M ´
EDIAS E PRINC´IPIO DAS GAVETAS
Luciana Santos da Silva Martino
PROFMAT - Col ´egio Pedro II
1 M ´edias
1 M ´edias
Uma m ´edia de uma lista de n ´umeros ´e um valor que pode substituir todos os elementos da lista sem alterar certa da caracter´ıstica da lista Se essa caracter´ıstica ´e a soma dos elementos da lista, obtemos a m ´edia aritm ´etica
A m ´edia aritm ´etica (simples) da lista de n n ´umeros x1,x2, ...,xn ´e um valor ¯x tal que x1+x2+ ... +xn= ¯x + ¯x + ... + ¯x = n¯x
Definic¸ ˜ao 8.1: A m ´edia aritm ´etica (simples) da lista de n n ´umeros ´e definida por
¯
x = x1+x2+ ... +xn n
Se a caracter´ıstica a ser considerada for o produto dos elementos da lista, obtemos a m ´edia geom ´etrica A m ´edia geom ´etrica (simples) dos n n ´umeros positivos x1,x2, ...,xn ´e um valor positivo g tal que
x1· x2· ... · xn=g · g · ... · g = gn
Definic¸ ˜ao 8.2: A m ´edia geom ´etrica (simples) dos n n ´umeros
positivos x1,x2, ...,xn ´e definida por
g = G(x1,x2, ...,xn) = n
√
Se a caracter´ıstica a ser considerada for a soma dos inversos dos elementos da lista, obtemos a m ´edia harm ˆonica
A m ´edia harm ˆonica (simples) dos n n ´umeros positivos x1,x2, ...,xn ´e um valor positivo h tal que x1
1 + 1 x2 + ... + 1 xn = 1 h+ 1 h+ ... + 1 h = n h
Definic¸ ˜ao 8.3: A m ´edia harm ˆonica (simples) dos n n ´umeros positivos x1,x2, ...,xn ´e definida por
h = 1 n x1 + 1 x2 + ... + 1 xn
A m ´edia harm ˆonica ´e, pois, o inverso da m ´edia aritm ´etica dos inversos dos n ´umeros
Exemplo 1: Uma empresa produziu, durante o primeiro
trimestre do ano passado, 500, 200 e 200 unidades, em janeiro, fevereiro e marc¸o, respectivamente. Qual foi a produc¸ ˜ao m ´edia mensal nesse trimestre?
Exemplo 2: Uma empresa aumentou sua produc¸ ˜ao durante o
primeiro bimestre do ano passado. Em janeiro e fevereiro, as taxas de aumento foram de 21% e 8%, respectivamente. Qual foi a taxa m ´edia de aumento mensal nesse bimestre?
Exemplo 3: Um concurso anual distribui igualmente entre os
vencedores um pr ˆemio total de R$1800, 00. Nos ´ultimos tr ˆes anos houve 2, 1 e 3 premiados, respectivamente. Qual foi o pr ˆemio m ´edio desses ganhadores?
Exerc´ıcio 8.1: Um carro percorre metade de certa dist ˆancia d
com velocidade v1e percorre a outra metade com velocidade
v2. Qual a sua velocidade m ´edia?
Exerc´ıcio 8.2: Um carro percorre tem velocidade v1durante
metade do tempo t de percurso e tem velocidade v2durante a
outra metade do tempo. Qual a sua velocidade m ´edia?
Exerc´ıcio 8.3: A populac¸ ˜ao de um pa´ıs cresceu 44% em uma
d ´ecada e cresceu 21% na d ´ecada seguinte. Qual ´e, aproximadamente, a taxa m ´edia decenal de crescimento nesses 20 anos?
Exerc´ıcio 8.4: No problema anterior, qual a taxa m ´edia anual
de crescimento nesses 20 anos?
Exerc´ıcio 8.5: A valorizac¸ ˜ao mensal das ac¸ ˜oes de certa
empresa nos quatro primeiros meses do ano foi de +25%, +25%, -25% e -25%. Qual a valorizac¸ ˜ao total e qual a valorizac¸ ˜ao m ´edia mensal nesse quadrimestre?
