Paulo J. S. Gil. Cadeira de Satélites, Lic. Eng. Aeroespacial

(1)

´

Orbita no Espa¸co

Paulo J. S. Gil

Departamento de Engenharia Mecânica, Seçcão de Mecânica Aeroespacial Instituto Superior Técnico

Cadeira de Sat´elites, Lic. Eng. Aeroespacial

Paulo J. S. Gil (SMA, IST) Orbita no Espa¸´ co IST, LEAero, Sat´elites 1 / 18

Sum´

ario

Elementos Clássicos de Órbita Referencial de inércia

Elementos Cl´assicos de ´Orbita Epoch

Elementos Cl´assicos de ´Orbita Versus ~r0, ~v0

Determina¸cão dos Elementos Clássicos de Órbita de ~r0, ~v0

(2)

Elementos Cl´assicos de ´Orbita

Sum´

ario

~r0, ~v0 e Referencial de In´ercia

Elementos Cl´assicos de ´Orbita

Introdu¸c˜

ao

I Para especificar uma órbita no espa¸co é necessário saber a posi¸cão ~r0 e a velocidade ~v0 da part´ıcula num certo instante de tempo

I {~r0, ~v0} ⇒ 6 parˆametros para especificar a ´orbita

I Para especificar os vectores é necessário um referencial e o mais conveniente é ser um referencial de inércia centrado no corpo central

I Relativamente a um observador por exemplo na Terra, n˜ao ´e

muito conveniente especificar {~r0, ~v0} pois n˜ao torna ´obvia a ´

orbita do sat´elite

I Os Elementos Clássicos de Órbita servem para isso mesmo e são equivalentes a ter as posi¸cão e velocidade iniciais

(3)

O Referencial de in´

ercia

Referencial adequado para a Terra mas aproximadamente de in´ercia

Fonte: Bate

Figura: Referencial de in´ercia

I Eixo z na direçcão do eixo de rota¸cão própria da Tera, sentido S-N

I Eixo x apontado para

o equin´ocio Vernal ou da Primavera

(hemisf´erio Norte)

I Eixo y escolhido de

modo a ser um referencial direito

O eixo x apontaria para a constela¸c˜ao de Aries no tempo da

Babilónia e é também designado o primeiro ponto de Aries

Elementos Clássicos de Órbita Elementos Clássicos de Órbita

Elementos Cl´

assicos de ´

Orbita

Conjunto de 6 parˆametros que especificam o movimento dos corpos

através da determina¸cão da órbita e sua orienta¸cão no espa¸co

Fonte: Bate

Orienta¸c˜

ao da ´

orbita no

espa¸co:

i , Ω, $

I A inclina¸c˜ao da ´orbita i relativamente ao eixo polar I A Longitude do nodo ascendente Ω I O Argumento do perigeu $

(4)

Elementos Clássicos de Órbita Elementos Clássicos de Órbita

Elementos Cl´

assicos de ´

Orbita II

Fonte: Schaub

´

Orbita no plano:

a, e, T

0

I A elipse (ou outra c´onica) ´e

completamente determinada pelo

semi-eixo maior a e pela

excentricidade e

I A posi¸cão do satélite na órbita é

calculada pelo Tempo de passagem

no perigeu T0

T0 permite calcular a posi¸cão na órbita usando as equa¸cões de Kepler e da órbita (e sabendo a, e)

I Os elementos clássicos de órbita {i , Ω, $, a, e, T0} são de

interpreta¸c˜ao muito mais f´acil e natural do que especificar {~r0, ~v0}

I Outros conjuntos similares tamb´em s˜ao utilizados

Precess˜

ao dos equin´

ocios revisitada

Precess˜

ao dos Equin´

ocios

I E devido ao efeito da Lua (mais importante) e do Sol na Terra´

por esta n˜ao ser uma esfera perfeita

I Per´ıodo de cerca de 26000 anos (que faz rodar o eixo x no

plano do equador a uma taxa de 0.8’/ano)

I Esta precessão não é a que um corpo livre não esférico apresenta

Em suma, o referencial definido ´e apenas aproximadamente de

in´ercia pois roda lentamente (e ´e acelerado pois acompanha a Terra `

(5)

O

Epoch

I Como o referencial roda ´e necess´ario saber exactamente que

referencial se utilizou em cada medida

I Data época ou epoch em que as medi¸cões são feitas, definidas pela interseçcão das linhas do equador e ecl´ıtica

I Alternativa: Usar um referencial definido numa certa altura e

mudar de vez em quando para n˜ao acumular erros (se a

precis˜ao requerida o permitir)

I O J2000 ´e o utilizado; antes foi o J1950 e no futuro ser´a o

J2050 (que come¸car´a a ser utilizado em 2025)

Elementos Cl´assicos de ´Orbita Versus ~r₀, ~v₀

Sum´

ario

(6)

Elementos Clássicos de Órbita Versus ~r₀, ~v₀ Determina¸cão dos Elementos Clássicos de Órbita de ~r₀, ~v₀

Elementos Cl´

assicos de ´

Orbita a partir de ~r

0

, ~

v

0

Os elementos clássicos de órbita são equivalentes a saber posi¸cão e velocidade num certo instante e podem sempre ser obtidos destas condi¸cões iniciais

~r

0

, ~

v

0

determinam o tipo de ´

orbita

I Da equa¸c˜ao da energia calculada no ponto inicial obt´em-se a

imediatamente o semi-eixo maior a

E = − µ 2a = v₀2 2 − µ r0 ⇒ a = − µ v₀2 − _rµ 0 (1)

