THIAGO JOSÉ SALES GONÇALVES DE SOUZA
ESTRELAS ESTRANHAS
Niterói 2014
THIAGO JOSÉ SALES GONÇALVES DE SOUZA
ESTRELAS ESTRANHAS
Monografia apresentada à Universidade Federal Fluminense como exigência para a obtenção do título de Bacharel em Física
Orientador: Doutor Rodrigo Picanço Negreiros
Niterói 2014
THIAGO JOSÉ SALES GONÇALVES DE SOUZA
ESTRELAS ESTRANHAS
Monografia apresentada à Universidade Federal Fluminense como exigência para a obtenção do título de Bacharel em Física
Aprovado em ___/___/___
BANCA EXAMINADORA
___________________________________________________ Prof. Djalma Rosa Mendes Junior
___________________________________________________ Prof. Roberto Linares
___________________________________________________ Prof. Rodrigo Picanço Negreiros
Dedico este trabalho a Deus pela graça a mim concedida de fazer o curso de Física. Igualmente aos povos do Brasil, por proporcionar a mim a formação em tal faculdade.
AGRADECIMENTOS
Agradeço aos meus pais e ao meu irmão, por todo o apoio ao longo do curso, bem como a todos os meus parentes e amigos que colaboraram e acreditaram na minha formação. De igual modo, agradeço a meu orientador assim como a todos os meus professores, desde os de meu ensino básico até os do superior, por todo o conhecimento compartilhado, tempo dedicado e grande incentivo a um aprofundamento sempre maior do conhecimento.
“A nossa busca por verdades mais profundas continua.”
RESUMO
Preliminarmente, introduz-se o conceito de estrelas compactas, sua origem e suas principais características. Analisam-se, igualmente, as principais características dos objetos astronômicos conhecidos como pulsares, além de se assumi-los, justificando, como sendo um dos tipos desses objetos compactos, a saber, as estrelas de nêutrons. O objetivo principal deste trabalho, porém, é expor e salvaguardar a possibilidade de que certos, ou até mesmo todos, os pulsares são estrelas de quarks, conhecidas também por estrelas estranhas. Como essas estrelas compactas são bastante densas, elas devem ser descritas por meio da Teoria Geral da Relatividade de Albert Einstein. Isto posto, estuda-se o problema de estrelas relativísticas esfericamente simétricas sem rotação; bem como o problema de estrelas relativísticas com rotação uniforme. Apresentam-se, também, algumas qualidades e a natureza da matéria de quarks, assim como se coloca a hipótese da matéria estranha. Por fim comenta-se sobre o argumento, às vezes encontrado na literatura, de que os pulsares não podem ser manifestações de estrelas estranhas, pois, não seriam capazes de produzir fenômenos observados, como, por exemplo, os glicthes, uma vez que essas estrelas não possuiriam estrutura interna. Mostram-se, no entanto, que elas podem sim possuir um perfil estrutural e a real possibilidade de poderem sofrer os tais glitches.
Palavras-chave: Estrelas Compactas. Pulsares. Estrelas de Nêutrons. Estrelas Estranhas. Matéria Estranha.
ABSTRACT
Preliminarily, it is introduced the concept of compact stars, its origin and its characteristics. It is analyzed, equally, the main characteristics of the astronomical objects known as pulsars, besides they be assumed, justifying, as being a kind of those compact objects, namely, neutron stars. The main purpose of this work, however, is to expose and safeguard the possibility of some, or even all, the pulsars be quark stars, also known as strange stars. Because those stars are very dense, they should be described by the Albert Einstein’s Theory of General Relativity. That said, it is studied the problem of the relativistic spherically symmetric stars; as well as the problem of relativistic stars with uniform rotation. It is also presented some qualities and the nature of the quark matter, even as it is put the strange matter hypothesis. Finally, it is commented the argument, found sometimes in the literature, in which the pulsars may not be the manifestation of strange stars, cause they would not be able to generate observed phenomena like the glitches, since those stars would not possess internal structure. Nevertheless, it is shown that certainly they can have a structural profile and the real possibility of they can glitch.
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO... 10
1.1 Estrelas compactas... 10
1.1.1 O fim de estrelas ordinárias e o nascimento de estrelas compactas... 10
1.1.2 Algumas características das estrelas de nêutrons... 12
1.2 Pulsares como manifestação de estrelas de quarks... 15
2 ESTRELAS RELATIVÍSTICAS SEM ROTAÇÃO... 16
2.1 Métrica e tensor de Riemann para uma estrela estática esférica... 16
2.2 Solução de Schwarzschild para região externa à estrela... 18
2.3 O tensor energia-momento... 19
2.4 As equações de estrutura para uma estrela estática e esfericamente simétrica... 21
3 PULSARES... 22
3.1 Descobertas e características... 22
3.2 Pulsares e estrelas de nêutrons... 23
3.3 Breaking index... 27
4 ESTRELAS RELATIVÍSTICAS COM ROTAÇÃO... 31
4.1 Arrasto dos referenciais inerciais locais... 31
4.2 Comportamento da frequência dos referenciais inerciais para uma estrela pouco rotante... 35
4.3 Momento de inércia... 37
4.4 Velocidade angular de Kepler... 40
4.5 Efeitos do arrasto dos referenciais inércias sobre a frequência de Kepler... 42
4.6 Solução perturbativa de Hartle-Thorne... 44
4.7 Equações de estado... 46
4.8 Efeitos da rotação sobre a estrutura da estrela... 48
5 ESTRELAS ESTRANHAS... 51
5.1 Modelo de confinamento de quarks... 51
5.2 Equações de estado da matéria de quarks pelo modelo de bolsa... 52
5.2.1 Limite de temperatura zero... 54
5.2.2 Limite de massa nula... 56
5.4 Estrutura das estrelas estranhas... 59
5.4.1 Estrelas estranhas com crosta... 61
5.4.2 Glitches... 63
6 CONCLUSÃO... 65
1 INTRODUÇÃO
1.1 Estrelas compactas
1.1.1 O fim de estrelas ordinárias e o nascimento de estrelas compactas
Sabe-se que a vida de uma estrela consiste da sintetização de núcleos atômicos específicos a partir da fusão de núcleos mais leves. O processo inicia-se em seu centro com a fusão entre átomos de hidrogênio gerando hélio. A evolução desse processo dependerá, no entanto, da massa da estrela.
A fusão do hidrogênio garante a estabilidade da estrela durante os primeiros bilhões de anos, com a pressão de radiação proveniente de tal processo contrabalanceando a atração gravitacional. Sendo assim, de acordo com Dalsgaard (2008, p.167), “quando o hidrogênio é esgotado junto ao centro, a estrela é deixada com um núcleo consistindo de hélio e uma pequena quantidade de elementos pesados”.
Inicialmente, a temperatura do núcleo da estrela não será o suficiente para iniciar um novo ciclo de fusão a partir do hélio. Sem mais fusão o núcleo estelar não pode se sustentar e termina por se contrair até ser novamente estabilizado apenas pela pressão de degenerescência dos elétrons. Ainda conforme Dalsgaard (2008, p.167), “o entorno do núcleo é uma região contendo hidrogênio onde a temperatura é alta o suficiente para a queima de hidrogênio prosseguir”. Há, em seguida, o aumento da temperatura do plasma de hidrogênio nas regiões próximas à superfície da estrela. Tais regiões compõem o que é chamado de envelope. Com a temperatura cada vez maior, o envelope se expande, aumentando, pois, o volume da estrela a qual se torna uma gigante vermelha.
Enquanto isso, o núcleo recebe mais hélio da camada acima (em que há a queima de hidrogênio) e, devido ao aumento da própria gravidade, continua a se contrair e a elevar sua temperatura até o ponto em que esta seja o suficiente para iniciar a fusão em que três átomos de hélio reagem a fim de criar um átomo de carbono. (DALSGAARD, 2008)
Em seguida o próprio carbono se funde a mais outro átomo de hélio gerando oxigênio. Ocorre que a ignição destes últimos fenômenos pode começar de modo explosivo, gerando possivelmente pulsações instáveis no envelope, expelindo enfim grande parte do material estelar para o espaço sideral em forma de nebulosa planetária. (GLENDENNING, 2000)
Após a perda de seu envelope o que resta à estrela é um núcleo formado por hélio, carbono, oxigênio e até mesmo magnésio. Sem grande parte do seu antigo volume, a massa e a temperatura da estrela tornam-se insuficientes para manter a fusão nuclear de modo a garantir o equilíbrio entre a pressão de radiação e a atração gravitacional. O núcleo entra em colapso até o ponto em que não mais a pressão de radiação, e sim a pressão de degenerescência dos elétrons contrabalanceia o puxão da gravidade. Seu raio reduz-se a poucos milhares de quilômetros e consequentemente sua densidade se eleva a um valor 106 maior que a densidade típica da Terra. O corpo celeste resultante é o que se chama de Anã Branca (AB). Tal nome se deve ao fato de que o colapso eleva a temperatura da futura estrela compacta à ordem da centena de milhares de kelvins, fazendo a estrela irradiar de modo a aparentar uma cor branca. Sem mais combustível para queimar, a difusão de fótons até a superfície e sua irradiação irá continua e ininterruptamente resfriar a estrela compacta durante os próximos 1010 anos morrendo finalmente como uma Anã Negra. (GLENDENNING, 2000)
Além das anãs brancas, existe outro tipo de estrela compacta, as Estrelas de Nêutrons (EN). Estas também têm origem no final da vida de estrelas ordinárias. A diferença é que as estrelas progenitoras das EN possuem massa maior que as progenitoras das AB, sendo acima de oito massas solares.
