Universidade Federal da Bahia

(1)

Programa de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

Superf´ıcies tipo-espac

¸o de curvatura m´

edia

constante com bordo livre em espac

¸os de

Lorentz-Minkowski

Ednaldo Oliveira da Silva Junior

Salvador-Bahia

(2)

Superf´ıcies tipo-espac

¸o de curvatura m´

edia

constante com bordo livre em espac

¸os de

Lorentz-Minkowski

Ednaldo Oliveira da Silva Junior

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.

Salvador-Bahia

(3)

de Lorentz-Minkowski / Ednaldo Oliveira da Silva Junior. – Salvador, 2009. 32 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.

Disserta¸cão (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Programa de Pós-gradua¸cão em Matemática, 2009.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria diferencial. 2. Superf´ıcies (Matem´atica). 3. Superf´ıcies de curvatura constante. I. Vergasta, Enaldo Silva. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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Superf´ıcies tipo-espac

¸o de curvatura m´

edia

constante com bordo livre em espac

¸os de

Lorentz-Minkowski

Ednaldo Oliveira da Silva Junior

Disserta¸cão de Mestrado apresentada ao Colegiado da Pós-Gradua¸cão em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta (Orientador) UFBA

Prof.a _Dr.a _{Rosa Maria dos Santos Barreiro Chaves} USP

(5)

(6)

Agradecimentos

(7)

Neste trabalho, tratamos de um problema variacional para superf´ıcies tipo-espa¸co no espa¸co de Lorentz-Minkowski, cujos pontos cr´ıticos são superf´ıcies de curvatura média constante que intersectam uma dada superf´ıcie suporte sob um ângulo hiperbólico cons-tante. Verifica-se que, se a superf´ıcie suporte é um plano tipo-espa¸co ou um plano hi-perbólico, então os pontos cr´ıticos têm que ser, respectivamente, um disco plano ou uma calota hiperbólica.

(8)

Abstract

In this work, we deal with a variacional problem for spacelike into Lorentz-Minkowski space, whose critical points are constant mean curvature that intersect a given support surface under a constant hyperbolic angle. It is shown that, if the support surface is a spacelike plain or a hyperbolic plan, then the critical points must be a hyperbolic plain disc or a hyperbolic cap, respectively.

(9)

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Nota¸c˜oes necess´arias . . . 3

1.2 Defini¸c˜oes e resultados necess´arios . . . 4

1.2.1 Conex˜oes afins . . . 5

1.2.2 Primeira e segunda forma fundamentais . . . 5

2 O problema variacional 7

3 Superf´ıcies Estacion´arias com bordo livre plano ou hiperb´olico 13

4 Algumas considera¸c˜oes sobre o caso n-dimensional 28

(10)

Introdu¸

c˜

ao

O estudo de hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co (ou mas geralmente hipersuperf´ıcies) em espa¸cos de Lorentz é de interesse substancial, não somente do ponto de vista matemático, mas também do ponto de vista f´ısico. Por exemplo, as hipersuperf´ıcies maximais (que são hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co de curvatura média nula) são solu¸cões iniciais conveni-entes para o problema de Cauchy das equa¸cões de Einstein. Quando a hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co possui curvatura média constante não-nula, elas são usadas no estudo da propaga¸cão de ondas gravitacionais.

Do ponto de vista matemático, Barbosa e Oliker em [BO1] e [BO2] mostraram que as hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co de curvatura média constante são solu¸cões de um problema variacional, já que são pontos cr´ıticos do funcional área para varia¸cões que possuem fun¸cão volume constante e mantêm o bordo fixo.

Sejam Σ⊂L3 _{uma superf´ıcie tipo-espa¸co conexa mergulhada e}_M _{uma superf´ıcie} tipo-espa¸co compacta imersa em L3_{, com bordo contido em Σ e interior contido em} L3

+ (futuro de Σ).

Nosso problema consiste em estudar os pontos cr´ıticos de um certo funcional energia, para todas as superf´ıcies imersas em L3_, _{com bordo contido em Σ e interior} contido no futuro de Σ. Tais pontos cr´ıticos s˜ao chamados de superf´ıcies estacion´arias.

O funcional energia é dado por E = A₋coshβS onde A é a área de M, S é a área do dom´ınio de Σ limitada pelo bordo de M e β é o ângulo formado pela interse¸cão entre Σ eM.

Esta disserta¸cão é baseada no artigo de Lu´ıs J Al´ıas e José A Pastor [AP2]. Enunciaremos abaixo os teoremas principais deste trabalho.

Teorema 3.0.5. As ´unicas superf´ıcies estacion´arias imersas em L3 _com

su-perf´ıcie suporte plana s˜ao os discos planos com (H = 0) e as calotas hiperb´olicas com (H ₆= 0).

Teorema 3.0.6. As ´unicas superf´ıcies estacion´arias imersas em L3 _com

su-perf´ıcie suporte hiperbólica são os discos planos com (H = 0) e as calotas hiperbólicas com (H ₆= 0).

Em 1998, Lu´ıs Al´ıas e R. L´opez obtiveram um resultado de unicidade similar para

(11)

o caso de superf´ıcies tipo-espa¸co com curvatura média constante emL3_,_{com bordo circular} fixado, onde a prova foi baseada em duas fórmulas integrais para superf´ıcies tipo-espa¸co em L3_{: a} _{fórmula do fluxo} _{e a} _{desigualdade integral}_.

A prova feita por Al´ıas e Pastor é baseada na estrutura complexa da superf´ıcie como uma superf´ıcie de Riemann, explorando o fato de que a curvatura média é cons-tante, condi¸cão esta que implica que a diferencial de Hopf da imersão é holomorfa. A demostra¸cão dos teoremas principais depende da combina¸cão de dois resultados.

O primeiro é uma caracteriza¸cão de superf´ıcies estacionárias, dada pela seguinte proposi¸cão.

Proposi¸c˜ao 2.0.2. Seja Σ uma superf´ıcie suporte e seja x : M _−→ L3 _uma

imers˜ao tipo-espa¸co tal que x(int(M)) ⊂ L3

+ e x(∂M) = Γ ⊂ Σ ´e uma curva fechada

contida em Σ cujo bordo delimita um dom´ınio compacto. Então x é estacionária, se e somente se, a curvatura médiaH é constante ex(M)intersecta a superf´ıcie suporteΣ,ao longo deΓ, sob um ângulo hiperbólico β,dado por coshβ =_−hN, NΣ_i. Sex:M _−→L3 _é

estacionária, então _{τ, ν, N_} e _{τ, νΣ, NΣ} são dois triedros ao longo de Γ que satisfazem

`as equa¸c˜oes,

ν= coshβνΣ−sinhβNΣ

e

N =−sinhβνΣ+ coshβNΣ

O outro resultado trata de observar que a superf´ıcie é topologicamente um disco, resultado este que é consequência do seguinte Lema,

Lema 3.0.7. Seja x : M _−→ L3 _{uma imersão tipo-espa¸co compacta tal que} x(∂M) = Γ é uma curva fechada contida no plano tipo-espa¸coΣ, cujo bordo delimita um dom´ınio Ω. Então a proje¸cão ortogonal de M sobre o plano Σ é um difeomorfismo entre

M e Ω.

No Cap´ıtulo 1, trataremos de alguns conceitos e resultados relacionados com Geometria Riemanianna, que ser˜ao utilizados ao longo do trabalho.

No Cap´ıtulo 2, trataremos do problema variacional e mostraremos a Proposi¸c˜ao 2.0.2.

No Cap´ıtulo 3, mostraremos os teoremas principais deste trabalho, referentes à superf´ıcies estacionárias com bordo livres plano ou hiperbólico, bem com o Lema 3.0.7.

