O ATRASO DE SHAPIRO
ORIENTADOR: MARCO MORICONI
Niterói-RJ 2013
Trabalho de monogra a apresentado ao curso de graduação em Física -Bacharelado, da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial à conclusão do curso.
BANCA EXAMINADORA:
Prof. Dr. Marco Moriconi
UFF
Prof. Dr. Nivaldo Lemos
UFF
Prof. Dr. Rodrigo Sobreiro
UFF
Niterói-RJ 2013
O atraso de Shapiro / André Feitosa Benevides ; orientador: Marco Moriconi. Niterói, 2014.
33 f. : il
Trabalho de Conclusão de Curso (Bacharelado em Física) Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física, 2014.
Bibliogra a: f. 33.
1.RELATIVIDADE GERAL (FÍSICA). 2.ATRASO DE SHAPIRO. 3.GRAVITAÇÃO. 4.ÓRBITAS. I.Moriconi, Marco, Orientador. II.Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física,
Instituição responsável. III.Título.
Resumo p. 6
Abstract p. 7
1 Introdução p. 8
2 Notação p. 9
3 Princípio da equivalência p. 10
3.1 Massa inercial e massa gravitacional . . . p. 10 3.1.1 Motivação . . . p. 10 3.1.2 Testando experimentalmente . . . p. 11 3.2 O princípio de equivalência . . . p. 11 3.2.1 Motivação . . . p. 11 3.2.2 Primeira formulação . . . p. 12 3.2.3 Formulação mais geral . . . p. 13
4 Descrição do espaço-tempo p. 14 4.1 O espaço-tempo . . . p. 14 4.1.1 Variedades diferenciáveis . . . p. 14 4.2 Espaço tangente . . . p. 15 4.3 Métrica . . . p. 15 4.3.1 Distâncias . . . p. 16 5 Movimento no espaço-tempo p. 17
5.2 Partículas teste massivas . . . p. 17 5.2.1 Movimento em um sistema de coordenadas arbitrário . . . p. 18 5.2.2 Determinando as coordenadas localmente inerciais . . . p. 18 5.2.3 Relação entre a conexão a m e a métrica . . . p. 19 5.2.4 Princípio variacional . . . p. 19 5.2.5 Simetrias e quantidades conservadas . . . p. 21 5.3 Partículas teste sem massa . . . p. 22 5.3.1 Movimento no espaço-tempo plano . . . p. 22 5.3.2 Movimento no espaço curvo . . . p. 22 5.3.3 Tempo de viagem . . . p. 23
6 Geometria de Schwarzschild p. 24
6.1 Motivação . . . p. 24 6.2 A métrica de Schwarzschild . . . p. 24 6.2.1 Quantidades conservadas . . . p. 25 6.3 Movimento de partícula massiva . . . p. 25 6.4 Movimento da luz . . . p. 26
7 Atraso de Shapiro p. 27
7.1 O problema . . . p. 27 7.2 Cálculo do tempo de viagem . . . p. 28 7.3 Alguns desa os experimentais . . . p. 31
8 Conclusão p. 32
Resumo
Nesse trabalho, realizamos uma introdução aos princípios e ideias da relatividade geral, com o intuito de discutir um de seus testes clássicos dentro do sistema solar, o atraso de Shapiro. Apresentamos alguns dos ingredientes fundamentais para formular a gravitação geometricamente. Realizamos um estudo geral das órbitas em geometrias arbitrárias, que em seguida foi aplicado à geometria de Schwarszchild. Com isso, descrevemos o problema do atraso de Shapiro, obtivemos a previsão teórica e discutimos como ela se compara com as observações experimentais.
Abstract
In this work, we introduce some of the principles and ideas of general relativity, with the purpose of discussing one of its classical tests within the solar system, the Shapiro delay. We present some of the fundamental ingredients to formulate gravity geometrically. A general study of the orbits in arbitrary geometries was done, then we applied the results to the Schwarszchild geometry. With this, we could properly set the Shapiro delay problem, obtain a theoretical value for the time delay and analyse how it ts with experimental observations.
1 Introdução
Após o estabelecimento da teoria da relatividade restrita, cou evidente que a lei de gravitação newtoniana não era consistente com a estrutura do espaço-tempo. Einstein, não buscou modi car a gravitação newtoniana, já estabelecida, em busca de torná-la consistente com a estrutura da relatividade restrita, mas decidiu construir uma teoria completamente nova. A relatividade geral é a teoria de gravitação formulada por Einstein no período entre 1905 e 1915.
Uma das motivações para uma formulação geométrica da gravitação, foi o fato de que todos os corpos são in uenciados pela gravidade, e na ausência de outras interações, dadas as condições iniciais, as trajetórias seguidas por eles independem da constituição do corpo. Esse fato abre a possibilidade de associar a gravitação com a estrutura geométrica do espaço-tempo em si.
A relatividade geral passou por vários testes experimentais. Dentre as previsões con- rmadas experimentalmente se destacam o efeito Doppler gravitacional, a precessão do periélio de Mercúrio, o desvio da luz ao passar próximo de um objeto massivo, o atraso no tempo de propagação de sinais (atraso de Shapiro), testes precisos do princípio de equiv-alência, perda de energia de um pulsar binário devido à radiação de ondas gravitacionais1,
além de muitos outros testes mais modernos.
O atraso de Shapiro é um dos testes clássicos da relatividade geral que pode ser feito dentro do sistema solar. A medida desse efeito constitui um dos testes mais precisos da teoria até hoje. Além disso, o efeito é uma previsão simples da teoria, que pode ser feita com o entendimento de alguns princípios básicos da relatividade geral apenas.
O objetivo desse trabalho é estudar os princípios da relatividade geral e perparar a estrutura necessária para explorar a Física por trás do atraso de Shapiro, e com isso tirar previsões da teoria.
2 Notação
Durante todo o texto, a menos que seja explicitamente mencionado, será utilizado um sistema de unidades geometrizado, ou seja, em que c = 1 e G = 1.
