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Agradecimentos
Agradeço profundamente à Professora Doutora Manuela Sobral, minha orientadora, pela disponibilidade, dedicação, conselhos e palavras de incentivo que sempre teve para comigo durante o desenvolvimento deste trabalho.
Ao Professor Doutor George Janelidze, pelo tempo disponibilizado e pelas valiosas sugestões.
À minha família, pelo apoio e afecto que sempre me transmitem.
Aos meus colegas e amigos, por me terem ajudado a ultrapassar alguns obstáculos.
Ao Departamento de Matemática da Universidade dos Açores, agradeço as condições disponibilizadas para a realização deste trabalho.
Ao Centro de Matemática da Universidade de Coimbra, agradeço o apoio concedido.
Ao júri, presidido pelo Senhor Vice-Reitor, Doutor Jorge Manuel Rosa de Medeiros (por delegação do Reitor), e aos vogais, Doutora Maria Manuela Oli-veira de Sousa Antunes Sobral, professora catedrática da Faculdade de Ciên-cias e Tecnologia da Universidade de Coimbra; Doutor Jorge Manuel Senos da Fonseca Picado, professor associado da Faculdade de Ciências e Tecnolo-gia da Universidade de Coimbra; Doutora Júlia Maria Antunes Loureiro Vaz
de Carvalho, professora associada da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa; Doutora Helena de Fátima Sousa Melo, profes-sora auxiliar da Universidade dos Açores; e Doutora Maria Isabel de Oliveira Marques Ribeiro, professora auxiliar da Universidade dos Açores, agradeço as críticas e sugestões feitas a esta dissertação.
Resumo
A inclusão E : CHausOrd → CHausP reord é plena, e a categoria P sp dos espaços de Priestley é também uma subcategoria plena de CHausOrd, o que nos permite obter a reflexão CHausOrd → P sp por composição de E com a composição das reflexões CHausP reord → StoneP reord, StoneP reord →
P P reord e P P reord → P sp, que são aqui estudadas com pormenor.
Estabele-cemos semelhanças e diferenças entre a reflexão CHausOrd → P sp e a refle-xão correspondente para as ordens triviais, CHaus → Stone, nomeadamente o facto de a primeira não ser nem regular epireflectiva nem admissível.
Caracterizamos os morfismos de descida na categoria P P reord dos espa-ços de Stone ordenados que são totalmente desconexos em relação à pré-ordem, e em P sp. Provamos que um morfismo de P sp é morfismo de des-cida efectiva nessa categoria se e só se for morfismo de desdes-cida efectiva em
P P reord.
A categoria dos espaços de Priestley surge na equivalência induzida por
uma adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1. Ela é também uma subcategoria de
T opP reord cujos objectos são limite de determinados espaços pré-ordenados
finitos e discretos.
A reflexão E−completamente regular ordenado → E−compacto ordenado, quando E é o espaço ordenado discreto 2 = {0 < 1}, dá-nos uma terceira forma de obter espaços de Priestley: a categoria dos espaços 2-compactos ordenados é exactamente P sp.
Abstract
The full inclusion functor E : CHausOrd → ChausP reord and the fact that the category P sp is also a full subcategory of CHausOrd gives us the reflec-tion CHausOrd → P sp through the composireflec-tion of E with the composireflec-tion of the reflections CHausP reord → StoneP reord, StoneP reord → P P reord, and
P P reord → P sp, which are described here in detail. We state similarities
and differences between the reflection CHausOrd → P sp and the correspon-ding reflection for the trivial orders, CHaus → Stone, namely that the former reflection is not regular epireflective and not admissible.
We characterize the descent morphisms in the categories P P reord of ordered Stone spaces which are totally disconnected with respect to the pre-order, and in P sp. We prove that a morphism in P sp is an effective descent morphism in this category if and only if it is an effective descent morphism in
P P reord.
The induced equivalence by the dual adjunction between T opOrd and Ret0,1
lead us to the category of Priestley spaces. This category is also a subcate-gory of T opP reord whose objects are limits of suitable finite discrete preorde-red spaces, the category of limits of all such preordepreorde-red spaces being exactly
P P reord.
The reflection E−ordered completely regular → E−ordered compact, when
E is the ordered discrete space 2 = {0 < 1}, gives us another way to obtain
Priestley spaces: the category of 2-ordered compact spaces is exactly P sp.
