1 PARTE A A) Esboce o gráfico das funções determinando o ponto onde a reta corta o eixo y e onde corta o eixo x. Caso isso não seja possível, determine alguns pontos para a construção dos gráficos. 1)
y
2x
2
2)y
2x
6
3)y
x
2
4)y
x
3
5)y
2x
10
6)S
2t
10
7)S
10t
30
8)S
2t
10
9)S
3t
45
10)y
2x
11)y
3x
12)y
2x
13)y
2,4x
7,2
14)y
1,5x
4,5
15)y
x
B) Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos: 16)
1; 2 e 2; 1
17)
2;3 e 1; 4
18)
4; 1 e 1;3
19) Determine a equação da reta que passa pelo ponto
2; 1
, cujo coeficiente angular é
2
.20) O gráfico de
y
2
x b
corta o eixo x no ponto
3; 0
. Qual o valor do coeficiente linear?21) O gráfico de
y
ax
7
passa pelo ponto
2;3
. Qual o valor do coeficiente angular?C) Determine o ponto de intersecção entre as retas: 22)
y
x
5 e
y
x
5
23)y
2
x
1 e
y
x
3
24)2
x
5
y
4 e
x
3
y
3
D) Determine os valores de k de modo que as funções sejam crescentes, em: 25)f x
k
3
x
2
26)y
4
4
k
1
x
27)f x
3
k
2
x
7,5
E) Determine os valores de k de modo que as funções sejam decrescentes, em: 28)f x
2
k
1
x
3
29)y
k
5
x
30)y
4
4
k
1
x
31) Uma caixa d’água tem capacidade para 1 000 l . Quando ela está com 300 l uma torneira é aberta e despeja na caixa 20 l/min.
a) Obtenha uma fórmula que relaciona quantidade de água na caixa y (em litros) em função do tempo x em minutos
b) Quanto tempo transcorre do momento em que a torneira é aberta até o enchimento total da caixa? c) Esboce o gráfico que representa esta situação.
32) O comprimento da barra de metal varia com a temperatura T de acordo com a equação
T
T
L
(
)
400
0
,
0002
, sendo T em graus Celsius (o C) em L em centímetros (cm).a) Qual o comprimento dessa barra a 10 o C ? b) A que temperatura o comprimento é de 400,08 cm?
33) Um botijão de cozinha contém 13 kg de gás. Em uma casa A, em média, é consumido, por dia, 0,5 kg de gás. Em outra casa B, em média é consumido, por dia, 0,3 kg de gás. Supondo que na casa A o botijão está cheio e que na casa B já foram gastos 5 kg de gás:
a) Expresse, para cada uma das casas, a massa m de gás no botijão, em função de t (dias de consumo). b) Esboce o gráfico, em um mesmo sistema de eixos, as funções determinadas no item anterior.
c) Depois de quanto tempo os botijões estarão vazios? Depois de quanto tempo as quantidades de gás nos dois botijões serão iguais? Indique no gráfico do item anterior os pontos que representam as situações descritas.
2 34) Uma locadora de automóveis aluga um “carro popular” ao preço de $ 20,00 a diária mais $ 3,00 por quilômetro rodado. Outra locadora, aluga o mesmo modelo de carro ao preço de $ 80,00 a diária mais $ 1,00 por quilômetro rodado.
a) Escreva as funções que descrevem, para cada locadora, o valor a ser pago de aluguel em função do quilômetro rodado, para um dia de locação. E represente graficamente, em um mesmo sistema de eixos, tais funções.
b) Analisando algebrica e graficamente justifique qual das duas locadoras apresenta a melhor opção para uma pessoa alugar um carro popular por um dia. 35) Uma equação linear foi usada para gerar os valores da tabela abaixo. Encontre esta equação. x 5,2 5,3 5,4 5,5 y 27,8 29,2 30,6 32,0 PARTE B 36) (UERJ 2014) O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x.
37) (G1 - CFTMG 2013) Os preços dos ingressos de um teatro nos setores 1, 2 e 3 seguem uma função polinomial do primeiro grau crescente com a numeração dos setores. Se o preço do ingresso no setor 1 é de R$ 120,00 e no setor 3 é de R$ 400,00, então o ingresso no setor 2, em reais, custa a) 140. b) 180. c) 220. d) 260. 38) (G1 - CFTMG 2013) Um experimento da área de Agronomia mostra que a temperatura mínima da superfície do solo t(x), em °C, é determinada em função do resíduo x de planta e biomassa na superfície, em g/m2, conforme registrado na tabela seguinte. x(g/m2) 10 20 30 40 50 60 70 t(x) (°C) 7,24 7,30 7,36 7,42 7,48 7,54 7,60 Analisando os dados acima, é correto concluir que eles satisfazem a função
a) y = 0,006x + 7,18. b) y = 0,06x + 7,18. c) y = 10x + 0,06. d) y = 10x + 7,14.
39) (UFSM 2013) Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas estrangeiros, estimados para a Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira. Fonte: Disponível em <http://www.copa2014.gov.br>. Acesso em: 7 jun. 2012. (adaptado)
3 O gráfico mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção para 2014 do Aeroporto Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da lnfraero – Empresa Brasileira de lnfraestrutura Aeronáutica. De acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade (C) do terminal, será, aproximadamente, igual a a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos. b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos. c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil. d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos. e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil. 40) (ESPCEX (AMAN) 2013) Na figura abaixo está representado o gráfico de uma função real do 1º grau f(x). A expressão algébrica que define a função inversa de f(x) é a) y x 1 2 b) y x 1 2 c) y2x2 d) y 2x2 e) y2x2 41) (INSPER 2013) Num restaurante localizado numa cidade do Nordeste brasileiro são servidos diversos tipos de sobremesas, dentre os quais sorvetes. O dono do restaurante registrou numa tabela as temperaturas médias mensais na cidade para o horário do jantar e a média diária de bolas de sorvete servidas como sobremesa no período noturno.
mês jan fev mar Abr mai jun jul ago set out nov dez
temperatura média
mensal (graus Celsius) 29 30 28 27 25 24 23 24 24 28 30 29 bolas de sorvete 980 1000 960 940 900 880 860 880 880 960 1000 980 Ao analisar as variáveis da tabela, um aluno de Administração, que fazia estágio de férias no restaurante, percebeu que poderia estabelecer uma relação do tipo yaxb, sendo x a temperatura média mensal e y a média diária de bolas vendidas no mês correspondente. Ao ver o estudo, o dono do restaurante fez a seguinte pergunta:
“É possível com base nessa equação saber o quanto aumentam as vendas médias diárias de sorvete caso a
temperatura média do mês seja um grau maior do que o esperado?”
Das opções abaixo, a resposta que o estagiário pode dar, baseando-se no estudo que fez é: a) Não é possível, a equação só revela que quanto maior a temperatura, mais bolas são vendidas. b) Não é possível, pois esse aumento irá depender do mês em que a temperatura for mais alta. c) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de a na equação. d) Serão 20 bolas, pois esse é o valor de b na equação. e) Serão 400 bolas, pois esse é o valor de a na equação.
42) (UFRGS 2012) Considere as funções f e g tais que f(x) = 4x – 2x2 –1 e g(x) = 3 – 2x. A soma dos valores de f(x) que satisfazem a igualdade f(x) = g(x) é
4 43) (EXPECEX (AMAN) 2012) Considere a função real f(x), cujo gráfico está representado na figura, e a função real g(x), definida por g x
f x 1
1. O valor de 1 g 2 é : a) 3 b) 2 c) 0 d) 2 e) 344) (UEG 2012) Uma estudante oferece serviços de tradução de textos em língua inglesa. O preço a ser pago pela tradução inclui uma parcela fixa de R$ 20,00 mais R$ 3,00 por página traduzida. Em determinado dia, ela traduziu um texto e recebeu R$ 80,00 pelo serviço Calcule a quantidade de páginas que foi traduzida.
45) (UFJF 2012) Uma construtora, para construir o novo prédio da biblioteca de uma universidade, cobra um valor fixo para iniciar as obras e mais um valor, que aumenta de acordo com o passar dos meses da obra. O gráfico abaixo descreve o custo da obra, em milhões de reais, em função do número de meses utilizados para a construção da obra.
a) Obtenha a lei yf x ,
para x0, que determina o gráfico.b) Determine o valor inicial cobrado pela construtora para a construção do prédio da biblioteca. c) Qual será o custo total da obra, sabendo que a construção demorou 10 meses para ser finalizada?
46) (G1 - IFSP 2012) Uma empresa está organizando uma ação que objetiva diminuir os acidentes. Para comunicar seus funcionários, apresentou o gráfico a seguir. Ele descreve a tendência de redução de acidentes de trabalho.
