MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
PROGRAMA INSTITUCIONAL DE BOLSAS DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA
PROJETO UFCG NA EDUCAÇÃO BÁSICA: “OLHARES – DIÁLOGOS – INTERAÇÕES”
SUBPROJETO PIBID/MATEMÁTICA – CAMPINA GRANDE
OFICINA: O GEOGEBRA NO ENSINO DE
MATEMÁTICA
GEOMETRIA PLANA, FUNÇÕES AFINS,
QUADRÁTICAS E ATIVIDADES LÚDICAS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
Unidade Acadêmica de Matemática e Estatística - UAME
AUTORES:
Aniete de Andrade Silva
Bismarque Ferreira da Silva
Brauna Nascimento Alves
Érica Vicente de Sousa
Marcella Luanna da Silva Lima
Maria Lúcia da Silva Trajano
Serilany Bento de Oliveira
ORIENTADOR:
Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência
PIBID
O GEOGEBRA NO ENSINO DA MATEMÁTICA
1. INTRODUÇÃODiante do desafio de motivar os alunos em relação ao estudo da Matemática, que ainda é vista como uma ciência difícil de ser compreendida e dissociada da realidade, propomos nessa oficina a utilização do software Geogebra como um apoio didático no ensino de Matemática, onde podemos abordar alguns conteúdos matemáticos de forma mais atraente, relacionando a Geometria com a Álgebra.
Embora este software seja dinâmico e possibilite uma fácil manipulação, sabemos que o uso do mesmo exige dos professores uma revisão diante da sua metodologia de ensino, como também um aperfeiçoamento frente à utilização de ferramentas tecnológicas cada vez mais acessíveis a população. Mediante a superação dos desafios, seja por parte dos gestores, professores ou alunos, somos desejosos de que essa oficina consista numa contribuição relevante para o processo de ensino– aprendizagem.
2. OBJETIVOS
Apresentar o software Geogebra;
Utilizar o Geogebra para relacionar a Álgebra com a Geometria;
Desenvolver algumas atividades lúdicas através de figuras geométricas. 3. GEOGEBRA
O Geogebra é um software de Matemática que reúne Geometria, Álgebra e Cálculo Diferencial e Integral. Ele foi desenvolvido por Markus Horhenwarter, da Universidade de Salzburg, para educação matemática nas escolas. Este software é um sistema de Geometria Dinâmica, que permite realizar construções tanto com pontos, vetores, segmentos, retas, secções cônicas como com funções. Além disso, as equações e coordenadas podem estar interligadas diretamente através do Geogebra. Nesse sentido, este software apresenta uma característica voltada para relacionar variáveis com números, vetores e pontos e oferece comandos, como raízes de equações e extremos de funções. O Geogebra, portanto, permite associar uma expressão em álgebra à uma representação de um objeto da geometria e vice-versa.
3. DOWNLOAD
O Geogebra pode ser adquirido a partir da Internet, sendo distribuído livremente de acordo com a GNU (General Public License). Em www.geogebra.at você encontra o código fonte Java do Geogebra e informações sobre sua tradução. Qualquer usuário pode fazer a instalação individual do programa; é fácil e rápido.
Na página principal do software (www.geogebra.at) você encontra o link para download. É recomendado usar Geogebra Webstart garantindo a constante atualização
da versão mais atual do Geogebra, eliminando instalações complicadas ou procedimentos de atualizações.
Se os computadores que compõem sua rede já possuem Java 1.4.2 ou a versão mais atual instalada, simplesmente use Geogebra Web. Seu administrador da rede pode ajudar com o Java installation.
4. INTERFACE
A Interface do software é constituída de uma janela gráfica (Ver Figura 1) que se divide em uma área de desenho, uma janela de álgebra e um campo de entrada de comandos.
A área de desenho possui um sistema de eixos cartesianos onde o usuário faz as construções geométricas com o mouse. Ao mesmo tempo as coordenadas e equações correspondentes são mostradas na janela de álgebra. (Ver Figura 2).
O campo de entrada de comandos é usado para escrever coordenadas, equações, comandos e funções diretamente e estes são mostrados na área de desenho imediatamente após pressionar a tecla “Enter”.