Conteúdo
Introdução 1
1 Preliminares 5
1.1 Adjunções . . . 5
1.2 Admissibilidade e unidades estáveis . . . 8
1.3 Monacidade . . . 10
1.4 Sistemas de factorização . . . 12
1.5 Relações binárias internas . . . 15
1.6 Espaços de Stone . . . 17
1.7 Espaços topológicos ordenados . . . 17
1.8 Espaços de Priestley . . . 21
2 Adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1 27 2.1 Adjunção entre T opOrd e Retop0,1 . . . 27
2.2 Dualidade de Priestley . . . 32
2.3 Reflexão de CHausOrd em P sp . . . . 39
3 Reflexão de CHausOrd em P sp 41 3.1 A Reflexão CHaus → Stone . . . . 41
3.2 A Reflexão de CHausP reord em StoneP reord . . . . 49
3.3 A Reflexão de StoneP reord em P P reord . . . . 55
3.4 A Reflexão de P P reord em P sp . . . . 58
3.5 A Reflexão de CHausOrd em P sp . . . . 64 ix
4 Morfismos de descida efectiva em P sp 67
4.1 Descida e descida efectiva numa categoria . . . 67
4.2 Morfismos de descida efectiva em P P reord . . . . 72
4.3 Morfismos de descida efectiva em P sp . . . . 77
5 Um sistema de factorização reflectivo 81
5.1 Factorizações reflectivas . . . 81
5.2 Factorização reflectiva definida por
I a H : P sp → P P reord . . . . 82
6 Uma terceira forma de obter espaços de Priestley 87
6.1 Compactificações de espaços topológicos . . . 87
6.2 Compactificação de espaços topológicos ordenados . . . 91
Considerações finais 95
Bibliografia 97
Introdução
A Dualidade de Priestley pode ser descrita como a equivalência induzida, num sentido que tornaremos preciso mais adiante, por uma adjunção entre a categoria dos espaços topológicos ordenados T opOrd e a categoria dual da
dos reticulados limitados Ret0,1. De forma análoga, a Dualidade de Stone é
a equivalência induzida pela adjunção correspondente para as ordens
trivi-ais, isto é, a adjunção entre a categoria T op dos espaços topológicos e Ret0,1.
No segundo caso, a adjunção e a equivalência dual determinam a reflexão da categoria CHaus dos espaços compactos de Hausdorff na categoria Stone dos espaços de Stone, também chamados espaços profinitos. No primeiro caso, pelo mesmo processo, obtém-se a reflexão de CHausOrd na categoria P sp dos espaços de Priestley.
A reflexão de CHaus em Stone bem como as propriedades das categorias envolvidas, nomeadamente a existência de um sistema de factorização reflec-tivo por ela induzido em CHaus bem como do sistema que dele advém por localização/estabilização, é um exemplo importante de reflexão onde o pro-cesso referido conduz à factorização monótona-leve, que é apresentado com pormenor em [CJKP97] por Carboni, Janelidze, Kelly e Paré.
O estudo da reflexão correspondente da categoria CHausOrd em P sp foi o tema proposto por M. Sobral e G. Janelidze e ponto de partida deste trabalho. Uma generalização crucial consistiu na substituição de ordem por pré-ordem. As novas categorias CHausP reord e P P reord permitiram-nos analisar seme-lhanças e diferenças entre as reflexões referidas e os contextos em que elas são definidas.
Nas primeiras secções do Capítulo 1 apresentamos conceitos e resultados gerais utilizados em todo o trabalho. A secção 7 contém um estudo
rizado de aspectos dos espaços topológicos ordenados (pré-ordenados), impor-tantes no desenvolvimento deste trabalho. O teorema final, que generaliza os resultados anteriores, é relativo a espaços de uma subcategoria plena C de
T op equipados com uma ordem (pré-ordem), COrd (CP reord). Razões para a
passagem de Ord a P reord são evidentes em 1.7.2, 1.7.3 e 1.7.4.
Na secção 8 estudam-se as categorias P sp dos espaços de Priestley e a categoria P P reord dos espaços de Stone pré-ordenados que são totalmente desconexos em relação à pré-ordem. Tal como Stone é a subcategoria plena de
T op dos espaços limites de espaços finitos e discretos([BJ90]) provamos que P P reord é constituída pelos espaços que são limite de espaços finitos discretos
e pré-ordenados. Daí se deduz, em 1.8.8, que os espaços de Priestley são limite de determinados espaços finitos discretos e pré-ordenados.