(12)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Nosso objetivo neste cap´ıtulo é apresentar defini¸cões, resultados e estabelecer as nota¸cões necessárias à compreensão dos cap´ıtulos subseqüentes.

1.1 Nota¸

c˜

oes necess´

arias

Denotaremos porL3 _{o espa¸co tri-dimensional de Lorentz-Minkowski, formado por} vetores do R3 _{com a m´etrica Lorentziana}

h. , ._i= (dx1)2+ (dx2)2−(dx3)2,

onde (x1, x2, x3) são as coodenadas canônicas emR3. Durante esta disserta¸cão, denotare-mos por Σ uma superf´ıcie conexa tipo-espa¸co mergulhada emL3_{, e consideraremos que Σ} está orientada por NΣ, que é o único campo vetorial unitário normal a Σ, do tipo-tempo e dirigido para o futuro, ou seja, apontando para o mesmo lado do vetor (0,0,1).

Assuma que Σ divide L3 _{em duas componentes conexas e denotaremos por} L3 + a componente para a qual N_Σ _{está apontando. Neste caso, não há dificuldade em ver} que a proje¸cão Π : Σ−→ R2 _{sobre o plano} _x

3 = 0 ´e um difeomorfismo local que satisfaz Π∗₍_h_{., .}_i₀₎ _{≥ h}_{., .}_i_{, onde} _h_{., .}_i

0 representa a metrica Euclidiana no R2. Isso mostra que Π aumenta a distância. Como Σ é completa isto implica que Π(Σ) = R2 _{e que Π é uma} aplica¸cão de recobrimento. Já queR2 _{é simplesmente conexo, então Π é um difeomorfismo} global e a superf´ıcie Σ é, de fato, um gráfico inteiro sobre o plano (x1, x2).

Seja M _{uma superf´ıcie conexa compacta e suave com bordo n˜ao-vazio}_∂M _{e seja} x:M_→L3 _{uma imers˜ao suave tipo-espa¸co tal que}

x(int(M₎_⊂L3

+ (1.1)

e

x(∂M_{) = Γ}_⊂_Σ _(1.2)

(13)

´e uma curva contida em Σ cujo bordo ´e um dom´ınio compacto Ω_⊂Σ.

Assumiremos que a restri¸cão da imersãoxao bordo∂M_{é um difeomorfismo sobre} Γ e dizemos que a imersãox:M_→L3 _{é uma superf´ıcie tipo-espa¸co com bordo Γ.}

Ao longo deste trabalho, consideraremos queM_{é orientada por um campo vetorial} unitário tipo-tempoNnormal aM_{. Se}_∇0 _{denota a métrica da conexão}_flat _deL3_{, então} ooperador de Weingartein A associado a Né dado por

A(υ) =_−∇0υN

para um vetor tangente qualquerυ. A fun¸cão curvatura média de M _{é definida por}_H₌

−1

2tr(A).

A orienta¸cão de M _{induz uma orienta¸cão natural em} _∂M _{da seguinte maneira:} um vetor tangente não-nuloυ _∈Tp(∂M) é orientado positivamente, se e somente se, para

qualquer vetor w _∈ TpΣ apontando para dentro, {υ, w} ´e uma base de TpΣ orientada

positivamente. Denotaremos por ν um vetor conormal unitário ao longo de ∂M apon-tando para dentro. Da mesma forma, τ denotará um campo vetorial unitário orientado positivamente ao longo de∂M_. _{Denotaremos por} _v_∧_w _{o produto vetorial em} L3 _{de dois} vetoresv, w_∈L3_{, definido como o ´}_{unico vetor}_v _∧_w _{tal que}

hv_∧w, u_i=det(v, w, u)

para todou_∈L3_{. Observe ent˜ao que} _τ _{´e dado por} _τ ₌₋_N_∧_ν.

1.2 Defini¸

c˜

oes e resultados necess´

arios

Na se¸c˜ao anterior, falamos sobre superf´ıcies tipo-espa¸co, vetores tipo-espa¸co, ve-tores tipo-tempo, entre outros. Mas o que vem a ser esses entes matem´aticos?

Bom, nosso ambiente de trabalho é o espa¸co de Minkowiski, que nada mais é do que o R3 _{munido da métrica}_h_{., .}_i_{= (dx1)}2_{+ (dx2)}2₋_(dx3)2_.

´

E fácil ver que, com essa métrica, R3 _{fica dividido em três subconjuntos, da} seguinte maneira: vetores v para os quais _hv, v_i > 0 (incluindo v = 0), _hv, v_i < 0 e

hv, v_i = 0. Tais vetores s˜ao chamados de vetores tipo-espa¸co, tipo-tempo e tipo-luz, respectivamente. O conjunto formado pelos vetores tipo-luz ´e chamado decone de luz.

Dizemos que uma superf´ıcie Σ ⊂L3 _{é do} _{tipo-espa¸co} _{se dado um ponto qualquer} p_∈Σ, tivermos que qualquer vetor não-nulov _∈TpΣ é do tipo-espa¸co, ou seja,hv, vi>0.

(14)

5

Figura 1.2.1

1.2.1 Conex˜

oes afins

Indicaremos por χ(Σ) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ _{em Σ e por}

D(Σ) o anel das fun¸c˜oes reais de classe C∞ _{definidas em Σ.}

Uma conexão afim _∇em uma variedade diferenciável Σ é uma aplica¸cão

∇:χ(Σ)×χ(Σ) −→χ(Σ)

que se indica por (X, Y)_{7−→ ∇}XY e que satisfaz as seguintes propriedades:

1. _∇f X+gYZ =f∇XZ+g∇YZ,

2. _∇X(Y +Z) = ∇XY +∇XZ,

3. ∇X(f Y) =f∇XY +X(f)Y,

onde X, Y Z _∈χ(Σ) e f, g_{∈ D}(Σ).

Seja Σ uma variedade diferenciável com conexão afim _∇ e métrica Riemanniana

h., ._i. A conexão é dita compat´ıvel com a métrica _h,_i se para toda curva diferenciável ce quaisquer pares de campos de vetores pararelos P e P′ _{ao longo de} _{c, tivermos} _h_P,_P′_i₌ constante.

Lema 1.2.1. Uma conexão ∇ em uma variedade Riemanniana Σ é compat´ıvel com a métrica se e só se

X_hY, Z_i=h∇XY, Zi+hY,∇XZi, ∀X, Y, Z ∈χ(Σ).

1.2.2 Primeira e segunda forma fundamentais

(15)

Sew1, w2 _∈TpΣ, ent˜aohw1, w2ip´e o produto interno Lorentziano dew1 ew2 como vetores

do L3_{. A esse produto interno, que é uma forma bilinear e simétrica, corresponde uma} forma quadráticaIp :TpΣ−→R, dada por

Ip(w) =hw, wip =|w|2≥0,

que ´e chamada deprimeira forma fundamental de Σ em p.

Como vimos anteriormente, NΣ representa um campo vetorial normal unit´ario do tipo-tempo dirigido para o futuro de Σ. Assim, a aplica¸c˜ao dNΣ

p

: TpΣ −→ TpΣ

com p _∈ Σ, é uma aplica¸cão linear auto-adjunta. Esse resultado é bastante conhecido na literatura corrente e isso nos permite associar adNΣ

p

uma forma quadr´atica em TpΣ

definida porIIp(v) = −hdNΣ|p(v), vi, que ´e chamada asegunda forma fundamental de Σ

(16)

Cap´ıtulo 2

O problema variacional

´

E bastante conhecida a caracteriza¸cão das superf´ıcies de curvatura média cons-tante, como solu¸cões de um problema variacional. Elas são pontos cr´ıticos do funcional área quando se consideram varia¸cões que mantêm o bordo fixo e preservam volume.

