M9 Transformações Lineares

(1)

Disciplina: ´Algebra Linear Professora: Lidiane Buligon

Material: UNIDADE IV - Transforma¸c˜oes Lineares

1 Transforma¸

c˜

oes Lineares

Defini¸cão 1 Sejam V e W espa¸cos vetoriais. Uma transforma¸cão linear é uma fun¸cão de V em W , T : V → W , que satisfaz as seguintes condi¸cões:

(i) T (u + v) = T (u) + T (v); (ii) T (ku) = kT (u).

Para quaiquer u e v ∈ V e k ∈ R. Observa¸c˜oes:

1. Em (i), o “ + ” em u + v é relativo a opera¸cão de adi¸cão em V , enquanto o “ + ” em T (u) + T (v) se refere à opera¸cão de adi¸cão em W . Segue analogamente em (ii).

2. Se V = W , a transforma¸c˜ao linear T : V → V ´e chamada operador linear em V . Exemplos

1. T : R2

→ R3

, T (x, y) = (2x, −y, x + 3y) é uma transforma¸cão linear? (i) Sejam u = (x1, y1) e v = (x2, y2) então:

T (u + v) = T (x1+ x2, y1+ y2)

= (2 (x1+ x2) , − (y1+ y2) , (x1+ x2) + 3 (y1+ y2))

= (2x1+ 2x2, −y1− y2, x1+ x2+ 3y1+ 3y2)

= (2x1, −y1, x1 + 3y1) + (2x2, −y2, x2+ 3y2)

= T (u) + T (v)

(ii) Para todo k ∈ R e para qualquer u = (x1, y1) ∈ R 2 , temos: T (ku) = T (kx1, ky1) = (2kx1, −ky1, kx1 + 3ky1) = k (2x1, −y1, x1+ 3y1) = kT (u)

Portanto, a opera¸cão linear é uma transforma¸cão linear. 2.

T : R3

→ R2

(2)

3.

T : R3

→ R3

(x, y, z) 7→ T (x, y, z) = (x + 1, 2y, z)

Geometricamente:

Consideremos a transforma¸c˜ao linear T : R2

→ R2

definida por T (x, y) = (x, −y) e os veto-res

u = (1, 0) e v = (1, 2). T preserva a adi¸c˜ao de vetores e a multiplica¸c˜ao por um escalar.

Teorema 1 Se T : V → W for uma transforma¸c˜ao linear, ent˜ao:

T (α1v1+ α2v2+ . . . + αnvn) = α1T (v1) + α2T (v2) + · · · + αnT (vn),

∀vi ∈ V e αi ∈ R, com i = 1, . . . , n.

Teorema 2 Se T : V → W for uma transforma¸c˜ao linear e S = {v1, . . . , vn} uma base de V .

Se v ´e qualquer vetor de V , ent˜ao T (v) fica completamente determinado por {T (v1) , . . . , T (v_n)}.

Demonstra¸c˜ao.Como v ∈ V existem escalares α1, α2, . . . , α_n unicos tais que:´

v = α1v1+ α2v2+ . . . + αnvn,

ent˜ao

T (v) = T (α1v1+ α2v2+ . . . + α_nv_n) = α1T (v1) + α2T (v2) + · · · + α_nT (v_n).

Logo, T (v) fica determinado.

Isto significa que uma transforma¸c˜ao linear T : V → W pode ser definida quando se conhecem as imagens dos vetores de uma base de V .

(3)

1. Sabendo que T : R2

→ R3

´e uma transforma¸c˜ao linear e que T (1, −1) = (3, 2, −2) e T (−1, 2) = (1, −1, 3) determinar T (x, y)

Vamos expressar o vetor (x, y) ∈ R2

como combina¸c˜ao linear dos vetores dessa base: (x, y) = a (1, −1) + b (−1, 2) ⇒ a − b = x −a + 2b = y Assim, a = 2x + y e b = x + y. Portanto, T (x, y) = aT (−1, 1) + bT (−1, 2) = (2x + y) (3, 2, −2) + (x + y) (1, −1, 3)

= (6x + 3y, 4x + 2y, −4x − 2y) + (x + y, −x − y, 3x + 3y) = (7x + 4y, 3x + y, −x + y) .