No caso de estrelas mais massivas a cadeia de fusão nuclear atinge átomos mais pesados, isto é, após o núcleo queimar carbono em oxigênio, inicia a fusão deste oxigênio em átomos de silício e assim por diante. Ademais, não somente o núcleo da estrela sintetizará elementos, mas também as regiões acima ao redor do mesmo terão temperatura suficiente para fundir os elementos. A estrela se expande e se torna uma supergigante vermelha. “O resultado é uma estrutura tipo cebola de camadas de diferentes composições químicas, os elementos mais pesados estando mais próximos ao centro, possivelmente separados por invólucros fontes de fusão.” (DALSGAARD, 2008, p.193)
O núcleo prossegue em sua missão de formar elementos mais pesados até começar a formar ferro do centro em diante. Esse novo núcleo composto de ferro não possui mais condições de se sustentar por meio da fusão termonuclear, devido ser energeticamente mais favorável a átomos mais pesados a fissão nuclear. Ele irá contrair-se até ser equilibrado novamente pela pressão de degenerescência dos elétrons não-relativísticos.
À proporção que as camadas citadas acima produzem o elemento mais pesado possível, mais ferro é acrescentado ao núcleo, aumentando sua massa e consequentemente sua densidade. A partir de certo valor dessa mesma densidade, os elétrons tornam-se relativísticos
e sua pressão agora cresce mais lentamente que sua densidade. Além disso, a energia cinética dos elétrons torna energeticamente mais favorável a ocorrência da captura eletrônica por parte dos átomos de ferro. Com isto a pressão de degenerescência cai até o limite em que o núcleo novamente não suporta mais a atração gravitacional e volta a contrair-se. (GLENDENNING, 2000)
A captura eletrônica continua de modo mais acelerado, fenômeno também conhecido como neutronização. O que se sucede terminará, por meio de um processo termodinâmico complexo, numa explosão de supernova. Tal evento cataclísmico lança a uma velocidade da ordem de milhares de quilômetros por segundo um enorme volume da estrela sobrando apenas uma parte do núcleo composto basicamente de nêutrons, prótons, léptons, até mesmo híperons e quiçá uma região de quarks desconfinados. Tal núcleo remanescente é extremamente quente, da ordem de dezenas de megaeletronvolts com uma densidade colossal de alguns 1012𝑔/𝑐𝑚3, sustentado contra a intensa atração gravitacional apenas pela pressão de
degenerescência dos bárions e da repulsão entre estes advindas da interação nuclear.
Num período de segundos este corpo altamente compacto passa por um processo de resfriamento devido à fuga de uma grande quantidade de neutrinos que carregam consigo para o espaço a energia contida inicialmente nesse corpo remanescente. A temperatura chega a ordem de megaeletronvolts (no sistema de unidades onde a constante de Boltzmann é igual a um) ou menos, por volta dos kiloeletronvolts. Finalmente:
Nasce uma estrela de nêutrons de raio aproximado de 10𝑘𝑚 e densidade média 1014
vezes maior que a da Terra. A estrela continua a se resfriar por milhões de anos por lenta difusão de fótons para superfície e sua radiação para o espaço – além da emissão de neutrinos de seu interior. (GLENDENNING, 2000, p.67)
É possível também que o remanescente da supernova possua tanta massa (~20𝑀⊙) de
modo que a atração gravitacional é tão intensa ao ponto de a pressão de degenerescência dos nêutrons e a repulsão nuclear serem incapazes de se sobreporem ao mesmo puxão da gravidade. “Neste caso o colapso continua até que um buraco negro é formado.” (DALSGAARD, 2008, p.214).
1.1.2 Algumas características das estrelas de nêutrons
Como se viu acima, as estrelas de nêutrons nascem do fim de estrelas ordinárias com massas ligeiramente maiores que oito massas solares uns instantes após elas explodirem como supernova. Uma parte consideravelmente grande da massa da estrela progenitora é atirada no espaço tornando-se uma nebulosa, restando à estrela de nêutrons uma massa aproximada de
pelo menos 1,4 – 2,0𝑀⊙. Tem-se também que o raio da estrela de nêutrons remanescente, depois do colapso do núcleo da estrela progenitora, chega a valores de aproximadamente dez quilômetros. Pode-se assim estimar uma densidade média:
𝜌̅ ~4𝜋 1,4𝑀⊙ 3 ⋅ (10𝑘𝑚)3
≅ 7 ⋅ 1014𝑔/𝑐𝑚3
(1.1)
Segundo Schmitt (2010, p.3), com uma densidade desse porte “apenas perdendo para buracos negros, estrelas de nêutrons são os segundos mais densos objetos na natureza”. Dessa forma, um aspecto importantíssimo sobre as estrelas de nêutrons é que elas são intrinsecamente relativísticas, o raio de Schwarzschild para tal objeto é uma parte considerável do raio da estrela. Logo, é indispensável o uso da Teoria da Relatividade Geral na descrição de tais corpos. Um primeiro estudo, considerando estrelas relativísticas sem rotação, será feita no capítulo 2, enquanto que os efeitos da rotação de uma estrela como essa será visto no capítulo 4.
Comparando (1.1) com a densidade ordinária de núcleos atômicos percebe-se que a densidade média das estrelas de nêutrons é da mesma ordem de grandeza da densidade do estado fundamental desses núcleos, a saber, 𝜌0 = 2,5 ⋅ 1014𝑔/𝑐𝑚3. Uma boa evidência de que o estado da matéria que constitui as estrelas de nêutrons deva ser semelhante àquela que constitui os núcleos atômicos, ou seja, a matéria constitutiva dessas estrelas compactas se trata duma mistura de nêutrons, prótons, mais os elétrons, uma vez que a estrela deve ser neutra para que a força de Coulomb não expila partículas de mesma carga. “Portanto, os nêutrons serão a maioria da população – por isso o nome estrela de ‘nêutrons’.” (GLENDENNING, 2000, p.74)
Tradicionalmente, supõe-se que a matéria dessas estrelas compactas seja formada como dito no parágrafo anterior: quase que exclusivamente de nêutrons, e certa quantidade de prótons e elétrons. Ocorre que a densidade da matéria dessas estrelas pode variar de modo significativo com relação a média (1.1) calculada anteriormente; ela deve ser bem pequena na superfície, podendo chegar a valores com até poucas ordens de grandeza acima da média no centro da referida estrela. Tal perfil da densidade, de acordo com o diagrama de fases da cromodinâmica quântica (QCD), mostrado na figura 1.1, pode fazer com que a matéria também apresente certo perfil à medida que se vai da superfície ao centro de uma estrela de nêutrons.
À proporção que se aumenta a profundidade é possível encontrar matérias mais exóticas como híperons, léptons mais pesados e mésons, chegando até a eventualidade de uma transição de fase em que os hádrons perdem sua individualidade gerando uma matéria de quarks desconfinados chamada de matéria estranha. Este último tipo de estrela com um manto de matéria composta de hádrons e um núcleo de quarks desconfinados é conhecida como Estrela Híbrida.
De modo mais exótico, é possível que a matéria de quarks desconfinados citada acima possua uma energia de ligação maior que a energia de ligação da matéria nuclear, isto é, ela seria o estado fundamental da interação forte. Esta é a hipótese da matéria estranha. Caso isso seja verdade, algumas, senão todas, estrelas compactas seriam feitas apenas de matéria de quarks. São as chamadas Estrelas de Quarks, ou Estrelas Estranhas. Tal hipótese, bem como a matéria feita de quarks e as ditas estrelas estranhas são assunto do capítulo 5.
Outras principais características desses objetos são: podem possuir um período de rotação muito pequeno e têm um campo magnético extremamente elevado. Quando o núcleo da estrela progenitora dessas estrelas compactas colapsa para formar as protoestrelas de
Figura 1.1 – Diagrama de fases conjecturada da QCD no plano do potencial químico 𝜇 e temperatura 𝑇. Enquanto matéria a baixa densidade e alta temperatura é testada em colisões de íons pesados, a matéria fria e densa pode somente ser encontrada em estrelas de nêutrons (estrelas compactas). Pode-se encontrar matéria nuclear superfluida e/ou matéria de quarks desconfinados dentro da estrela.
nêutrons, por causa da conservação do momento angular e da conservação do fluxo magnético, a velocidade angular da estrela bem como o seu campo magnético atinge valores elevadíssimos. O período de revolução pode variar entre poucos milissegundos até alguns segundos e o campo magnético atinge uma intensidade desde 1012𝐺 até mesmo 1015𝐺. A título de comparação, o campo magnético da Terra é de apenas 0,6𝐺. Tais características permitem, como será visto no capítulo 3, a identificação de objetos astronômicos chamados pulsares como sendo essas estrelas de nêutrons.
Além do mais, elas são consideradas frias, pois possuem temperaturas muito menores do que aquelas associadas a escala da cromodinâmica quântica, escala essa que varia desde dezenas de megaeletronvolts até valores bem maiores. Assim que formadas, essas estrelas compactas têm uma temperatura que “pode ser tão alta quanto 𝑇~1011𝐾. Isto corresponde,
em unidades onde a constante de Boltzmann 𝑘𝐵= 1, a 𝑇~10𝑀𝑒𝑉. Durante a evolução da estrela, a temperatura decresce a temperaturas da ordem de 𝑘𝑒𝑉”. (SCHMITT, 2010, p.5)
1.2 Pulsares como manifestação de estrelas de quarks
Os pulsares, os quais, como já indicado acima, serão mais bem estudados no capítulo 3, são basicamente objetos astronômicos que emitem pulsos de radiação eletromagnética com um período bem estável. Acredita-se que esses objetos são na verdade estrelas de nêutrons. Tal identificação também será esclarecida melhor naquele mesmo capítulo.
