Programa de P´ os−Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

Programa de P´ os−Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

Hiperciclicidade e Caos Linear

Lindinˆ es Coleta da Silva

Jo˜ ao Pessoa−PB

Julho de 2018

Programa de P´ os−Gradua¸ c˜ ao em Matem´ atica Mestrado em Matem´ atica

Hiperciclicidade e Caos Linear

por

Lindinˆ es Coleta da Silva

sob a orienta¸ c˜ ao do

Prof. Dr. Nacib Andr´ e Gurgel e Albuquerque

Jo˜ ao Pessoa – PB Julho de 2018

1O autor foi bolsista da Coordena¸c˜ao de Aperfei¸coamento de Pessoal de N´ıvel Superior−CAPES durante a elabora¸c˜ao desta disserta¸c˜ao.

S586h Silva, Lindinês Coleta da.

Hiperciclicidade e Caos Linear / Lindinês Coleta da Silva. - João Pessoa, 2018.

89 f. : il.

Orientação: Nacib André Gurgel e Albuquerque Albuquerque.

Dissertação (Mestrado) - UFPB/CCEN.

1. Hiperciclicidade. 2. Critérios de Hiperciclicidade.

3. Caos de Devaney. 4. Caos de Li-Yorke. 5. Caos Distribucional. I. Albuquerque, Nacib André Gurgel e Albuquerque. II. Título.

UFPB/CCEN

Agrade¸co a Deus por todas as bˆ en¸c˜ aos concedidas.

Agrade¸co aos meus pais por todo apoio e incentivo e, principalmente, por todo amor, dedica¸c˜ ao e ensinamentos. Eles s˜ ao meus pilares. Sou grata ao meu irm˜ ao pela sua simples presen¸ca em minha vida.

Agrade¸co ao professor Nacib pela excelente orienta¸c˜ ao para a realiza¸c˜ ao deste tra- balho e a banca examinadora pelas suas v´ arias sugest˜ oes, que contribu´ıram para a sua melhoria.

Tenho muito a agradecer ` a Janiely por todos os cont´ınuos momentos de estudos durante o mestrado, por ter me ouvido reclamar durante todas as tens˜ oes pr´ e-provas, por toda a for¸ca e apoio e, mais importante, por sua amizade. Agrade¸co tamb´ em ao Fernando por suas in´ umeras contribu¸c˜ oes, que desde a gradua¸c˜ ao tiveram parti¸c˜ ao crucial para a minha forma¸c˜ ao.

Al´ em da janiely, tive o prazer de poder dividir apartamento, por alguns meses, com as ador´ aveis Camila e Lisiane. Essas meninas s˜ ao pessoas incr´ıveis. Obrigada por todo o acolhimento e por suas amizades.

E, por fim, agrade¸co ao meu namorado, Henrique, por todo o seu amor e pela

paciˆ encia com os meus muitos momentos de ausˆ encia.

Nos ´ ultimos anos, a dinˆ amica linear tem atra´ıdo a aten¸c˜ ao de v´ arios pesquisadores, principalmente ` a investiga¸c˜ ao de operadores lineares e cont´ınuos T : X → X, em um espa¸co vetorial topol´ ogico X, cuja ´ orbita {x, T x, T

x, . . . , T

x, . . .} ´ e densa, para al- gum elemento x ∈ X. Operadores que possuem esse comportamento s˜ ao hiperc´ıclicos e a teoria que os estuda ´ e conhecida por hiperciclicidade, que ´ e um dos principais temas deste trabalho. Os trˆ es exemplos cl´ assicos de operadores hiperc´ıclicos que constam na literatura s˜ ao investigados: os operadores de Birkhoff (1884−1944), de MacLane (1909−2005) e de Rolewicz (1932−2015). O caos de Devaney, que possui como um dos “ingredientes” o fenˆ omeno de hiperciclicidade, ´ e apresentado e a verifica¸c˜ ao que os operadores cl´ assicos s˜ ao Devaney ca´ oticos ´ e realizada. Dentre os v´ arios resultados inte- ressantes sobre hiperciclicidade, s˜ ao discutidos alguns crit´ erios, a constata¸c˜ ao que n˜ ao existem operadores hiperc´ıclicos em espa¸co de dimens˜ ao finita e um curioso resultado:

todo operador hiperc´ıclico admite um subespa¸co invariante constitu´ıdo, ` a exce¸c˜ ao da origem, apenas por vetores hiperc´ıclicos. Por fim, ´ e apresentada uma breve discuss˜ ao sobre outros dois tipos de caos, a saber o caos de Li-Yorke e o caos Distribucional.

Palavras-chave: Hiperciclicidade, crit´ erios de hiperciclicidade, caos de Devaney, caos

de Li-Yorke, caos distribucional.

In the last years, the linear dinamics has gained the attention of many researchers, mainly to the investigation of linear and continuous operators T : X −→ X, on to- pological vector spaces, whose orbit {x, T x, . . . , T

x, . . .} is dense for some x ∈ X.

Operators with this behaviour are said to be hypercyclic and the theory that studies them is known by hypercyclicity, which is one of the main themes within this work.

The three classical examples of hyperciclic operators found in the literature are inves- tigated: the Birkhoff (1884−1944), MacLane (1909−2005) and Rolewicz (1932−2015) operators. The Devaney chaos, which has as one of its “ingredients” the phenomeon of hypercyclicity, is presented and the verification that the classic operators are Deva- ney chaotic is fulfilled. Among interesting results about hypercyclicity, are discussed somes criterions, the constatation that there are no hypercyclic operators on a finite dimensional space and a curious result: any hypercyclic operator admits a dense inva- riant subspace consisting, except for zero, of hypercyclic vectors. Ultimately, a brief discussion is presented about another two types of chaos, namely the Li-Yorke and distributional chaos.

Keywords: Hypercyclicity, Hypercyclicity criterion, Devaney chaos, Li-Yorke chaos,

distributional chaos.

Introdu¸ c˜ ao 1

1 No¸ c˜ oes de Espa¸ cos de Fr´ echet e Resultados Auxiliares 4

1.1 Espa¸cos de Fr´ echet . . . . 4

1.2 Topologia do Espa¸co C(Ω) . . . . 10

1.3 H( C ) ´ e um Espa¸co de Fr´ echet . . . . 15

1.4 Resultados Auxiliares . . . . 17

2 Hiperciclicidade e Caos de Devaney 20 2.1 Transitividade Topol´ ogica . . . . 20

2.2 Caos de Devaney . . . . 24

2.3 Hiperciclicidade . . . . 28

2.4 Operadores Devaney Ca´ oticos . . . . 35

3 Resultados de Hiperciclicidade 41 3.1 Propriedades dos Operadores Hiperc´ıclicos . . . . 41

3.2 Aplica¸c˜ oes Mixing e Weakly Mixing e Crit´ erios de Hiperciclidade . . . . 46

4 Operadores Li-Yorke e Distribucionalmente Ca´ oticos 56 4.1 Caos de Li-Yorke . . . . 56

4.2 Caos Distribucional . . . . 67

Referˆ encias Bibliogr´ aficas 78

A seguir, listamos algumas nota¸c˜ oes utilizadas neste trabalho. Abaixo nos referire- mos a aplica¸c˜ ao T : X −→ X simplesmente por T .