Os índices do espaço-tempo serão indicados por letras gregas, minúsculas em geral, tomando os valores {0, 1, 2, 3}. Os índices 1, 2, 3 serão referentes às coordenadas espaciais, enquanto o índice 0 será referente à coordenada temporal. Índices contravariantes serão denotados na parte superior enquanto índices covariantes serão denotados na parte inferior do tensor em questão. A convenção de soma nos índices repetidos (convenção de Einstein) se¯a utilizada extensivamente.
As componentes da métrica do espaço-tempo serão denotadas por gµν. Denotaremos as
componentes do inverso da métrica por gµν. Reservaremos η
µν para quando for necessário
fazer referência as componentes da métrica do espaço de Minkowski. A assinatura da métrica utilizada será (+, −, −, −).
Quando conveniente, as derivadas parciais em relação as coordenadas locais do espaço-tempo ∂
∂xµ serão escritas como ∂µ.
Reservaremos ξµpara denotar as coordenadas localmente inerciais em um dado ponto
P do espaço-tempo. Para evitar uma notação muito carregada, o ponto ao qual as coor-denadas se referem cará implícito pelo contexto, desde que não haja ambiguidades.
Quando o contexto envolver o sistema solar, o símbolo ⊕ será referente à Terra e o símbolo ao Sol.
3 Princípio da equivalência
Nesse capítulo serão discutidos conceitos e princípios fundamentais que serão essenci-ais para as discussões que seguirão nos próximos capítulos. O foco central desse capítulo é motivar o princípio da equivalência, principalmente no contexto da gravitação newtoniana, onde ainda não associamos a gravitação à geometria do espaço-tempo.
3.1 Massa inercial e massa gravitacional
Nessa seção será discutido o conceito e a relação entre massa inercial e massa gravita-cional. Também serão comentados resultados recentes sobre medidas de grande precisão relacionando ambas as quantidades.
3.1.1 Motivação
O conceito de massa inercial (mi) toma uma forma precisa na mecânica Newtoniana
como a propriedade física que denota o quão resistente um objeto é a mudanças na sua velocidade. A segunda lei de Newton então, relaciona a interação externa com o objeto ( ~F ) e a sua aceleração da seguinte forma:
~
F = mi~a. (3.1)
Observando a expressão para a força gravitacional newtoniana entre duas massas: ~
Fg = −
GMgmg
r2 r,ˆ (3.2)
podemos perceber a clara semelhança com a força coulombiana entre duas cargas: ~
Fc= −
kQq
r2 r.ˆ (3.3)
elétricas Qq. Nesse sentido, mg pode ser visto como a "carga"ou massa gravitacional. Sob
esse ponto de vista, não há, a priori, necessidade alguma de que haja uma relação entre a massa inercial e a "carga"gravitacional de um mesmo objeto.
3.1.2 Testando experimentalmente
Uma partícula sujeita a um campo gravitacional, gerado por uma massa pontual Mg,
tem sua equação de movimento dada por:
mg~g = mi~a, (3.4)
o que nos leva a
mi
mg
= a
g, (3.5)
onde ~g = −GMg
r2 rˆ. Experimentalmente podemos testar a relação entre massa inercial
e massa gravitacional observando a relação entre a aceleração de diferentes objetos. Observa-se que objetos de massa inercial diferentes não só caem com a mesma aceler-ação, mas essa aceleração é, dentro da precisão experimental, igual à ~g.
O teste de maior precisão feito, até o momento, foi realizado pelo grupo Eöt-Wash no Laboratório de Testes de Física Gravitacional e Subgravitacional, na universidade de Washington, em 2008. Foi utilizada uma balança de torção altamente sensível, presa a uma mesa giratória, para medir a diferença de acelerações entre massas de teste de berílio e titânio em direção a fontes localizadas em diferentes distâncias (maiores ou iguais à 1m) 1. O experimento impôs um limite inferior na diferença entre as acelerações de ∆aBe−T i = (0, 6 ± 3, 1) × 10−15m/s2 [6].
3.2 O princípio de equivalência
O foco dessa seção será mostrar diferentes pontos de vista do princípio de equivalência no contexto newtoniano, assim como motivar uma formulação mais geral para o mesmo.
3.2.1 Motivação
Uma motivação inicial para o princípio de equivalência, é a observação experimental de que massa inercial e massa gravitacional são iguais, o que implica que nenhum observador
As consequências da igualdade entre massa inercial e massa gravitacional podem ser estendidas para campos gravitacionais não-homogêneos e dependentes do tempo, desde que focalizemos nossa atenção em uma pequena região do espaço, durante um curto in-tervalo de tempo, de forma que o campo gravitacional seja aproximadamente uniforme e varie muito pouco no tempo considerado. Nessas condições, nenhum experimento feito dentro desse pequeno volume por um referencial em queda livre poderia detectar os efeitos de um campo gravitacional. Note que os efeitos de maré serão desprezíveis se consider-armos uma região do espaço muito pequena, de forma que nenhuma inomogeneidade do campo seja percebida2.
3.2.2 Primeira formulação
Podemos formular o princípio de equivalência da seguinte maneira: em cada ponto do espaço-tempo, em um campo gravitacional arbitrário, podemos sempre escolher um sistema de coordenadas localmente inercial, de forma que em uma vizinhança su cien-temente pequena do ponto em questão, as leis físicas têm a mesma forma que em um sistema de coordenadas não-acelerado, na ausência de gravidade. Note que dependendo do signi cado dado à "leis físicas", o princípio de equivalência então enunciado pode ter signi cados bem diferentes.
