Na modulação linear, o espectro modulado consiste no espectro da mensagem transladado pela

Capítulo 5 Modulação CW Exponencial

Capítulo 5 – Modulação CW Exponencial

Na modulação linear, o espectro modulado consiste no espectro da mensagem transladado pela frequência da portadora cuja largura de banda de transmissão nunca excede o dobro da banda de frequência da portadora, cuja largura de banda de transmissão nunca excede o dobro da banda de mensagem.

Será estudado no Capítulo 10 que, em caso de modulação linear, a relação sina/ruído (SNR) no destino não é melhor que na transmissão em banda base podendo ser melhorada apenas pelo aumento destino não é melhor que na transmissão em banda base, podendo ser melhorada apenas pelo aumento da potência transmitida.

Por sua vez, a modulação exponencial (ou angular) é um processo não-linear, e assim, a largura de banda de transmissão é maior que o dobro da banda de mensagem

banda de transmissão é maior que o dobro da banda de mensagem.

Porém, nesse tipo de modulação, podem ser obtidas relações sinal/ruído elevadas, sem a necessidade de aumentar a potência de transmissão.

Constituem vantagens da modulação exponencial:

 As perdas de potência durante a transmissão não são tão preocupantes como em AM;  Nem os problemas com tensão de ruptura dielétrica devido aos picos na forma de onda;  Nem os problemas com tensão de ruptura dielétrica devido aos picos na forma de onda;  A distorção não-linear de amplitude não afeta a mensagem recebida.

Como a modulação exponencial é um processo não-linear, o espectro do sinal modulado não se relaciona de forma simples (por uma translação) com o espectro da mensagem.

Questão:

Questão:

x(t)

2t

cos x(t)

t

cos t

cos 2t

0

t

cos t

cos 2t

t

0

0

t

t

0

cos x(t)

0

t

0

t

Nota histórica: Nota histórica:

Após o advento da radiodifusão AM, iniciou-se uma procura por técnicas que reduzissem o ruído na recepção.

C ê i d íd é i l à l d b d d i l i id ã f i di i id

Como a potência de ruído é proporcional à largura de banda do sinal transmitido, a atenção foi dirigida à busca de um processo de modulação que reduzisse a largura de banda.

A ideia de modulação em frequência, onde a frequência portadora pudesse ser variada em proporção

( ) i i

com a mensagem x(t) parecia promissora.

Assim, na modulação FM (PM), a amplitude de sinal de mensagem produziria uma variação proporcional na frequência (fase).

modulação de fase, PMç ,

AM: FM:

excursão = 30 kHz

A frequência da portadora, agora escrita como f(t), poderia ser variada com o tempo, tal que, f(t) = f_c+k x(t), onde k é uma constante arbitrária.

Assim, se o pico de amplitude de x(t) fosse f_pico, então, os valores máximo e mínimo da frequência portadora seriam f_c+k f_picoe f_ck f_pico, respectivamente (k medido em Hz V/V).

Portanto as amplitudes espectrais poderiam permanecer dentro desta banda com uma largura Portanto, as amplitudes espectrais poderiam permanecer dentro desta banda, com uma largura 2f_= 2k f_pico, centrada em f_c.

A largura de banda seria controlada pela constante arbitrária k, cujo valor poderia ser selecionada à t d

vontade.

Usando-se um k arbitrariamente pequeno, poderia se fazer a largura de banda de informação arbitrariamente pequena.

E estaria resolvido o problema!

Assim, por exemplo, se em vez de modular a amplitude da portadora, se modulasse a sua frequência, Assim, por exemplo, se em vez de modular a amplitude da portadora, se modulasse a sua frequência, fazendo-a oscilar dentro de uma banda de 50 Hz (por exemplo), então, a largura de banda de transmissão (B_T) seria de apenas 100 Hz, independentemente da largura de banda da mensagem (W). Infelizmente, resultados práticos mostraram que largura de banda de FM obtida experimentalmente Infelizmente, resultados práticos mostraram que largura de banda de FM obtida experimentalmente sempre resultava maior (ou, na melhor das hipóteses, igual) que a largura de banda de AM (B_T = 2W) . O raciocínio descrito anteriormente apresenta uma séria falha ao confundir os conceitos de frequência

instantânea, f(t), e frequência espectral, f (uma variável independente).s e , f(t), e equê c espec , f (u a va áve depe de e). __________________________________________________________________________________________________________

Por exemplo, em FM deseja-se variar a frequência portadora em proporção com o sinal de modulação x(t) significando que tal frequência estará variando continuamente a cada instante

x(t), significando que tal frequência estará variando continuamente a cada instante.

Em princípio, isto não faz muito sentido uma vez que, para se definir uma frequência, deve-se ter um

sinal senoidal pelo menos ao longo de um ciclo (ou meio-ciclo, ou quarto de ciclo, ...) com a mesma

frequência frequência.

Por definição, um sinal senoidal tem uma frequência constante e, portanto, a variação de frequência no tempo parece estar em contradição com a definição convencional de “frequência de sinal

periódico senoidal”. periódico senoidal .

Portanto, deve-se estender o conceito de uma senóide para o de uma função generalizada, cuja frequência possa variar no tempo.

l id ó i #

5.1 Modulação de Fase e Frequência

5.1 Modulação de Fase e Frequência

Nesta seção são definidos os conceitos de fase e frequência instantâneas, necessários para se estabelecer os sinais PM e FM.

Desde que a natureza não-linear da modulação exponencial impede a análise espectral em termos gerais, deve-se trabalhar com espectros resultantes de casos particulares, como a modulação em banda estreita, ou então, com modulação de tom.

Sinais PM e FM

Considere-se um sinal CW, com envoltória constante mas com fase variável no tempo, tal que:

Define-se o ângulo instantâneo total como:

Dessa maneira, x_c(t) pode ser expresso pela relação geral:

a qual define a modulação exponencial (ou angular), dentre os quais PM e FM são casos particulares. A fase _c(t) deve conter a informação da mensagem x(t).

i id l ã i ( ) ( )

Fica evidente a relação não-linear entre x(t) e x_c(t) .

