Aula 08 Lógica de primeira ordem

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Aula 08

Lógica de primeira

ordem

Prof. Dr. Alexandre da Silva Simões

Inteligência Artificial - Prof. Dr.

Alexandre da Silva Simões 2 set-06

Agentes lógicos

Como agentes podem raciocinar

sobre objetos quando alguns dos

quais estão relacionados a outros

objetos?

Organização

Lógica proposicional (LP) x Lógica de primeira ordem (LPO)

Sintaxe e semântica em lógica de primeira ordem

Modelos, símbolos, representação, termos, sentenças atômicas, sentenças complexas, quantificadores

Utilização da lógica de primeira ordem

Asserções e consultas

Exemplos nos domínios: parentesco, Wumpus

Introdução à Representação do Conhecimento em LPO

Introdução à Inferência em LPO

Revisitando a lógica proposicional

Muito simples para representar o conhecimento de ambientes complexos de uma forma concisa

Falta de capacidade de expressão para descrever um ambiente com muitos objetos.

Exemplo:

Em linguagem natural:

“quadrados adjacentes a poços são arejados” Em lógica proposicional:

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Sintaxe da linguagem natural

Objetos: pessoas, casas, números, Ronald McDonald,

cores, jogos, séculos...

Relações:

Unárias: propriedades de um objeto. Ex: vermelho, redondo,

falso

n-árias: relacionam grupos de objetos. Ex: irmão de, maior que,

interior a, parte de...

Funções: um objeto está relacionado a exatamente um objeto.

Ex: pai de, melhor amigo de, terceiro turno de, uma unidade maior que...

Linguagem da lógica de primeira ordem: elaborada em torno de objetos e relações

LP X LPO

Principal diferença entre lógica proposicional e

lógica de primeira ordem: compromisso

ontológico, isto é, o que cada linguagem

pressupões sobre a natureza da realidade

LP: pressupõe que existem fatos que são válidos ou não-válidos no mundo

LPO: pressupõe que o mundo consiste em objetos com certas relações entre eles que são válidas ou não-válidas. Relação: conjunto de tuplas de objetos inter-relacionados

tupla: coleção de objetos organizados em uma ordem fixa

Modelos em LPO

Modelos de uma linguagem lógica:

estruturas formais que constituem os

mundos possíveis sob consideração

LP: conjuntos de valores-verdade para os

símbolos de proposições

LPO: mais interessantes... Contém objetos...

Modelo em LPO: exemplo

Ricardo Coração de Leão, rei da Inglaterra de 1189 a 1199 e seu irmão mais jovem, o perverso rei João, que governou de 1199 a 1215 Relações unárias (propriedades) Relações binárias (pares de objetos) Funções (objeto relacionado a exatamente um objeto)

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Modelo em LPO: relações

“Ricardo e João são irmãos”

A relação de fraternidade contém duas tuplas:

{ <Ricardo Coração de Leão, Rei João>, <Rei João, Ricardo Coração de Leão> }

“A coroa está na cabeça do rei João”

A relação “na cabeça” contém apenas uma tupla:

<coroa, Rei João>

Perna esquerda: cada pessoa tem uma perna esquerda, então o modelo tem uma função unária “perna esquerda” que inclui os seguintes mapeamentos:

<Ricardo Coração de Leão> → Perna esquerda de Ricardo <Rei João> → Perna esquerda de João

Símbolos

Começam com letras maiúsculas. Podem ser de

três tipos:

Símbolos de constantes: representam objetos Exemplo: Ricardo e João

Símbolos de predicados: representam relações Exemplo: Irmão, NaCabeça, Pessoa

Símbolos de funções: representam funções Exemplo: PernaEsquerda

Interpretação

Especifica quais objetos, relações e funções são referidos pelos símbolos de constantes, predicados e funções

Interpretação pretendida:

Ricardo se refere a Ricardo Coração de Leão João se refere ao perverso rei João

Irmão se refere à relação de fraternidade, ou seja o conjunto de tuplas

de objetos já discutido

NaCabeça se refere à relação “na cabeça” que é válida entre a coroa e

o rei João

Pessoa, Rei e Coroa se referem aos conjuntos de objetos que são

pessoas, reis e coroas

PernaEsquerda se refere à função “perna esquerda”, isso é, ao

mapeamento já discutido

Outras interpretações

Se existem 5 objetos, existem 25 interpretações para os símbolos Ricardo e João

Número de modelos é ilimitado (pode incluir, por exemplo os números reais). Logo, o número de modelos possível é ilimitado

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Sintaxe em LPO

Sentença → SentençaAtômica

| (Sentença Conectivo Sentença) | Quantificador Variável, ...Sentença | ¬Sentença

SentençaAtômica→ Predicado(Termo,...) | Termo=Termo Termo → Função (Termo,...)

| Constante | Variável Conectivo → ⇒ | ∧ | ∨ | ⇔ Quantificador→ ∀ | ∃ Constante→ A | X1| João | ... Variável→ a | x | s | ...