No Capítulo 2 a adjunção dual entre T opOrd e Ret0,1 é estudada em 2.1.
Em 2.2 mostramos que a equivalência induzida é a Dualidade de Priestley. Através da adjunção e da dualidade obtém-se a reflexão CHausOrd → P sp.
O Capítulo 3 é dedicado ao estudo da reflexão CHausOrd → P sp. Nele começamos por analisar o caso das ordens triviais CHaus → Stone. Mos-tramos que ela também pode ser obtida através da adjunção correspondente
entre T op e Ret0,1 e da dualidade de Stone. Diferenças e semelhanças são
referidas, nomeadamente o facto de não ser nem regular epireflectiva nem admissível. As reflexões CHausP reord → StoneP reord e StoneP reord →
P P reord são estudas nas secções 3.2 e 3.3, respectivamente. Mostramos que
elas não são admissíveis e apresentamos, para a primeira, uma classe de morfismos para a qual ela é admissível. Na secção 3.4 provamos que a re-flexão P P reord → P sp tem unidades estáveis. Finalmente, como a inclusão
E : CHausOrd → CHausP reord é plena e a categoria P sp é também uma
subcategoria plena de CHausOrd, obtém-se a reflexão CHausOrd → P sp por composição de E com a composição das reflexões atrás mencionadas.
No Capítulo 4 caracterizamos morfismos de descida em P P reord e P sp e provamos que um morfismo de P sp é morfismo de descida efectiva nessa categoria se e só se for morfismo de descida efectiva em P P reord.
3
em P P reord pela reflexão P P reord → P sp, tendo como base o estudo do sis-tema de factorização reflectivo induzido em P reord pela reflexão P reord →
Ord, realizado por Xarez em [Xar03].
No último capítulo começamos por estudar "E-compactificações" para um espaço E de Hausdorff. Na terminologia introduzida por Engelking e Mrówka ([EM58]) definem-se as subcategorias plenas de T op:
E-completamente regular dos subespaços de produtos de cópias de E e
E − compacto dos subespaços fechados de tais produtos.
Temos então a reflexão E-completamente regular→ E-compacto, a "E-compactificação". Se E é o espaço discreto 2 = {0, 1}, elas são as categorias dos espaços zero-dimensionais e dos espaços de Stone, respectivamente. Também aqui P sp substitui Stone quando consideramos o espaço ordenado discreto 2 = {0 < 1}: a categoria dos espaços 2-compactos ordenados é exactamente
1
Preliminares
Neste capítulo apresentamos conceitos e resultados gerais que são utiliza-dos ao longo de todo o trabalho. Nomeadamente são referiutiliza-dos a noção e as propriedades da adjunção, admissibilidade em estruturas de Galois, sistemas de pré-factorização e de factorização, monacidade, relações binárias internas, e resultados sobre espaços de Stone. Espaços topológicos ordenados e espaços de Priestley são estudados com pormenor nas duas últimas secções. Termina-mos este capítulo apresentando uma forma de construir espaços de Priestley através de determinados espaços pré-ordenados finitos.
1.1 Adjunções
Dadas duas categorias e functores F : X → A, G : A → X, temos uma
adjunção se existe uma função ϕ que a cada par de objectos X ∈ X, A ∈ A faz
corresponder uma função bijectiva
ϕ = ϕX,A: A(F X, A) ∼= X(X, GA)
natural em X e em A.
Esta noção, usada ao longo de todo este trabalho, é muito importante e pode ser definida de várias formas ([Mac97], IV.1). Na proposição que se segue referimos as formas que são utilizadas neste trabalho.
Proposição 1.1.1 Uma adjunção < F, G, ϕ >: X * A fica completamente determinada por qualquer um dos items da seguinte lista:
(i) O functor G : A → X e para cada X ∈ X um objecto F0X ∈ A e o morfismo
universal ηX : X → GF0X de X para G. Então o functor F tem função
objecto F0 e é definido nos morfismos h : X → X0por GF h ◦ ηX = ηX0◦ h. (ii) Functores F , G e transformações naturais η : IX→ GF e ² : F G → IAtais
que G² ◦ ηG = IGe ²F ◦ F η = IF. A adjunção < F, G, ϕ >: X * A é, nesse caso, denotada por < F, G, η, ² >: X * A.
