Algebra Linear

Álgebra Linear

Luciana Borges Goecking

Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas

Espaço Euclidiano n-dimensional

Definição. Se n é um número inteiro positivo, dizemos que

uma sequência (a1,a2, ...,an)de números reais é uman-upla

ordenada. O conjunto de todas as n-uplas ordenadas é

Quando n = 2 usamos o termopar ordenado, em vez de

2-upla.

Quando n = 3 usamos o termoterno ordenado.

Uma n-upla ordenada (a1,a2, ...,an)pode ser vista tanto como

um "ponto generalizado" quanto um "vetor generalizado", a distinção matemática não é importante.

Definição. Dois vetores u=(u1,u2, ...,un)ev=(v1,v2, ...,vn)em

Rnsão ditos iguais se

u1=v1, u2=v2, ... , un=vn

Asoma u + v é definida por

u+v = (u1+v1,u2+v2, ...,un+vn)

e se k é um escalar qualquer, omúltiplo escalar k v de v é

definido por

kv = (kv1,kv2, ...,kvn)

O_{vetor nulo ou zero de R}né denotado por0 e é definido

como

Seu = (u1,u2, ...,un)é um vetor qualquer de Rn, então o

negativo (ou inverso aditivo) de u é denotado por -u e

definido por

−u = (−u1, −u2, ..., −un)

A_{diferença de vetores em R}né definido por

v-u = v + (−u)

ou em termos de componentes,

Exemplo. Sejam u=(-3, 2, 1, 0), v=(4, 7, -3, 2) e w=(5, -2, 8, 1). Encontre os vetores x que satisfazem

5x-2v=2(w-5x).

Propriedades das operações vetoriais em R

Seu = (u₁,u2, ...,un)ev = (v1,v2, ...,vn)ew = (w1,w2, ...,wn)

são vetores em Rne k e l são escalares, então:

(a)u+v=v+u (b)u+(v+w)=(u+v)+w (c)u+0=0+u=u (d)u+(-u)=0 (e) k (lu) = kl(u) (f) l(u+v) = lu + lv (g) (k + l)v = k v + lv

Produto interno Euclidiano

Definição. Se u=(u1,u2, ...,un)ev=(v1,v2, ...,vn)são vetores

quaisquer em Rn, então

u . v = u1v1+u2v2+ ... +unvn

define oproduto interno euclidiano u.v de u e v.

Exemplo Calcule o produto interno dos vetores

Propriedades do Produto Interno Euclidiano

Se_{u, v e w são vetores em R}n_{, e l é um escalar, então:}

(a)u.v=v.u

(b)(u+v).w=u.w+v.w

(c) lu.v=l(u.v)

(d)v.v ≥ 0, além disso, v.v=0 se, e somente se, v=0

Exemplo. Efetue o produto interno dos vetores 3u + 2v e

Norma e Distância

Definição. A norma euclidiana (ou comprimento euclidiano

de um vetoru=(u1,u2, ...,un)em Rné definida por

kuk = (u.u)1/2= q

u2

1+u22+ ... +u2n

E adistância euclidiana entre os pontos u=(u1,u2, ...,un)e

v=(v1,v2, ...,vn)do Rn é definida por

d (u, v) = ku-vk =

q

(u1− v1)2+ (u2− v2)2+ ... + (un− vn)2

Exemplos

1) Dados os vetoresu=(1,3,-2,7) e v=(0,7,2,2), encontre kuk,

d (u,v),

2) Encontre dois vetores em R2de norma euclidiana 1 cujo produto interno euclidiano com (3, -1) é zero.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz em R

Seu=(u1,u2, ...,un)ev=(v1,v2, ...,vn)são vetores em Rn,

então:

|u.v| ≤ kukkvk

Propriedades da norma (comprimento) em R

Se_{u, v e w são vetores em R}n_{, e k é um escalar, então:}

(a) kuk ≥ 0

(b) kuk = 0 se, e somente se, u = 0

(c) kkvk = |k |kvk

Exercício. Encontre u.v sabendo que ku+vk = 1 e ku-vk = 5.

Propriedades da Distância em R

Se_{u, v e w são vetores em R}n_{, então:}

(a) d (u,v) ≥ 0

(b) d (u,v) = 0 se, e somente se, u=v

(c) d (u,v) = d (v,u)

Teorema. Se u e v são vetores em Rn, então: u.v = 1 4ku+vk 2₋1 4ku-vk 2 21 / 246

Ortogonalidade

Exemplo. Para quais valores de k os vetores u=(2, 1, 3) e v=(1 ,7, k) são ortogonais?

O Teorema de Pitágoras em R

Teorema. Se u e v são vetores ortogonais em Rncom produto

interno euclidiano, então:

Notações alternativas para vetores em R

Um vetoru=(u₁,u2, ...,un)de Rnpode ser representado na

forma matricial como uma matriz-linha ou uma matriz-coluna:

u =     u1 u2 : un     ou u = u1 u2 · · · un 

Isso se justifica pois as operações matriciais produzem os mesmos resultados que as operações vetoriais.

Uma fórmula Matricial para o Produto Escalar

Se usarmos a notação de matrizes coluna para os vetores

u =     u1 u2 : un     e v =     v1 v2 : vn     então teremos:

vT_{u =} v1 v2 · · · vn      u1 u2 : un     = [u1v1+u2v2+ · · · +unvn] = [u.v] =u.v 27 / 246

Assim, para vetores na notação de matrizes coluna nós temos a seguinte fórmula para o produto interno euclidiano:

Exemplo. Considere os vetores u =     −1 3 5 7     ev =     5 −4 7 0     29 / 246

Se A é uma matriz n × n, então segue do resultado anterior e das propriedades da transposta que

Au.v = u.ATv

Exemplo. A =   1 −2 3 2 4 1 −1 0 1   u =   −1 2 4   v =   −2 0 5   31 / 246

Transformações Lineares de R

em R

Vamos começar o estudo de funções da formaw = F (x), onde

a variável independentex é um vetor em Rn _{e a variável}

dependente_{w é um vetor de R}m. Nosso interesse maior será o estudo de uma classe especial de tais funções, chamadas

Funções de R

em R

Seja f : Rn−→ Rm_{, aqui f é chamada de umaaplicação ou}

transformação de Rnem Rm, neste caso, dizemos que a

função_{leva ou aplica R}n_{em R}m_{. No caso em que m = n, a}

transformação f : Rn−→ Rm_{é chamada um}

operador de Rn

Exemplo As equações

w1=x1+x2

w2=3x1x2

w3=x₁2− x₂2

definem uma transformação T : R2−→ R3

A imagem do ponto (x1,x2)por esta transformação é o ponto

T (x1,x2) = (x1+x2,3x1x2,x12− x22)

Definição. Uma equação linear com n variáveis livres

x1,x2, ...,xné uma equação que pode ser expressa na forma

ax1+ax2+ ... +axn=b

onde a1,a2, ...,ane b são constantes reais.