Termo

É uma expressão lógica que se refere a

um objeto. São termos:

Símbolos de constantes

Símbolo de função seguido por uma lista

entre parênteses de termos como

argumentos para o símbolo de função.

Exemplo:

PernaEsquerda(João)

Sentenças atômicas

É formada a partir de um símbolo de predicado seguido por uma lista de termos entre parênteses. Exemplos: Irmão(Ricardo, João)

Casados(Pai(Ricardo), Mãe(João))

Uma sentença atômica é verdadeira em um modelo, sob uma dada interpretação, se a relação referida pelo símbolo de predicado é válida entre os objetos referidos pelos argumentos

Sentenças complexas

Podem ser formadas pelo uso de conectivos

lógicos, da mesma maneira que na lógica

proposicional. Exemplos:

¬

Irmão(PernaEsquerda(Ricardo), João)

Irmão(Ricardo,João)

∧

Irmão(João, Ricardo)

Rei(Ricardo)

∨

Rei(João)

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Quantificadores

Expressam propriedades de coleções inteiras de objetos

Quantificador universal (∀): “Para todo...”

∀x P, onde P é qualquer expressão lógica, afirma que P é verdadeira para todo objeto x. Exemplo:

∀x Rei(x) ⇒ Pessoa(x)

Quantificador existencial (∃): “Para algum...”

∃x P afirma que P é verdadeira para pelo menos um x. Exemplo:

∃x Coroa(x) ∧ NaCabeça(x, João)

Quantificadores aninhados

Usados em sentenças complexas compostas.

Exemplos:

∀x ∀y Irmão(x,y) ⇒ Parente(x,y)

∀x,y Parente(x,y) ⇔ Parente(y,x)

∀x ∃y Ama(x,y)

∃y ∀x Ama(x,y)

Obs: a variável pertence ao quantificador mais

interno que a menciona

Conexões entre ∀ e ∃

Intimamente conectados um ao outro por meio da negação. Exemplos:

∀x ¬Gosta(x,Cenouras) ≡ ¬∃x Gosta(x,Cenouras)

“todo mundo detesta cenouras”≡ “não existe alguém que goste de cenouras”

∀x Gosta(x,Sorvete) ≡ ¬∃x ¬Gosta(x,Sorvete)

“todo mundo gosta de sorvete”≡ “não existe alguém que não goste de sorvete”

Obedecem à regra de de Morgan: ∀x ¬P ≡ ¬∃x P

¬∀x P ≡ ∃x ¬P ∀x P ≡ ¬∃x ¬P

Igualdade

Em LPO, pode-se usar o símbolo de igualdade

para fazer declarações afirmando que dois

termos se referem ao mesmo objeto.

Exemplo 1:

Pai(João) = Henrique

Exemplo 2:

∃x,y Irmão(x,Ricardo) ∧ Irmão(y,Ricardo) ∧

¬(x=y)

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Utilização da LPO

Asserções:

TELL(BC, Rei(João))

TELL(BC, ∀x Rei(x) ⇒ Pessoa(x))

Consultas: dadas as asserções anteriores

ASK(BC, Rei(João))

retorna

verdadeiro

ASK(BC, ∃x Pessoa(x))

retorna

{x/João}

Domínio: parentesco

Objetivo: determinar o parentesco de grupos de pessoas Inclui fatos como:

“Elizabeth é a mãe de Charles”

“Charles é o pai de William”

E regras como:

“a avó de uma pessoa é a mãe do pai de uma pessoa”

Objetos: pessoas

Predicados unários: Masculino e Feminino

Predicados binários (relações de parentesco): Ancestral, Parente, Irmão, ...

Funções: Mãe e Pai (cada pessoa tem apenas um de cada)

Domínio: parentesco

∀m,c Mãe(c)=m ⇔ Feminino(m) ∧ Ancestral(m,c) A mãe de alguém é o ancestral feminino de alguém ∀w,h Marido(h,w) ⇔ Masculino(h) ∧ Cônjuje(h,w)

O marido de alguém é o cônjuje masculino de alguém ∀x Masculino(x) ⇔ ¬Feminino(x)

Masculino e feminino são categorias disjuntas ∀p,c Ancestral(p,c) ⇔ Descendente(c,p)

Ancestral e descendente são relações inversas ∀g,c Avô(g,c) ⇔ ∃p Pai(g,p) ∧ Pai(p,c)

Avô é um pai do pai de alguém

∀x,y Parente(x,y) ⇔ x ≠y ∧ ∃p Ancestral(p,x) ∧ Ancestral(p,y) Um parente é outro descendente dos ancestrais de alguém

Domínio: Wumpus

Asserções na BC:

Armazenar na BC tanto a percepção quanto a hora em que ela ocorreu. Fedor, Brisa e Resplendor são constantes inseridas em uma lista. Exemplo:

Percepção ([Fedor, Brisa, Resplendor, Nenhum, Nenhum], 5)

Ações:

Virar(Direita), Virar(Esquerda), Avançar, Atirar, Agarrar, Soltar

Consulta à BC:

∃a MelhorAção(a,5)

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Domínio: Wumpus

Os dados brutos da percepção implicam certos fatos sobre o estado atual. Exemplos:

∀t,s,g,m,c Percepção([s,Brisa,g,m,c],t) ⇒ Brisa(t) ∀t,s,b,m,c Percepção([s,b,Resplendor,m,c],t) ⇒ Resplendor(t)

Comportamentos simples podem ser implementados por sentenças de implicação quantificadas. Exemplo:

∀t Resplendor(t) ⇒ MelhorAção(Agarrar,t)

Domínio: Wumpus

Adjacência de dois quadrados:

∀x,y,a,b Adjacente([x,y],[a,b]) ⇔ [a,b] ∈

{[x+1,y], [x-1,y], [x,y+1], [x,y-1]}

Se o agente estiver em um quadrado e perceber

uma brisa, então esse quadrado é arejado:

∀s,t Em(Agente,s,t) ∧ Brisa(t) ⇒ Arejado(s)

Domínio: Wumpus

Regras de diagnóstico: conduzem de efeitos

observados a causas ocultas

∀s Arejado(s) ⇒ ∃r Adjacente(r,s) ∧ Poço(r) ∀s ¬Arejado(s) ⇒ ¬∃r Adjacente(r,s) ∧ Poço(r)

Regras causais: refletem a suposta orientação da

causalidade no mundo

∀r Poço(r) ⇒ [∀r Adjacente(r,s) ⇒ Arejado(s)] ∀s [∀r Adjacente(r,s) ⇒ ¬Poço(r)] ⇒ ¬Arejado(s)

Qual a representação correta?

“Se os axiomas descrevem correta e

completamente o modo como o mundo funciona

e o modo como as percepções são produzidas,

então qualquer procedimento completo de

inferência lógica deduzirá a descrição mais forte

possível do estado do mundo, dadas as

percepções disponíveis”

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Construção da BC

1. Identificar a tarefa

2. Agregar conhecimento relevante

3. Definir um vocabulário de predicados, funções e

constantes

4. Codificar o conhecimento geral sobre o domínio

5. Codificar uma descrição da instância específica do problema

6. Formular consultas ao procedimento de inferência e

obter respostas

7. Depurar a base de conhecimento

Inferência

Regras de inferência simples podem ser

aplicadas a sentenças com

quantificadores a fim de obter sentenças

sem quantificadores

Inferência em LPO pode ser realizada

convertendo-se a BC para a LP e

utilizando a inferência proposicional

Inferência para quantificadores

Instanciação Universal. Pode-se

deduzir qualquer sentença α obtida pela substituição de um termo básico g (termo sem variáveis) para a variável ν

Instanciação do Existencial.

Pode-se deduzir qualquer sentença α obtida pela substituição de um símbolo de constante k (que não aparece em outro lugar na base de conhecimento) para a variável ν

∀ν α

SUBST({ν/g}, α)

∃ν α

SUBST({ν/k}, α)

Inferência: exemplos

Instanciação universal Dada a sentença: ∀x Rei(x)∧Guloso(x) ⇒ Perverso(x)

Parece viável deduzir:

Rei(João)∧Guloso(João) ⇒ Perverso(João) Rei(Ricardo)∧Guloso(Ricardo) ⇒ Perverso(Ricardo)

Instanciação do existencial

Dada a sentença:

∃x Coroa(x) ∧ NaCabeça(x, João)

Pode-se deduzir:

Coroa(C1) ∧ NaCabeça(C1, João), desde que C1não apareça

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Inferência

Modus ponens generalizado. Para sentenças

atômicas p

i

, p

i

’ e q, existe uma substituição θ

tal que SUBST(θ,p

_i

’) = SUBST(θ,p

_i

) para todo i.

p1’, p2’, ..., pn’ , (p1∧ p2∧... ∧ pn⇒q) SUBST(θ,q)

M.P.G.: exemplo

Seja a base:

∀x Rei(x) ∧ Guloso(x) ⇒ Perverso(x) Rei(João)

∀y Guloso(y)

Regra geral para a inferência: encontre algum x que seja rei e guloso, e depois deduza que x é perverso

Aplicando M.P.G.:

p₁’ é Rei(João) p₁é Rei(x) p2’ é Guloso(y) p2é Guloso(x) θ é {x/João, y/João} q é Perverso(x)

SUBST(θ,q) é Perverso(João)

Unificação

Processo pelo qual descobrem-se substituições que fazem expressões lógicas diferentes parecerem idênticas

O algoritmo de unificação recebe duas sentenças e retorna um unificador para elas, se existir algum:

UNIFICAR(p,q) = θ onde SUBST(θ,p) = SUBST(θ,q) Exemplos:

UNIFICAR(Conhece(João,x), Conhece(João,Jane)) = {x/Jane} UNIFICAR(Conhece(João,x), Conhece(y,Bill)) = {x/Bill, y/João} UNIFICAR(Conhece(João,x), Conhece(y,Mãe(y))) = {y/João, x/Mãe(João)}