Matemática. Elementar II Caderno de Atividades

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Matemática

Elementar I

Autor

Leonardo Brodbeck Chaves

Matemática

Elementar I

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IESDE Brasil S.A.

Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel 80730-200 • Curitiba • PR

www.iesde.com.br

C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.

Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba: IESDE Brasil S.A., 2009.

196 p.

ISBN: 978-85-7638-798-5

1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.

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Leonardo Brodbeck Chaves

Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em Eletrônica também pela UFPR.

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Sumário

Contagem | 11

1. A noção básica da Matemática: a contagem | 11 2. O sistema de numeração decimal | 13

Adição e subtração | 17

1. A adição | 17 2. A subtração | 18

Multiplicação e divisão | 21

1. A multiplicação | 21 2. A divisão | 23

Frações (I) | 25

1. As frações | 25

2. Resolução de problemas com frações | 28 3. Frações próprias e impróprias | 30 4. Simplificação de frações | 31

Frações (II) | 35

1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 35

2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 36 3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 37 4. Multiplicação com frações | 40

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Expressões numéricas | 47

1. Introdução | 47

2. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47

Geometria (I) | 53

6. Medida do comprimento da circunferência | 62

Geometria (II) | 65

1. Unidade de área | 65 2. Áreas de figuras planas | 66 3. Volumes | 70

Razão e proporção | 75

1. Razão | 75 2. Proporção | 79

3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80

Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 85

1. Grandezas diretamente proporcionais | 85 2. Grandezas inversamente proporcionais | 88

Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 95

1. Proporcionalidade composta | 95 2. Regra de três composta | 97

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Porcentagem e juro | 105

1. Porcentagem | 105 2. Juro | 111

Equações do 1.

o

_{grau | 117}

Equações do 2.

o

_{grau | 125}

1. Noção de equação do 2.o_{grau | 125}

2. Forma geral | 125

3. Solução de uma equação do 2.o_{grau | 127}

4. Resolução de problemas do 2.o_{grau | 137}

5. Problemas que envolvem equações do 2.o_{grau | 138}

Sistemas lineares 2 x 2 | 143

2. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 144

3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 144 4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 146 5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 151 6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153

Radiciação | 159

1. Introdução | 159 2. Quadrados perfeitos | 160 3. Raiz quadrada | 161

Gráfico e função | 163

1. Plano cartesiano | 163 2. Função afim | 164 3. Função quadrática | 168

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Apresentação

O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E desde o surgimento do homem foi dessa forma.

Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações matemáticas:

a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos; b) o círculo da lua cheia;

c) um cristal de gelo com angulação precisa;

d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;

e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre outros.

Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).

Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais

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(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, frente às situações da realidade.

A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.

Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e desenvolvimento para a sociedade.

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Razão e proporção

1. Razão

1.1 Definição

Razão é o quociente entre dois números, sendo que o segundo número é diferente de zero. A

B ou A : B com B ≠ 0

Como você pode perceber, uma razão é também representada por uma fração. No entanto, não deve ser lida como se fosse um número racional. Observe o quadro abaixo:

Número racional

(representado por fração)

Razão

1

3 lê-se: um terço 13 lê-se: um para três ou um está para três 9

5 lê-se: nove quintos 95 lê-se: nove para cinco ou nove está para cinco 4

10 lê-se: quatro décimos

4

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades

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1.2 Os termos de uma razão

Vamos considerar a notação 3

7. O que ela representa?

A notação 37 é um numeral (fração) que representa o número “três sétimos”, em que 3 é o

numerador, e 7 o denominador. Porém, 3

7 é a representação também da razão “três para sete”, em que 3 é denominado antecedente, e 7 é denominado conseqüente.

Fração

Razão

numerador

denominador conseqüenteantecedente

1.3 Razões iguais e simplificação de uma razão

Para obtermos razões iguais, basta aplicarmos a propriedade fundamental das razões, que é a seguinte:

Ao multiplicar ou dividir os termos de uma razão por um mesmo número diferente de zero, obtém-se outra razão igual à primeira.

Acompanhe duas aplicações da propriedade fundamental das razões:

2 3 = 46 = 69 = 12 = ...8 2x x3 x4 2x x3 x4 48 60 = = = :2 24 30 1215 45 :2 :3 :2 :2 :3 _{Forma irredutível}

Observe que, no exemplo anterior, a razão 4

5 é a forma mais simples de 4860 e não é possível simplificá-la ainda mais, portanto, é chamada de irredutível.