Neste cap´ıtulo, abordaremos um problema variacional um pouco diferente, que se origina na tentativa de encontrar as superf´ıcies estacionárias imersas emL3_{, com bordo} contido numa superf´ıcie suporte. Porém nosso problema possui uma condi¸cão menos res-tritiva no bordo. A formula¸cão do problema variacional, neste caso, nos leva a considerar varia¸cões de uma dada superf´ıcie impondo que, para cada parâmetro num intervalo real, a superf´ıcie correspondente tenha seu bordo (não necessariamente fixo) sobre uma su-perf´ıcie dada (susu-perf´ıcie suporte), intersectando-a sob um ângulo hiperbólico constanteβ. Em virtude da condi¸cão estabelecida sobre o bordo, um problema deste tipo é chamado deproblema de bordo livre.

Seja x:

mathbf M _−→L3 _{uma imers˜ao suave tipo-espa¸co satisfazendo}

x(intM)⊂L3 + e

x(∂M) = Γ ⊂Σ.

Umavaria¸cão admiss´ıvel dexé uma aplica¸cão diferenciávelX : (−ǫ, ǫ)×M _−→ L3 _{tal que, para cada} _t_∈₍₋_{ǫ, ǫ),}_{a aplica¸cão} _X_t_:_M _−→L3 _{definida por}_X_t_{(p) =}_{X(t, p)} é uma imersão tipo-espa¸co com

Xt(intM)⊂L3+ e

Xt(∂M)⊂Σ,

(17)

Dada uma varia¸cão admiss´ıvel X, a fun¸cão energia E : (₋ǫ, ǫ)_−→ R _{é definida} por

E(t) = A(t)₋cosh(β)S(t),

onde β_∈R _{´e uma constante real arbitr´aria,}

A(t) = ´area(M, Xt) =

Z

M

dAt

é a área de M na métrica induzida por Xt e

s(t) = ´area(Ωt) =

Z

Ωt

dΣ

´e a ´area do dom´ınio em Σ limitado por Γt =Xt(∂M), denotado por Ωt⊂Σ.

Aqui dΣ denota o elemento de área de Σ com respeito à métrica induzida e a escolha da orienta¸cão, dAt denota o elemento de área de M com respeito à métrica

induzida porXte a orienta¸c˜ao dada pelo campo vetorial normal aXt,tipo-tempo dirigido

para o futuro o qual ser´a denotado por Nt.

A fun¸cão volume de uma varia¸cão V : (₋ǫ, ǫ)_−→R_{é dada por}

Vt=

Z

[0,t]×M

X∗(dV),

ondedvé o elemento canônico de volume doL3_{. Como no caso euclidiano,}_V_{(t) representa} o volume limitado pelas superf´ıcies X0 = x e Xt. A varia¸cão é dita preservar volume se

V(t) =V(0) = 0 para todo t.

Denotemos por ξ o campo variacional deX, dado por

ξ(p) = ∂X ∂t (0, p).

Ao longo da imers˜aox:

mathbf M _−→ L3_, _decompondo _ξ _{em suas componentes tangente e normal, temos} _ξ ₌ ξT ₊_ξN_, _onde _ξT _{∈ X}_{(M) ´e tangente a} _M. _Mas_ξN ₌_aN, _ent˜ao

ξ =ξT +aN

Como_hN, N_i=₋1 e _hξT_{, N}_i_{= 0,} _obtemos

hξ, N_i = _hξT, N_i+a_hN, N_i = ₋a

Consequentemente,

(18)

9

Em 1976, Brill e Flahert em [BF] mostraram que as fórmulas da primeira varia¸cão da àrea eram dadas por

δξA=

dA dt |t=0

=₋2

Z

M

H_hξ, N_idA₋

I

∂Mh

ξ, ν_ids

e

δξS =

dS dt|t=0

=−

I

∂M

hξ, νΣids,

ondedsé o elemento de linha induzido em∂M eνΣ =NΣ∧τ é o vetor unitário conormal apontando para dentro de Ω ao longo de Γ.

Logo, a fórmula da primeira varia¸cão da energia é dada por

δξE =

dE dt |t=0

= ₋2

Z

M

H_hξ, N_idA₋

I

∂M

(_hξ, ν_{i −}coshβ_hξ, νΣ_i)ds

= −2

Z

M

H_hξ, N_idA+

I

∂M

H_hξ, νΣi(coshβ+hN, NΣi)ds. (2.1)

Por outro lado, em 1993, Barbosa e Oliker em ([BO1] e [BO2]) mostraram que

δξV =

dV dt |t=0

=₋

Z

Mh

ξ, N_idA (2.2)

Dizemos que a imersão x é estacionária se δξE = 0 para toda varia¸cão adimiss´ıvel de

x que preserva volume. A seguinte caracteriza¸cão de superf´ıcies estacionárias segue das fórmulas 2.1 e 2.2.

Proposi¸c˜ao 2.0.2. Seja Σ uma superf´ıcie suporte e seja x : M _−→ L3 _{uma imers˜ao}

suave tipo-espa¸co tal que x(intM)_⊂L3

+ e x(∂M = Γ)⊂Σ´e uma curva fechada contida

emΣcujo bordo delimita um dom´ınio compacto. Entãoxé estacionária se, e somente se, a curvatura média H é constante ex(M) intersecta a superf´ıcie suporte Σsob um ângulo hiperbólico constante β, ao longo de Γ, dado por coshβ =−hN, NΣi.

Se x:M _−→L3 _{é estacionária, então} _{_{τ, ν, N}_} _e _{_{τ, νΣ}_,N

Σ} s˜ao dois triedros ao

longo deΓ que satisfazem as rela¸c˜oes

ν= coshβνΣ−sinhβNΣ (2.3)

e

N =−sinhβνΣ+ coshβNΣ

Prova. SeH ´e constante e coshβ =−hN, NΣi,ent˜ao,

δξE =

dE dt |t=0

= ₋2

Z

M

H_hξ, N_idA₋

I

∂M

(_hξ, ν_{i −}coshβ_hξ, νΣ_i)ds

= ₋2H

Z

Mh

ξ, N_idA+

I

∂Mh

ξ, νΣ(_−hN, NΣ_i+_hN, NΣ_i)ds

= ₋2H

Z

M

(19)

Tome uma varia¸c˜ao admiss´ıvel que preserva volume, ou seja,V(t) =V(0) = 0 para todo t, o que nos diz que

δξV =

dV dt |t=0

= 0.

Por outro lado sabemos queδξV =

dV dt |t=0

=₋R

Mhξ, NidA. Assim,

Z

M

hξ, N_idA= 0,

e finalmente chegamos a δξE = 0 para toda varia¸c˜ao admiss´ıvel que preserva volume.

Provaremos a primeira implica¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.0.2 em duas estapas. Primeiro vamos mostrar queH =cteem M,e para isso assumiremos o seguinte resultado.

Lema 2.0.3. Seja f :M _−→R _{uma fun¸c˜ao diferenci´avel por partes tal que} R

Mf dM = 0 e f∂M ≡ 0. Ent˜ao existe uma varia¸c˜ao admiss´ıvel que preserva volume cujo campo

variacional ´e dado por ξ=f N.

A prova deste Lema é essencialmente a mesma que a do Lema 2.4 em [BdC]. Vamos então construir uma fun¸cão f : M _−→ R _{que cumpra as condi¸cões do} lema acima. Seja H0 = _A1

R

M HdM.

Assuma que (H−H0)(p)6= 0 num pontop _∈intM. Podemos portanto assumir que (H₋H0)(p)>0.

