Matemática. Resoluções. Aula 13. Extensivo Terceirão Matemática 5A a a c (f g)( c. x

(1)

Aula 13

13.01. a f x x f g x g x f g x x f g x x ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) = = ⋅ = ⋅ = 7 7 7 8 56 2 2 13.02. c g x x g f x f x g f x x g f x x g f ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ( = = ⋅ = ⋅ = ⋅ 8 8 8 7 8 49 2 2 2 2 xx)) = 392x2 13.03. a f x x f x f x f f x x f f x x ( ) (f( )) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) = + = ⋅ + = ⋅ + + = + 4 3 4 3 4 4 3 3 16 1   55 13.04. d g x x g f x x f g ( ) ( ) ( ) ( ( )) f( ) = + = + = = − + = = − ⋅ + = − 8 0 0 8 8 2 10 0 8 2 8 10 6 13.05. a f x x f g x x g f g ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) = − + = − ⋅ + = = + = = + = 2 10 1 2 1 10 8 8 1 8 8 8 16 13.06. 0 f x x f g x x g f g f g f g g ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( )) ( )( ) ( ) ( = − = − = = − = = 5 4 5 4 1 1 4 4 4 1 2   f)( )4 1 1 0= − =2 13.07. e f x x f g x x g f g ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) = + = + = = − = = − = − 3 3 1 0 0 1 1 2 0 1 1 2 1 13.08. b g x x g f x x f g f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) = − = ⋅ − = − = + − = − = − + = 2 2 2 2 4 10 2 4 4 10 26 2 2 13.09. a g x x g t t t f x x t t ( ) ( ) ( ) (f g)( ) f(t ) (f g)( = − + = + − = + = + + = + + 2 3 3 2 1 8 3 1 3   33 1 8 3 1 2 3 3 3 ) ( ) (f g)( ) ( ) = + + + = + + t t t  13.10. c f f x f x x x x x x ( ( )) ( ) , = − = − − = = − − ⇒ − = ⇒ = − ⇒ = = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 2 15 13.11. b f x x a x b x a x a b x a a b a ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 3 2 1 3 2 3 2 3 2 − = − ⋅ − + = − ⋅ − + = − = − + = −    − ++ = − ⇒ − + = − ⇒ =b 2 3 b 2 b 1 Portanto: 2a b− = ⋅ − =2 3 1 5 13.12. d g x x t g t t f x x t f g f t t t t f ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) = − = − = − = − = − = − − = − 2 2 1 1 1 4 1 1 1 4 1 5 (( ( ))g t t 1 16 1 5 16 3 = − = ⇒ = − 13.13. b

Substituindo b por zero, temos: f a f b f a b f a b b f a f f a f a f a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⋅ = + + − = ⇒ ⋅ = + + − ⇒ ⋅ 2 0 0 0 0 2 ff f a f a f f a f a f f a ou f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ( 0 2 2 0 0 0 1 0 0 0 = ⋅ ⇒ ⋅ − = ⇒ ⋅ − = ⇒ = )) =1

Como f não é uma função identicamente nula, então f( )0 1= .

Resoluções

1

5A

(2)

Aula 14

14.01. a f x x y x x y y x f x x ( ) ( ) = − = − = − = + = + − 2 10 2 10 2 10 10 2 10 2 1 14.02. d f x x f f x f f x f f x f x f f ( ) ( )( ) ( ( )) ( )( ) ( ) ( = − = = ⋅ − − − − − − 2 10 2 10 1 1 1 1 1    ))( ) ( )( ) x x f f x x = ⋅ +   _− = − 2 10 2 10 1  14.03. b

Seja f A: →B uma função injetora. Então: x₁≠x em A₂ ⇒f x( ) ( ) em B₁≠f x₂

14.04. c

Uma função f A: →B é sobrejetora quando todo elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. Portanto, Im( )f B= . 14.05. a f x x y x x y y _x _y x x f x x ( ) ( ) = − = − = − = + ⇒ = + = + = + − 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 1 22 14.06. d f x x y x ( ) = + = + 1 1 1 1 13.14. a f x x x f g x g x g x f g x x x f g ( ) ( ( )) [ ( )] ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( = − = − ⋅ = − − ⋅ − 2 2 2 2 2 1 2 1 xx x x x f g x x x )) ( ( )) = − + − + = − + 2 2 2 1 2 2 4 3

O gráfico da função f g é uma parábola com a concavidade vol-tada para cima e que intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, 3). O gráfico que melhor representa a função é o da alternativa a. 13.15. e g x x k g k k k g k k k g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( = + =

(

+

)

= +   _ − − − − − − − 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 22 1 2 2 3 2 2 3 1 1 k k k k ) = +   _ =_ _ = − − 13.16. d h f f f h f f h f h f ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 3 3 2 1 4 3 4 1 4 1 4 1 1 2 = − = = = = = = = − = ff f h h f ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) − = − + = + − = − 1 2 3 4 1 2 1 13.17. d f x ax b f a b a b f f a b a b f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = ⋅ + = ⇒ + = + = + + + + = 4 4 2 4 2 3 5 3 5 3 5 8aa b a b f f f f + = ⋅ + = ⋅ = + = = 2 2 4 2 2 4 3 5 4 2 ( ) ( ( ) ( )) ( ) 13.18. d f x x f f x x f g x g x x x g x x x ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) − = + − = + = + = + − + = + + 3 5 3 5 8 8 6 8 3 3 2 ₊₊ = − 8 6 2 g x x( ) x

Seg k( )é o menor possível, então k é a abscissa do vértice da pará-bola que representa a função.

k x b a V = =− =− − ⋅ = 2 6 2 1 3 ( ) 13.19. a)C p p C t t C t t C t ( ) , ( ) , ( , ) ( ) , ( ) , = ⋅ + = ⋅ + ⋅ + = + ⋅ + = 0 5 1 0 5 10 0 1 1 5 0 05 1 0 0 2 2 55⋅ +t2 6 b)C t t t t t anos ( ) , , , , , = ⋅ + = ⋅ = = ⇒ = 13 2 0 05 6 13 2 0 05 7 2 144 12 2 2 2 13.20. 18 (f g x x)( ) x f x x x x  = + ⇒  −   _ = + 2 2 2 2 1 1 1 Se x x − =1 4, temos: x x x x x x x x x x x x − = −    _ = ⇒ − ⋅ ⋅ + = ⇒ ⇒ − + = ⇒ + = 1 ₄ 1 ₄ ₂ 1 1 ₁₆ 2 1 16 1 2 2 2 2 2 2 2 2 118 Portanto: f( )4 18=

2

(3)

x y xy x xy x y x x f x x x = + + = ⇒ = − ⇒ = − = − − 1 1 1 1 1 1 1_{( )} 14.07. b a) INCORRETA. Se n m> , f não é injetora. b) CORRETA. c) INCORRETA.

Se n m= , f pode ou não ser injetora e pode ou não ser sobreje-tora. Portanto, f pode ou não ser bijesobreje-tora.

d) INCORRETA. e) INCORRETA. 14.08. d g x x y x x y y x g x x ( ) ( ) = + = + = + ⇒ = − = − − 4 4 4 4 4 1 14.09. c f x ax b f a b b a f a b b b a ( ) ( ) ( ) ( ) = + − = ⇒ ⋅ − + = ⇒ = = ⇒ ⋅ + = ⇒ = = ⇒ = 2 0 2 0 2 0 1 0 1 1 2 1 2aa a f x x ⇒ = = ⋅ + 1 2 1 2 1 ( ) Assim: f x x y x x y x y y x f x x ( ) ( ) = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + ⇒ − = ⇒ = − = − − 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 2 2 1 14.10. d I. VERDADEIRA f x x y x x y y x f x x ( ) ( ) = − + = − + = − + ⇒ = − + = − + − 4 4 4 4 4 1

Portanto, a inversa da função f é a própria f. II. VERDADEIRA

Ponto de intersecção dos gráficos de f e g: f x g x x x x y x y ( ) ( ) , , , = − + = + ⇒ = = + ⇒ = + = 4 1 15 1 15 1 2 5 y g 4 2,5 x f 1 –1 4 1,5

A área delimitada é a diferença entre as áreas de dois triângulos. 5 2,5 1 1 Área 5,75 2 2 ⋅ ⋅ = − = III. FALSA y 4 x f 4 4 4 Área 8 2 ⋅ = = IV. VERDADEIRA y g 4 2,5 x f 1 –1 4 1,5 45º 45º

Na figura, os triângulos coloridos de verde e de azul são retân-gulos e isósceles. Assim, os ânretân-gulos agudos medem 45° e conse-quentemente as retas são perpendiculares.

14.11. e

Existem infinitas possibilidades para o domínio e o contradomí-nio da função f de modo que ela seja bijetora. Por exemplo, se D(f) = [0, 1] e CD(f) = [1, 2], a função f é bijetora. Veja o gráfico: y 2 x 1 1 0

Note que a função é injetora (valores distintos de x têm imagens distintas) e sobrejetora, pois Im(f)=[1, 2] = CD(f).

Dentre as alternativas apresentadas, a única que torna a função bijetora é a al-ternativa e. Veja o gráfico da função de-finida por f x( ) = +1 x2_{, cujo domínio é}

D f() [ ,=0+ ∞[.

Nessa função, o conjunto imagem é Im(f) [ ,= + ∞1 [.

Observação:

Uma função fica determinada quando for especificada sua lei de formação, seu domínio e seu contradomínio. O

conjun-to imagem fica determinado conhecendo-se a lei de formação e o domínio. Portanto, seria mais apropriado que a questão solici-tasse o domínio e o contradomínio, pois existem funções não bijetoras cujo domínio é D f() [ ,=0+ ∞[ e o conjunto imagem é Im(f) [ ,= + ∞1 [. Para isso, basta que o contradomínio seja diferente do conjunto imagem e Im( ) CD(f)f ⊂ .

