Teorema da Função Inversa

(1)

Teorema da Fun¸

c˜

ao Inversa

Teorema da Fun¸cão Inversa Seja f : (Xn, p) → (Yn, q) um mapa suave tal que Dfp : TpXn → TqYn é um isomorfismo. Então existe U ⊂ Xn aberto tal que

(1) p ∈ U ,

(2) W = f (U ) ´e aberto em Yn_,

(3) f |U : U → W ´e bijectiva,

(4) a inversa (f |U)−1 : W → U ´e suave.

Segue da regra da cadeia que a fun¸c˜ao g = (f |U)−1tem derivada Dgq = (Dfp)−1.

Prova:

Sendo este um resultado local, podemos tomar cartas locais, de Xn em torno de p, e de Yn _{em torno de q, e reduzir a prova a um representante do mapa f nestas}

cartas locais.

Suponhamos ent˜_{ao que f : (R}n_{, 0) → (R}n_{, 0) ´}_{e um mapa suave, com dom´ınio}

aberto D ⊂ Rn_{, tal que Df}

0 : Rn → Rn´e um isomorfismo. Designamos por ∂f_∂x(0)

a matriz Jacobiana de f na origem.

Para inverter a rela¸cão y = f (x) vamos usar o Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita aplicado à equa¸c˜_{ao F (x, y) = y − f (x) = 0, onde F : D × R}n_{→ R}n _{assim definida}

´

e uma fun¸cão suave. Como F (0, 0) = 0 − f (0) = 0, e ∂F_∂x(0, 0) = −∂f_∂x(0) é uma matriz invert´ıvel, pelo Teorema da Fun¸cão Impl´ıcita, o conjunto

M = {(x, y) : F (x, y) = y − f (x) = 0 }

é localmente, numa vizinhan¸ca de (0, 0), um gráfico x = g(y) de uma fun¸cão suave g : W ⊆ Rn _{→ R}n_{. Mais precisamente, existe um aberto V ⊆ D × R}n _tal

que

M ∩ V = { (x, y) ∈ Rn× Rn _{: y ∈ W e x = g(y) } .}

Seja U = {x ∈ Rn _{: (x, f (x)) ∈ V }. U ´}_{e aberto porque a aplica¸c˜}_{ao x 7→ (x, f (x))}

´

e cont´ınua. Se x ∈ U ent˜ao (x, f (x)) ∈ M ∩ V , o que implica f (x) ∈ W e g(f (x)) = x. Logo, f (U ) ⊆ W e g ◦ f = idU. Se y ∈ W ent˜ao (g(y), y) ∈ M ∩ V ,

o que implica g(y) ∈ U e y = f (g(y)). Logo, g(W ) ⊆ U e f ◦ g = idW. Aplicando

f a ambos os lados da inclus˜ao g(W ) ⊆ U obtemos

W = (f ◦ g)(W ) = f (g(W )) ⊆ f (U ) ⊆ W ,

o que prova a igualdade W = f (U ). Logo, f é uma bijeçcão entre U e W , cuja inversa é (f |U)−1= g.

Equivalˆ

encia entre Mapas

Introduzimos a seguir uma rela¸cão entre mapas, que em certo sentido é análoga `

a rela¸c˜ao ”ser difeomorfo a” entre variedades. Dois mapas suaves f : X → Y e f1 : X1 → Y1 dizem-se equivalentes sse existir um par de difeomorfismos

(2)

φ : X ' X1 e ψ : Y ' Y1 tais que ψ ◦ f = f1◦ φ. Por outras palavras, o seguinte diagrama ´e comutativo. X −→ Yf φ   y   yψ X1 f1 −→ Y1

Algumas observa¸c˜oes, cujas verifica¸c˜oes ficam ao cuidado do leitor:

(1) O difeomorfismo φ estabelece uma correspondˆencia bijectiva entre os pon-tos cr´ıticos de f e os ponpon-tos cr´ıticos de f1.

(2) O difeomorfismo ψ estabelece uma correspondˆencia bijectiva entre os val-ores cr´ıticos de f e os valval-ores cr´ıticos de f1.