O objetivo principal desse trabalho é mostrar a real possibilidade de que alguns pulsares, quiçá todos, são a manifestação astronômica de estrelas de quarks, conhecidas também por estrelas estranhas, ao invés de estrelas de nêutrons. Isso será visto no capítulo 5, tendo como ponto de partida a suposição da hipótese da matéria estranha.
Antes, porém, é extremamente conveniente e necessário o estudo feito nos capítulos 2 e 4 sobre a descrição de estrelas compactas em termos da Teoria Geral da Relatividade de Einstein. O primeiro aborda estrelas relativísticas esfericamente simétricas sem rotação, enquanto o último explora os efeitos que a rotação gera sobre a estrutura tanto da própria estrela como do espaço-tempo ao seu redor.
2 ESTRELAS RELATIVÍSTICAS SEM ROTAÇÃO
2.1 Métrica e tensor de Riemann para uma estrela estática esférica
No estudo das estrelas de nêutrons, o modelo básico utilizado para descrever tanto a estrutura da estrela quanto os efeitos dessa sobre o espaço-tempo a sua volta é assumi-las como corpos esféricos, estacionários e sem rotação. Isto implica que o problema é esfericamente simétrico e independente do tempo.
Além do mais, é fundamental lançar mão da Teoria Geral da Relatividade de Einstein na descrição dessas estrelas devido principalmente a sua elevadíssima densidade. Para evidenciar isso basta tomar a razão entre o raio de Schwarzschild da estrela de nêutron pelo seu raio: 𝑟𝑆 𝑅 = 2𝐺𝑀 𝑐2 ⋅ 1 𝑅 = 2𝐺(1,4𝑀⊙) 𝑐2 ⋅ 1 𝑅 = 2(6,7 ⋅ 10−11𝑁𝑚2𝑘𝑔−2)(1,4 ⋅ 2,0 ⋅ 1030𝑘𝑔) (3 ⋅ 108𝑚/𝑠)2 ⋅ 1 104𝑚 𝑟𝑆 𝑅 = 0,42
Observa-se, portanto, que o raio de Schwarzschild é uma boa fração do raio da estrela o que leva inevitavelmente a uma descrição relativística da mesma.
Logo, tudo o que se tem a fazer é resolver as equações de campo de Einstein para uma estrela estática esfericamente simétrica. O elemento de linha mais adequado, dada a simetria do problema, seria:
𝑑𝜏2 = 𝑒2𝜈(𝑟)𝑑𝑡2− 𝑒2𝜆(𝑟)𝑑𝑟2− 𝑟2𝑑𝜃2− 𝑟2sin2𝜃 𝑑𝜙2 (2.1)
Onde 𝑒2𝜈(𝑟) e 𝑒2𝜆(𝑟) são chamadas funções métricas e dependem unicamente da coordenada radial.
De (2.1) é possível obter as componentes do tensor métrico 𝑔𝜇𝜈, já que o elemento é
definido como 𝑑𝜏2 = 𝑔 𝜇𝜈𝑑𝑥𝜇𝑑𝑥𝜈: 𝑔𝑡𝑡 = 𝑒2𝜈(𝑟) 𝑔𝑟𝑟 = −𝑒2𝜆(𝑟) 𝑔𝜃𝜃 = −𝑟2 𝑔𝜙𝜙 = −𝑟2sin2𝜃 𝑔𝜇𝜈= 0; 𝜇 ≠ 𝜈 (2.2)
Nota-se que o tensor métrico é diagonal. Como 𝑔𝜇𝜎𝑔𝜎𝜈 = 𝛿𝜇𝜈, tem-se que as componentes contravariantes do mesmo tensor métrico serão:
𝑔𝜇𝜇 = 1
𝑔𝜇𝜇
𝑔𝜇𝜈 = 0; 𝜇 ≠ 𝜈 (2.3)
Ora, as equações de campo de Einstein são, em unidades naturais (𝑐 = 𝐺 = 1): 𝐺𝜇𝜈 = 8𝜋𝑇𝜇𝜈
Onde 𝑇𝜇𝜈 é o tensor energia-momento (discutido na seção 2.3) e 𝐺𝜇𝜈, o tensor de Einstein, dado por sua vez como
𝐺𝜇𝜈 = 𝑅𝜇𝜈−1 2𝑅𝑔𝜇𝜈
Já se conhece as componentes do tensor métrico, falta obter o tensor de Ricci 𝑅𝜇𝜈 e o escalar de Ricci 𝑅. Este tensor de Ricci é de fato uma contração do tensor de Riemann 𝑅𝛽𝜇𝜈𝛼 . Tal contração é
𝑅𝜇𝜈= 𝑅𝜇𝛼𝜈𝛼 (2.4)
Tem-se que a definição das componentes do tensor de Riemann é dada por: 𝑅𝛽𝛾𝛿𝛼 = Γ
𝛽𝛿,𝛾𝛼 − Γ𝛽𝛾,𝛿𝛼 + Γ𝛾𝜖𝛼Γ𝛽𝛿𝜖 − Γ𝛿𝜖𝛼Γ𝛽𝛾𝜖 (2.5)
Usando (2.4), a equação (2.5) toma a forma:
𝑅𝜇𝜈 = 𝑅𝜇𝛼𝜈𝛼 = 𝑅𝛽𝛾𝛿𝛼 = Γ𝜇𝜈,𝛼𝛼 − Γ𝜇𝛼,𝜈𝛼 + Γ𝛼𝜖𝛼Γ𝜇𝜈𝜖 − Γ𝜈𝜖𝛼Γ𝜇𝛼𝜖 (2.6)
Onde Γ𝛽𝛾𝛼 são os símbolos de Christoffel que, em termos das componentes do tensor métrico, são dados como:
Γ𝛽𝛾𝛼 =1
2𝑔𝛼𝜆(𝑔𝜆𝛽,𝛾+ 𝑔𝜆𝛾,𝛽− 𝑔𝛽𝛾,𝜆)
Agora, com as componentes covariantes e contravariantes do tensor métrico dados pelas equações (2.2) e (2.3), é possível encontrar todos os símbolos de Christoffel e, por conseguinte, as componentes do tensor de Ricci em (2.6). Assim procedendo, obtem-se:
𝑅𝑡𝑡 = (−𝜈′′+ 𝜆′𝜈′− 𝜈′2− 2𝜈′ 𝑟 ) 𝑒2(𝜈−𝜆), 𝑅𝑟𝑟 = 𝜈′′− 𝜆′𝜈′+ 𝜈′2− 2𝜆′ 𝑟 , 𝑅𝜃𝜃 = (1 + 𝑟𝜈′− 𝑟𝜆′)𝑒−2𝜆− 1 𝑅𝜙𝜙 = 𝑅𝜃𝜃sin2𝜃 (2.7)
2.2 Solução de Schwarzschild para região externa à estrela
O problema da estrela relativística esfericamente simétrica pode ser separado em duas partes: determinação do comportamento das funções métricas para a região externa à estrela, isto é, para 𝑟 > 𝑅𝑒, onde 𝑅𝑒 é o raio da referida estrela; e do comportamento interno (𝑟 < 𝑅𝑒) dessas mesmas funções métricas. A fim de obter primeiramente a solução externa, toma-se as equações de campo de Einstein para 𝑟 > 𝑅𝑒.
𝐺𝜇𝜈≡ 0
As componentes do tensor de Einstein são todos identicamente nulos porque não há fonte de gravidade na região vazia do espaço-tempo fora da estrela, ou seja, 𝑇𝜇𝜈 ≡ 0 para 𝑟 >
𝑅𝑒. Logo, 𝑅𝜇𝜈 = 1 2𝑅𝑔𝜇𝜈 ⇒ 𝑅𝜇𝜈𝑔𝛼𝜇 = 1 2𝑅𝑔𝜇𝜈𝑔𝛼𝜇 ⇒ 𝑅𝜈𝛼 = 1 2𝑅𝛿𝜈𝛼 Tomando a contração 𝑅𝛼𝛼, tem-se
𝑅𝛼𝛼= 1
2𝑅𝛿𝛼𝛼= 1
2𝑅 ⋅ (4) = 2𝑅
Temos, porém, que o escalar de Ricci 𝑅 é justamente definido como a contração do tensor misto de Ricci, ou seja, 𝑅𝛼𝛼≔ 𝑅. Portanto,
𝑅 = 2𝑅 ⇒ 𝑅 ≡ 0
∴ 𝑅𝜇𝜈 ≡ 0 (2.8)
Por meio de (2.7), as equações referentes a 𝑅𝑡𝑡 e 𝑅𝑟𝑟 tomam a seguinte forma:
{−𝜈 ′′+ 𝜆′𝜈′− 𝜈′2−2𝜈′ 𝑟 = 0 𝜈′′− 𝜆′𝜈′+ 𝜈′2−2𝜆′ 𝑟 = 0 ⇒ {𝜈 ′′− 𝜆′𝜈′+ 𝜈′2= −2𝜈′ 𝑟 𝜈′′− 𝜆′𝜈′+ 𝜈′2 =2𝜆′ 𝑟 ∴ −2𝜈′ 𝑟 = 2𝜆′ 𝑟 ⇒ 𝜈′+ 𝜆′= 0 ⇒ 𝑑 𝑑𝑟(𝜈 + 𝜆) = 0 Obtemos, assim, 𝜈 + 𝜆 = 𝑐𝑡𝑒.