A modulação exponencial pode ser descrita na forma portadora-quadratura como:

t t A t t A t t A t x c c c c c c c       sin ) ( sin cos ) ( cos )] ( cos[ ) (    

a partir da qual pode-se obter a descrição de envoltória e fase. A envoltória é dada por:

i t v t A t A t A

v t

A( ) 2( ) 2( ) 2cos2_() 2sin2_( )  revelando que a envoltória do sinal modulado exponencialmente não varia no tempo. Obviamente a fase instantânea deve ser o próprio(t) uma vez que:

c c c q i t v t A t A t A v t A( ) ( ) ( ) cos () sin ( )

Obviamente, a fase instantânea deve ser o próprio (t), uma vez que:

) ( )] ( arctg[tg ) ( cos ) ( sin arctg ) ( ) ( arctg ) ( t t t t t v t v t i q _{ }       

Forma geral de um sinal PM (ou FM): +A_c

0 AA_c

Modulação PM

Um caso específico de dependência entre _c(t) e x(t) corresponde à modulação de fase (PM), definida como:

Modulação PM

tal que

 t t ( did di )

para _constante (medida em graus ou radianos).

Esta relação estabelece que a fase instantânea varia diretamente com o sinal de modulação x(t) . A constante _representa o deslocamento de fase máximo produzido por x(t) [pois x(t)  1]. O limite superior, _ 1800_{, limita} _{(t) à faixa  180}0_{e previne ambiguidade de fase.}

(No tempo, não existe distinção física entre os ângulos + 2700_{e 90}0_{, por exemplo.)}

O limite sobre _em PM é análogo à restrição   1 em AM, e, g ç  , ,_costuma ser chamado de índice de

modulação de fase (ou desvio de fase).

Diagrama de fasor girante para modulação exponencial (PM ou FM): Diagrama de fasor girante para modulação exponencial (PM ou FM):

Observe se que não foi feito igual a zero: Observe-se que cnão foi feito igual a zero:

fasor girante

O ângulo total _c(t) consiste de um termo rotativo constante, _ct, mais (t), que corresponde aos desvios em relação à linha tracejada.

Frequência instantânea do sinal modulado

A frequência instantânea corresponde à taxa de rotação instantânea do fasor [velocidade de variação de _c(t) no tempo], medida em ciclos por segundo (cps) ou Hertz (Hz):

Embora f(t) seja medido em Hz, não deve ser confundido com a frequência espectral f (a variável independente do domínio da frequência).

A frequência instantânea f(t) é uma propriedade que depende do tempo e da forma de onda que será A frequência instantânea f(t) é uma propriedade que depende do tempo e da forma de onda que será modulada exponencialmente [e portanto, da mensagem x(t)].

Discussão: conceito de fase instantânea*

O ângulo generalizado de um senóide convencional, A_ccos(_ct+₀), é (t)=_ct+₀, uma linha reta com

inclinação_c e intercepto ₀, como indicado na figura abaixo:

O gráfico de_c(t), para um caso arbitrário, O gráfico de _c(t), para um caso arbitrário, ocorre ser tangencial ao ângulo (_ct+₀) em algum instante t.

O i l é l d

O ponto crucial é que, ao longo de um pequeno intervalo t0, o sinal

x_c(t)=A_ccos_c(t) e a senóide A_ccos(_ct+₀) são idênticos:dê t cos:

x_c(t) = A_ccos(_ct+₀) para t₁< t < t₂. Ao longo deste pequeno intervalo t, a f ê i d ( ) é

frequência de _c(t) é _c.

Por (ct+0) ser tangencial a c(t), a

frequência de x_c(t) é a inclinação de seu

â l (t) l d t i t l

ângulo _c(t) ao longo deste pequeno intervalo. Pode-se generalizar este conceito para cada instante e dizer que a frequência instantânea

(t)=2f(t), em qualquer instante t, é a inclinação de ( ) f( ) q q _cc(t) em t.( ) __________________________________________________________________________________________

Assim para x (t)=A cos(t) Assim, para x_c(t)=A_ccos_c(t),

e ) ( ) ( ) ( 2 ) ( t dt t d t f t c c           c(t)



t ( )d

Pode-se agora visualizar a possibilidade de transmitir a informação de x(t) variando o ângulo _c(t) de uma portadora.

c()



_ ( )

Por exemplo, no caso PM: e assim ) ( ) ( ), ( ) ( ) (t ct 0 t ct 0 x t t x t c          )] ( cos[ ) ( cos ) (t A t A t x t

xc  c c  c c  (como definido anteriormente)

para ₀= 0, sem perda de generalidade. Em PM, a frequência (angular) instantânea é

t dx t d c( ) ( ) ) (  

a qual varia linearmente com a derivada do sinal de modulação. dt dt t c c ) ( ) ( ) (    

Alternativamente, a frequência (Hz) instantânea é

) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( f t dt t d f dt t dx f t dt t d t f c c c c c _                     2 2 2 2 2 dt   dt  dt  (como anteriormente) Modulação FM Modulação FM

No caso de modulação em frequência (FM), a frequência instantânea do sinal modulado é:

para f_constante (medido em Hz), tal que f(t) varia em proporção ao sinal de modulação x(t). Ou, alternativamente, (t)2f(t)c 2 fx(t)

A constante de proporcionalidade f_é chamada de desvio de frequência, e representa o deslocamento máximo de f(t) em relação à frequência portadora f_c.

O limite superior, f_< f_c, simplesmente assegura que f(t) > 0.

Normalmente, deseja-se que f_<< f_c a fim de garantir a natureza passa-banda de x_c(t) . (ver adiante)

Tem-se também,             t d c f x d ct f t x d t t c( )



_ ( ) 



_ [ 2  ( )]  2 



_ ( )

onde o termo constante em _c(t) foi considerado nulo, sem perda de generalidade. O sinal modulado em FM é:



t ] ) ( 2 cos[ ) (



     c c t c t A t f x d x    

_________________________________________________

Comparando se (5 1 4) com (5 1 5) observa se que o sinal FM satisfaz Comparando-se (5.1-4) com (5.1-5), observa-se que o sinal FM satisfaz

e a integração gera a seguinte modulação de fase: ) ( 2 ) (t  f_x t  g g g

Se t₀é tomado de forma que (t₀) = 0, pode-se desconsiderar o limite inferior de integração e usar a expressão mais informal:

Assume-se que a mensagem não tem componente DC, tal que as integrais acima não divirjam quando t.

________________________________________________

Fisicamente, um termo DC em x(t) produzirá um desvio de frequência constante com relação à portadora, igual a .f_ x(t)

Na prática, qualquer componente DC em x(t) deve ser bloqueada pelos circuitos do modulador.

