Seu pé direito nas melhores faculdades

(1)

FUVEST 2

a

_F

_ase

_{– 11/}

_janeiro

_/2011

Seu pé direito nas melhores faculdades

MATEMÁTICA

01. Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade | log₁₆ (1 – x2_{) – log} 4 (1 + x) | < 1₂ Resolução: | log₁₆ (1 –x2_{) – log} 4 (1 + x) | < 1₂     1 – x2_{> 0 – 1 < x < 1} (C.E.) Þ _  Þ – 1 < x < 1 1 + x > 0 x > – 1 Assim, | log₁₆ (1 – x2_{) – log} 4 (1 + x) | < 1₂ | 1_{2 log}₄ (1 – x2_{) – log} 4 (1 + x) | < 1₂ | log₄ (1 – x2_{) – 2 log} 4 (1 + x) | < 1 | log₄ 1 1 2 2 −

(

)

+ ( ) x x | < 1 – 1 < log₄ 1 1 1 2 − ( )( + ) + ( ) x x x < 1 – 1 < log₄ 1₁−₊x_x < 1 1₄<₁1− + x x < 4 1 1 4 1 1 14 − + < − + >         x x x x Como 1 + x > 0, então:     1 – x < 4 + 4x     5x > – 3 Þ Þ − < <3₅ x 3₅ 4 – 4x > 1 + x 5x < 3 S = ] -3₅;3₅ [

(2)

FUVEST – 11/01/2011

Seu pé direito nas melhores Faculdades

2

02. Na fi gura abaixo, o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado



. Os pontos M e N são pontos médios das arestas

AB e BC, respectivamente. Calcule a área da superfície do tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G.

Resolução:

Cálculo da área da superfície S:

S = S_MBFE + S_NBFG + S_EFG + S_MBN + S_EGNM

S_MBFE = S_{NBFG =} +      _ = 2 2 34 2 S_EFG=  .₂ =₂2 S_MBN=  _{2 2}. . =1₂ ₈2 h2₌  5   2 42 3 24 2 2         −         ⇒ h= S_EGNM=     2 ₄2 3 2₄ 2 98 2 +         = S = 2 3. ₄2 +₂2 +₈2 +9₈2 ⇒ =S 26₈2 ⇒ =S 13₄2



 2 ₂  2  2  2  5 2  5 2  2  2 4  22  24  5 2  5 2  2 2 h h G E M N

(3)

Seu pé direito nas melhores Faculdades

FUVEST – 11/01/2011

3

03. Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14 questões. a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas? b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo aquelas que seguem o seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de Matemática e, ainda mais: duas questões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas da prova poderão ser produzidas? c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a probabilidade de que ele receba uma versão classe A? Resolução: a) 14 questões: 7 de Português, 4 de Geografia e 3 de Matemática. P₁₄ = 14! b) Português G M 7! N 4 . 3 N = 5! – 4 . 2! 3! = 120 – 48 = 72

3 Geo e 2 Mat 3 Geo e 2 Mat juntas

O número de provas classe A é n (A) = 7! . 72 . 4 . 3 Þ n (A) = 4.354.560

c) Começando com 7 questões de Português = 7P P(A | 7P) = _nn A₍( )₇_P₎ P(A | 7P) = 7 72 12!._{7 7}_{! !}. =_{7 6 5 4 3 2 1}_{. . . .}72 12. P(A | 7P) = ₃₅6               

{

                               

(4)

FUVEST – 11/01/2011

Seu pé direito nas melhores Faculdades

4

04. a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo z₀ = ₁₊1 −₂1

i i + i.

b) Determine um polinômio de grau 2, com coeficientes inteiros, que tenha z₀ como raiz.

c) Determine os números complexos w tais que z₀ . w tenha módulo igual a 5 2 e tais que as partes real e imaginária de

z₀ . w sejam iguais.

d) No plano complexo, determine o número complexo z₁ que é o simétrico de z₀ com relação à reta de equação y – x = 0.