Exemplo. As equações

x + 3y = 7

y = 1

2x + 3z + 1 x1− 2x2− 3x3+x4=7

Uma equação linear não envolve quaisquer produtos ou raízes de variáveis. Todas as variáveis ocorrem somente na primeira potência e não aparecem como argumentos de funções trigonométricas, logarítmicas ou exponenciais.

Exemplo. As equações

x + 3√y = 5

3x + 2y − z + xz = 4 y = senx

Transformações Lineares de R

em R

Umatransformação linear T : Rn _{−→ R}m _{é definida por}

equações da forma w1=a11x1+a12x2+ ... +a1nxn w2=a21x1+a22x2+ ... +a2nxn : wm =am1x1+am2x2+ ... +amnxn 39 / 246

ou então, em notação matricial,     w1 w2 : wn     =     a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n : : : : am1 am2 · · · amn         x1 x2 : xn    

ou, mais concisamente, por

A matriz A = [aij]é chamada amatriz canônica da

transformação linear T e a transformação T é chamada

multiplicação por A.

Exemplo. T : R4_{−→ R}3_{dada por}

w1=2x1− 3x2+x3− 5x4

w2=4x1+x2− 2x3+x4

Exercício. Encontre a matriz canônica do operador linear T

definido por T (x1,x2) = (2x1− x2,x1+x2).

Observações

• Se T : Rn_{−→ R}m _{é a multiplicação por A e se é importante}

enfatizar que A é a matriz canônica de T , escreveremos a transformação linear T : Rn−→ Rm_{como T}

A: Rn−→ Rm.

Assim

Observações

• Às vezes é impraticável introduzir mais uma letra para denotar a matriz canônica de uma transformação linear T : Rn_{−→ R}m_{. Nestes casos nós denotaremos a matriz}

canônica de T pelo símbolo [T ]:

T (x) = [T ]x

• Ocasionalmente, misturamos as duas notações para a matriz canônica:

[TA] =A

Geometria das Transformações Lineares

O efeito geométrico de um operador T : Rn_{−→ R}m _{é o de}

transformar cada ponto (ou vetor) de Rnem algum novo ponto (ou vetor).

A transformação nula de R

em R

Se 0 é a matriz zero m × n e se_{0 é o vetor nulo de R}m então, para cada vetorx em Rn_temos

T0(x) = 0x = 0

de modo que a multiplicação por zero leva cada vetor em Rnno vetor nulo de Rm.

Chamamos T0detransformação nula ou zero de Rnem Rm.

Operador Identidade de R

Se I é a matriz identidade n × n, então, para cada vetorx em

Rntemos

TI(x ) = Ix = x

de modo que a multiplicação por I leva cada vetor em Rnem si mesmo. Chamamos TI ooperador identidade de Rn.

Entre os operadores lineares mais importantes de R2e R3 estão os que produzemreflexões, projeções e rotações.

Reflexões

Considere o operador T : R2−→ R2_{que aplica cada vetor na}

sua imagem simétrica em relação ao eixo y FIGURA

Se escrevermosw = T (x), então as equações relacionando os

componentes dex e de w são

w1= −x = −x + 0y

Em formato matricial:  w1 w2  =  −1 0 0 1   x y 

Como as equações acima são lineares, dizemos que T é um operador linear cuja matriz canônica é:



−1 0 0 1



Matriz Canônica das Reflexões em R

Matriz canônica da reflexão em torno do eixo y:  −1 0 0 1  do eixo x:  1 0 0 −1  da reta y=x:  0 1 1 0 

Matriz Canônica das Reflexões em R

do plano xy :   1 0 0 0 1 0 0 0 −1   do plano xz:   1 0 0 0 −1 0 0 0 1   do plano yz:   −1 0 0 0 1 0 0 0 1   53 / 246

Projeções

Considere o operador T : R2−→ R2_{que leva cada vetor na}

sua projeção ortogonal sobre o eixo x. As equações relacionando os componentes dex e de w=T(x) são

w1=x = −x + 0y

Em formato matricial:  w1 w2  =  1 0 0 0   x y 

Como as equações acima são lineares, dizemos que T é um operador linear cuja matriz canônica é:

 1 0 0 0



Também chamamos uma projeção deprojeção ortogonal.

Matriz Canônica das Projeções em R

do plano xy :   1 0 0 0 1 0 0 0 0   do plano xz:   1 0 0 0 0 0 0 0 1   do plano yz:  0 0 0 0 1 0 

Rotações

Um operador que gira cada vetor em R2por um ângulo fixado θ é chamado uma_{rotação em R}2.

Por trigonometria básica x = r cosφ, y = r senφ e

w1=r cos(θ + φ) , w2=r sen(θ + φ)

Aplicando identidades trigonométricas obtemos: w1=xcosθ − ysenθ

w2=xsenθ + ycosθ

Essas equações são lineares, de modo que T é um operador linear e sua matriz canônica é



cosθ −senθ senθ cosθ

Matriz Canônica de Rotações em R

Matriz Canônica da rotação anti-horária em torno do eixo x positivo por um ângulo θ:

  1 0 0 0 cosθ −senθ 0 senθ cosθ  

do eixo y positivo por um ângulo θ:   cosθ 0 senθ 0 1 0 −senθ 0 cosθ   59 / 246

Matriz Canônica de Rotações em R

Matriz Canônica da rotação anti-horária em torno do eixo z positivo por um ângulo θ:

  cosθ −senθ 0 senθ cosθ 0 0 0 1  

Exemplo. Se cada vetor em R2é rodado por um ângulo de π₆, encontre a imagemw de um vetor

x =  x y  61 / 246

Exercício. Use multiplicação matricial para encontrar a

imagem do vetor (3, −4) quando for girado por um ângulo θ = −60◦.