Numa adjunção < F, G, η, ² >: X * A, o functor F diz-se adjunto à
es-querda de G e G adjunto à direita de F . Frequentemente são usadas outras
notações tais como F a G : A → X, F a G(η, ²) e X ...⊥F ... ... A .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... ... G
sendo η a unidade e ² a counidade da adjunção.
Proposição 1.1.2 Se os functores G : A → B e G0 : B → C têm adjuntos à
esquerda F e F0, respectivamente, então F F0é adjunto à esquerda de G0G.
Dada uma subcategoria A de uma categoria B, as funções imersão, que a cada objecto e a cada morfismo de A fazem corresponder os próprios em B, definem um functor E : A → B, o functor inclusão.
Ao longo da tese as subcategorias consideradas são subcategorias plenas e
repletas, isto é o respectivo functor inclusão é pleno e são subcategorias
fecha-das para isomorfismos.
Uma subcategoria A de B diz-se reflectiva em B quando o functor inclusão
E : A → B tem adjunto esquerdo R : B → A. O functor R é chamado functor reflector e a adjunção < R, E, η, ² >: B * A diz-se a reflexão de B em A. Em
particular, a reflexão diz-se epireflectiva (regular epireflectiva) quando as com-ponentes da unidade da adjunção são epimorfismos (epimorfismos regulares, isto é, morfismos que são co-igualizadores de algum par de morfismos).
Toda a subcategoria plena e repleta X de uma categoria C é fechada para limites ([Mac97]). Relativamente a colimites, todo o diagrama em X que tem
1.1 Adjunções 7
colimite em C tem também, por reflexão, colimite em X tal como indicamos seguidamente para co-igualizadores.
Proposição 1.1.3 Seja C uma categoria com co-igualizadores. Dada uma subcategoria plena, repleta e reflectiva X de C e (f, g) : X → X0 um par de
morfismos em X, o morfismo rQ◦ q, com q : X0 → Q co-igualizador do par (f, g)
em C e rQa componente da unidade da reflexão associada a Q, é co-igualizador
do par de morfismos (f, g) em X.
Demonstração: Seja q : X0 → Q o co-igualizador em C do par de morfismos
(f, g), consideremos o seguinte diagrama
X ...f ... ...X0...q ... ... Q R(Q), ... ...
g
...rQ .. ...
como q ◦ f = q ◦ g, também (rQ◦ q) ◦ f = (rQ◦ q) ◦ g e rQ◦ q ∈ X. Seja h : X0 → X00
um morfismo em X tal que h ◦ f = h ◦ g. Como q é co-igualizador do par
(f, g) em C, então existe um único morfismo h0 : Q → X00 tal que h0 ◦ q = h.
Mas rQ é componente da unidade da reflexão, logo existe um único morfismo
h00: R(Q) → X00em X tal que h00◦ r
Q= h0. Portanto h00◦ (rQ◦ q) = h e é o único
morfismo que satisfaz esta igualdade. Supondo que existe l : R(Q) → X00tal
que l ◦ (rQ◦ q) = h, então l ◦ rQ= h00◦ rQ= h0, porque q é epimorfismo e l = h00
pela unicidade de h00. Portanto r
Q◦ q é co-igualizador do par (f, g) em X. ¤
Uma adjunção < F, G, η, ² >: X * A é uma equivalência se a unidade
η : IX → GF e a co-unidade ² : F G → IA são isomorfismos naturais. Duas
categorias dizem-se equivalentes se existe uma tal adjunção ([Mac97], IV.4).
Proposição 1.1.4 Toda a adjunção < F, G, η, ² >: A * B induz uma equiva-lência < F1, G1, η0, ²0 >: A
1 * B1entre A1e B1 que são as subcategorias plenas
de A e B definidas por:
(i) X ∈ A1 se e só se ηX é um isomorfismo em A.
(ii) Y ∈ B1se e só se ²Y é um isomorfismo em B.
Demonstração: Seja < F, G, η, ² >: A * B uma adjunção e A1, B1 as subca-tegorias plenas de A e B satisfazendo (i) e (ii), respectivamente.
Seja X ∈ A1, então ηX : X → GF X é um isomorfismo em A, logo
F ηX : F X → F GF X é um isomorfismo. Assim existe o isomorfismo
(F ηX)−1 : F GF X → F X tal que (F ηX)−1◦ F ηX = IdF X e F ηX ◦ (F ηX)−1 =
IdF GF X.