A equivalência entre massa inercial e massa gravitacional nos motiva um princípio de equivalência fraco, onde por leis físicas, queremos dizer as leis de movimento. No entanto, foram feitos diversos experimentos para veri cação da equivalência entre massa inercial e masssa gravitacional utilizando diferentes materiais, com contribuições para massa em diferentes proporções de elétrons, neutrons e prótons, além de diferentes energias de ligação de origem forte e eletromagnética. O fato de que nenhuma diferença é percebida para as mais variadas proporções dos constituintes, impõe limites inferiores bem restritivos na diferença entre massa inercial e massa gravitacional para cada um dos constituintes [2]. Esse limite também é imposto às energias de ligação, que tem origens em interações fundamentais, independente das leis de movimento. Isso nos motiva, então, um princípio de equivalência mais forte, em que é a rmado que nenhum efeito gravitacional pode ser
2Esse tipo de referencial que localmente anula o campo gravitacional em um dado ponto é chamado
percebido em referenciais localmente inerciais, não só nas leis de movimento, mas em todas as leis da natureza. Com isso, a trajetória de uma partícula teste, em queda livre em um campo gravitacional, é determinada completamente pela sua condição inicial, e não pela sua composição.
3.2.3 Formulação mais geral
Na discussão que seguirá será necessária uma formulação do princípio de equivalên-cia mais geral, que faça sentido mesmo quando o limite newtoniano da gravitação não for válido. Podemos tornar o princípio consistente com a maneira como trataremos a gravitação, se formularmos o mesmo geometricamente.
Quando encaramos gravidade como a geometria do espaço-tempo, o que o princípio formulado no contexto newtoniano nos sugere é que: as propriedades locais do espaço-tempo, na presença de matéria, deveriam ser indistinguíveis do espaço-tempo da relativi-dade especial. Por mais simples que essa a rmação seja, ela será su ciente para obtermos as equações de movimento no espaço curvo. No entanto, para que possamos utilizar essa formulação do princípio de equivalência, será necessário que tenhamos uma descrição precisa e consistente do espaço-tempo, o que nos leva à discussão do próximo capítulo.
4 Descrição do espaço-tempo
O objetivo desse capítulo é introduzir alguns conceitos matemáticos, conectados ao seu signi cado físico. A abordagem será rápida e pouco formal com intuito apenas de introduzir as ideias. Discutiremos aqui, brevemente como representar o espaço-tempo e como a gravidade se inclui nesse formalismo.
4.1 O espaço-tempo
4.1.1 Variedades diferenciáveis
Na relatividade restrita, podemos caracterizar qualquer evento com um conjunto de quatro números - quatro coordenadas globais. Podemos mapear continuamente todo o espaço-tempo da relatividade restrita no R4.
No entanto, isso não é verdade para um espaço-tempo curvo arbitrário. Na relativi-dade geral, estaremos interessados nos espaço-tempos que localmente podem ser mapeados continuamente no R4, mas que possuem uma estrutura global diferente. O espaço-tempo
é descrito como uma variedade diferenciável.
Em geral, precisaremos de mais de um conjunto de mapas para descrever uma var-iedade. Será necessário termos uma coleção de mapas que levam os conjuntos abertos da variedade no R4. Cada um desses é chamado de um sistema de coordenadas.
Gostari-amos de descrever o espaço tempo com um conjunto de sistemas de coordenadas nos quais, nas interseções dos domínios dos mesmos, a transformação de um para o outro seja difer-enciável. Dessa forma obteremos uma estrutura na qual as regras usuais do cálculo podem ser aplicadas em cada um dos sistemas de coordenadas locais, e os resultados obtidos são válidos de forma global.
Como discutiremos mais a frente, uma das implicações matemáticas de termos uma variedade com as propriedades listadas acima é que, em cada ponto do espaço-tempo e na
sua vizinhança, podemos encontrar um sistema de coordenadas no qual a métrica coincida com a métrica do espaço de Minkowski. Isso nos permitirá formularmos o Princípio de Equivalência de maneira mais precisa e utilizá-lo para escrever a equação de movimento no espaço curvo.
4.2 Espaço tangente
A de nição geral de espaço tangente não é particularmente útil para discussão que propomos fazer aqui. No entanto, podemos entender a ideia de maneira intuitiva e infor-mal1.
Diferente de quando estudamos uma esfera no R3, o espaço-tempo não está imerso
em um espaço de dimensão mais alta (à princípio). No entanto, pensar em variedades dessa forma traz uma imagem geométrica e intuitiva para de nirmos os espaços tangentes, evitando uma de nição formal.
A cada ponto X do espaço-tempo associamos um espaço tangente, com a mesma dimensão do espaço-tempo, que é o espaço composto por todos os vetores tangentes àquele ponto.
Podemos então de nir campos vetoriais no espaço-tempo associando a cada ponto X um vetor do espaço tangente associado a X. Com isso, podemos prosseguir e de nir campos tensoriais de ordem mais alta como funções multilineares que levam um dado número de vetores do espaço tangente em um escalar.
4.3 Métrica
A métrica é um campo tensorial de segunda ordem de nido no espaço-tempo, que contém a informação de toda a estrutura geométrica do mesmo. A métrica leva um par de vetores do espaço tangente em um número real.
u, v → s(u, v) ∈R. (4.1) Estamos interessados em métricas que não são positivo-de nidas, pois gostariamos que a métrica desse a cada espaço tangente a mesma estrutura do espaço de Minkowski.
métrico. Podemos então de nir distâncias e comprimentos.
Um elemento recorrente no estudo da geometria é o elemento de linha, de nido como: ds2 = dxµgµνdxν. (4.2)
Esse invariante relativistico está relacionado com o comprimento de arco para um deslo-camento in nitesimal em uma dada curva: ds = √ds2. Podemos medir o comprimento
de curvas, integrando o comprimento de arco ao longo da mesma. Isso nos de ne um funcional de comprimento. Note que a escolha particular da assinatura da métrica que zemos, faz com que ds2 seja sempre positivo para pontos na linha de mundo de partículas
com massa.
Uma vez que associamos a cada curva no espaço-tempo um comprimento, podemos de nir as geodésicas como as curvas que extremizam o funcional de comprimento. Isso nos permite descrever a equação das geodésicas a partir de um princípio variacional. Como veremos mais a frente, isso será particularmente útil.