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Razão e proporção 77

Exercícios

1. Complete, indicando a leitura das seguintes razões:

a) 34 : ____________________________________________________________________ b) 1 : 5 : ___________________________________________________________________ c) 49 : _____________________________________________________________________________ d) 97 : _____________________________________________________________________________ e) 5 : 10 : __________________________________________________________________________

2. Complete as frases com numerador, denominador, antecedente ou conseqüente: a) 4

9 é uma fração, em que 4 é o _____________ e 9 o _____________. b) 13₁₇ é uma razão, em que 13 é o _____________ e 17 o _____________. c) 37 é uma fração, em que 3 é o _____________ e 7 o _________________. d) 16 é uma razão, em que 1 é o _____________ e 6 o _________________.

3. Simplifique as razões a seguir até a forma irredutível: a) 18

24=

b) 6 27=

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades 78 c) 12 30= d) 15 16= e) 30 54= f) 56 88=

4. Acompanhe os problemas resolvidos a seguir e, depois, resolva os exercícios:

• Você tem 25 anos de idade e seu irmão mais velho tem 30 anos. Qual é a razão entre a

sua idade e a do seu irmão? Solução: 25 anos 30 anos 5 6 =

• Qual é a razão entre 2 dias e uma semana?

Solução: 1 semana ⇔ 7 dias 2 dias 7 dias 2 7 =

a) Um casal possui 6 filhos, sendo 2 meninas e 4 meninos. Qual é a razão entre o número de meninos e de meninas?

b) Um time de futebol marcou em um campeonato 17 gols e sofreu 21. Qual é a razão entre o número de gols marcados e sofridos?

c) Uma colméia possuía 150 abelhas. Após três meses, esse número passou para 320 abelhas. Qual é a razão entre o número de abelhas depois e antes desse período?

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2. Proporção

2.1 Definição

A sentença que representa uma igualdade entre duas razões equivalentes constitui uma proporção.

Então, 60 40

30 20

= é uma proporção que se lê: sessenta está para quarenta, assim como trinta está para vinte.

2.2 Termos de uma proporção

A proporção formada pelas razões A

B e CD é dada por: A B C D = ou A : B = C : D Onde A e D são os extremos e B e C são os meios.

2.3 Propriedade fundamental das proporções

Numa proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Assim, na proporção A B C D = temos: A x D = B x C

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3. Aplicando razão e proporção para

calcular densidade volumétrica

Você já se perguntou por que uma bolinha de isopor flutua na água enquanto que uma de chumbo, de mesmo volume, afunda?

Isso ocorre porque a densidade do chumbo é maior que a densidade do isopor. Mas o que é densidade?

Densidade volumétrica de um corpo é a razão entre a massa desse corpo, que pode ser medida em quilograma (kg) ou grama (g) e o seu volume, que pode ser medido em metro cúbico (m³), centímetro cúbico (cm³) ou litro (), entre outras unidades de medida.

A fórmula da densidade é representada por: d = m

v d: densidade m: massa v: volume

A unidade da densidade pode ser kg/m³, g/cm³, entre outras. Note que a densidade é uma aplicação de razão.

Observe alguns exemplos de substâncias e suas densidades:

Substância

Densidade (g/cm³)

madeira 0,5 gasolina 0,7 álcool 0,8 alumínio 2,7 ferro 7,8 mercúrio 13,6

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Observe os exercícios resolvidos:

1. Um artista esculpiu um enfeite em madeira que possui um volume de 500cm3_{. Agora,} ele quer construir uma réplica do objeto usando ferro. Se o ferro possui uma densidade volumétrica de 7,8g/cm3_{, qual é a massa de ferro necessária?}

Como a densidade é a razão entre a massa e o volume: d = m

v , em que m é a massa e v é o volume.

Substituindo os dados e aplicando a propriedade fundamental das proporções: 7,8g = m

1cm3 _500cm3 m . 1 = 7,8 . 500 m = 3 900g ou 3,9kg

Resposta: A massa de ferro necessária para construir o mesmo objeto é de 3,9kg. 2. Você seria capaz de calcular a massa de madeira inicialmente utilizada na construção

do enfeite?