2. Determine a transforma¸c˜ao linear T : R3

→ R2

, onde S = {(0, 2, 0) , (−1, 0, 1) , (0, 0, 3)} ´e uma base de R3

e T (0, 2, 0) = (1, −1), T (−1, 0, 1) = (3, 1) e T (0, 0, 3) = (4, 2).

OBS: Em toda transforma¸cão linear T : V → W , a imagem do vetor nulo ∈ V é o vetor nulo ∈ W , isto é: T (0) = 0. Exemplos:

1. A transforma¸c˜ao T : R → R

x 7−→ T (x) = 2x

´e linear e T (0) = 2.0 = 0 ∈ R.

2. T : R → R, T (x) = 3x + 1, logo T (0) = 3.0 + 1 = 1 6= 0, portanto T não é linear. Note, porém, que rec´ıproca não é verdadeira, como mostra o exemplo abaixo:

T : R2

→ R3

(x, y) 7−→ T (x, y) = x, y2

, x + y Observe que, T (0, 0) = (0, 0, 0), mas

T (u + v) = T (x1+ x2, y1+ y2) = x1+ x2, (y1+ y2) 2 , x1+ x2+ y1+ y2 = x1+ x2, y 2 1 + 2y1y2+ y 2 2, x1+ x2+ y1+ y2 6= x1+ x2, y 2 1 + y 2 2, x1+ x2+ y1+ y2 = T (u) + T (v)

(4)

1.1 N´

ucleo e Imagem de uma Transforma¸

c˜

ao Linear

1.1.1 N´ucleo de uma Transforma¸c˜ao Linear

Defini¸cão 2 Seja T : V → W uma transforma¸cão linear. O conjunto de todos os vetores v ∈ V tais que T (v) = 0 é chamado núcleo de T, isto é:

N (T ) = {v ∈ V |T (v) = 0}.

Observemos que N (T ) ⊂ V e N (T ) 6= ∅, pois 0 ∈ N (T ), tendo em vista que T (0) = 0.

Proposi¸cão 1 O núcleo de uma transforma¸cão linear T : V → W é um subespa¸co vetorial de V .

Demonstra¸c˜ao.

(i) Sejam v1, v2 ∈ N (T ) ⇒ v1+ v2 ∈ N (T )?

v1 ∈ N (T ) ⇒ T (v1) = 0

v2 ∈ N (T ) ⇒ T (v2) = 0

Somando as duas igualdades, tem-se que:

T (v1) + T (v2) = T (v1+ v2) = 0 ⇒ v1+ v2 ∈ N (T )

(ii) Sejam α ∈ R e v ∈ N(T ) ⇒ αv ∈ N(T )? v ∈ N (T ) ⇒ T (v) = 0, mas

αT (v) = T (αv) = α0 = 0 ⇒ αv ∈ N (T ). 1.1.2 Imagem de uma Transforma¸c˜ao Linear

Defini¸cão 3 Seja T : V → W uma transforma¸cão linear. A imagem de T é o conjunto dos vetores w ∈ W tais que existe um vetor v ∈ V , que satisfaz

Im (T ) = {w ∈ W/T (v) = w para algum v ∈ V }.

Proposi¸cão 2 A imagem de uma T : V → W é um subespa¸co vetorial de W . Demonstra¸cão.

(i) Sejam w1, w2 ∈ Im(T ) ⇒ w1+ w2 ∈ Im(T )?

w1 ∈ Im(T ) ent˜ao existe v1 ∈ V tal que T (v1) = w1

w2 ∈ Im(T ) ent˜ao existe v2 ∈ V tal que T (v2) = w2

Somando as duas igualdades, tem-se que:

T (v1) + T (v2) = T (v1+ v2) = w1+ w2 ⇒ w1+ w2 ∈ Im(T )

(ii) Sejam α ∈ R e w ∈ Im(T ) ⇒ αw ∈ Im(T )?

w ∈ Im(T ) ent˜ao existe v ∈ V tal que T (v) = w, mas αT (v) = T (αv) = αw ⇒ αw ∈ Im(T ).