Tome M+ =_{q_∈intM; (H₋H0)(q)>0)_}, M−=_{q_∈intM; (H₋H0)(q)<0_}, e observe queM+ ₆=_∅e M−₆=_∅.

De fato, por hip´otese (H₋H0)(p)>0 e ent˜ao p∈M+. Como

Z

M

(H−H0)dM =

Z

M

HdM ₋H0

Z

M

dM

= H0A₋H0A

= 0,

ou seja,H₋H0 possui m´edia nula, ent˜ao existe q_∈intM tal que (H₋H0)(q)<0, logo q_∈M−.

Sejam ϕ, ψ : M _−→ R _{fun¸cões reais não-negativas, diferenciáveis por partes,} satisfazendo

p_∈suppϕ _⊂M+, e

q_∈suppψ _⊂M−

(20)

11

Podemos tamb´em assumir que

Z

M

(ϕ+ψ)(H−H0)dM = 0. (2.4) De fato, por continuidade existem vizinhan¸cas Vp de p e Vq de q tais que Vp ⊂ suppϕ e

Vq ⊂suppψ,logo

Z

M

(ϕ+ψ)(H₋H0)dM =

Z

Vp

ϕ(H₋H0)dM +

Z

Vq

ψ(H₋H0)dM

Por outro lado ϕ(H₋H0)>0 em Vp eψ(H−H0)<0 em Vq, logo

Z

Vp

ϕ(H−H0)dM >0 e

Z

Vq

ψ(H₋H0)dM <0.

Multiplicando uma das fun¸c˜oes ϕ ou ψ por uma constante apropriada, obtemos novas fun¸c˜oes, denotadas ainda porϕ e ψ, satisfazendo (2.4), ou seja,

Z

M

(ϕ+ψ)(H₋H0)dM = 0.

Sejaf = (ϕ+ψ)(H−H0).Ent˜aof = 0 em∂M eR

Mf dM = 0.Pelo Lema 2.0.3,

existe uma varia¸c˜ao que preserva volume cujo campo variacional ´eξ =f N, ou seja,

hξ, N_i = _hf N, N_i = f_hN, N_i

= f

Em particular, ξ∂M ≡0.

Como xé estacionária, então

0 = ₋2

Z

M

H_hξ, N_idM +

I

∂Mh

ξ, νΣ_i(coshβ+_hN, NΣ_i)ds.

Masξ∂M ≡0.logo

0 =₋2

Z

M

H_hξ, N_idM =₋2

Z

M

f HdM.

Note que R

Mf(H−H0)dM =

R

Mf HdM. De fato,

Z

M

f(H−H0)dM =

Z

M

f HdM +H0

(21)

portanto,

0 =−2

Z

M

f HdM =−2

Z

M

f(H−H0)dM =−2

Z

M

(ϕ+ψ)(H−H0)2dM >0, o que nos fornece uma contradi¸c˜ao. Logo,H =H0 =cte.

A segunda etapa consiste em mostrar que coshβ = −hN, NΣi. Para isso, assu-mimos tamb´em o seguinte resultado que na sua essencia ´e muito similar ao Lema 2.0.3 utilizado na primeira etapa.

Lema 2.0.4. Dados p_∈∂M e f :Vp −→R ondeVp é uma vizinhan¸ca de pem M,então existe uma varia¸cão admiss´ıvel que preserva volume tal que

ξ(p) = f νΣ(p) ∀p_∈Vp.

Dado p _∈ ∂M, suponha que (coshβ +hN, NΣi)(p) > 0. Assim por continuidade, temos (coshβ+hN, NΣi)(q)>0,para todoqnuma vizinhan¸caVpdepem∂M.Sejag :∂M −→R

tal que

g(p)>0,

g(q)_≥0 _∀q_∈∂M,

e

suppg _⊂Vp.

Pelo lema acima, existe uma varia¸c˜ao _Xt que preserva volume tal que

ξ(p) = ∂X

∂t (0, p) =g(p)νΣ(p) ∀p∈Vp. Comox é estacionária, então

0 =−2H

Z

M

hξ, N_idM +

I

∂M

hξ, νΣi(coshβ+hN, NΣi)ds. MasR

Mf dM = 0, poisXt preserva volume, logo

0 =

I

∂M

hξ, νΣi(coshβ+hN, NΣi)ds.

Como ξ(p) = g(p)νΣ(p) para todo p _∈Vp ⊂ ∂M, hνΣ, νΣi = 1 e (coshβ+hN, NΣi) >0, ent˜ao

0 =

I

Vp

g(p)_hνΣ, νΣ_i(coshβ+_hN, NΣ_i)>0,

o que nos d´a uma contradi¸c˜ao. Logo

(coshβ+_hN, NΣi)(p) = 0. Masp´e arbitr´ario, assim

coshβ =_−hN, NΣ_i, _∀p_∈∂M

(22)

Cap´ıtulo 3

Superf´ıcies Estacion´

arias com bordo

livre plano ou hiperb´

olico

Neste cap´ıtulo consideramos o caso onde a superf´ıcie suporte é um plano tipo-espa¸co ou um plano hiperbólico. Nosso objetivo é mostrar os seguintes resultados de unicidade.

Teorema 3.0.5. As ´unicas superf´ıcies estacion´arias imersas emL3 _{com superf´ıcie suporte}

plana s˜ao os discos planos, com H = 0, e as calotas hiperb´olicas, com H ₆= 0.

Teorema 3.0.6. As ´unicas superf´ıcies estacion´arias imersas emL3 _{com superf´ıcie suporte}

hiperbólica são os discos planos, com H= 0 e as calotas hiperbólicas, com H ₆= 0.

Antes de iniciarmos a demonstra¸cão do Teorema 3.0.5, precisaremos de uma pro-posi¸cão, algumas afirma¸cões e um lema. O primeiro aux´ılio na prova do Teorema 3.0.5 é mostrar que a superf´ıcie é topologicamente um disco. Isso é consequência do seguinte fato.

Lema 3.0.7. Seja x : M _→ L3 _{um imers˜ao tipo-espa¸co compacta tal que} _x(∂M_{) = Γ}

é uma curva fechada contida no plano tipo-espa¸co Σ o qual delimita com seu bordo um dom´ınio Ω. Então a proje¸cão ortogonal de M sobre o plano Σé um difeomorfismo entre

M e Ω. Em particular, M ´e difeomorfa a um disco.

Prova. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que o plano tipo-espa¸co Σ = E2 passando pela origem é dado porE2 ₌_a⊥_, _{para um vetor} _a _{unitário tipo-tempo dirigido} para o futuro. Seja ˜x:M _−→Σ a proje¸cão ortogonal deM sobre o plano Σ e denotaremos também por ˜x sua restri¸cão ao interior deM, x˜:int(M)_−→Σ.

Afirma¸cão 1: x˜ : int(M) _−→ Σ é um difeomorfismo local e, portanto, é uma aplica¸cão aberta.

Prova da Afirma¸c˜ao 1. Tomemos sem perda de generalidade, E2 ₌ _{_x

3 = 0}, ou seja, ˜

x(x1, x2, x3) = (x1, x2,0), logo d˜xp(v) = d˜xp(v1, v2, v3) = (v1, v2,0), para qualquer v = (v1, v2, v3).

(23)

d˜xpv 6= 0.E assim chegamos que d˜xp ´e injetiva, logo pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa,

˜

xé um difeomorfismo local e portanto uma aplica¸cão aberta. Isto mostra aAfirma¸cão 1. Nosso objetivo agora é mostrar que ˜x(int(M)) = Ω e, a partir da´ı, que ˜x é um difeomorfismo local. Primeiro veremos que ∂ x(int(M˜ ))

= ∂x(M˜ ) ⊂ Γ, que será consequência das duas afirma¸cões abaixo.