Sabe-se, todavia, que ambas as funções 𝜈(𝑟) e 𝜆(𝑟) tendem a zero para 𝑟 indo ao infinito (o espaço-tempo é plano longe da estrela). A constante na equação acima é, pois, igual a zero. Tem-se, consequentemente que
𝜈 + 𝜆 = 0 (2.9)
Usando (2.8) em (2.7) para a componente 𝑅𝜃𝜃, com o resultado encontrado (2.9), encontra-se (1 + 2𝑟𝜈′)𝑒2𝜈= 1 𝑒2𝜈+ 𝑟(2𝑒2𝜈𝜈′) = 1 𝑒2𝜈+ 𝑟 𝑑 𝑑𝑟(𝑒2𝜈) = 1 𝑑 𝑑𝑟(𝑟𝑒2𝜈) = 1 Integrando-se ambos os membros da equação acima:
𝑟𝑒2𝜈 = 𝑟 − 2𝐺𝑀.
∴ 𝑔𝑡𝑡 = 𝑒2𝜈= 1 −2𝐺𝑀
𝑟
O termo 2𝐺𝑀 é a constante de integração, sendo 𝐺 a constante de Newton para a gravidade. Ao se fazer a aproximação para a física clássica identifica-se 𝑀 com a massa da estrela.
Falta determinar 𝑔𝑟𝑟. Usando que 𝜆 = −𝜈
𝑔𝑟𝑟 = 𝑒2𝜆 = 𝑒−2𝜈 = (1 −2𝐺𝑀
𝑟 )
−1
Tem-se finalmente o elemento de linha para a região externa a estrela: 𝑑𝜏2 = (1 −2𝐺𝑀 𝑟 ) 𝑑𝑡2− (1 − 2𝐺𝑀 𝑟 ) −1 𝑑𝑟2− 𝑟2𝑑𝜃2− 𝑟2sin2𝜃 𝑑𝜙2 ; 𝑟 > 𝑅 𝑒 (2.10)
Esta é a conhecida solução de Schwarzschild das equações de Einstein para o exterior de uma estrela estática esférica.
2.3 O tensor energia-momento
Conseguiu-se da seção anterior a solução para as componentes do tensor métrico para o problema da estrela relativística estática e esfericamente simétrica apenas para a região externa à mesma estrela. Resta resolver a parte do problema referente ao interior estelar. Ao
contrário da resolução anterior, terá de se lidar com as componentes do tensor métrico 𝑇𝜇𝜈 presentes nas equações de campo de Einstein, agora não mais nulos.
Primeiramente assume-se que a matéria que compõe a estrela comporta-se como um fluido perfeito, o qual, como Glendenning (2000, p.17) explica, é “um meio no qual a pressão é isotrópica no sistema de referência em repouso de cada elemento de fluido, além de tensões de cisalhamento e transporte de calor estarem ausentes”. Ou seja, se um observador com mesma velocidade de determinado elemento de fluido mede a pressão ao redor deste mesmo elemento constatará que ela é isotrópica com intensidade 𝑝, bem como medirá também uma densidade de energia 𝜖. Tem-se, pois, que o tensor energia-momento neste sistema de referência local é representado pela seguinte matriz:
(𝑇𝜇̅𝜈̅) = ( 𝜖 0 0 0 0 𝑝 0 0 0 0 𝑝 0 0 0 0 𝑝 )
Em segundo lugar, toma-se um fluido localizado numa região do espaço-tempo que seja plana. Para obter o mesmo tensor no sistema de referência do laboratório com relação ao qual o elemento de fluido acima possui uma velocidade 𝒗, basta tomar a seguinte transformação: 𝑇𝜇𝜈 = Λ 𝜇 𝜇Λ 𝜈 𝜈𝑇𝜇 𝜈
Supondo que o elemento de fluido se desloque com velocidade 𝑣 na direção do eixo 𝑥 do laboratório, tem-se simplesmente o tensor da transformação inversa de Lorentz (com o fator de Lorentz 𝛾): (Λ𝜇𝜇) = (Λ𝜈𝜈) = ( 𝛾 𝛾𝑣 0 0 𝛾𝑣 𝛾 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 )
Dessa forma, conclui-se que:
𝑇𝜇𝜈 = −𝑝𝜂𝜇𝜈+ (𝑝 − 𝜖)𝑢𝜇𝑢𝜈 (2.11)
Em (2.11) 𝜂𝜇𝜈 consiste da métrica de Minkowski (espaço-tempo plano) e 𝑢𝜇 são as componentes da quadrivelocidade do elemento de fluido.
Certamente o espaço-tempo onde a estrela se encontra não é nada plano. Precisa-se, pois, de uma equação para as componentes do tensor energia-momento no contexto da Relatividade Geral. Com tal finalidade, reescreve-se a equação tensorial (2.11) utilizando o Princípio Geral da Covariância, neste caso, substituindo apenas a métrica de Minkowsk pela métrica geral 𝑔𝜇𝜈. Logo, para o elemento de fluido de uma estrela relativística, tem-se
𝑇𝜇𝜈= −𝑝𝑔𝜇𝜈+ (𝑝 − 𝜖)𝑢𝜇𝑢𝜈 (2.12)
Até aqui, se obteve a solução externa, importante na resolução da parte interna uma vez que elas devem coincidir quando 𝑟 = 𝑅𝑒 (o espaço-tempo é contínuo). Logo acima, derivou-se as componentes do tensor energia-momento, fundamental na resolução de tal problema. Suas componentes, porém, estão relacionadas por (2.12) à pressão e à densidade de energia. A pergunta que se faz é: qual o comportamento dessas duas últimas grandezas? É evidente que a resposta para essa pergunta advém do comportamento microscópico da matéria constituinte da estrela, o qual implica uma equação de estado 𝑝 = 𝑝(𝜖) relacionando justamente a pressão e a densidade de energia. Para cada modelo microscópico usado na descrição da matéria que compõe a estrela, uma equação de estado diferente, e, portanto, uma solução diferente para as equações de campo de Einstein.
2.4 As equações de estrutura para uma estrela estática e esfericamente simétrica
É mister colocar que, talvez mais útil do que encontrar uma solução para o comportamento da métrica, importa determinar as principais grandezas referentes a estrutura da estrela relativística, grandezas essas que podem ser diretamente medidas. São elas a massa gravitacional e o raio da estrela.
Por meio de uma manipulação algébrica partindo das equações de campo de Einstein, além de se assumir que a estrela é estática, é possível escrever equações diferenciais que vão reger o comportamento da massa 𝑀(𝑟) em função da distância radial 𝑟. Tais equações são também chamadas de equações de estrutura para uma estrela estática e esfericamente simétrica. São elas:
𝑑 𝑑𝑟[𝑀(𝑟)] = 4𝜋𝑟2𝜖(𝑟) 𝑑𝑝 𝑑𝑟 = − [𝑝(𝑟) + 𝜖(𝑟)][𝑀(𝑟) + 4𝜋𝑟3𝑝(𝑟)] 𝑟[𝑟 − 2𝑀(𝑟)]
Esta última equação é conhecida como equação de Oppenheinmer-Volkoff. Note que ainda precisa-se de uma equação de estado que relacione a pressão com a densidade de energia, mas também algumas condições de contorno como o valor da densidade de energia no centro da estrela 𝜖(𝑟 = 0) e que a pressão vai a zero na superfície estelar 𝑝(𝑟 = 𝑅𝑒) = 0.
Para certo modelo da matéria interna à estrela, obtém-se, via essas equações de estrutura, uma relação entre a massa 𝑀 e o raio da estrela 𝑅𝑒. A medição experimental dessas grandezas permite, por exemplo, testar a validade do modelo microscópico utilizado.
3 PULSARES
3.1 Descobertas e características
Em 1933, na tentativa de explicar a enorme quantidade de energia liberada em uma supernova, Baade e Zwicky assumiram que a origem dessa energia tinha a ver com a energia de ligação gravitacional de um objeto extremamente compacto que eles supunham ser constituída em grande parte de nêutrons. Eles foram, portanto, os primeiros a conceber a ideia de estrelas de nêutrons. (GLENDENNING, 2000)
Emergiam-se no cenário da Física Teórica as estrelas de nêutrons cuja formação funcionaria como uma casa de força gerando tamanho amontoado de energia ejetada espaço afora através da supernova. O problema é que, na prática, os físicos da época não faziam ideia de como encontrá-las no espaço. Como tais objetos compactos se manifestariam? Afinal de contas seriam estrelas degeneradas liberando apenas energia de seu calor residual por meio da difusão de seus fótons e sua irradiação para o espaço; além de serem fontes muito pequenas comparadas à distância que as separariam da Terra, sendo a intensidade da irradiação bastante ínfima. Deste modo as estrelas de nêutrons ficariam somente no campo teórico nos próximos trinta e quatro anos. Não por isto importantes contribuições deixaram de ser feitas na teoria de tais estrelas. Dentre elas, Tolman, Oppenheimer e Volkoff, investigando, em 1939, a possível estrutura das estrelas de nêutrons, “estimaram seus raios e massa máxima serem de aproximadamente dez quilômetros e três quartos da massa solar” (GLENDENNING, 2000, p.201).