Exemplos 1. Seja T : R2

→ R2

(5)

(a) N (T ) = {(x, y) ∈ R2 /T (x, y) = (0, 0)} = {(x, y) ∈ R2 / (x + y, x − y) = (0, 0)} x + y = 0 x − y = 0 ⇒ x = 0 e y = 0. N (T ) = {(0, 0)}

Observe que dim N (T ) = 0, portanto n˜ao existe base para N (T ). (b) Im (T ) = {w ∈ W = R2 /T (v) = w para algum v ∈ V } = {(w1, w2) ∈ R 2 / (x + y, x − y) = (w1, w2)} = {(x + y, x − y) /x, y ∈ R} = {x (1, 1) + y (1, −1) /x, y ∈ R} = [(1, 1) , (1, −1)] Logo, Im(T ) = W = R2

. Observe que dim Im(T ) = 2. 2. Seja T : R3

→ R2

a transforma¸c˜ao linear dada por T (x, y, z) = (x, y).

3. Seja T : R2

→ R3

a transforma¸c˜ao linear dada por T (x, y) = (x − y, y, −2x + 3y).

4. T : R3 → M2(R) (a, b, c) 7→a + b 0 0 c − b

(6)

5. Seja T : R3

→ R2

a transforma¸c˜ao linear dada por: T (x, y, z) = (x − y + 4z, 3x + y + 8z)

N (T ) = {(x, y, z) ∈ R3

/T (x, y, z) = (0, 0)}

isto ´e, um vetor (x, y, z) ∈ N (T ) se, e somente se: (x − y + 4z, 3x + y + 8z) = (0, 0) ou

x − y + 4z = 0 3x + 4y + 8z = 0 .

O sistema acima possui infinitas solu¸c˜oes de acordo com as seguintes rela¸c˜oes: x = −3z e y = z.

Logo N (T ) = {(−3z, z, z) |z ∈ R}.

Observe que (−3, 1, 1) ´e uma base do N (T ) e portando a dimN (T ) = 1.

Defini¸cão 4 Dada uma transforma¸cão T : V → W , dizemos que T é injetora se dados u e v ∈ V com u 6= v, então T (u) 6= T (v).

Diagrama:

Defini¸cão 5 Uma transforma¸cão T : V → W será sobrejetora se a imagem de T coincidir com W , ou seja T (v) = w.

Diagrama:

Defini¸cão 6 Uma transforma¸cão linear T : V → W que é injetora e sobrejetora (bijetora) é chamado de isomorfismo de V em W . Neste caso, existe uma transforma¸cão linear T−1 _:

W → V que ´e a transforma¸c˜ao inversa de T . Exemplos

1. Seja T : R2

→ R2

(7)

2. Seja T : R3

→ R2

a transforma¸c˜ao linear dada por T (x, y, z) = (x, y).

3. Seja T : R2

→ R3

a transforma¸c˜ao linear dada por T (x, y) = (x − y, y, −2x + 3y).

Teorema 3 Uma transforma¸cão linear T : V → W é injetora se, e somente se, N (T ) = {0}. Demonstra¸cão.

Teorema 4 Seja uma transforma¸cão T : V → W então: dimN (T ) + dimIm (T ) = dimV Demonstra¸cão.[3]- página 173.

Defini¸cão 7 Uma Transforma¸cão Linear, T : V → W a dimensão do subespa¸co Im (T ) é chamado de posto de T , enquanto que a dimensão do subespa¸co N (T ) é chamado de nulidade de T . Exemplos 1. Se V = R2 N (T ) = {0} ⇒ dimN (T ) = 0 Im (T ) = R2 ⇒ dimIm (T ) = 2

(8)

2. Se V = R3

N (T ) = {(0, 0, z) |z ∈ R} ⇒ dimN (T ) = 1 Im (T ) = R2

⇒ dimIm (T ) = 2

ent˜ao, dimN (T ) + dimIm (T ) = 1 + 2 = dimV

Corolário 1 Seja T : V → W um T.L. injetora. Se dimV = dimW . T é injetora se, e somente se, T é sobrejetora.

Demonstra¸c˜ao.

Corol´ario 2 Seja T : V → W um T.L. injetora. Se dimV = dimW ent˜ao, T leva base de V em base de W .

Demonstra¸c˜ao.