5 Movimento no espaço-tempo
5.1 Referenciais localmente inerciais
Para discutir o movimento de uma partícula teste no espaço-tempo, na ausência de qualquer interação externa (situação puramente gravitacional), é interessante partirmos do princípio de equivalência. Em qualquer ponto X do espaço-tempo e na sua vizinhança, podemos encontrar sistemas de referência no qual a equação de movimento seja dada pela mesma expressão de um referencial inercial, no espaço plano.
Matematicamente, em qualquer ponto X do espaço-tempo, se temos a métrica gµν(X),
em um dado sistema de coordenadas, podemos encontrar novas coordenadas ξµ, tal que
nelas, a métrica coincida com ηµν no ponto em questão e em sua vizinhança.
gµν(ξ µ X) = ηµν ∂gµν ∂ξα X = 0 (5.1)
Quando essas duas condições são satisfeitas, temos que no ponto X e na sua vizinhança, nas coordenadas ξµ, o espaço-tempo é indistinguível do espaço-tempo plano (Minkowski).
5.2 Partículas teste massivas
Consideremos primeiramente o movimento de uma partícula massiva em queda livre, que não seja uma fonte de curvatura relevante. De acordo com o princípio de equivalência, podemos considerar um sistema de referência localmente inercial no ponto X, no qual a equação de movimento é dada por:
d2ξµ
dτ2 = 0, (5.2)
denadas x , não necessáriamente inercial: d2ξµ dτ2 = d dτ ∂ξµ ∂xν dxν dτ = ∂ξ µ ∂xν d2xν dτ2 + ∂2ξµ ∂xν∂xλ dxν dτ dxλ dτ = 0 (5.3) Multiplicando a equação pelo inverso da matriz jacobiana da transformação, ∂xα
∂ξµ, temos
a equação para xα dada por:
d2xα dτ2 + Γ α βγ dxβ dτ dxγ dτ = 0, (5.4) onde Γα βγ é a conexão a m: Γαβγ ≡ ∂x α ∂ξλ ∂2ξλ ∂xβ∂xγ (5.5)
Nessas coordenadas o elemento de linha ds2 é escrito como:
ds2 = dτ2 = dξµηµνdξν = dxµgµνdxν, (5.6)
onde gµν é a métrica no ponto X nas coordenadas xµ, que em termos das coordenadas
localmente inerciais se escreve:
gµν = ηαβ
∂ξα
∂xµ
∂ξβ
∂xν (5.7)
5.2.2 Determinando as coordenadas localmente inerciais
Fazendo o raciocínio inverso, na vizinhança de um dado ponto X do espaço-tempo, podemos determinar uma classe de referenciais localmente inerciais ξµ. Multiplicando a
equação 5.5 pelo inverso da matriz jacobiana da transformação ∂ξµ
∂xα, obtemos uma equação
para as coordenadas ξµ(xν): ∂2 ∂xβ∂xγ − Γ α βγ ∂ ∂xα ξµ= 0, (5.8)
cuja solução "determina" ξµ(X).
Note que se ξµ(X)são coordenadas localmente inerciais, ou seja, soluções da equação
anterior, então ξ0µ = Λµ
νξν + cµ também são, pois claramente também são soluções de
5.8. Isso não é surpreendente, já que qualquer referencial inercial, conectado à ξµ(X)por
uma transformação de Lorentz (além de uma possível translação da origem) também é um referencial inercial naquele ponto.
A partir da equação 5.7, podemos obter ηµν, se conhecermos a métrica gµν e ξµ(X). ηµν = gαβ ∂xα ∂ξµ ∂xβ ∂ξν (5.9)
5.2.3 Relação entre a conexão a m e a métrica
É interessante observar que para determinar as coordenadas localmente inerciais, basta conhecermos a conexão a m, no entanto, para determinarmos o tempo próprio, precisamos conhecer a métrica. Isso nos motiva a explicitar a relação entre esses dois objetos.
Da equação 5.7 temos que ∂gµν ∂xσ = ηαβ ∂2ξα ∂xσ∂xµ ∂ξβ ∂xν + ∂2ξα ∂xσ∂xν ∂ξβ ∂xµ . (5.10)
A partir da equação 5.5, podemos substituir as derivadas duplas de ξµ pela conexão a m
e derivadas primeiras. Mais precisamente: ∂2ξα ∂xβ∂xγ = Γ λ βγ ∂xα ∂ξλ. (5.11)
Substituindo 5.11 em 5.10 e utilizando a equação 5.7, nalmente obtemos: ∂gµν
∂xσ = gµαΓ α
νσ+ gναΓαµσ. (5.12)
Se de nirmos Tρµν ≡ gλρΓλµν, podemos escrever:
Tµνρ + Tνµρ = ∂ρgµν, Tνρµ + Tρνµ = ∂µgνρ, Tρµν + Tµρν = ∂νgρµ. (5.13) Somando as duas últimas equações e subtraindo a primeira, temos que:
2Tρµν = ∂µgρµ+ ∂νgρν − ∂ρgµν. (5.14)
Finalmente, obtemos que
Γρµν = 1 2g
ρλ
(∂µgλν+ ∂νgλµ− ∂λgµν) (5.15)
5.2.4 Princípio variacional
Podemos formular uma ação geométrica para a descrição das trajetórias de partículas teste. Para que tenhamos um princípio variacional formulado de forma covariante,
pre- xos. O tempo próprio entre esses dois eventos é τ = Z B A dτ = Z B A pgµνdxµdxν = Z B A r gµν dxµ dλ dxν dλ dλ, (5.16) onde λ é um parâmetro arbitrário da trajetória.
Seja xµ(τ )uma trajetória que vai de A até B satisfazendo a equação de movimento 5.4
e façamos uma pequena variação na mesma: x0µ = xµ+ δxµ, com δxµ = 0 nos pontos A
e B. Quando xµ(λ) varia por δxµ, devemos ter uma variação induzida no tempo próprio.