Afirma¸c˜ao 2: x˜´e sobrejetiva.

Prova da Afirma¸cão 2. De fato, como M é aberto em M e ˜x é uma aplica¸cão aberta então ˜x(M) e aberto em Ω. Por outro lado M é compacta, então ˜x(M) é compacta, em particular fechado, e assim ˜x(M) é aberto e fechado em Ω,e como Ω é conexo, conclu´ımos que ˜x(M) = Ω. Portanto, ˜xé sobrejetiva. Isto mostra a Afirma¸cão 2.

Afirma¸c˜ao 3: Seq_∈∂(˜x(M)),ent˜ao existe p_∈∂M tal que ˜x(p) = q.

Prova da Afirma¸cão 3. De acordo com a Afirma¸cão 2, existe p _∈ M tal que ˜x(p) = q. Sep _∈int(M), então existe uma vizinhan¸ca aberta Up de p ∈int(M) e uma vizinhan¸ca

aberta de Vq de q ∈ x(int(M˜ )) tais que ˜x : Up −→ Vq ´e um difeomorfismo. Isto implica

que q _∈ x(int(M˜ )), que é uma contradi¸cão com o fato que q é um ponto do bordo de ˜

x(M). Isto mostra a Afirma¸c˜ao 3.

Decorre ent˜ao das Afirma¸c˜oes 2 e 3 que ∂x(int(M˜ ))⊂Γ.

Se existir um ponto em ˜x(int(M)) que não está em Ω,já que ˜x(int(M)) é limitado, existiriam pontos em ∂x(int(M˜ )) fora de Ω, o que não é poss´ıvel. Analogamente, se existirem pontos em Ω que não estão em ˜x(int(M)), existiriam pontos em ∂x(int(M˜ )) dentro de Ω,o que novamente seria imposs´ıvel. Concluimos então que Ω = ˜x(int(M)).

Consequentemente, ˜x :M _−→ Ω é um difeomorfismo local, e a compacidade de M implica que ˜x é uma aplica¸cão de recobrimento. Já que Ω é simplesmente conexo, ˜x tem que ser um difeomorfismo global, o que demostra o Lema 3.0.7.

Vamos agora `a demostra¸c˜ao do Teorema 3.0.5.

Prova. Seja z =x+iy=reiθ _{a coordenada usual em} _C_{. Sabemos que a m´etrica em} _M

é um múltiplo da métrica em R2_{, ou seja, é dada pela expressão} ds2 =eρ_|dz_|2,

para uma fun¸c˜ao suaveρ=ρ(z).

Afirma¸cão 4: A segunda forma fundamental da imersão é dada por

II =Re_{φdz2+Heρdzdz_}. onde

(24)

15

Prova da Afirma¸cão 4. De acordo com o Lema 3.0.7, sabemos queM é topologicamente um disco. Podemos então parametrizar M por um disco unitário fechado D no plano complexo.

Sejaz =x+iy=reiθ _{a coordenada usual em}_C_._Como _{E >}_0, _podemos

conside-rar, sem perda de generalidade,E =eρ _{para uma fun¸c˜ao} _ρ_:_C_−→_R_.

Seja w=aXx+bXy ent˜ao,

Π(w) = _−hdN(w),(w)_i

= −hdN(aXx+bXy), aXx+bXyi

= _−haNx+bNy, aXx+bXyi

= ₋[a2_hNx, Xxi+b2hNy, Xyi+ab(hNx, Xyi+hNy, Xxi)].

Sabemos que

hNx, Xxi=−e,

hNy, Xyi=−g

e

hNx, Xyi=hNy, Xxi=−f.

Da´ı,

Π(w) =a2e+ 2abf +b2g.

Por outro lado, utilizando que X ´e isot´ermica, ou seja, E = G e F = 0, temos que

I(w) = _hw, w_i

= _haXx+bXy, aXx+bXyi

= a2E+b2E = (a2+b2)E. Portanto

I(w) =E_|dz_|2 =E(dx2+dy2), logo

Π(w) = edx2+ 2f dxdy+gdy2. Comoz =x+iy, temos

dz =dx+idy, dz =dx₋idy

e

(25)

Podemos ent˜ao escrever

φdz2+HEdzdz =

e₋g 2 −if

dx2₋dy2+ 2idxdy

+HE(dx2+dy2).

MasH = e+g

2E e K =

eg₋f2 E2 , logo φdz2+HEdzdz =

e₋g 2 −if

dx2₋dy2+ 2idxdy

+e+g 2 dx

2 ₊_dy2

=

e₋g 2 +

e+g 2

dx2+

e+g 2 −

e₋g 2

dy2₋2f dxdy+i(A) = edx2+gdy2+ 2f dxdy+i(A),

onde A ´e uma fun¸c˜ao real. Dessa forma,

Re φdz2+HEdzdz=edx2+ 2f dxdy+gdy2. e assim

Π =Re φdz2+Heρdzdz. o que prova aAfirma¸c˜ao 4.

A expressão Q=φdz2 define uma diferencial quadrática invariante emM, que é chamada de Diferencial de Hopf.

Afirma¸c˜ao 5: A norma intr´ınseca deQ ´e dada por

|Q_|2 = 2e−2ρ|φ_|2 = 2(H2−K)≥0. (3.1)

Prova da Afirma¸c˜ao 5. Mostremos inicialmente que |Q|2 _{= 2e}−2ρ_|_φ_|2_.

De fato, _|Q_|2 =_|φ_|2_|dz2_|2 e

|dz2_|2 = _|dx2₋dy2 + 2idxdy_|2 = (dx2₋dy2)2+ (2dxdy)2

= (dx2)2−2dx2dy2+ (dy2)2+ 4dx2dy2 = (dx2)2+ 2dx2dy2+ (dy2)2

= (dx2+dy2)2. (3.2)

Sabemos que

I =ds2 =E_|dz_|2,

onde _|dz_|2 =dx2+dy2 e, aplicando a um vetor v = (a, b) temos

(26)

17

Assim,

ds2(v) = E_|dz_|2(v) =E(a2+b2).

Por outro lado,_|Q_|2 =_|Qv1_|2+_|Qv2_|2, onde_{v1, v2_} ´e uma base ortonormal de TpΣ.

Considere v1 = √1

E(a1, b1) e v2 = 1

√

E(a2, b2), com a 2

1 +b21 = a22 +b22 = 1 e

hv1, v2_i= 0. Assim,

ds2(v1) = E

a2₁ E +

b2₁ E

= 1

e

ds2(v2) =E

a2₂ E +

b2₂ E

= 1.

Da´ı

|Q_|2 = _|Qv1_|2+_|Qv2_|2

= |φdz2(v1)|2₊_|_φdz2_(v₂₎_|2 = _|φ_|2 _|dz2(v1)|2+|dz2(v2)|2

,

por (3.2) temos que

|dz2(v1)|2 = (dx2(v1) +dy2(v1))2 =

a2₁ E +

b2₁ E 2 = 1 E(a 2 1+b21)

2

= 1 E2. Do mesmo modo, _|dz2(v2)|2 =

1 E2, logo

|Q_|2 =_|φ_|2 2

E2 = 2E −2

|φ_|2 = 2e−2ρ_|φ_|2. (3.3) que ´e a primeira igualdade em (3.1).