(3) A rela¸cão ”ser equivalente a” entre mapas é uma rela¸cão de equivalência. Fixando duas variedades X e Y , o espa¸co C∞(X, Y ) de todas as aplica¸cões suaves f : X → Y pode ser munido de uma topologia natural, habitualmente chamada a topologia de Whitney. Um mapa f ∈ C∞(X, Y ) diz-se estável se for equivalente a todos os mapas próximos, nesta topologia. Os mapas estáveis correspondem a classes de equivalência abertas. Identificando a circunferˆ_{encia S}1 _{com o quociente}

S1 = R/Z, o mapa f : S1 → R, f(x) = sin(2 π x), é estável. Este mapa tem dois pontos cr´ıticos não degenerados, um máximo e um m´ınimo. A figura seguinte mostra um exemplo de um mapa g : S1 _{→ R, com ponto cr´ıtico degenerado, de}

tipo cúbico, que é instável. Note que g tem três pontos cr´ıticos, mas perto de g existem mapas com dois e quatro pontos cr´ıticos respectivamente. A instabilidade de mapas é fenómeno associado à ocorrência de singularidades, i.e., de pontos cr´ıticos degenerados.

O conceito de equivalˆencia pode ser localizado. Dados mapas f : (X, p) → (Y, q) e f1 : (X1, p1) → (Y1, q1) dizemos que f e f1 s˜ao localmente equivalentes sse

existirem difeomorfismos locais φ : (X, p) ' (X1, p1) e ψ : (Y, q) ' (Y1, q1) tais que

ψ ◦ f = f1◦ φ. Por outras palavras, o diagrama seguinte ´e comutativo.

(X, p) −→f (Y, q) φ y   yψ (X1, p1) f1 −→ (Y1, q1)

(3)

Teorema da classifica¸c˜ao local de mapas em pontos regulares

Seja p ∈ Xn _{um ponto regular de um mapa suave f : (X}n_{, p) → (Y}k_{, q). Ent˜}_ao

(1) se n = k, f é localmente equivalente `_{a identidade id : (R}n_{, 0) → (R}n, 0). (2) se n > k, f é localmente equivalente à projeçc˜_{ao linear π : (R}n, 0) →

(Rk, 0), π(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xk).

(3) se n < k, f ´e localmente equivalente `a inclus˜_{ao linear ι : (R}n_{, 0) → (R}k, 0), ι(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0).

Prova:

Caso n = k. Tomem-se cartas locais φ : (Xn_{, p) ' (R}n, 0) e ψ : (Yk_{, q) ' (R}k, 0). Seja ˜f = ψ ◦ f ◦ φ−1 o representante de f nestas cartas. Como p ´e regular, D ˜f0

´

e um isomorfismo. Pelo teorema da fun¸c˜ao inversa, ˜f admite uma inversa local g : (Rn_{, 0) → (R}n_{, 0). O seguinte diagrama comutativo}

(Xn, p) −→ (Yf n_{, q)} φ   y   yψ (Rn_{, 0)} _{−→ (R}f˜ n_{, 0)} id   y   yg (Rn_{, 0)} _{−→ (R}id n_{, 0)}

mostra que f ´e localmente equivalente `_{a identidade id : (R}n_{, 0) → (R}n_{, 0).}

Caso n > k. Tomem-se cartas locais φ : (Xn_{, p) ' (R}n, 0) e ψ : (Yk_{, q) ' (R}k, 0). Seja ˜f = ψ ◦ f ◦ φ−1 o representante de f nestas cartas. Como p ´e regular, rank(D ˜f0) = k. Isto significa que a matriz Jacobiana ∂ ˜_∂xf(0) tem as suas k linhas

linearmente independentes, e, portanto, tem pelo menos k colunas linearmente independentes. Sem perda de generalidade podemos supor que isto acontece com as primeiras k colunas. Por outras palavras, det_∂(x∂ ˜f

1...,xk)(0)

6= 0. Seja ent˜ao g : Rn→ Rn _{o mapa g(x) = ( ˜}_{f (x}

1, . . . , xn), xk+1, . . . , xn). Definindo π : Rn → Rk,

π(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xk), temos ˜f = π ◦ g. O mapa g tem matriz Jacobiana na

origem ∂g ∂x(0) = " ∂ ˜f ∂(x1...,xk)(0) ∂ ˜f ∂(xk+1...,xn)(0) O I # ,

com determinante det ∂g_∂x(0) = det

∂ ˜f ∂(x1,...,xk)(0)

6= 0. Logo, g : (Rn_{, 0) →}

(Rn_{, 0) ´}_{e um difeomorfismo local. Finalmente, o seguinte diagrama comutativo}

(Xn_{, p)} _{−→ (Y}f k_{, q)} φ   y   yψ (Rn_{, 0)} _{−→ (R}f˜ k_{, 0)} g y   yid (Rn_{, 0)} _{−→ (R}π k_{, 0)}

(4)

mostra que f é localmente equivalente à projeçc˜_{ao linear π : (R}n_{, 0) → (R}k, 0).