δτ = 1 2 Z B A 1 q gαβdx α dλ dxβ dλ δgµν dxµ dλ dxν dλ + 2gµνδ dxµ dλ dxν dλ dλ (5.17) Note que δgµν = ∂gµν ∂xσ δx σ. (5.18) Além disso, dτ dλ = 1 dλ dτ = q 1 gαβdx α dλ dxβ dλ (5.19) Integrando por partes e levando em conta que a variação nos extremos é nula, temos que:
δτ = Z B A 1 2 ∂gµν ∂xσ dxµ dτ dxν dτ − ∂gµσ ∂xν dxµ dτ dxν dτ + gµσ d2xµ dτ2 δxσdτ (5.20) Note que ∂νgµσdxµdxν = 1 2(∂νgµσ+ ∂µgνσ) dx µdxν, (5.21)
apenas com a troca do índice mudo simétrico ν por µ. Com isso, podemos utilizar a equação 5.14 e reescrever a equação 5.20 como:
δτ = Z B A d2xµ dτ2 + Γ µ νρ dxν dτ dxρ dτ gµσδxσdτ. (5.22)
Mas pela equação 5.4, o integrando é zero, logo xµ extremiza o tempo próprio, ou
equiv-alentemente o intervalo relativístico. A trajetória que satisfaz a equação de movimento segue a geodésica no espaço-tempo.
5.2.5 Simetrias e quantidades conservadas
Para simpli car a tarefa de resolver a equação da geodésica 5.4, é interessante uti-lizarmos o máximo de quantidades conservadas disponíveis, que vão nos fornecer con-stantes de movimento para a trajetória da partícula. Em geral, em uma métrica que não tem simetrias, não será possível encontrar muitas quantidades conservadas. No entanto, há muitos sistemas físicos que podem ser descritos com métricas que tem simetrias espe-ciais, e para esses casos, é interessante formularmos uma maneira sistemática de se obter constantes de movimento.
Uma constante de movimento que vale para todas as métricas pode ser obtida a partir da equação 5.6, que implica na normalização da quadri-velocidade.
dτ2 = dxµgµνdxν ⇒ uµuµ= gµν
dxµ dτ
dxν
dτ = 1 (5.23) Partindo da ação geométrica, obtivemos as equações da geodésica, que são justamente as equações de Euler-Lagrange para xµ, com a lagrangiana de nida por:
L = dτ dλ = r gµν dxµ dλ dxν dλ . (5.24)
As equações de Euler-Lagrange são: d dλ ∂L ∂ ˙xµ = ∂L ∂xµ, (5.25) onde ˙xµ ≡ dxµ dλ .
Suponha agora que no sistema de coordenadas considerado a métrica não dependa de uma dada coordenada, por exemplo x1. Nesse caso,
∂L
∂x1 = 0 ⇒
∂L
∂ ˙x1 = c, (5.26)
onde c é uma constante. Temos então que: c = ∂L ∂ ˙x1 = 1 2L2g1ν dxν dλ = dλ dτg1ν dxν dλ = g1ν dxν dτ . (5.27)
Se de nimos nesse sistema de coordenadas o vetor de Killing associado à coordenada x1
por ζµ
1 = (0, 1, 0, 0), podemos escrever c de forma covariante como:
c = gµνζµ
dxν
massa, como a luz, por exemplo. No entanto, podemos facilmente traduzir os resultados da seção anteior para o movimento de partículas teste não-massivas. Nesse caso,
ds2 = 0, (5.29)
logo, não podemos utilizar o elemento de linha para parametrizar a trajetória. Podemos, no entanto, escolher um outro parâmetro λ para a descrever as geodésicas seguidas pela luz.
5.3.1 Movimento no espaço-tempo plano
Consideremos o plano-xt no espaço de Minkowski. Nesse plano, a luz que em t = 0 passa pela origem, segue a trajetória x = ±t, que parametricamente pode ser escrita como:
xµ= λuµ, (5.30)
onde uµ = dxµ
dλ é um quadrivetor tangente à trajetória. Note que a escolha de
parametriza-ção não é única, e que diferentes parametrizações darão diferentes vetores tangentes. Uma diferença importante no movimento da luz é que o elemento de linha é nulo, o que implica que, independente da parametrização, para qualquer trajetória:
uµuµ =
dxµ dλ
dxµ
dλ = 0. (5.31)
Uma escolha de parametrização interessante, chamada parametrização a m, é tal que a equação de movimento para luz toma a mesma forma que a equação para uma partícula com massa:
duµ
dλ = d2xµ
dλ2 = 0. (5.32)
Note que dado que λ é um parâmetro a m, λ0 = cλ, onde c ∈ R, c 6= 0, também é um
parâmetro a m igualmente válido.
5.3.2 Movimento no espaço curvo
Assim como no caso de partículas massivas, podemos utilizar o Princípio de Equiv-alência para obter a equação da geodésica para partículas sem massa. Temos que em um
dado ponto P podemos encontrar referenciais localmente inerciais, com coordenadas ξµ,
nos quais a equação de movimento é:
d2ξµ
dλ2 = 0. (5.33)
Claramente, se mudarmos para um sistema de coordenadas qualquer xµ, a equação
5.33 nas novas coordenadas terá a mesma forma da equação 5.4, com o parâmetro a m λ no lugar do tempo próprio τ.
d2xµ dλ2 + Γ µ αβ dxα dλ dxβ dλ = 0 (5.34)
É importante notar que a equação 5.34, cuja solução são as geodésicas de comprimento nulo, só toma a mesma forma da equação 5.4 se λ for um parâmetro a m.
