Cálculo Numérico. Aula 21 Integração Numérica. Prof. Rafael Mesquita /07/2014

Prof. Rafael Mesquita rgm@cin.ufpe.br

Aula 21 – Integração Numérica

2014.1 – 14/07/2014

Integração Numérica

Problemas resolvidos pelo cálculo de integral definida

Determinação de áreas Determinação de volumes ...

Mas, mem sempre o cálculo de integrais pode ser feito analiticamente...

Buscamos uma solução numérica Duas situações possíveis:

Função a ser integrada é desconhecida

Temos apenas uma tabela de pontos

Função é conhecida, mas a determinação de sua integral não é trivial (ou é impossível)

Integração Numérica

Fórmulas de Newton-Cotes

Integra o polinômio interpolador que substitui a função

Aproximação

Intervalo de integração [ ; ] é dividido em partes iguais

= + , = 1,2, … ,

Podemos então construir a tabela ( ; ( ))

A partir da tabela a função é interpolada para calcular o valor aproximado de

Fórmulas de Newton-Cotes

Ideia Geral

Integrar o polinômio interpolador da função

( )

= … =

Intervalo [a;b] é dividido em partes iguais – = + , = 1, … ( ) interpola em [a;b] Calculamos a area... ! = " # ! = $ % = $ & + ' ! %

Fórmulas de Newton-Cotes

Fórmulas de Newton-Cotes

Fórmulas de Newton-Cotes

temos o método de Newton-Cotes generalizado:

= ∑ _. 5 + 7

(₎ (_*

Fórmulas de Newton-Cotes

Para obter 5 , faremos uma mudança de variável, onde = + 8 e teremos novos limites de

integração: Para = ⇒ 8 = 0 = ⇒ 8 = , pois z = (0(* < Como 5 = ₍() -* = ∏ 0 ₁ 20 1 $ 1.% 132 (₎ (_* = (0(* (₌0(_* (0(_> (₌0(_> … (0(_=?> (₌0(_=?> (0(_=@> (₌0(_=@> … (0(₎ (₌0(₎ (₎ (_*

Fórmulas de Newton-Cotes

De forma genérica, temos que

(0(_B (₌0(_B = (0((_*C <) 0 < = (0(_*0 < 0 < = (0(_* 0 < − < 0 < = A 0 − 0 = A0 0

Fórmulas de Newton-Cotes

Assim, aplicando a mudança de variável onde = + 8 e = 8, teremos que 5 = (0(* (₌0(_* (0(_> (₌0(_> … (0(_=?> (₌0(_=?> (0(_=@> (₌0(_=@> … (0(₎ (₌0(₎ (₎ (_* 5 = A A0 0 … A0 C 0 C A0 0 0 0 … A0 0 8

Fórmulas de Newton-Cotes

De forma mais sintética, temos que:

= 5

=

8,

Com H = 8 8 − 1 8 − 2 … (8 − )

Método dos trapézios

Calcula a área sob uma curva como uma série de trapézios

Substitui, em cada subintervalo [ ; _C ], a função por uma reta

Calcula-se a área de cada trapézio e, em seguida, soma-se cada área

Método dos trapézios

Método dos trapézios

Soma de cada subintervalo

! $ % = ! + ! I J J % + ⋯ + ! $ $?J

Usando o método de Newton-Cotes no intervalo _%; _J temos que

! = ∑ _. 5 + 7 = 5 + 5 + 7

> %

Como 5 = 5 = <, obtemos que

= < + < + 7 (_> (_* = < + < + 7 (_L (_> = < + < _M + 7_M (_N (_L … = < ₀ + < + 7 (₎ (_)?>

Método dos trapézios

= O (* CO () + ∑ _.0 + 7

(₎ (_*

7 ⇒ PQQR R SéUR R RV UQ Wé8XRV

Podemos reescrever o método dos trapézios como ≅ (Z⁄ + \ + )

(_>

(_* ,onde

E -> somatório das imagens nos pontos extremos

P -> somatório das imagens nos pontos pares (sem extremos) I -> somatório das imagens nos pontos ímpares (sem extremos)

Método dos trapézios – Exemplo

Exemplo: Calcule, aproximadamente, o valor da integral _%,%%,^ ] ! usando o método dos trapézios, considerando 7 pontos dentro do intervalo [0,0;0,6]

Método dos trapézios – Exemplo

Exercício

Calcule, usando a regra do trapézio com 7 pontos,

Método de Simpson

“O método de Simpson se propõe a dar uma

melhor precisão uma vez que são usadas partes de parábolas para aproximar a curva a ser

Método de Simpson

“Neste caso n tem que ser par, pois são somados dois subintervalos por vez.”

Método de Simpson

Outro caminho:

Exercício

Usando a regra de Simpson para 7 pontos, calcular:

Referências

Santos, J.D.; Silva, Z. C. Métodos Numéricos, Ed. Universitária UFPE. 3ª ed. Recife-PE, 2010.

Cuminato, J.A. Cálculo Numérico. Notas de Aula ICMC/USP. Disponível em:

http://www.ceunes.ufes.br/downloads/2/riedsonb-Apostila%20-%20Cuminato.pdf