Exemplo: f f x x : [ , [ ( ) 0 1 2 + ∞ → = +  y x 1 0

3

(4)

14.12. c

a) CORRETA.

Se uma função é crescente, então x₁≠x₂⇒f x( ) ( )₁ ≠f x₂ , ou seja, a função é injetora.

b) CORRETA.

Se uma função é decrescente, então x₁≠x₂⇒f x( ) ( )₁≠f x₂ , ou seja, a função é injetora.

c) INCORRETA.

Uma função injetora pode ser crescente, decrescente ou nem crescente nem decrescente. Observe o gráfico da função

f:* →, definida por f x x ( ) =1. y x 0

• Existe x2>x1 tal que f x( ) ( )2 <f x1 . Assim, a função não é

crescente.

• Existe x₂>x₁ tal que f x( ) ( )₂ >f x₁ . Assim, a função não é de-crescente.

Portanto, a função não é crescente nem decrescente. No entan-to, é injetora. d) CORRETA. 14.13. d f x x x y x x x y y x xy y x xy y y x ( ) ( ) = + − = + − = + − ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ ⇒ ⋅ + = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2xx y x x − ⇒ = − + 2 2 2 1

Assim, f−1_:_− → −_{{ }}a _ _{{ }}₂_{é definida por}_{f x} x x − ₌ − + 1 2 2 1 ( ) .

A condição de existência da função inversa de f é: x+ ≠ ⇒ ≠ −1 0 x 1

Portanto, a = −1. 14.14. e

O gráfico da função f: → , definida por f x x( ) = 2_{, é:}

O conjunto imagem de f é Im( )f =+. Assim, a função não é

sobrejetora, pois Im(f) CD(f)≠ .

y

x 0

No gráfico observa-se que: A função f não é injetora. A função f é crescente para x > 0. A função f é decrescente para x < 0. Não existe x tal que f x( )< 0. 14.15. d

O gráfico da função inversa de f é uma reta que passa pelos pontos (0, 2) e (3, 0). Assim: f x ax b f a b b f a b a a − − − = + = ⇒ ⋅ + = ⇒ = = ⇒ ⋅ + = ⇒ + = ⇒ = − 1 1 1 0 2 0 2 2 3 0 3 0 3 2 0 ( ) ( ) ( ) 22 3 2 3 2 1 f x−( )= − ⋅ +x g f g f ( ) ( ( )) ( ) 1 1 1 2 1 2 2 3 2 2 2 3 3 1 1 = + = = = − ⋅ + = − − 14.16. 24 (08, 16) 01) INCORRETO.

O conjunto imagem de uma função constante tem um único elemento. Portanto, a função não é injetora, pois elementos distintos do domínio têm a mesma imagem.

02) INCORRETO.

O conjunto imagem de uma função quadrática não é , pois a função tem um valor mínimo ou um valor máximo. Portanto, o conjunto imagem é diferente do contradomínio e a função não é sobrejetora.

04) INCORRETO.

Se g x f x( ) ( )= +1, o gráfico da função g corresponde ao gráfico da função f, transladado de uma unidade para cima no plano cartesiano.

08) CORRETO.

Uma função afim, de  em , é injetora e sobrejetora (o con-junto imagem é igual ao contradomínio). Assim, é bijetora e, portanto, invertível.

16) CORRETO.

A função seno é limitada e varia de –1 a 1. Portanto, o conjunto imagem é Im( ) [ , ]f = −1 1.

14.17. a

Como f( ) ( )2+f5 9= , então f( )2 4= e f( )5 5= ou f( )2 5= e f( )5 4= .

Assim, temos as seguintes possibilidades: • f( )3 1=

f f( ( ))3 = ⇒2 f( )1 2= Assim, f( )2 3= . • f( )3 2=

f f( ( ))3 = ⇒2 f( )2 2= Não é possível, pois f(2) 2≠ . • f( )3 3=

f f( ( ))3 = ⇒2 f( )3 2=

Não é possível, pois o valor de f(3) é único. Portanto, f( )3 1= .

14.18. e I. CORRETA. II. INCORRETA.

Nem toda relação é uma função. Exemplo:

A = { , , }0 1 4 e B = − −{ , , , }2 1 0 1

A relação de A em B definida por R={( , )x y A B y∈ × | 2=x}_não é uma função, pois:

R ={( , ), ( , ), ( , ), ( ,0 0 1 1 1 1 4 2− − )}

(5)

Para o elemento 1∈A existem dois elementos de B, –1 e 1, tais que ( , )1 1− ∈R e ( , )1 1 ∈R.

III. INCORRETA.

Em uma função sobrejetora o conjunto imagem é igual ao con-tradomínio.

Im( )f =CD f( ) IV. CORRETA.

Em uma função injetora, temos que: x₁≠x₂⇒f x( ) ( )₁≠f x₂ 14.19. a = 3 f x x x a y x x a x y y a xy ax y xy y ax y ( ) ( = + + = + + = + + ⇒ + = + ⇒ − = − ⇒ ⇒ ⋅ 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2xx ax y ax x − = − ⇒ = − − 1 1 1 2 1 ) Assim, f x ax x − ₌ − − 1 1 2 1 ( ) . Para que f x x x − ₌ − − 1 1 3 2 1 ( ) , devemos ter a = 3. 14.20. f x x x (2 1) 3 6 − = −

Considere a seguinte transformação: 2 1 2 1 1 2 x x x x x x − → → + → + Assim: f x x x x x x x ( ) = + ⋅ +   _− = + − = +− 1 2 3 1 2 6 1 2 3 9 2 1 3 9

Determinamos a inversa da função f.

f x x x y x x x y y xy x y xy y x y ( ) ( = + − = + − = + − ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ ⇒ ⋅ 1 3 9 1 3 9 1 3 9 3 9 1 3 9 1 3xx x y x x − = + ⇒ = + − 1 9 1 9 1 3 1 ) Portanto: f− −     → − 1 1 3 3 :  { } f x x x − ₌ + − 1 9 1 3 1 ( )

Aula 15

15.01. c a) INCORRETO. x b a y f V V =− = − ⋅ − = = = − ⋅ + ⋅ = 2 18 2 3 3 3 3 32 18 3 27 ( ) ( )

O vértice da parábola é o ponto (3, 27). b) INCORRETO. f x x x x x x ou x ( ) ( ) = − + = ⋅ − + = ⇒ = = 0 3 18 0 3 18 0 0 6 2

Os zeros da função são 0 e 6. c) CORRETO.

d) INCORRETO.

O gráfico da função é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. O conjunto imagem da função é Im(f) ]= −∞ 27, ]. 15.02. d

A ordenada do vértice da parábola é 0. Assim: y p p _p _p V= − − ⋅ ⋅ ⋅ = − _{= ⇒} _{− = ⇒ =} 0 4 4 3 4 3 0 12 16 12 0 12 16 0 4 3 2 ( ) 15.03. c f x x x x ou x ( ) = − = ⇒ = = 0 2 2 8 0 0 4 x b a y f V V =− =− − ⋅ = = = ⋅ − ⋅ = − 2 8 2 2 2 2 2 22 8 2 8 ( ) ( )

Assim, os pontos A e B são (0, 0) e (4, 0) e o vértice da parábola é (2, –8). A base AB do triângulo AVB mede 4 e a altura relativa a essa base mede 8.

Portanto: AAVB=4 8₂⋅ =16

15.04. c

O gráfico da função f é uma reta que passa pelos pontos (0, –1) e 1 2,0    _. Assim: f x ax b f a b b f a b a ( ) ( ) = + = − ⇒ ⋅ + = − ⇒ = −       = ⇒ ⋅ + = ⇒ − = ⇒ 0 1 0 1 1 1 2 0 1 2 0 2 1 0 aa f x x = = − 2 2 1 ( ) 15.05. c f x f x x x x x x x f x f x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + − = + − ⋅ + − + + − = + + − − 3 3 3 3 3 3 6 9 3 2 2 2 ₉₉ ₃ 3 6 ₆ 2 − + + − ₌ ₌ x x x f x f x x x x ( ) ( )

5

(6)

15.06. a f g x g f x x k x k x k x k k  ( ) ( ) ( ) = ⋅ − + = + − − + = + − ⇒ = 2 1 2 1 2 2 1 2 1 0 15.07. a g k k f g k f k x x x ( ) ( ( )) ( ) ( ) = − = − = ⋅ − + = ⇒ = ⇒ = 2 1 25 2 1 25 4 2 1 5 25 8 24 3 15.08. b g x g f x x g f x x x g f x x ( ) x ( ( )) ( ) ( )( ) ( )( ) = − = − − = − + − = − 2 2 2 2 1 2 1 1 4 4 1 1 4   44x 15.09. d V t V t t t t t utos A( ) B( ) min = + = − = = 200 3 5000 3 6 4800 800 15.10. a

A função h é função composta das funções g e f.

h x g f x h x x ( ) ( ( )) h(x) (x ) ( ) = = ⋅ − + = − 2 4 5 2 3 2 2 15.11. b f g x g f x x k k x k k x k k x k k k  ( ) ( ) ( ) ( ) = ⋅ − + + = − + + − + + = − − + ⇒ 2 2 4 2 4 2 2 4 4 2 4 2 == 0 15.12. d f f f f f f f f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 0 1 0 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 1 2 = − = = = − = = = = − = i i i ff f f f f f f f f f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 3 5 3 5 2 5 27 0 1 3 5 = = = − = = = − = + + i f( )2+f f ( )3 1 1 2 27 31= + + + = 15.13. b y x x x ou x = ⋅ − ⋅ − = ⇒ = = 0 3 11 0 3 11 α ( ) ( )

Os zeros da função são 3 e 11.

A abscissa do vértice da parábola é 3 11

2 7

+ ₌ _.

A ordenada do vértice é y = ⋅ − ⋅ −α(7 3 7 11) ( )= −16α. A reta r passa pelos pontos (3, 0) e (7, –16α).