5.3.3 Tempo de viagem
Diretamente da equação 5.29 podemos encontrar uma expressão para o tempo que a luz leva para percorrer uma dada trajetória, em uma métrica geral.
ds2 = 0 = g00dt2+ gijdxidxj+ 2g0idxidt, (5.35) cuja solução é: dt = −1 g00 gi0dxi− q (gi0gj0− gijg00) dxidxj , (5.36)
onde uma das soluções foi desconsiderada pois leva a tempos negativos. Temos então que: TAB = Z B A dt dλdλ = −1 g00 Z B A " gi0 dxi dλ − r (gi0gj0− gijg00) dxi dλ dxj dλdλ # . (5.37) O cálculo do tempo próprio é extremamente relevante para a discussão principal desse trabalho. O cálculo anterior, embora bem geral, não leva em conta possíveis simpli cações provenientes das simetrias que a métrica pode ter. Portanto, é interessante que estudemos as simetrias e as geodésicas de uma dada métrica de interesse antes de calcularmos o tempo de viagem para alguma trajetória.
6 Geometria de Schwarzschild
Nesse capítulo discutiremos o movimento na geometria de Schwarzschild, que descreve o espaço-tempo fora de uma fonte de curvatura esfericamente simétrica e estática.
6.1 Motivação
As equações de Einstein ditam como uma dada distribuição de energia e momento determina a geometria do espaço-tempo.
Gµν + gµνΛ = 8πTµν. (6.1)
O lado esquerdo da equação 6.1 contém apenas termos que envolvem a métrica do espaço-tempo. Gµν = Rµν−12Rgµν é o tensor de Einstein, que depende da métrica de uma
maneira não linear, o que em geral, torna a solução das equações uma tarefa difícil. Do lado direito, Tµν é o tensor de energia-momento, que contém a informação da distribuição
de matéria no espaço-tempo.
Uma das soluções mais simples das equações de Einstein é a geometria de Schwarzschild. Ela descreve muito bem a geometria no exterior do sol, e portanto é uma grande fonte de previsões acessíveis da relatividade geral.
O foco desse trabalho é estudar o atraso da luz em trajetórias próximas à objetos massivos - efeito chamado atraso de Shapiro. Toda a discussão que faremos se dará na geometria de Schwarzschild, o que torna imprescindível estudarmos as suas órbitas.
6.2 A métrica de Schwarzschild
Antes de descrevermos a Física na geometria de Schwarzschild precisamos escolher um sistema de coordenanas. A escolha adequada de um sistema de coordenadas torna a descrição da Física muito simples.
De nimos as coordenadas de Schwarzschild da seguinte forma: a coordenada global de tempo t que utilizaremos, é o tempo medido por um relógio in nitamente distante da fonte de curvatura; a coordenada radial de Schwarzschild r é tal que uma superfície de r constante tem área 4πr2; as coordenadas angulares θ e φ são as coordenadas angulares
es-féricas usuais. Essas coordenadas se reduzem, assintoticamente as coordenadas do espaço plano, conforme nos afastamos da fonte de curvatura.
Nessas coordenadas, para um corpo de massa M, o elemento de linha se escreve como: ds2 = 1 − 2M r dt2− 1 −2M r −1 dr2 − r2 dθ2+ sin2θ dφ2 . (6.2)
6.2.1 Quantidades conservadas
A métrica de Schwarzschild não depende nem de t nem de φ, o que, de acordo com a seção 5.2.5, nos permite encontrar dois vetores de Killing independentes:
(
ζ0µ = (1, 0, 0, 0).
ζ3µ = (0, 0, 0, 1). (6.3) De acordo com a equação 5.28, teremos duas grandezas conservadas:
( e = ζ0µuµ = g00dσdt = 1 − 2Mr dt dσ l = ζ3µuµ = g33dσdφ = −r2sin2θdφdσ (6.4) onde σ é um parâmetro da trajetória, podendo ser tomado como τ para partículas mas-sivas. Fisicamente, podemos interpretar esses parâmetros como o momento angular e a energia por unidade de massa da partícula teste.
6.3 Movimento de partícula massiva
Todas as órbitas em Schwarzschild se dão em um plano. Para entender o porquê, observemos que num dado instante, podemos escolher um referencial no qual, quando a partícula se encontra em um dado valor de φ = φ0, dφdτ = 0. Como l é conservado e l é
proporcional à dφ
dτ, então l = 0 e dφ
dτ = 0 durante todo o movimento. Logo a trajetória da
partícula se mantém com φ = φ0. Por simplicidade, será mais conveniente orientarmos
as coordenadas de forma que o movimento se dê no plano θ = π
2, e portanto dθ
dτ = 0. Em
Utilizando as quantidades conservadas 6.4, podemos reescrever a equação anterior como: 1 2 dr dτ 2 + l 2 2r2 1 −2M r − M r = e2− 1 2 ≡ , (6.6)
cujas soluções determinam as órbitas na geometria de Schwarzschild, já que θ(τ), φ(τ) e t(τ )já estão determinados pela escolha do plano e pelas quantidades conservadas.
Podemos obter uma equação que determina t(r) juntanto a equação 6.6 com a equação 6.4. dt dr = dt dτ 1 dr dτ = e g00 ±1 q 2 + 2M r − l2 r2g00 . (6.7)
6.4 Movimento da luz
No caso de luz, podemos obter a equação de movimento a partir de 5.29: uµuµ= 0 = g00 dt dλ 2 − g11 dr dλ 2 − g33 dφ dτ 2 . (6.8)
Podemos usar 6.4 para reescrever a equação anterior como: 1 l2 dr dλ 2 + 1 r2 1 − 2M r =e l 2 ≡ 1 b2. (6.9)
Assim como feito para partículas com massa, podemos encontrar a equação que de-termina t(r), utilizando as equações 6.9 e 6.4.
dt dr = dt dλ 1 dr dλ = 1 b 1 − 2M r −1 ±1 q 1 b2 − 1 r2 + 2M r3 . (6.10)
Note que no caso de partículas sem massa, somente a razão e
l tem signi cado físico
independente na determinação das órbitas. Para um dado b, diferentes escolhas de e e l representam apenas uma rede nição do parâmetro a m, que não altera as geodésicas.