Exemplos

1. Determine uma transforma¸c˜ao linear T : R3

→ R2

cujo n´ucleo ´e dado por: N (T ) =(x, y, z) ∈ R3

(9)

2. T : R2

→ R2

; T (x, y) = (x + y, x − y). β = {(1, 2) , (2, −1)} ´e uma base de V = R2

. Como T ´e injetora a base β′ _{= {T (1, 2) , T (2, −1)} ´e uma base de W = R}2

, ou seja β′ _{= {(3, −1) , T (1, 3)}. Al´em disso, T ´e sobrejetora e portanto um isomorfismo.}

3. Calcule T−1 _{: R}3

→ R2

.

1.2 Matriz de uma Transforma¸

c˜

ao Linear

A toda transforma¸cão linear T : V → W está associada uma única matriz, quando fixamos as bases dos espa¸cos vetoriais V e W .

Sejam T : V → W uma T.L., β′ _{uma base de V e β uma base de W .}

Considerando o caso particular V = R2

e W = R3

(T : R2

→ R3

) e β′ _{= {v}₁_{, v}₂_{} uma base}

de V e β = {w1, w2, w3} uma base de W .

Seja um vetor v ∈ V , ent˜ao podemos escrever,

v = x1v1+ x2v2 (1) e a imagem T (v) por: T (v) = y1w1+ y2w2+ y3w3 (2) ou [v]β′ =x 1 x2 e [T (v)]β =   y1 y2 y3  .

Por outro lado,

T (v) = T (x1v1+ x2v2) = x1T (v1) + x2T (v2) (3)

Além disso, sendo T (v1) e T (v2) vetores de W , eles são combina¸cões lineares dos vetores

de β, assim podemos escrever:

T (v1) = a11w1+ a21w2+ a31w3 T (v2) = a12w2+ a22w2+ a32w3 (4) com [T (v1)]β =   a11 a21 a31  e [T (v2)]β =   a12 a22 a32  

(10)

Substituindo (4) em (3) temos:

T (v) = x1(a11w11+ a21w2+ a31w3) + x2(a12w1+ a22w2+ a32w3)

= (a11x1+ a12x2) w1+ (a21x1+ a22x2) w2+ (a31x1+ a32x2) w3 (5)

Comparando (5) com (2), conclui-se que:

y1 =a11x1+ a12x2 y2 =a21x1+ a22x2 (6) y3 =a31x1+ a32x2 (7) na forma matricial   y1 y2 y3  =   a11 a12 a21 a22 a31 a32     x1 x2 x3   ou simbolicamente, [T (v)]β = [T ]β ′ β [v]β′

sendo que a matriz [T ]β_β′ ´e denominada matriz de T em rela¸c˜ao as bases β′ _{e β.}

De maneira geral:      y1 y2 ... ym      =      a11 a12 · · · a1_n a21 a22 · · · a2n ... ... ... ... am1 am2 · · · amn           x1 x2 ... xn      Observa¸c˜oes:

1. A matriz [T ]β_β′ ´e de ordem m × n, quando dimV = n e dimW = m.

2. As colunas da matriz [T ]β_β′ s˜ao as componentes da imagem dos vetores da base β′ _em

rela¸c˜ao `a base β.

3. A matriz [T ]β_β′ depende das bases β′ _{e β consideradas.}

Exemplos: 1. Seja T : R3

→ R2

a transforma¸c˜ao linear dada por T (x, y, z) = (x + y, y − z). Calcule [T ]β_β′, com β′ _{e β as bases canˆonicas de R}2

e R3

(11)

2. β′ _{= {(1, 0, 1) , (0, 1, 1) , (1, 1, 1)} e β = {(1, 2) , (−1, 1)}} 3. Determine a T.L. T : R2 → R3 tal que   2 0 1 −2 −1 3   e β′ = {(1, 1) , (1, 0)} e β = {(1, 2, 0) , (1, 0, −1) , (1, −1, 3)}. Observa¸c˜oes:

1. Se T ´e um operador linear (V = W ) para representarmos a matriz desse operador, consideramos a mesma base β′ _{= β e a matriz resultante ´e denomonada matriz T em}

rela¸c˜ao `a base β′_{, [T ]}

β = [T ]β′.