Conceito generalizado de modulação exponencial (ou angular) Conceito generalizado de modulação exponencial (ou angular) Na tabela 5.1-1 compara-se os sinais PM e FM:

Observa-se que sinais PM e FM não são apenas similares, mas também inseparáveis: Sinal PM: .xc(t)Accos[ctx(t)]

Sinal FM:

onde foi definido que .g(t)



t x()d

)] ( 2 cos[ ] ) ( 2 cos[ ) (t A t f x d A t f g t x c c t c c c     



_       

No final das contas, ambas as expressões para x_c(t) são idênticas.

Portanto, visualizando-se uma portadora modulada em ângulo, não existe maneira de discernir entre



)] ( cos[ ) (t A t x t xc  c c  Sinal PM:   d x t g( )



t ( ) )] ( 2 cos[ ] ) ( 2 cos[ ) (t A t f x d A t f g t x c c t c c c     



_        Sinal FM: _______________________________________________

No caso de modulação de tom, fica bem evidente que torna-se praticamente impossível detectar a diferença entre os sinais PM e FM:

  d x t g( )



( ) t A t x() _msin_m

No caso de modulação de tom, torna-se praticamente impossível detectar a diferença entre os sinais No caso de modulação de tom, torna se praticamente impossível detectar a diferença entre os sinais PM e FM:

sinusoidal modulating signal

Conclui-se também que, com o uso de circuitos integradores ou diferenciadores, um modulador PM pode produzir FM, e vice-versa:

] ) ( cos[ ) (   

_

  t c c c t A t x d xc( ) c [ c 

_

_ ( ) ] (t)

a partir de modulador de fase

)] ( 2 [ ] ) ( 2 cos[ ) ( f A d x f t A t xc  c c   



_t_   p )] ( 2 cos[ t f xt Ac c      (t)=2f(t) a partir de modulador de frequência

Os métodos FM e PM são simultâneos, no sentido de que qualquer variação na fase da portadora (ct)

resulta em variação na frequência, e vice-versa. (ambas são devido a x(t) variável)

a partir de modulador de frequência

________________________________________________

Os casos acima revelam que em PM e FM o ângulo de uma portadora varia em proporção à alguma ‘medida/ métrica’ (derivada, integral, etc.) de x(t).

Informa-se que pode haver várias outras maneiras de se gerar uma ‘métrica’ de x(t) possibilitando Informa se que pode haver várias outras maneiras de se gerar uma métrica de x(t), possibilitando criar um grande número de esquemas de modulação angular, além de FM e PM.

Restringindo-se à escolha de um operador linear, então, uma ‘métrica’ de x(t) pode ser obtida como saída de um SLIT apropriado, com x(t) como entrada.

A saída do sistema H(s) é uma ‘métrica’ de x(t) , sendo que esta é uma operação reversível, passando

convolução : x(t) * h(t)

(t) através da função 1/ H(s).

Então, a portadora com modulação generalizada em ângulo pode ser expressa como: ] ) ( ) ( cos[ )] ( cos[ ) (t A  t t A  t

_

t  h t  d sendo h(t) a TFI de H(s) (ou seja, a resposta impulsiva).

] ) ( ) ( cos[ )] ( cos[ ) (t A  t  t A  t x  h t  d xc  c c   c c 



_  a) Se tem-se um sinal PM h(t)(t) )] ( cos[ ] ) ( ) ( cos[ ) (t A t x t d A t x t x c c t c c c   



_       b) Se tem-se um sinal FM h(t)2 f_u(t) ] ) ( 2 cos[ ] ) ( 2 ) ( cos[ ) (t A  t x   f u t  d A  t  f x  d x c c t t c c c  



_     



_

Exemplo: Considere-se o sinal x(t) mostrado na Figura (a). Dados f_c= 100 MHz, _= 10 rad e f_= 105_{Hz, esboçar os sinais de FM e PM.}

Solução:

A frequência instantânea para FM é dada por:

Assim, seus valores máximos e mínimos são: ) ( 10 10 ) ( ) (_{t f f x t} 8 5_{x t} f  c     MHz 9 , 99 ) 1 ( 10 10 )] ( [ 10 10 ) ( 8 5 min 5 8 min   x t     t f MHz 1 , 100 ) 1 ( 10 10 )] ( [ 10 10 ) ( 8 5 max 5 8 max   x t     t f

Como x(t) aumenta e diminui linearmente com o tempo, a frequência instantânea aumenta linearmente de 99,9 a 100,1 MHz em um meio ciclo, e cai linearmente de 100,1 a 99,1 MHz no meio ciclo seguinte.

O sinal modulado está mostrado na Figura (b). __________________________________

Por outro lado, a frequência instantânea para PM é dada por:

t dx t dx t dx f t x t d t d t f_{( )} 1 c() _ 1 [c  ( )]_{ } 1 _ ( ) _108_10 ( ) _108_5 ( ) dt dt dt f dt dt t f c 10 5 2 10 2 2 2 ) (  _  _   _   _   (continua...) dt t dx dt t dx dt t dx f dt t x t d dt t d t f c c c ( ) _{10 5} ( ) 2 10 10 ) ( 2 1 )] ( [ 2 1 ) ( 2 1 ) ( _{ }  _{  } 8_{ } 8_   _     ________________________________________________________________________________________________

O sinal x(t) é dado por:

dt dt dt dt dt c 2 2 2 2       ₂₁₀ _{1 0} ₁₀ _s ) ( 4 4_{t t}

Sua derivada é igual a:

 _{     }  _{ } s 10 2 10 3 10 2 ) ( _{4 4 4} t t t x 

cujo gráfico está desenhado na Figura (c)             _{ }  s 10 2 10 10 2 s 10 0 10 2 ) ( _{4 4 4} 4 4 t t t x

cujo gráfico está desenhado na Figura (c).

As frequências instantâneas, mínima e máxima, são: MHz 9 , 99 000 . 20 5 10 ) ( 5 10 ) ( 8 min 8 min   x t     t f  MHz 1 100 000 20 5 10 ) ( 5 10 ) ( _ 8_{ } 8_{  } t x t f  C d /dt il t l d 20 000 +20 000 f ê i t d il t 99 9 MHz 1 , 100 000 . 20 5 10 ) ( 5 10 ) (t _min   x t _min     f

Como dx/dt oscila entre os valores de 20.000 e +20.000, a frequência portadora oscila entre 99,9 e 100,1 MHz a cada meio ciclo, e cujo gráfico está desenhado na Figura (d). #

Exemplo: Considere-se o sinal x(t) mostrado na Figura (a). Dados f_c= 100 MHz, _= /2 rad e f_= 105_{Hz, esboçar os sinais de FM e PM.}

Solução:

A frequência instantânea para FM é dada por: _f(_t)_{ f  f x}(_t)_108_105_x(_t)



A frequência instantânea para FM é dada por: f(t) fc  fx(t) 10 10 x(t)

Como x(t) oscila entre 1 e +1, a forma de onda FM oscila entre 99,9 e 100,1 MHz, como mostrado na Figura (b).

