Determinantes

(1)

Álgebra Linear

g

e

Geometria Analítica

(2)

DETERMINANTES

(3)

P

t õ

Permutações

Uma permutação σ = ( p₁, p₂, p₃, … , p_n) σ ( p₁, p₂, p₃, … , p_n) dos elementos do conjunto {1 2 3 } {1, 2, 3, … , n} é um arranjo dos n números em alguma j g ordem sem repetições ou omissões

(4)

EXEMPLO

EXEMPLO:

σ = ( 6, 1, 4, 5, 3, 2) σ ( 6, 1, 4, 5, 3, 2) é uma permutação dos elementos do j t conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} { , , , , , }

(5)

EXEMPLO

EXEMPLO:

σ = ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) σ ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) é a permutação identidade d l t d j t dos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6} { , , , , , }

(6)

P id d d

t ã

Paridade de uma permutação

Número de trocas de dois elementos que é necessário efectuar para voltar a pôr os

necessário efectuar para voltar a pôr os números por ordem.

Permutação ç parp ⇔ número de trocas parp

(7)

C

d t

i

id d

id

t ?

Como determinar a paridade rapidamente?

Para cada elemento contam‐se os números menores que ele que ficam depois dele.

(8)

C

d t

i

id d

id

t ?

Como determinar a paridade rapidamente?

menores que ele que ficam depois dele. Exemplo: σ = (4, 1, 3, 2)

(9)

C

d t

i

id d

id

t ?

Como determinar a paridade rapidamente?

menores que ele que ficam depois dele. Exemplo: σ = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2 → 3 1: → 0 1: → 0 3: 2 → 1 2: → 0

(10)

C

d t

i

id d

id

t ?

Como determinar a paridade rapidamente?

menores que ele que ficam depois dele. Exemplo: σ = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2 → 3 1: → 0 1: → 0 3: 2 → 1 2: → 0 (3+0+1+0) = 4

(11)

C

d t

i

id d

id

t ?

Como determinar a paridade rapidamente?

menores que ele que ficam depois dele. Exemplo: σ = (4, 1, 3, 2) 4: 1, 3, 2 → 3 1: → 0 1: → 0 3: 2 → 1 2: → 0 (3+0+1+0) = 4

σ é par

(12)

Si

l d

t ã

Sinal de uma permutação

⎧

⎨

⎧+

=

se

σ

é

par

σ

)

1 sgn(

⎩

⎨−

=

ímpar

é

se

σ

1 )

sgn(

⎩

p

(13)

Exemplos:

σ = (6, 5, 3, 1, 2, 4) paridade: 5 + 4 + 2 + 0 + 0 + 0 = 11 sgn(σ) = ‐1 sgn(σ) 1 ρ (1 3 2 4 6 5) ρ = (1, 3, 2, 4, 6, 5) paridade = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 2 sgn(ρ) = +1

(14)

Produtos elementares:

A é uma matriz quadrada n

×

n h d l d Chama‐se produto elementar da matriz A a um produto de n entradas da matriz A a um produto de n entradas da matri A que contenha uma entrada de cada linha

d d l d A

e de cada coluna de A.

(15)

Exemplos:

σ = (6, 5, 3, 1, 2, 4) Produto elementar correspondente: a₁₆ × a₂₅ × a₃₃ × a₄₁ × a₅₂ × a₆₄ a₁₆ × a₂₅ × a₃₃ × a₄₁ × a₅₂ × a₆₄ ρ (1 3 2 4 6 5) ρ = (1, 3, 2, 4, 6, 5) Produto elementar correspondente: a₁₁ × a₂₃ × a₃₂ × a₄₄ × a₅₆ × a₆₅

(16)

Produtos elementares assinalados:

A é uma matriz quadrada n

×

n h d l l d Chama‐se produto elementar assinalado da matriz A a um produto elementar com da matri A a um produto elementar com o sinal da permutação correspondente:

i ( )

sign(σ)×a_1p1 × a_2p2 × a_3p3 × … × a_npn Com σ = (p₁, p₂, …, p_n )