Assim: y ax b a b b a a b a a a b a = + = ⋅ + ⇒ = − − = ⋅ + ⇒ − = ⋅ − ⇒ = − = − = − ⋅ − 0 3 3 16 7 16 7 3 4 3 3 α α α ( 44 12 4 12 α α α α ) = = − ⋅ + y x

Como a abscissa do ponto B é 0, temos: y B = − ⋅ + = = 4 0 12 12 0 12 α α α α ( , )

Como a área do triângulo OAB é 9 2, temos: OA OB⋅ ₌ ⋅ = ⇒ = 2 9 2 3 12 9 1 4 α α 15.14. a f x( ) ( )− = −x2+ = + =₃ x2 ₃ f x( ) A função f é par. g x( )− = − ⋅ − = = −2( )x 2x g x( ) A função g é ímpar. 15.15. c f x x f x x f f f ( + = ⋅) ( ) = ⇒  +   _ = ⋅ _ _    _ = ⋅ = 1 1 3 1 3 1 1 3 1 3 4 3 1 3 21 77 4 3 4 3 1 4 3 4 3 7 3 4 3 7 28 3 x f f f = ⇒  +   _ = ⋅ _ _    _ = ⋅ = 15.16. c

Sendo h e A, respectivamente, a medida da altura e da área de um triângulo equilátero cujos lados medem



.

Assim: h A ( ) ( )

 

= = 3 2 3 4 2

O gráfico que representa h em função da medida dos lados é uma semirreta com origem no ponto (0, 0).

Como h( )2 2 3 ,

2 3 173

= =  , o gráfico (II) representa a medida da altura.

O gráfico que representa A em função da medida dos lados é parte de uma parábola com origem no ponto (0, 0).

Como A( )2 2 3 ,

4 3 173

2

= ⋅ =  , o gráfico (III) representa a me-dida da área. 15.17. d g x a x x g a a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ⋅ + ⋅ − = − ⇒ ⋅ + ⋅ − = − ⇒ = 5 1 0 5 0 5 0 1 5 1 Assim: g x x x g x x x ( ) ( ) ( ) ( ) = ⋅ + ⋅ − = + − 1 5 1 4 5 2 Como g x( )= ⋅ +2f(x )1, temos: x x x x fx x x 2 2 2 4 5 2 1 1 1 2 2 5 2 1 1 2 2 1 1 + − = ⋅ + + = ⋅ + − + = ⋅ + ⋅ − − − f(x ) f(x ) ( ) ( ) ( 11 5 2 1 2 4 2 ) ( ) − = ⋅ + − f x x x Portanto: x y f x y V V V V = − ⋅ = − = − = ⋅ − + − − = − ⋅ = − ⋅ −    1 21 2 1 1 1 2 1 1 4 9 2 1 9 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )   = 4 5,

6

(7)

15.18. 28 (04, 08, 16) 01) INCORRETO.

Considere a função injetora g: → , definida por g x x( ) = +1 e a função f: → , definida por f x x( ) = 2−_1. Assim: g f x x g f x x ( ( )) ( ( )) = − + = 2 2 1 1

A função g f , de  em , não é injetora. 02) INCORRETO. • g é decrescente ⇒ x₁>x₂⇒g x( )₁<g x( )₂ • f é decrescente ⇒ g x( )1<g x( )2 ⇒f g x( ( )) ( ( ))1 >f g x2 Assim: x₁>x₂⇒f g x( ( )) ( ( ))₁ >f g x₂ A função f g é crescente. 04) CORRETO. • f é crescente ⇒ x₁>x₂⇒f x( ) ( )₁>f x₂ • g é decrescente ⇒ x₁>x₂⇒g x( )₁<g x( )₂ • g x( ) > 0 para todo x real ⇒ g x g x

g x g x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 1 < ⇒ > Assim: f gx f x g x x x f x f x f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = > ⇒ > ⇒ ⋅ > ⋅ ⇒ 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 ⇒ ⇒f x > g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 Portanto, a função f g é crescente. 08) CORRETO. • f é decrescente ⇒ x1>x2⇒f x( ) ( )1<f x2 • g é decrescente ⇒ x₁>x₂⇒g x( )₁<g x( )₂ Assim: x x f x g x f x g x f g x f g x 1 2 1 1 2 2 1 2 > ⇒ + < + ⇒ + < + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) A função f + g é decrescente. 16) CORRETO.

Se os gráficos de f e de g não intersectam o eixo das abscis-sas, então f(x) 0≠ e g(x) 0≠ , para todo x real. Portanto,

f x g x( ) ( )⋅ ≠ 0 para todo x real, ou seja, o gráfico de f g⋅ não intersecta o eixo das abscissas.

15.19. 2 2 x 4x 3 0 e x 1 0 x 4x 3 0 x 1ou x 3 (I) x 1 0 x 1 (II) − + ≥ − > − + ≥ ⇒ ≤ ≥ − > ⇒ >  

Assim, de (I) e (II), temos que x ≥ 3. D f( ) {= ∈x |x≥ = + ∞3} [ ,3 [ 15.20. a) x x x x x x x x ou x + ₌ + = − − = ⇒ = + = − 1 1 1 0 1 5 2 1 5 2 2 2 O número áureo é 1 5 2 + . b) F F F F F F F F F F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 7 13 8 21 9 7 = = = = = = = = = )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + = + = = + = + = = + = F F F F F F F 8 13 21 34 10 8 9 21 34 55 11 9 10 344 55 89+ = Assim: F F ( ) ( ) , 11 10 89 55 16 = 

7

(8)

13.01. d

Para cada uma das listas, temos:

Média

Mediana

5, 5, 7, 8, 9, 10 5 5 7 8 9 10 6 7 33 + + + + + _{≅ ,} 7 8 2 7 5 + _{= ,} 4, 5, 6, 7, 8, 8 4 5 6 7 8 8 6 6 33 + + + + + _{≅ ,} 6 7 2 6 5 + _{= ,} 4, 5, 6, 7, 8, 9 4 5 6 7 8 9 6 6 5 + + + + + _{≅ ,} 6 7 2 6 5 + _{= ,} 5, 5, 5, 7, 7, 9 5 5 5 7 7 9 6 6 33 + + + + + _{≅ ,} 5 7 2 6 + ₌ 5, 5, 10, 10, 10, 10 5 5 10 10 10 10 6 8 33 + + + + + _{≅ ,} 10 10 2 10 + ₌

Logo, a única lista na qual a média das notas é maior do que a me-diana é 5, 5, 5, 7, 7, 9.

13.02. b

Sendo V o volume total de esgoto gerado, se 36% desse esgoto ge-rado é tratado, então a quantidade não tratada corresponde a 64% do volume total V. Assim:

64% · V = 8 bilhões de litros ⇔ V = 12,5 bilhões de litros.

Uma campanha para melhorar o saneamento básico nessas cidades tem como meta a redução da quantidade de esgoto lançado nas águas diariamente, sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos pró-ximos meses. Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo (12,5 bilhões de litros), então o volume tratado será de 8,5 bilhões de litros. Assim, o percentual de esgoto tratado será:

8,5/12,5 = 0,68 = 68%. 13.03. e

A média aritmética é dada por:

X =2 1 3 4 4 4 5 6 6 5 7 8 8 8 9 4⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 40 X =246 40 X = 6 15, 13.04. e

A média da produção do primeiro e terceiro ano é igual a 12 3

2 7 5

+ _{= ,} _.

A média da produção do segundo e quarto ano é igual a 9 6

2 7 5

+ _{= ,}_. Logo, a média da produção do primeiro e do terceiro ano é igual à média da produção do segundo e do quarto ano.

13.05. e

O ângulo de um candidato que recebeu 350 votos, em um universo de 1500, é dado por:

350

1500⋅360° = °84 13.06. a

Seja x a quantidade de alunos da turma A. Utilizando o conceito de média aritmética ponderada, temos:

6 2 7 0 100 100 6 4 , , , x x x x + ⋅

(

−

)

−

(

)

+ = 6 2 700 7 0 100 6 4 , x+ − , ⋅x₌ _, 700 0 8− , x⋅ =640 700 640 0 8− = , x⋅ 0,8x = 60 x = 75 13.07. c

O conjunto ordenado, composto por 20 valores, é dado por: (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4)

A média aritmética é dada por: X =0 11 1 5 2 2 3 1 4 1⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

20

16 20 0 8, A moda é o valor mais frequente, ou seja: Mo = 0

Em 20 valores, a mediana é a média aritmética entre o 10°. e o 11°. valores: Me =0 0+ = = 2 0 2 0 13.08. e

Vamos supor que na ida foram utilizados n ônibus para levar p passageiros. Se na ida a média de passageiros por ônibus foi igual a 21,25, então: p n=2125= = = = 85 4 170 8 255 12 , ...

Como n < 10 e p < 400, então, necessariamente, p = 85 e n = 4, ou p = 170 e n = 8.

Se, na volta, foram usados 3 ônibus a menos, para trazer os mesmos passageiros, então a quantidade de ônibus não pode ser igual a 4, pois, se n = 4, então: p n−3= − = = 85 4 3 85 1 85

Um único ônibus não pode transportar 85 passageiros, pois o nú-mero máximo é 40.

Logo, resta uma única possibilidade: a de que na ida 8 ônibus transportaram 170 passageiros. Na volta, a média de passageiros por ônibus é igual a:

p n−3= − = = 170 8 3 170 5 34

Portanto, na volta a média foi igual a 34 passageiros por ônibus.