Este tipo de modulação digital é chamada de modulaçao por chaveamento de frequência (FSK – frequency shift keying)

(FSK frequency shift keying).

Por outro lado, a frequência instantânea para PM é dada por:

dt t dx )( 4 1 108_  dt t dx f t f c ) ( 2 1 ) (   _

o qual depende de derivadas da Figura (a).

(continua...) dt t dx t f ( ) 4 1 10 ) ( _ 8_  = /2 rad fc= 108Hz ________________________________________________________________________________________________

Devido as descontinuidades em x(t) , sua derivada deve conter singularidades.

A derivada de x(t) é mostrada na Figura (c). A frequência do sinal PM permanece a mesma, f_c, exceto nas descontinuidades com impulsos. Não fica claro como a frequência instantânea pode sofrer uma alteração de tamanho infinito e voltar ao valor original num tempo zero. Este método (chamado indireto) falha em pontos de descontinuidades.

Usando-se a abordagem direta tem-se:

              _ 1 ) ( quando sin 1 ) ( quando sin )] ( 2 cos[ )] ( cos[ ) ( t x t A t x t A t x t A t x t A t x c c c c c c c _      obtendo-se a Figura (d). #  1 ) ( quando sin 2 Ac ct x t

Exemplo: Modulação FM por pulso retangular

Estudou-se no Exemplo 2.2-1, que o espectro do pulso retangular de largura /2 e amplitude A, ou seja, , é dado por . Pedem-se:X(f)A



sinc(f



)

) / ( ) (t A t



x   x(t)

a) O sinal modulado em FM, para uma portadora na frequência f_c= 2/, tal que Af_= f_c.

x(t)

b) A largura de transmissão B_T.  X(f) 

Solução:

A largura de banda da mensagem é:

espectro da mensagem 2 1 fc W    arg X(f)

O sinal de FM é calculado a seguir.

(continua...)

Dados: f = 2/ e Af = f calcula se:

x(t) ] ) ( 2 cos[ ) (  



       c c t c t A t f x d x Dados: f_c= 2/ e Af_= f_c, calcula-se:

a) Para  < t < /2, ocorre x(t) = 0, e assim, x t A t f d Ac ct

t c

c

c( ) cos[ 2



_0 ] cos

b) Para /2 < t < +/2, ocorre x(t) = A, e assim,

c) Para t > +/2 ocorre x(t) = 0 e assim

t A t f t A t A f t A d A f t A t x_{c c} _c   t  _c _c  _c _c  _{c c} _c

 ] cos[ 2 ] cos[ 2 ] cos2

2 cos[ ) ( /2 2 /            



t A d f t A t x () cos[ 2_

_

/2t0 ] cos c) Para t > +/2, ocorre x(t) 0, e assim,

Este sinal de FM está desenhado abaixo:

t A d f t A t xc() ccos[c 2



_/2 0 ] ccosc (t) x_c(t) c

Este corresponde ao sinal estudado no Exemplo 2.5-1, e então, sua TF já é conhecida.

Segundo o Exemplo 2.5-1, a TF do sinal modulado em FM é: xc(t) )] 2 ( sinc ) 2 ( [sinc 2 )] ( sinc ) ( [sinc 2 )] ( ) ( [ 2 ) ( c c c c c c c f f f f A f f f f A f f f f A f X                Xc(f)  c(f) 2 1 fc W   2f_c 2 

Conclui-se, portanto, que a largura de banda de transmissão, B_T, é de aproximadamente 2 f_c= 4W, independentemente da amplitude da mensagem, A.

Ou seja, a largura de banda de transmissão é quatro vezes maior que a largura de banda do sinal de mensagem, contrariando o senso comum discutido na ‘Nota histórica’. #

Potência transmitida Potência transmitida

Ao contrário do acontece na modulação linear, os sinais PM e FM têm amplitudes constantes. Portanto, independente da mensagem x(t), a potência transmitida será:

_________________________________________________ Prova: dt t A dt t x S T T ) ( cos 1 lim ) ( 1 lim 2 2 2_





  para dt t A T dt t x T S c c o T c o T

T lim



( ) lim



cos  ( )

      Ou seja, # 2 ) ( 2 cos 1 lim 2 2 2 ) ( 2 cos 1 1 lim 2 2 2 2 c c T o T c c c T o c T T A dt t T A A dt t T A S 

_

  

_

      

(=0 para valores elevados de f_c)

_________________________________________

Lembre-se que, em modulação linear: c sb

c x c T P P A S A S 2 2 2 2 2 2     

e portanto, para aumentar P_sb (associada ao sinal de mensagem) deve-se aumentar . Por outro lado, no caso de modulação angular, , independentemente de x(t).

) ( 2 _t x Sx  2 / 2 c T A S 

Adianta-se que a demodulação (ou detecção) de FM (no receptor) consiste em se extrair a frequência instantânea f(t) = f_c+f_x(t), a qual contém a mensagem x(t).

Portanto, o nível do sinal de mensagem no demodulador é melhorado se for aumentado o desvio de frequência f_, o qual, por sua vez, acarreta uma maior largura de banda de transmissão (ver a Seção 5.2).

Qualitativamente, se a potência transmitida S_T permanecer constante, a potência de ruído também permanece constante.

Pode-se aumentar a relação sinal-ruído (SNR) aumentando-se f_, o qual aumenta o nível do sinal recebido no receptor, sem alterar S_T.

Para todos os efeitos isto é equivalente a reduzir o ruído! Para todos os efeitos, isto é equivalente a reduzir o ruído!

Contudo, se f_aumenta, também aumenta a largura de banda, e assim, na modulação exponencial existe um compromisso entre a largura de banda () e a relação sinal-ruído ().

Conforme já foi anunciado, ironicamente, a modulação FM foi originalmente concebida como uma forma de reduzir a largura de banda, mas falhou, devido à séria falha de se confundir os conceitos de frequência instantânea, f(t), e frequência espectral, f.

Esta limitação, contudo, é compensada por várias outras vantagens (estudadas adiante).

Conforme verificado, os cruzamentos dos zeros de x_c(t) na modulação linear são sempre periódicos. Contudo, os cruzamentos dos zeros de um sinal de modulação exponencial não são periódicos, no entanto, eles obedecem às equações para a fase mostradas na tabela 5.1-1.

