Aula 1 Limites Conceitos

(1)

Cálculo I

Limites

(2)

2

Cálculo I

Prof.Eduardo Jose Aloia

Limites

𝑓′ 𝑥₀ = lim 𝑥→𝑥₀ 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥₀) 𝑥 − 𝑥₀ 𝑓′ 𝑥₀ = lim ∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 𝑓 ′ _𝑥 0 = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥₀ + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥₀) ∆𝑥

(3)

Cálculo I

Limites

Noção Intuitiva

Sucessões

numéricas

Dizemos que:

1, 2, 3, 4, 5, ....

Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um Limite

x

 + 

Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor

x

 1

1, 0, -1, -2, -3, ...

Os termos tornam-se cada vez menor, sem atingir um limite

x

 - 

,...

6

5 ,

5

4 ,

4

3 ,

3

2 ,

2

1

(4)

4

Cálculo I

Limites

As duas operações matemáticas fundamentais em

Cálculo são a Diferenciação e a Integração. Essas

operações envolvem o cálculo da derivada e da

integral definida, ambas baseadas na noção de

limite.

(5)

Cálculo I

Limites

Vamos aplicar esse método para calcular

a área do círculo.

(6)

6

Cálculo I

Limites

• Método de Exaustão

Para um polígono

de n=4 lados Para um polígono de n=6 lados Para um polígono de n=8 lados ...

(7)

Cálculo I

Limites

•

Método de Exaustão

(8)

8

Cálculo I

Áreas

•

Método de Exaustão

– No caso acima n=8, mas se n cresce cada vez mais, isto é, n, o polígono P_n vai se aproximando cada vez mais do círculo;

– Enquanto o perímetro P_n se aproxima do comprimento

do círculo (que é 2r), a altura h_n vai se aproximando do raio r.

– Logo, em termos matemáticos, isto é traduzido da seguinte maneira: 2

2 .

2 lim

A

_n

r

n



_



 

(9)

Cálculo I

Limites



2

(10)

10

Cálculo I

(11)

Cálculo I

(12)

12

Cálculo I

(13)

Cálculo I

(14)

14

Cálculo I

Limites

(15)

Cálculo I

(16)

16

Cálculo I

(17)

Cálculo I

Limites

Seja a função 𝑦 = 1 −

1

(18)

18

Cálculo I

Limites

Esta função tende para 1 quando x tende para o infinito. Basta observar as tabelas e o gráfico para constatar que y 1 quando x ±∞.

(19)

Introdução

Limites

Considere a função f (x) = x2 − 1. Esta função está

definida para todo x ∈ R, isto é, qualquer que seja o

número real “ x” , o valor f(x) está bem definido.

Exemplo 1.

Se x = 2 = então f (x ) = f (2) = 22 _{- 1 = 3}

(20)

20

Introdução

(21)

Introdução

Limites

Considere agora uma outra função . Esta função está definida para qualquer x no intervalo x pertencente a R – {1}. Isto significa que não podemos estabelecer

uma imagem quando x assume o valor 1.

1 1 ) ( 2    x x x g

(22)

22

Introdução

Limites

1 1 ) ( 2    x x x g

(23)

Introdução

(24)

24

Introdução

(25)

Introdução

(26)

26

Cálculo I

Limites

Como se comportam os valores da função

y = 3x + 5 quando x aproxima do ponto p = 4?

lim

𝑥→4

3𝑥 + 5 = ?

Á medida que x se aproxima de 4, o valor 3x

aproxima-se de 12 e 3x+5 aproxima-se de 17.

(27)

Cálculo I

Limites

Como se comportam os valores da função

𝑦 =

𝑥−2

𝑥+2

quando x aproxima do ponto p = 2?

lim

𝑥→2

𝑥 − 2

𝑥 + 1

= ?

Á medida que x se aproxima de 2, o valor x-2

aproxima-se de 0 e x+1 aproxima-se de 3.

(28)

28

Cálculo I

Limites

x f(x) = x + 3 2 5 1,5 4,5 1,25 4,25 1,1 4,1 1,01 4,01 1,001 4,001 1,0001 4,0001

4 )

(

lim

1





f

x

x _x

lim

₁

f

(

x

)



4

Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver próximo de 1, mas não for igual a 1.

x f(x) = x + 3 0 3 0,25 3,25 0,75 3,75 0,9 3,9 0,99 3,99 0,999 3,999

Dada a função f: IR  IR, definida por f(x) = x + 3.