De acordo com a tabela de densidades, a densidade volumétrica da madeira é 0,5g/ cm3_{. Substituindo os dados e aplicando a propriedade fundamental das proporções:}

0,5g = m 1cm3 _500cm3 m . 1 = 0,5 . 500 m = 250g

Resposta: A massa de madeira utilizada foi de 250g.

A massa de madeira necessária para construir o mesmo objeto é menor do que a massa de ferro. Isso se deve ao fato de a densidade volumétrica da madeira ser inferior à densidade do ferro.

Exercícios

5. Dê a leitura das seguintes proporções: a) 3 2 6 4 ou 3 : 2 = 6 : 4 = lê-se: __________________________________________ b) 4 5 8 10 ou 4 : 5 = 8 :10 = lê-se: __________________________________________

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Matemática Elementar I – Caderno de Atividades 82 d) a b x y ou a : b = x : y = lê-se: __________________________________________

6. O termo x é desconhecido. Descubra seu valor em cada uma das proporções, aplicando a propriedade fundamental das proporções. Acompanhe o exercício resolvido a seguir: a) 4 3 = x 6 3 . x = 4 . 6 3x = 24 x = 24 3 ⇔ ∴x = 8 b) ₄₅x =5₉ c) 48 x 12 5 = d) 11 : 3 = x : 6

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7. Estude o problema resolvido a seguir e, depois, resolva os demais.

a) Uma vara de 12cm encravada verticalmente no solo produz uma sombra de 15cm. Quanto deve medir o comprimento da vara para que ela produza uma sombra de 45cm? 12cm 15cm x 45cm 15 . x = 12 . 45 15x = 540 x 540 15 = ⇔ = ∴x = 36cm

b) Você tem um arquivo de imagem no computador medindo 9cm de largura por 12cm de comprimento. Se você ampliar essa fotografia usando um software de edição de imagens de modo que a medida de seu comprimento passe a ser de 60cm, quanto medirá sua nova largura?

c) Na planta que representa o projeto de uma casa, as dimensões da sala são 6cm de largura e 10cm de comprimento. Ao construir a casa, a sala ficou com uma largura de 4,5m. Qual é a medida do comprimento da sala, em metros?

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Gabarito

Razão e proporção

1. a) 3

4 lê-se: três para quatro ou três está para quatro. b) 1:5 lê-se: um para cinco ou um está para cinco. c) 49 lê-se: quatro para nove ou quatro está para nove. d) 97 lê-se: nove para sete ou nove está para sete. e) 5:10 lê-se: cinco para dez ou cinco está para dez.

2. a) numerador; denominador. b) antecedente; conseqüente. c) numerador; denominador. d) antecedente; conseqüente. 3. _{a) 18 = 9 = 3} 24 12 4 b) 6 = 2 27 9 c) 12₃₀=₁₅6 =2₅ d) 15 60=205 =41 e) 30 54=1527=95 f) 56₈₈=28₄₄=14₂₂=₁₁7 4. a) 4 m eninos 2 m eninas=21

Gabarito

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c) 320 abelhas depois

150 abelhas antes =150320=16075 =1532

5. a) 3 = 6

2 4 ou 3 : 2 = 6 : 4 lê-se: três está para dois assim como seis está para quatro. b) 4

5=10 ou 4:5 = 8:108 lê-se: quatro está para cinco assim como oito está para dez. c) 12

15=45 ou 12:15 = 4:5 lê-se: doze está para quinze assim como quatro está para cinco. d) a

b=xy ou a:b = x:y lê-se: “a” está para “b” assim como “x” está para “y”.

6. b) x 45 59 9 . x = 45 . 5 9x = 225 x = 225₉ = ⇔ x = 25 c) 48 x 125 x . 12 = 48 . 5 12x = 240 x = 240₁₂ = ⇔ x = 20 d) 11:3= x:6 11 3 = x6 3 . x = 11 . 6 3x = 66 x = 66⇔ ₃ x = 22

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Gabarito 7. b) 9cm 12cm = 60x 12 . x = 540 12x = 540 x = 540⇔ ₁₂ x = 45cm c) 6cm 10cm = 4,5mx 6 . x = 10 . 4,5 6x = 45 x = 45⇔ ₆ x = 7,5m

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