(17)

Exemplos:

σ = (6, 5, 3, 1, 2, 4) Produto elementar assinalado correspondente: ‐ aa₁₆₁₆ × a× a₂₅₂₅ × a× a₃₃₃₃ × a× a₄₁₄₁ × a× a₅₂₅₂ × a× a₆₄₆₄ ρ (1 3 2 4 6 5) ρ = (1, 3, 2, 4, 6, 5) Produto elementar assinalado correspondente: + a₁₁ × a₂₃ × a₃₂ × a₄₄ × a₅₆ × a₆₅

(18)

Determinante de uma matriz:

Determinante da matriz A é a soma de

todos os produto elementares

p

assinalados de A.

d ( )

(19)

Matrizes 2×2

Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado

a ×a (1 2) par a ×a

a₁₁×a₂₂ (1, 2) par a₁₁×a₂₂

(20)

Matrizes 2×2

Produto elementar Permutação associada Paridade Produto elementar assinalado

a ×a (1 2) par a ×a

a₁₁×a₂₂ (1, 2) par a₁₁×a₂₂

a₁₂×a₂₁ (2, 1) ímpar ‐ a₁₂×a₂₁

det(A) a ×a a ×a

(21)

Matrizes 3×3

Produto elementar Permutação Paridade Produto elementar associada assinalado

a₁₁×a₂₂×a₃₃ (1, 2, 3) par + a₁₁×a₂₂×a₃₃ a₁₂×a₂₃×a₃₁ (2, 3, 1) par + a₁₂×a₂₃×a₃₁ a₁₃×a₂₁×a₃₂ (3, 1, 2) par + a₁₃×a₂₁×a₃₂ a₁₃×a₂₁×a₃₂ (3, 1, 2) par + a₁₃×a₂₁×a₃₂ a₁₃×a₂₂×a₃₁ (3, 2, 1) ímpar ‐ a₁₃×a₂₂×a₃₁

(2 1 3) í

a₁₂×a₂₁×a₃₃ (2, 1, 3) ímpar ‐ a₁₂×a₂₁×a₃₃ a₁₁×a₂₃×a₃₂ (1, 3, 2) ímpar ‐ a₁₁×a₂₃×a₃₂

(22)

Matrizes 3×3

Produto elementar Permutação associada

Paridade Produto elementar assinalado

a₁₁×a₂₂×a₃₃ (1, 2, 3) par + a₁₁×a₂₂×a₃₃

a ×a ×a (2 3 1) par + a ×a ×a

a₁₂×a₂₃×a₃₁ (2, 3, 1) par + a₁₂×a₂₃×a₃₁ a₁₃×a₂₁×a₃₂ (3, 1, 2) par + a₁₃×a₂₁×a₃₂ a₁₃×a₂₂×a₃₁ (3, 2, 1) ímpar ‐ a₁₃×a₂₂×a₃₁ a₁₂₁₂×a₂₁₂₁×a₃₃₃₃ ( , , )(2, 1, 3) ímparp ‐ a₁₂₁₂×a₂₁₂₁×a₃₃₃₃ a₁₁×a₂₃×a₃₂ (1, 3, 2) ímpar ‐ a₁₁×a₂₃×a₃₂

det(A) = a₁₁×a₂₂×a₃₃+ a₁₂×a₂₃×a₃₁+ a₁₃×a₂₁×a₃₂ – – a₁₃×a₂₂×a₃₁ – a₁₂×a₂₁×a₃₃ – a₁₁×a₂₃×a₃₂

(23)

Regra prática para determinantes 3×3

⎤

⎡

1

2

1 ⎥

⎥

⎤

⎢

⎡

1

2 det

_d

⎥

⎦

⎢

⎣

1

2

1

2 det

_{Regra de Sarrus} (versão por linhas)

⎥⎦

⎢⎣

1

2

(24)