2. No caso T : V → W , teremos uma transforma¸c˜ao inversa T−1 _{: W → V que ´e um}

isomorfismo e [T−1_{] = [T ]}−1_.

1.3 Transforma¸

c˜

oes Lineares no Plano

S˜ao transforma¸c˜oes do R2

em R2

. 1.3.1 Reflex˜oes

1.1) Reflexão em torno do eixo dos x: T (x, y) → (x, −y) 1.2) Reflexão em torno do eixo dos y: T (x, y) → (−x, y) 1.3) Reflexão na origem: T (x, y) → (−x, −y)

1.4) Reflexão em torno da reta y = x T (x, y) → (x, y) 1.3.2 Dilata¸cão e Contra¸cão

1.3.3 Dilata¸cão e Contra¸cão na dire¸cão do vetor T (x, y) = α(x, y), α ∈ R

(12)

Se |α| < 1, T Contrai o vetor

Se |α| < 0, T Troca o sentido do vetor

1.3.4 Dilata¸cão e contra¸cão na dire¸cão do eixo do x T (x, y) = (αx, y), α > 0

Se x > 1, T dilata o vetor Se x < 1, T contrai o vetor

1.3.5 Dilata¸cão e contra¸cão na Dire¸cão do Eixo y T (x, y) = (x, αy), α > 0

Nesse caso, se assumirmos α = 0 teremos T (x, y) = (x, 0) e T ser´a a proje¸c˜ao ortogonal do vetor sobre o eixo dos x.

1.4 Cisalhamento

1.4.1 Cisalhamento na Dire¸c˜ao do Eixo dos x T (x, y) = (x + αy, y)

1.4.2 Cisalhamento na Dire¸c˜ao do Eixo dos y T (x, y) = (x, y + αx)

1.5 Rota¸

c˜

ao

T (x, y) = (x cos θ − ysen θ, xsen θ + y cos θ) com 0 ≤ θ ≤ 2π

Essa transforma¸c˜ao fica melhor representada pela matriz canˆonica: [T θ] = cos θ −sen θ

sen θ cos θ

2 Transforma¸

c˜

oes Lineares no Espa¸

co

S˜ao Transforma¸c˜oes de R2

em R3

2.1 Reflex˜

oes

2.1.1 Reflex˜oes em rela¸c˜ao aos planos coordenados

A reflexão em rela¸cão ao plano x0z é a transforma¸cão linear que leva cada ponto (x, y, z) na sua imagem (x, y, −z)

T (x, y, z) = (x, y, −z) sendo o mesmo que: 2.1.2 Reflex˜oes em rela¸c˜ao aos eixos coordenados

A reflex˜ao em torno do eixo x ser´a:

T (x, y, z) = (x, −y, −z) ou De forma an´aloga temos

eixo y → T (x, y, z) = (−x, y, −z) eixo z → T (x, y, z) = (−x, −y, z)

(13)

2.1.3 Reflex˜ao na origem

T (x, y, z) = (−x, −y, −z)

2.2 Rota¸

c˜

ao

Rota¸c˜ao em torno do eixo z, que faz cada ponto descrever um ˆangulo θ. T (x, y, z) = (x cos θ − y cos θ, xsen θ + y cos θ, z) ou

[T θ] =   cos θ −sen θ 0 sen θ cos θ 0 0 0 1  

3 Lista de Exerc´ıcios

1. Consideremos a transforma¸c˜ao linear T : R2

→ R2

definida por T (x, y) = (2x−2y, x+4y). Utilizar os vetores u = (1, 2) e v = (3, −1) para mostrar que T (3u + 4v) = 3T (u) + 4T (v). 2. Dada a transforma¸c˜ao linear T : V → W , tal que T (u) = 3u e T (v) = u − v, calcular em

fun¸c˜ao de u e v: (a) T (u + v) (b) T (3v) (c) T (4u − 5v) 3. Dentre as transforma¸c˜oes T : R2 → R2

definidas pelas seguintes leis, verificar quais s˜ao lineares:

(a) T (x, y) = (x − 3y, 2x + 5y) (b) T (x, y) = (y, x) (c) T (x, y) = (x2 , y2 ) (d) T (x, y) = (x + 1, y) (e) T (x, y) = (y − x, 0)

