CONSTRUÇÕES DE CURVAS CONTÍNUAS EM UM SISTEMA DE COORDENADAS DISCRETAS*

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128 estudos , Goiânia, v . 41, n. 1, p . 128-139, jan./mar . 2014.

NILTON CEZAR FERREIRA

CONSTRUÇÕES DE CURVAS

CONTÍNUAS EM UM SISTEMA DE

COORDENADAS DISCRETAS*

Resumo: neste trabalho é apresentada uma definição para sistemas de coordenadas discretas no plano e curvas planas contínuas. Foram produzidos alguns resultados matemáticos e métodos para auxiliar na construção de tais curvas. Esses métodos, são modelos matemáticos que, se aplicados de forma correta, combinados a alguns algoritmos, poderão trazer contribuições sig-nificativas aos programadores, que desejam construir curvas em dispositivos de tela gráficas, como computadores, smartphones, tablets, etc.

Palavras-chave: Sistemas. Coordenadas. Discretas. Curvas. Construção. Continuidade.

E

ste trabalho surgiu durante a construção de um software voltado para o estudo de Cálculo Numérico. Na implementação do algoritmo, para construção de gráficos, sugiram algumas dificuldades que de-ram origem a alguns questionamentos, dentre eles, destaco: como eu poderia plotar uma curva contínua na tela do computador, visto que, o computador possui uma quantidade finitas de pontos? quais os pontos discretos eu poderia escolher, em um conjunto contínuo, de forma que, na tela do computador, a curva ainda continuasse contínua? para responder estas e outras perguntas, foi necessário um estudo matemático mais aprofundado e, até mesmo, demon-strar alguns resultados.

Inicialmente, será apresentado a definição clássica de curvas em 2_e

em seguida uma definição de plano discreto, juntamente com alguns concei-tos envolvidos. E, será apresentado também, um sistema de coordenadas para

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CONSTRUÇÕES DE CURVAS CONTÍNUAS EM UM SISTEMA DE COORDENADAS DISCRETAS*

NILTON CEZAR FERREIRA**

Resumo: neste trabalho é apresentada uma definição para sistemas de coordenadas

discretas no plano e curvas planas contínuas. Foram produzidos alguns resultados matemáticos e métodos para auxiliar na construção de tais curvas. Esses métodos, são modelos matemáticos que, se aplicados de forma correta, combinados a alguns algoritmos, poderão trazer contribuições significativas aos programadores, que desejam construir curvas em dispositivos de tela gráficas, como computadores, smartphones, tablets, etc.

Palavras-chave: sistemas, coordenadas, discretas, curvas, construção, continuidade. INTRODUÇÃO

Este trabalho surgiu durante a construção de um software voltado para o estudo de

Cálculo Numérico. Na implementação do algoritmo, para construção de gráficos,

sugiram algumas dificuldades que deram origem a alguns questionamentos, dentre eles, destaco: como eu poderia plotar uma curva contínua na tela do computador, visto que, o computador possui uma quantidade finitas de pontos? quais os pontos discretos eu poderia escolher, em um conjunto contínuo, de forma que, na tela do computador, a curva ainda continuasse contínua? para responder estas e outras perguntas, foi necessário um estudo matemático mais aprofundado e, até mesmo, demonstrar alguns resultados.

Inicialmente, será apresentado a definição clássica de curvas em !2 , e em seguida uma definição de plano discreto, juntamente com alguns conceitos envolvidos. E, será apresentado também, um sistema de coordenadas para

este plano e as aplicações que possibilitam transformar um ponto de !2_{em um}

ponto discreto, ilustrado através de alguns exemplos; finalmente, será dada uma definição de curva e alguns resultados, necessários para a representação dessas curvas, como sua continuidade em um plano discreto. Nenhum algoritmo será apresentado, porém, será mostrado três métodos que podem auxiliar na geração de pontos, parte importante, para a criação de algoritmos capazes de construir curvas de forma eficiente.

CURVAS EM IR2

A definição 1, a seguir, apresenta o conceito de curva no plano. Não faremos um tratamento detalhado desse conceito, porém, quem tiver interesse em se aprofundar no assunto sugiro que estude (Carmo, 1971) ou (Tenenblat, 1990).

Definição 1

Uma curva plana é qualquer função _{C :[a,b] → !}2_{, isto é, uma lei que associa cada} t ∈[a,b] a um único ponto c(t) = (x(t), y(t)) ∈!2.