Aula 13

Resoluções

_5B

Matemática

(9)

13.09. b

A nota X, obtida na 6ª. avaliação, é tal que: 83 1 62 2 78 2 79 1 75 2 2 1 2 2 1 2 2 75 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + + = x 592 2 10 75 + ⋅x ₌ 592 2+ =x 750 2x =750 592− 2x =158 x =158 2 x = 79 13.10. d

As notas da 1a_{. avaliação, em ordem crescente, formam a seguinte}

sequência:

(5,0; 5,5; 5,5; 6,0; 7,0; 7,5; 9,0) A nota média da 1a_{. avaliação é igual a:}

X =5 0 5 5 5 5 6 0 7 0 7 5 9 0+ + + + + + = = 7

45 5

7 6 5

, , , , , , , , _,

Em 7 valores, a mediana é igual ao valor central (4º. valor), ou seja, Me = 6,0.

A moda do conjunto é igual a 5,5, pois é o valor que ocorre com maior frequência.

As notas da 2a_._{avaliação, em ordem crescente, formam a sequência:}

(5,0; 5,0; 5,5; 6,5; 7,0; 8,0; 8,5) A nota média da 2a_._{avaliação é igual a:}

X =5 0 5 0 5 5 6 5 7 0 8 0 8 5+ + + + + + = = 7

45 5

7 6 5

, , , , , , , , _,

A mediana é igual ao 4º. valor, ou seja, Me = 6,5. A moda do conjunto é igual a 5,0.

Portanto, a mediana é superior à moda em cada avaliação. 13.11. a) VERDADEIRA .

Percentual de alunos com notas inferiores à média na 1a_._avaliação:

4

7≅0 5714 57 14, = , %

b) FALSA.

Percentual de alunos com notas superiores à mediana na 2a_.

avaliação: 3

7≅0 4286 42 86, = , %

c) FALSA.

Percentual de alunos com notas inferiores à moda na 1a_._avaliação:

1

7≅0 1429 14 29, = , %

d) FALSA.

Percentual de alunos com notas superiores à média na 2a.avaliação: 3

7≅0 4286 42 86, = , %

e) FALSA.

Percentual de alunos com notas superiores à mediana na 1a_.

ava-liação: 3

7≅0 4286 42 86, = , %

13.12. c

−

)

+ +

(

−

)

2 2 2 2  Dp_Y= ⋅k Dp_X V. VERDADEIRA.

2 • Desvio padrão de Y: Dp y Y y Y y Y X Y n Y= n −

(

(

+

(

−

)

+ +

(

−

)

+ 1 2 2 2 2 1 

O resultado indica que as expressões de DpX e DpY possuem o mesmo numerador, porém o denominador de DpY é maior, de modo que

Dp_Y < Dp_X.

(11)

13.14. e

Vamos organizar os dados em uma tabela de frequências:

Idade (anos)

Ponto médio (P)

Frequência acumulada (F)

Frequência simples (f)

P · f

0 4 2 1

1

2 · 1 = 2

4 8 6 4 4 – 1 = 3 6 · 3 = 18

8 12 10 6 6 – 4 = 2 10 · 2 = 20

12 16 14 10 10 – 6 = 4 14 · 4 = 56

16 20 18 x x – 10 18 · (x – 10)

A média aritmética das idades, em anos, é dada por:

X x x =2 18 20 56 18 180+ + + + − 12 4, =18x−84 x 12 4, x=18x−84 84 18 12 4= x− , x 84 5 6= , x 84 5 6, = x x =15

Desta forma, o comprimento da linha vertical da última coluna, indicando a frequência acumulada até 20 anos de idade, tem comprimento igual a: 15 · 0,8 cm = 12 cm

13.15. d

A área da região sob o gráfico, limitada pelos eixos horizontal e vertical, e pela vertical do 30o_{. dia, é igual à soma das medidas das áreas das figuras}

geométricas que compõem a poligonal:

0 5 10 15 20 25 30 nível 600 500 400 300 200 100 0 dia do mês 2000 cm2 4000 cm2 _{1250 cm}2 1000 cm2 750 cm2

Pela decomposição em triângulos, retângulos e trapézios, a medida da área total é igual a: 2000 + 4000 + 750 + 1250 + 1000 = 9000 cm2

Dividindo a medida da área total por 30 dias, obtém-se o nível médio diário de água do reservatório: X =9000= 30 300cm 2 0 5 10 15 20 25 30 nível 600 500 400 300 200 100 0 dia do mês Nível médio diário nos 30 dias

4

(12)

13.16. a

A média M dos 6 primeiros meses é tal que: M · (1 + 1,5) = 75

M · 2,5 = 75 M = 30

Logo, nos primeiros 6 meses a quantidade de refrigerantes vendi-dos foi 6 · 30 = 180.

Desta forma, a quantidade vendida em maio, denotada por H, é tal que: 40 + 20 + 30 + 30 + H + 20= 180 140 + H = 180 H = 40 Observe que 40 ∈ [35, 45). 13.17. 01

A média aritmética é tal que:

30 25 0 8 20 2 15 4 10 30 25 20 15 10 4 2 2 ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + + = x , x x x _, 90_x_{+ +}60 10_x2₌420 10_x2₊90_x₋360 0₌ x2_{+ − =}₉x _{36 0} Logo, x = –12 ou x = 3.

Pela tabela, um quarto do número de aleitamentos da região possui tempo de aleitamento igual a 0,8x. Desta forma, 0,8x = 0,8 · 3 = 2,4. 13.18. d

A média aritmética dos valores é dada por: X=3 4+ +x= +x

3 7

3

A variância populacional é dada por: V=(x1−X)2+(x2−X)2+(x3−X) 2 3 Logo, tem-se: 14 3 3 7 3 4 7 3 7 3 3 2 2 2 = − +    x_ +_ − +x + −_ _x +x_ 14 2 3 5 3 2 7 3 2 2 2 = −   x_ +_ −x +_ _ x− _ 14 4 4 9 25 10 9 4 28 49 9 2 2 2 = − +x x + − x x+ + x − x+ 126 = 6x2_{– 42x + 78} 6x2_{– 42x – 48 = 0} x2_{– 7x – 8 = 0}

x = 8 ou x = –1 (não convém, pois a sequência é crescente) Portanto, x = 8.

13.19. A projeção de venda para o ano de 2013 era 28 bilhões de reais. A quantidade vendida no primeiro semestre foi igual a 12,74 bilhões de reais. Dessas informações, conclui-se que a projeção de vendas no segundo semestre era de 28 – 12,74 = 15,26 bilhões de reais. Se o percentual de vendas do primeiro semestre de 2013 se manti-vesse no segundo semestre de 2013, para os produtos mais vendi-dos, então o valor correspondente às vendas de produtos eletrôni-cos no segundo semestre de 2013 seria igual a 9% de 15,26 bilhões de reais, ou seja:

9

100⋅15 26 13734, = , bilhão de reais 13.20. a) A média aritmética das notas é dada por:

X = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + = = 7 7 8 5 9 9 10 11 7 5 9 11 280 32 8 75,

b) A turma é composta por 7 + 5 + 9 + 11 = 32 alunos. Os dois termos centrais ocupam a 16a_._{e 17}a_._posições.

Observando a tabela, constata-se que ambos os valores centrais são iguais a 9, de modo que a mediana das notas é dada por: Me =9 9+ = = 2 18 2 9

Aula 14

14.01. e

A escolha da salada pode ser feita de 2 modos. A escolha da carne pode ser feita de 4 modos. A escolha da bebida pode ser feita de 5 modos. A escolha da sobremesa pode ser feita de 3 modos. A escolha de uma salada, uma carne, uma bebida e uma sobremesa pode ser feita de 2 · 4 · 5 · 3 = 120 modos.

14.02. d

Para a escolha da forma de contribuição existem 4 maneiras. Para a escolha do valor da contribuição, existem 3 maneiras. Logo, para a escolha da forma de contribuição e do valor da contribuição exis-tem 4 · 3 = 12 maneiras.

14.03. a

Como o algarismo 0 não está disponível, para que o número forma-do seja divisível por 5, existe 1 única possibilidade para a escolha do algarismo das unidades, pois tal algarismo deve ser igual a 5. A escolha do algarismo das unidades de milhar pode ser feita de 4 modos. A escolha do algarismo das centenas pode ser feita de 3 modos. A escolha do algarismo das dezenas pode ser feita de 2 modos. Assim, para formar o número divisível por 5, formado por 4 algarismos distintos, existem 1 · 4 · 3 · 2 = 24 modos.

14.04. e

O gabarito da questão 1 pode ser escolhido de 5 modos. O gabari-to da questão 2 pode ser escolhido de 5 modos. Se cada uma das 16 questões pode ser respondida de 5 modos distintos, a quan-tidade total de modos de se preencher o cartão de respostas é igual a 516_.

14.05. a

Existem 10 opções de escolha para cada um dos dois últimos alga-rismos. Logo, o número máximo de telefonemas que ele teria que dar até contactar o cliente é igual a:

10 · 10 = 100 14.06. d

Para um número ser divisível por 6, ele deve ser também divisível por 2 e 3. Assim, deve ser um número par e cuja soma dos algaris-mos é um múltiplo de 3. Dessa forma, os números são: 132, 234, 342, 312, 324, 354, 432 e 534. Logo, 8 números são divisíveis por 6. 14.07. d

O primeiro aluno tem 8 opções de escolha, enquanto o segundo tem apenas 7 opções. Logo, pelo princípio fundamental da conta-gem, existem 8 · 7 = 56 opções para escolherem os dois armários.

(13)

14.08. a

O número total de senhas é dado por:

10 · 9 · 9 · 9 = 7290

14.09. c

A quantidade total de senhas é igual a (5 · 5 · 5) · (5 · 4 · 3. 2) = 15000. 14.10. d

Existem 16 possibilidades de escolha de um caractere: 10 algaris-mos e 6 letras. Para a senha de 5 caracteres existem 165_escolhas

possíveis. Exatamente 75% dessa quantidade de senhas corres-pondem a 0,75 · 165_{= 12 · 16}4_{senhas, ou 192 · 16}3_{senhas. Se em}

1 minuto são analisadas 163_{senhas, então em 192 minutos serão}

analisadas 192 · 163_{senhas. O tempo de 192 minutos corresponde}

a 3h e 12 minutos. 14.11. a

Para pedir uma casquinha com uma única bola existem: 5 + 3 + 2 = 10 modos.

