alunos descobrissem como medir ângulos posicionados de maneiras distintas, ou seja, até então os ângulos medidos e construídos estavam na mesma posição, sendo que um dos segmentos sempre se posicionava na horizontal e o outro era oblíquo, além disso, os ângulos possuíam valores, como 30º, 40º e 90º, por exemplo. Nesta tarefa, os alunos tiveram que trabalhar com ângulos como 59º e perceber que ele não pode ser considerado um ângulo de 60º.

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A grande maioria mostrou ter dificuldades de manusear o transferidor, portanto foi preciso nosso auxílio para que concluíssem o que estava sento solicitado, já que este era o primeiro contato deles com o instrumento. Mas, acreditamos que em atividades futuras com o instrumento, se tornará mais fácil seu manuseio, já que eles puderam ter um primeiro contato com o mesmo.

CONCLUSÃO

Finalizando esta sequência de atividades percebemos que o bom desenvolvimento das mesmas se deu por vários fatores como: o apoio da escola, os materiais utilizados e principalmente o interesse dos alunos em participar e construir conhecimento.

Sabemos que estas atividades poderiam não ter os mesmos resultados se não tivéssemos tudo isso a nosso favor. Talvez em outros contextos tivéssemos que nos organizar de maneira diferente, até mesmo porque trabalhamos com um grupo formado por um professor e mais três bolsistas, o que facilitou o acompanhamento de perto de cada aluno. Se trabalhássemos individualmente não teríamos toda esta disposição de tempo e de reflexão sobre a atividade.

Outro fato que contribuiu para que desempenhássemos nosso trabalho de maneira satisfatória foram às socializações entre nosso grupo do PIBID. Nas reuniões semanais analisávamos as atividades trabalhadas com o intuito de identificar o que deu certo, o que não deu, buscando sempre replanejar quando necessário, criando estratégias que favorecessem a compreensão e a apropriação dos conteúdos.

Apesar de todos esses cuidados fomos, em muitos momentos, surpreendidos pelos alunos com questionamentos e diferentes interpretações, o que contribuiu para tornar as atividades mais construtivas e interessantes, tanto para os alunos, quanto para os bolsistas.

Assim pudemos alcançar nossos objetivos e dar continuidade ao projeto “Encaixando ideias: a geometria dos mosaicos”.

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REFERÊNCIAS

IMENES, L. M. Geometria dos mosaicos. Ed. Scipione, 1996. Coleção: vivendo a matemática, 9ª edição.

SALLES, G. D. de M.; Construindo o conceito de ângulo no dia-a-dia da sala de aula. In: FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A (organizadores). Por trás da porta, que matemática

acontece? Armando Marchesi [et al.]. Campinas, SP: Editora Graf. FE/Unicamp –

Cempem, 2003.

VAN DE WALLE, J. A. Ensinando pela resolução de problemas. In: VAN DE WALLE, J. A. Matemática no ensino fundamental: formação de professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009.