Sabendo que ²F ◦ F η = IdF temos que
²F X ◦ F ηX = IdF X ⇒ ²F X ◦ F ηX ◦ (F ηX)−1 = IdF X ◦ (F ηX)−1
⇒ ²F X ◦ IdF GF X = (F ηX)−1
⇒ ²F X = (F ηX)−1.
Como (F ηX)−1é isomorfismo, ²F X é isomorfismo, logo F X ∈ B1.
De forma análoga, tem-se que se Y ∈ B1então GY ∈ A1.
Assim obtemos uma adjunção < F1, G1, η0, ²0 >: A
1 * B1, onde
F1(X) = F (X), F1(f ) = F (f ) e ηX0 = ηX, para todo o objecto e morfismo de
A1, e G1(Y ) = G(Y ), G1(g) = G(g) e ²0
Y = ²Y, para todo o objecto e morfismo
de B1. ¤
1.2 Admissibilidade e unidades estáveis
Nesta secção referimos alguns conceitos e resultados relativos às estru-turas categoriais de Galois introduzidos por G. Janelidze em [Jan90]. Para informação detalhada ver [BJ01]. Em particular, averiguamos a admissibili-dade e a existência de uniadmissibili-dades estáveis de diversas adjunções.
Uma adjunção < F, G, η, ² >: C * X juntamente com duas classes de mor-fismos (chamadas fibrações) K e S em C e X, respectivamente, tais que
• K e S são classes estáveis para produtos fibrados e existem produtos
fibrados ao longo de morfismos de K e de S;
• K e S são classes fechadas para a composição e contêm todos os
isomor-fismos;
1.2 Admissibilidade e unidades estáveis 9
constitui umaestrutura de Galois na categoria C.
Uma estrutura de Galois numa categoria C é admissível se para todo o ob-jecto C em C e toda a fibração φ : X → F (C) em X a composição dos morfismos canónicos
F (C ×GF (C)G(X)) → F G(X) → X
é um isomorfismo.
Sejam K e S as classes de todos os morfismos de codomínio B e F (B), respectivamente. Se C/B e X/F (B) são as correspondentes categorias na ad-junção associada a uma reflexão admissível < F, G, η, ² >: C * X,
< FB, GB, ηB, ²B>: C/B * X/F (B)
o functor GB induz uma equivalência X/F (B) ∼ M/B onde M é constituída
pelos morfismos α : A → B para os quais ηB(A,α)é um isomorfismo. Este facto,
bem como os que lhe correspondem para fibrações particulares, é um resultado central da teoria referida ([BJ01] 5.1 e [CJKP97] 5.).
Consideremos K = M or(C) e S = M or(X).
Proposição 1.2.1 Uma reflexão plena, isto é uma adjunção
< F, G, η, ² >: C * X (1.1)
cuja co-unidade ² é isomorfismo, é admissível se e só se F preserva produtos fibrados da forma B B ×GF (B)G(X) GF (B) G(X) ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... π1 ...π2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... G(ϕ) ... ... ηB com X ∈ X.
Definição 1.2.2 Diz-se que a reflexão (1.1) tem unidades estáveis quando o functor F : C → X preserva qualquer produto fibrado da forma
A A ×G(X)B G(X) B ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... π1 ...π2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... β ... ... α
Proposição 1.2.3 Se a reflexão (1.1) tem unidades estáveis e a co-unidade ² : F G → IX é um isomorfismo, então a adjunção é admissível.
1.3 Monacidade
Uma mónada T numa categoria X é um terno (T, η, µ) constituído por um
functor T : X → X e duas transformações naturais η : IX→ T, µ : T2 → T tais
que, para todo o objecto X ∈ X, os diagramas
T2X...µX ... ...T X T3X...T µX ... ...T2X ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... µT X ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... µX T X...ηT X ... ...T2X......T...η...X...T X T X ...... ...... ...... ...... .... ............. IT X ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... µX .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... IT X são comutativos.
Dada uma mónada em X, uma T-álgebra é um par (X, ξ) constituído por um objecto X e um morfismo ξ : T X → X em X, chamado o morfismo de estrutura, para o qual os diagramas
T X...ξ .. ... X T2X...T ξ ... ...T X ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... µX ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ξ X T X X ...ηX ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ξ ...... ...... ...... ...... .... ............. IX são comutativos.