Figura 2: Exemplos de objetos livres e objetos dependentes
5. TABELA
COMANDOS FIGURAS PROCEDIMENTOS
Mover Clique sobre o objeto construído e o movimente na área de trabalho
Novo Ponto Clique na área de trabalho e o ponto fica determinado
Ponto médio ou centro Clique sobre dois pontos e o ponto médio fica determinado
Reta definida por dois pontos
Clique em dois pontos da área de trabalho e a reta é traçada
Segmento definido por dois pontos
Clique em dois pontos da área de trabalho e o segmento é traçado
Segmento com comprimento
conhecido
Clique em um ponto da área de trabalho e dê a medida do segmento
Vetor definido por dois pontos
Clique em dois pontos da área de trabalho e o vetor fica determinado
Vetor a partir de um ponto
Marque um ponto, selecione este comando, clique, com o botão esquerdo do mouse sobre o vetor v já construído e, depois, sobre o ponto considerado.
Polígono
Clique em três ou mais pontos fazendo do primeiro também o último ponto. Fica determinado o polígono
Retas perpendiculares Selecione uma reta e um ponto e a reta perpendicular fica determinada
Retas paralelas Selecione uma reta e um ponto e a reta paralela fica determinada
Mediatriz Selecione um segmento ou dois pontos e a mediatriz fica determinada
Bissetriz Clique em três pontos, o segundo ponto determina a bissetriz
Tangentes Selecione ou construa uma cônica e um ponto, as tangentes ficam determinadas
Círculo definido pelo centro e um de seus pontos
Clique em um ponto e arraste para determinar o raio e o círculo
Círculo dados centro e raio
Clique em um ponto e informe a medida do raio, o círculo fica determinado
Círculo definido por
três pontos Clique em três pontos, o círculo fica determinado
Ângulo Clique em três pontos e o ângulo fica determinado
Ângulo com amplitude fixa
Clique em dois pontos e informe a abertura do ângulo
Distância Clique em cada objeto que se queira determinar a distância
Reflexão com relação a um ponto
Clique no ponto a ser refletido e no outro que servirá de base para reflexão
Reflexão com relação a uma reta
Clique no ponto a ser refletido e na reta que servirá de base para reflexão
Homotetia de um ponto por um fator
Selecione o objeto, marque o ponto central da homotetia e informe o fator
Inserir texto Clique na área de trabalho e insira o texto
Relação entre dois objetos
Clique em dois objetos e verifique a igualdade, ou não, desses objetos
Ampliar Clique sobre o objeto que se deseja ampliar
Reduzir Clique sobre o objeto que se deseja reduzir
Exibir/esconder objeto Clique sobre o objeto que se deseja esconder/exibir
Exibir/esconder rótulo Clique no rótulo do objeto para exibí-lo ou escondê-lo
Apagar objetos Clique sobre o objeto que se deseja apagar
EXEMPLOS
1. Marque um ponto numa circunferência dada. COMANDOS CONSTRUÇÃO
Figura 3: Círculo definido pelo centro e por um de seus pontos.
2. Marque o Ponto Médio em um segmento dado. COMANDOS CONSTRUÇÃO
3. Construa um segmento de reta qualquer. COMANDO CONSTRUÇÃO
Figura 5: Segmento definido por dois pontos.
4. Construa um Polígono qualquer.
COMANDO CONSTRUÇÃO
Figura 6: Construção de polígonos.
5. Construa um Polígono regular.
COMANDO CONSTRUÇÃO
ATIVIDADES LÚDICAS
O Geogebra é interessante não só pela sua gratuidade, mas também pelo fácil manuseio em diversas tarefas. Além disso, por ser um software inovador capaz de fazer não só gráficos e formas geométricas, mas uma infinidade de animações que estimula a imaginação dos alunos. Eis algumas animações e aplicações construtivas construídas com o Geogebra.
1. Construção de um balão:
- Trace um segmento de reta AB e marque seu ponto médio C; - Trace uma reta perpendicular a AB passando pelo ponto médio;
- Marque um ponto D na reta perpendicular e faça sua reflexão D’ em relação ao segmento AB;
- Trace o polígono ADBD’;
- Marque os pontos médios de E e F de AC e CB, respectivamente; - Trace os segmentos de reta DE, DF, D’E e D’F;
- Pinte a figura; - Insira o texto.