Para pedir uma casquinha com exatamente duas bolas de grupos distintos existem:

5 · 3 + 5 · 2 + 3 · 2 = 31 modos.

Para pedir uma casquinha com três bolas, cada uma de um grupo distinto, existem:

5 · 3 · 2 = 30 modos.

Logo, para pedir a casquinha com uma, duas ou três bolas, existem: 10 + 31 + 30 = 71 modos

14.12. c

O número de modos distintos de se realizar essa pintura é 5 · 4 · 4 · 1 · 1 = 80. 14.13. d

Existem 26 · 26 = 676 códigos iniciados em A, ou seja de AAA até

AZZ, inclusive. Após os 676 códigos iniciados com a letra A, os

se-guintes começam com a letra B. Os primeiros 26 códigos iniciados com a letra B iniciam-se em BAA e terminam em BAZ. Desta forma, até o código BAZ são codificados exatamente 676 + 26 = 702 li-vros. Para identificar o último livro, de número 709, são necessários mais 709 – 702 = 7 códigos. Os últimos 7 livros têm os seguintes códigos: BBA, BBB, BBC, BBD, BBE, BBF e BBG. Logo, o último livro tem código BBG.

14.14. b

Quantidade de números pares com 1 único algarismo: 2 Quantidade de números pares com exatamente 2 algarismos dis-tintos:

2 · 1 + 3 · 1 = 5

Quantidade de números pares com exatamente 3 algarismos dis-tintos:

2 · 2 · 1 + 3 · 2 · 1 = 10

Quantidade de números pares com exatamente 4 algarismos dis-tintos:

2 · 2 · 1 · 1 + 3 · 2 · 1 · 1 = 10 Total = 2 + 5 + 10 + 10 = 27 14.15. e

Vamos supor que o professor possua n questões disponíveis para compor a prova bimestral. Existem exatamente duas opções de escolha para cada questão: ou a questão é escolhida para com-por a prova, ou não é escolhida. Observando que esse raciocínio pode ser utilizado para cada uma das n questões, pelo princípio multiplicativo, concluímos que há 2n modos de compormos uma prova a partir de n questões. Entretanto, nessa contagem, foi in-cluída a possibilidade única de nenhuma questão ser escolhida

para compor a prova. Logo, devemos excluir essa única opção. O número total de provas é igual a 2n_{– 1. Desta forma, temos:}

2n_{– 1 = 255}

2n = 256 2n_{= 2}8

n = 8

Portanto, o professor preparou exatamente 8 questões. 14.16. d

Se o algarismo das unidades de milhar for ímpar, podemos ter

IIPP, IPIP ou IPPI, onde I representa um algarismo ímpar e P

re-presenta um algarismo par. Nestas condições, o número de anos de sorte é 3 · (5 · 4 · 5 · 4) = 1 200. Se o algarismo das unidades de milhar for par, podemos ter P´IIP, P´IPI ou P´PII, onde P´ é um algarismo par não nulo. Nestas condições, o número de anos da sorte é 3 · (4 · 5 · 4 · 4) = 960.

Ao todo, no intervalo considerado, são 1200 + 960 = 2160 anos de sorte,. 14.17. e

Vamos denotar por X o jogador de linha convocado que pode atuar em duas posições diferentes. Assim, se X for escalado na posição para a qual não foi convocado, tanto essa posição quanto a posição para a qual foi convocado terão apenas 1 opção de escolha. Como para o goleiro temos 3 opções e para cada uma das oito demais posições temos 2 opções, o número de escalações possíveis será igual a:

3 · 1 · 1 · 28

Caso X não tenha sido escalado para a posição a qual não foi con-vocado, todas as dez posições de linha terão 2 opções e o número de escalações possíveis será igual a:

3 · 210

Portanto, ao todo, a quantidade de escalações possíveis é igual a: 3 · 28_{+ 3 · 2}10_{= 3 · 2}8_{(1 + 2}2_{) = 15 · 2}8_.

14.18. d

O produto P pode ser escrito da seguinte maneira: P = 16 · 41 · 54 · 120

P = 24_{· 41 · (2 · 3}3_{) · (2}3_{· 3 · 5)}

P = 28_{· 3}4_{· 5}1_{· 41}1

O número de divisores positivos de P é igual a (8 + 1) · (4 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 180.

14.19. a) Se Lia e Fábio estão ausentes, sobram 5 alunos que podem ser alocados, sem restrições, para as 4 disciplinas. Logo, existem 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = 120 modos possíveis e distintos de as equipes serem

formadas.

b) Caso Fábio participe da equipe, existe uma única escolha para o monitor de Matemática (Fábio). Como Lia não gostaria de ser monitora de Física, sendo monitora, ela poderia ser de Portu-guês ou Química. Assim, existem 2 opções de escolha de mo-nitoria para Lia. Escolhida a momo-nitoria de Lia, existem 5 modos possíveis, para escolher o monitor de Física e 4 modos possíveis para escolher o monitor da outra disciplina da qual Lia não é monitora. Desta forma, existem 1 · 2 · 5 · 4 = 40 modos de se for-mar as equipes com as participações simultâneas de Lia e Fábio. c) Lia não aceita ser monitora de Matemática, nem de Física. As-sim, se Lia for monitora e Fábio não for, necessariamente Lia será monitora de Português ou Química, ou seja, existirão 2 modos de Lia ocupar uma função de monitora, 5 modos de escolher o monitor de Matemática, 4 modos para escolher o monitor de Fí-sica e 3 modos de escolher o monitor da outra disciplina da qual Lia não será monitora. Portanto, serão 2 · 5 · 4 · 3 = 120 modos de escolher a equipe, se Lia for monitora e Fábio não for monitor.

Caso Fábio seja monitor e Lia não, o monitor de Matemática será Fábio (uma única opção de escolha) e 3 dos 5 alunos restantes poderão ser alocados, sem restrições, às 3 disciplinas restantes.

6

(14)

Assim, serão 1 · 5 · 4 · 3 = 60 modos de escolher a equipe se Fábio for monitor e Lia não for.

Reunindo todas as hipóteses consideradas, a quantidade total de equipes é igual ao número de equipes sem Fábio e sem Lia (120), adicionada à quantidade de equipes com Fábio e com Lia (40), adicionada à quantidade de equipes sem Fábio e com Lia (120) e,ainda, adicionada à quantidade de equipes com Fábio e sem Lia (60), ou seja:

120 + 40 + 120 + 60 = 340 equipes

14.20. a) O número 784 pode ser decomposto da seguinte maneira: 784 = 24_{· 7}2

Observe que 24 possui 5 divisores naturais (20, 21, 22, 23 e 24) e 72 possui 3 divisores naturais (70_{, 7}1_{e 7}2_{). A quantidade de divisores}

naturais de 784 é igual ao produto da quantidade de escolhas de um dos 5 divisores naturais de 24_{pela quantidade de escolhas}

de um dos 3 divisores naturais de 72. Assim, o número 784 possui 5 · 3 = 15 divisores naturais.

Aula 15

15.01. b Observe que 1 · 2 · 3 · 4 · ... · 17 = 17!. 15.02. b 10 7 3 10 9 8 7 7 3 2 1 10 9 8 3 2 1 120 ! ! ! ! ! ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 15.03. e (x x (x (x x x (x (x x x +2)!₌ + ⋅ + ⋅2 1 _{= + ⋅ + =}₂ ₁ 2_{+ +}₃ ₂ ! ) ) ! ! ) ) 15.04. e E =101 102+ 100 ! ! ! E =101 100 102 101 100⋅ + ⋅ ⋅ 100 ! ! ! E =( + )⋅ ⋅ ! ! 1 102 101 100 100 E =103 101⋅ E =10403 15.05. c (n (n (n (n n (n (n (n (n n (n + ⋅ + − = + ⋅ ⋅ − ⋅ + − = = + ⋅ ⋅ + 1 2 1 1 1 2 1 1 )! ) )! ) )! ) )! ) 22)= ⋅ + ⋅ +n (n 1)(n 2) 15.06. c

Se (n – 3)! = 120, então (n – 3)! = 5!, ou seja, n – 3 = 5. Logo, n = 8. 15.07. b (x x +1 ₌ 3 5 )! ! (x x x + ⋅ = 1 3 5 ) ! ! x + =1 3 5 x + =1 15 x =14 O número 14 é múltiplo de 7. 15.08. e E = + + + + ⋅ + (n (n (n (n 2 1 3 1 )! )! ) )! E = + ⋅ + + + + ⋅ + (n (n (n (n (n 2 1 1 3 1 ) )! )! ) )! E =

[

+ +

]

⋅ + + ⋅ + (n (n (n (n 2 1 1 3 1 ) )! ) )! E = + ⋅ + + ⋅ + (n (n (n (n 3 1 3 1 ) )! ) )! E =1 15.09. d (5x – 7)! = 1

Como 1! = 1 e 0! = 1, temos duas possibilidades para considerar: 5x – 7 = 0 ou 5x – 7 = 1

x =7

5 ou x = 8 5

A soma das raízes da equação é igual a: 7 5 8 5 7 8 5 15 5 3 + = + = = 15.10. c n! )! )! (n+ + +2 (n 1 = 1 48 n n n ! ) ) ! ) ! (n+ ⋅ + ⋅ + + ⋅2 (n 1 (n 1 = 1 48 n n ! ) ) ! (n+ + (n

[

2 1

]

⋅ + ⋅1 = 1 48 n n ! ) ) ! (n+ ⋅ + ⋅3 (n 1 = 1 48 1 3 1 1 48 (n+ ⋅ +) (n )= (n + 3) · (n + 1) = 48 n2_{+ 3n + n + 3 – 48 = 0} n2_{+ 4n – 45 = 0}

n = 5 ou n = –9 (não convém, pois n > 0). Portanto, n = 5

b) Observe que 784 = (28)2_{, ou seja, 784 é um quadrado perfeito.}

O número de maneiras de se decompor o número 784 em dois fatores está relacionado ao número de divisores do próprio nú-mero, pois para cada divisor x de 784, existe outro divisor y tal que

x · y = 784. Além disso, é necessário observar que existe um

úni-co produto cujos fatores são iguais: 28 · 28 = 784. A existência de um produto cujos dois fatores sejam iguais decorre do fato de 784 ser um quadrado perfeito. Isto não ocorre para números natuais que não sejam quadrados perfeitos. No item anterior, constatou-se que 784 possui 15 divisores naturais. Excluindo-se o divisor 28, existem 14 divisores naturais. Desta forma, existem 14 produtos iguais a 784 cujos dois fatores são distintos. Entretanto, nesta contagem considerou-se incorretamente que x · y ≠ y · x. Logo, a contagem correta deve considerar somente a metade dos 14 produtos, ou seja, 7 produtos distintos são iguais a 784. Contando o único caso adicional de produto cujos fatores são iguais (28 · 28 = 784), temos 8 maneiras de o número 784 ser decomposto em um produto de dois fatores naturais.