7 Atraso de Shapiro
7.1 O problema
A presença de objetos massivos é responsável por um atraso no tempo de propagação de sinais, em relação ao tempo na ausência de curvatura. Esse efeito é chamado atraso de Shapiro, e medidas cuidadosas do mesmo, dentro do sistema solar, constituem um dos testes clássicos da relatividade geral.
Figura 1: Esquema de um experimento para medir o Atraso de Shapiro. Figura retirada de [1].
Sinais que se propagam até um alvo, passando nas proximidades de um objeto mas-sivo como o sol, sofrem um atraso durante o percurso. Medir o atraso, no entanto envolve algumas complicações experimentais. O foco desse trabalho não são os detalhes experi-mentais, mas sim as ideias por trás do fenômeno em questão. No entanto, uma rápida menção aos problemas reais enfrentados na medida do atraso de Shapiro complementa a discussão, e será feita na seção 7.3.
imentos típicos dentro do sistema solar é desprezível para cálculos do atraso de Shapiro [7]. Por simplicidade, consideraremos as trajetórias como aproximadamente retilíneas. Na gura 1, r1 é a distância de máxima aproximação do Sol, r⊕ é a distância da Terra
ao centro Sol e rR é a distância do alvo re etor ao centro Sol. No ponto de máxima
aproximação (r = r1), temos que
dr dλ r1 = 0 ⇒ 1 b2 − 1 r2 1 +2M r3 1 = 0 ⇒ b2 = r 1 1 − 2M r1 −12 . (7.1) Temos então a constante de movimento b2 determinada em termos da distância de máxima
aproximação da órbita do sinal ao Sol, como solução da equação anterior.
Vamos assumir que durante todo o trajeto a posição do Sol e da Terra não mudam, ou seja, que as órbitas se dão no campo estático do Sol, e começam e terminam no mesmo ponto. Mais a frente mostraremos que o erro causado por essa aproximação é desprezível. Consideremos o caso em que o campo gravitacional na região onde o sinal luminoso passa não é muito intenso. A métrica nessa região não é muito diferente do espaço plano, ou seja, 2M
r 1. Considerando termos só até ordem M, nos leva às seguintes
aproximações. 1 g00 = 1 − 2M r −1 ≈ 1 +2M r , 1 b = 1 r1 1 − 2M r1 12 ≈ 1 r1 − M r2 1 . (7.2)
A partir da equação 6.10, temos que: t(A, B) = Z B A dr1 b 1 − 2M r −1 ±1 q 1 b2 − 1 r2 + 2M r3 . (7.3)
Podemos expandir o integrando até ordem M: 1 b 1 − 2M r −1 ≈ 1 r1 − M r2 1 1 + 2Mr ≈ 1 r1 − M r2 1 + 2M r1r + O (M 2) , 1 b2 − 1 r2 + 2M r3 −12 ≈ √r1r r2−r2 1 1 + rM 1r r3−r3 1 r2−r2 1 + O (M2) . (7.4)
Assim, até ordem M, o tempo de viagem de um ponto A até um ponto B é: t(A, B) = 1 −M r1 Z B A dr r pr2 − r2 1 +2M Z B A dr 1 pr2− r2 1 +M√r1 Z B A dr r r1 3 − 1 r r1 2 − 1 32. (7.5) As integrais envolvidas são simples e conhecidas:
R dr√ r r2−r2 1 = pr2− r2 1 , R dr√ 1 r2−r2 1 = ln √ r2−r2 1+r r1 , R du u3−1 (u2−1)32 = q u−1 u+1 + √ u2− 1 . (7.6) Finalmente, temos: t(A, B) = " q r2 − r2 1 + 2M ln p r2− r2 1 + r r1 ! + Mr r − r1 r + r1 # B A (7.7) Note que o primeiro termo é o tempo que a luz leva para atravessar na ausência de curvatura. Os demais termos são correções de primeira ordem em M, que aumentam o tempo de propagação.
Agora que temos toda a estrutura do cálculo preparada, podemos calcular o tempo total de viagem de um pulso de luz que sai da Terra em direção ao alvo re etor e volta para Terra. O tempo total que o pulso leva para ir e voltar é
∆T = 2 (t (r⊕, r1) + t (r1, rR)) . (7.8)
O tempo em excesso, em relação ao tempo na ausência de curvatura é: texc= ∆T − 2 q r2 ⊕− r12− 2 q r2 R− r12, (7.9) texc= 4M " ln p r2 ⊕− r21− r⊕ r2 1 ! + ln p r2 R− r12− rR r2 1 !# +2M r r⊕− r1 r⊕+ r1 +r rR− r1 rR+ r1 . (7.10) O efeito máximo ocorre quando o sinal luminoso passa próximo ao sol. Nesse caso,
rR r2 1 1 − r1 r2 R − rR r2 1 ≈ − r1 2r2 R qr ⊕−r1 r⊕+r1 ≈ 1 q rR−r1 rR+r1 ≈ 1 (7.11) texc= 4M ln 4r⊕rR r2 1 + 1 (7.12) Podemos escrever a mesma expressão em unidades convencionais, reinserindo os fatores de G e c para que a expressão tenha unidade de tempo. Fazendo uma análise dimensional temos: ( [c] = LT−1 , [G] = M−1L3T−2 , (7.13) [caGbM ] = M1−bLa+3bT−a−2b = T ⇒ b = 1, a = −3 , (7.14) texc= 4GM c3 ln 4r⊕rR r2 1 + 1 . (7.15)
O atraso máximo ocorre quando o sinal passa rente ao Sol. Nesse caso, r1 = r . Se
escolhermos Marte como o alvo re etor, Temos os seguintes valores (médios) para o raio da órbita da Terra, de Marte e o raio do Sol:
r = 6, 995 × 105km , r⊕ = 1, 496 × 108km , rR = 2, 279 × 108km , 4GM c3 = 1, 971 × 10 −5s . (7.16)
Substituindo esses valores em 7.15 temos:
texc= 1, 971.10−5× 13, 538 = 267µs. (7.17)
Figura 2: Esquema (wrap gure)
Se tivessemos levado em consideração o movimento da Terra durante o trajeto da luz, que leva em torno de 0, 7h, a Terra teria um deslocamento angular próximo de θ ∼ 2π
12514. A órbita da terra
desvia muito pouco de uma órbita circular, logo em um pequeno deslocamento podemos considerar que r⊕ não muda. Qualquer
Claramente a diferença no tempo em excesso se deve à trajetória que vai do re etor para Terra. Assim, ∆texc= 4GMc3 ln
r0 1
r1
= 1, 2µs. Esse erro é muito menor do que o erro causado pela imprecisão na posição dos planetas.