4. Dentre as seguintes fun¸cões, verificar quais são lineares: (a) T : R2 → R3 ; T (x, y) = (x − y, 3x, −2y) (b) T : R3 → R3 ; T (x, y, z) = (x + y, x − y, 0) (c) T : R2 → R2 ; T (x, y) = (x2 + y2 , x) (d) T : R → R2 ; T (x) = (x, 2) (e) T : R3 → R; T (x, y, z) = −3x + 2y − z 5. Seja a aplica¸cão T : R2 → R3

; (x, y) → (x + ky, x + k, y), verificar em que caso(s) T ´e liner:

(a) k = x (b) k = 1 (c) k = 0

6. (a) Determinar a transforma¸c˜ao linear: T : R2

→ R3

tal que T (−1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, 1) = (1, 1, 0).

(14)

(b) Encontrar v ∈ R2

tal que T (v) = (−2, 1, −3). 7. (a) Determinar a transforma¸c˜ao linear T : R3

→ R2 tal que T (1, −1, 0) = (1, 1) T (0, 1, 1) = (2, 2) e T (0, 0, 1) = (3, 3). (b) Achar T (1, 0, 0) e T (0, 1, 0). 8. Seja T : R3 → R2

uma transforma¸c˜ao linear definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e T (1, 0, 0) = (3, 4). (a) Determinar T (x, y, z). (b) v ∈ R3 tal que T (v) = (−3, −2). (c) Determinar v ∈ R3 tal que T (v) = (0, 0). 9. Seja o operador linear T : R2

→ R2

, T (x, y) = (2x + y, 4x + 2y). Quais dos seguintes vetores pertencem a N (T )?

(a) (1, −2) (b) (2, −3) (c) (−3, 6)

10. Para o mesmo operador linear do exerc´ıcio anterior, verificar quais dos vetores pertencem a Im(T ). (a) (2, 4) (b) (−1 2, 1) (c) (−1, 3) 11. Seja T : R2 → R3 tal que T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1, −2) = (0, −1, 0). (a) Determinar T (x, y).

(b) Determinar N (T ) e Im(T ).

12. Consideremos a transforma¸c˜ao linear T : R3

→ R2 definidar por T (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y) e as bases A = {(1, 0, 0), (2, −1, 0), (0, 1, 1)} do R3 e B = {(−1, 1), (0, 1)} do R2 . Determinar a matriz [T ]A B

13. Seja a transforma¸c˜ao linear T : R2

→ R3

, T (x, y) = (2x − y, x + 3y, −2y) e as bases A = {(−1, 1), (2, 1)} e B = {(0, 0, 1), (0, 1 − 1), (1, 1, 0)}. Determinar [T ]A

B. Qual a matriz

[T ]A

C, onde C ´e a base canˆonica do R 3

?

14. Mostre que cada uma das aplica¸cões seguintes é uma transforma¸cão linear de R2

em R3

. Descreva geometricamente o que cada uma delas faz.

(a) L (x) = (−x1, x2) T

(b) L (x) = −x (c) L (x) = (x2, x1)

T

15. Seja L a transforma¸c˜ao linear de R2

em si mesmo definida por: L (x) = (x1cos α − x2sen α, x1sen α + x1cos α)

T

. Expresse x1, x2 e L (x) em coordenadas

polares. Descreva geometricamente o efeito dessa transforma¸c˜ao linear. 16. Para cada f ∈ C[0, 1], defina L(f ) = F , onde F (x) =

Z x

0

f (t)dt, 0 ≤ x ≤ 1. Mostre que L ´e uma transforma¸c˜ao linear de C[0, 1] em C[0, 1]. Depois encontre L(ex_{) e L(x}2

(15)

17. Determine o n´ucleo e a imagem de cada uma das transforma¸c˜oes lineares de R3 em R3 dadas a seguir: (a) L(x) = (x3, x2, x1) T (b) L(x) = (x1, x2, 0) T

18. Quais dos operadores no exerc´ıcio (17) são injetores? Quais são sobrejetores? 19. É poss´ıvel existir uma transforma¸cão linear injetora T : R3

→ R2

? Por que? 20. ´E poss´ıvel existir uma transforma¸c˜ao linear sobrejetora T : R2

→ R3

? Por que? 21. Seja T : R2

→ R2

transforma¸cão linear. Mostre que se T não é sobrejetora, então T não é injetora.