Exemplo 1

São exemplos de curvas planas:

a) _{c(t) = (t,t}2_{), −1≤ t ≤ 1}

b) k(s) = (sen(s),cos(s)), 0 ≤ s ≤ 2π c) s(t) = (t,ln(t)), 0 < t ≤ 5,13

A representação gráfica de uma curva plana, é feita, destacando-se os pontos da curva no plano. Para isso, é necessário o uso de um sistema de coordenadas, em geral, o sistema de coordenadas cartesiana ou polar. A seguir, mostraremos a representação geométricas das curvas do Exemplo 1, no sistema de coordenadas cartesiana, que será o sistema usado nesse trabalho.

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130 estudos , Goiânia, v . 41, n. 1, p . 128-139, jan./mar . 2014. Figura 1 PLANO DISCRETO Definição 2

Chamaremos de plano discreto o conjunto ℕ!_{= {(m,n)│m, n ∈ ℕ }.}

Observação 1: O plano discreto também pode ser definido como o conjunto de pares de qualquer conjunto que possui uma bijeção com ℕ!_.

Definição 3

Uma curva no plano discreto é qualquer função C: [a, b] →ℕ!_{, isto é, qualquer lei}

que associa cada 𝑡𝑡 ∈ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 a um único ponto C(t) = (x(t), y(t)) do plano discreto.

Observe que uma curva no plano discreto é simplesmente uma curva em !2_{, em}

que, a sua imagem está em ℕ!_{e, na verdade, é uma restrição de ℝ}!_{. Logo, a}

representação geométrica no plano discreto é análoga a do ℝ!_.

Definição 4

Seja C: [a, b] →ℕ!_{uma curva no espaço discreto ℕ}!_{. Dizemos que C é uma curva}

contínua em [a, b] se, para cada 𝑡𝑡! ∈ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 existir 𝑡𝑡 ∈ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 tal que C(t) = (x(𝑡𝑡!) + i,

y(𝑡𝑡!) + j ), tal que | i + j | ≤ 2, com i e j, ambos, não nulos.

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131 estudos , Goiânia, v . 41, n. 1, p . 128-139, jan./mar . 2014. Figura 2

Cada retângulo da Figura 2 representa um ponto do plano discreto ℕ!_{. O retângulo}

preto corresponde ao ponto (x(𝑡𝑡!), y(𝑡𝑡!) ), enquanto que, a, b, c, d, e f, g, h

correspondem aos pontos C(t) = (x(𝑡𝑡!) + i, y(𝑡𝑡!) + j ) para | i + j | ≤ 2, isto é, a, b, c, d, e, f, g, h correspondem, respectivamente a: (x(𝑡𝑡!), y(𝑡𝑡!) + 1), (x(𝑡𝑡!) + 1, y(𝑡𝑡!) + 1

), (x(𝑡𝑡!) + 1, y(𝑡𝑡!)), (x(𝑡𝑡!) + 1, y(𝑡𝑡!) - 1 ), (x(𝑡𝑡!) , y(𝑡𝑡!) - 1 ), (x(𝑡𝑡!) - 1, y(𝑡𝑡!) - 1 ),

(x(𝑡𝑡!) - 1, y(𝑡𝑡!)), (x(𝑡𝑡!) - 1, y(𝑡𝑡!) + 1 ).

Definição 5

Seja x um número inteiro, denominamos menor inteiro de x, e denotamos por 𝑥𝑥 , o maior número inteiro menor que x.

É consequência imediata da Definição 5 que, se 𝑎𝑎 ∈ ℤ, ∀ 𝜆𝜆 ∈ ℝ, tal que,

a ≤λ≤a +1, temos 𝜆𝜆 = a, ou seja, os infinitos valores reais de 𝜆𝜆 produz um único

valor inteiro, por meios de .

Teorema 1

Sejam a,b∈! , com b > a_{, o intervalo [a,b] possui exatamente N números inteiros,}

onde:

𝑁𝑁 = _{𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 + 1, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 ∈ ℤ}𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 , 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑎𝑎 ∉ ℤ Demonstração

Se 𝑎𝑎 ∉ ℤ ⇒ 𝑎𝑎 + 1 é o primeiro inteiro no intervalo [a, b] e o último é 𝑏𝑏 . Assim, os números inteiros do intervalo [a, b] são: 𝑎𝑎 + 1, 𝑎𝑎 + 2, ..., 𝑏𝑏 , cuja a quantidade dá exatamente 𝑏𝑏 - ( 𝑎𝑎 + 1) + 1 = 𝑏𝑏 − 𝑎𝑎 .