Dilatações e Contrações

Se k é um escalar não negativo, então o operador T (x) = k x

de R2ou R3é chamado umahomotetia de razão k .

Se 0 ≤ k ≤ 1 o operador é umacontração de razão k e se

k ≥ 1, é umadilatação de razão k .

Dilatações e Contrações

Geometricamente, uma contração comprime cada vetor por um fator k , e uma dilatação estica cada vetor por um fator k . Uma contração comprime R2ou R3uniformemente de todas as direções na direção da origem e uma dilatação expande R2ou R3uniformemente em todas as direções para longe da origem

Fica como exercício encontrar as matrizes canônica em R2e R3das dilatações e contrações.

Composição de Transformações Lineares

Se TA: Rn−→ Rk e TB : Rk −→ Rm são transformações

lineares então, para cadax em Rn_{, calculamos primeiro T} A(x),

que é um vetor em Rk e depois calculamos TB(TA(x)), que é

um vetor em Rm.

Assim, a aplicação de TAseguida de TB produz uma

Composição de Transformações Lineares

Esta transformação é chamada acomposição ou a composta

de TB com TAe é denotada por TB◦ TA. Assim

(TB◦ TA)(x) = TB(TA(x))

A matriz canônica de TB◦ TAé BA. Isto pode ser dito pela

fórmula

TB◦ TA=TBA

Composição de Transformações Lineares

Se T1: Rn−→ Rk e T2: Rk −→ Rmsão transformações

lineares, uma forma alternativa para a equação anterior é: [T2◦ T1] = [T2][T1]

Composição de Duas Rotações

Sejam T1: R2−→ R2e T2: R2−→ R2operadores lineares que

rodam os vetores por ângulos θ1e θ2, respectivamente. Assim

a operação

(T2◦ T1)(x) = T2(T1(x))

primeiro rodax por um ângulo θ1e então roda T1(x) por um

ângulo θ2.

Composição de Duas Rotações

O efeito de T2◦ T1é rodar cada vetor em R2por um ângulo

θ1+ θ2.

As matrizes canônicas destes operadores lineares são [T1] =  cosθ1 −senθ1 senθ1 cosθ1  [T2] =  cosθ2 −senθ2 senθ2 cosθ2  [T₂◦ T1] =  cos(θ1+ θ2) −sen(θ1+ θ2) sen(θ1+ θ2) cos(θ1+ θ2) 

Exemplos.

1) Sejam T1: R2−→ R2a reflexão em torno da reta y = x e

T2: R2−→ R2a projeção ortogonal sobre o eixo y. Encontre

T1◦ T2, T2◦ T1e faça a representação geométrica.

2) Sejam T1: R2−→ R2a reflexão em torno do eixo y e

T2: R2−→ R2a reflexão em torno do eixo x. Encontre T1◦ T2,

T2◦ T1e faça a representação geométrica.

Composição de Três ou Mais Transformações

Lineares

A composição também pode ser definida para três ou mais transformações lineares. Por exemplo, considere

T1: Rn −→ Rk, T2: Rk −→ R1, T3: R1−→ Rm

Nós definimos a composta (T₃◦ T2◦ T1) : Rn−→ Rmpor

Esta composição é uma transformação linear e a matriz canônica de (T3◦ T2◦ T1)está relacionada com as matrizes

canônicas de T1, T2e T3por

[T3◦ T2◦ T1] = [T3][T2][T1]

Exemplo. Encontre a matriz canônica do operador linear

T : R3−→ R3que primeiro roda um vetor no sentido anti-horário em torno do eixo z por um ângulo θ e depois reflete o vetor resultante em torno do plano yz e finalmente projeta este vetor ortogonalmente sobre o plano xy .

Propriedades das Transformações Lineares de R

em R

Agora vamos investigar a relação entre a invertibilidade de uma matriz e propriedades das correspondentes transformações matriciais.

Transformações Lineares Injetoras

Uma transformação linear T : Rn−→ Rm_{é ditainjetora se T}

aplica vetores (pontos) distintos de Rnem vetores (pontos) distintos de Rm

Exemplo

1) O operador T : R2−→ R2_{que roda cada vetor por um}

ângulo θ é uma transformação linear injetora.

2) A projeção ortogonal T : R3−→ R3de R3sobre o plano xy não é injetora.

Teorema. Se A é uma matriz n × n e T_{A: R}n _{−→ R}n_{é a}

multiplicação por A, então as seguintes afirmações são equivalentes.

(a) A é invertível.

(b) A imagem de TAé Rn.

Exemplos

1) Considere novamente o operador T : R2−→ R2_{que roda}

cada vetor por um ângulo θ. Mostre que este operador satisfaz o teorema anterior

2) Mostre que a projeção ortogonal T : R3_{−→ R}3_{de R}3_sobre

o plano xy não satisfaz as hipóteses do teorema anterior.

Inversa de um Operador Injetor

Se TA: Rn−→ Rné um operador linear injetor, então a matriz

A é invertível e o operador linear T_A−1 : Rn −→ Rné chamado

Inversa de um Operador Injetor

Os operadores lineares TAe TA−1 cancelam-se mutuamente,

no seguinte sentido: para todo_{x de R}n TA(TA−1(x)) = AA −1_{x = Ix = x} T_A−1(TA(x)) = A−1Ax = Ix = x ou equivalentemente, TA◦ TA−1=TAA−1 =T_I T_A−1◦ TA=TA−1_A =TI 81 / 246

De um ponto de vista mais geométrico, sew é a imagem de x

por TA, então TA−1levaw de volta em x, pois

Exemplo. Se T : R2−→ R2_{é o operador que gira cada vetor}

de R2_{por um ângulo θ, obtenha [T}−1_{]e T}−1_(w 1,w2).

Propriedades de Transformações Lineares

Teorema. Uma transformação T : Rn_{−→ R}m _{é linear se, e}

somente se, as seguintes relações valem para todos os vetores

u e v em Rn e qualquer escalar c.