Isto permite concluir que a mensagem reside exclusivamente nos exclusivamente nos cruzamentos de zeros dos sinais FM e PM, desde que a frequência portadora seja grande o suficiente.

Na Fig 5 1-2 estão ilustrados Na Fig. 5.1-2 estão ilustrados exemplos de sinais AM, FM e PM para alguns sinais de mensagem:

Conclui-se que devido à não linearidade do processo de modulação exponencial o sinal modulado Conclui se que, devido à não linearidade do processo de modulação exponencial, o sinal modulado não se assemelha em nada com a forma de onda da mensagem.

PM e FM Faixa Estreita

Usando a descrição de portadora-quadratura para a equação (5.1-1), qual seja

ou então obtêm-se: ou então,

onde foram aplicadas as séries de Taylor para e .cos t( ) sin t( ) A seguir, impõe-se a condição:

tal que

(faixa estreita)

e assim, o sinal modulado será:

O espectro de X_c(f) do sinal modulado é dado por:

t t A t A t xc( ) ccos



c  c



( )sin



c X_c(f) no qual: X_cc(f)(f) ________________________________

Se x(t) tem largura de banda W << f_c, então, x_c(t) será um sinal passa-banda com largura de banda de (t) também igual a W.

Com isso,o espectro de magnitudes do sinal modulado será como o esboçado na figura abaixo:

X

_c

(f)

_{( )} 2c f fc A   f_cW f_c f_c+W f 2 ) ( 2 c c _{f f} A  

Portanto, a largura de banda de X_c(f) é igual a 2W, desde que (t)<<1.

Para valores maiores de (t), os termos _{(t), }_{(t), ..., não podem ser ignorados na série de Taylor}

(faixa estreita)

( ),  ( ), ( ), , p g y

em (5.1-10), e assim, aumentará a largura de banda de X_c(f) .

As equações (5.2-12) descrevem o caso especial de modulação fase ou frequência em banda estreita, NBPM ou NBFM (NarrowBand PM ou NarrowBand FM), os quais se assemelham a um espectro de ( ), q p sinal AM.

Exemplo 5.1-1: Espectro NBFM

x(t) X(f)

1

Considere-se o caso de x(t) = sinc 2Wt, tal que X(f) = (1/2W) (f /2W).

1/2W 1

t

x

Os espectros NBPM e NBFM são dados por (5.1-12a-b), ou seja: X_c(f)

a) No caso NBPM, (5.1-12b) informa que: (f)X(f) e assim,                _{ } W f f W A j f f A f f X A j f f A f X c c c c c c c c c 2 2 1 2 ) ( 2 1 ) ( 2 ) ( 2 1 ) (     imaginário para f > 0 . (continua...) x(t) X(f) 1 _1/2W 1 t

x

X_c(f) ________________________________________

b) No caso NBFM (5 1 12b) informa que: 1 (f /2W) b) No caso NBFM, (5.1-12b) informa que:

f W f W jf f f X jf f ( /2 ) 2 1 ) ( ) (       W 0 +W f 2 2 / 1 W f W f W ) 2 / ( 2 1 

Desta forma, o espectro do sinal modulado será:

f 2 2 / 1 W  real c c c c c c c c c c c f f W f f W f A f f A f f W f f W jf A j f f A f X                      ] 2 / ) [( 2 1 2 ) ( 2 1 ] 2 / ) [( 2 1 2 ) ( 2 1 ) (   real (continua...)

      f f A j f f A f X _{( )} 1 _{( )}  1 c NBPM f W f W ) 2 / ( 2 1             W f f W A j f f A f X c c c c c 2 2 2 ) ( 2 ) (   c c c c c f f W f f W f A f f A f X        ] 2 / ) [( 2 1 2 ) ( 2 1 ) (  NBPM: NBFM: W 0 +W f 2 2 / 1 W 2 2 / 1 W f W 2 c f f W 2 2 2 _____________________________________________ Os espectros de amplitude de ambos

estão desenhados a seguir:

2 2 / 1 W 

X

_c

(f)

estão desenhados a seguir:

NBPM

X (f)

i l NBFM

X

_c

(f)

sinal (continua...)

X (f)

NBPM

X

_c

(f)

Os dois espectros têm impulsos na frequência portadora e largura de banda 2W.

Ambas as bandas laterais NBPM têm um deslocamento de fase de 900_.

X

_c

(f)

NBFM _{Contudo, a banda lateral inferior em}

NBFM está 1800_{fora de fase.}

Exceto pelo deslocamento de fase de 900_{, o espectro NBPM se parece exatamente com um espectro} de AM para o mesmo sinal modulador. #

Modulação de Tom Modulação de Tom

O estudo de FM e PM para modulação de tom pode ser realizado conjuntamente, tomando-se como mensagem:

Nesta situação, as equações (5.1-2) e (5.1-6) geram:

PM ((5.1-2))  ( )  A i PM: FM: t A t x t   m m ( ) _ ( ) _ sin t f f A d A f d x f t m m m m m t t         ( ) 2 ( ) 2 cos( ) sin     

_

_

(5.1-6) ou seja:

para ambos os casos, sendo

O parâmetro  serve como índice de modulação para PM e FM com modulação tonal.

E â é i l d i d f á i é i l à li d d A

Este parâmetro é igual ao desvio de fase máximo e é proporcional à amplitude do tom, A_m, em ambos os casos.

Contudo, para FM é inversamente proporcional à frequência do tom, f_m.

a) Modulação de tom com banda estreita

No caso <<1 rad, a equação (5.1-9), ou seja

_________________________________________________

com e simplifica-se para:p p

Em f = f_c fazer c= 0

x (t) x_c(t)

PM ou FM

____________________________________________________

Observa-se como a reversão de fase da linha de banda lateral inferior produz uma componente perpendicular ou de quadratura em relação ao fasor da portadora.

E t l ã d d t é d l ã d f f ê i d d l ã d

Esta relação de quadratura é quem gera modulação de fase ou frequência, em vez de modulação de amplitude.

AM

(continua...)

b) Modulação de tom com banda larga

Expandindo a equação (5.1-1), ou seja,

se obtém,

_________________________________________

Mesmo que x_c(t) não seja necessariamente periódica, os termos cos(sin_mt) e sin(sin_mt) o são, e podem ser expandidos como uma série de Fourier trigonométrica com frequência fundamental f_m:

sendo n positivo e

a função de Bessel de primeira espécie, ordem n (não obrigatoriamente inteiro) e ângulo . (Esta integral não tem solução analítica.)