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Se 𝑎𝑎 ∈ ℤ ⇒ a = 𝑎𝑎 é o primeiro inteiro do intervalo [a, b], isto é, apenas um inteiro a mais que no caso anterior. ■

Teorema 2

Seja uma função contínua. Se , então existem

, tal que com .

Demonstração

Como f é contínua em [a,b] (fechado e limitado), logo f possui máximo e mínimo absoluto em [a,b] – mais detalhes sobre máximos e mínimos pode ser visto em mais em (Thomas, 2010). Suponha que o máximo e o mínimo de f sejam M e m,

respectivamente. Assim, _{⇒ m−1≤ f (t)}_⎢⎣ _{⎥⎦ ≤ M ⇒}

A ⊂ [m −1, M] . Como os elementos de A são inteiros, pelo Teorema 1, o intervalo

possui uma quantidade finita N, de inteiros. Como A⊂ [m−1, M], o número de elementos de A não é maior que o número de inteiros de [m−1, M], ou seja, n ≤ N .

SISTEMA DE COORDENADAS NO PLANO DISCRETO

Como já vimos anteriormente, o

plano discreto, é uma restrição do plano cartesiano usual, isto é, os pontos do plano cartesiano usual, que possuem coordenadas inteiras. Um sistema de coordenadas neste plano é análogo ao do plano usual, isto é, o plano com um par de retas particulares.

As curvas no plano discreto serão representadas, geometricamente, no retângulo

{0,1,...,n}×{0,1,2,...,m}, m,n ≥ 0. Esse retângulo será denominado retângulo discreto e denotado por _!_m×n2 _{, como é ilustrado na Figura 3.}

f :[a,b] → ! A = { f (t)⎢⎣ ⎥⎦|a ≤ t ≤ b}

t1,t2,...,tN ∈[a,b] A = { f (t⎢⎣ 1)⎥⎦, f (t⎢⎣ 2)⎥⎦,..., f (t⎢⎣ n)⎥⎦} n ≤ N

m ≤ f (t) ≤ M, ∀t ∈[a,b] [m −1, M]

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133 estudos , Goiânia, v . 41, n. 1, p . 128-139, jan./mar . 2014. Figura 3

Observe que o ponto (0,0) localiza-se no canto superior esquerdo, e as coordenadas de abscissas (horizontais) e ordenadas (verticais) crescem à direita e para baixo, respectivamente.

Precisaremos, agora, relacionar cada ponto _{(x, y) ∈!}2_{a um ponto}

(r,s) ∈!m×n2 , para isso será preciso introduzir uma escala, isto é, definir quantos

pontos de _!_m×n2 _{corresponderá a uma unidade do sistema de coordenadas usual.}

Considerando essa escala como o inteiro k > 0, temos: i) Cada _{(x, y) ∈!}2_{, que pode ser representado em}

!m×n2 , deve pertencer ao retângulo

− n2k, n2k ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥× − m2k, m2k ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥;

ii) Os eixo x e y do sistema de coordenadas cartesianas usuais, restringem-se aos

segmentos EF e GH, sendo E = n2 ⎢ ⎣⎢ ⎥ ⎦⎥,0 ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟, F = n2 ⎢ ⎣⎢ ⎥ ⎦⎥,m ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟, G = 0, m2 ⎢ ⎣⎢ ⎥ ⎦⎥ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ e H = n, m2 ⎢ ⎣⎢ ⎥ ⎦⎥ ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟; (0,0) _(n,0) (n,m) (0,m)

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iii) Cada _{(x, y) ∈!}2_{corresponderá ao ponto}

(r,s) ∈!m×n2 , onde: r = k ⋅ x + n2 ⎢ ⎣⎢ ⎥ ⎦⎥ e s = −k ⋅ y + m2 ⎢ ⎣⎢ ⎥

⎦⎥. Note que essa correspondência não é injetora, ou seja, cada ponto (r,s) ∈!m×n2 está associado a infinitos pontos (x, y) ∈!2.

No exemplo 2, será feita a conversão de alguns pontos de !2_{em pontos de}

!m×n2 , e, para cada caso, será feita a sua representação geométrica.