Regra prática para determinantes 3×3

1 2 1 ⎤ ⎡

(

1 1 2 2 1 1 1 2 1

)

1 1 2 1 2 1 det _⎥⎥ = × × + × × + × × − ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ 1 2 1 2 1 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2

(25)

Regra prática para determinantes 3×3

1 2 1 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡

(

1 1 2 2 1 1 1 2 1

)

2 1 1 1 1 2 det = × × + × × + × × − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

(

2 2 2 1 1 1 1 1 1

)

2 1 1 × × + × × + × × − ⎥⎦ ⎢⎣

(

)

1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 × × + × × + × × 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1

(26)

Regra prática para determinantes 3×3

(

)

1 2 1 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡

(

1 1 2 2 1 1 1 2 1

)

2 1 1 1 1 2 det = × × + × × + × × − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

(

2 2 2 1 1 1 1 1 1

)

2 1 1 = × × + × × + × × − ⎥⎦ ⎢⎣ 1 2 1 4 10 6 − = − = 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1

(27)

Regra prática para determinantes 3×3

⎤

⎡

1

2

1 ⎥

⎥

⎤

⎢

⎡

1

2 det

_d

⎥

⎦

⎢

⎣

1

2

1

2 det

_{Regra de Sarrus} (versão por colunas)

⎥⎦

⎢⎣

1

2

(28)

Regra prática para determinantes 3×3

⎤

⎡

(

1

2

1

2

1 )

1

2

1

2

1 det

⎥

×

+

×

+

×

⎤

⎢

⎡

(

1

2

1

2

1 )

2

1

2 det

=

×

+

×

+

×

−

⎥

⎦

⎢

⎣

2

1

2

1

2

1

1 ⎥⎦

⎢⎣

1

2

1

2

1

2

1

2

1

(29)

Regra prática para determinantes 3×3

1

2

1 ⎤

⎡

(

1

2

1

2

1 )

1

2

1

2

1 det

_⎥

⎥

=

×

+

×

+

×

−

⎤

⎢

⎡

(

1

2

1

2

1 )

2

1

2 det

=

×

+

×

+

×

⎥

⎦

⎢

⎣

(

2 ×

2 +

1 ×

1 +

1 ×

1 )

−

⎦

⎣

(

)

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

(30)

ATENÇÃO

A REGRA DE SARRUS

SÓ É VÁLIDA PARA

SÓ VÁ I A PARA

MATRIZES 3×3

(31)

Determinantes de matrizes especiais

S A é di l

Se A é diagonal:

(32)

Determinantes de matrizes especiais

Se A é diagonal: det(A) = a₁₁ × a₂₂ × … × a_nn det(A) a₁₁ × a₂₂ × … × a_nn Em particular: det(I) = 1 det(O) = 0 det(O) = 0

(33)

Determinantes de matrizes especiais

Se A é diagonal:

det(A) = a × a ×

× a

det(A) = a

₁₁

× a

₂₂

× … × a

_nn

Em particular:

det(I) = 1

det(O) = 0

Se A é escalar e o elemento da diagonal

é k então:

(34)

Determinantes de matrizes especiais

Se A é triangular (superior ou inferior):

Se

é t a gu a (supe o ou

e o )

(35)

Propriedades dos determinantes:

1. det(A) = det(A

T

)

2 Se A tem uma linha (ou coluna) nula

2. Se A tem uma linha (ou coluna) nula

então det(A) = 0

( )

3. Se B é obtida de A trocando 2 linhas

(ou colunas) então det(B) = ‐ det(A)

4 Se A tem duas linhas (ou colunas)

4. Se A tem duas linhas (ou colunas)

(36)

Propriedades dos determinantes:

5. Se B é obtida de A multiplicando

uma linha (ou coluna) de A por α

então det(B) = α det(A)

6. Se A tem uma linha (ou coluna)

últi l d

t

tã d t(A) 0

múltipla doutra então det(A) = 0

7 det(αA) = α

n

det(A)