7.3 Alguns desa os experimentais
Um dos maiores problemas experimentais vem do fato de que os sinais normalmente não re etem de apenas um ponto do alvo, mas de uma área considerável. Isso faz com que partes do sinal voltem com um atraso relativo em relação as outras, da ordem de grandeza do atraso de Shapiro (para experimentos dentro do sistema solar) [2]. Grupos experimen-tais desenvolveram diversas técnicas para lidar com as complicações experimenexperimen-tais. Uma das técnicas utilizadas envolve medir o efeito Doppler de cada parte do sinal que chega, e assim caracterizar de onde foi re etido.
O tempo em excesso para experimentos típicos dentro do sistema solar é da ordem de 10−4s. Logo, se quisermos fazer uma medida com uma precisão da ordem de 10−5s,
precisaremos conhecer o tempo na ausência de gravidade com essa precisão. Isso signi ca conhecer a distância √r⊕− r1+
√
rR− r1, que é tipicamente da ordem de 107 ∼ 108km,
dependendo do posicionamento dos planetas, com uma precisão da ordem de 1 ∼ 10km. A Astronomia não obtém a precisão necessária para obtermos uma precisão razoável do tempo em excesso.
Grupos que fazem medidas do atraso de Shapiro utilizam a própria Relatividade Geral para calcular r⊕(t), rR(t)e r1(t) em termos de alguns parâmetros livres. O cálculo
é feito utilizando parâmetros PPN, que não discutiremos aqui. Em uma dada situação, medidas dos parâmetros PPN indicam o quanto as medidas desviam do valor previsto pela relatividade geral. A grande vantagem da utilização desse formalismo é o fato de que podemos medir o valor desses parâmetros sem que precisemos fazer medidas diretas das posições dos planetas (que requerem uma precisão impraticável).
No caso do atraso de Shapiro, o parâmetro de interesse é chamado de γ. O parâmetro surge como um dos coe cientes da expansão de g00(r) em potências de GMr , e na
relativi-dade geral, vale exatamente 1. Experimentalmente foi obtido que [1]
γ = 1, 000 ± 0, 002, (7.18) que está em grande acordo com a relatividade geral. De fato, esse é um dos testes mais precisos da relatividade geral feitos até hoje.
8 Conclusão
Além da discussão do atraso de Shapiro, nesse trabalho foi feita uma compilação de tópicos de relatividade geral, necessários para o entendimento do fenômeno. Discutimos o princípio de equivalência e como ele molda as equações de movimento em espaços curvos. Brevemente revisamos a representação de alguns elementos básicos da relatividade geral, como o espaço-tempo e a métrica. Sempre fazendo um paralelo entre o movimento de partículas com massa e sem massa, tratamos com detalhe a obtenção das órbitas, suas quantidades conservadas e mostramos que elas são de fato as geodésicas do espaço-tempo. Justamente por ser breve e simples, esse trabalho pode servir como um texto rápido e introdutório às ideias da relatividade geral para qualquer leitor com um domínio básico da relatividade restrita. No entanto, o tamanho do texto limita a discussão à alguns poucos tópicos. Logo, um entendimento completo desse material requer a leitura das referências, sempre que indicadas durante o texto, além de estudos complementares.
De forma geral, o atraso de Shapiro é um excelente tópico para se realizar um primeiro estudo da relatividade geral, pois o entendimento do problema motiva o estudo de muitas das ideias básicas, essenciais para iniciar qualquer estudo mais avançado na área. De certa forma, o tamanho do texto mostra que é possível entender e fazer previsões da relatividade geral mesmo no nível introdutório, evitando tópicos importantes, mas que podem obscurecer um primeiro entendimento, como métodos para solucionar a Equação de Einstein, por exemplo.
Nesse trabalho, deixamos de lado boa parte da discussão que envolve a parte experi-mental da relatividade geral. O leitor interessado em compreender um pouco mais sobre alguns dos experimentos do atraso de Shapiro é indicado às referências [1], [2] e [7].
Referências
[1] James B. Hartle, "Gravity: an Introducton to Einstein's General Relativity", Pearson Education, San Francisco, 2003.
[2] Steven Weinberg, "Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity ", John Willey & Sons, 1972.
[3] Otávio C. Castellani, "Discussão dos Conceitos de Massa Inercial e Massa Gravita-cional", Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 23, número 3 (2001).
[4] B. Bertotti, L. Iess, and P. Tortora, Nature 425 (2003) 374 [5] J.M. Weisberg and J.H. Taylor, arXiv:hep-ph/0407149
[6] S. Schlamminger, K.-Y. Choi, T. A. Wagner, J. H. Gundlach, and E. G. Adelberger, Phys. Rev. Lett. 100, 041101 (2008)
[7] Charles W .Misner, Kip S.Thorne, John A. Wheeler, "Gravitation", W. H. Freeman and Company, San Francisco, 1970.
[8] Robert M. Wald, "General Relativity", The University of Chicago Press, Chicago and London, 1984
[9] Mikio Nakahara , "Geometry, Topology and Physics", 2nd edition, Institute of Physics Publishing, Bristol and Philadelphia, 2003