Exemplo 2

Considere a tela com escala k = 10. Como n = 205 e m = 105, os pontos de

que possui uma representação nessa tela devem pertencer ao retângulo . Em cada item iremos determinar o ponto de tela,

correspondente ao ponto . a) para (x, y) = (1, 1) e (r, s) = (112, 42) b) para (x, y) = e (r, s) = (82, 49) c) para (x, y) = e (r, s) = (85, 21) !205×105 !2 − 41 4 , 414 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥× − 214 , 214 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ (x, y) ∈ − 414 , 414 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥× − 214 , 214 ⎡ ⎣⎢ ⎤ ⎦⎥ r = 10⋅1+ 2052 ⎢ ⎣⎢ ⎥ ⎦⎥= 112 s = −10⋅1+ 1052 ⎢ ⎣⎢ ⎥ ⎦⎥= 42 ∴ (−2,1 3) r = 10⋅(−2) + 2052 ⎢ ⎣⎢ ⎥ ⎦⎥= 82 s = −10⋅ 13+ 1052 ⎢ ⎣⎢ ⎥ ⎦⎥= 49 ∴ (− 3,π ) r = 10⋅(− 3) + 2052 ⎢ ⎣⎢ ⎥ ⎦⎥= 85 s = −10⋅π + 1052 ⎢ ⎣⎢ ⎥ ⎦⎥= 21 ∴

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Representação geométrica de cada ponto apresentado no Exemplo 2: a)

b)

c)

Observe que a posição de um ponto (r,s) depende de (x, y) e da escala k. Mudando o ponto (x, y)podemos ter um novo ponto (r,s) ou não, e variando o valor de k teremos uma aproximação ou um distanciamento, isto é, um zoom + ou zoom -.

42 112 (102,52) 1 1 (1,1) ≡ (112,42) 49 – 2 1/3 (−2,1 3) ≡ (82,49) 21 85 − 3 π (− 3,π ) ≡ (85,21)

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CONTINUIDADE NO PLANO DISCRETO

Considere _{C(t) = (r(t), s(t)), i = 1,2,..., p} uma curva na tela determinada por

uma curva . Se x(t) e y(t) são contínuas em [a,b], então

e também são, para qualquer inteiro k. Logo, pelo Teorema 2, existem

t1,t2,...,tp,t1,t2,...,tp∈[a,b], tais que:

{r(t) | a ≤ t ≤ b}= {r(ti) | i = 1,2,..., p} e {s(t)|a ≤ t ≤ b}={s(ti) | i = 1,2,..., p}. Em

outras palavras, podemos gerar a curva através de uma variação finita para t,

em x(t) e y(t), ou seja, C(t) = (r(ti),s(ti)), i = 1,2,..., p .

Considere e as variações de e , respectivamente, tal que uma das três condições, descritas a seguir, ocorra:

i) ii) iii)

Observe que, a ocorrência de um dos três casos indica apenas um deslocamento do ponto (r(t),s(t)) na tela, na direção horizontal, vertical ou ambos. Assim, a escolha adequada de e produzirá a construção contínua da curva na tela. Como já vimos anteriormente, uma infinidade de valores para e poderá produzir o mesmo ponto de tela, logo seria interessante escolher, adequadamente, seus valores que não produza pontos repetidos, diminuindo, o que é chamado de tempo de

máquina ou custo computacional. O interessante seria, poder determinar os valores

de e , que produzem únicos pontos de tela de forma contínua, porém, isso não é possível para toda função pelo fato da quantidade de e serem a mesma e, ainda,

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seria necessário resolver equações envolvendo menor inteiro. Uma forma de produzir

vi e vj é, acrescentar uma fração do tipo 1

λ, com λ inteiro e positivo. Ou seja,

v1=a e

vi+1=vi+ 1λ com i = 1,2,..., λ(b− a) . De maneira análoga temos v1=a e vi+1=vi+ 1λ com i = 1, 2,..., λ(b − a).

Pensando no plano discreto como uma tela de um computador, tablet ou outro dispositivo com tela gráfica, a escolha de λ (e claro, de forma análoga,λ ) poderá ser feita por:

i) Todos os pontos do plano discreto

A tela (ou o retângulo discreto) possui exatamente m× n pontos. Assim, o número de pontos de uma curva será inferior a m× n. Para que a quantidade de valores de t

seja m× n, devemos ter λ b− a⎢⎣ ⎥⎦= m× n ⇒λ= m × n

b − a

⎢⎣ ⎥⎦. É claro que, com essa

escolha, teremos pontos repetidos mas, considerando as telas dos equipamentos usuais e sua velocidade de processamento, não teremos um grande custo computacional. Esse custo poderá ser grande em produção de mídias com movimentos ininterruptos de curvas, por um longo tempo;