Resolução: a) z₀ = ₁₊1 −₂1 i i+ i = 12 24 12 −i₊ i_{+ =}_i ₊_i . Assim: Re (z₀) = 1₂ e Im (z₀) = 1 b) Um polinômio do 2o_{grau, cujos coeficientes são inteiros, admite as raízes conjugadas z} 0 = 1₂ + i e z0 = 1₂ – i. Portanto, é dado por P(x) = a(x – 1₂ – i) . (x – 1₂ + i) = a(x2_{– x +}1 4+ 1) = a(x2 – x + 5 4)

Como os coeficientes são inteiros, o coeficiente a deve ser múltiplo de 4, ou seja, a = 4k (k Î Z*). Assim, um polinômio nestas condições pode ser: P(x) = 4x2_{– 4x + 5}

c) Sendo w = x + y.i (x, y Î ), temos: (1₂ + i) (x + y.i) = ₂x+₂y_{. i + x . i – y =}x₂−y y₂ x i      + +__ __ | z₀ . w | = 5 2 (I) Assim: z₀ . w = x₂−y y₂ x i      + +__ __ e devemos ter: x₂ – y = y₂ + x (II) De (I), temos: ₂x−y2 y₂ x2 5 2 x₂ y2 y₂ x       + +__ __{ =} ⇒ −       + +__ __{ =}2 50 De (II) x₂= − 3₂y_{Þ x = – 3y (III)} Substituindo (III) em (I) resulta: − −        + −__ __{ = ⇒ −}__ __{ + −} 3 2 2 3 50 52 2 2 2 y _y y _y y 55 2 50 254 254 50 2 6 2 6 2 2 2 y y y y e x_ou y e x        = ⇒ + = ⇒ = =− = − =       

Os complexos procurados são: w₁ = – 6 + 2i e w₂ = 6 – 2i

d) No plano complexo, sendo z₁ = (x; y) simétrico a z₀ = (1₂ ; 1) em relação à reta y – x = 0, temos a figura ao lado: Assim: z₁ = (1; 1₂) y – x = 0 z₁= (1; 1₂) z₀= (1₂; 1 ) 1 y x 1 1 2 1 2         

(5)

Seu pé direito nas melhores Faculdades

FUVEST – 11/01/2011

5

05. As raízes da equação do terceiro grau x3_{– 14x}2_{+ kx – 64 = 0} são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine a) as raízes da equação; b) o valor de k. Resolução: a) Sendo x_q, x, xq as raízes em P.G, da equação x3_{– 14x}2_{+ kx – 64 = 0, temos:} x q . x . xq = 64 (I) x_{q + x + xq = 14} (II) De (I): x3_{= 64 Þ x = 4} Substituindo-se em (II): 4_{q + 4 + 4q = 14} 4_{q + 4q = 10} 2q2_{– 5q + 2 = 0} Assim, q = 1_{2 ou q = 2 e as raízes da equação são 2, 4 e 8.} b) Sendo 2 uma raiz da equação, temos 23_{– 14 . 2}2_{+ 2k – 64 = 0} k = 56

06. As circunferências C₁ e C₂ estão centradas em O₁ e O₂, têm raios r₁ = 3 e r₂ = 12, respectivamente, e tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C₁ no ponto P₁, tangente a C₂ no ponto P₂ e intercepta a reta O O_{1 2}

no ponto Q.

Sendo assim, determine a) o comprimento P₁P₂; b) a área do quadrilátero O₁O₂P₁P₂; c) a área do triângulo QO₂P₂. Resolução: a) Seja O₁R // P₁P₂ portanto R02 = 12 – 3, RO2 = 9

Aplicando o teorema de Pitágoras no

∆O

₁R0₂ Temos 152 = x2 + 92, isto é x = 12 Onde P₁P₂ = 12 b) A área do trapézio O, O₂P₂P₁ é dado por S = (3 12 12+₂ ) =90 S = 90 c)

∆

QP₁O₁ ~

∆

QP₂O₂ QP O P QP O P QP QP QP 1 1 1 2 2 2 1 1 1 3 12 12 4 = ∴ = + ∴ = Então OP₂ = 4 + 12 = 16 e a área do QP₂O₂ é S_QP2O2 = 16 12₂. = 96 Q 3 3 3 x _R 12 x O₁ _O₂ P₁ P₂

(6)

FUVEST – 11/01/2011

Seu pé direito nas melhores Faculdades

6

COMENTÁRIO DO CPV A Banca Examinadora de Matemática da FUVEST está, mais uma vez, de parabéns por ter elaborado uma prova contendo questões conceitualmente claras e bem abrangentes, com a qual terá perfeitas condicões de selecionar adequadamente os melhores candidatos. Os assuntos abordados foram: Questão 1: Função Modular / Logaritmos e Inequações Questão 2: Geometria Plana (áreas) e Geometria Espacial Questão 3: Análise Combinatória e Probabilidades

Questão 4: Números Complexos / Polinômios e Geometria Analítica (aplicação gráfica) Questão 5: Equações Algébricas e Progressões Geométricas

Questão 6: Geometria Plana