Prova: Dado ( ) cos( sin ) { j t j sin t} c m c c c t A t t A e e ce m x          Prova: Dado

e, sendo a exponencial complexa 2-periódica, ela pode ser expandida em série de Fourier: } { ) ( ) ( c c m c c  t jn t jsinm



( f ) m  onde t jn m n t j m c nf e m e sin



( )     dt e e T nf c j t jn t T m m m m    



 1 sin ) (

para f_m= 1/T_m, _m= 2f_m tal que _mT_m = 2. P t t t Tm m        _{d t d} f ) 1



j sin mt j2nfmt 1



j sin jn ( Portanto, tem-se _{ } e   e  d t _{ } e  e d T nf c j jn m t nf j t j T m m m m m m m





  sin 2 2 sin 2 ) (        e d nf c j n m ) sin ( 2 1 ) (  



 ou então:

Da Física-Matemática, sabe-se que  2 0 , 2 1 ) ( _ ( sin  ) _



    _e    _d J j n n c(nfm)Jn()

a função de Bessel de primeira espécie, ordem n (não obrigatoriamente inteiro) e ângulo . P t t 2 ) ( 



   _ n ) ( sin



 _  _  t jn t j n m Portanto, sin _



_{( ) , 0}        jn t n n t j m J e m e (continua...) t jn n t j m J e m e sin _



 ()  _{, 0} 2 1 ) ( _ ( sin  ) _ 



         e d J j n n n 2

_________________________

Esta integral não tem solução analítica.

Função de Bessel de primeira espécie e ordem n: Função de Bessel de primeira espécie e ordem n:

Portanto: ... ( ) ( ) ( ) 3 2 1 2 2 3 3 sin _{   }       t j t j t j t j t j t j t j m J e m J e m J e m e         ... ) ( ) ( ) ( ) ( 3 3 2 2 1 0     J  J  ejmt J  ejmt J  ejmt (continua...)

t jn t j m J e m e sin _



 ( )  _{( )} 1 ( sin  ) _0



    _e    _d J j n n n e J e



( )    , 0 2 ) ( 



_       e d Jn ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ... 3 2 1 2 2 3 3 sin                t j t j t j t j t j t j t j m m m m m m m e J e J e J J e J e J e J e               

_________________________

Usando a propriedade das funções de Bessel: para n inteiro, vem ... ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 3 0     J  J  e J  e J  e ) ( ) 1 ( ) ( n n  n J J   t J J t J J e J e J e J J e J e J e J e t m m t j t j t j t j t j t j t j m m m m m m m m                        2 cos )] ( ) ( [ 3 cos )] ( ) ( [ ... ...} ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Re{... } Re{ ) sin cos( 2 2 3 3 3 3 2 2 1 0 1 2 2 3 3 sin                        t n J J J t J J m n n m m m            cos ) ( 2 ) ( ... ) ( cos )] ( ) ( [ )] ( ) ( [ )] ( ) ( [ par 0 0 1 1 2 2 3 3



      

De forma análoga, mostra-se que n par J t j _  _{i ) I {}   _{} 2 ( ) i} i ( sin





como queríamos demonstrar. #

t n J e t n m n t j m m   

_{sin ) Im{}   _{} 2 ( )sin}

sin( ímpar sin _



 (continua...) x (t) (15) x_c(t) (15) _______________________________ Prosseguindo substitui se (16) em (15) Prosseguindo, substitui-se (16) em (15),         A J t



 J t n t



 J n t t x n c m n m c n n c c

c( ) ()cos 2 ()cos cos  2 ()sin sin 

ímpar par

0

Alternativamente, substituindo-se na expressão de xjn t _c(t), qual seja: n n t j m J e m e sin



 ( )     } { ) sin cos( ) ( j t j sin t c m c c c t A t t A e e ce m xc( ) c (c  m ) c {    }

t jn n t j m J e m e sin _



 ()  } { ) ( j t j sin t c c t A e e ce m x     



_{( )} ( )



Re ) ( Re ) ( j t n t n c t jn n t j c c t A e c J e m A J e c m x 



   



            n ________________________________ Resulta: -- n n   

ma forma mais compacta e q e permite obter o diagrama de linhas espectrais do sinal mod lado uma forma mais compacta e que permite obter o diagrama de linhas espectrais do sinal modulado. Um exemplo de espectro de linhas (unilateral) está desenhado na figura abaixo:

) ( ) 1 ( ) ( n n  n J J   ______________________________________________________

 O espectro de FM consiste de uma linha na portadora, mais um número infinito de linhas de bandas

l t i f ê i (f  f )

laterais nas frequências (f_cnf_m).

 Todas as linhas são igualmente espaçadas pela frequência de modulação (f_m).

 As linhas de ordem ímpar da banda lateral inferior (em relação à portadora não modulada) são p ( ç p ) invertidas em fase.

 Num espectro de linhas de frequências positivas (unilateral), qualquer frequência aparente negativa [(f_c+nf_m)<0] deve ser rebatida de volta para valores positivos f_c+nf_m.

[(f_c f_m) ] p p f_c f_m

 As componentes do espectro acima, na região de frequência negativas, são desprezíveis uma vez que f_m<< f_c.

 O comportamento relativo das amplitudes de cada componente segue o comportamento das funções  O comportamento relativo das amplitudes de cada componente segue o comportamento das funções

Propriedades: Propriedades:

1. A amplitude da linha portadora J₀() varia com o índice de modulação  e, portanto, depende do sinal de modulação.

Assim, ao contrário da modulação linear, a componente de frequência portadora de um sinal FM Assim, ao contrário da modulação linear, a componente de frequência portadora de um sinal FM contém parte da informação da mensagem.

Todavia, pode haver espectros nos quais a portadora tem amplitude nula, desde que ocorre J₀() =0 para = 2.4, 5.5, etc.

2. O número de linhas de bandas laterais com amplitudes relativas significativas depende de . Com << 1, apenas J₀() e J₁() são significativas, tal que o espectro consiste de uma portadora e duas linhas de banda lateral, como ocorreu na Fig. 5.1-4a.

Figura 5 1 4a

Contudo, se >>1, existirão muitas linhas de bandas laterais, gerando um espectro nada parecido com a modulação linear.

Figura 5.1-4a

ç

3. Grandes valores de  implica em grande largura de banda para acomodar a extensa estrutura de bandas laterais, concordando com a interpretação física de um grande desvio de frequência.

Algumas dessas propriedades podem ser observadas na Fig. 5.1-6b, que fornece J_n() em função de n/ (para n real, não inteiro) e parametrizado em .