ii) Soma dos comprimentos de abscissa e ordenada

Estima-se o comprimento da curva com a soma da suas distâncias horizontal

x(tmax) − x(tmin) e vertical y(tmax) − y(tmin), onde tmax e tmin são os, respectivos, pontos

de máximos e mínimos das funções x e y – observe que _t_max e _t_minpodem ser

diferentes para x e y. respectivamente. Assim, _{λ b − a}_⎢⎣ _{⎥⎦ =}

x(t⎢⎣ max) − x(tmin)⎥⎦ + y(t⎢⎣ max) − y(tmin)⎥⎦ ⇒

λ = ⎢⎣x(tmax) − x(tmin)⎥⎦ + y(t⎢⎣ max) − y(tmin)⎥⎦ b − a

⎢⎣ ⎥⎦ .

Essa escolha diminui o tempo computacional, mas as curvas que têm crescimento muito rápido, poderá ficar comprometida na representação da sua continuidade, principalmente, para valores pequenos de k.

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iii) comprimento de curva

usando o comprimento da curva C para determinar o valor de λ . O comprimento de

C é dado pela integral curvilínea ds

C

∫

, onde s é uma reparametrização de C pelo

comprimento de arco, ou seja,

ds = dx dt ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 + dy dt ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2

dt. Esse tipo de integral pode ser

visto em (Stewart, 2011) e (Thomas, 2009). Assim, λ_⎢⎣b − a_{⎥⎦ = ds}

C

∫

⇒λ = ds C

∫

b − a ⎢⎣ ⎥⎦.

Essa escolha, apesar de ter um custo computacional menor que os anteriores, tem boa eficiência, apesar de não ser ideal, isto é, também poderá ter problema, dependendo do comportamento das funções x(t) e y(t). Um outro fator ponderante é a exigência da diferenciabilidade das curvas x(t) e y(t), e isso poderá limitar seu uso.

CONCLUSÃO

Este trabalho mostrou, a dificuldade de se construir curvas contínuas em um sistema discreto e apresentou métodos que pode diminuir essa dificuldade. Apesar de não resolver de forma definitiva este problema, poderá contribuir de forma significativa, aos programadores, se combinados com: métodos que avalie, antecipadamente, as funções que compõem a curva; a análise e correção da curva, depois de construída; poderá produzir um algoritmo completamente eficaz, e, aplicável a construção de qualquer tipo de curva. Esperamos também, além de dar uma contribuição à prática de pessoas que necessitam trabalhar com curvas em um sistema discreto, estimular novos pesquisadores a produzir métodos matemáticos ainda mais eficientes. Para curvas no espaço, os métodos são os mesmo, visto que, os dispositivos que representam curvas são planos. Eles criam um posicionamento adequado capaz de dar uma ideia de terceira dimensão, em geral, feito por meio de uma transformação linear, ou não.

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* Recebido em: 03.02.2014. Aprovado em: 27.02.2014. NILTON CEZAR FERREIRA

Doutorando em Educação Matemática na Unesp - Rio Claro. Professor de Matemática no IFG. Membro do Núcleo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática do IFG (NEPEM\IFG). E-mail: niltonce-zar@gmail.com

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CARMO, M. P. Elementos de geometria diferencial. Brasilia: Universidade de Brasilia, 1971. 205p.

ELON, L. L. Coordenadas no plano: com as soluções dos exercícios. Rio de Janeiro: SBM, 2002. 329p (professor de matemática).

JONAS, G.; LUIZ, V. Fundamentos de computação gráfica. Rio de Janeiro: IMPA, 2003. 585p. (computação e matemática)

STEWART, J. Cálculo. 6a_{edição. São Paulo: Cengage Learning, 2011. v1 e v.2.}

TENENBLAT, K. Introdução à Geometria Diferencial. Brasilia: Universidade de Brasilia, 1998. 278p.

THOMAS, G. Cálculo. 11a edição. São Paulo: Pearson, 2010. v1 e v2.

WAGNER, E. Construções geométricas. 6a_{edição. Rio de Janeiro: SBM, 2007.}

110p. (professor de matemática).

*Recebido em: .Aprovado em: .

** Doutorando em Educação Matemática (UNESP - Rio Claro). Professor de

Matemática do IFG e membro do Núcleo de Estudos e Pesquisas em Educação