• N

:= N ∪ {0};

• R

, R

denotam, respectivamente, o conjunto dos n´ umeros reais n˜ ao-negativos e o conjunto dos n´ umeros reais positivos;

• K denota o espa¸co real R ou o plano complexo C ;

• c

:= n

(a

)

; a

∈ K para todo j ∈ N e lim

a

= 0 o

. Dada uma sequˆ encia (x

)

∈ c

, a norma (x

)

7→ k(x

)

k

:= sup

|x

| torna c

um espa¸co de Banach. Todas as vezes que nos referirmos a esse espa¸co, estaremos considerando c

= (c

, k · k

);

• c

:= n

(a

)

; a

= 0 para todo j ≥ n

, para algum n

∈ N o

;

• Para 1 ≤ p < ∞, `

:= n

(a

)

; a

∈ K para todo j ∈ N e P

j=1

|a

|

<

∞ o

. Para cada 1 ≤ p < ∞ e dada (a

)

∈ `

, a norma (a

)

7→ k(a

)

k

:=

P

j=1

|a

|

torna `

um espa¸co de Banach. Em todo o texto, `

= (`

, k · k

);

• C(Ω) representa o espa¸co das fun¸c˜ oes cont´ınuas f : Ω −→ C , com Ω ⊂ C aberto, munido com a topologia unirforme em compactos;

• H( C ) denota o espa¸co das fun¸c˜ oes inteiras f : C −→ C , munido com a topologia uniforme em compactos, induzida de C( C );

• orb(x, T ) := {x, T x, T

x, . . . , T

x, . . .};

• HC(T ) denota o conjunto dos vetores hiperc´ıclicos de T ;

• Para n ∈ N , k · k

:= sup

|f (z)|, com z ∈ C e f ∈ C(Ω), Ω ⊂ C aberto;

• B(a, R) denota a bola aberta de centro a e raio R;

• X representa o fecho do espa¸co X;

• span(A) denota o espa¸co gerado pelo conjunto A;

• f

denota a n−´ esima derivada da fun¸c˜ ao f ∈ H( C );

• T

denota a aplica¸c˜ ao inversa de T

, ou seja, T

= (T

)

;

• “Cf.” ser´ a a abrevia¸c˜ ao utilizada para o termo “Confira”;

• , representam o final de uma demonstra¸c˜ ao e de um exemplo, respectivamente.

E bem aceito que a men¸c˜ ´ ao ` a palavra caos remete a uma ideia de desordem, impre- vis˜ ao e irregularidade. Fazendo uma analogia ao contexto matem´ atico, intuitivamente n˜ ao deve fazer sentido falar sobre o caos em meios lineares. Entretanto, alguns ma- tem´ aticos do s´ eculo passado descobriram a existˆ encia da caoticidade no ˆ ambito linear, provando que a intui¸c˜ ao falha ao apenas relacionar caos ` a n˜ ao-linearidade.

O primeiro exemplo de ambiente linear com comportamento ca´ otico foi dado em 1929, por Birkhoff em [5] ao apresentar o operador linear cont´ınuo T

: H( C ) −→ H( C ) definido por T

(f) = f (· + 1), onde H( C ) ´ e o espa¸co das fun¸c˜ oes inteiras. Birkhoff provou que em H( C ) existe alguma fun¸c˜ ao f : C −→ C para a qual o conjunto {T

(f ), T

(f ), T

(f ) . . . , T

(f), . . .}, das iteradas de T

aplicadas em f , ´ e denso em H( C ).

Anos depois, em 1952, MacLane demonstrou em [16] que o operador deriva¸c˜ ao D : H( C ) −→ H( C ) dado por D(f ) = f

, possui a mesma propriedade explicitada para o operador de Birkhoff. Assim, foi mostrado que existe alguma fun¸c˜ ao g ∈ H( C ) tal que o conjunto {g, D(g), . . . , D

(g), . . .} ´ e denso em H( C ).

Mais surpreendentemente, em 1969, Rolewicz em [21] constatou que o compor- tamento das aplica¸c˜ oes acima, tamb´ em pode ser apresentado por operadores linea- res e cont´ınuos em espa¸cos de Banach. Ele verificou esse fenˆ omeno para o operador (x

, x

, . . . , x

, . . .) ∈ `

7→ λ(x

, . . . , x

, . . .) ∈ `

, para λ um escalar de m´ odulo maior do que 1.

De modo geral, um operador linear cont´ınuo T : X → X, em um espa¸co vetorial topol´ ogico X, ´ e dito hiperc´ıclico, quando existe um vetor x ∈ X com ´ orbita densa sobre T , isto ´ e, o conjunto {x, T x, T

x, . . . , T

x, . . .} ´ e denso em X. Neste caso, x ´ e dito vetor hiperc´ıclico para T . ´ E importante salientar que a hiperciclicidade n˜ ao requer necessariamente uma estrutura linear. A no¸c˜ ao de ´ orbita densa pode ser apresentada por uma aplica¸c˜ ao T simplesmente cont´ınua, definida em um espa¸co topol´ ogico X.

Provavelmente, a hiperciclicidade ´ e a no¸c˜ ao mais estudada na an´ alise da dinˆ amica

de operadores lineares e cont´ınuos e esta comp˜ oe um dos “ingredientes” do chamado

caos de Devaney [8]. Em nosso contexto, um operador ´ e considerado ca´ otico no sentido

no¸c˜ ao de caos que surgiu na literatura. Em 1975, Li (1945−) e Yorke (1941−) em [13] apresentaram uma dinˆ amica bem complicada detectada em aplica¸c˜ oes definidas em intervalos. A no¸c˜ ao de caos apresentada nesse artigo ficou conhecida posterior- mente como caos de Li-Yorke. Mais tarde, em 1994, como uma natural extens˜ ao da no¸c˜ ao do caos de Li-Yorke, Schweizer and Sm´ıtal [23] introduziram o conceito de caos Distribucional.

Os matem´ aticos citados foram alguns dos precursores no estudo sobre o tema e, a partir deles, v´ arios pesquisadores manifestaram interesse em investigar tais fenˆ omenos, obtendo resultados interessantes e conseguindo estender os conceitos para ambientes e casos mais gerais. As no¸c˜ oes de caos de Li-Yorke e distribucional, por exemplo, surgiram para aplica¸c˜ oes definidas em intervalos. Atualmente, existem v´ arios trabalhos nos quais se discutem estes conceitos para operadores lineares e cont´ınuos definidos em espa¸cos de Fr´ echet [2, 4, 12, 17, 18]. Al´ em disso, existem outros tipos de caos al´ em dos aqui mencionados, como o caos de Wiggins, abordado em [9].

