Parte 2. Aplicações Lineares. 2.1 Aplicação Lineares Contínuas

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Parte 2

Aplica¸c ˜oes Lineares

2.1 Aplica¸c˜ao Lineares Cont´ınuas

Estaremos agora tratando das aplicaç ões lineares entre espaços normados. Os as-pectos algébricos destas aplicaç ões são estudados no curso de Álgebra Linear. Como um espaço normado também possui uma estrutura topol ógica, é natural estudá-las também no que diz respeito à continuidade.

Se X ´e um espac¸o normado denotaremos por BXa bola fechada de raio 1 centrada

na origem. Ou seja BX = {x ∈ X : �x� ≤ 1}. A esfera unit´aria de X ´e o conjunto

SX = {x ∈X :�x� =1}. Comec¸amos com o seguinte resultado.

Proposi¸cão 2.1. Sejam x e Y espa¸cos normados e T : X→Y linear. Então são equivalentes: �a) T é cont´ınua;

�b) T ´e cont´ınua na origem;

�c) existe uma constante M>_{0 tal que}�_T�_x)� ≤ _{M para qualquer x}∈_B_X_. �d) existe uma constante M>0 tal que�T�x)� ≤ M�x�para qualquer x∈X. Demonstra¸c˜ao. �a)⇒�b): ´E evidente.

�b) ⇒ �c): Como T ´e cont´ınua na origem, para ε = 1, existe δ > _{0 tal que, para} qualquer x ∈X, com�x� � δ_{, temos que}_�_T_�_x_{)� �}_{1. Se x} _∈_B_X_{, temos que}_�δx

2� �δ

e portanto�T�δ₂x�� 1. Ent˜ao, pela linearidade de T,�T�x)� � 2 δ.

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�c)⇒ �d): Se x ∈ X\ {0}, temos que _�x_x_� tem norma 1 e portanto T�_�x_x_�� ≤ M. Então, �T�x)� ≤ M�x�. Se x = 0, temos que T�x) = 0 e a desigualdade também é satisfeita.

�d) ⇒ �a): Se existe M > 0 tal que�T�x)� ≤ M�x�para qualquer x ∈ X, ent˜ao dados u, v∈ X temos que�T�u) −T�v)� = �T�u−v)� ≤M�u−v�. Isso mostra que T ´e lipschitziana e portanto (uniformemente) cont´ınua.

O item�c)nos mostra que aplicaç ões lineares cont´ınuas são limitadas sobre BX. É

por esse motivo que aplicação lineares cont´ınuas são também chamadas de limitadas. Antes do pr óximo exemplo, salientamos que se � · � e � · �₀ são normas equiva-lentes em X então uma função f definida em X será cont´ınua segundo� · � se, e so-mente se, o for segundo� · �₀, pois por definição tais normas geram a mesma topologia em X.

Exemplo 2.2. Qualquer aplica¸cão linear definida em Kp é cont´ınua. Vamos demonstar este fato usando a norma da soma de Kp. Como sabemos, ela é equivalente à norma eu-clidiana e mais simples de se trabalhar. Seja {e1, e2, . . . , ep} a base can ônica de Kp e

considere uma aplicação linear T : Kp →Y linear. Então �T�x1, . . . , xp)� = �x1T�e1) + · · · +xpT�ep)� ≤ |x1|�T�e1)� + · · · + |xp|�T�ep)� ≤ max i=1,...,p�T�ei)� · � |x1| + · · · + |xp|� = M��x1, . . . , xp)�1,

onde M=maxi=1,...,p�T�ei)�. Logo T é cont´ınua pela proposição anterior.

Exemplo 2.3. Considere o espaço vetorialP �R₎_{de todos os polin ômios reais munido} da norma �p� = sup_t_∈[_0,1_]|p�x)|. Então o operador derivação D : P �R_{) → P �}R₎ não é cont´ınuo, pois para cada n ∈N_{o polin ômio t}n_{está em B}_{P �}_R₎_{mas sua derivada} ntn−1tem norma n. Como n pode ser suficientemente grande, segue que é imposs´ıvel encontrar M como na proposição anterior.

Um isomorfismo entre espa¸cos normados, ou simplesmente isomorfismo, é uma aplica-ção linear cont´ınua invers´ıvel e com inversa cont´ınua. Ou seja, é um isomorfismo no

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2.1. Aplicac¸˜ao Lineares Cont´ınuas 19

sentido da Álgebra Linear e um homeomorfismo. Se há um isomorfismo entre X e Y, então diremos que X e Y são isomorfos e escreveremos X ∼=Y.

Salientamos que inversa de aplicação linear é sempre linear, mas nem sempre é cont´ınua, como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 2.4. Considere X = c00 e o operador linear T : c00 → c00 dado por

T�x1, x2, x3, . . .) = �x1,x₂2,x₃3, . . .). Temos que, se x= �x1, x2, x3, . . .) ∈ c00, �T�x)� = ��x1,x2 2 , x3 3 , . . .)� =_nsup_∈N {|x1|,|x2 2 |,| x3 3 |, . . .} ≤_nsup_∈N {|x1|,|x2|,|x3|, . . .} = �x�.

Logo, T é cont´ınua pelo item �c) da proposição. Porém, a inversa de T é dada por T−1�x1, x2, x3, . . .) = �x1, 2x2, 3x3, . . .). Para cada n ∈ N, os vetores

en = �0, . . . , 0, n−esima

��

1 , 0, . . . ,)tˆem norma 1 mas�T�en)� = n. Logo, T−1n˜ao satisfaz o

item�c)da proposic¸˜ao.

Observe que no exemplo anterior o espaço normado em questão não era completo, como vimos em 1.16. Isso não foi por acaso. Veremos mais para frente que se os espaços forem completos, então a inversa de uma aplicação linear cont´ınua é sempre cont´ınua. Será uma consequência do Teorema da Aplicação Aberta.

O seguinte critério é tão simples quanto útil.

Proposi¸cão 2.5. Uma aplica¸cão linear T : X → Y é um isomorfismo sobre sua imagem, se, e somente se, existem constantes positivas a e b tais que a�x� ≤ �T�x)� ≤b�x�,∀x∈X. Demonstra¸cão. Se T�x) = 0 então a primeira desigualdade implica que x =0. Vemos então que T é injetora e portanto invers´ıvel sobre sua imagem. A segunda desigual-dade nos diz que T é cont´ınua. Resta mostrar que T−1 é cont´ınua. De fato, dado y ∈T�X), existe x ∈X tal que T�x) = y e portando�T−1�y)� = �x� ≤ a−1�T�x)� = a−1�y�.

Corolário 2.6. Para que duas normas� · �e� · �₀sejam equivalentes é necessário e suficiente que existam constantes positivas a e b tais que a�x�₀ ≤ �x� ≤b�x�₀,∀x ∈X.

Demonstra¸cão. Que a condição acima é suficiente foi visto na proposição 1.6. Para mostrar que é necessária, basta observar que as normas serem equivalente significa que a identidade de�X,� · ��em�X,� · �0� é um isomorfismo. Logo, pela proposição

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Teorema 2.7. Seja T : X → Y um isomorfismo entre espa¸cos normados. Então, se X for de Banach, então Y também será.

Demonstra¸c˜ao. Seja �yn)n uma sequˆencia de Cauchy em Y. Temos que mostrar que

�yn)nconverge. Seja ent˜ao ε>0. Para cada n, yn =T�xn), com xn ∈X. Ent˜ao,

�xn−xm� = �T−1�yn) −T−1�ym)� = �T−1�yn−ym)� ≤ M�yn−ym�,

pois T−1 ´e cont´ınua. Logo, como�yn)n ´e de Cauchy existe n0 ∈Ntal que�yn−ym� � ε

M, se n, m>n0. Assim, se n, m>n0, temos que�xn−xm� ≤ M�yn−ym� � M ε M =ε.

Vemos que�xn)n ´e uma sequˆencia de Cauchy em X e portanto converge para algum

x ∈X, j´a que X ´e completo. Pela continuidade de T, yn =T�xn) → T�x), o que mostra

que�yn)nconverge.

Corolário 2.8. Se� · �e � · �0 são duas normas equivalentes em um espa¸co vetorial X então

�

X,� · ��´e completo se, e somente se,�X,� · �₀�o for.

Demonstra¸c˜ao. Novamente,� · �e� · �0serem equivalentes signiﬁca que a identidade

de�X,� · ��em�X,� · �₀� ´e um isomorﬁsmo. Basta aplicar o teorema anterior.

Observa¸cão 2.9. O teorema anterior nos diz que ‘ser Banach’ é preservado por isomor-fismos. Talvez seja interessante observar que em espaços métrico em geral nem sempre ser completo é preservado por homeomorfismos. Por exemplo, N e{1/n : n ∈ N_} são homeomorfos pois ambos são enumeráveis e discretos. Porém, N é completo e {1/n : n ∈ N_}_{não (convença-se disso). O que acontece é que os isomorfismos são} sempre homeomorfismos uniformes, pela proposição 2.1. Estes sempre preservam a completude.

Como uma aplicação do teorema anterior, vamos mostrar que todo espaço de di-mensão finita é de Banach.

Proposi¸cão 2.10. Seja V um espa¸co normado sobre K de dimensão finita p. Então V é isomorfo a Kp. Consequentemente, todo espa¸co normado de dimensão finita é de Banach.

Demonstra¸cão. Tomamos uma base {v1, v2, . . . , vp} de V. Definimos a aplicação T :

Kp _→ _{V pondo T}_�_x₁_{, . . . , x}_p_{) =}_x₁_v₁_{+ · · · +}_x_p_v_p_{. Pela definição de base, T é um} iso-morfismo algébrico. Pelo exemplo 2.2, T é cont´ınua. Resta mostrar que T−1 é cont´ınua. SKp é um subconjunto limitado e fechado de Kpe portanto compacto. Então a função

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2.2. O espac¸oL�X; Y) 21

cont´ınua x �→ �T�u)� admite m´ınimo M em SKp. Mas como T ´e injetora, segue que

T�u) �= 0, para todo u ∈ SKp e portanto�T�u)� ≥ M > 0. Assim, se x ∈ Kp\ {0},

�T� x

�x�)� ≥ M>0 e portanto�T�x)� ≥ M�x�. Isso mostra que T ´e um isomorﬁsmo,

pela proposic¸˜ao 2.5.

Que V ´e um espac¸o de Banach segue imediatamente do teorema anterior.

Corolário 2.11. Se X é um espa¸co normado, então todo subespa¸co V ⊂X de dimensão finita é fechado.

Demonstra¸cão. Se V tem dimesão finita, V é Banach e portanto fechado pela proposição 1.17.

Corolário 2.12. Toda aplica¸cão linear definida em um espa¸co normado de dimensão finita é cont´ınua.

Demonstra¸cão. Seja T : V → Y, V de dimensão finita. Tomamos S : Kp → V iso-morfismo. Então T◦S é cont´ınua pois está definida em Kp (exemplo 2.2). Mas T = �T◦S) ◦S−1e portanto é cont´ınua.

Corolário 2.13. Quaisquer duas normas definida em um espa¸co vetorial de dimensão finita são equivalentes.

Demonstra¸cão. Se V tem dimensão finita então a aplicação identidade de�V,� · ��em �

V,� · �₀�é sempre isomorfismo. Logo�V,� · ��e�V,� · �₀�têm a mesma topologia.

2.2 O espa¸co

L�

X; Y

)

Sejam X e Y espaços normados. Denotaremos porL�X; Y) o espaço vetorial das aplicaç ões lineares cont´ınuas (ou limitadas) de X em Y. As operaç ões de espaço vetorial emL�X; Y)são as usuais.

Em particular, se Y =K_denotaremos_L�_{X; K}₎_{por X}∗_{. Ou seja, X}∗ _{é o espaço de} todos os funcionais lineares cont´ınuos definidos em X. Note que X∗ é sempre Banach, pois K é completo. Para evitar confusão, o espaço vetorial dos funcionais lineares em X será chamado de dual algébrico de X e o denotaremos por X#. Como vimos, se V tem

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dimensão finita, então todo funcional linear é cont´ınuo e portanto V∗=V#. Porém, se X tem dimensão infinita X#sempre possui funcionais descont´ınuos. Veja os exerc´ıcios. Considere a função T ∈ L�X; Y) �→ �T� = sup_x_∈_B_X�T�x)�. Pela proposição 2.1 temos que sup_x_∈_B

X�T�x)� é finito e portanto �T� está bem definida. Se �T� =

0, �T�x)� = 0 para todo x em BX e portanto T ´e identicamente nula em BX. Pela

linearidade, T é a aplicação nula. De maneira indêntica ao exemplo 1.3 mostramos que �λ_T_{� = |}λ_|�_T_�_e _�_T₊_S_{� ≤ �}_T_{� + �}_S_�_{. Vemos então que}_�_T_{� =} _sup

x∈BX�T�x)� ´e

uma norma emL�X; Y).

Note que se T ∈ L�X; Y)então pela definição de supremo �T�x)� ≤ �T�, para todo x ∈ BX. Então para todo x ∈ X não nulo, �T�x)� = �T�_�x_x_�)��x� ≤ �T��x�.

Portanto�T�x)� ≤ �T��x�, para todo x ∈ X (pois a desigualdade é trivial se x = 0). Além disso, se M é tal que �T�x)� ≤ M�x�, para todo x ∈ X, então em particular �T�x)� ≤ M, para todo x∈BX. Pela definição de supremo�T� ≤ M. Ou seja,�T�é o

menor M que satisfaz a Proposic¸˜ao 2.1.

O pr ´oximo teorema ´e sobre a completude deL�X; Y).

Teorema 2.14. O espa¸co normadoL�X; Y)´e um espa¸co de Banach, se Y o for.

Demonstra¸cão. Seja�Tn)numa sequência de Cauchy emL�X; Y). Então para todo ε>0,

existe algum n0 ∈Ntal que

n, m>_n₀ ⇒ �_T_n−_T_m� = _sup

x∈BX

��Tn−Tm)�x)� � ε. �∗)

Assim, para cada x∈ X,�Tn�x) −Tm�x)� = ��Tn−Tm)�x)� ≤ �Tn−Tm��x�. Ent˜ao,

para cada x fixado temos por�∗)que a sequência�Tn�x))numa sequência de Cauchy

em Y e portanto converge (pois Y ´e Banach). Deﬁna T : X → Y pondo T�x) = lim

n→∞Tn�x). Observe que, se x∈BX e n, m>n0

�Tn�x) −T�x)� ≤ �Tn�x) −Tm�x)� + �Tm�x) −T�x)� ≤ �Tn−Tm� + �Tm�x) −T�x)�

� ε+ �T_m�x) −T�x)�. Fazendo m→∞, obtemos que�Tn�x) −T�x)� ≤ εpara qualquer x ∈BX. Ent˜ao,

sup

x∈BX

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2.2. O espac¸oL�X; Y) 23

Devemos mostrar que T∈ L�X; Y). T ´e claramente linear, pois T�x+λ_y_{) =} _lim

n→∞Tn�x+λy) = _nlim→∞�Tn�x) +λTn�y)) = _nlim→∞Tn�x) +λ_nlim→∞Tn�y)

= T�x) +λ_T_�_y₎_, pela continuidade das operac¸ ˜oes.

Mostremos agora que T ´e cont´ınua. Fazendo ε=1 em�∗∗), encontramos n tal que �Tn�x) −T�x)� �1 para qualquer x∈BXe portanto

�T�x)� ≤ �T�x) −Tn�x)| + �Tn�x)� ≤1+ �Tn�, ∀x ∈BX.

Logo, T ´e limitada em BX.

Finalmente, ´e imediato por�∗∗)que�Tn)nconverge para T.

Se Y não é Banach não há motivo deL�X; Y)ser. Daremos exemplo nos exerc´ıcios. O proximo resultado é sobre extensão de aplicaç ões lineares.

Teorema 2.15. Sejam X um espa¸co normado e Y um espa¸co de Banach. Se M um subespa¸co de X e T ∈ L�M; Y), então T admite uma única extensão cont´ınua T : M→ Y. Tal extensão é também linear e�T� = �T�.

Demonstra¸cão. Seja x ∈ M. Então existe uma sequência �xn)n convergindo para x. A

sequência�xn)n, por ser convergente, é de Cauchy em M. Então T�xn)ntambém é de

Cauchy em Y e portanto converge, por Y ser completo. Deﬁnimos T�x) =limn→∞T�xn).

Note que se �yn)n é outra sequência que converge para x, então, limn→∞T�xn) −

limn→∞T�y_n) = lim_n→∞T�x_n−y_n) = T�lim_n→∞�x_n−y_n)) = 0. Logo, T est´a bem

deﬁnida.

É fácil ver que T é linear. Se m ∈M, então tomando a sequência constante igual a m, vemos que T�m) =limn→∞T�m) =T�m). Logo, T estende T.

Pela densidade de BMem BMe pelo modo que T foi deﬁnida, vemos que supx∈M�T�x)� =

sup_x_∈_M�T�x)� = �T�, o que mostra que T ´e cont´ınua e�T� = �T�.

A unicidade segue do fato de que se duas funç ões cont´ınuas coincidem em um conjunto denso do dom´ınio, então coincidem em todo dom´ınio.

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2.3 Isometrias

Uma aplicação linear T : X →Y é uma imersão isomética se�T�x)� = �x�,∀x ∈X. As seguintes propriedades são imediatas.

Proposi¸cão 2.16. Seja T : X→Y uma imersão isomética. Então �a) T é cont´ınua;

�b) T ´e injetora;

�c) T é invers´ıvel sobre sua imagem e T−1 : Im T → X também é uma imersão isométrica e portanto é cont´ınua.

Demonstra¸cão. (a) Basta tomar M=1 na proposição 2.1.

(b) ´E injetora pois T�x) =0⇒ �T�x)� =0 ⇒ �x� = 0⇒Ker T = {0}. (c) Dado y∈Im T, seja x∈X tal que T�x) = y. Ent˜ao

�T−1�y)� = �T−1�T�x)�� = �x� = �T�x)� = �y�.

Logo T−1 : Im T→ X é uma imersão isométrica e portanto cont´ınua pelo item (a). Tendo em vista a proposição anterior, para uma imersão isométrica ser um isomor-fismo basta que seja sobrejetora. Chameremos então uma imersão isométrica sobreje-tora de isomorfismo isométrico ou simplesmente isometria. Se existir um isomorfismo isométrico entre X e Y escreveremos X≡Y. Quando dois espaços são isométricos, ex-iste uma correspondência entre seus elementos que preserva tanto a estrutura algébrica quanto a norma. Ou seja, podem ser diferentes como conjunto, mas são idênticos como espaços normados.

Veremos um exemplo importante de imersão isométrica quando estudarmos os espaços duais.

2.4 Espa¸co Quociente e Aplica¸c˜ao Quociente

Seja X um espaço vetorial e M um subespaço vetorial de X. Lembramos que o espaço quociente de X por M é o espaço vetorial X/M formado pelas classes de

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2.4. Espaço Quociente e Aplicação Quociente 25

equivalências x+M= {x+m : m∈ M}, munido das operaç ões�x+M) + �y+M) = �x+y) +M e λ�x+M) = �λ_x_{) +}_M.

Note que a classe x�+M é igual a classe x+M se, e somente se, x�−x ∈ M. De fato, suponha que x�+M = x+M. Note que x� = x�+0 ∈ x�+M. Então existe m ∈ M tal que x� = x+m. Logo x�−x = m ∈ M. Reciprocamente, se x�−x ∈ M, então dado um elemento x+m∈x+M podemos escrever x+m=x+x�−x�+m= x�+ �x−x�+m) ∈ x�+M e portanto x+M ⊂ x�+M. A outra inclusão se vê de maneira idêntica.