Figura 8: Balão formado por triângulos.
2. Construção de um Pentagrama:
- Clique em novo ponto e marque dois pontos quaisquer; - Clique em polígono regular e construa um pentágono;
- Clique em segmento definido por dois pontos e trace as diagonais desse pentágono;
- Apague o pentágono;
- Refaça cada polígono que faz parte da estrela e pinte com cores variadas;
- Insira o texto.
-
Outras construções
Figura 10: Construções lúdicas.
Teoremas da Geometria Plana
A utilização do Geogebra na Geometria tem como objetivo verificar de maneira mais simples a validade de Teoremas da Geometria Euclidiana, uma vez que, em sua maioria, possuem demonstrações bem elaboradas.
1. PROPOSIÇÃO 1
“Três pontos não colineares determinam um círculo.”
Figura 11: Círculo determinado por três pontos.
2. COROLÁRIO 1
“Todos os ângulos inscritos que subtendem um mesmo arco têm a mesma medida. Em particular, todos os ângulos que subtendem um semicírculo são retos.”
Figura 12: Arco com ângulos inscritos de mesma medida.
3. PROPOSIÇÃO 2
Figura 13: Polígono regular inscrito em um círculo.
4. PROPOSIÇÃO 3
“Dado um segmento de reta qualquer, é possível construir um triângulo equilátero tendo este segmento como um dos lados.”
Figura 14: Triângulo equilátero construído dado um segmento de reta qualquer.
5. PROPOSIÇÃO 4
“Dados três segmentos de retas tais que a soma das medidas de quaisquer dois deles seja maior que a medida do terceiro, existe um triângulo cujas medidas de seus lados coincidem com as medidas dos segmentos dados”.
Figura 15: Triângulo cujas medidas dos seus lados coincidem com as medidas dos segmentos dados.
6. PROPOSIÇÃO 5
“Em todo triângulo retângulo o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos”.
Figura 16: As áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos.
Figura 17: A área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual a soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos.
Função
No estudo das funções, o software Geogebra tem por objetivo auxiliar o aluno na análise do comportamento de gráficos, fazendo com que o discente possa entender conceitos e analisar também determinadas situações–problema do cotidiano.
Função Afim
f(x) = a*x + b
Definição:
Chama-se Função Afim qualquer função f de IR em IR dada pela forma
f(x) = ax + b,
onde a e b são números reais dados.
Com o auxilio do Geogebra, podemos atribuir diferentes valores para a e b usando a condição dada anteriormente (ax + b) e através destes valores analisarmos o gráfico da função.
Exemplo:
Seja f(x) = ax + b
Crie um seletor a;
Crie um seletor b;
Na caixa de entrada, digite a função f(x) = a*x + b;
Movimente os dois seletores e observe o comportamento do gráfico.
Figura 18: Gráfico de uma Função Afim.
Dessa forma, podemos analisar casos particulares para a e b (Função Linear e Função Constante, por exemplo), atribuindo valores na janela algébrica.
Função Quadrática
g(x) = a*x² + b*x + c
Definição:
Chama-se Função Quadrática, ou Função Polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada pela forma
g(x) = ax2 + bx + c,
onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Fazendo uso do Geogebra e com a condição dada anteriormente, podemos atribuir valores para a, b, e c na janela algébrica e analisarmos o comportamento do gráfico.
Exemplo:
Considere a função g(x) = ax² + bx + c
Crie um seletor e chame de a;
Crie um seletor e chame de b;
Crie um seletor e chame de c;
Movimente os três seletores e observe o comportamento do gráfico;
Para escolher o estilo tracejado para o gráfico, clique no botão direito do mouse sobre a curva e, em seguida, clique em Propriedades;
Prosseguindo, clique no tópico Estilo e escolha o tipo tracejado para a sua Parábola;
Finalizado, clique em Fechar.
Figura 19: Gráfico de uma Função Quadrática.