Além do mais, Woltjer estimou que a conservação de fluxo magnético gerasse, após o colapso de uma supergigante vermelha, um objeto compacto com campos magnéticos elevadíssimos, da ordem de 1012𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠. (GLENDENNING, 2000)
Finalmente, em 1967, a então estudante de pós-graduação Jocelyn Bell percebeu ao analisar dados recolhidos do radiotelescópio uma fonte periódica bem estável com período de pulsação de 1,337 segundos. Logo depois, publicou juntamente com seu orientador Anthony Hewish, mais Pilkington, Scott e Collins a descoberta duma fonte muito pequena de pulsos de ondas de rádio situada fora do sistema solar, tratando-se muito provavelmente de uma estrela compacta, quer uma anã branca, quer uma estrela de nêutrons. Este foi o primeiro pulsar a ser descoberto. (GLENDENNING, 2000)
Poucos anos após, descobriram-se outros dois pulsares: Crab e Vela. Atualmente o número de pulsares descoberto passa dos dois mil. Observou-se pulsares de períodos muito
pequenos, da ordem dos milissegundos até aqueles um pouco mais lentos, com períodos da ordem dos segundos. Um dos mais rápidos pulsares já descobertos, por exemplo, o PSR 1937+21, possuía no dia 29 de novembro de 1982 (o período muda com o tempo) um período igual a:
(1,557 806 448 872 75 ± 0,000 000 000 000 03)𝑚𝑠
Pois então, os pulsares receberam esta denominação devido aos pulsos periódicos de ondas eletromagnéticas. A maior parte deles foi e é descoberta por meio da observação de ondas na frequência de rádio, não obstante o espectro de alguns dos diversos pulsares variem desde tais ondas até as visíveis, passando pelo raios X até mesmo os raios gama. (GLENDENNING, 2000)
Acredita-se que o pulsar funciona, no tocante aos pulsos emitidos, de maneira semelhante aos antigos faróis usados em praias. O feixe emitido pelo pulsar é contínuo, e não literalmente pulsante, isto é, de intensidade oscilante. Ocorre que o feixe, encontrado ao longo do eixo magnético, gira em torno do eixo de rotação da estrela. Assim como apenas se observa a luz do farol quando o seu cone de feixe se volta para o observador num navio relativamente distante, o feixe emitido pelo pulsar será observado tão somente quando ficar no mesmo sentido da linha de visada do observador terrestre. (GLENDENNING, 2000)
Uma importante característica dos pulsares, além do pequeno período, é que sua rotação diminui com o passar do tempo, ou seja, o seu período aumenta constantemente. Como será mostrada mais adiante, a perda de energia rotacional juntamente à energia irradiada, mais a conservação de energia, será de grande valor na identificação desses astros como estrelas de nêutrons. Como Glendenning (2000, p.203) afirma, “pulsares são cridos como sendo estrelas de nêutrons girantes altamente magnetizadas”. De fato, a ordem de grandeza do campo magnético dos pulsares varia entre 108 a 1015 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠.
3.2 Pulsares e estrelas de nêutrons
Como se viu acima, chama-se de pulsar aquele corpo no qual é observado pulsos eletromagnéticos emitidos, geralmente no comprimento de rádio, com um período bem estável. Duas seriam as possíveis origens para tal pulsação: por meio do movimento vibracional ou pelo movimento rotacional do pulsar.
O simples fato de se poderem observar esses objetos indica que os pulsares perdem energia com o tempo. Por exemplo, mede-se uma taxa de energia irradiada por tempo para o pulsar Crab de aproximadamente 1038𝑒𝑟𝑔𝑠/𝑠. Caso o mecanismo de radiação fosse
dominado pela vibração, a perda de energia acarretaria numa atenuação da amplitude da radiação, mantendo a frequência constante. Já se o mecanismo consistisse da rotação, haveria uma diminuição da frequência, ou aumento do período. Este último fenômeno é o observado. Logo, é natural concluir que a radiação advém do movimento rotacional do pulsar sendo sua característica pulsante semelhante ao funcionamento de um antigo farol de praia, como se explicou na seção anterior. (GLENDENNING, 2000)
A radiação surge porque o eixo magnético não coincide com o eixo de rotação do pulsar. Um torque sobre o pulsar é, então, causado pelo intenso campo magnético do próprio corpo. Esse torque termina por converter a energia rotacional em radiação eletromagnética. Esta por sua vez é emitida ao longo de um feixe no sentido do eixo magnético com uma abertura de cerca de 10°. (GLENDENNING, 2000)
Assumindo, pois, que o pulsar é um corpo esférico magnetizado em rotação tem-se que a potência irradiada é dada por
𝑑𝐸𝑑𝑖𝑝
𝑑𝑡 = 2
3 𝑅6𝐵2Ω4sin2𝛼 (dipolo magnético girante) (3.1) Onde 𝑅 é o raio do pulsar, 𝐵 seu campo magnético, Ω sua velocidade angular e 𝛼, o ângulo entre os eixos magnético e rotacional.
A energia de rotação é dada, por sua vez, pela seguinte expressão: 𝐸𝑟𝑜𝑡 =
1
2𝐼Ω2 (3.2)
Onde 𝐼 é o momento de inércia do mesmo pulsar.
Considerando que, por conservação de energia, a energia irradiada provém da energia de rotação do pulsar, conclui-se que
−𝑑𝐸𝑟𝑜𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝐸𝑑𝑖𝑝 𝑑𝑡 − 𝑑 𝑑𝑡( 1 2𝐼Ω2) = 2 3 𝑅6𝐵2Ω4sin2𝛼 −𝐼ΩΩ̇ =2 3 𝑅6𝐵2Ω4sin2𝛼 −𝐼Ω̇ =2 3 𝑅6𝐵2Ω4sin2𝛼 (3.3)
Lembrando que Ω =2𝜋𝑃, tal que 𝑃 é o período, e, portanto, Ω̇ = −2𝜋𝑃𝑃̇2, a equação (3.3) torna-se −𝐼 (−2𝜋 𝑃̇ 𝑃2) = 2 3 𝑅6𝐵2( 2𝜋 𝑃) 3 sin2𝛼
𝐼𝑃̇ = 8𝜋2 3
𝑅6𝐵2sin2𝛼
𝑃 (3.4)
Pondo a intensidade do campo magnético em termos das demais grandezas obtém-se de (3.4):
𝐵 = √ 3 8𝜋2
𝐼
𝑅6sin2𝛼 𝑃𝑃̇ (3.5)
Com o propósito de se estimar o campo magnético de um pulsar, tome, por exemplo, o pulsar Crab. Observa-se, para esse corpo, que o período de rotação e a variação do mesmo período são dados por
𝑃~ 1
30𝑠, 𝑃̇~4 ⋅ 10−13𝑠/𝑠 (3.6) Sendo a taxa de energia irradiada desse pulsar cerca de 4 ⋅ 1038𝑒𝑟𝑔𝑠/𝑠 , e usando a derivada da equação (3.2), encontra-se primeiramente uma estimativa para o momento de inércia: 1038𝑒𝑟𝑔𝑠/𝑠 = −𝑑𝐸𝑟𝑜𝑡 𝑑𝑡 = −𝐼ΩΩ̇ = −𝐼 ( 2𝜋 𝑃 ) (−2𝜋 𝑃̇ 𝑃2) 1038𝑒𝑟𝑔𝑠/𝑠 =4𝜋𝐼𝑃̇ 𝑃3 𝐼 =4 ⋅ 1038𝑒𝑟𝑔𝑠/𝑠 4𝜋2 𝑃3 𝑃̇ Por meio de (3.6), 𝐼 = 9 ⋅ 1044𝑔 ⋅ 𝑐𝑚2 (3.7)
Tomando as unidades naturais nas quais 𝐺 = 𝑐 = 1, tais que 𝐺 é a constante da gravitação universal e 𝑐 a velocidade da luz, tem-se que
1𝑠 = 3 ⋅ 1010𝑐𝑚 , 1𝑔 = 7 ⋅ 10−29𝑐𝑚 (3.8)
Assim, a equação (3.7) toma a forma
𝐼 = 60𝑘𝑚3 (3.9)
Postulando que o raio do pulsar meça uns 10𝑘𝑚 e tomando sin2𝛼 = 1, é possível, finalmente, estimar um limite superior para a intensidade do campo magnético.
𝐵 = √ 3 8𝜋2 𝐼 𝑅6sin2𝛼 𝑃𝑃̇ = √ 3 8𝜋2 60𝑘𝑚3 (10𝑘𝑚)6(1) ( 1 303 ⋅ 105𝑘𝑚) (4 ⋅ 10−13) 𝐵 = 9 ⋅ 10−7𝑘𝑚−1= 9 ⋅ 10−12𝑐𝑚−1
No entanto, existe uma relação entre as unidades centímetro e gauss dada por 3,479 ⋅ 1024𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠 ⋅ 𝑐𝑚 = 1
Logo,
𝐵 = 3 ⋅ 1013𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠 (3.10)
É possível se estimar também a densidade média de um pulsar. Primeiramente se parte da condição de que a força gravitacional deve sempre superar a força centrífuga, de caráter repulsivo (ver seção 4.4), isto é,
𝜁2𝐺𝑚𝑀
𝑅2 > 𝑚Ω2𝑅 (3.11)
Acima 𝜁 é um coeficiente adimensional, que vale 1 na física newtoniana, enquanto que na Relatividade Geral tem um valor determinado de 0,65. Utiliza-se, evidentemente, aqui este último valor.