7. det(αA) = α det(A)

(37)

Propriedades dos determinantes:

8. Se L

₁

, …, L

_i

, …, L

_n

são as linhas de A e

L = L’ + L’’ então

L

_i

= L

_i

+ L

_i

então

⎥ ⎤ ⎢ ⎡L₁ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡L₁ ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ L M ' ⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ L M ''

det(A) = det

+ det

⎥ ⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ _L_i M ⎥⎥ ⎥ ⎢ ⎢ ⎢ _L_i M ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣Ln M ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣Ln

(38)

Propriedades dos determinantes:

9. A mesma propriedade para as

colunas

10. det(AB) = det(A) det(B)

(

)

( )

11. A é invertível se e só se det(A) ≠ 0

(e se e só se car(A) = n)

12 Se A é invertível então det(A

‐1

)=

1

12. Se A é invertível então det(A

1

)=

) det(A

(39)

Efeitos das operações elementares

no determinante:

• _{Operações tipo I}

Trocando duas linhas o determinante Trocando duas linhas o determinante muda o sinal EXEMPLO

⎥

⎤

⎢

⎡

−

⎥

⎤

⎢

⎡

0

1

5

3

6

9 ⎥

⎥

⎦

⎢

⎣

−

=

⎥

⎦

⎢

⎣

−

1

6

2

5

1

0 det

1

6

2

9

6

3 det

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣

2

6

1

2

6

1

(40)

Efeitos das operações elementares

no determinante:

• _{Operações tipo II}

Multiplicar uma linha por um escalar não Multiplicar uma linha por um escalar não nulo EXEMPLO

⎥

⎤

⎢

⎡

⎥

⎤

⎢

⎡

0

1

5

0

1

5 ⎥

⎥

⎦

⎢

⎣

−

=

⎥

⎦

⎢

⎣

−

1

6

2

3

2

1 det

3

1

6

2

9

6

3 det

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣

2

6

1

2

6

1

(41)

Efeitos das operações elementares

no determinante:

• _{Operações tipo III}

Adicionar a uma linha outra multiplicada Adicionar a uma linha outra multiplicada por um escalar EXEMPLO 3 2 1 3 2 1 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ 5 1 0 3 2 1 det 5 1 0 3 2 1 det _⎥⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − 5 10 0 5 1 0 det 1 6 2 5 1 0 det ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ 1 3 3 L 2L L ← − ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

(42)

Cálculo do determinante pelo método

de eliminação:

3 2 1 5 1 0 5 1 0 ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ − ⎤ ⎡ 1 6 2 5 1 0 3 2 1 det 3 1 6 2 3 2 1 5 1 0 det 3 1 6 2 9 6 3 5 1 0 det = ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − 3 2 1 3 2 1 1 6 2 1 6 2 1 6 2 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ( ) (3 55) 165 55 0 0 5 1 0 det 3 5 10 0 5 1 0 det 3 = − × − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − 55 0 0 5 10 0 ⎥⎦ ⎢⎣ − ⎥⎦ ⎢⎣ −

(43)

Cálculo do determinante pelo teorema

de Laplace:

• Chama‐se

Menor (i,j)

da matriz A ao

determinante da matriz que se

obtém de A retirando a linha i e a

coluna j. Representa‐se por

A

_ij

• Chama‐se

Complemento Algébrico

de a ao número ( 1)

i+j

A e

de a

_ij

ao número (‐1)

j

A

_ij

e

(44)

EXEMPLO

⎥ ⎤ ⎢ ⎡− 2 3 5 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 7 2 2 2 8 1 A ⎥⎦ ⎢⎣ 2 − 2 − 7

( )

1 3 ˆ 3 2 1 det ₁₂ 1 2 ₁₂ 12 ⎥ = ⇒ = − = − ⎤ ⎢ ⎡− = A + A A

( )

5 3 3 1 3 7 2 det ₁₂ ₁₂ 12 ⎤ ⎡ ⇒ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ − A A A