(a) T (u+v) = T (u) + T (v)

Teorema. Se T : Rn_{−→ R}m _{é uma transformação linear e}

e1,e2, ...,ensão os vetores da base canônica de Rn, então

[T ] = [T (e1)] [T (e2)]...[T (en)]

é a matriz canônica de T .

Exemplos

1) Seja l a reta do plano xy que passa pela origem e faz um ângulo θ com o eixo x positivo, com 0 ≤ θ < π e seja

T : R2−→ R2_{o operador linear que leva cada vetor em sua}

projeção ortogonal sobre l.

i) Encontre a matriz canônica de T

ii) Encontre a projeção ortogonal do vetorx=(1,5) sobre a reta

pela origem que faz um ângulo θ = π/6 com o eixo x positivo. 2)

Definição. Se T : Rn−→ Rn_{é um operador linear, então um}

escalar λ é chamado umautovalor de T se existe um vetor

não nulo_{x em R}n tal que

T (x) = λx

Os vetores não nulosx que satisfazem esta equação são

chamados osautovetores de T associados a λ.

Se A é a matriz canônica de T , então a equação anterior pode ser reescrita como

Exemplos

1) Seja T : R2−→ R2o operador linear que gira cada vetor por um ângulo θ. Encontre os autovalores de T .

2) Seja T : R3−→ R3_{a projeção ortogonal sobre o plano xy .}

Encontre os autovalores de T .

3) Seja T : R3−→ R3_{a reflexão em torno do plano yz,}

encontre seus autovalores.

Espaços Vetoriais Reais

Axiomas de Espaço Vetorial. A próxima definição consiste de

dez axiomas, cada um deles já foi visto em teoremas e definições anteriores. Lembre-se que axiomas não são demonstrados, pois são simplesmente as "regras do jogo".

Definição. Seja V um conjunto não vazio qualquer de objetos

no qual estão definidas duas operações, a adição e a

multiplicação por escalares. Poradição entendemos a regra

que associa a cada par de objetosu e v em V um objeto u+v,

chamado asoma de u com v; por multiplicação por escalar

entendemos uma regra que associa a cada escalar k e cada objetov em V um objeto k v, chamado o múltiplo de v por k .

Se os seguintes axiomas são satisfeitos por todos objetosu, v

ew em V e quaisquer escalares k , l, então nós dizemos que V

é umespaço vetorial e que os objetos de V são vetores

(1) Seu e v são objetos em V , então u + v é um objeto em V

(2)u + v = v + u

(3)u + (v + w) = (u + v) + w

(4) Existe um objeto0 em V , chamado um vetor nulo ou vetor zero de V , tal que 0 + u = u + 0 = u em V

(5) Para cadau em V , existe um objeto -u, chamado um negativo de u, tal que u + (-u) = (-u) + u = 0.

(6) Se k é qualquer escalar ev é um objeto em V , então k v é um objeto em V (7) l(u + v) = lu + lv (8) (k + l)v = kv + lv (9) k(lu) = (kl)u (10) 1u = u 93 / 246

Exemplos de Espaços Vetoriais

(1) O conjunto V = Rn com as operações conhecidas de adição e multiplicação por escalar é um espaço vetorial. (2) O conjunto V de todas as matrizes 2 × 2 com entradas reais é um espaço vetorial se a adição vetorial é definida pela adição matricial e a multiplicação por escalar é definida pela multiplicação matricial por escalar.

Exemplos de Espaços Vetoriais

(3) O conjunto V de todas as matrizes m × n com entradas reais junto com as operações de adição matricial e

multiplicação matricial por escalar, é um espaço vetorial. (4) O conjunto V de funções reais definidas em toda a reta real é um espaço vetorial.

Exercício.

2) Verifique que o conjunto V = {(x , y )/x , y > 0} é um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar definidas assim: (x1,y1) ⊕ (x2,y2) = (x1× x2,y1× y2)

2) Seja R2= {(a, b)/a, b ∈ R}. Mostre que o conjunto R2não é espaço vetorial em relação às operações assim definidas:

(a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d )

Teorema. Sejam V um espaço vetorial, u um vetor em V e l um escalar, então: (a) 0u= 0 (b) l0 = 0 (c) (-1)u = -u (d) Se lu = 0 então l=0 ou u=0. 97 / 246

Subespaços Vetoriais

Definição. Um subconjunto W de um espaço vetorial V é

chamado umsubespaço vetorial de V se W é um espaço

vetorial em relação às operações de adição e multiplicação por escalar definidas em V .

Teorema. Se W é um conjunto de um ou mais vetores de um

espaço vetorial V , então W é um subespaço de V se, e somente se, valem as seguintes condições:

(a) Seu e v são vetores em W , então u+v está em W

(b) Se l é um escalar qualquer eu é um vetor qualquer em W ,

então lu está em W .

Exemplos.

1) Seja W o conjunto de todos os pontos (x , y ) em R2tais que x ≥ 0 e y ≥ 0. Verifique se W é um subespaço vetorial de R2 2) Verifique se o conjunto S = {(x , y ) ∈ R2/y = 2x } é

subespaço vetorial de R2_.

3) Verifique se o conjunto {(x , y , z) ∈ R3/x = 4y , z = 0} é subespaço vetorial de R3.

Subespaços de R2

• {0}

• Retas pela origem • R2

Subespaços de R3

• {0}

• Retas pela origem • Planos pela origem • R2

Exemplos

1) Subespaços de Mnn:

2) Subespaço dos polinômios de grau ≤ n:

Espaço-Solução de Sistemas Homogêneos

Teorema. Se Ax = b é um sistema linear homogêneo de m

equações em n incógnitas, então o conjunto dos vetores-solução é um subespaço de Rn

Obs: Esse conjunto de vetores-solução é chamado

Exemplos de espaço-solução que são Subespaços de R3_: 1)   1 −2 3 2 −4 6 3 −6 9     x y z  =   0 0 0   2)   1 −2 3 −3 7 −8 −2 4 −6     x y z  =   0 0 0   105 / 246

Exemplos de espaço-solução que são Subespaços de R3_: 3)   1 −2 3 −3 7 −8 4 1 2     x y z  =   0 0 0   4)   0 0 0 0 0 0 0 0 0     x y z  =   0 0 0  

Combinação Linear

Definição. Dizemos que um vetor w é uma combinação

linear dos vetores v1,v2, ...vr sew pode ser escrito na forma

w = k₁v₁+k₂v₂+ ... +krvr

onde k1, k2, ..., kr são escalares.