Caso n < k. Tomem-se cartas locais φ : (Xn_{, p) ' (R}n_{, 0) e ψ : (Y}k_{, q) ' (R}k_{, 0).}

Seja ˜f = ψ ◦ f ◦ φ−1 o representante de f nestas cartas. Como p ´e regular, rank(D ˜f0) = n. Isto significa que a matriz Jacobiana ∂ ˜_∂xf(0) tem as suas n

colu-nas linearmente independentes, e, portanto, tem pelo menos n linhas linearmente independentes. Sem perda de generalidade podemos supor que isto acontece com as primeiras n linhas. Por outras palavras, det∂( ˜f1,..., ˜fn)

∂(x1...,xn)(0) 6= 0. Seja ent˜ao g : Rk _{→ R}k _{o mapa g(x) = ˜}_{f (x} 1, . . . , xn) + (0, . . . , 0, xn+1, . . . , xk). Definindo ι : Rn→ Rk_{, ι(x}

1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0), temos ˜f = g ◦ ι. O mapa g tem

matriz Jacobiana na origem ∂g ∂x(0) = " _{∂( ˜}_f 1,..., ˜fn) ∂(x1...,xn)(0) O ∂( ˜fn+1,..., ˜fk) ∂(x1...,xn) (0) I # ,

com determinante det ∂g_∂x(0) = det∂( ˜f1,..., ˜fn)

∂(x1,...,xn)(0)

6= 0. Logo, g : (Rn_{, 0) →}

(5)

Finalmente, o seguinte diagrama comutativo (Xn_{, p)} _{−→ (Y}f k_{, q)} φ   y   yψ (Rn, 0) _{−→ (R}f˜ k, 0) id   y   yg −1 (Rn, 0) _{−→ (R}ι k, 0)

mostra que f ´e localmente equivalente `a inclus˜_{ao linear ι : (R}n_{, 0) → (R}k, 0).

Submers˜

oes e Imers˜

oes

Seja f : Xn→ Yk _{um mapa suave. A aplica¸c˜}_{ao f diz-se:}

(1) uma imers˜ao sse n < k e f n˜ao tem pontos cr´ıticos.

(2) um difeomorfismo local sse n = k e f não tem pontos cr´ıticos. (3) uma submersão sse n > k e f não tem pontos cr´ıticos.

Recordemos que uma aplica¸c˜ao f : X → Y se diz aberta sse para cada subcon-junto aberto U ⊆ X, f (U ) for aberto em Y .

Teorema

Seja f : Xn → Yk_{, n ≥ k, um mapa suave sem pontos cr´ıticos. Ent˜}_{ao f ´}_e

uma aplica¸cão aberta. Em particular, se Xn é compacto e Yk conexo então f é sobrejectiva.

Prova:

(6)

cada ponto p ∈ X, f é localmente equivalente a uma projeçc˜_{ao linear π : R}n _{→ R}k, π = id quando n = k. Como, em qualquer caso, a projeçcão π é uma aplica¸cão aberta, o mapa f é aberto numa vizinhan¸ca de p. Logo, f é localmente um mapa aberto. Tendo em conta a propriedade f (S

i∈IVi) =

S

i∈If (Vi), f ´e globalmente

um mapa aberto.

Como f ´e aberta, o conjunto f (Xn_{) ´}_{e aberto em Y}k_{. Mas como X}n_´_{e compacto,}

f (Xn_{) ´}_{e tamb´}_{em compacto, o que implica que seja fechado em Y}k_{. Como Y}k _´_e

conexo, sendo f (Xn_{) simultaneamente n˜}_{ao vazio, aberto e fechado em Y}k_{, tem-se}

f (Xn_{) = Y}k_{. Logo, f ´}_{e sobrejectiva.}

Teorema

Seja f : Xn _{→ Y}n _{um difeomorfismo local duma variedade compacta X}n _noutra

variedade conexa Yn_{. Ent˜}_{ao todas as pr´}_{e-imagens f}−1_{(y), com y ∈ Y}n_{, tˆ}_{em o}

mesmo n´umero finito de elementos. Prova:

Exerc´ıcio 33. Teorema

Seja f : Xn → Yk _{uma submers˜}_{ao duma variedade compacta X}n _{noutra variedade}

conexa Yk. Então todas as pré-imagens f−1(y), com y ∈ Yk, são variedades de dimensão n − k difeomórficas entre si.

Prova: