ESTATÍSTICA
aula 3
Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano
Insper Ibmec São Paulo
Espaço Amostral
Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento aleatório. Experimento aleatório é um experimento onde a cada
ti ã
lt d d f
ô
b
d f
lt d
dif
t
repetição o resultado do fenômeno observado fornece resultados diferentes.
Experimento Aleatório
Experimento Aleatório
20000 25000 0 5000 10000 15000 0 0 100 200 300 400Exemplo:
3 moedas são lançadas
Espaço Amostral do Experimento
⎬
⎫
⎨
⎧
=
Ω
CCC
CCK
CKC
KCC
⎭
⎬
⎩
⎨
=
Ω
KKK
KKC
KCK
CKK
C: cara
K: corôa
K: corôa
Eventos
Evento é o que se deseja saber de um experimento aleatório. Um evento é um subconjunto do espaço amostral.
Exemplo
No caso do lançamento das 3 moedas Suponha que o evento seja analisar experimentos No caso do lançamento das 3 moedas. Suponha que o evento seja analisar experimentos que apareça cara uma vez.
A { i }
A={ sair cara uma vez}
Combinação de Eventos
¾ A e B eventos ⇒ (A∪B) é evento. O resultado será um elemento de A ou B.
¾ A e B eventos ⇒ (A∩B) é evento. O resultado será um elemento de A e B. ¾ A evento ⇒ Ac
é o evento complementar O resultado são todos os ¾ A evento ⇒ A é o evento complementar. O resultado são todos os
elementos do espaço amostral que não pertencem ao conjunto A. ¾ Dois eventos são ditos mutuamente exclusivos se A∩B=0.
Ω Ω Ω
Evento União Evento Intersecção Evento Complementar
A B A B
A Ω
Exemplo
Dois hospitais A e B são avaliados durante 6 meses quanto aos prejuízos num Dois hospitais A e B são avaliados durante 6 meses quanto aos prejuízos num determinado ano, tomados mês a mês. Elaborar o espaço amostral e determinar os seguintes eventos:
(a) Evento com meses iguais de prejuízo. (a) Evento com meses iguais de prejuízo.
(b) Evento cuja soma dos meses de prejuízo dos dois hospitais seja igual a 10. (c) Evento cujo mês de prejuízo de um hospital é o dobro do outro.
(d) Evento cuja soma dos meses é menor que 15.
( ) j q
Espaço Amostral
P d
i
i
d t
i
t l
i
d
t b l
Pode-se primeiro determinar o espaço amostral, criando uma tabela com
duas entradas,sendo que as linhas representam os meses de prejuízo da
firma A e as colunas representam os meses de prejuízo da firma B.
A \ B
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3 1)
(3 2)
(3 3)
(3 4)
(3 5)
(3 6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6 1)
(6 2)
(6 3)
(6 4)
(6 5)
(6 6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
(a) Iguais meses de prejuízo dos hospitais
O evento nesse caso será o conjunto E1={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}. Este evento pode ser representado na tabela:
A \ B 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6 1) (6 2) (6 3) (6 4) (6 5) (6 6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
(b) Soma dos meses igual a 10
O evento será o conjunto E2={(4,6),(5,5),(6,4)} que na tabela é representado por:
A \ B 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2 1) (2 2) (2 3) (2 4) (2 5) (2 6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
(c) Mês de um hospital o dobro do outro
O evento será o conjunto E3={(1,2),(2,1),(2,4),(3,6),(4,2),(6,3)} representado na tabela :
A \ B 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
(d) Soma dos meses menor que 2
(d) Soma dos meses menor que 2.
O evento nesse caso será vazio pois a soma mínima é de 2 meses. E55 = φ.φ
Criando novos eventos
Evento: Meses com igual prejuízo OU meses em que a soma é 10.
E ∪E = {(1 1) (2 2) (3 3) (4 4) (5 5) (6 6) (4 6) (6 4)} E1∪E2 = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,6),(6,4)}. A \ B 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1)( , ) (4,2)( , ) (4,3)( , ) (4,4)( , ) (4,5)( , ) (4,6)( , ) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Evento: Meses igual prejuízo E soma igual 10
E1∩E2 = {(5,5)} A \ B 1 2 3 4 5 6 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)O que é probabilidade ?
Contagem de sucessos
Freqüência Absoluta
Freqüência Relativa
Grande número de experimentos
(+)
n
Li
P
an
n
Lim
P
a n A=
→∞Propriedades
¾A
b bilid d d
t é
iti
P(E) ≥ 0
¾A probabilidade de um evento é sempre positiva: P(E) ≥ 0.
¾ A soma das probabilidades de todos os eventos de um espaço
amostral Ω é igual a 1:
g
1 ) E ( P ) E ( P ) E ( P 1 + 2 +L+ N =¾ Para eventos que são mutuamente exclusivos (A∩B=0) a
probabilidade da união de dois eventos será:
probabilidade da união de dois eventos será:
) E ( P ) E ( P ) E E ( P 1∪ 2 = 1 + 2
Para quaisquer eventos (Não mutuamente exclusivos)
DEFINIÇÃO
DEFINIÇÃO
Dado dois eventos E
1e E
2, a probabilidade da ocorrência do
evento E
11, ou do evento E
,
22, ou de ambos ocorrerem , será a
,
,
probabilidade do evento E
1somada a probabilidade do
evento E
2, subtraída da probabilidade da ocorrência mutua
de ambos.
) E E ( P ) E ( P ) E ( P ) E E ( P 1 ∪ 2 = 1 + 2 − 1 ∩ 2Exemplo
(Análise de Planos de Saúde)
Imagine que num relatório anual, uma empresa de seguro saúde que possua 3 planos familiares (A,B,C) faz uma auditoria e verifica a freqüência dos seus lucros mês a mês nos últimos 12 meses. Se o plano A foi a maior responsável pelo lucro no mês, ele poderá ser a responsável pelo lucro no mês seguinte ou não. Então primeiro os auditores colocaram numa fila, desde o primeiro mês, os planos que mais forneceram lucros, começando pelo mês um. Junto com o tipo de plano de saúde foi colocado seu lucro, onde: 1≡ R$1 Bilhão; 2 R$2 Bilhõ 3 R$3 Bilhõ
2≡ R$2 Bilhões; 3≡ R$3 Bilhões.
Meses Meses
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
O dit fi i t l ã d fili i d l 12 Os auditores ficaram com a seguinte relação de filiais que deram lucros nos 12 meses:
Empresa/ lucro R$ 1 2 3 TOTAL Freqüência Absoluta
Empresa/ lucro R$ 1 2 3 TOTAL
A 2 3 0 5
B 1 1 1 3
C 2 2 0 4
TOTAL 5 6 1 12
TOTAL 5 6 1 12
Então a empresa deseja saber:
(a)Qual a probabilidade do plano A ser o responsável por lucro num mês?
(b)Qual a probabilidade de num mês o plano A ser responsável por lucro ou a l d R$1 bilhã ?
Solução
(a) O plano A obteve uma freqüência total 5 de vezes sendo o responsável pelo maior lucro dentre 12 observações. Logo,
4166 0 5 ) A ( P = = 0,4166 12 ) A ( P
ou 41,66% de chances de um determinado mês ter como plano mais lucrativo o plano A.
(b) Nesse caso, como os eventos não são mutuamente exclusivos, uma vez que (A∩”1”)
( ) , , q ( )
não é nula, deve-se utilizar a fórmula para união de dois eventos quaisquer.
) " 1 " A ( P ) " 1 (" P ) A ( P ) " 1 " A ( P ∪ = + − ∩
As parcelas
4166 , 0 12 5 ) A ( P = = 4166 , 0 12 5 ) " 1 (" P = = 1666 0 2 ) " 1 " A ( P ∩ 0,1666 12 ) 1 A ( P ∩ = =Deve-se perceber que a probabilidade de (A∩”1)” reflete a possibilidade da filial A ser a líder em um mês E seu lucro ser de R$1 bilhão. Essa probabilidade de união seria:
6666 , 0 1666 , 0 4166 , 0 4166 , 0 ) " 1 " A ( P ∩ = + − = ou 66,66%
PROBABILIDADE CONDICIONAL - Informação Adicional
•Ter o privilégio do conhecimento prévio em relação ao
mercado concorrente sempre faz a diferença na hora de
mercado concorrente sempre faz a diferença na hora de
escolher ou executar um negócio.
•Trabalhar com probabilidade uma vez conhecida informação
•Trabalhar com probabilidade, uma vez conhecida informação
adicional, faz com que a imprevisibilidade no cálculo se
Definição
A probabilidade condicional de um evento A dado que se
A probabilidade condicional de um evento A dado que se
conhece um evento B, é igual a probabilidade da ocorrência
conjunta de A e B, dividida pela probabilidade da ocorrência
do evento B
do evento B.
)
B
(
P
)
B
A
(
P
)
B
|
A
(
P
=
∩
)
B
(
P
Exemplo
Considere 250 empresas avaliadas por uma firma de consultoria sobre a capacidade de endividamento. Separa-se então as empresas em endividadas e não endividadas. Estas empresas representam basicamente dois setores, setor de seguro de vida e setor de seguro
saúde. Uma tabela representa esse estudo.