Exemplos

1) Mostre que w = (9, 2, 7) é combinação linear de u = (1, 2, −1) e v = (6, 4, 2) e que w0 = (4, −1, 8) não é combinação linear desses mesmos vetores.

Espaço Gerado

Teorema. Se v1,v2, ...,vr são vetores em um espaço vetorial

V , então:

(a) O conjunto W de todas as combinações lineares de v1,v2, ...,vr é um subespaço de V .

(b) W é o menor subespaço de V que contém v1,v2, ...,vr, no

seguinte sentido: qualquer subespaço de V que contém v1,v2, ...,vr também contém W .

Definição. Se S = {v1,v2, ...,vr} é um conjunto de vetores de

um espaço vetorial V , então o subespaço W de V que consiste de todas as combinações lineares dos vetores em S é

chamado oespaço gerado por v1,v2, ...,vr e nós dizemos que

os vetores v1,v2, ...,vr geram W . Para indicar que W é o

espaço gerado pelos vetores do conjunto S = {v1,v2, ...,vr},

nós escrevemos

Exemplos

1) Determine se v1= (1, 1, 2), v2= (1, 0, 1) e v3= (2, 1, 3)

geram o espaço vetorial R3.

2) Os polinômios 1, x , x2, ...,xngeram o espaço vetorial Pn.

Teorema Se S = {v1,v2, ...,vr} e S0 = {w1,w2, ...,wk} são dois

conjuntos de vetores em um espaço vetorial V , então ger {v1,v2, ...,vr} = ger {w1,w2, ...,wk}

se, e somente se, cada vetor em S é uma combinação linear dos vetores de S0e cada vetor em S0é uma combinação linear dos vetores de S.

Independência Linear

Definição. Se S = {v1,v2, ...,vr} é um conjunto não-vazio de

vetores, então a equação vetorial

k1v1+k2v2+ ... +krvr =0

tem pelo menos uma solução, a saber, k1=0, k2=0, ..., kr =0

Se esta é a única solução, então o conjunto S é chamado

linearmente independente. Se existem outras soluções,

então S é um conjuntolinearmente dependente.

Exemplos

1) Verifique se o conjunto S = {v1,v2,v3} em que

v1= (2, −1, 0, 3), v2= (1, 2, 5, −1) e v3= (7, −1, 5, 8) é L.I. ou

L.D.

2) Verifique que os polinômios p1=1 − x , p2=5 + 3x − 2x2e

p3=1 + 3x − x2formam um conjunto L.D.

3) Determine se os vetores v1= (1, −2, 3), v2= (5, 6, −1) e

v3= (3, 2, 1) formam um conjunto linearmente dependente ou

Teorema.Um conjunto S de dois ou mais vetores é:

(a) linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um dos vetores de S pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S.

(b) linearmente independente se, e somente se, nenhum vetor em S pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de S.

Exemplos

1) Num exemplo anterior. vimos que os vetores

v1= (2, −1, 0, 3), v2= (1, 2, 5, −1) e v3= (7, −1, 5, 8) formam

um conjunto L.D., então, pelo teorema, pelo menos um destes vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois vetores. Pois da equação 3v1+v2− v3=0 decorre

v1= −1₃v2+1₃v3,

v2= −3v1+v3e

Teorema.

(a) Um conjunto finito de vetores que contém o vetor nulo é linearmente dependente

(b) Um conjunto de exatamente dois vetores é linearmente independente se, e somente se, nenhum dos dois vetores é múltiplo escalar do outro.

Exemplo. As funções f1=x e f2=senx formam um conjunto

linearmente independente de vetores em F (−∞, ∞), pois nenhuma das duas é um múltiplo escalar da outra.

Interpretação Geométrica da Independência Linear

• Em R2_{ou R}3_{, um conjunto de dois vetores é linearmente}

independente se, e somente se, os vetores não estão numa mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem

• Em R3_{, um conjunto de três vetores é linearmente}

independente se, e somente se, os vetores não estão num mesmo plano quando colocados com seus pontos iniciais na origem.

Teorema. Seja S = {v1,v2, ...,vr} um conjunto de vetores em

Bases e Dimensão

Definição. Se V é um espaço vetorial qualquer e

S = {v1,v2, ...,vn} é um conjunto de vetores em V , dizemos

que S é umabase de V se valerem as seguintes condições:

(a) S é linearmente independente. (b) S gera V .

Exemplo. Sejam v1= (1, 2, 1), v2= (2, 9, 0) e v3= (3, 3, 4).

Teorema (Unicidade da Representação em Base). Se

S = {v1,v2, ...,vn} é uma base de um espaço vetorial V , então

cada vetor em V pode ser expresso da forma v = c1v1+c2v2+ ... +cnvnde uma única maneira.

Coordenadas em Relação a uma Base

Se S = {v1,v2, ...,vn} é uma base de um espaço vetorial V e

se

v = c1v1+c2v2+ ... +cnvn

é a expressão de um vetor em termos desta base S, então os escalares c1,c2, ...,cnsão chamados ascoordenadas de v em

Coordenadas em Relação a uma Base

O vetor (c1,c2, ...,cn)em Rnconstruído com estas

coordenadas é chamadovetor de coordenadas de v em relação a S e é denotado por

(v )s = (c1,c2, ...,cn)

Exemplos

1) Seja S = {v1,v2,v3} a base de R3do exercício anterior.

a)Encontre o vetor de coordenadas de v = (5, −1, 9) em relação a S.

b) Encontre o vetor_{v em R}3_{cujo vetor de coordenadas em}

relação à base S é (v )s= (−1, 3, 2).

2) A base Canônica de R3 3) A base canônica de Mnn.

Definição. Um espaço vetorial não nulo V é chamado

de dimensão finita se contém um conjunto finito {v1,v2, ...,vn}

de vetores que constitui uma base de V . Se não existir um tal conjunto, dizemos que V éde dimensão infinita.