22. Considere o espa¸co vetorial real M2(R) das matrizes quadradas de ordem 2. Seja T uma

transforma¸c˜ao definida em M2(R): T (A) = A − AT, ∀A ∈ M2(R), mostre que T ´e uma

transforma¸c˜ao linear.

23. Seja T uma transforma¸cão linear do espa¸co dos polinômios reais de grau menor ou igual a 2, P2(R), na variável x, em si próprio, definida por: T (1) = 1 + x; T (x) = 3 − x

2

; T (x2

) = 4 + 2x − 3x2

. Calcule (2 − 2x + 3x2

). A transforma¸c˜ao T tem inversa? 24. Seja T uma transforma¸c˜ao linear em R3

dada por T (x, y, z) = (z, x − y, −z), (a) indique o n´ucleo de T , a sua dimens˜ao e uma base;

(b) determine a dimens˜ao da imagem de T ; (c) T ´e sobrejetora? Justifique.

25. Seja V o espa¸co das matrizes 2 × 2, M (2, 2), com base canˆonica β =1 0 0 0 ,0 1 0 0 ,0 0 1 0 ,0 0 0 1 (a) Se T : M2(R) → R 2 a b c d 7→ (a + d, b + c) . Ache [T ]β

α onde α ´e a base canˆonica de R 2 . (b) Se S : R2 → M2(R) e [S]α_β =     2 1 1 −1 −1 0 1 1     .

Ache S e, se for poss´ıvel, (a, b) tal que S (a, b) =1 0 0 1 .

3.1 Respostas.

1. Demonstra¸c˜ao 2. (a) 4u − v (b) 3u − 3v (c) 7u + 5v

(16)

3. a), b), e) são lineares 4. São lineares a), b), e) 5. c) é linear

6. (a) T (x, y) = (−2x + y, −x + y, −x) (b) v = (3, 4)

7. (a) T (x, y, z) = (−y + 3z, −y + 3z)

(b) T (1, 0, 0) = (0, 0) e T (0, 1, 0) = (−1, −1) 8. (a) T (x, y, z) = (3x − y − z, 4x − y − z) (b) v = (1, 6 − z, z) (c) v = (0, −z, z) 9. a), c) 10. a),b) 11. (a) T (x, y) = (2x + y, 3x + 2y, −2x − y) (b) N (T ) = {(0, 0)}, Im(T ) = {(x, y, −x)/x, y ∈ ℜ} 12. −2 −3 0 3 3 2 13.   3 0 5 2 −3 3   e      −3 3 2 5 −2 −2     

14. (a) Reflexão em rela¸cão ao eixo dos x2. (b) Reflexão em rela¸cão à origem. (c) Reflexão

em rela¸cão à reta x2 = x1. 15. 16. L(ex_{) = e}x_{− 1 e L(x}2 ) = x3 3 . 17. (a) N (T ) = {0}, Im(T ) = L(R3 ) = R3 . (b) 18. O operador no item (a) é injetor e sobrejetor. 19. não 20. não 21. 22. 23. (a) 8 + 8x − 7x2 . (b) Sim

24. (a) N (T ) tem dimensão 1 e base {(1, 1, 0)}. (b) dimensão= 2. (c) não. 25. (a) [T ]β α = 1 0 0 1 0 1 1 0 . (b) S (x, y) =2x + y x − y −x y

. N˜ao ´e poss´ıvel obter (a, b) tal que S (a, b) =1 0

0 1

(17)

Referˆ

encias

[1] Steinbruch, A.; Winterle, P.: Álgebra linear, Makron Books Editora, 1987. [2] Leon, S. J.: Álgebra Linear com aplica¸cões, 4a

edi¸c˜ao, LTC, 2008.

[3] Boldrini, J. L., Costa, S. I. R., Ribeiro, V. L. F. F. e Wetzler, H. G., ´Algebra Linear. Harper & Row do Brasil Editora, 1980.

[4] prof.buligon@gmail.com