Estrutura do Texto

O Cap´ıtulo 1 possui o intuito de apresentar elementos considerados essenciais para o desenvolvimento ulterior do trabalho. Ser˜ ao introduzidos os espa¸ cos de Fr´ echet e demonstrado que o espa¸co C(Ω), das fun¸c˜ oes cont´ınuas definidas no aberto Ω ⊂ C e assumindo valores em C , munido da topologia da convergˆ encia uniforme em compactos,

´ e um espa¸co de Fr´ echet. Como H( C ) ´ e um subespa¸co fechado de C( C ), este herdar´ a as propriedades de C( C ) com a topologia induzida, donde concluir-se-´ a que a estrutura de Fr´ echet tamb´ em ´ e preservada. Estas verifica¸c˜ oes s˜ ao importantes para, no Cap´ıtulo 2, aplicar-se o Teorema da Transitividade de Birkhoff na demonstra¸c˜ ao que os operadores de Birkhoff e MacLane s˜ ao hiperc´ıclicos. Por fim, algumas ferramentas de an´ alise complexa s˜ ao apresentadas.

A abordagem do tema hiperciclicidade ´ e reservada ao Cap´ıtulo 2. Nele, ´ e demons- trado que os trˆ es operadores cl´ assicos, o de Birkhoff, o de MacLane e o de Rolewicz, s˜ ao hiperc´ıclicos. Como j´ a mencionado, a hiperciclidade ´ e um dos ingredientes para o caos de Devaney e assim as demais condi¸c˜ oes que um operador deve satisfazer para ser Devaney ca´ otico s˜ ao abordadas. Al´ em disso, ´ e mostrado que dada defini¸c˜ ao pode ter suas trˆ es condi¸c˜ oes iniciais reduzidas para duas. O cap´ıtulo ´ e finalizado com a demonstra¸c˜ ao que os trˆ es operadores cl´ assicos s˜ ao Devaney ca´ oticos.

O Cap´ıtulo 3 inicia-se com a prova de alguns resultados interessantes para operado-

cidade em dimens˜ ao finita. Em seguida, crit´ erios ´ uteis de hiperciclicidade s˜ ao exibidos e, por meio destes, a verifica¸c˜ ao que alguns operadores s˜ ao hiperc´ıclicos ´ e facilitada.

O quarto e ´ ultimo cap´ıtulo foi dedicado aos caos de Li-Yorke e distribucional (ou

caos distribucional uniforme). Neste, os resultados s˜ ao discutidos para operadores

lineares e cont´ınuos, definidos em espa¸cos de Banach. Na primeira se¸c˜ ao, ´ e apresentada

a no¸c˜ ao do caos de Li-Yorke e, subsequentemente, ´ e estabelecida a equivalˆ encia entre

operadores Li-Yorke ca´ oticos e a existˆ encia de vetores irregulares. A se¸c˜ ao ´ e finalizada

com um crit´ erio para o caos tratado. Na segunda se¸c˜ ao, discute-se o conceito de caos

distribucional e um crit´ erio para este ´ e demonstrado. O cap´ıtulo encerra-se com dois

resultados espectrais envolvendo operadores distribucionalmente ca´ oticos.

No¸ c˜ oes de Espa¸ cos de Fr´ echet e Resultados Auxiliares

Neste cap´ıtulo abordaremos brevemente os espa¸cos de Fr´ echet e operadores lineares cont´ınuos definidos nesses espa¸cos, trazendo os elementos e resultados necess´ arios para o desenvolvimento dos cap´ıtulos posteriores.

Na primeira se¸c˜ ao, trataremos de algumas defini¸c˜ oes b´ asicas e convergˆ encias em espa¸cos de Fr´ echet. O espa¸co das fun¸c˜ oes inteiras, denotado por H( C ), ser´ a um impor- tante exemplo de espa¸co de Fr´ echet. Dentre os trˆ es exemplos cl´ assicos de operadores hiperc´ıclicos que apresentaremos, dois deles est˜ ao definidos em H( C ). Desta forma, as pr´ oximas se¸c˜ oes s˜ ao dedicadas ` a demonstra¸c˜ ao que tal espa¸co ´ e de Fr´ echet. Na segunda se¸c˜ ao, inicialmente provaremos que C(Ω) ´ e um espa¸co de Fr´ echet munido com a topologia da convergˆ encia uniforme em compactos e na terceira se¸c˜ ao, constataremos que H( C ) ´ e fechado em C( C ) com a topologia induzida, donde concluiremos o dese- jado. Na quarta se¸c˜ ao, enunciaremos alguns resultados de An´ alise Complexa que ser˜ ao requeridos ao longo do trabalho. Al´ em destes, tamb´ em enunciamos um importante resultado espectral: o Teorema da Decomposi¸c˜ ao de Riesz.

1.1 Espa¸ cos de Fr´ echet

Antes de definirmos espa¸cos de Fr´ echet, introduziremos algumas no¸c˜ oes prelimina- res, como o conceito de seminormas, sequˆ encia separante de seminormas e apresenta- remos uma m´ etrica com papel crucial ` a defini¸c˜ ao. Posteriormente, trataremos sobre a convergˆ encia em tais espa¸cos e finalizaremos a se¸c˜ ao com uma condi¸c˜ ao necess´ aria e suficiente para que um operador linear, definido entre espa¸cos Fr´ echet, seja cont´ınuo.

Defini¸ c˜ ao 1.1. Seja X um espa¸co vetorial sobre K = R ou C . Uma fun¸c˜ ao

p : X −→ R

´ e dita uma seminorma se as seguintes propriedades forem satisfeitas:

(i) p(λx) = |λ|p(x), para todo escalar λ ∈ K e todo x ∈ X, (ii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y), para quaisquer x, y ∈ X.

Observa¸ c˜ ao 1.1. Uma norma p : X −→ R

´ e uma seminorma tal que p(x) = 0 implica x = 0. Dizemos que uma sequˆ encia (p

)

de seminormas ´ e n˜ ao-decrescente quando, para cada x ∈ X, p

(x) ≤ p

(x), para todo n ∈ N . Dada qualquer sequˆ encia (p

)

de seminormas, se necess´ ario, esta sempre pode ser considerada n˜ ao-decrescente (basta tomar ˜ p

:= max

p

).

Defini¸ c˜ ao 1.2. Uma sequˆ encia (p

)

de seminormas ´ e dita separante quando p

(x) = 0, para todo n ∈ N , implicar x = 0.

Consideremos (p

)

uma sequˆ encia separante e n˜ ao-decrescente de seminormas.

Ent˜ ao a fun¸c˜ ao d : X × X −→ R

dada por d(x, y) =

∞

X

n=1

1

2

· p

(x − y)

1 + p

(x − y) x, y ∈ X, (1.1) define uma m´ etrica em X.

A boa defini¸c˜ ao da fun¸c˜ ao segue do Teste da Compara¸c˜ ao, com a s´ erie convergente P

n=1 1

2ⁿ

. Verifiquemos que d satisfaz todas as condi¸c˜ oes necess´ arias para ser uma m´ etrica:

(i) Claramente d(x, y) ≥ 0. Se x = y, ent˜ ao p

(x − y) = 0 para todo n ∈ N , donde d(x, y ) = 0. Reciprocamente, se d(x, y) = P

n=1 1

2ⁿ

·

n(x−y)

= 0, segue que

pn(x−y)

1+pn(x−y)

= 0, logo p

(x − y) = 0 para todo n ∈ N . Como (p

)

´ e uma sequˆ encia separante, tem-se x = y.