4

1 x

y

(29)

Cálculo I

Limites

)

(

lim

1

f

x

x Determinar, graficamente,

Dada a função f: IR  IR, definida por

















1 ,

3

1 ,

1 )

(

x

para

x

para

x

f

4 ) ( lim 1    f x x 2 ) ( lim    f x 2 4

(30)

30

Cálculo I

Limites

lim

𝑥→2

𝑥

2

− 4

𝑥 − 2

= ?

x y 3 5,000 2,1 4,100 2,01 4,010 2,001 4,001 x y 1 3,00 1,9 3,900 1,99 3,990 1,999 3,999

Os valores de f(x) aproximam de uma fração

do tipo

0 0

.

lim

𝑥→2

𝑥

2

− 4

𝑥 − 2

= 4

(31)

Cálculo I

Limites

Como se comportam os valores da função

𝑦 =

2𝑥2+𝑥−3

𝑥−1

quando x aproxima do ponto p = 1?

lim

𝑥→1

2𝑥

2

+ 𝑥 − 3

(32)

32

Cálculo I

(33)

Cálculo I

(34)

34

Cálculo I

(35)

Cálculo I

Limites

Como se comportam os valores da função

𝑦 =

2𝑥2+𝑥−3

𝑥−1

quando x aproxima do ponto p = 1?

lim

𝑥→1

2𝑥

2

+ 𝑥 − 3

(36)

36

Cálculo I

Limites

(37)

Cálculo I

Limites

Calcular

lim

𝑥→0

5 + 𝑥

𝑥

2

= ?

À medida que x se aproxima de zero: • 5 + x aproxima-se de 5;

• x2_{aproxima-se de 0;}

A fração caminha par um expressão do tipo 5

(38)

38

Cálculo I

Limites

X 5 + 𝑥 𝑥2 X 5 + 𝑥 𝑥2 1 0,1 0,01 0,001 6 510 50.100 5.001.000 -1 -0,1 -0,01 -0,001 4 490 49.900 4.999.000 0 +∞ 0 +∞

(39)

Cálculo I

Limites

Quando x se aproxima de zero tanto pela esquerda quanto pela direita, os valores da função tendem a +∞. Então indicamos:

lim

𝑥→0

5 + 𝑥

(40)

40

Cálculo I

(41)

Cálculo I

Limites

lim

𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = +∞

Limite tendendo ao infinito

(42)

42

Cálculo I

Limites

lim

𝑥→𝑎

𝑓 𝑥 = −∞

Limite tendendo ao infinito

(43)

Cálculo I

(44)

44

Cálculo I

Limites

(45)

Cálculo I

Limites

Sejam f e g funções tais que

lim

𝒙→𝒂

𝒇 𝒙 = 𝒄 ≠ 𝟎 𝒆

lim

𝒙→𝒂

𝒈 𝒙 = 𝟎, 𝒆𝒏𝒕ã𝒐:

lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

= +∞ 𝑠𝑒

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)

> 0

(46)

46

Cálculo I

Limites

Exemplo

lim

𝑥→1

3𝑥 + 2

(𝑥 − 1)

2

= +∞

0 1 -2/3 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 2 − + + + 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑔 𝑥 = (𝑥 − 1)2 + + ₊ ₊ + 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 2 (𝑥 − 1)2 − + +

(47)

Cálculo I

Limites

(48)

48

Cálculo I

Limites

Calcular

lim

𝑥→3

𝑥

2

+ 1

𝑥 − 3

= ?

À medida que x se aproxima de 3: • x2 _{+ 1 aproxima-se de 10;}

• x - 3 aproxima-se de 0;

A fração caminha para uma expressão do tipo 10

(49)

Cálculo I

Limites

X 𝑥2 + 1 𝑥 − 3 X 𝑥2 + 1 𝑥 − 3 4 3,1 3,01 3,001 17 106,1 1.006,01 10.006,001 2 2,9 2,99 2,999 -5 -94,1 -994,01 -9.994,001 0 −∞ 0 +∞

(50)

50

Introdução

(51)

Cálculo I

(52)

52

Cálculo I

Limites

O limite à esquerda é −∞. O limite à direita é + ∞. O limite no ponto p = 3 não existe porque os limites são diferentes.