(15)

15.11. c (n (n − + − = 1 1 1 81 )! )! n! (n (n (n (n − + ⋅ ⋅ − − ⋅ − = 1 1 1 1 1 81 )! ) n )! n )! (n (n (n − + − ⋅ ⋅ − = 1 1 1 1 1 81 )! [ ) ] n )! (n (n − ⋅ ⋅ − = 1 1 1 81 )! )! n n 1 1 81 2 n = n2=81 n = ± 81 n = ±9 n > 0 → n = 9 15.12. e

Os números primos positivos e divisores de 30! são os números primos positivos menores que 30, ou seja, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 e 29. Logo: 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 23 + 29 = 129 15.13. b Da sequência 1! – 2! + 3! – 4! + 5! – ... + 999! temos: • 1! – 2! + 3! – 4! = –19 • –19 + 5! = 101 • 101 – 6! = – 619 • – 619 + 5040 = 4421

A partir do 4!, o algarismo das unidades varia entre 9 (toda vez que subtraimos um termo) e 1 (toda vez que adicionamos um termo). Como a sequência termina com uma soma (+ 999!), o algarismo das unidades será 1.

15.14. d

De acordo com as informações do enunciado, tem-se:

n · n! = (n + 1)! – n! Logo: E = 2 · 2! + 3 · 3! + 4 · 4! + 5 · 5! + 6 · 6! + 7 · 7! E = (3! – 2!) + (4! – 3!) + (5! – 4!) + (6! – 5!) + (7! – 6!) + (8! – 7!) E = 8! – 2! E = 40320 – 2

E = 40318 → 40316 é a melhor aproximação, dentre as que foram apresentadas. 15.15. d E = (n – 1)! · [(n + 1)! – n!] E = (n – 1)! · [(n + 1) · n! – n!] E = (n – 1)! · n! · [(n + 1) – 1] E = (n – 1)! · n! · n E = n · (n – 1)! · n! E = n! · n! E = (n!)2 15.16. d (x + 1)! = x! + 6x (x + 1) · x! – x! = 6x [(x + 1) – 1] · x! = 6 · x x · x! = 3! · x x · x! – 3! · x = 0 x · (x! – 3!) = 0 x = 0 ou x! – 3! = 0 x = 0 ou x = 3

Logo, a soma e o produto das raízes da equação são, respectiva-mente, iguais a 3 e 0. 15.17. e E = 2 · 4 · 6 · 8 · (...) · (2n) E = (2 · 1) · (2 · 2) · (2 · 3) · (2 · 4) · (...) · (2 · n) E n n vezes n = ⋅ ⋅ ⋅2 2 2 ( )⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 1 2 3 4 ( )⋅ ! … … E = 2n · n! 15.18. c

Usando todos os números de 1 a 16, conseguimos montar os se-guintes tipos de matrizes:

1 linha e 16 colunas → 16! matrizes distintas 2 linhas e 8 colunas → 16! matrizes distintas 4 linhas e 4 colunas → 16! matrizes distintas 8 linhas e 2 colunas → 16! matrizes distintas 16 linhas e 1 coluna → 16! matrizes distintas

Portanto, adicionando essas quantidades conclui-se que podem ser formadas 5 · 16! matrizes distintas.

15.19. O número total de sequências é igual a 12!. Se cada sequência é formada em 5 segundos, então o número de sequências formadas em 1 minuto é igual a: 12 60 5 12 11 12 11 !_{⋅ =} ⋅ !₌ _! Em uma hora, o número de sequências é igual a:

11 60

11 10 9 8 7

60 132 7

!₌ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ !₌ _⋅ _! Em um dia, o número de sequências é igual a:

132 7 24

132 7 6 5

24 231 5

⋅ !₌ ⋅ ⋅ ⋅ !₌ _⋅ _! Em um ano, o número de sequências é igual a:

231 5 360

231 5 4 3 2 1

360 77

⋅ !₌ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ₌

Portanto, 77 anos ininterruptos seriam necessários para ordenar os 12 livros distintos, de todas as formas possíveis, se cada ordenação demorasse exatamente 5 segundos.

15.20. Para descobrir com quantos zeros termina um número inteiro, basta escrevê-lo na forma X · 10Y, em que X e Y são números naturais, e X não é divisível por 10. Uma vez expresso desta maneira, o expoente Y determina a quantidade de zeros do número. Assim, para responder à pergunta, é necessário escrever 100! na forma X · 10Y_{, em que X e}

Y são naturais. Inicialmente, observe que 10 (base da potência) não

é um número primo e, portanto, pode ser expresso como produto de primos : 10 = 2 · 5. Logo, para expressar o número como potência de 10 é necessário, antes, escrevê-lo como produto dos primos 2 e 5. Em resumo, é preciso descobrir quantos fatores 2 e quantos fatores 5 possui o número 100!. Os fatores 2 ocorreram em todos os números pares, ou seja, apresentam fatores 2 os fatores 100, 98, 96, ..., 6, 4 e 2. Os fatores 5 ocorreram em todos os números divisíveis por 5, ou seja, apresentam fatores 5 os números 100, 95, 90, ..., 15, 10 e 5. Observe que nos 100 fatores do número 100!, ocorre menos o fator 5 do que o fator 2. Logo, a quantidade de fatores 10 no número 100! será regulada pela quantidade de fatores 5, já que o excedente de fa-tores 2 não produzirá isoladamente fafa-tores 10. A conclusão é a de que a quantidade de algarismos zeros no final do número 100! é igual à quantidade de fatores 5 que compõe o número 100!. A contagem da quantidade de fatores 5 pode ser organizada da seguinte maneira: • Conjunto dos números que apresentam apenas um fator 5: {95, 90, 85, 80, 70, 65, 60, 55, 45, 40, 35, 30, 20, 15, 10, 5} Esse conjunto possui 16 números, cada um com um fator 5. • Conjunto dos números que apresentam dois fatores 5: {100, 75, 50, 25} Esse conjunto possui 4 números, cada um com dois fatores 5. Portanto, a quantidade total de fatores 5 é igual a

16 · 1 + 4 · 2 = 16 + 8 = 24.

Desta forma, como o número 100! possui 24 fatores iguais a 5, en-tão termina com 24 algarismos iguais a zero.

(16)

Aula 13

13.01. c x y x y − = + =    2 2 2 3 18

Multiplicando a primeira equação por –2 e somando com a segun-da, temos: 2x 4y 4 2x 3y 18 7y 14 y 2 x 2y 2 x 2 2 2 x 6 − + = −  _⊕  + =  = ⇒ = − = − ⋅ = ⇒ =  Portanto: x y= = 6 2 3 13.02. c 3 2 17 4 3 24 x y x y + = + =   

Multiplicando a primeira equação por 3, a segunda por –2, e so-mando as equações resultantes, temos:

9x 6y 51 8x 6y 48 x 3 3x 2y 17 3 3 2y 17 y 4  + =  _⊕ − − =−  = + = ⋅ + = ⇒ =  Portanto: x y⋅ = ⋅ =3 4 12 13.03. d A x y y x B x y y x : : − + = ⇒ = + − + = ⇒ = + 2 6 0 6 2 3 15 0 15 3 Assim: x x x x x x x + > + ⋅ + > ⋅ + + > + > 6 2 15 3 3 6 2 15 3 18 2 30 12 ( ) ( ) 13.04. d 2 3 6 3 9 x y x y − = − + = −   

Multiplicando a primeira equação por 3 e somando com a segun-da, temos: 6 3 9 6 3 9 0 0 x y x y − = − + = −     ⊕ =

Assim, o sistema é possível e indeterminado. Como 2x y− = ⇒ = −3 y 2x 3, a solução da equação é:

S={( ,x x2 −3)} Portanto: a) x= ⇒1 ( ,1 2 1 3⋅ − = −) ( , )1 1 b) x= ⇒0 ( ,0 2 0 3⋅ − = −) ( ,0 3) c) x= ⇒1 _ ⋅ − _=_ − _ 2 1 2 2 1 2 3 1 2 2 , , e) x= ⇒3 _ ⋅ − _= _ _ 2 3 2 2 3 2 3 3 2 0 , ,

Portanto, ( , )1 1 não é solução do sistema. 13.05. e x 2y 3z 14 4y 5z 23 6z 18 6z 18 z 3 4y 5z 23 4y 5 3 23 y 2 x 2y 3z 14 x 2 2 3 3 14 x 1 + + =   + =   =  = ⇒ = + = ⇒ + ⋅ = ⇒ = + + = ⇒ + ⋅ + ⋅ = ⇒ =    13.06. c x y z x y z x y z + − = − + − = − + + =     3 2 2 7 3 3 11 2 5

Multiplicamos a primeira equação por –2 e somamos com a se-gunda. Multiplicamos a primeira equação por –3 e somamos com a terceira. x y z y z y z + − = − + = + =     3 2 1 2 5 11

Multiplicamos a segunda equação por –2 e somamos com a terceira.

x 3y z 2 y z 1 3z 9 3z 9 z 3 y z 1 y 3 1 y 2 x 3y z 2 x 3 ( 2) 3 2 x 7 + − = −   _{+ =}   ₌  = ⇒ = + = ⇒ + = ⇒ = − + − = − ⇒ + ⋅ − − = − ⇒ =   

Portanto, os valores de x, y e z são todos números primos. 13.07. c x y z x y z x y z + + = − − + = + − = −     3 2 3 2 4 2 5 3 3

Multiplicamos a primeira equação por –3 e somamos com a se-gunda. Multiplicamos a primeira equação por –2 e somamos com a terceira. x y z y z y z + + = − − − = − − =     3 2 10 10 5 1

Multiplicamos a terceira equação por –10 e somamos com a segunda.