A partir dai é fácil ver que as operaç ões estão bem definidas. Por exemplo,

x�+M = x+M ⇒ x�−x ∈ M ⇒ λ_�_x�₋_x_{) ∈} _M _⇒ λ_x�₋λ_x _∈ _M _⇒ λ_x�₊_M ₌ λ_x₊_{M. A soma se faz de maneira an´aloga.}

As propriedades de espaço vetorial são fáceis de serem verificadas usando as de X. Salientamos apenas que o elemento neutro de X/M é 0+M= M.

Agora suponha que X seja normado. Estamos interessados em definir uma norma em X/M. Considere a função �x+M� = inf

m∈M�x+m�. Como M ´e um subespac¸o,

ent˜ao inf

m∈M�x+m� = minf∈M�x−m� = d�x, M)s˜ao outras formas de se calcular �x+

M�. Temos o seguinte resultado.

Proposi¸cão 2.17. Seja X um espa¸co normado e M um subespa¸co de X. Então a fun¸cão definida em X/M por�x+M� = inf

m∈M�x+m�´e uma semi-norma. Se M for um subespa¸co fechado,

ent˜ao� · �ser´a uma norma.

Demonstra¸c˜ao. Sejam x+M e y+M elementos de X/M. Para quaisquer m1, m2 ∈ M

temos que

��x+M) + �y+M)� = ��x+y) +M� = inf

m∈M�x+y+m� ≤ �x+y+ �m1+m2)�

≤ �x+m1� + �y+m2�.

Tomando o ´ınﬁmo obtemos��x+M) + �y+M)� ≤ �x+M� + �y+M�. Considere agora λ ∈K_{\ {}₀_}_{. Ent˜ao}

�λ_�_x₊_M_{)� = �}λ_x₊_M_{� =} _inf m∈M� λ_x₊_m_{� =} _inf m∈M� λ_x₊λ_m_{� = |}λ_| _inf m∈M�x+m� = | λ_|�_x₊_M_�_.

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Suponha agora que M seja fechado. Então�x+M� =0 significa que d�x, M) =0 e portanto x∈M=M. Então x+M= M=0.

O proposição anterior nos diz que X/M é mais interessante quando M for fechado, pois neste caso X/M é normado. Além disso, se X é completo, tal propriedade é repas-sada para X/M:

Teorema 2.18. Seja X um espa¸co de Banach e M um subespa¸co fechado de X. Ent˜ao X/M ´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸cão. Pela proposição anterior X/M é um espaço normado. Temos apenas que mostrar que é completo. Usaremos a caracterização vista em 1.21. Seja

∑

n∈N

xn+M

uma série absolutamente convergente em X/M. Pela definição de ´ınfimo, para cada n ∈ N _{existe y}_n _∈ _x_n₊_{M com} _�_y_n_{� � �}_x_n ₊_M_{� +}₂−n_{. Então a série}

∑

n∈N

yn ´e

absolulamente convergente no espac¸o de Banach X e portanto converge. Seja y seu limite e considere a classe y+M. Como

��y+M) − k

∑

n=1 �xn+M)� ≤ �y− k

∑

n=1 yn�k→ ∞ −→ 0, vemos que

∑

n∈N

xn+M converge para y+M. Mostramos ent˜ao que toda s´erie

absolu-tamente convergente em X/M converge, o que equivale dizer que X/M é Banach. Seja M subespaço fechado do normado X. A aplica¸cão quociente de X em X/M é definida por π�x) =x+M. Veremos agora algumas propriedades dessa aplicação. Teorema 2.19. Se M é um subespa¸co fechado de um espa¸co normado X, aplica¸cão quociente π _{: X}_→_{X/M tem as seguinte propriedades:}

�a) π ´e aplica¸c˜ao linear cont´ınua.

�b) π leva a bola unitária aberta de X na de X/M. �c) π é uma aplica¸cão aberta.

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2.4. Espaço Quociente e Aplicação Quociente 27

Demonstra¸cão. (a) Pela definição das operaç ões em X/M, π é claramente linear. Dado x ∈X, pela definição da norma em X/M temos que�π_�_x_{)� = �}_x₊_M_{� ≤ �}_x_�_{, o que} mostra que π é cont´ınua.