Consideramos o espaço vetorial nulo como sendo de dimensão finita.

Exemplos

1) Espaços de dimensão finita: Rn, Mnn

Teorema. Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e

{v1,v2, ...,vn} uma base qualquer de V .

(a) Um conjunto com mais do que n vetores é linearmente dependente.

(b) Um conjunto com menos do que n vetores não gera V .

Segue do teorema anterior que se S = {v1,v2, ...,vn} é uma

base qualquer de um espaço vetorial V , então todos os conjuntos em V que simultaneamente geram V e são

linearmente independentes devem ter precisamente n vetores. Assim todas as bases de V devem ter o mesmo número de vetores que a base arbitrária S. Isto prova o próximo resultado, que é um dos mais importantes em Álgebra Linear.

Teorema. Todas as bases de um espaço vetorial de dimensão

finita têm o mesmo número de vetores.

Definição. A dimensão de um espaço vetorial de dimensão

finita V é definida como o número de vetores de uma base de V e denotada por dim(V ). Além disto, definimos o espaço vetorial nulo como tendo dimensão zero.

Exemplos

dim(Rn) =n dim(Pn) =n + 1

dim(Mmn) =mn

Exercício. Determine uma base e a dimensão do

espaço-solução do sistema homogêneo 2x1+2x2− x3 +x5=0

−x1− x2+2x3− 3x4+x5=0

x1+x2− 2x3 − x5=0

Alguns Teoremas Fundamentais

Veremos agora uma sequência de teoremas que revelam uma sutil inter-relação entre os conceitos de gerador, independência linear, base e dimensão. Esses teoremas são essenciais ao entendimento de espaços vetoriais e neles são baseadas muitas das aplicações práticas da Álgebra Linear.

Teorema de Mais-Menos.

Seja S um conjunto não-vazio de vetores em um espaço vetorial V .

(a) Se S é um conjunto linearmente independente e sev é um

vetor em V que está fora do ger (S), então o conjunto S ∪ {v}

que resulta acrescentandov a S é ainda linearmente

independente.

(b) Sev é um vetor em S que pode ser expresso como uma

combinação linear dos outros vetores de S e se S − {v} denota

o conjunto obtido removendov de S, então S e S − {v} geram

o mesmo espaço, ou seja,

Teorema. Se V é um espaço vetorial n-dimensional e se S é

um conjunto em V com exatamente n vetores, então S é uma base de V se S ou gera V ou é linearmente independente.

Exemplos

1) Mostre por inspeção que v1= (−3, 7) e v2= (5, 5) formam

uma base de R2.

2) Mostre por inspeção que v₁= (2, 0, −1), v₂= (4, 0, 7) e v3= (−1, 1, 4) formam uma base de R3.

Teorema. Seja S um conjunto finito de vetores em um espaço

vetorial V de dimensão finita.

(a) Se S gera V mas não é uma base de V , então S pode ser reduzido a uma base de V removendo vetores apropriados de S.

(b) Se S é um conjunto linearmente independente que não é uma base de V , então S pode ser ampliado para uma base de V acrescentando vetores apropriados a S.

Teorema. Se W é um subespaço de um espaço vetorial V de

dimensão finita, então dim(W ) ≤ dim(V ); além disto, se dim(W ) = dim(V ), então W = V .

Espaço-Linha, Espaço-Coluna e Espaço-Nulo

Definição. Para uma matriz m × n

    a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n : : : am1 am2 ... amn     os vetores r1= [a11 a12 ... a1n] r2= [a21 a22 ... a2n] : : rm= [am1 am2 ... amn] 141 / 246

em Rnformados pelas linhas de A são chamados osvetores linha de A.

E os vetores c1=     a11 a21 : am1     , c2=     a12 a22 : am2     , ..., cn=     a1n a2n : amn    

em Rmformados pelas colunas de A são chamados os

vetores-coluna de A

Definição. Se A é uma matriz m × n, então o subespaço

gerado pelos vetores-linha de A é chamadoespaço-linha de A

e o subespaço de Rm _{gerado pelos vetores-coluna de A é}

chamadoespaço-coluna de A. O espaço-solução do sistema

homogêneo de equações A_{x = 0, que é um subespaço de R}n é chamado oespaço-nulo de A.

Nesta e na próxima seção estaremos ocupados com as duas seguintes questões gerais:

- Quais relações existem entre as soluções de um sistema linear Ax = b e o espaço-linha, o espaço coluna e o

espaço-nulo da matriz de coeficientes A?

- Quais relações existem entre o espaço-linha, o espaço-coluna e o espaço-nulo de uma matriz A?

Suponha que A =     a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n : : ... : am1 am2 ... amn     ex =     x1 x2 : xn    

Se c1,c2, ...,cndenotam os vetores coluna de A, então o

produto Ax pode ser expresso como uma combinação linear

destes vetores-coluna com coeficiente dex:

Ax = x1c1+x2c2+ ... +xncn

Assim um sistema linear Ax = b de m equações e n incógnitas

pode ser escrito como

x1c1+x2c2+ ... +xncn =b

Concluímos que o sistema Ax = b é consistente se, e somente

se,b pode ser expresso como uma combinação linear dos

vetores coluna de A ou equivalentemente, se, e somente se,b

Teorema. Um sistema Ax = b de equações lineares é

consistente se, e somente se ,b está no espaço-coluna de A.

Exemplo. Seja Ax = b o sistema linear   −1 3 2 1 2 −3 2 1 −2     x1 x2 x3  =   1 −9 −3  

Teorema. Se x₀denota uma solução particular de um sistema linear consistente Ax = b e se v1,v2, ...,vk forma uma base do

espaço-nulo de A, ou seja, do espaço-solução do sistema homogêneo Ax = 0, então cada solução de ax = b pode ser

escrita na forma

x = x0+c1v1+c2v2+ ... +ckvk

e, reciprocamente, para qualquer escolha de escalares c1,c2, ...,ck, o vetorx desta fórmula é uma solução de Ax = b

Soluções Particulares e Soluções Gerais

Existe uma terminologia associada à equação do teorema anterior. O vetor x0é chamado umasolução particular de

Ax = b. A expressão x0+c1v1+c2v2+ ... +ckvk é chamada a

solução geral de Ax = b e a expressão

c1v1+c2v2+ ... +ckvk é chamada asolução geral de Ax = 0.