Assim sendo, mantida constante a redução nos acidentes por mês, então o número de acidentes será zero em a) maio. b) junho. c) julho. d) agosto. e) setembro.
5 47). (UFPR 2012) Numa expedição arqueológica em busca de artefatos indígenas, um arqueólogo e seu assistente encontraram um úmero, um dos ossos do braço humano. Sabe-se que o comprimento desse osso permite calcular a altura aproximada de uma pessoa por meio de uma função do primeiro grau. a) Determine essa função do primeiro grau, sabendo que o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua altura era 1,90 m, e o úmero de seu assistente media 30 cm e sua altura era 1,60 m. b) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico media 32 cm, qual era a altura aproximada do indivíduo que possuía esse osso?
48) (ENEM PPL 2012) A tabela seguinte apresenta a média, em kg, de resíduos domiciliares produzidos anualmente por habitante, no período de 1995 a 2005.
Produção de resíduos domiciliares por habitante em um país
ANO kg 1995 460 2000 500 2005 540 Se essa produção continuar aumentando, mantendo o mesmo padrão observado na tabela, a previsão de produção de resíduos domiciliares, por habitante no ano de 2020, em kg, será a) 610. b) 640. c) 660. d) 700. e) 710. 49) (UCS 2012) O custo total, por mês, de um serviço de fotocópia, com cópias do tipo A4, consiste de um custo fixo acrescido de um custo variável. O custo variável depende, de forma diretamente proporcional, da quantidade de páginas reproduzidas. Em um mês em que esse serviço fez 50.000 cópias do tipo A4, seu custo total com essas cópias foi de 21.000 reais, enquanto em um mês em que fez 20.000 cópias o custo total foi de 19.200 reais. Qual é o custo, em reais, que esse serviço tem por página do tipo A4 que reproduz, supondo que ele seja o mesmo nos dois meses mencionados?
a) 0,06 b) 0,10 c) 0,05 d) 0,08 e) 0,12
50) (ENEM 2012) As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações:
QO = –20 + 4P
QD = 46 – 2P
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? a) 5 b) 11 c) 13 d) 23 e) 33 51) (FGV 2012) Uma pesquisa mostra como a transformação demográfica do país, com o aumento da expectativa de vida, vai aumentar o gasto público na área social em centenas de bilhões de reais. Considere que os gráficos dos aumentos com aposentadoria e pensões, educação e saúde sejam, aproximadamente, linhas retas de 2010 a 2050. a) Faça uma estimativa de qual será o gasto com aposentadorias e pensões em 2050.
6 b) Calcule o gasto público com educação em 2050. c) Considerando que os gráficos dos aumentos com aposentadoria e pensões, educação e saúde continuem crescendo mediante linhas retas, existirá algum momento, depois de 2010, em que os gráficos se interceptarão?
52) (Unicamp 2012) Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 13,35 ºC em 1995 para 13,8 ºC em 2010. Seguindo a tendência de aumento linear observada entre 1995 e 2010, a temperatura média em 2012 deverá ser de
a) 13,83 ºC. b) 13,86 ºC. c) 13,92 ºC. d) 13,89 ºC.
53) (UFPB 2011) Em certa cidade, acontece anualmente uma corrida, como parte dos eventos comemorativos pela sua emancipação política. Em 2000, o comitê organizador da corrida permitiu a participação de 1500 pessoas; e, em 2005, a participação de 1800 pessoas. Devido às condições de infraestrutura da cidade, o comitê decidiu limitar o número de participantes na corrida. Nesse sentido, estudos feitos concluíram que o número máximo n(t) de participantes, no ano t, seria dado pela função afim n(t) = at + b, onde a e b são constantes. Com base nessas informações, conclui-se que, no ano de 2010, o número máximo de participantes na corrida será de: a) 1900 b) 2100 c) 2300 d) 2500 e) 2700 54) (EPCAR (AFA) 2011) Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico abaixo, a reta c representa o custo total mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de x bolsas. Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender
a) no mínimo 2 bolsas. b) pelo menos 1 bolsa. c) exatamente 3 bolsas. d) no mínimo 4 bolsas.