Com esses dados, podemos agora atribuir valores para a, b e c, na janela algébrica.
Concavidade de uma Função Quadrática
A representação gráfica de uma Função Polinomial do 2º grau é dada através de uma parábola, que pode ter a concavidade voltada para cima ( ou para baixo
.
Se a > 0, então o gráfico da função g(x) = a*x² + b*x + c terá concavidade voltada para cima, como podemos verificar na imagem abaixo.
Figura 20: Gráfico de uma Função Quadrática com a > 0
Se a < 0, então o gráfico da função g(x) = a*x² + b*x + c terá concavidade voltada para baixo, como podemos verificar na imagem abaixo.
Figura 21: Gráfico de uma Função Quadrática com a < 0
Vértice de uma Função Quadrática
Para determinarmos o ponto máximo ou ponto mínimo de uma Função Quadrática, basta calcular o vértice da parábola utilizando as seguintes expressões matemáticas:
e
Vamos agora aplicar estas expressões no Geogebra:
Insira na caixa de entrada a seguinte equação: e logo em seguida aparecerá o resultado desejado na caixa algébrica;
Novamente na caixa de entrada, digite: V = (-(b) / (2*a), -( ) / (4*a));
Movimente os seletores e observe o comportamento do gráfico.
Exemplo:
Dada a Função Quadrática g(x) = a*x ² + b*x + c, com a = 1, b = 4 e c = 4, encontrar o vértice dessa função.
Figura 22: Gráfico de uma Função Quadrática com o vértice no eixo real x.
Perceba que janela algébrica do Geogebra, o valor do delta é 0 e o Vértice da Parábola é
CONCLUSÃO
Com o uso do Geogebra no ensino de Matemática diversos conceitos podem ser explorados, mostrando-se não somente a representação geométrica dos objetos, mas trabalhando-se, ainda, com a parte algébrica e também com assuntos relacionados ao Cálculo Diferencial. Esse software, quando bem manipulado, favorece o desenvolvimento de diversas habilidades por parte dos alunos, permitindo que os mesmos construam, experimentem e conjecturem, pois como bem afirmou Confúsio: “O aluno ouve e esquece, vê e se lembra, mas só compreende quando faz”. Assim sendo, estamos certos de que o Geogebra consiste numa ferramenta motivadora e contribuinte no processo de argumentação e de dedução que a transmissão e/ou aquisição do conhecimento matemático exige.
AGRADECIMENTOS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARCELOS, G. T.; BATISTA, S. C. F. Geometria Dinâmica utilizando o Software
Geogebra. Rio de Janeiro, 2009. Disponível em:
http://www.edumat.com.br/wp-content/uploads/2008/11/apostilageogebra_2007.pdf. Acesso em: 12 de agosto de 2011.
Equipe do Só Matemática. Material de apoio – Ensino Médio – Função de 1º grau ou
Função Afim e Função Quadrática. Disponível em: http://www.somatematica.com.br/.
Acesso em: 06 de Setembro de 2011.
SILVA, J.W.A.; DINOÁ, J.A.; OLIVEIRA, K. V.; SILVA, K. A.; SOUZA, P. S.; ELOY, R. A. O. Oficina GEOGEBRA. Disponível em: http://sites.google.com/site/oficinageogebra/home. Acesso em: 16 de agosto de 2011.
SILVA, J.W.A.; OLIVEIRA, K. V.; SILVA, K. A.; SOUZA, P. S.; ELOY, R. A. O.; BARBOSA, M. R., LIMA, M. L. S.; SILVA, S. H.; CAMELO, S. M.; SALDANHA, A.
Um relato sobre o uso do Geogebra no estudo de alguns resultados matemáticos.
Campina Grande, ISSN 2179-9210, REALIZE Editora, 2010.
BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. 8ª Ed. Rio de Janeiro: SBM, 2005.
Euclides. Os Elementos: livro I. 1ª ed. Trad. e int. Irineu Bicudo. São Paulo: UNESP, 2009. pp. 99; 114.
International GeoGebra Institute. GeoGebra. Disponível em: http://www.geogebra.org/cms/. Acesso em: 06 de Setembro de 2011.