I O vector de Laplace-Runge-Lenz (cf. Cap. anterior) determina

directamente a direçcão do perápsis e a excentricidade e

~e = 1 µ ~v0 × (~r0 × ~v0) − µ ~r₀ r0 (2)

Tempo de Passagem no Perigeu T

0

Tempo de passagem no perigeu e ~r

0

, ~

v

0

Sabendo o instante t0 inicial o tempo de passagem no perigeu T0

pode imediatamente ser calculado:

I A equa¸cão de Kepler determina t0 − T0 em fun¸cão da anomalia excêntrica E0 : T0 = t0 − pa3/µ(E0 − e sin E0)

I A anomalia excˆentrica obt´em-se da anomalia verdadeira θ0

correspondente `a posi¸c˜ao considerada tan E0

2 = q 1−e 1+e tan θ0 2

I A anomalia verdadeira inicial θ0 ´e obtida a partir das condi¸c˜oes

iniciais r0, v0, γ0 (cf. ´orbita estabelecida a partir de condi¸c˜oes

iniciais) tan θ0 = C sin γ_{C cos}20_γcos γ0

0−1 com C =

r0v₀2

µ ou directamente

atrav´es do vector excentricidade

cos θ0 =

~e · ~r₀ er0

(7)

Orienta¸c˜

ao da ´

Orbita no Espa¸co

Fonte: Wiesel

Referenciais

I O referencial inercial

est´a centrado no foco da ´orbita~eX, ~eY, ~eZ

I ~e tem a direc¸c˜ao e sentido do perigeu

I O momento angular ~h obt´em-se de ~r0, ~v0 : ~h = ~r0 × ~v0

I O vector unit´ario ~n define a linha dos nodos e pode ser obtido

de ~h

~n = ~eZ × ~h |~eZ × ~h|

(4)

I O vector ~n pertence ao plano do equador logo

~n = cos Ω ~eX + sin Ω ~eY (5)

e Ω ´e obtido das componentes de ~n sem ambiguidade de sinal

I A inclina¸cão da órbita i é facilmente obtida a partir do momento angular

cos i = ~eZ · ~h

|~h| (6)

e definindo que i ∈ [0, π], este fica definido sem ambiguidade

I O argumento do perigeu ´e obtido de

cos $ = ~n · ~e

(8)

Elementos Clássicos de Órbita Versus ~r₀, ~v₀ ~r₀, ~v₀ e Referencial de Inércia

Referencial Orbital 3D

O ~r0 ~v0 ~e_p ~eq ~e_w

Referencial {~p, ~q, ~

w } orientado pela

´

orbita

I ~ep orientado na direçcão e sentido do periápsis

I ~e_q na direc¸c˜ao θ = π/2 no plano orbital

I ~e_w orientado na direçcão normal ao plano no sentido directo da órbita

I Este referencial ser´a inercial (apenas rodado relativamente ao

outro) se a ´orbita for Kepleriana

I O referencial pode ser imediatamente determinado pelos

parˆametros da ´orbita

~ep =

~e

e, ~ew = ~h

|h|, ~eq = ~ew × ~ep (8)

~r

0

, ~

v

0

no Referencial Orbital

I Tem-se imediatamente

~r0 = r0cos θ0~ep + r0sin θ0~eq (9)

I A velocidade ´e por defini¸c˜ao ~v0 = ˙r0~er0 + r ˙θ0~eθ0

= ˙r0(cos θ0~ep + sin θ0~eq) + r ˙θ0( − sin θ0~ep + cos θ0~eq) (10)

I Utilizando ˙θ0 = h/r₀2, ˙r0 = µe_h sin θ0 e a equa¸cão da órbita 1/r0 = (1 + e cos θ0)/(h2/µ) obtém-se (TPC)

~v0 =

µ

(9)

Rota¸c˜

ao de Eixos

I Seja Rk(α) a rota¸c˜ao em torno do eixo k para passar do referencial {~ex, ~ey, ~ez} para {~ex0, ~ey0, ~ez0}

I Tem-se, por exemplo no caso de rota¸c˜ao em torno de z (no

caso em torno de y os sinais dos sin s˜ao ao contr´ario)

Rz(α) =   cos α sin α 0 − sin α cos α 0 0 0 1  , R −1 z (α) =   cos α − sin α 0 sin α cos α 0 0 0 1  , (12) R_z−1(α) = Rz(−α), ~ex0 ~ey0 ~ez0 = ~ex ~ey ~ez Rz(α) (13) I Ent˜ao   A_x0 Ay0 Az0   = R −1 z (α)   Ax Ay Az  ,   Ax Ay Az   = R_z(α)   A_x0 Ay0 Az0   (14)

Transforma¸c˜

ao Entre Referenciais (Resumido)

No caso dos referenciais {~e

p

, ~e

q

, ~e

w

} e {~e

X

, ~e

Y

, ~e

Z

} (cf. figura)

~ep ~eq ~ew = ~eX ~eY ~eZ R3(Ω)R1(i )R3($) (15) Fonte: Wiesel   Ap Aq Aw   = R −1 3 ($)R −1 1 (i)R −1 3 (Ω)   AX AY A_Z   (16a)   AX AY A_Z   = R3(Ω)R1(i)R3($)   Ap Aq Aw   (16b)