( )

1 34 ˆ 34 2 8 5 3 det ₃₁ 3 1 ₃₁ 31 ⎥ = − ⇒ = − = − ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = A + A A 2 8 ⎦ ⎣

(45)

Teorema de Laplace

• _{Para cada linha k:} kn kn k k k k

A

a

A

a

A

a

A

)

ˆ

det(

=

₁ ₁

+

₂ ₂

+

L

+

• Para cada coluna j:Para cada coluna j:

ˆ

nj nj j j j j

A

a

A

a

A

a

A)

det(

=

₁ ₁

+

₂ ₂

+

L

+

(46)

Observações

• _{O Teorema de Laplace permite calcular o} determinante de uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n‐1;

n 1;

• Deve‐se escolher a linha ou coluna com mais zeros;

• Usar primeiro operações elementares sobreUsar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.

(47)

EXEMPLO:

⎤ ⎡ 1 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − 1 1 1 2 1 1 1 1 det ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − 1 2 1 1 1 1 2 1 det ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 1 1 2 1

(48)

EXEMPLO:

⎤ ⎡ − − ⎤ ⎡ 1 −1 −1 1 1 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − 2 2 1 0 1 1 3 0 1 1 1 1 det 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 det ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − − 0 3 2 0 2 2 1 0 1 2 1 1 1 1 2 1

(49)

EXEMPLO:

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ − − ⎤ ⎡ 1 −1 −1 1 1 1 1 1 ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − × × − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − − ₊ 0 3 2 2 2 1 1 1 3 det 1 1 2 2 1 0 1 1 3 0 det 1 1 2 1 1 1 1 2 det 1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 1 1 2 1 0 2 3 0 2 3 0

(50)

EXEMPLO:

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ − − ⎤ ⎡ 1 −1 −1 1 1 1 1 1 ( ) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − × × − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − − ₊ 2 2 1 1 1 3 det 1 1 2 2 1 0 1 1 3 0 1 1 1 1 det 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 det 1 1 ⎤ ⎡ − ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ 2 2 1 0 3 2 0 3 2 0 0 1 2 1 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 0 3 2 1 1 3 2 2 1 det ⎥⎦ ⎢⎣2 3 0

(51)

EXEMPLO:

⎤ ⎡ − − ⎤ ⎡ 1 −1 −1 1 1 1 1 1 ( ) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − × × − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − − ₊ 2 2 1 1 1 3 det 1 1 2 2 1 0 1 1 3 0 1 1 1 1 det 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 det 1 1 ⎤ ⎡ − ⎤ ⎡ − ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ 2 2 1 2 2 1 0 3 2 0 3 2 0 2 2 1 0 1 2 1 1 1 1 2 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = 4 7 0 7 7 0 2 2 1 det 0 3 2 1 1 3 2 2 1 det ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

(52)

EXEMPLO:

( ) ⎢⎡ − ⎥⎤ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − 1 1 3 1 1 3 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − × × − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − + 0 3 2 2 2 1 det 1 1 0 3 2 0 2 2 1 0 1 1 3 0 det 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 det 1 1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 0 3 0 ⎞ ⎛ _⎡ _⎤ ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − 7 7 2 2 1 2 2 1 ( ) _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − × × − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − = + 4 7 7 7 det 1 1 4 7 0 7 7 0 det 0 3 2 1 1 3 det 1 1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣

(53)

EXEMPLO:

( ) ⎢⎡ − ⎥⎤ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − − − 1 1 3 1 1 3 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ( ) = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − × × − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − + 0 3 2 2 2 1 det 1 1 0 3 2 0 2 2 1 0 1 1 3 0 det 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 det 1 1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 0 3 0 ( )1 1 det 7 7 7 7 0 2 2 1 det 1 1 3 2 2 1 det _⎥⎥ _⎜⎜⎛ 1 1 × × _⎢⎡ − _⎥⎤_⎟⎟⎞ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎡ − + ( ) ( 28 49) 21 4 7 det 1 1 4 7 0 7 7 0 det 0 3 2 1 1 3 det _⎟⎟ = ⎠ ⎜⎜ ⎝ − × × ⎢⎣ − ⎥⎦ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ − − = (− 28 + 49) = −21 −