(ii) d(x, y) = P

1

2ⁿ

·

n(x−y)

= P

1

2ⁿ

·

n(y−x)

= d(y, x);

(iii) Dados x, y, z ∈ X, objetivamos provar que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Sejam a, b e c constantes n˜ ao negativas, com a ≤ b + c. Ent˜ ao a

1 + a ≤ b + c

1 + (b + c) = b

1 + b + c + c

1 + b + c ≤ b

1 + b + c

1 + c , (1.2) uma vez que a fun¸c˜ ao ϕ : [0, ∞) −→ R dada por ϕ(x) =

´ e estritamente crescente (pois ϕ

(x) =

> 0). Como para todo n ≥ 0, p

(x − y), p

(x − z) e p

(z − y) s˜ ao n´ umeros n˜ ao negativos, com p

(x − y) ≤ p

(x − z) + p

(z − y), logo satisfazem (1.2), donde obtemos

p

(x − y)

1 + p

(x − y) ≤ p

(x − z)

1 + p

(x − z) + p

(z − y)

1 + p

(z − y) ,

donde

∞

X

n=1

1

2

· p

(x − y) 1 + p

(x − y) ≤

∞

X

n=1

1

2

· p

(x − z) 1 + p

(x − z) +

∞

X

n=1

1

2

· p

(z − y) 1 + p

(z − y) . Portanto, dos itens (i), (ii) e (iii) conclu´ımos que d ´ e uma m´ etrica.

Uma caracter´ıstica importante da m´ etrica dada por (1.1) ´ e a propriedade de ser invariante por transla¸c˜ ao, isto ´ e, para todo x, y, z ∈ X vale

d(x, y) = d(x + z, y + z).

Com o conceito de seminorma e a m´ etrica em (1.1) dispomos de todos os elementos para definirmos espa¸cos de Fr´ echet.

Defini¸ c˜ ao 1.3 (Espa¸co de Fr´ echet). Um espa¸co vetorial X munido com uma sequˆ encia (p

)

n˜ ao-decrescente e separante de seminormas, que ´ e completo com a m´ etrica (1.1)

´ e dito um espa¸ co de Fr´ echet.

Como em [11, p.34], um espa¸co de Fr´ echet tamb´ em pode ser definido atrav´ es da m´ etrica d

: X × X −→ R

dada por

d

(x, y) =

∞

X

n=1

1

2

min(1, p

(x − y)), x, y ∈ X.

Entretanto, a m´ etrica d

e a m´ etrica d, definida em (1.1), s˜ ao equivalentes. Note que, para todo n ∈ N ,

p

(x − y)

1 + p

(x − y) ≤ min(1, p

(x − y)) ≤ 2 · p

(x − y) 1 + p

(x − y) , o que implica em d(x, y) ≤ d

(x, y) ≤ 2d(x, y), para todos x, y ∈ X.

Observa¸ c˜ ao 1.2. A partir deste momento, nos referiremos a uma sequˆ encia (p

)

n˜ ao- decrescente e separante de seminormas, simplesmente por uma sequˆ encia associada ao espa¸co de Fr´ echet X.

Lema 1.1. Seja (p

)

uma sequˆ encia de seminormas associada a um espa¸ co X de Fr´ echet. Para quaisquer x, y ∈ X e k ∈ N , as seguintes propriedades s˜ ao verificadas:

(i) Se p

(x − y) <

, ent˜ ao d(x, y) <

.

(ii) Se d(x, y) <

, ent˜ ao p

(x − y) <

, para todo n ≤ k.

Demonstra¸c˜ ao. (i) Como (p

)

´ e uma sequˆ encia n˜ ao-decrescente de seminormas, p

(x − y) <

, para todo n ≤ k, e j´ a que a fun¸c˜ ao ϕ : x ∈ [0, ∞) 7−→

´ e es- tritamente crescente , obtemos

p

(x − y) 1 + p

(x − y) <

1 2^k

1 +

= 1

2

+ 1 , para todo n ≤ k.

Da´ı,

k

X

n=1

1

2

· p

(x − y) 1 + p

(x − y) <

k

X

n=1

1 2

· 1

2

+ 1 < 1

2

+ 1 < 1

2

. (1.3)

Al´ em disso, temos

∞

X

n=k+1

1

2

· p

(x − y) 1 + p

(x − y) <

∞

X

n=k+1

1 2

< 1

2

. (1.4)

Portanto, de (1.3) e (1.4),

d(x, y ) =

k

X

n=1

1

2

· p

(x − y) 1 + p

(x − y) +

∞

X

n=k+1

1

2

· p

(x − y)

1 + p

(x − y) < 1 2

+ 1

2

= 2 2

, como quer´ıamos demonstrar.

(ii) Suponhamos, por contradi¸c˜ ao, que p

(x − y) ≥

, para algum n

≤ k. Ent˜ ao p

(x − y)

1 + p

(x − y) ≥

1 2^k

1 +

= 1

1 + 2

. Da´ı,

d(x, y) =

∞

X

n=1

1

2

· p

(x − y) 1 + p

(x − y)

= X

n6=n₀

1

2

· p

(x − y)

1 + p

(x − y) + 1

2

· p

(x − y) 1 + p

(x − y)

≥ 1

2

· 1 2

+ 1

≥ 1 2

· 1

2

+ 1 = 1 2

+ 2

> 1 2

,

o que contradiz a hip´ otese. Portanto, p

(x − y) ≤

, para todo n ≤ k.

Proposi¸ c˜ ao 1.1. Seja (p

)

uma sequˆ encia de seminormas associada a um espa¸ co de Fr´ echet X. Dados (x

)

e x em X e U ⊂ X um conjunto contendo x, s˜ ao v´ alidas as seguintes propriedades:

(i) x

−→ x se, e somente se, p

(x

− x)

−→ 0, para todo n ∈ N ;

(ii) (x

)

´ e de Cauchy se, e somente se, p

(x

− x

)

−→ 0, para todo n ∈ N ;

(iii) U ´ e uma vizinhan¸ ca de x se, e somente se, existem m ∈ N e ε > 0 tais que {z ∈ X; p

(z − x) < ε} ⊂ U .

Demonstra¸c˜ ao. (i) Note que

x

−→ x ⇐⇒ d(x

, x)

−→ 0

⇐⇒

∞

X

n=1

1

2

· p

(x

− x) 1 + p

(x

− x)

k→∞

−→ 0

⇐⇒ 1

2

· p

(x

− x) 1 + p

(x

− x)

k→∞

−→ 0, ∀n ∈ N

⇐⇒ p

(x

− x) 1 + p

(x

− x)

k→∞

−→ 0, ∀n ∈ N

⇐⇒ p

(x

− x)

−→ 0 ∀n ∈ N , o que demonstra o item em quest˜ ao. A implica¸c˜ ao

1

2

· p

(x

− x) 1 + p

(x

− x)

k→∞

−→ 0, ∀n ∈ N ⇒

∞

X

n=1

1

2

· p

(x

− x) 1 + p

(x

− x)

k→∞

−→ 0,

segue do Lema 1.1, item (i).