Faz-se a seguinte manipulação em (3.11): 𝑀 𝑅3 > Ω2 𝜁2𝐺 𝑀 4 3 𝜋𝑅3 > Ω 2 4 3 𝜋𝜁2𝐺 = 4𝜋 2 4 3 𝜋𝜁2𝐺𝑃2 = 3𝜋 𝐺(𝜁𝑃)2
Mas o primeiro termo a esquerda é justamente a densidade média do pulsar 𝜖. Por conseguinte, para um pulsar com período de 1,56𝑚𝑠,
𝜖 > 3𝜋 𝐺(𝜁𝑃)2 =
3𝜋
(6,7 ⋅ 10−11)[(0,65)(1,56 ⋅ 10−3)]2𝑘𝑔/𝑚3
𝜖 > 1,4 ⋅ 1017𝑘𝑔/𝑚3 = 1,4 ⋅ 1014𝑔/𝑐𝑚3 (3.12)
O resultado encontrado em (3.12) é uma grande evidência de que a matéria que constitui esses pulsares se assemelha com a matéria que forma os núcleos atômicos, isto porque a densidade típica da matéria nuclear é de aproximados 2,5 ⋅ 1014𝑔/𝑐𝑚3, exatamente
a mesma ordem de grandeza de (3.12). Todavia, é mister tomar atenção, por exemplo, ao fato de que, através das equações de estrutura da estrela (equações de Oppenheimer-Volkoff), a densidade varia continuamente de modo a assumir valores muito pequenos (densidade do ferro) na superfície, até possivelmente valores muito grandes no centro do pulsar. Ou seja, existe todo um perfil na estrutura desse corpo. Este último não ocorre com os núcleos atômicos, por apresentarem em geral uma densidade praticamente constante. Outra importante diferença entre os dois estados de matéria é que não pode haver uma carga elétrica líquida no pulsar, pois a força elétrica sobrepor-se-ia por sobre a atração gravitacional. Portanto, o pulsar
deve ser constituído em boa parte de hádrons, tendo em vista a equação (3.12), conquanto a maioria esmagadora deva se tratar de nêutrons, a fim de que o pulsar seja neutro em geral. Somando a isso, tem-se o acordo da estimativa do campo magnético do pulsar com a previsão para a intensidade do mesmo campo das estrelas de nêutrons por Woltjer. Daí a identificação do pulsar como uma estrela de nêutrons. (GLENDENNING, 2000)
Porém, existe a possibilidade de o pulsar consistir do que se chama de estrela estranha, cuja matéria é formada não por hádrons, mas pelos três sabores de quarks desconfinados up, down e strange em quase iguais proporções. Este último seria possível caso a matéria estranha seja o estado mais fundamental da cromodinâmica quântica do que a matéria ordinária formada por nucleons. Supõe-se também a possibilidade de o pulsar conter ao longo de seu perfil estrutural tanto a matéria nuclear quanto a matéria de quarks; são as conhecidas estrelas híbridas.
3.3 Breaking index
Assumiu-se, na seção anterior, que o mecanismo de perda de energia (rotacional) do pulsar se dá por meio da radiação de um dipólo magnético. Matematicamente, isso significa:
− 𝑑 𝑑𝑡( 1 2𝐼Ω2) = ( 2 3𝑅6𝐵2sin2𝛼) Ω4 −𝐼ΩΩ̇ = 𝐶Ω4, 𝐶 =2 3𝑅6𝐵2sin2𝛼 Ω̇ = −𝐾Ω3 , 𝐾 =𝐶 𝐼 (3.13)
De fato, seria ainda possível a existência de outro mecanismo de perda de energia baseado na radiação de quadrupolo gravitacional. Sendo assim, generaliza-se (3.13) de modo a permitir a possibilidade de outros mecanismos. Tal equação de desaceleração se torna,
Ω̇ = −𝐾Ω𝑛 (3.14)
Nessa última equação o expoente 𝑛 é conhecido como breaking index. Ele vale 3 quando a perda de energia é regida unicamente por dipolo magnético, enquanto que, para o caso de apenas quadrupolo gravitacional, 𝑛 é igual a 5.
Tomando a segunda derivada de (3.14), obtém-se o breaking index em termos da frequência de rotação Ω e de suas duas primeiras derivadas:
𝑑 𝑑𝑡Ω̇ =
𝑑
Ω̈ =𝑛(−𝐾Ω𝑛)Ω̇ Ω = 𝑛Ω̇2 Ω ∴ 𝑛 =ΩΩ̈ Ω̇2 (3.15)
Medindo-se a frequência e suas duas primeiras derivadas de determinado pulsar, encontra-se o valor de seu breaking index. A seguir uma tabela com os breaking indeces de alguns pulsares:
Tabela 3.1 - Breaking Indeces de Pulsares
Nome n
Crab 2,515 ± 0,005
Vela 1,4 ± 0,2
1509-58 2,837 ± 0,001
0540-69 2,01 ± 0,02
Fonte: GLENDENNING, Compact Stars, p.228
Observe que os valores dos breaking indeces são menores que 3. Poderia se esperar que tais valores se encontrassem entre o característico de dipolo magnético e o de quadrupolo gravitacional, caso ambos esses mecanismos estivessem presentes na perda de energia do pulsar. No entanto, para esses pulsares acima e para todos os outros já encontrados o seu breaking index é inferior a 3, mostrando, talvez, a presença dum desconhecido processo de perda de energia. (GLENDENNING, 2000)
Entretanto, ao se derivar (3.13) foi suposto que o momento de inércia era constante. Isso não é verdade. É necessário considerar a mudança que o momento de inércia sofre quando há alteração da velocidade angular do pulsar ao longo de sua história, isto é, precisa-se da dependência de 𝐼 por Ω. O momento de inércia é função da frequência, pois ele advém do formato do pulsar, formato este que sofre influência da força centrífuga oriunda da rotação. Assim, retornando a equação de perda de energia (escrita para um mecanismo geral), tendo em vista a dependência do momento de inércia com a velocidade angular, tem-se:
− 𝑑 𝑑𝑡( 1 2𝐼(Ω)Ω2) = 𝐶Ω𝑛+1 − [𝐼ΩΩ̇ +1 2𝐼′Ω̇Ω2] = 𝐶Ω𝑛+1 , 𝐼′= 𝑑𝐼 𝑑Ω Ω̇ (𝐼 +1 2𝐼′Ω) = −𝐶Ω𝑛
Ω̇ = −𝐶Ω𝑛(𝐼 +1
2𝐼′Ω)
−1
(3.16) A equação (3.16) se reduz a (3.14) quando se assume a não dependência do momento de inércia com a frequência.
Defini-se agora um breaking index observado ou aparente que evidentemente dependerá de Ω e será denotado por 𝑛(Ω) a fim de se diferenciar do valor intrínseco 𝑛. Tal definição é dada por:
𝑛(Ω) = ΩΩ̈
Ω̇2 (3.17)
Tomando a derivada temporal da equação de desaceleração (3.16), encontra-se a segunda derivada da frequência:
𝑑 𝑑𝑡(Ω̇) = −𝐶 𝑑 𝑑𝑡[Ω𝑛(𝐼 + 1 2𝐼′Ω) −1 ] Ω̈ = −𝐶 {𝑛Ω𝑛 Ω Ω̇ (𝐼 + 1 2𝐼′Ω) −1 + Ω𝑛[(−1) (𝐼 +1 2𝐼′Ω) −2 (𝐼′Ω̇ +1 2𝐼′′Ω̇Ω + 1 2𝐼′Ω̇)]} Ω̈ == −𝐶 [𝑛Ω 𝑛 Ω Ω̇ (𝐼 + 1 2𝐼′Ω) −1 −1 2Ω𝑛Ω̇ (𝐼 + 1 2𝐼′Ω) −2 (3𝐼′+ 𝐼′′Ω)] Ω̈ = −𝐶Ω𝑛(𝐼 +1 2𝐼′Ω) −1 Ω̇ (𝑛 Ω− 3𝐼′+ 𝐼′′Ω 2𝐼 + 𝐼′Ω)
Mas, por meio de (3.16), a equação acima toma a seguinte forma: Ω̈ = Ω̇2(𝑛 Ω− 3𝐼′+ 𝐼′′Ω 2𝐼 + 𝐼′Ω) Ω̈ =Ω̇2 Ω (𝑛 − 3𝐼′Ω + 𝐼′′Ω2 2𝐼 + 𝐼′Ω ) (3.18)
Substituindo (3.18) em (3.17), obtém-se a dependência do breaking index aparente com a frequência e suas primeiras derivadas:
𝑛(Ω) = 𝑛 −3𝐼
′Ω + 𝐼′′Ω2
2𝐼 + 𝐼′Ω (3.19)
Note que, em primeiro lugar, o breaking index aparente, 𝑛(Ω) equivale ao seu valor próprio do mecanismo de perda de energia, 𝑛, quando o momento de inércia não depende da frequência do pulsar. Em segundo lugar, tanto a primeira derivada 𝐼′ como a segunda 𝐼′′ são
positivas, posto que um aumento da rotação intensifica a força centrífuga a qual altera a forma do pulsar alongando o seu raio equatorial e, consequentemente, aumenta o momento de inércia. Caso se diminua a frequência, o momento de inércia também decresce. Logo, o efeito do último termo em (3.19) é tornar o valor aparente do breaking index menor do esperado valor intrínseco ao mecanismo de perda energia.
Este termo de redução em (3.19) irá depender do comportamento do momento de inércia com a frequência do pulsar. Aproximando-se esse corpo como uma estrela relativística estática e esfericamente simétrica, ou seja, tomando-se como métrica do problema a métrica de Schwarzschild, é possível, após a resolução das equações de estrutura de Oppenheimer-Volkoff para uma determinada equação de estado, encontrar um valor para o momento de inércia do pulsar.
Todavia, essa aproximação não será o melhor modelo para o pulsar, quando a intenção é, por exemplo, determinar o breaking index. Isto, porque no modelo acima o momento de inércia é constante. Fica-se, portanto, sem a informação de como o momento de inércia muda com a velocidade angular.