(54)

Inversa de uma matriz usando

determinantes

• _{Matriz dos co‐factores ou dos complementos} algébricos:g _⎡ _⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = A _ij Aˆ ˆ • _{Matriz adjunta da matriz A:} ⎥⎦ ⎢⎣ j T A A Adj( ) = ˆ • _{Matriz inversa de A:} ) ( 1 1 A Adj A− ( ) det 1 A Adj A A =

(55)

EXEMPLO:

2 1 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ = A ( )1 det[ ]4 4 ˆ ( )1 det[ ]3 3 ˆ 4 3 2 1 1 1 = = − = − − = ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ = + + A A A ( ) [ ] ( ) [ ] ( )1 det[ ]2 2 ˆ ( )1 det[ ]1 1 ˆ 3 3 det 1 4 4 det 1 2 2 22 1 2 21 12 11 = − = − = − = = = = = + + A A A A ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − = 4 3 ˆ A _⎥ ⎦ ⎢ ⎣− = 1 2 A

(56)

EXEMPLO:

2 1 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ = A ( )1 det[ ]4 4 ˆ ( )1 det[ ]3 3 ˆ 4 3 2 1 1 1 = = − = − − = ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ = + + A A A ( ) [ ] ( ) [ ] ( )1 det[ ]2 2 ˆ ( )1 det[ ]1 1 ˆ 3 3 det 1 4 4 det 1 2 2 22 1 2 21 12 11 = − = − = − = = = = = + + A A A A ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − _ˆ 4 2 ) ( 3 4 ˆ T A A adj A _⎥ ⎦ ⎢ ⎣− = = ⎥ ⎦ ⎢ ⎣− = 1 3 ) ( 1 2 adj A A A

(57)

EXEMPLO:

2 1 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ = A ( )1 det[ ]4 4 ˆ ( )1 det[ ]3 3 ˆ 4 3 2 1 1 1 = = − = − − = ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ = + + A A A ( ) [ ] ( ) [ ] ( )1 det[ ]2 2 ˆ ( )1 det[ ]1 1 ˆ 3 3 det 1 4 4 det 1 2 2 22 1 2 21 12 11 = − = − = − = = = = = + + A A A A ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − _ˆ 4 2 ) ( 3 4 ˆ _adj _A _A A T _⎥ ⎦ ⎢ ⎣− = = ⎥ ⎦ ⎢ ⎣− = 2 6 4 ) det( 1 3 ) ( 1 2 A A A adj A ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − − = − = − 1 4 2 2 6 4 ) det( 1 A A ⎥ ⎦ ⎢ ⎣− − = 1 3 2 A

(58)

EXEMPLO:

2 1 ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ = A ( )1 det[ ]4 4 ˆ ( )1 det[ ]3 3 ˆ 4 3 2 1 1 1 = = − = − − = ⎥ ⎦ ⎢ ⎣ = + + A A A ( ) [ ] ( ) [ ] ( )1 det[ ]2 2 ˆ ( )1 det[ ]1 1 ˆ 3 3 det 1 4 4 det 1 2 2 22 1 2 21 12 11 = − = − = − = = = = = + + A A A A ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = 4 3 ₍ ₎ ˆ 4 2 ˆ _adj _A _A A T − = − = ⎥ ⎦ ⎢ ⎣− ⎥ ⎦ ⎢ ⎣− 2 6 4 ) det( 1 3 ) ( 1 2 A j ⎥ ⎤ ⎢ ⎡− ⎥ ⎤ ⎢ ⎡ − − 1 3 1 2 2 4 1 ) ( 1 A ⎥ ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ⎣ − = ⎥ ⎦ ⎢ ⎣− − = 2 1 2 3 1 3 2 A