(ii) A demonstra¸c˜ ao segue por argumento an´ alogo ao usado no item anterior.

(iii) Suponha que U seja uma vizinhan¸ca de x. Ent˜ ao existe algum k ≥ 2 tal que B

x, 1 2

:=

z ∈ X; d(x, z) < 1 2

⊂ U. (1.5)

Tome m = k e ε =

. Provaremos que o conjunto

z ∈ X; p

(x − z) < 1 2

⊂ U. (1.6)

Pelo item (i) do Lema 1.1, se z ∈ X ´ e tal que p

(x − z) <

, ent˜ ao

d(x, z) <

=

<

. Portanto, de (1.5) conclu´ımos (1.6).

Reciprocamente, suponha que existe m ≥ 1 e ε > 0 tal que

{z ∈ X; p

(x − z) < ε} ⊂ U. (1.7) Seja k ∈ N tal que k ≥ m e

< ε. Vamos provar que o conjunto

Y :=

z ∈ X; d(x − z) < 1 2

est´ a contido em U . Se z ∈ Y , ent˜ ao d(x, z) <

e pelo item (ii) do Lema 1.1 segue que p

(x − z) <

. Como (p

)

´ e uma sequˆ encia n˜ ao-decrescente de seminormas e m ≤ k, obtemos que p

(x − z) ≤ p

(x − z) <

, donde por (1.7) z ∈ U , o que conclui a demonstra¸c˜ ao.

A pr´ oxima proposi¸c˜ ao nos dar´ a uma condi¸c˜ ao necess´ aria e suficiente para garantir- mos que um aplica¸c˜ ao linear, definida entre espa¸cos de Fr´ echet seja cont´ınuo.

Proposi¸ c˜ ao 1.2. Sejam X e Y espa¸ cos de Fr´ echet. Considere (p

)

e (q

)

sequˆ encias de seminormas associadas, respectivamente, a X e a Y . Uma aplica¸ c˜ ao linear T : X −→ Y ´ e cont´ınua se, e somente se, para qualquer m ≥ 1, existem n ≥ 1 e M > 0 tais que

q

(T x) ≤ M p

(x), (1.8)

para todo x ∈ X.

Demonstra¸c˜ ao. Supondo v´ alido (1.8), provemos que T ´ e cont´ınuo. Consideremos x

−→ x em X. Pela Proposi¸c˜ ao 1.1, p

(x

− x)

−→ 0, para todo n ∈ N . Da´ı,

q

(T x

− T x) = q

(T (x

− x)) ≤ M p

(x

− x)

−→ 0,

para todo m ∈ N . Usando novamente a Proposi¸c˜ ao 1.1, conclu´ımos que T x

−→ T x e, portanto, T ´ e cont´ınuo.

Reciprocamente, suponhamos que T seja um operador cont´ınuo. Pela Proposi¸c˜ ao 1.1, o conjunto W := {y ∈ Y ; q

(y) < 1} ´ e uma vizinhan¸ca da origem em Y . Da continuidade de T , existem n ≥ 1 e ε > 0 tais que W

:= {x ∈ X; p

(x) < ε} ´ e uma vizinhan¸ca da origem em X que satisfaz T (W

) ⊂ W . Dado x ∈ X, para qualquer δ > 0, temos

p

ε

p

(x) + δ · x

= ε

p

(x) + δ · p

(x) < ε, ent˜ ao

n(x)+δ

· x ∈ W

e assim T

ε

pn(x)+δ

· x

∈ W , ou seja, q

T

ε

pn(x)+δ

· x

< 1

o que implica em q

(T x) <

. Como δ foi tomado arbitrariamente, a constante

M =

satisfaz (1.8).

1.2 Topologia do Espa¸ co C(Ω)

Nosso intuito agora ´ e provar que o espa¸co C(Ω), das fun¸c˜ oes cont´ınuas definidas em um aberto Ω ⊂ C , ´ e um espa¸co de Fr´ echet. Para tal, faz-se necess´ ario que definamos uma sequˆ encia de seminormas associada a C(Ω), de maneira que este seja completo com a m´ etrica definida em (1.1).

Como, para cada n ∈ N , a fun¸c˜ ao k · k

: C(Ω) −→ R

dada por kfk

= sup

|f (z)| ´ e uma seminorma, n˜ ao ´ e dif´ıcil verificar que (k · k

)

´ e uma sequˆ encia de seminormas associada a C(Ω). Em vista disso, a fun¸c˜ ao d : C(Ω) × C(Ω) −→ R

dada por

d(f, g) =

∞

X

n=1

1

2

· kf − gk

1 + kf − gk

f, g ∈ C(Ω), (1.9) define uma m´ etrica em C(Ω).

A demonstra¸c˜ ao que apresentaremos para provar que C(Ω) ´ e Fr´ echet com a m´ etrica d definida acima, teve como base o processo desenvolvido em [10, Cap´ıtulo 10, Secci´ on 10.2].

Proposi¸ c˜ ao 1.3. Em C(Ω) existe uma sequˆ encia (K

)

de subconjuntos compactos de Ω tal que

Ω =

∞

[

n=1

K

.

Al´ em disso, ´ e poss´ıvel escolher os conjuntos K

, n ≥ 1, satisfazendo:

(i) K

⊂ int(K

).

(ii) Se K ⊂ Ω ´ e um conjunto compacto qualquer, ent˜ ao K ⊂ K

, para algum n ∈ N . Demonstra¸c˜ ao. Seja z ∈ Ω e consideremos

d(z, C \Ω) = inf

w∈C\Ω

|z − w|

a distˆ ancia do ponto z ao conjunto C \Ω. Para cada n ∈ N , definamos K

:= n

z ∈ Ω; |z| ≤ n o

∩ n

z ∈ Ω; d(z, C \Ω) ≥ 1 n

o

⊂ Ω. (1.10)

Como o conjunto {z ∈ Ω; |z| ≤ n} ´ e a pr´ e-imagem do intervalo [0, n] pela fun¸c˜ ao m´ odulo, que ´ e cont´ınua, este ´ e compacto e como {z ∈ Ω; d(z, C \Ω) <

} ´ e a pr´ e- imagem do intervalo

0,

pela fun¸c˜ ao cont´ınua g : G −→ R

z 7−→ g(z) = inf {|z − w|; w ∈ C \Ω},

´ e um conjunto aberto, donde seu complementar {z ∈ Ω; d(z, C \Ω) ≥

} ´ e fechado.

Portanto, K

´ e um conjunto fechado e limitado de C , i.e., compacto.

Provemos que Ω = S

n=1

K

. Seja z ∈ Ω, ent˜ ao existem n

, n

∈ N tais que |z| ≤ n

e d(z, C \Ω) ≥

2

. Considerando n = max{n

, n

}, conclu´ımos que z ∈ K

. Portanto, Ω ⊂ S

n=1

K

. Como K

⊂ Ω, para todo n ∈ N , segue a igualdade.