Necessita-se, por tanto, de uma métrica que leve em conta a rotação da estrela, considerando, assim, os fenômenos inerentes à rotação, tais como a influência da força centrífuga sobre a estrutura da estrela, como o arrasto dos referenciais inerciais locais e a existência duma frequência de rotação máxima, a frequência de Kepler. Fenômenos esses que determinam, dentre outras coisas, o comportamento do momento de inércia com a frequência. A modelagem do pulsar como uma estrela relativística com rotação é realizada no próximo capítulo.
4 ESTRELAS RELATIVÍSTICAS COM ROTAÇÃO
4.1 Arrasto dos referenciais inerciais locais
Como foi visto no final do capitulo anterior, a maioria das estrelas de nêutrons observadas apresentam rotação. Precisamos então descrever a estrutura desse objeto levando isto em conta. Isso será feito neste capitulo.
A rotação da estrela gera novos efeitos com relação à situação em que não há rotação. Surge, por exemplo, uma força centrífuga. Tal força altera a distribuição de matéria da estrela, tornando-a mais achatada nos pólos, quebrando, portanto, a sua simetria esférica, restando somente uma simetria axial.
Pelo fato de a distribuição de matéria ser agora axialmente simétrica, o elemento de linha não pode ser mais o usado para situações estáticas esféricas, a saber:
𝑑𝜏2 = 𝑒2𝜈(𝑟)𝑑𝑡2− 𝑒2𝜆(𝑟)𝑑𝑟2− 𝑟2𝑑𝜃2− 𝑟2sin2𝜃 𝑑𝜙2 (4.1)
O efeito da rotação sobre o elemento de linha será o fato de alguns elementos do tensor métrico fora da diagonal não se anularem. Supõe-se que ainda se está numa situação estática, o que implica numa rotação uniforme. O elemento de linha mais apropriado para a nova situação será, por conseguinte:
𝑑𝜏2 = 𝑒2𝜈(𝑟,𝜃)𝑑𝑡2 − 𝑒2𝜆(𝑟,𝜃)𝑑𝑟2
− 𝑒2𝜇(𝑟,𝜃)[𝑟2𝑑𝜃2+ 𝑟2sin2𝜃 (𝑑𝜙 − 𝜔(𝑟, 𝜃)𝑑𝑡)2] (4.2)
Nota-se que as funções métricas agora podem depender tanto de 𝑟 como de 𝜃. Observe também que se consegue recuperar o caso esférico para o limite de 𝜇 e 𝜔 irem a zero.
Para encontrar os elementos do tensor métrico fora da diagonal basta abrir o último termo quadrático da equação acima:
(𝑑𝜙 − 𝜔(𝑟, 𝜃)𝑑𝑡)2 = 𝑑𝜙2− 2𝜔(𝑟, 𝜃)𝑑𝑡𝑑𝜙 + 𝜔(𝑟, 𝜃)2𝑑𝑡2
Lembrando que o tensor métrico é simétrico e o elemento de linha para o caso geral é dado por 𝑑𝜏2 = 𝑔
𝑔𝑡𝜙 = 𝑔𝜙𝑡 = 𝑟2sin2𝜃 𝑒2𝜇(𝑟,𝜃)𝜔(𝑟, 𝜃) (4.3)
O estudo de estrelas relativísticas não pode deixar de lançar mão da Teoria Geral da Relatividade na descrição da estrutura dessas estrelas e do efeito que geram sobre o espaço-tempo a sua volta. Ao se levar em conta a rotação da estrela a teoria citada torna-se ainda mais imprescindível, pois aqui irão aparecer fenômenos que nem sequer possuem análogos na gravitação newtoniana. Um dos mais importantes é o chamado arrasto dos referenciais
inerciais locais, também conhecido por efeito Lense-Thirring. Um observador em um sistema inercial próximo à estrela rotante se encontrará girando em torno do centro dela com relação às estrelas distantes. Por exemplo, soltando-se um objeto em repouso a uma considerável distância da estrela, ele haverá de ser acelerado em direção a estrela. Ao se aproximar dela, terá sua trajetória defletida no mesmo sentido da rotação, em vez de seguir direto para seu centro, como acontece na gravitação de Newton. (GLENDENNING, 2000)
Agora é possível dizer o significado físico da função 𝜔(𝑟, 𝜃). Ela é justamente a velocidade angular dos referenciais inerciais locais. Para mostrar isso, usa-se o mesmo exemplo anterior do objeto sendo solto a uma grande distância da estrela girante, isto é, considera-se um corpo em queda livre.
Como a métrica utilizada em (4.2) é independente do ângulo 𝜙, a componente azimutal covariante da quadrivelocidade 𝑢𝜙 do corpo em queda permanece constante ao
longo de sua trajetória. Como tal corpo é lançado do repouso, 𝑢𝜙 será zero em qualquer
instante.
Considere que a posição inicial deste objeto esteja no plano equatorial da estrela, em que 𝜃 = 𝜋/2.
Tomando as componentes contravariantes 𝑢𝜙 e 𝑢𝑡 da quadrivelocidade desse objeto,
tem-se: 𝑢𝜙 = 𝑔𝜇𝜙𝑢 𝜇 = 𝑔𝑡𝜙𝑢𝑡+ 𝑔𝑟𝜙𝑢𝑟+ 𝑔𝜃𝜙𝑢𝜃+ 𝑔𝜙𝜙𝑢𝜙 Mas 𝑔𝑟𝜙= 𝑔𝜃𝜙 = 0, então 𝑢𝜙= 𝑔𝑡𝜙𝑢 𝑡+ 𝑔𝜙𝜙𝑢𝜙
𝑢𝑡= 𝑔𝑡𝑡𝑢
𝑡+ 𝑔𝜙𝑡𝑢𝜙
Ora, já é sabido que 𝑢𝜙 ≡ 0, assim
𝑢𝜙 = 𝑔𝑡𝜙𝑢 𝑡 𝑢𝑡 = 𝑔𝑡𝑡𝑢 𝑡 Logo, 𝑢𝜙 𝑢𝑡 = 𝑔𝑡𝜙 𝑔𝑡𝑡 Ocorre que 𝑢𝜙 = 𝑑𝜙 𝑑𝜏; 𝑢𝑡 = 𝑑𝑡 𝑑𝜏 ⇒𝑢 𝜙 𝑢𝑡 = 𝑑𝜙 𝑑𝜏 𝑑𝜏 𝑑𝑡 = 𝑑𝜙 𝑑𝑡 Por conseguinte, 𝑑𝜙 𝑑𝑡 = 𝑔𝑡𝜙 𝑔𝑡𝑡 (4.4)
Devem-se encontrar agora as componentes contravariantes 𝑔𝑡𝜙 e 𝑔𝑡𝑡 do tensor métrico
em termos das funções métricas presentes em (4.2). Para tanto, basta inverter a matriz formada pelas componentes covariantes correspondentes já conhecidas:
(𝑔𝑔𝑡𝑡 𝑔𝑡𝜙
𝜙𝑡 𝑔𝜙𝜙)
Efetuando isso, obtém-se (𝑔𝑡𝑡 𝑔𝑡𝜙 𝑔𝜙𝑡 𝑔𝜙𝜙) = ( 𝑔𝑡𝑡 𝑔𝑡𝜙 𝑔𝜙𝑡 𝑔𝜙𝜙) −1 = 1 𝑔𝑡𝑡𝑔𝜙𝜙− 𝑔𝑡𝜙𝑔𝜙𝑡( 𝑔𝜙𝜙 −𝑔𝑡𝜙 −𝑔𝜙𝑡 𝑔𝑡𝑡 )
(𝑔𝑡𝑡 𝑔𝑡𝜙 𝑔𝜙𝑡 𝑔𝜙𝜙) = 1 (𝑒2𝜈− 𝑟2𝑒2𝜇𝜔)(−𝑟2𝑒2𝜇) − (𝑟2𝑒2𝜇𝜔)2( −𝑟 2𝑒2𝜇 −𝑟2𝑒2𝜇𝜔 −𝑟2𝑒2𝜇𝜔 𝑒2𝜈− 𝑟2𝑒2𝜇𝜔) = 1 −𝑟2𝑒2(𝜇+𝜈)( −𝑟 2𝑒2𝜇 −𝑟2𝑒2𝜇𝜔 −𝑟2𝑒2𝜇𝜔 𝑒2𝜈− 𝑟2𝑒2𝜇𝜔) ⇒ 𝑔𝑡𝑡 = 𝑒−2𝜈; 𝑔𝑡𝜙 = 𝜔𝑒−2𝜈 Portanto, 𝑑𝜙 𝑑𝑡 = 𝜔𝑒−2𝜈 𝑒−2𝜈 ⇒ 𝑑𝜙 𝑑𝑡 = 𝜔(𝑟) (4.5)
Conclui-se, enfim, que o objeto em queda não cai diretamente para o centro da estrela, mas tem sua trajetória defletida. Como se está tratando de um corpo em queda livre (o que define um referencial inercial) 𝜔(𝑟) é também a velocidade angular dos referenciais inerciais locais em torno do centro da estrela girante de acordo com um referencial no infinito estático em relação à mesma estrela.