1 Resoluções

_5C

(17)

x 3y z 2 49z 0 y 5z 1 49z 0 z 0 y 5z 1 y 5 0 1 y 1 x 3y z 2 x 3 ( 1) 0 2 x 1 + + = −   ₌   − − =  = ⇒ = − − = ⇒ − − ⋅ = ⇒ = − + + = − ⇒ + ⋅ − + = − ⇒ =    Portanto, a b c+ + = + − + =1 ( )1 0 0 13.08. b 3 2 10 6 4 20 x y x y + = − − = −   

Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda, temos: 6 4 20 6 4 20 0 0 x y x y + = − − = −     ⊕ =

Portanto, o sistema é possível e indeterminado. 13.09. b x y x y + = + =    2 5 2 4 10

Multiplicando a primeira equação por –2 e somando com a segun-da, temos: − − = − + =     ⊕ = 2 4 10 2 4 10 0 0 x y x y

O sistema é possível e indeterminado. Da primeira equação, temos:

x+ = ⇒ = −2y 5 x 5 2y

Portanto, o sistema admite a solução (5 2− y y, ), para todo número real y. 13.10. a x y z x y z x y z + + = + − = + − =     4 12 2 9 3 11 3 13 26

Multiplicamos a primeira equação por –2 e somamos com a se-gunda. Multiplicamos a primeira equação por –3 e somamos com a terceira. x y z y z y z + + = − = − − = −     4 12 5 13 4 10

Multiplicamos a segunda equação por –1 e somamos com a segunda. x 4y z 12 y 5z 13 z 3 y 5z 13 y 5 3 13 y 2 x 4y z 12 x 4 2 3 12 x 1 + + =   _{− = −}   ₌  − = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ = + + = ⇒ + ⋅ + = ⇒ =  

Portanto, os valores de x, y e z são proporcionais aos números 1, 2 e 3. 13.11. d x y x y z x y z + = + + = + + =     8 2 3 21 3 5 2 34

x y x y z x y + = + + = − − = −     8 2 3 21 8

Como a primeira e a terceira equações são equivalentes, temos o seguinte sistema: x y x y z + = + + =    8 2 3 21

Portanto, o sistema é indeterminado.

x y 8 y 8 x 2x 3y z 21 2x 3 (8 x) z 21 z x 3 + = ⇒ = − + + = ⇒ + ⋅ − + = ⇒ = −   13.12. b x y z x y z x y z + + = + − = + + =     2 3 8 2 5 11 3 7 10 27

Multiplicamos a primeira equação por –2 e somamos com a se-gunda. Multiplicamos a primeira equação por –3 e somamos com a terceira. x y z y z y z + + = − = − + =     2 3 8 7 5 3

Multiplicamos a segunda equação por –1 e somamos com a terceira. x 2y 3z 8 y 7z 5 8z 8 8z 8 z 1 y 7z 5 y 7 1 5 y 2 x 2y 3z 8 x 2 2 3 1 8 x 1 + + =   _{− = −}   ₌  = ⇒ = − = − ⇒ − ⋅ = − ⇒ = + + = ⇒ + ⋅ + ⋅ = ⇒ =    Portanto: x z+ = + = =1 1 2 y 13.13. e x y z x y z x y z + − = + − = + − =     3 5 2 5 5 2 4 10

Multiplicamos a primeira equação por –2 e somamos com a se-gunda. Multiplicamos a primeira equação por –1 e somamos com a terceira. x y z y z y z + − = − + = − − =     3 5 5 5

Como a segunda e a terceira equações são equivalentes, temos o seguinte sistema: x y z y z + − = − =    3 5 5

Portanto, o sistema é indeterminado. x y 3z 5 y z 5 y z 5 y z 5 x y 3z 5 x z 5 3z 5 x 2z + − =   _{− =}  − = ⇒ = + + − = ⇒ + + − = ⇒ =   A solução do sistema é ( ,2z z+5, )z. 13.14. e

Somando a primeira equação com a segunda, temos: 5x= ⇒ =10 x 2

(18)

3 2 2 2 2 8 4 2 12 4 4 4 ⋅ − + = ⋅ + − = ⋅ + − =     ⇒ − + = − − = − =     y z y z y z y z y z y z

Como as três equações são equivalentes, temos: y z− = ⇒ = +4 y z 4

Portanto, o sistema é possível e indeterminado, cuja solução é ( ,2z+4, )z. 13.15. e x y z x y z x y z + + = + + = + + =     2 3 1 2 5 8 5 3 7 11 7

Multiplicamos a primeira equação por –2 e somamos com a se-gunda. Multiplicamos a primeira equação por –3 e somamos com a terceira. x y z y z y z + + = + = + =     2 3 1 2 3 2 4

Como a segunda e a terceira equações são contraditórias, o sistema é impossível.

13.16. d

Sejam a, b e c, respectivamente, as quantidades de cápsulas

ingeri-das pelos pacientes A, B e C.

5a 10b 12c 1830 b a 2 a b c 180 b a b 2a 2 a b c 180 a 2a c 180 c 180 3a 5a 10b 12c 1830 5a 10 2a 12 (180 3a) 1830 5a 20a 2160 36a 1830 11a 330 a 30

+ + =   ₌   + + =  = ⇒ = + + = ⇒ + + = ⇒ = − + + = ⇒ + ⋅ + ⋅ − = ⇒ ⇒ + + − = ⇒ = ⇒ =    Portanto: c a c c = − = − ⋅ = 180 3 180 3 30 90 13.17. c Y X 4 Z 1 X 15 Z Y Y X 4 15 Z (Z 1) 4 Z 6 X Z 1 6 1 5 Y 15 Z 15 6 9 − =   − =   − =  − = − − − = ⇒ = = − = − = = − = − =    Portanto: XY Z− = ⋅ − = − =5 9 6 45 6 39 13.18. a

Somando as quatro equações, temos:

2 2 6 2 3 1 x y w x y w + + = + + = Assim: x y 3w 1 (x y w) 2w 1 1 2w 1 w 0 x y 1 x y 0 y z 1 y z 0 + + = + + + = ⇒ + = ⇒ = + =   − =   + =   − =  

Resolvendo o sistema formado pelas duas primeiras equações, tem-se que x=1

2 e y= 1

2. Substituindo em uma das outras duas equações, tem-se que z=1₂.

Portanto, o sistema é possível e determinado, cuja solução é 1 2 1 2 1 2 0 , , ,   . 13.19. 6 x y z x y z x y z + + = + − = − − = −     2 9 2 3 3 2 4

Multiplicamos a primeira equação por –2 e somamos com a se-gunda. Multiplicamos a primeira equação por –3 e somamos com a terceira. x y z y z y z x y z y z y z + + = − − = − − − = −     ⇒ + + = + = − − = −  2 9 3 3 15 7 5 31 2 9 5 7 5 31   

Multiplicando a segunda equação por 7 e somando com a terceira, temos: x 2y z 9 y z 5 2z 4 2z 4 z 2 y z 5 y 2 5 y 3 x 2y z 9 x 2 3 2 9 x 1 + + =   _{+ =}   ₌  = ⇒ = + = ⇒ + = ⇒ = + + = ⇒ + ⋅ + = ⇒ =    Portanto: a b c+ + = + + =1 3 2 6 13.20. S = {(–1, 0, 1, 2)}

Somando as quatro equações, temos:

5 5 5 5 10 2 x y z w x y z w + + + = + + + = Assim: 2x y z w 1 x (x y z w) 1 x 2 1 x 1 x 2y z w 2 y (x y z w) 2 y 2 2 y 0 x y 2z w 3 z (x y z w) 3 z 2 3 z 1 x y z 2w 4 w (x y z w) 4 w 2 4 w 2 + + + = + + + + = ⇒ + = ⇒ = − + + + = + + + + = ⇒ + = ⇒ = + + + = + + + + = ⇒ + = ⇒ = + + + = + + + + = ⇒ + = ⇒ =    

Portanto, a solução do sistema é ( , , , )−1 0 1 2.

(19)

Aula 14

14.01. c D SPD m m m ≠ ⇒ ≠ ⇒ − ≠ ⇒ ≠ 0 3 1 4 0 3 4 0 4 3 14.02. c x y x y k + = + =    2 8 5 10 3

Multiplicamos a primeira equação por –5 e somamos com a segunda.

x y k + = = −    2 8 0 3 40

Para que o sistema seja indeterminado, devemos ter:

3 40 0 40 3 k− = ⇒ =k 14.03. a D a a a = − = ⇒ + = ⇒ = − 0 2 3 6 0 2 18 0 9

Reescrevemos o sistema para a= −9.

2 3 2 6 9 x y x y b − = − =   

Multiplicamos a primeira equação por –3 e somamos com a segunda.