Da forma como K

foi definido em (1.10), obt´ em-se a propriedade do item (i). Para provar (ii), considere K ⊂ Ω um conjunto compacto. Ent˜ ao K ⊂ S

n=1

K

. Como K

⊂ K

, para todo n ∈ N , existe n

∈ N tal que K ⊂ K

, como quer´ıamos mos- trar.

Denotaremos por τ

a topologia induzida pela m´ etrica d, explicitada em (1.9). Na pr´ oxima proposi¸c˜ ao provaremos que a convergˆ encia em τ

e a convergˆ encia uniforme em compactos s˜ ao equivalentes em C(Ω). Mas antes, necessitaremos da defini¸c˜ ao a seguir.

Defini¸ c˜ ao 1.4. Seja Ω ⊂ C um conjunto aberto. Uma sequˆ encia (f

)

de fun¸c˜ oes em C(Ω) converge uniformemente em compactos para f : Ω −→ C se, para todo compacto K ⊂ Ω e para todo ε > 0, existe k

= k

(K, ε) ∈ N tal que |f

(z) − f(z)| < ε, para todo z ∈ K e para todo k ≥ k

.

Proposi¸ c˜ ao 1.4. Sejam (f

)

uma sequˆ encia em C(Ω) e f ∈ C(Ω). Ent˜ ao f

−→ f uniformemente em compactos se, e somente se, f

−→ f na topologia τ

.

Demonstra¸c˜ ao. Suponhamos que (f

)

converge para f na topologia τ

e seja K ⊂ Ω um conjunto compacto. Pela Proposi¸c˜ ao 1.3, K ⊂ S

n=1

K

⊂ S

n=1

int(K

).

Portanto, existem um natural p e n

, n

, . . . , n

∈ N tais que K ⊂

p

[

j=1

int(K

),

donde K ⊂ K

, para m := max{n

+1, n

+1, . . . , n

+1}. Dado ε > 0, da convergˆ encia

de (f

)

em f na m´ etrica d, existe k

∈ N tal que d(f

, f) <

· ε, para todo k ≥ k

.

Logo, cada termo da soma

∞

X

n=1

1

2

· kf

− f k

1 + kf

− f k

´ e menor do que

· ε; em particular 1

2

· kf

− f k

1 + kf

− fk

< 2

1 + ε · ε ⇒ kf

− f k

1 + kf

− f k

< ε 1 + ε . Como a fun¸c˜ ao x ∈ [0, ∞) 7−→

´ e estritamente crescente, obtemos

sup

z∈Km

|(f

− f )(z)| = kf

− fk

< ε

e como K ⊂ K

, conclu´ımos que |(f

− f)(z)| < ε, para todo z ∈ K e para todo k ≥ k

. Portanto, f

−→ f uniformemente em K, para K ⊂ Ω um compacto tomado arbitrariamente.

Reciprocamente, suponhamos que f

−→ f uniformemente em todo compacto K ⊂ Ω, logo tem-se a convergˆ encia uniforme para cada compacto K

. Dado ε > 0, existe n

∈ N tal que

∞

X

n=n0+1

1

2

· kf

− f k

1 + kf

− fk

<

∞

X

n=n0+1

1 2

< ε

2 . (1.11)

Para cada n ∈ {1, . . . , n

}, existe k(n) ∈ N tal que |f

(z) − f(z)| <

, para todo k ≥ k(n) e para todo z ∈ K

. Isso nos diz que, para todo n = 1, . . . , n

, temos kf

− fk

<

. Tomando k

= max

{k(n)}, obtemos

n0

X

n=1

1

2

· kf

− fk

1 + kf

− fk

<

n0

X

n=1

1 2

·

ε 2

1 +

< ε 2

n0

X

n=1

1 2

< ε

2 . (1.12)

De (1.11) e (1.12), para todo k ≥ k

, conclu´ımos que d(f

, f ) < ε. Portanto, f

−→ f na topologia τ

induzida pela m´ etrica d.

Em vista do resultado obtido na Proposi¸c˜ ao 1.4, segue a seguinte defini¸c˜ ao:

Defini¸ c˜ ao 1.5. Uma sequˆ encia (f

)

⊂ C(Ω) ´ e Cauchy na m´ etrica d se, e somente se, dado ε > 0, para todo compacto K ⊂ Ω, existe k

∈ N (que depende de ε e de K) tal que |f

(z) − f

(z)| < ε, para todos k, l ≥ k

e para todo z ∈ K.

Proposi¸ c˜ ao 1.5. O espa¸ co C(Ω) ´ e completo com a m´ etrica d.

Demonstra¸c˜ ao. Seja (f

)

uma sequˆ encia de Cauchy em C(Ω). Ent˜ ao, dados ε > 0 e

K ⊂ Ω um conjunto compacto, existe k

∈ N tal que

|f

(z) − f

(z)| < ε

2 , (1.13)

para todo z ∈ K e para todo k, l ≥ k

. Al´ em disso, para cada z ∈ Ω, como (f

(z))

´ e Cauchy em C , existe ξ

∈ C de modo que

l→∞

lim f

(z) = ξ

. (1.14)

Deste modo, definamos a fun¸c˜ ao f : Ω → C , dada por f (z) = ξ

. Provaremos que f

−→ f uniformemente em conjuntos compactos. De (1.13) e (1.14), fazendo l → ∞, obtemos |f

(z) − f (z)| <

, para todo k ∈ K e para todo k ≥ k

. Assim, dado ε > 0 e fixado K ⊂ Ω um conjunto compacto, existe um natural k

tal que

sup

z∈K

|f

(z) − f (z)| < ε 2 ,

para todo k ≥ k

. Portanto, (f

)

converge uniformemente para f em compactos.

Como f ´ e o limite uniforme em compactos de fun¸c˜ oes cont´ınuas, f ´ e uma fun¸c˜ ao cont´ınua [19, Corollary 46.6, p. 284]. Logo, C(Ω) ´ e completo com a m´ etrica d.

Diante de tudo o que foi demonstrado, conclu´ımos que C(Ω) ´ e um espa¸co vetorial munido com uma sequˆ encia separante e n˜ ao-decrescente (k · k

)

de seminormas, o qual

´ e completo na m´ etrica definida em (1.9). Logo, pela Defini¸c˜ ao 1.3, C(Ω) ´ e um espa¸co de Fr´ echet.

Na proposi¸c˜ ao seguinte, descreveremos a topologia da convergˆ encia uniforme em compactos em C(Ω) e, posteriormente, mostraremos que esta coincide com τ

gerada por d. Assim, concluiremos que C(Ω), munido da topologia uniforme em compactos, ´ e um espa¸co de Fr´ echet.

Proposi¸ c˜ ao 1.6. A fam´ılia τ constitu´ıda por uni˜ oes arbitr´ arias de conjuntos das forma V (f, K, ε) = {g ∈ C(Ω); |f(z) − g(z)| < ε, ∀z ∈ K }, com ε > 0, K ⊂ Ω compacto e f ∈ C(Ω), ´ e uma topologia sobre C(Ω).