Situação Endividada Não Endividada Total
Situação
Empresa
Endividada Não Endividada Total
Seguro de Vida 40 60 100
Seguro Saúde 70 80 150
O que se deseja saber?
(1) Se uma empresa for selecionada ao acaso, qual a probabilidade dela ser um empresa endividada?
(2) Sabendo-se que a empresa é do setor de Seguro de Vida, que chances tem de uma vez escolhida, essa empresa esteja endividada?
Solução (1)
Para a primeira parte, supõe-se que o consultor escolheu a empresa desprovido de qualquer informação. Neste caso,ç ,
44 , 0 250 110 ) empresas ( total ) endividada ( total ) Endiv ( P = = =
Então ao acaso sem informação nenhuma o consultor tem a probabilidade de 44% de Então, ao acaso, sem informação nenhuma, o consultor tem a probabilidade de 44% de escolher uma empresa endividada.
Solução (2)
Nesta segunda questão o consultor recebeu a informação de que a empresa é do setor de Seguro de Vida antecipadamente Verificando os arquivos ele pode checar quantas Seguro de Vida antecipadamente. Verificando os arquivos, ele pode checar quantas empresas do setor estão endividadas. No caso, são 40 empresas. Então,
) Vida . Seg . End ( P ) id S | di ( ∩ ) Vida . Seg ( P ) Vida . Seg . End ( P ) Vida . Seg | Endiv ( P = ∩
Primeiro tem que se conhecer as chances de uma empresa estar endividada e ser do ramo de Seguro de Vida. Percebe-se que são 40 empresas. A probabilidade então de uma empresa desse ramo estar endividada é:
desse ramo estar endividada é:
250 40 ) Vida . Seg . End ( P ∩ =
A probabilidade de uma empresa ao acaso ser do ramo de Seguro de Vida será:
250 100 .) Vida . Seg ( P = 250 40 40 , 0 250 100 250 40 ) VId . Seg | Endiv ( P = = Resposta Final
Interpretação
A informação de que a empresa era do setor de Seguro de Vida aumentou a certeza sobre o A informação de que a empresa era do setor de Seguro de Vida aumentou a certeza sobre o evento em 4%. Sem a informação o consultor estabelecera a chance de investigar uma
empresa endividada em 44%. Com a informação adicional, ele estabelece a probabilidade de 40% de endividamento nas empresas auditadas.
Distribuições de Probabilidade
DISCRETAS
CONTÍNUAS
(Números inteiros)
(Números reais)
N
l
Normal
t-Student
Binomial
Poisson
F-Snedecor
Gama
Poisson
Geométrica
Qui-Quadrado
Hiper-Geométrica
Pascal
õ
Distribuições Discretas
BINOMIAL
BINOMIAL
(
)
n k kp
p
n
k
x
P
(
=
)
=
⎜⎜
⎛
⎞
×
p
×
(
1
−
p
)
−k
k
x
P
⎠
⎜⎜
⎝
1
)
(
Quando usar?
DICOTOMIA
POISSON
!
)
(
k
e
k
x
P
kλ
×
=
=
−λ!
k
λ
: média da distribuição ( n x p )
Exemplo
S b
ú
d
h
it l
i
d t
l
Sabe-se que o número de meses que um hospital privado tem lucro segue uma
distribuição binomial. A probabilidade de, num certo mês, o hospital ter lucro
financeiro é de 20%. Deseja-se um estudo do hospital conseguir num ano, nenhum
mês no positivo, 1 de lucro, 2 meses e finalmente 3 meses de lucros.
Suponha x ~ b(3,0.2) 3 512 . 0 ) 2 . 0 1 ( ) 2 . 0 ( 0 3 ) 0 x ( P 2 3 0 ⎞ ⎜ ⎛ = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = 096 . 0 ) 2 . 0 1 ( ) 2 . 0 ( 2 3 ) 2 x ( P 384 . 0 ) 2 . 0 1 )( 2 . 0 ( 1 3 ) 1 x ( P 1 2 2 = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = 008 . 0 ) 2 . 0 1 ( ) 2 . 0 ( 3 3 ) 3 x ( P 2 0 3 − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = ⎠ ⎜ ⎝
Exemplo
Depois de uma prospecção verificou-se que o número médio de óbitos em um
Depois de uma prospecção, verificou-se que o número médio de óbitos em um
centro de emergência é de 3 por noite. Qual é a probabilidade de que em uma certa
noite, ocorram 4 óbitos?
4 3 4 3