Figura. 5.1-6b

Estas curvas representam a envoltória das linhas de bandas laterais, se o eixo horizontal for n

multiplicado por f_m : , para uma dada frequência de tom fnf_m nf_{m m}. 

Exemplos: Exemplos: J0() J1() dora 1 2 n/ f 2f f f J2() porta d fm 2fm f=nfm m m f nf n n n 1, 1 1 , 1      n/ J0() J2() J4() 1 2 n/ 2fm 4fm f=nfm m m f nf n n n 1, 2 2 , 2      J0() 2  (continua...) Exemplos: Exemplos: 1 2 n/ J5() 5f 10f f=nf J0() m m f nf n n n 1, 5 5 , 5      5fm 10fm f nfm n/ 1 2 / J10() 1 2 n/ 10fm 20fm f=nfm m m f nf n n n 1, 10 10 , 10      J0()

Em particular, observa-se que todos os J_n() decrescem monotonicamente para n/ > 1 e que  J () <<1 se  n/  >>1 monotonicamente para n/ > 1, e, que  J_n() <<1 se  n/  >>1.

rápido decaimento para n/> 1

Na tabela 5 1 2 listam se alguns valores de J () sendo que os valores em branco correspondem à Na tabela 5.1-2 listam-se alguns valores de J_n(), sendo que os valores em branco correspondem à condição  n/  >>1.

n/=2/0.1=20

Valores de n/ elevados e de J_n() reduzidos

Os espectros de linhas, desenhadas a partir da tabela 5.1-2, são mostrados na Fig. 5.1-7, omitindo-se as inversões de sinais.

A figura em (a) é desenhada para valores crescentes de , com f_mmmantido fixo, e se aplica a FM e PM. FM: PM: aumenta , fixo m m m m m m m _{f A f f A f A} f f A          _{   }  aumenta A A A        PM:

Em ambos os casos 2f_maumenta.

aumenta m m m A A A        m

As linhas tracejadas auxiliam a visualizar a concentração de linhas de bandas laterais significativas dentro da faixa laterais significativas dentro da faixa

f_cf_mà medida que  aumenta.

A figura em (b) se aplica apenas a FM e ilustra o efeito de se aumentar  pelo decréscimo de f_mm, com o produto A_mf_fixo. constante 2 2 , fixo _   _{    }  A f f f A f f f A m m m m m m _{ } 

As linhas tracejadas auxiliam a visualizar a concentração de linhas de bandas a concentração de linhas de bandas laterais significativas dentro da faixa

f_cf_mà medida que  aumenta.

  número de linhas significativas

Interpretação fasorial de x_c(t)

A fim de interpretar fasorialmente a expressão (5.1-8a), qual seja,

retorna-se a aproximação de banda estreita (n=1) da Fig. 5.1-4,

A envoltória e a fase, construídas a partir da portadora e o primeiro par de bandas laterais, são*:

] ) cos( ) [cos( ) ( cos ) ( ) (t AJ0 t AJ1 t t xc  c  c  c  cm  cm

primeiro par de bandas laterais, são :

Figura 5.1-4

______________________________

no limite A(t) = Ac

_______________________________

Assim, a variação de fase é aproximadamente o desejado, porém, existe uma variação de amplitude adicional com o dobro da frequência do tom.

Para cancelar este último, deve-se incluir um par de linhas de banda lateral de segunda ordem, que rotaciona2f_mem relação à portadora, e cuja resultante seja colinear com a portadora.

] ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) (t A J  t A J  t t

Contudo, enquanto um par de segunda ordem virtualmente elimina ] ) 2 cos( ) 2 [cos( ) ( ] ) cos( ) [cos( ) ( cos ) ( ) ( 2 1 0 t t J A t t J A t J A t x m c m c c m c m c c c c c                     

Contudo, enquanto um par de segunda ordem virtualmente elimina a modulação de amplitude, ele também distorce (t).

A distorção de fase é então corrigida acrescentando um par de terceira ordem que, por sua vez, introduz modulação de terceira ordem que, por sua vez, introduz modulação de amplitude novamente.

E assim, por diante. ímpares, quadratura  corrige fase pares, em fase corrige amplitude pares, em fase  corrige amplitude

Distorção de amplitude e fase geradas devido a um número limitado de par de linhas laterais:

envoltória constante

envoltória não constante

distorção de fase

envoltória não constante

Quando todas as linhas são incluídas, os pares de ordem superior têm uma resultante em quadratura

t d i d l ã d f ê i /f d j d d l ã d

com a portadora que proporciona a modulação de frequência/fase desejada, mas sem modulação de amplitude indesejável.

A resultante dos pares de ordem par, sendo colinear com a portadora, corrigem as variações de lit d ] ) 3 cos( ) 3 [cos( ) ( ] ) 2 cos( ) 2 [cos( ) ( ] ) cos( ) [cos( ) ( cos ) ( ) ( 3 2 1 0 t t J A t t J A t t J A t J A t x m c m c c m c m c c m c m c c c c c                               amplitude. ] ) 4 cos( ) 4 [cos( ) ( 4 t t J Ac  c  m  c m  3 4 n=2 n=3 n=4 A(t) A_c n=1 (t)

ímpares, quadratura  corrige fase pares, em fase  corrige amplitude (diagrama obtido num

dado instante t)

(continua...)

Exemplo 5.1-2:Modulação de Tom com NBFM

Exemplo 5.1 2: Modulação de Tom com NBFM

O sinal NBFM x_c(t) =100cos[25000t + 0.05 sin2200t] = 100cos[(t)] é transmitido. A frequência instantânea é obtida derivando-se (t).

Comparando-se com f(t)=f_c+f_x(t), conclui-se que f_c= 5000 Hz, f_= 10, x(t)=cos2200t. Existem duas formas de se determinar :

a) Para NBFM com modulação de tom, sabe-se que (t) = sin_mt.

Desde que xq _cc( )(t) = A_cccos[[_cct+( )](t)] = 100cos[25000t+0.05 sin2200t], então, [ ], ,(t) = 0.05sin2200t,( ) , e assim, = 0,05.

b) Calcula-se .

A partir de f(t) = f_c+f_A_mcos_mt = 5000+10cos2200t, encontra-se A_mf_= 10 e f_m= 200, tal qu

e

. 05 , 0 20010    (continua...)