Demonstra¸c˜ ao. Provaremos que os conjuntos V (f, K, ε) formam uma base para uma topologia em C(Ω). Seja V a cole¸c˜ ao de subconjuntos da forma V (f, K, ε), onde f ∈ C(Ω), K ⊂ Ω compacto e ε > 0. Note que C(Ω) = S

V∈V

V . Consideremos

V

= V (f, K, ε), V

= V (g, M, δ) e h ∈ V

∩ V

. Devemos encontrar V

∈ V tal que

h ∈ V

e V

⊂ V

∩ V

.

Para tal, definamos V

= V (h, K ∪ M, α), onde α = min{ε − sup

z∈K

|h(z) − f (z)|, δ − sup

z∈K

|h(z) − g(z)|}.

Como h ∈ V

∩ V

, segue

|f(z) − h(z)| < ε, para todo z ∈ K (1.15)

|g(z) − h(z)| < δ, para todo z ∈ M. (1.16) Dado ¯ h ∈ V

, temos |h(z) − ¯ h(z)| < α, para todo z ∈ K ∪ M. Da´ı,

|f (z) − h(z)| ≤ |f ¯ (z) − h(z)| + |h(z) − ¯ h(z)|

< |f(z) − h(z)| + ε − sup

z∈K

|h(z) − f (z)|

< sup

z∈K

|h(z) − f(z)| + ε − sup

z∈K

|h(z) − f(z)|

= ε,

para todo z ∈ K. Analogamente, obtemos |g (z) − ¯ h(z)| < δ para todo z ∈ M . Por- tanto, h ∈ V

⊂ V

∩ V

. Conclu´ımos ent˜ ao que V forma uma base para uma topologia em C(Ω), que por defini¸c˜ ao ´ e τ .

A seguir mostraremos que a topologia τ, descrita na Proposi¸c˜ ao 1.6, e a topologia τ

, induzida pela m´ etrica d, coincidem.

Proposi¸ c˜ ao 1.7. A topologia τ e a topologia τ

coincidem.

Demonstra¸c˜ ao. Seja B (f, ε) = {g ∈ C(Ω); d(f, g) < ε} um aberto b´ asico da topologia τ

. Queremos obter V ∈ V tal que V ⊂ B(f, ε). Sabemos que existe m ∈ N de modo

que

X

n=m+1

1

2

· kf − gk

1 + kf − gk

≤

∞

X

n=m+1

1 2

< ε

2 . (1.17)

Definamos V = V (f, K

,

). Dada g ∈ V , como |f (z) − g(z)| <

, para todo z ∈ K

, segue que kf − gk

= sup

|f(z) − g(z)| ≤

, donde kf − gk

≤

para todo n = 1, . . . , m. Portanto

m

X

n=1

1

2

· kf − g k

1 + kf − gk

≤ ε 2

∞

X

n=1

1 2

< ε

2 . (1.18)

De (1.17) e (1.18), conclu´ımos que d(f, g) < ε, ou seja, V ⊂ B(f, ε).

Agora, consideremos V = V (h, K, ε) um conjunto da cole¸c˜ ao V. Como K ⊂ Ω ´ e compacto, existe m ∈ N tal que K ⊂ K

. Sejam f ∈ V ,

δ = ε − sup

z∈K

|f(z) − h(z)| e B = B(f, α),

onde α =

·

> 0. Dada g ∈ B , temos d(f, g) < α, o que implica em 1

2

· kf − gk

1 + kf − gk

< 1 2

δ

1 + δ ⇒ kf − gk

1 + kf − gk

< δ 1 + δ ,

donde kf − gk

< δ. Logo, sup

|f(z) − g(z)| < ε − sup

|f (z) − h(z)|, isto ´ e,

|f(z) − g(z)| + |f (z) − h(z)| < ε, para todo z ∈ K, o que nos permite concluir que

|g(z) − h(z)| < ε, para todo z ∈ K. Logo B ⊂ V . Assim, conclu´ımos que as topologias τ e τ

coincidem.

Portanto, C(Ω), munido com a topologia da convergˆ encia uniforme em compactos,

´ e um espa¸co de Fr´ echet.

1.3 H( C ) ´ e um Espa¸ co de Fr´ echet

Iniciamos a se¸c˜ ao definindo o espa¸co H(Ω), para Ω um subconjunto aberto de C . Defini¸ c˜ ao 1.6 (Fun¸c˜ ao Holomorfa). Sejam Ω ⊂ C um conjunto aberto e uma fun¸c˜ ao f : Ω −→ C . Diz-se que f ´ e C -diferenci´ avel ou holomorfa em z

∈ Ω, quando existe L ∈ C tal que

h→0

lim

f (z

+ h) − f (z

)

h = L.

Neste caso, denota-se f

(z

) = L e o n´ umero L ´ e a derivada de f em z

. Diz-se que f ´ e C -diferenci´ avel ou holomorfa em Ω, quando esta o ´ e em todos os pontos de Ω.

Uma fun¸c˜ ao f : C −→ C ´ e dita inteira quando ´ e holomorfa em todo ponto de C . Denotaremos por H(Ω) o conjunto das fun¸c˜ oes holomorfas f : Ω −→ C , em particular H( C ) representar´ a o conjuntos das fun¸c˜ oes inteiras.

Exemplo 1.1. A fun¸c˜ ao f : C −→ C definida por f(z) = z

´ e holomorfa, para todo n ∈ N

. Mais geralmente, todo polinˆ omio em z define uma fun¸c˜ ao holomorfa.

Exemplo 1.2. A fun¸c˜ ao exponencial exp : C −→ C dada por exp(z) = e

´ e um

exemplo de fun¸c˜ ao inteira.

Para uma leitura sobre as propriedades elementares das fun¸c˜ oes holomorfas consulte

[10, Cap´ıtulo 3] e [22, Chapter 10].

Com vista ` as propriedades obtidas para C(Ω), consequentemente para C( C ), para que H( C ) as herde, basta verificar que este ´ e fechado em C( C ), o que ´ e assegurado pelo resultado a seguir.

Teorema 1.1. Sejam Ω ⊂ C um conjunto aberto e (f

)

uma sequˆ encia de fun¸ c˜ oes holomorfas definidas em Ω. Seja f : Ω −→ C tal que f

−→ f uniformemente em compactos de Ω, ent˜ ao f ´ e uma fun¸ c˜ ao holomorfa e f

−→ f

uniformemente em compactos, para cada k ∈ N .

Demonstra¸c˜ ao. Cf. [10, Teorema 10.3.1, p.226] ou [22, Theorem 10.28, p. 214] .

Corol´ ario 1.1. Seja Ω ⊂ C um conjunto aberto e em C(Ω) considere a topologia uniforme em compactos, ent˜ ao H(Ω) ´ e fechado em C(Ω). Al´ em disso, segue-se que H(Ω) ´ e completo com a m´ etrica induzida por d, sendo d a m´ etrica definida em (1.9).