Vamos mostrar agora que _|Q_|2 = 2(H2₋_K)_≥_0. _{De fato,} Como φ= e−g

2 −if, temos que

|φ_|2 = e

2 ₋_2eg₊_g2

4 +f

2

= e

2 ₋_2eg₊_g2_{+ 4f}2

4 ,

ou seja,

(27)

usando (3.3) e (3.4), temos,

H2 ₋K =

e+g 2E

2

+ f 2₋_eg

E2 = e

2_{+ 2eg}₊_g2 4E2 +

4f2₋_4eg 4E2 = e

2₋_2eg₊_g2_{+ 4f}2 4E2

= |φ| 2 E2 = e−2ρ_|φ_|2 = |Q|

2 2 . que ´e a segunda igualdade em (3.1).

Verifica-se facilmente que, se k1 e k2 são as curvaturas principais da imersão x, então

H2₋K = (k1₋k2)2,

logoH2₋_K _≥_{0 e a igualdade ocorre exatamente nos pontos umb´ılicos. E isto conclui a} prova da Afirma¸c˜ao 5.

Afirma¸c˜ao 6: ∂φ

∂z =E ∂H

∂z .

Prova da Afirma¸cão 6. Sabemos, de acordo com [dC2], que as equa¸cões de Mainardi-Codazzi são dadas por

fy −gx =−ExH (3.5)

e

ey−fx =EyH, (3.6)

as quais podem ser reescritas como

e₋g 2

x

+fy =EHx (3.7)

e

e₋g 2

y

−fx =−EHy. (3.8)

De fato, como x ´e isot´ermica temos

H = e+g 2E =

1

2(e+g) 1 E, que derivando com rela¸c˜ao ax d´a origem a

Hx =

1 2

(ex+gx)

1

E −(e+g) 1 E2Ex

(28)

19

Note que H E =

e+g 2E2 , logo

Hx =

ex+gx

2E

−

e+g 2E2

Ex

e assim

EHx =

ex+gx

2

−ExH.

Por (3.5) temos que

EHx =

ex+gx

2 +fy−gx = ex−gx

2 +fy =

e₋g 2

x

+fy,

e isso mostra a equa¸c˜ao (3.7).

Derivando agora a fun¸c˜ao H com rela¸c˜ao a y temos

Hy =

1 2

(ey +gy)

1

E −(e+g) 1 E2Ey

.

Lembrando que H E =

e+g

2E2 , ficamos com Hy =

ey+gy

2E

−

e+g 2E2

Ey,

e assim

EHy =

ey+gy

2 −EyH. Por (3.6), temos que

EHy =

ey +gy

2 −ey+fx = −ey+gy

2 +fx

= ₋

"

e₋g 2

y

−fx

#

,

e isso mostra a equa¸c˜ao (3.8). Sabemos que

∂z =

1

2(∂x−i∂y) e

∂z =

1

(29)

Assim, ficamos com ∂φ ∂z = 1 2 ∂φ ∂u +i

∂φ ∂v = 1 2 (

e₋g 2

x

−ifx+i

"

e₋g 2

y

−ify

#)

= 1 2

(

e₋g 2

x

−ifx+i

e₋g 2

y

+fy

)

= 1 2

(

e₋g 2

x

+fy +i

"

e₋g 2

y

−fx

#)

e assim teremos que

∂φ ∂z =

1

2(EHx−iEHy) = E

1

2(Hx−iHy)

= E∂H ∂z ,

e isto mostra a Afirma¸c˜ao 6.

Decorre da Afirma¸cão 6, que comoH =cte então φ é holomorfa.

De acordo com o Lema 3.0.7, M ´e topologicamente um disco. Assim no bordo de M, temos quer=_|z_|= 1 e ∂z =

1

2(∂x−i∂y). Sabemos que

z =x+iy=reiθ,

onde

r=|z_|=px2 ₊_y2 e

θ = arctany x

.

Por outro lado,

∂x =

∂r ∂x∂r+

∂θ ∂x∂θ

e

∂y =

∂r ∂y∂r+

∂θ ∂y∂θ. Como

∂r ∂x =

1

(30)

21

∂r ∂y =

1

2px2₊_y22y= y r, ∂θ ∂x =    1

1 + y 2 x2    −y x2

= −y r2 , e ∂θ ∂y =    1

1 + y 2 x2    1 x = x r2,

para r= 1 ficamos com

∂r ∂x =x,

∂r ∂y =y, ∂θ

∂x =−y, e

∂θ ∂y =x. Portanto,

∂z =

1

2(∂x−i∂y) = 1

2[x∂r−y∂θ−i(y∂r+x∂θ)] = 1

2[(x−iy)∂r+ (−y−ix)∂θ].

Por outro lado, sabemos que

x₋iy=z

e

−y₋ix=₋iz.

Note tamb´em que

z =e−iθ

e

iz =e

−i θ+π 2

!

.

(31)

∂z =

1

2(∂x−i∂y)

= 1 2



e−iθ∂r−e

−i θ+π 2 ! ∂θ   = 1

2(z∂r−iz∂θ).

Afirma¸c˜ao 7: φ= 2Π(∂z, ∂z).

prova da Afirma¸cão 7. Como Π é bilinear e simétrica, então

2Π[1

2(∂x−i∂y), 1

2(∂x−i∂y)] = 2 1 2 1

2Π(∂x−i∂y, ∂x−i∂y) = 1

2[Π(∂x, ∂x) + Π(∂x,−i∂y) + Π(−i∂y, ∂x) + Π(−i∂y,−i∂y)] = 1

2[Π(∂x, ∂x)−iΠ(∂x, ∂y)−iΠ(∂y, ∂x) + (−i) 2_Π(∂

y, ∂y)]

= 1

2[Π(∂x, ∂x)−Π(∂y, ∂y)−2iΠ(∂x, ∂y)]

Como Π(∂x, ∂x) = e, Π(∂y, ∂y) = g e Π(∂x, ∂y) =f, temos que

2Π(∂z, ∂z) =

1

2[e−g−2if] = e₋g

2 −if =φ.

o que mostra aAfirma¸c˜ao 7.

Sabemos tamb´em que ∂z =

1

2(z∂r−iz∂θ), logo

φ = 2Π(∂z, ∂z) = 2Π[

1

2(z∂r−iz∂θ), 1

2(z∂r−iz∂θ)] = 21

2 1

2Π(z∂r−iz∂θ, z∂r−iz∂θ) = 1

2[Π(z∂r, z∂r) + Π(z∂r,−iz∂θ) + Π(−iz∂θ, z∂r) + Π(−iz∂θ,−iz∂θ)] = 1

2[z 2_Π(∂

r, ∂r)−iz2Π(∂r, ∂θ)−iz2Π(∂θ, ∂r) + (−i)2z2Π(∂θ, ∂θ)].

Para|z_|= 1, temos que z2_z2 ₌_|_z_|4 _{= 1,} _{assim ficamos com}

z2φ = 1

2[Π(∂r, ∂r)−2iΠ(∂r, ∂θ)−Π(∂θ, ∂θ)], e finalmente temos que

Im(z2φ) = ₋Π(∂r, ∂θ).

Por outro lado, o vetor tangente unitário τ e o conormal unitário ν apontando para dentro ao longo de∂M são dados por

τ = ∂θ

(32)

23

e

ν = −∂r

|∂r|

.

Sabemos que ds2 =eρ_|_dz_|2_{, x} ₌_r_cos_θ _e _y ₌_r_sin_θ. _{Assim, para} _r _{= 1,} _ficamos com

dx= cosθdr₋sinθdθ

e

dy= sinθdr+ cosθdθ.

Portanto, _|dz_|2 =dx2+dy2 =dr2+dθ2,logo ds2 =eρ(dr2₊_dθ2_),_{o que nos leva} a

|∂r|2 =ds2(∂r) = eρ e |∂θ|2 =ds2(∂θ) = eρ,

ou seja,

|∂r|=e

ρ 2

e

|∂θ|=e

ρ 2,

e assim teremos τ =e−ρ

2 ∂θ eν =−e

−ρ

2 ∂r.