Definic¸ ˜ao: A m ´edia quadr ´atica (simples) dos n n ´umeros x1,x2, ...,xn ´e definida por
q = s
x2
1+x22+ ... +xn2 n
A m ´edia quadr ´atica ´e a raiz quadrada da m ´edia aritm ´etica dos quadrados dos n ´umeros
Exemplo 4: A qualidade de uma aproximac¸ ˜ao ´e medida pelo seu erro, que ´e a diferenc¸a entre o valor da aproximac¸ ˜ao e o valor real da grandeza. Mede-se a qualidade de uma lista de aproximac¸ ˜oes pela m ´edia quadr ´atica de seus erros. Tamb ´em se usa o erro m ´edio quadr ´atico, que ´e o quadrado dessa m ´edia quadr ´atica, ou seja, ´e a m ´edia aritm ´etica dos quadrados dos erros
Teorema 8.5: Se a m ´edia aritm ´etica dos n ´umeros x1,x2, ...,xn
´e igual a ¯x , pelo menos um dos n ´umeros x1,x2, ...,xn ´e maior
ou igual a ¯x
Exemplo 5: Mostre que num grupo de 50 pessoas, h ´a sempre
pelo menos 5 que nasceram no mesmo m ˆes
Princ´ıpio da Gavetas de Dirichlet
Teorema 8.6: Se n + 1 objetos s ˜ao colocados em n ou menos
gavetas, ent ˜ao pelo menos uma gaveta recebe mais de um objeto
Exemplo 6: Mostre que todo inteiro positivo n tem um m ´ultiplo
Exemplo 7: Cinco pontos s ˜ao tomados sobre a superf´ıcie de
um quadrado de lado 2. Mostre que h ´a dois desses pontos tais que a dist ˆancia entre eles ´e menor que ou igual a√2
Exemplo 8: Um enxadrista, durante 11 semanas, joga pelo
menos uma partida por dia mas n ˜ao joga mais de 12 partidas por semana. Mostre que ´e poss´ıvel achar um conjunto de dias consecutivos durante os quais ele jogou exatamente 20 partidas
Definic¸ ˜ao 8.7: A m ´edia aritm ´etica ponderada dos n n ´umeros
x1,x2, ...,xncom pesos respectivamente iguais a p1,p2, ...,pn ´e
definida por
p1x1+p2x2+ ... +pnxn
Pesos relativos (n ˜ao inteiros): A m ´edia aritm ´etica ponderada dos n ´umeros x1,x2, ...,xncom pesos respectivamente iguais a
p1,p2, ...,pn ´e definida por p1 p1+p2+ ... +pn x1+ p2 p1+p2+ ... +pn x2+ ... + pn p1+p2+ ... +pn xn
Uma m ´edia aritm ´etica ponderada dos n ´umeros x1,x2, ...,xn ´e uma express ˜ao da forma λ1x1+ λ2x2+ ... + λnxn, onde
Exerc´ıcio: Calcule as m ´edias aritm ´etica, geom ´etrica e
harm ˆonica ponderadas dos n ´umeros 8, 18 e 48, com pesos iguais a 1, 1 e 0.5
1 M ´edias
A Desigualdade das M ´edias
A desigualdade das m ´edias afirma que a m ´edia aritm ´etica de n n ´umeros positivos ´e maior que ou igual a sua m ´edia
geom ´etrica e s ´o ´e igual se os n ´umeros forem todos iguais. Isto ´e, se x1,x2, ...,xns ˜ao n ´umeros positivos ent ˜ao
x1+x2+ ... +xn n ≥ n √ x1x2...xn Al ´em disso, x1+x2+ ... +xn n = n √ x1x2...xn
Exemplo 10: Mostre que, entre todos os ret ˆangulos de
per´ımetro 2p, o quadrado ´e o de maior ´area
Exemplo 11: Mostre que, entre todos os ret ˆangulos de ´area A,
A desigualdade das m ´edias pode ser generalizada como segue:
Se x1,x2, ...,xns ˜ao n ´umeros positivos e Q, A, G e H s ˜ao suas
m ´edias quadr ´atica, aritm ´etica, geom ´etrica e harm ˆonica, respectivamente, ent ˜ao
Q ≥ A ≥ G ≥ H
Al ´em disso, duas quaisquer dessas m ´edias s ˜ao iguais se, e somente se, x1=x2= ... =xn.
Exerc´ıcio 8.37: Prove que o produto de dois n ´umeros de soma
constante ´e m ´aximo quando esses n ´umeros s ˜ao iguais
Exerc´ıcio 8.38: Prove que a soma de dois n ´umeros de produto