55) (ENEM 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00 , enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150.000,00 . As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? a) 100n 350 120n 150 b) 100n 150 120n 350 c) 100(n350)120(n 150) d) 100(n 350.000) 120(n 150.000) e) 350(n 100.000) 150(n 120.000) 56) (G1 - CFTSC 2010) O volume de água de um reservatório aumenta em função do tempo, de acordo com o gráfico abaixo:
7
Para encher este reservatório de água com 2500 litros, uma torneira é aberta. Qual o tempo necessário para que o reservatório fique completamente cheio?
a) 7h b) 6h50min c) 6h30min d) 7h30min e) 7h50min
57) (ENEM - 2ª aplicação 2010) Uma torneira gotejando diariamente é responsável por grandes desperdícios de água. Observe o gráfico que indica o desperdício de uma torneira: Se y representa o desperdício de água, em litros, e x representa o tempo, em dias, a relação entre x e y é a) y2 x b) y 1x 2 c) y60 x d) y60 x1 e) y80 x50
58) (ENEM 2ª aplicação 2010) Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas de automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora extra. Revista Exame. 21 abr. 2010. A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período é a) f(x)3x b) f(x)24 c) f x
27 d) f(x)3x24 e) f(x)24x3 59) (ENEM 2009) Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado. número de bolas (x) nível da água (y)
5 6,35 cm 10 6,70 cm 15 7,05 cm Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado). Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? a) y = 30x. b) y = 25x + 20,2. c) y = 1,27x. d) y = 0,7x. e) y = 0,07x + 6.
8 mês de junho de 2008.
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o número de dias em atraso, então
a) M(x)5000,4x. b) M(x)500 10x. c) M(x)5100,4x. d) M(x)51040x. e) M(x)500 10,4x. RESPOSTAS – PARTE B 36)De acordo com as informações do problema, temos: A B y 720 – 10x y 60 12x O valor x indicado no gráfico é o valor de x quando y0 A = yB, ou seja:
720 10x 60 12x 22x 660 x 30 Logo, x0 30 horas. 37) Alternativa D. Taxa de variação do preço: 400 120 140 3 1 Portanto, o preço do setor dois será de 120140260,00. 38) Alternativa A. Calculando taxa de variação, temos: 7,30 7,24 a 0,006 20 10 , e t 0
7,24 10
0,006
7,18 Logo, t x
0,006x7,18 39) Alternativa B. Função da demanda: y 7,2 6,7 x 6,7 y 1 x 6,7 2014 2010 8 Função da capacidade: y 8 4 x 4 y x 4 2014 2010 Resolvendo um sistema com as duas equações, temos y = 7,085 milhões . 40) Alternativa C. Seja f: R R a função definida por f(x)axb.O valor inicial de f é a ordenada do ponto de interseção do gráfico de f com o eixo y, ou seja, b1. Logo, como o gráfico de f passa pelo ponto ( 2, 0), temos que
9 1 0 a ( 2) 1 a . 2 Portanto, f(x) x 1 2 e sua inversa é tal que 1 y x 1 y 2 (x 1) f (x) 2x 2. 2 41) Alternativa C. jan fev 29 30 980 1000 y 1000 980 a 20 x 30 29 Δ Δ 42) Alternativa C. 2 2 1 2 f(x) g(x) 2x 4x 1 3 2x 2x 6x 4 0 x 1 e x 2. Portanto:f(1)f(2) 2(1)24(1) 1 2(2)24(2) 1 0. 43) Alternativa D.
Como o gráfico de f é uma reta, segue que f(x)axb. Do gráfico, temos que b2 e f( 3) 0. Logo, 2 0 3a 2 a 3 e, portanto, f(x) 2x 2. 3 Desse modo, g 1 f 3 1 2 3 2 1 2. 2 2 3 2 44) Considerando que x é o número de páginas e y o valor recebido pela tradução, temos: y = 20 + 3x, fazendo y = 80 temos a seguinte equação: 80 = 30 + 3x 60 = 3x x = 20 Resposta: 20 páginas.
45) a) Como o gráfico de f é uma reta, segue que f(x)axb. Logo, sabendo que b é a ordenada do ponto de interseção do gráfico de f com o eixo y, temos que b2. Além disso, como o gráfico passa pelo ponto (12, 8),
segue que a taxa de variação de f é tal que 8 a 12 2 a 1. 2 Portanto, f(x) 1x 2, 2 com x0. b) De (a), temos que o valor inicial, cobrado pela construtora para a construção do prédio da biblioteca, é igual a 2 milhões. c) Se a construção demorou 10 meses para ser finalizada, então o custo total da obra foi de f(10) 1 10 2 7 2 milhões de reais. 46) Alternativa C.