Mas comoIm(z2_{φ) =}₋_Π(∂

r, ∂θ), ent˜ao

Im(z2φ) = −Π(e−ρ

2 τ,−e− ρ 2 ν)

= ₋e−2ρ(−e

−ρ

2 )Π(τ, ν)

= eρΠ(τ, ν).

De acordo com a Proposi¸c˜ao 2.0.2 e sabendo que NΣ =a, temos que, ao longo de Γ,

ν = coshβνΣ₋asinhβ

e

N =₋sinhβνΣ+acoshβ.

Assim, lembrando que

Π(v) =_−hdN(v), v_i

temos

Π(τ, ν) = _−h∇0

τN, νi=h∇0τν, Ni

= _h∇0τ(coshβνΣ−asinhβ), Ni

= h∇0

τ(coshβνΣ), Ni − h∇0τ(asinhβ), Ni

= coshβ_h∇0_τνΣ, Ni −sinhβh∇0τa, Ni

= coshβ_h∇0τνΣ,(−sinhβνΣ+acoshβ)i −sinhβh∇0τa,(−sinhβνΣ+acoshβ)i

= coshβ[−sinhβ_h∇0_τνΣ, νΣi+ coshβh∇0τνΣ, ai] +

(33)

Desse modo, obtemos

Π(τ, ν) = ₋coshβsinhβ_h∇0τνΣ, νΣi+ cosh2h∇0τνΣ, ai+ sinh2βh∇0τa, νΣi+

− coshβsinhβ_h∇0_τa, a_i. (3.9)

Lembramos que

• NΣ=a´e um campo vetorial unit´ario tipo-tempo, normal a Σ dirigido para o futuro;

• νΣ =NΣ_∧τ ´e um vetor conormal unit´ario apontando para dentro de Ω ao longo da curva Γ.

Mas a conexão ∇0 _{é compat´ıvel com a métrica, ou seja,} X_hY, Z_i=h∇0

XY, Zi+hY,∇0XZi

onde X, Y, Z _{∈ X}(M).

Se fizermos Y =Z, teremos que _h∇0

XZ, Zi=

X

2 hZ, Zi e fazendo Z =νΣ, X =τ, teremos

h∇0

τνΣ, νΣi= τ

2hνΣ, νΣi, e assim a equa¸c˜ao (3.9) fica

Π(τ, ν) =₋coshβsinhβτ

2hνΣ, νΣi−cosh 2_β

hνΣ,∇0τai+sinh

2_βτ

2ha, νΣi−coshβsinhβ τ 2ha, ai.

Mas sabemos que

τ_hνΣ, νΣi=τha, ai= 0,

ha, νΣ_i= 0,

e

hνΣ,_∇0_τa_i= 0, logo

Π(τ, ν) = 0

Em outras palavras a fun¸cão harmônica Im(z2_{φ) se anula em} _{∂D, e portanto de acordo} com o princ´ıpio do máximo terá que ser identicamente nula em D, o que implica que a fun¸cão holomorfa Ψ =z2φ, tem que ser constante em D. Observe que essa constante só pode ser zero, pois Ψ(0) =z2_φ

z=0 = 0, ou seja, Ψ ≡ 0, da´ız

2_φ _≡ _0. _Mas _z _∈ _D_{− {}₀_} então φ(z) = 0 em De assim φ_≡0.Assim e−₂g −if = 0, o que nos leva a,e=g ef = 0, ou seja, a imersão é totalmente umb´ılica.

(34)

25

Figura 3.1.

Vamos agora ao segundo resultado de unicidade deste trabalho.

Teorema 3.0.6. As ´unicas superf´ıcies estacion´arias imersas em L3 _{com superf´ıcie}

su-porte hiperbólica são os discos planos,com H = 0 e as calotas hiperbólicas, com H₆= 0.

Prova. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que a superf´ıcie suporte ´e o plano hiperb´olico Σ =H2 _{definido por}

H2 ₌_{_x_∈L3 _:_h_{x, x}_i₌₋_{1, x3} _≥₁_>₀_} e orientado porNΣ(x) = x,onde

L3

+ ={x∈L3 :hx, xi ≤ −1, x3 ≥1>0}.

Como na prova do Teorema 3.0.5, o primeiro aux´ılio é ver que a superf´ıcie é topologicamente um disco. Seja x : M _−→ L3 _{é uma imersão compacta tipo-espa¸co tal} quex(M)⊂L3

+ e x(∂M) = Γ é uma curva contida emH2 cujo bordo é um dom´ınio Ω. Já que x(M)⊂L3

+ podemos projetar ortogonalmente a imers˜ao sobre H2 e con-siderar a aplica¸c˜ao ˜x: int(M)_−→H2 _{dada por}

˜

x(p) = 1

|x(p)_|x(p)

para todop_∈int(M), onde |x(p)|=p−hx(p), x(p)i ≥1.

(35)

hx(p),˜ x(p)˜ _i = _h x(p)

|x(p)_|, x(p)

|x(p)_|i

= 1

|x(p)_|2hx(p), x(p)i = hx(p), x(p)i

−hx(p), x(p)_i = ₋1.

Afirma¸c˜ao 8: x˜satisfaz

dx˜= 1

|x_|

dx+hdx, xi

|x_|2 x

Prova da Afirma¸c˜ao 8: Seja α : (₋ǫ, ǫ) _−→int(M) uma curva suave tal que α(0) = p e α′(0) =v. Ent˜ao

˜

x(α(t)) = x(α(t))

|x(α(t))_|

= p x(α(t))

−hx(α(t)), x(α(t))i

= (−hx(α(t)), x(α(t))i)−1

2 x(α(t)).

Dessa forma,

d˜x

dt = (

−1

2 )(−hx(α(t)), x(α(t))i)

−3

2 [−2hdx(α(t))α′(t), x(α(t))i]x(α(t))

+ p 1

−hx(α(t)), x(α(t))_idx(α(t))α ′_(t)

= hdx(α(t))α

′_{(t), x(α(t))}_i_x(α(t))

p

(_−hx(α(t)), x(α(t))_i)3 +

dx(α(t))α′_(t)

p

−hx(α(t)), x(α(t))_i.

Assim, avaliando d˜x em t= 0,temos que

d˜x dt

t=0 =

hdx(p)v, x(p)ix(p)

p

(−hx(p), x(p)i)3 +

dx(p)v

p

−hx(p), x(p)i

Portanto

dx˜= 1

|x_|

dx+hdx, xi

|x_|2 x

,

e isso mostra a Afirma¸c˜ao 8.

Decorre da Afirma¸c˜ao 8, que ˜x∗₍_h_,_i H2) ≥

1

(36)

27

é um difeomorfismo. Em particular, M é um disco topológico. Uma vez que sabemos que M é um disco topológico, podemos parametrizá-lo por um disco unitário fechado D e proceder como na prova do Teorema 3.0.5, e assim obter

Im(z2φ) =eρΠ(τ, ν).

No caso atual, NΣ(x) =x e, usando (2.3), teremos que, ao longo de Γ,

Π(τ, ν) = −h∇0

τN, νi

= coshβ_h∇0_τνΣ, Ni −sinhβhτ, Ni. Recorde que {τ, ν, N_}´e um triedro ortonormal, logo hτ, N_i= 0, e assim,

Π(τ, ν) = coshβ_h∇0τνΣ, Ni

= −coshβsinhβ_h∇τνΣ, νΣi+ cosh2βh∇τνΣ, xi = −coshβsinhβ1

2(hνΣ, νΣi)−cosh

2_β_h_{νΣ, τ}_i = 0.