2 3 2 0 6 x y b − = = −   

Para que o sistema seja indeterminado, devemos ter: b− = ⇒ =6 0 b 6 Portanto, a= −9 e b= 6. 14.04. e D SPD k k k k ≠ ⇒ − ≠ ⇒ + − − − + ≠ ⇒ ≠ − 0 3 4 5 2 4 1 2 2 0 6 16 20 5 16 24 0 4 14.05. a D m m m m = − = ⇒ + − + − − = ⇒ = 0 1 1 2 1 1 1 1 2 0 2 2 1 4 1 0 0

Observe que, de fato, o sistema é impossível para m= 0. m x z x y z x y z = ⇒ − = + + = + + =     0 1 2 2 2 2

Multiplicamos a terceira equação por –1 e somamos com a segunda. x z x z x y z − = − = + + =     1 0 2 2

Como as duas primeiras equações são contraditórias, o sistema é impossível. 14.06. a D n n n n n n = = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = − 0 1 0 0 1 1 0 0 3 1 0 3 1 1

Observe que, de fato, o sistema é impossível para n= −1. n x y y z x z = − ⇒ − + = − + = − =     1 1 1 1

Somando as três equações, temos: 0 3=

Como a igualdade obtida é falsa, o sistema é impossível. 14.07. e D a b a b a b = − = ⇒ − + = ⇒ − = 0 3 1 2 0 6 0 6

Reescrevemos o sistema para a b− = 6.

3 3 4 6 2 8 3 3 4 3 4 x y a b x y x y a b x y + = + + =    ⇒ + = + + =   

Para que o sistema seja indeterminado, devemos ter 3a+ =4b 4. Assim: a b a b a e b − = + =    ⇒ = = − 6 3 4 4 4 2 14.08. c x y z x y z x y z k − + = − + = − + =     2 3 3 2 5 13 2 3 5

Multiplicamos a primeira equação por –3 e somamos com a se-gunda. Multiplicamos a primeira equação por –2 e somamos com a terceira. x y z y z y z k − + = − = − + = −     2 3 4 6

Somamos a segunda equação com a terceira.

x y z y z k − + = − = = −     2 3 4 0 2

Para que o sistema seja possível e indeterminado, devemos ter: k− = ⇒ =2 0 k 2 14.09. d 2 3 5 4 3 13 6 4 2 x y z x y z x y z m + − = + + = + − =    

Multiplicamos a primeira equação por –2 e somamos com a se-gunda. Multiplicamos a primeira equação por –3 e somamos com a terceira. 2 3 5 7 3 7 15 x y z y z y z m + − = + = + = −    

2 3 5 7 3 0 18 x y z y z m + − = + = = −    

Para que o sistema seja impossível, devemos ter: m− ≠ ⇒ ≠18 0 m 18

(20)

14.10. e D m m m m = − = ⇒ + − + − − = ⇒ = 0 1 1 1 2 3 5 4 1 0 2 15 4 10 12 0 3

Reescrevemos o sistema para m= 3. x y z x y z x y z n + − = + + = + + =     10 3 2 3 15 5 4

Multiplicamos a primeira equação por –3 e somamos com a se-gunda. Multiplicamos a primeira equação por –5 e somamos com a terceira. x y z y z y z n + − = − + = − − + = −     10 6 15 6 50

Multiplicamos a segunda equação por –1 e somamos com a terceira. x y z y z n + − = − + = − = −     10 6 15 0 35

Para que o sistema seja possível e indeterminado, devemos ter: n− = ⇒ =35 0 n 35 Assim: m n+ = + =3 35 38 14.11. a x y z x y z x y z + − = + + = + + =     2 3 3 2 3 4 5 5 8 5 10

Multiplicamos a primeira equação por –2 e somamos com a se-gunda. Multiplicamos a primeira equação por –5 e somamos com a terceira. x y z y z y z + − = − + = − − + = −     2 3 3 10 1 2 20 5

x y z y z + − = − + = − = −     2 3 3 10 1 0 3

Portanto, o sistema é impossível (incompatível). 14.12. c 3 1 2 3 5 5 2 x y z x y z x z n + − = − + = + =    

Somamos a primeira equação com a segunda.

3 1 5 2 6 5 2 x y z x z x z n + − = + = + =    

3 1 5 2 6 0 6 x y z x z n + − = + = = −     Assim:

• n− = ⇒ =6 0 n 6 (sistema possível e indeterminado) • n− ≠ ⇒ ≠6 0 n 6 (sistema impossível) 14.13. a D b b b b b b = = ⇒ + = ⇒ = − ⇒ = − 0 1 0 0 1 1 0 0 3 1 0 3 1 1

Observe que, de fato, o sistema é impossível para b= −1. b x y y z x z = − ⇒ − + = − + = − =     1 1 1 1

Somando as três equações, temos: 0 3=

Como a igualdade obtida é falsa, o sistema é impossível. 14.14. d D m m m m = − − − = ⇒ − − − = ⇒ = 0 1 1 1 2 1 3 2 0 0 3 4 6 0 5

Reescrevemos o sistema para m= 5. x y z x y z x y n − + = + − = − =     1 2 3 2 5 2

Multiplicamos a primeira equação por 3 e somamos com a segunda. x y z x y x y n − + = − = − =     1 5 2 5 5 2

Multiplicamos a segunda equação por –1 e somamos com a terceira. x y z x y n − + = − = = −     1 5 2 5 0 5

Se o sistema é impossível, então n− ≠ ⇒ ≠5 0 n 5. Portanto, como m= 5 e n≠ 5, então m n⋅ ≠ ⋅ =5 5 25. 14.15. a D a a a a = = ⇒ + + − − − = ⇒ = 0 1 1 4 1 2 7 3 1 0 2 21 4 24 7 0 6

Reescrevemos o sistema para a= 6.

x y z x y z x y z b + + = + + = + + =     4 2 2 7 3 3 6

Multiplicamos a primeira equação por –1 e somamos com a se-gunda. Multiplicamos a primeira equação por –3 e somamos com a terceira. x y z y z y z b + + = + = − − = −     4 2 3 1 2 6 6

Multiplicamos a segunda equação por 2 e somamos com a terceira.

x y z y z b + + = + = = −     4 2 3 1 0 4

Se o sistema é impossível, então b− ≠ ⇒ ≠4 0 b 4.

(21)

14.16. c D= − − − − = − − + + − = + 1 2 2 3 1 3 1 2 6 6 2 9 8 1 7 7 β β β β I. VERDADEIRA

Se β = 6, então D= ⋅ + = ≠7 6 7 49 0. Assim, o sistema é possível e determinado, ou seja, admite uma única solução.

II. VERDADEIRA

Se 7β + ≠7 0, ou seja, β ≠ −1, o sistema admite uma única solução. III. VERDADEIRA

Reescrevemos o sistema para β = −1. β = − ⇒ + − = − − = − − =     1 2 3 2 3 4 3 2 1 x y z x y z x y z

Multiplicamos a primeira equação por –2 e somamos com a segunda. Multiplicamos a primeira equação por –3 e somamos com a terceira. β = − ⇒ + − = − + = − − + = −     1 2 3 7 2 7 8 x y z y z y z

Como a segunda e a terceira equações são contraditórias, o sis-tema é impossível, ou seja, não admite solução.

IV. FALSA

Se β ≠ −1, o sistema admite uma única solução. 14.17. 26 (02, 08, 16)

01) INCORRETO

det(A A+ =) det( )2A = ⋅23 det( )A = ⋅ =8 5 40 02) CORRETO D a a D a a = − − = − + = ⇒ − + = ⇒ = 1 2 1 1 2 0 1 2 0 1 2 a x y x y b = ⇒ − ⋅ = − =     1 2 1 2 2 2

Multiplicando a primeira equação por –2 e somando com a segunda, temos: a x y b = ⇒ − ⋅ = = −     1 2 1 2 2 0 4

Para que o sistema seja indeterminado, devemos ter: b− = ⇒ =4 0 b 4 04) INCORRETO D= − = − − = 1 1 1 1 0 1 2 1 0 2 1 1 0

Como o determinante é igual a 0, o sistema não é possível e determinado. 08) CORRETO x x x x 4 1 0 4 0 2 2 2 < ⇒ − < ⇒ − < < 16) CORRETO a b b c a c + = + = + =     12 11 15

Somando as três equações, temos:

2 2 2 38 19 a b c a b c + + = + + = 14.18. 09 (01, 08) 01) CORRETA

Como a primeira e segunda linhas são proporcionais (a segun-da linha é o dobro segun-da primeira), o determinante segun-da matriz é igual a 0. Portanto, a matriz não tem inversa.

02) INCORRETA

Se um sistema de equações é indeterminado, admite infinitas soluções. 04) INCORRETA x y z x y z x y z + + = + + = + + =     5 3 35000 4 2 15000 5 6 5 50000

Multiplicamos a primeira equação por –4 e somamos com a segunda. Multiplicamos a primeira equação por –5 e somamos com a terceira. x y z y z y z + + = − − = − − − = −     5 3 35000 19 10 125000 19 10 125000

Como a segunda e a terceira equações são iguais, o sistema é possível e indeterminado. 19y 10z 125000 19y 125000 10z 125000 10z y 19 − − = − = − − =  x 5y 3z 35000 125000 10z x 5 3z 35000 19 40000 7z x 19 + + = −   + ⋅_ _+ =   − = 

Para z= 3000, obtemos x=1000 e y= 5000. Porém, existem outras soluções. 08) CORRETA 2 4 1 2 4 3 1 2 0 16 12 2 12 16 2 0 10 10 1 x x x x x = ⇒ + + − − − = ⇒ ⇒ = ⇒ = 14.19. Sistema linear S: 2x by cx y + = + =    α β

Para que o sistema seja indeterminado, devemos ter: 2 1 c b = = α_β Sistema linear T: cx y x dy + = + =    3 4 α β

Para que o sistema seja indeterminado, devemos ter: c d 4 3 = = α β Assim: 2 4 8 2 2 2 2 2 c c _c _c _{ou c} = ⇒ = ⇒ = = −