Com esta terminologia, a equação mencionada afirma que a solução geral de Ax = b é a soma de uma solução particular

Exemplo. Considere o sistema a seguir x1+3x2− 2x3 +4x5 =0 2x1+6x2− 5x3− 2x4+4x5− 3x6= −1 5x3+10x4 +15x6=5 2x1+6x2 +8x4+4x5+18x6=6 153 / 246

Teorema. As operações elementares sobre linhas não alteram

Exemplo. Encontre uma base para o espaço-nulo de A =     2 2 −1 0 1 −1 −1 2 −3 1 1 1 −2 0 −1 0 0 1 1 1     155 / 246

Teorema. As operações elementares sobre linhas não alteram

Teorema. Se A e B são matrizes equivalentes por linhas,

então:

(a) Um conjunto qualquer de vetores-coluna de A é linearmente independente se, e somente se, o conjunto de vetores-coluna correspondente de B é linearmente independente.

(b) Um conjunto qualquer de vetores-coluna de A forma uma base para o espaço-coluna de A se, e somente se, o conjunto de vetores-coluna correspondente de B forma uma base do espaço-coluna.

Teorema. Se uma matriz R está em forma escalonada por

linhas, então os vetores-linha com os líderes (ou seja, os vetores-linha não nulos) formam uma base do espaço-linha de R e os vetores-coluna com os líderes dos vetores-linha formam uma base do espaço-coluna de R

A matriz R =     1 −2 5 0 3 0 1 3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0    

está em forma escalonada por linhas. Pelo teorema anterior os vetores

r1= [1 − 2 5 0 3]

r2= [0 1 3 0 0]

r3= [0 0 0 1 0]

formam uma base do espaço-linha de R e os vetores

c1=     1 0 0 0     , c2=     −2 1 0 0     , c3=     0 0 1 0     formam uma base do espaço-coluna de R.

Exemplo. Encontre bases para os espaços-linha e coluna de R =     1 −3 4 −2 5 4 2 −6 9 −1 8 2 2 −6 9 −1 9 7 −1 3 −4 2 −5 −4     161 / 246

Exemplo. Encontre uma base do espaço gerado pelos vetores

v1= (1, −2, 0, 0, 3), v2= (2, −5, −3, −2, 6),

Exemplo. Encontre uma base para o espaço-linha de A =     1 −2 0 0 3 2 −5 −3 −2 6 0 5 15 10 0 2 6 18 8 6    

consistindo totalmente de vetores-linha de A.

Exemplo.

(a) Encontre um subconjunto dos vetores v1= (1, −2, 0, 3),

v2= (2, −5, −3, 6), v3= (0, 1, 3, 0), v4= (2, −1, 4, −7),

v5= (5, −8, 1, 2) que forma uma base para o espaço coluna

gerado por estes vetores.

(b) Expresse cada vetor que não está na base como um combinação linear dos vetores da base.

Posto e Nulidade

Nesta seção nos ocuparemos das relações entre as dimensões do espaço-linha, do espaço-coluna e do espaço-nulo de uma matriz e de sua transposta. Os resultados que obteremos são fundamentais e nos fornecerão uma visão aprofundada de sistemas lineares e de transformações lineares.

Quatro Espaços Matriciais Fundamentais

Considerando simultaneamente uma matriz A e sua transposta AT, temos seis espaços vetoriais de interesse:

o espaço linha de A o espaço-linha de AT o espaço-coluna de A o espaço-coluna de AT o espaço-nulo de A o espaço-nulo de AT

Os seguintes espaços,

o espaço-linha de A o espaço-coluna de A o espaço-nulo de A o espaço-nulo de AT

são conhecidos como osespaços matriciais fundamentais

associados com A.

Nosso principal objetivo seráestabelecer relações entre as

dimensões destes quatro espaços vetoriais.

Exemplo. Vimos que os espaços linha e coluna da matriz A =     1 −3 4 −2 5 4 2 −6 9 −1 8 2 2 −6 9 −1 9 7 −1 3 −4 2 −5 −4    

têm, cada um, três vetores na base, ou seja, ambos são tridimensionais. Isso não é acidental, e sim uma consequência do resultado a seguir:

Teorema. Se A é uma matriz qualquer, então o espaço-linha e

o espaço-coluna de A têm a mesma dimensão.

Definição. A dimensão do espaço-linha e do espaço-coluna de

um matriz A é chamadaposto de A, e denotamos por pos(A);

a dimensão do espaço-nulo de A é chamadanulidade de A,

Exemplo. Encontre o posto e a nulidade da matriz A =     −1 2 0 4 5 −3 3 −7 2 0 1 4 2 −5 2 4 6 1 4 −9 2 −4 −4 7     171 / 246

Teorema. Se A é uma matriz qualquer, então

O Teorema da Dimensão para Matrizes. Se A é uma matriz

com n colunas, então pos(A) + nul(A) = n.

Teorema. Se A é uma matriz m × n, então:

(a) pos(A)= número de variáveis líderes na solução de Ax = 0. (b) nul(A)= número de parâmetros na solução geral de Ax = 0.

Exemplo. Considere a matriz A =     −1 2 0 4 5 −3 3 −7 2 0 1 4 2 −5 2 4 6 1 4 −9 2 −4 −4 7     175 / 246

Exemplo. Encontre o número de parâmetros na solução geral

Valor máximo do posto

Se A é uma matriz m × n, então os vetores-linha estão no Rne os vetores coluna estão no Rm. Isto implica que o espaço-linha tem no máximo dimensão n e que o espaço-coluna tem no máximo dimensão m. Como o espaço-linha e o espaço-coluna têm a mesma dimensão (o posto de A), então se m 6= n, o posto de A é dado por:

pos(A) ≤ min(m, n)

onde min(m, n) denota o menor dos dois números m e n se m 6= n ou seu valor comum se m = n.