A pequena distorção na aproximação NBFM se mostra na potência transmitida: a partir do espectro A pequena distorção na aproximação NBFM se mostra na potência transmitida: a partir do espectro de linhas obtém-se 05 0 100    A 5 , 2 2 05 , 0 100 2 05 , 0 , 100        c c A A 25 5006 ) 5 2 ( 1 ) 100 ( 1 ) 5 2 ( 1 2 2 2 S Figura 5.1-4a

ao contrário do valor obtido quando há raias laterais suficientes de forma a não ocorrer distorção de amplitude: 25 , 5006 ) 5 , 2 ( 2 ) 100 ( 2 ) 5 , 2 ( 2 2 2 2_{  }   T S de amplitude: # 5000 ) 100 ( 2 1 2 1 2 _ 2 _  c T A S

Modulação Periódica e Multitom Modulação Periódica e Multitom

A técnica de série de Fourier também pode ser aplicada ao caso de FM com modulação multitom. Por exemplo, considere-se , onde fx(t)A1cos1tA2cos2t ₁ e f₂não são harmonicamente

relacionadas (f₁ não é um múltiplo inteiro de f₂). O sinal modulante em FM será:

        A t f

_

x d A t f A t A t t

x _{( ) cos[ 2} t _{() ] cos[ 2} 1_sin 2_sin

ou         A t f_

_

x d A t f_ t t t xc c c c c 2 2 1 1 sin sin 2 cos[ ] ) ( 2 cos[ ) (           t t t A t

xc( ) ccos[c 1sin1 2sin2 1f

A _

 _ A2f

sendo e . Alternativamente, x_c(t) pode ser escrito como:

1 1 1 f f_   2 2 2 f f_  



j t j t j t



c c t A e e e x ( ) Re c 1sin1 2sin2  Sabe-se que: e assim, 0 , ) ( sin _



 _  





   jn t n n t j m J e m e                            









t m n j m n c t jm m m t jn n n t j c c c c e J J A e J e J e A t x ) ( 2 1 2 -1 -2 1 2 1 ) ( ) ( Re ) ( ) ( Re ) (                  





n m m n c 1 2 -) ( ) (  (continua...)      A







 J J ej cn m t t x ( ) Re ( ) ( ) ( 1 2)         





n m m n c c t A J J e c x 1 2 -2 1 ) ( ) ( Re ) (   ________________________________ Portanto,

Esta técnica pode ser extendida para incluir três ou mais tons, embora com mais esforço algébrico. Para interpretar (5 1-19) no domínio da frequência divide-se as linhas espectrais em quatro Para interpretar (5.1 19) no domínio da frequência, divide se as linhas espectrais em quatro categorias:

(1) Linhas portadoras em f_c (para n=m=0), com amplitude:

(2) Linhas de bandas laterais em f_c  nf₁devido somente ao tom f₁(para m=0), com amplitude: ) ( ) ( 1 0 2 0  J  J Ac ) ( ) (1 J0 2 J A

(3) Linhas de bandas laterais em f_c  mf₂devido somente ao tom f₂(para n=0), com amplitude: ) ( ) (1 J0 2 J Ac n ) ( ) ( 1 2 0  m  cJ J A

(4) Linhas de bandas laterais em f_c nf₁mf₂, que aparecem como modulação na frequência de batimento nas frequências soma e diferença dos tons (f₁e f₂) e suas harmônicas, e com amplitudes:

) ( ) (1 m 2 n cJ J Ac n(1) m(2)

Exemplo: FM com dois tons

No caso de dois tons, cujas frequências são tais que f₁<< f₂e ₁> ₂(existem mais linhas significativas separadas por f₁do que linhas separadas por f₂) tem-se o espectro típico: significativas separadas por f₁do que linhas separadas por f₂) tem se o espectro típico:

U di ã i d lh d é d i

Uma discussão mais detalhada é apresentada a seguir.

(continua...)

Exemplo: FM com dois tons (continuação) Exemplo: FM com dois tons (continuação)

Para f₁<< f₂e ₁> ₂(existem mais linhas significativas separadas por f₁do que linhas separadas por f₂): ) ( ) ( 1 0 2 0  J  J Ac f₂ f₁ f1

Espectro de FM com 2 tons, em f₁e f₂, para f₁< f₂. AcJn(1)J0(2)

) ( ) ( _{1 2} 0  m  cJ J A f₁ ) ( ) (1 m 2 n cJ J A f fc2f2 fcf2 fcf1 fc+f1 fc+f2 fc+2f2 fc

Cada linha de banda lateral em f_c mf₂( ) se comporta com uma portadora de FM com modulação tonal na frequência f₁.

A largura de banda global depende das componentes significativas do sinal em fg g p p g f₂₂ e que estão na sua q

Categoria de linhas (4):

“Linhas de bandas laterais em fLinhas de bandas laterais em f_c nf mf que aparecem como modulação na frequência de batimento nas frequên nf₁mf₂, que aparecem como modulação na frequência de batimento nas frequên-cias soma e diferença dos tons (f₁e f₂) e suas harmônicas, e com amplitudes: .”

______________________________________________________

O comportamento das linhas (4) diferem das de AM, onde cada nova frequência adicionada ao sinal

d l d dá i à ó i b d l i ) ( ) (1 m 2 n cJ J A

modulado dá origem apenas às suas próprias bandas laterais.

Ou seja, em AM, as bandas laterais obedecem ao princípio de superposição.

Assim, se x₁(t) e x₂(t) dão origem às bandas X₁(f) e X₂(f), então, as bandas criadas pelo sinal composto Assim, se x₁(t) e x₂(t) dão origem às bandas X₁(f) e X₂(f), então, as bandas criadas pelo sinal composto x₁(t) + x₂(t) serão oriundas de X₁(f) + X₂(f): f2

f₁

Espectro de AM com 2 tons, em fspec o de co o s, e f₁₁e fe f₂₂, p, para ff₁₁< ff₂₂. .

X₂(f)

X₁(f)

f

Não há produtos de intermodulação ou bandas laterais devido a produto cruzado; ou seja, não há

fc2f2 fcf2 fcf1 fc+f1 fc+f2 fc+2f2

fc

f

p ç p ; j ,

termos nas frequências f_c nf₁mf₂. _{(continua...)}

Exemplo: FM com três tons

Para f₁<< f₂<< f₃ e ₁> ₃> ₃, tem-se o espectro abaixo:

W /2

W1/2

W2/2

W3/2

X1(f-fc) X3(f-fc)

Espectro de FM com 3 tons f₁<< f₂<<f₃e ₁> ₃> ₃.

X2(f-fc)

f_c f_c+f₂ f_c+f₃ f

Aparentemente, quem define a largura de banda global do espectro de FM multitons é o tom de maior frequência. #