Observa¸ c˜ ao 1.3. No Teorema 1.1, se ao inv´ es de uma sequˆ encia de fun¸c˜ oes holomorfas convergindo para f , tiv´ essemos uma sequˆ encia de fun¸c˜ oes inteiras, f seria uma fun¸c˜ ao inteira. Portanto, pelo Corol´ ario 1.1, H( C ) ´ e um espa¸co de Fr´ echet.

Os dois pr´ oximos resultados ser˜ ao ferramentas importantes na demonstra¸c˜ ao que o espa¸co dos polinˆ omios ´ e denso em H( C ).

Lema 1.2. Seja P

n=0

a

(z − a)

uma s´ erie de potˆ encias, com (a

)

, a, z em C . Defi- nindo o n´ umero R, com 0 ≤ R ≤ ∞, por

1

R := lim sup

n

|a

|

,

para 0 < r < R a s´ erie converge uniformemente em {z ∈ C ; |z| ≤ r}.

Demonstra¸c˜ ao. Cf. [7, Theorem 1.3(c), p. 31].

Lema 1.3. Seja f uma fun¸ c˜ ao anal´ıtica na bola aberta B(a; R), de centro a e raio R > 0. Ent˜ ao f (z) = P

n=0

a

(z − a)

para |z − a| < R, onde a

=

f

(a). Al´ em disso, a s´ erie tem raio de convergˆ encia maior ou igual a R.

Demonstra¸c˜ ao. Cf. [7, Theorem 2.8, p. 72].

Proposi¸ c˜ ao 1.8. O espa¸ co dos polinˆ omios com coeficientes em C ´ e denso em H( C ),

na topologia da convergˆ encia uniforme em compactos.

Demonstra¸c˜ ao. Sejam K ⊂ C compacto e f ∈ H( C ). Dado R > 0 (podendo ser t˜ ao grande quanto se queira), sabemos que f ´ e uma fun¸c˜ ao anal´ıtica na bola B (0, R), de centro 0 e raio R. Pelo Lema 1.3, podemos representar f(z) = P

n=1

f⁽ⁿ⁾(0)zⁿ

n!

para todo z ∈ B (0, R). Agora, considere 0 < r < R tal que K esteja contido na bola fechada B[0, r]. Pelo Lema 1.2, a s´ erie P

n=1

f⁽ⁿ⁾(0)zⁿ

n!

converge uniformemente em B [0, r], em particular em K, ou seja, dado ε > 0, existe n

∈ N tal que

f(z) −

N

X

n=1

f

(0)z

n!

< ε,

para todo z ∈ K e para todo N ≥ n

. Portanto, qualquer fun¸c˜ ao inteira f ´ e limite uniforme em compactos de polinˆ omios.

Observa¸ c˜ ao 1.4. Tendo em mente a Proposi¸c˜ ao 1.8 e considerando polinˆ omios com coeficientes em Q + i Q , conclu´ımos que H( C ) ´ e um espa¸co separ´ avel.

1.4 Resultados Auxiliares

Nesta se¸c˜ ao, apresentaremos somente os enunciados de teoremas importantes, que ser˜ ao aplicados em algum momento nos pr´ oximos cap´ıtulos e, brevemente, exporemos a no¸c˜ ao de complexifica¸c˜ ao de um espa¸co real X e de um operador linear T : X −→ X.

Teorema 1.2 (Teorema de Baire). Se X ´ e um espa¸ co m´ etrico completo, ent˜ ao toda interse¸ c˜ ao enumer´ avel de conjuntos abertos densos em X ´ e denso em X.

Demonstra¸c˜ ao. Cf. [14, Proposi¸c˜ ao 19, p.190].

No pr´ oximo teorema C b denotar´ a C ∪ {∞}, ou seja, o plano complexo estendido, munido com a topologia a qual

(i) os conjuntos B(a, r), com a ∈ C e r > 0, formam uma base de vizinhan¸cas abertas de a e

(ii) os conjuntos B(∞, R) = {∞} ∪ {z ∈ C ; |z| > R}, com R > 0, formam uma base de vizinhan¸cas abertas de ∞.

Al´ em da no¸c˜ ao de plano complexo estendido, para o resultado seguinte tamb´ em ser´ a necess´ ario conhecer a defini¸c˜ ao de fun¸ c˜ ao racional, assim, passemos a pr´ oxima defini¸c˜ ao.

Defini¸ c˜ ao 1.7. Uma fun¸c˜ ao f : C −→ C ´ e dita racional se pode ser representada da

forma f(z) =

, onde p e q s˜ ao polinˆ omios, com q 6= 0.

Teorema 1.3 (Teorema de Runge). Seja K um subconjunto compacto de C e A um conjunto que cont´ em pelo menos um ponto de cada componente conexa de C b \K . Con- sidere f uma fun¸ c˜ ao holomorfa em alguma vizinhan¸ ca de K. Dado ε > 0, existe uma fun¸ c˜ ao racional h com extremos somente em A tal que

sup

z∈K

|f(z) − h(z)| < ε.

Al´ em disso, se C b \K ´ e conexo, pode-se tomar A = {∞} e a fun¸ c˜ ao h ser´ a um polinˆ omio.

Demonstra¸c˜ ao. Cf. [22, Theorem 13.9, p.272].

Teorema 1.4 (Teorema da Estimativa de Cauchy). Sejam f ∈ H(B(a; R)) e M > 0 tais que |f (z)| ≤ M , para todo z ∈ B (a, R). Ent˜ ao, para n ≥ 1,

|f

(a)| ≤ n!M R

.

Demonstra¸c˜ ao. Cf. [22, Theorem 10.26, p. 213].

Teorema 1.5. Seja Ω ⊂ C um aberto. Toda fun¸ c˜ ao f ∈ H(Ω) ´ e representada por uma s´ erie de potˆ encias em Ω. .

Demonstra¸c˜ ao. Cf. [22, Theorem 10.16, p.207]

Teorema 1.6 (Teorema de Hahn-Banach). Sejam X um espa¸ co vetorial sobre K = R ou C , M um subespa¸ co de X, p : X −→ R

uma seminorma e ϕ : M −→ K um funcional linear tal que |ϕ(x)| ≤ p(x) para todo x ∈ M . Ent˜ ao, existe um funcional linear ϕ ˜ : X −→ K que estende ϕ e satisfaz | ϕ(x)| ≤ ˜ p(x) para todo x ∈ X.

Corol´ ario 1.2. Seja M um subespa¸ co de X. M ´ e denso em X se, e somente se, todo funcional linear e cont´ınuo que se anula em M , tamb´ em se anula em X.

Os dois ´ ultimos resultados acima podem ser encontrados em [6].

Defini¸ c˜ ao 1.8. Seja T : X −→ X um operador linear e cont´ınuo, onde X ´ e um espa¸co de complexo de Banach. O espectro de T ´ e definido por

σ(T ) := {λ ∈ C ; T − λI ´ e n˜ ao invert´ıvel}

e o raio espectral de T por

r

(T ) := sup

λ∈σ(T)

|λ|.