Teorema. (O Teorema da Consistência)

Se Ax = b é um sistema linear de m equações em n

incógnitas, então as seguintes afirmações são equivalentes. (a) Ax = b é consistente.

(b)b está no espaço-coluna de A.

(c) A matriz de coeficientes A e a matriz aumentada [A |b] têm

o mesmo posto.

Exemplo. Considere o seguinte sistema.

x1− 2x2− 3x3+2x4= −4

−3x1+7x2− x3+x4= −3

2x1− 5x2+4x3− 3x4=7

Teorema. Se Ax = b é um sistema linear de m equações e n

incógnitas, então as seguintes afirmações são equivalentes. (a) Ax = b é consistente para qualquer matrizb de tamanho

m × 1.

(b) Os vetores-coluna de A geram Rm

(c) pos(A)=m.

Um sistema linear com mais equações do que incógnitas é chamado umsistema linear sobredeterminado. Se Ax = b é

um sistema linear sobredeterminado de m equações em n incógnitas, então os vetores-coluna de A não podem gerar Rm, logo pelo resultado anterior, Ax = b não pode ser consistente

Exemplo. Considere o seguinte sistema. x1− 2x2=b1 x1− x2=b2 x1+x2=b3 x1+2x2=b4 x1+3x2=b5 183 / 246

Teorema. Se Ax = b é um sistema linear consistente de m

equações em n incógnitas e se A tem posto r , então a solução geral do sistema contém n − r parâmetros.

Exemplo. Se A é uma matriz 5 × 7 de posto 4 e se Ax = b é

um sistema linear consistente, então a solução geral do sistema contém 7 − 4 = 3 parâmetros.

Teorema. Se A é uma matriz m × n, então as seguintes

afirmações são equivalentes.

(a) Ax = 0 possui somente a solução trivial.

(b) Os vetores-coluna de A são linearmente independentes. (c) Ax = b tem no máximo uma solução (uma ou nenhuma)

Espaços com Produto Interno

Iremos agora definir oconceito geral de produto interno

utilizando as propriedades mais importantes do produto interno euclidiano.

Definição. Um produto interno em um espaço vetorial real V

é umafunção que associa um número real < u, v > a cada

par de vetoresu e v em V de tal maneira que os seguintes

axiomas são satisfeitos por quaisquer vetoresu, v e w de V e

qualquer escalar l. (1) < u, v >=< v , u >

(2) < u + v , w >=< u, w > + < v , w > (3) < lu, v >= l < u, v >

(4) < v , v >≥ 0 se, e somente se, v = 0

Um espaço vetorial real com um produto interno é chamado

Exemplos

1) Mostre que no espaço vetorial V = R2, a função que associa a cada par de vetores u = (u1,u2)e v = (v2,v2)o número real

<u, v >= 3u1v1+2u2v2define um produto interno.

2) Sejam V = P2, p = a2x2+a1x1+a0e q = b2x2+b1x + b0

vetores quaisquer de P2. A fórmula

<p, q >= a2b2+a1b1+a0b0define um produto interno em P2.

3) Ainda com relação ao exemplo anterior, mostre que

<p, q >= a2b2+a1b1não define um produto interno sobre V .

4) Se U =  u1 u2 u3 u4  e V =  v1 v2 v3 v4  , então <U, V >= u1v1+u2v2+u3v3+u4v4define um produto interno em M22. 189 / 246

Um espaço vetorial real, de dimensão finita, no qual está definido um produto interno, é umespaço vetorial euclidiano.

Definição. Se V é um espaço com produto interno, então a norma (ou comprimento) de um vetor u de V denotada por

||u|| e é definida por

||u|| =< u, u >1/2

A distância entre dois pontos (vetores)u e v é denotada por

d (u, v ) e é definida por

d (u, v) = ||u − v||

Exemplos

1) Dados os vetoresu = (1, 0) e v = (0, 1), encontre ||u|| e

d (u, v) para o seguinte produto interno

<u, v >= 3u₁v1+2u2v2.

2) Calcule ||p|| para o produto interno dado no exercício (2) acima.

Ângulo e ortogonalidade em espaços com produto

interno

Agora iremos definir a noção de ângulo entre dois vetores em um espaço com produto interno.

Teorema. (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)

Seu e v são vetores de um espaço com produto interno real,

então

Teorema.(Propriedade do Comprimento)

Seu e v são vetores em um espaço com produto interno V e

se k é um escalar qualquer, então: (a) ||u|| ≥ 0

(b) ||u|| = 0 se, e somente se, u = 0

(c) ||kv|| = |k |||v||

(d) ||u+v|| ≤ |u|| + ||v|| (Desigualdade triangular)

Teorema. (Propriedades da Distância)

(a) d (u, v) ≥ 0

(b) d (u, v) = 0 se, e somente se, u = v

(c) d (u, v) = d (v, u)

Ortogonalidade em Espaços com produto interno

Definição. Dois vetores u e v de um espaço com produto

interno são chamados ortogonais se < u, v >= 0

Exemplo. Se U =  u1 u2 u3 u4  e V =  v1 v2 v3 v4  , então <U, V >= u1v1+u2v2+u3v3+u4v4define um produto

interno em M22. Assim, verifique se as seguintes matrizes são

ortogonais: U =  1 0 1 1  e V =  0 2 0 0  197 / 246

Complemento Ortogonal

Definição. Seja W um subespaço de um espaço com produto

interno V . Um vetoru de V é dito ortogonal a W se é

ortogonal a cada vetor de W , e o conjunto de todos os vetores de V que são ortogonais a W é chamadocomplemento ortogonal de W.

Na Álgebra Linear, o complemento ortogonal de um subespaço W é denotado por W⊥(que lemos "W perpendicular").

Teorema.( Propriedades do Complemento Ortogonal)

Se W é um subespaço de um espaço com produto interno V de dimensão finita, então:

(a) W⊥é um subespaço de V

(b) O único vetor comum a W 4 W⊥é0.

(c) O complemento ortogonal de W⊥é W , ou seja, (W⊥)⊥=W .

Bases Ortonormais

Em espaços com produto interno a solução de um problema é muitas vezes enormemente simplificada pela escolha de uma base na qual os vetores são ortogonais entre si. Nesta seção nós iremos mostrar como tais bases podem ser obtidas.