(b) Sejam U1e U2as bolas unit´arias abertas de X e X/M respectivamente. Se x ∈

U1,�π�x)� = �x+M� ≤ �x� �1. Logo π�x) = x+M∈U2. Seja agora x+M∈U2.

Então �x+M� � 1. Novamente pela definição de ´ınfimo, existe y ∈ x+M tal que �x+M� ≤ �y� �1. Então y ∈U₁e π�y) = y+M=x+M, e portanto π�U₁) ⊃U2.

(c) Considere um conjunto U �= � aberto em X. Seja x+M ∈ π_�_U₎_{arbitr´ario.} Como U ´e um conjunto aberto, deve existir r > 0 tal que x+rU₁ ⊆ U. Logo, pela linearidade de π e pelo item anterior, π�y) +rπ�U1) = �x+M) +rU2⊂T�U). Segue

ent˜ao que T�U)´e um conjunto aberto.

(d) Claro que M está contido no n úcleo de π. Por outro lado, se π�x) �= 0, então x+M�=0 =M e assim�x+M� =d�x, M) �=0. Logo x�∈ M.

Para definirmos uma aplicação em X/M temos que tomar certo cuidado para não depender da escolha dos representantes das classes. Veja como fizemos quando defin-imos as operaç ões em X/M. Neste sentido, o teorema seguinte é útil.

Teorema 2.20. Sejam X e Y espa¸cos normados e T : X → Y linear. Suponha que M seja um subespa¸co fechado de X contido no n úcleo de T. Então existe uma única fun¸cão S : X/M →Y tal que T = S◦π_{. Tal fun¸cão S é linear e tem a mesma imagem de T. Se M} ₌ _{Ker T, S} será injetora. A aplica¸cão S será cont´ınua se, e somente se, T o for. Neste caso, �S� = �T�. Analogamente, S será aberta se, e somente se, T também for aberta.

Demonstra¸cão. Defina S�x+M) = T�x)para cada x ∈ X. Se x+M = y+M, então x−y∈ M⊂Ker T e portanto T�x) =T�y). Então S está bem definida. É imediato que T = S◦π _{e portanto está provada a existência. Suponha que S}� _{: X/M} _→ _{Y seja tal} que T =S�◦π_{. Então S}�_�_x₊_M_{) =}_S�_�π_�_x_{)) =} _T_�_x_{) =} _S_�_x₎_{. Isso mostra a unicidade.}

Também é imediato que S é linear e que T e S têm a mesma imagem. Suponha então que M=Ker T. Então

S�x+M) =0⇒ S�π_�_x_{)) =} ₀_⇒_T_�_x_{) =}₀_⇒ _x_∈_{Ker T}_⇒ _x _∈_M_⇒ _x₊_M₌_M₌_0. Logo S ´e injetora.

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Se U1e U2denotam as bolas abertas unit´arias de X e X/M respectivamente, ent˜ao

pelo Teorema 2.19 π�U1) =U2e portanto

sup x+M∈U2 �S�x+M)� = sup x∈U1 �S�π_�_x_{))� =} _sup x∈U1 �T�x)�.

Assim, S ser´a cont´ınua se, e somente se, T for cont´ınua e em caso aﬁrmativo,�S� = �T�.

Finalmente, se S for aberta, T também será, como composta de aplicaç ões abertas. Reciprocamente, se T é aberta, então dado um aberto U em X/M temos que

S�U) = S�π_�π−1_�_U₎₎�₌_T_�π−1_�_U₎₎_.

Pelo Teorema 2.19, π é cont´ınua e portanto π−1�U)é aberto em X/M. como T é aberta, segue que S�U) é aberto em X. Logo, S também é aberta.

Nos exerc´ıcios há algumas aplicaç ões do teorema anterior. Dele também resul-tará o Teorema do Isomorfismo para espaços de Banach, que é uma versão do conhecido teorema hom ônimo para grupos. Mas antes precisaremos do Teorema da Aplicação Aberta, que veremos na parte seguinte.