Concluimos ent˜ao a prova do Teorema 3.0.6, do mesmo modo como provamos o Teorema

3.0.5.

(37)

Algumas considera¸

c˜

oes sobre o caso

n-dimensional

Neste cápitulo discutiremos um pouco a respeito do problema abordado nesta disserta¸cão, mas no caso n-dimensional. O objetivo aqui será conjecturar os teoremas principais do presente trabalho em dimensão n.

Vejamos então algumas considera¸cões sobre o caso geral de hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co de dimensão n, no espa¸co de Minkowski Ln+1 _{de dimensão} _n_{+ 1.}

Podemos come¸car com o problema variacional, que nos cap´ıtulos 2 e 3 deste trabalho foi discutido no caso de dimensão 2. E claro que podemos facilmente estender´ o problema para o caso geral,ou seja, dimensãon, com pequenas modifica¸cões, conforme exposto a seguir.

Denote por Σn _{uma hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co conexa imersa em}_Ln+1 _orientada por NΣ, e assuma que Σn divide Ln+1 em duas componentes conexas. Denotaremos por Ln₊+1 _{a componente conexa para a qual}_NΣ _{est´a apontando.}

Sejax:Mn _−→_Ln+1 _{uma imersão tipo-espa¸co suave de uma variedade compacta} Mn _{de dimensão}_n, _{com bordo não vazio}_∂M, _{orientada por} _N _{e tal que}

x(int(M))_⊂Ln+1 + e

x(∂M) = Γn−1 ⊂Σn.

é uma variedade fechada de dimensão n₋1 contida em Σn _{cujo bordo é um dom´ınio}

compacto Ω⊂Σn_,

Podemos ent˜ao considerar uma varia¸c˜ao admiss´ıvel Xt, dex, t∈(−ǫ, ǫ) e definir

um correspondente funcional energiaE : (₋ǫ, ǫ)_−→R _por

E(t) =A(t)₋coshβS(t),

(38)

29

O funcional volume da varia¸c˜ao ´e dado por

V(t) =

Z

[0,t]×M

X∗(dV),

onde dV é agora o elemento canônico de volume de dimensão n+ 1 de Ln+1_. A primeira varia¸cão do funcional energia é agora dada por

δξE =−n

Z

M

H_hξ, N_idA+

I

∂Mh

ξ, νΣ_i(coshβ+_hN, NΣ_i)ds,

onde dA e ds denotam, respectivamente, o elemento de ´area de dimens˜ao n de Mn _{e o}

elemento de área de dimensãon₋1 de ∂M, ξé a varia¸cão do campo de vetores e νΣ é o vetor conormal unitário apontando para dentro de Ω⊂Σn _{ao longo de Γ}n−1_.

Para a primeira varia¸c˜ao de volume, teremos

δξV =−

Z

Mh

ξ, N_idA

Isso implica que δξE = 0 para toda varia¸c˜ao admiss´ıvel de x que preserva volume, se e

somente se, a curvatura médiaH dexé constante e coshβ =_−hN, NΣ_iao longo de Γn−1_. Portanto, para dimensão n as imersões estacionárias deste problema variacio-nal podem ser caracterizadas como as hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co, com curvatura média constante emLn+1_, _{que intersectam Σ}n _{sob um ângulo hiperbólico constante.}

Al´ıas e Pastor [1998], generalizaram para o caso de dimensão n e previram o resultado de unicidade para superf´ıcies tipo-espa¸co com curvatura média constante em L3 _{com bordo circular fixo, obtido juntamente com López em [ALP] exatamente um ano} antes de [AP1].

Recentemente eles provaram que as únicas hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co compactas imersas emLn+1_,_{com curvatura média constante}_H_{e limitada por uma esfera de dimensão} n₋1 são as bolas hiperplanares com (H = 0) e as calotas hiperbólicas com (H 6= 0).

Essa prova foi consequência de duas fórmulas integrais a fórmula do fluxo e a

desigualdade integral. A versão de dimensão 2 dessas fórmulas pode ser encontrada em [AP1], usando essencialmente o fato de a superf´ıcie carregar uma estrutura complexa e o bordo ∂M ser uma curva.

Para os resultados encontrados aqui neste trabalho, seria desejável estendê-los ao caso de dimensão n, ou pelo menos ao caso de dimensão 3, que naturalmente seria de grande interesse do ponto de vista f´ısico.

Pode-se enunciar as duas conjecturas seguintes

Conjectura 1.Assuma que a hipersuperf´ıcie suporte Σn _{seja um hiperplano} tipo-espa¸co. Então as únicas hipersuperf´ıcies estacionárias imersas em Ln+1 _{são as bolas}

(39)

Conjectura 2. Assuma que a hipersuperf´ıcie suporte Σn _{é o espa¸co hiperbólico} de dimensão n. Então as únicas hipersuperf´ıcies estacionárias imersas em Ln+1 _{são as}

bolas hiperplanares, com H = 0, e as calotas hiperb´olicas, com H ₆= 0.

Entretanto, a técnica usado por nós para provar a versão bidimensional somente tem resultado para n = 2, já que fazemos o uso essencial da estrutura complexa da superf´ıcie como superf´ıcie de Riemann. Uma outra pergunta interessante a ser considerada seria a respeito da estabilidade do problema variacional no caso geral.

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Referˆ

encias

[ALP] Al´ıas, L. J.; L´opez, R.; Pastor, J. A. Compact Spacelike Surfaces with Constant Mean Curvature in the Lorentz-Minkowisk 3-space,Tˆohoku Math. J., v. 50, p. 491-501, 1998.

[AP1] Al´ıas, L. J.; Pastor, J. A. Constant Mean Curvature Spacelike Hypersurfaces with Spherical Boundary in the Lorentz-Minkowski space,J. Geom. Phys., v.28, p. 85-93, 1998.

[AP2] Al´ıas, L. J.; Pastor, J. A. Spacelike surfaces of constant mean curvature with free boundary in the Minkowski space.Class. Quantum Grav., v. 16, p. 1323-1331, 1999.

[BdC] Barbosa, J. L.; do Carmo, M. P. Stability of Hypersurfaces with Constant Mean Curvature, Math. Z., v. 185, p. 339-353, 1984.

[BO1] Barbosa, J. L.; Oliker, V. Spacelike Hypersurfaces with Constant Mean Curvature in Lorentz space,Mat. Contemp., v. 4, 27-44, 1993b.

[BO2] Barbosa, J. L.; Oliker, V. Stable Spacelike Hypersurfaces with constant mean Cur-vature in Lorentz Space,Geometry and Global Analysis (Sendai), Tˆohoku University, p. 161-164, 1993a.

[BF] Brill, D.; Flaherty, F. Isolated Maximal Surfaces in Spacetime, Com-mun.Math.Phys., v. 50, 157-165, 1976.

[dC1] do Carmo, M. P. Geometria Riemanniana. Rio de Janeiro: IMPA, 1988. (Projeto Euclides).

[dC2] do Carmo, M. P.Geometria Diferencial de Curvas e Superf´ıcies. Rio de Janeiro: SBM, 2005. (Textos Universit´arios).

[F] Finn, R. Equilibrium Capillary Surfaces. New York: Springer, 1986.

[KN] Kobayashi, S.; Nomizu K. Foundations of Differential Geometry, v. 2, New York: Interscience, 1969.

(41)

[P] Palmer, B. Spacelike Constant mean Curvature Surfaces Pseudo-Riemannian Space Forms, Ann. Global Anal.Geom., v. 8, 217-226, 1990.

[RS] Ros, A.;Souam R. On Stability of surfaces in a ball,Pacific J.Math, v.178, 345-361, 1997.