10 Cada par ordenado (x, y) representa o número de acidentes y no mês x. De acordo com o gráfico, temos os seguintes pontos: (1, 36) e (4, 18) e a função y = ax + b, pois o gráfico é uma reta, então: a 1 b 36 , a 4 b 18 resolvendo o sistema temos a = – 6 e b = 42; portanto, y = – 6x + 42. Fazendo y = 0, temos: 0 = – 6x + 42 6x = 42 x = 7. O mês sem acidentes será em julho. 47) a) Função do primeiro grau, onde x é o comprimento do úmero e y é a altura do indivíduo. Logo:
f(x) y f(x) ax b f(40) 190 f(40) a(40) b 40a b 190 a 3 f(30) 160 f(30) a(30) b 30a b 160 b 70 Portanto, f(x)3x70 b) Para x32f(32)3(32) 70 166 Portanto, a altura aproximada do indivíduo que possuía esse osso era de 1,66 metros. 48) Alternativa C. Considerando que Q(t) é a quantidade de resíduos domiciliares por habitante no ano t e observando a tabela temos um aumento de 40kg a cada cinco anos. Portanto, em 2020 a quantidade será dada por:
Q 2020 Q 1995 25 : 5 40Q 2020 460200660. 49) Alternativa A.Seja c: R R a função definida por c(n)a n b, em que c(n) é o custo total para produzir n cópias, a n é o custo variável e b é o custo fixo. O custo a de uma cópia é tal que a 21000 19200 R$ 0,06.
50000 20000 50) Alternativa B. O preço de equilíbrio é tal que O D Q Q 20 4P 46 2P 6P 66 P 11. 51) Aumento anual do item Aposentadoria e pensões: 5,6 2,2 0,17. 30 10 Aumento anual do item Educação: 4 2 0,1. 30 10 Aumento anual Saúde: 3,6 1,8 0,09. 30 10 a) Aposentadorias e pensões em 2050: 5,6 + 20 0,17 = 9 centenas de bilhões de reais. b) Gastos com educação em 2050: 4 + 0,1 20 = 6 centenas de bilhões de reais. c) Não se interceptarão, pois 0,17 > 0,1 > 0,09. 52) Alternativa B. Ano: 1995 2010 2012 Temperatura(oC): 13,35 13,80 x
11 Temperatura anual média = 13,8 13,35 0,45 0,03 2010 1995 15 Em 2012, a temperatura será x = 13,80 + 2.0,03 = 13,86oC. 53) Alternativa B. Admitindo t = 0 para 2000, t = 1 para 2001, t = 2 para 2002 e assim sucessivamente temos a seguinte tabela para o número de participantes n(t). t n(t) 0 1500 5 1800 Da tabela temos b = 1500 e a 1800 1500 60 5 0 Logo a função será n(t) = 1500 + 60.t Portanto n(10) = 1500 + 60.10 = 2100 54) Alternativa B. c(x) = 10 + 8x e f(x) = 20x. Fazendo f(x) > c(x), temos: 20x > 10 + 8x 12x > 10 x > 10/12 Logo, deverá ser vendida pelo menos uma bolsa. 55) Alternativa A. Empresa A: PA = 100 000x + 350 000 Empresa B: PB = 120 000x + 150 000 Igualando os preços PA = PB, temos: 100 000x + 350 000 = 120 000x + 150 000. 56) Alternativa D. Temos o gráfico de uma função linear do tipo V = k.t Fazendo t = 3 temos V = 1 1= k.3 k = 1 3logo 1 V .k 3 Se V = 2500 L = 2,5 m3 temos: 2,5 = 1.t t 7,5h 3 , ou seja, 7 horas e 30 minutos. 57) Alternativa C.
Seja f: R R a função linear definida por f(x)ax, em que f(x) representa o desperdício de água, em litros, após x dias. A taxa de variação da função f é dada por 600 0 a 60. 10 0 Portanto, segue que f(x)y60x. 58) Alternativa D.
Como o custo fixo anual, para 30 minutos diários de uso, é de 24 dólares e o custo da hora extra é de 3 dólares, segue que o valor anual pago é dado por f(x)3x24, em que x é o número de horas extras.