A fim de encontrar o como 𝜔(𝑟, 𝜃) se comporta na região externa à estrela faz-se uma análise dimensional. O arrasto dos referenciais inerciais deve ser menor cada vez que se distancia da estrela, já que, no infinito, o espaço-tempo volta a ficar plano, situação próxima a que se está acostumado no Sistema Solar, onde se sabe que o efeito Lense-Thirring é no mínimo desprezível. Logo a função 𝜔(𝑟, 𝜃) deve ser proporcional a alguma potência inversa de 𝑟, para que tenda a zero quando 𝑟 cresce. Por fim a velocidade angular dos referenciais inerciais deve depender também da constante da gravitação universal 𝐺, da velocidade da luz 𝑐 e do momento angular da estrela 𝐽. Assim,
𝜔~ 𝐺𝐽 𝛼 𝑐𝛽𝑟𝛾 ⇒ [𝜔] = [𝐺][𝐽]𝛼 [𝑐]𝛽[𝑟]𝛾= (M−1L3T−2)(ML2T−1)𝛼 (LT−1)𝛽(L)𝛾 = M−1+𝛼L3+2𝛼−𝛽−𝛾T−2−𝛼+𝛾
Como a dimensão da velocidade angular é T−1, chega-se as seguintes equações:
0 = −1 + 𝛼 0 = 3 + 2𝛼 − 𝛽 − 𝛾
−1 = −2 − 𝛼 + 𝛽
De (4.6a), obtém-se que 𝛼 = 1. Isto implica em (4.6c) que 𝛽 = −1 + 2 + 1 = 2. E, portanto, de (4.6b), 𝛾 = 3 + 2 ⋅ 1 − 2 = 3. O comportamento de 𝜔(𝑟, 𝜃) para 𝑟 maior que o raio da estrela 𝑅 será
𝜔(𝑟)~ 𝐺𝐽 𝑐2𝑟3 , 𝑟 > 𝑅 Em unidades naturais, 𝜔(𝑟)~ 𝐽 𝑟3 = 𝐼 Ω 𝑟3 , 𝑟 > 𝑅 (4.7)
Onde 𝐼 e Ω são respectivamente o momento de inércia e a velocidade angular da estrela com respeito a um referencial no infinito.
4.2 Comportamento da frequência dos referenciais inerciais para uma estrela pouco rotante
Já foi falado na seção anterior de alguns dos efeitos que emergem quando se considera a rotação da estrela de nêutrons, tais como o achatamento da própria estrela e o arrasto dos referenciais inerciais locais. Nota-se com isso que a estrutura e a estabilidade da estrela vão agora depender da rotação de um modo muito particular, pois a força centrífuga responsável pelo achatamento não dependerá tão somente da velocidade angular da estrela, como no caso newtoniano, mas haverá também uma dependência muito importante desta com a velocidade angular dos referenciais inerciais locais. É por isso que é costume trabalhar com o conceito de velocidade angular relativa, definida como:
𝜔̅(𝑟) ≡ Ω − 𝜔(𝑟) (4.8)
Determinar o comportamento de 𝜔̅(𝑟) não é uma tarefa simples. A rigor teria de se resolver as equações de Einstein com a métrica dada por (4.2) em que alguns elementos fora da diagonal não são nulos e por fim usar as equações (4.4) e (4.5). No entanto, a partir da seguinte equação de Einstein, 𝐺𝜙𝑡 = 8𝜋𝑇
𝜙𝑡, Hartle obteve uma equação bem relevante.
Lançando mão da aproximação da estrela com simetria esférica e com pouca rotação, o que implica que as equações de estrutura da estrela ainda são as equações de Oppenheimer-Volkoff, tal equação encontrada por Hartle foi: (GLENDENNING, 2000)
1 𝑟4 𝑑 𝑑𝑟(𝑟4𝑗 𝑑𝜔̅ 𝑑𝑟) + 4 𝑟 𝑑𝑗 𝑑𝑟𝜔̅ = 0 (4.9)
Onde 𝑗(𝑟) é definido em termos da métrica de Schwarzschild:
𝑗(𝑟) ≡ 𝑒−(𝜈+𝜆)= 𝑒−𝜈√1 −2𝑀(𝑟)
𝑟 , 𝑟 < 𝑅 𝑗(𝑟) ≡ 1 , 𝑟 ≥ 𝑅
Toma-se o seguinte resultado da estrela esfericamente simétrica: 𝑑𝜈
𝑑𝑟 =
𝑀(𝑟) + 4𝜋𝑟3𝑝(𝑟)
𝑟(𝑟 − 2𝑀(𝑟)) (4.10)
Após alguma álgebra e utilizando (4.10), obtém-se, para 𝑟 < 𝑅 𝑑𝑗 𝑑𝑟 = − 4𝜋𝑟(𝑝 + 𝜖)𝑒−𝜈 √1 − 2𝑀(𝑟)𝑟 (4.11) Integrando (4.9) no intervalo de 0 a 𝑅, (𝑟 4𝑑𝜔̅ 𝑑𝑟 )𝑅 = ∫ 4𝑟3 𝑑𝑗 𝑑𝑟 𝜔̅𝑑𝑟 𝑅 0
De acordo com a equação (4.7) o momento angular é dado por 𝐽 = −2 3∫ 𝑑𝑟 𝑟3 𝑑𝑗 𝑑𝑟𝜔̅ 𝑅 0
Onde a constante de proporcionalidade foi tomada com a intenção de que, no limite clássico, se recupere o valor já conhecido para o momento de inércia.
Logo, por meio de (4.11) e (4.8), obtém-se 𝐽 =8𝜋 3 ∫ 𝑑𝑟 𝑟4 𝜖(𝑟) + 𝑝(𝑟) √1 − 2𝑀(𝑟)𝑟 [Ω − 𝜔(𝑟)]𝑒−𝜈(𝑟) 𝑅 0 (4.12)
𝐼 = 𝐽 Ω
Atente-se para o fato de que tanto o momento angular como o momento de inércia foram encontrados para uma estrela pouco rotante.
Para a superfície da estrela e a parte externa a ela, a equação (4.9) se reduz a 𝑑
𝑑𝑟(𝑟4𝑗 𝑑𝜔̅
𝑑𝑟) = 0 , 𝑟 ≥ 𝑅 Integrando a expressão acima, encontra-se
𝑑𝜔̅ 𝑑𝑟 =
𝐴 𝑟4
Onde, por análise dimensional, 𝐴 se trata do momento angular. Mais precisamente 𝐴 = 6𝐽. Portanto, a partir de outra integração conclui-se que
Ω− 𝜔(𝑟) = 𝜔̅ = − 𝐴 3𝑟3+ 𝐵
Como a velocidade angular dos referenciais inerciais locais vai a zero no infinito, 𝐵 só pode ser igual a Ω. Desta forma, para a parte externa da estrela,
𝜔(𝑟) =2𝐽 𝑟3 =
2𝐼
𝑟3Ω , 𝑟 ≥ 𝑅 (4.13)
Agora que se conhece o comportamento de 𝜔̅(𝑟) na região externa à estrela, basta usá-lo como condição de contorno juntamente com a equação (4.9), mais um determinado vausá-lor da velocidade angular relativa no centro da estrela 𝜔̅(𝑟 = 0), e uma equação de estado que relacione a pressão 𝑝 com a densidade de energia 𝜖 (por causa de 4.11), para encontrar o comportamento de 𝜔̅(𝑟) também dentro da estrela.
4.3 Momento de inércia
Com a intenção de simplificar o cálculo do momento angular e do momento de inércia para a situação da estrela relativística girante adotou-se a aproximação de uma estrela
esfericamente simétrica pouco rotante na seção anterior. A expressão encontrada é de fato a que aparece frequentemente na literatura. Ocorre, porém, que, devido a sua radiação
eletromagnética, a estrela de nêutrons está perdendo energia rotacional. Destarte a intensidade da força centrífuga que age sob os elementos de fluido diminuirá com o tempo. Já foi visto que tal força é importante na determinação da forma estrutural da estrela com rotação, pois ela quebra a simetria esférica da própria estrela. Sendo assim, uma mudança na força centrífuga irá levar a uma alteração da estrutura da estrela e de grandezas como o momento de inércia por exemplo.
A situação torna-se ainda mais dramática quando a força centrífuga diminui até certo ponto que aciona uma transição de fase da matéria encontrada no núcleo da estrela. Tal matéria é mais densa, logo mais massa irá se concentrar no centro da estrela. Certamente o momento angular responderá a isso, levando a um aumento da rotação, como ocorre quando uma bailarina junta os braços. E todos esses efeitos são negligenciados pela expressão encontrada na seção anterior. (GLENDENNING, 2000)
Precisa-se, portanto, de uma expressão para o momento de inércia que leve em conta os efeitos que a força centrífuga gera sob a forma estrutural da estrela. O que se quer é uma expressão do momento de inércia para uma estrela girante, estática (rotação uniforme) e axialmente simétrica. Pode-se encontrá-la por meio da resolução numérica das equações de Einstein tendo em mente a fórmula 𝐼 = 𝐽/Ω. Tal cálculo é, no entanto, bem complicado, pois termos fora da diagonal não desaparecem. Há, entretanto, um método que permite calcular o momento de inércia de maneira mais simples, é a solução perturbativa de Hartle-Thorne.
A componente 𝑧 do momento de inércia pode ser encontrada por meio de
𝐽 = 𝐼Ω = ∭ 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜙√−𝑔𝑇𝜙𝑡 (4.14)
Onde 𝑔 é o determinante do tensor métrico e 𝑇𝜙𝑡, a componente do tensor energia-momento,
dada por
𝑇𝜙𝑡 = (𝑝 + 𝜖)𝑢𝜙𝑢𝑡
Na expressão acima, 𝑢𝜙 e 𝑢𝑡 são as componentes da quadrivelocidade do elemento de