1.3 Monacidade 11
Um T-morfismo entre duas T-álgebras, (X, ξ) e (Y, θ), é um morfismo
f : X → Y em X para o qual o diagrama
X ...f ... ... Y T X...T f .. ...T Y ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ξ ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... θ é comutativo.
Para qualquer mónada T numa categoria X as T-álgebras e os T-morfismos
constituem uma categoria, denotada por XT, e o functor de esquecimento
UT : XT→ X tem adjunto à esquerda
FT : X −→ XT
X 7−→ (T X, µX)
f 7−→ T f
com unidade ηT
X = ηX, para cada X ∈ X, e co-unidade ²T(Y,θ) = θ, para cada
(Y, θ) ∈ XT.
Proposição 1.3.1 Se < F, U, η, ² >: X * A é uma adjunção então existe uma mónada T em X definida da seguinte forma:
• T = U F ; • η : IX → U F ;
• µ = U ²F : U F U F → U F .
Nota: Toda a adjunção induz uma mónada e, reciprocamente, toda a
mó-nada é induzida por (em geral por mais do que) uma adjunção. Em particular
a adjunção definida por (UT, FT) induz a mónada T em X.
Teorema 1.3.2 Dada uma adjunção < F, U, η, ² >: X * A seja T a mónada
Φ(A) = (U A, U ²A) e Φ(f ) = U f . Ele é o único functor para o qual UT◦ Φ = U e
Φ ◦ F = FT, ou seja para o qual o seguinte diagrama comuta
A X XT ...Φ ... ... ...... ...... ...... ...... ...... ... .. . ... U ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... F .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... UT ... ... ... ... ... ... ... FT
O functor Φ chama-se functor de comparação de Eilenberg-Moore. Este func-tor permite "avaliar" a algebricidade da categoria A relativamente à mónada induzida pela adjunção em causa.
Um functor com adjunto à esquerda diz-se pré-monádico se o functor de comparação Φ é fiel e pleno e diz-se monádico se Φ é uma equivalência.
Da teoria das mónadas referimos seguidamente alguns factos que serão frequentemente utilizados neste trabalho.
Proposição 1.3.3 (i) O functor Φ é pré-monádico se e só se as componentes da co-unidade da adjunção são epimorfismos regulares.
(ii) Todo o functor monádico reflecte isomorfismos.
1.4 Sistemas de factorização
Enunciamos, aqui, definições e resultados sobre sistemas de pré-factoriza-ção e de factorizapré-factoriza-ção usando as notações e resultados referidos por Carboni, Janelidze, Kelly e Paré em [CJKP97].
Um sistema de factorização numa categoria C é um par (E, M), onde E e M são classes de morfismos de C, tal que todo o morfismo de C se factoriza de forma única segundo um morfismo de E seguido de um morfismo de M. Mais
precisamente, se f ∈ C então f = m ◦ e com m ∈ M e e ∈ E e, se f = m0◦ e0 é
1.4 Sistemas de factorização 13 e m0◦ g = m. A...f .. ... B C0 ...... ...... ...... .... .. .. .. .. . ... e0 ... ... ... ... m0 C ... ... ... ... e ...... ...... ...... .... .. .. .. .. . ... m ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... g
Dados morfismos p e i, numa categoria C, dizemos que p é ortogonal ao morfismo i, e escrevemos p ↓ i, se para todo o par de morfismos u, v tais que
v ◦ p = i ◦ u existe um único morfismo w que torna o seguinte diagrama
• • • • ...i ... ... ...p ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... u ... ... ... ... ... ... .. ... v .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... ... ... w comutativo.
Para cada classe H de morfismos na categoria C considera-se as seguintes classes de morfismos
H↑= {p|p ↓ h para todo h ∈ H} e H↓ = {i|h ↓ i para todo h ∈ H}.
Um sistema de pré-factorização (E, M) em C é o par de classes de morfismos
para as quais E = M↑ e M = E↓. Um sistema de factorização é um sistema
de pré- factorização (E, M) tal que qualquer morfismo f ∈ C se factoriza na forma f = m ◦ e com m ∈ M e e ∈ E. Em resumo, classes de morfismos em C constituem sistemas de factorização se verificam as condições da seguinte proposição.
Proposição 1.4.1 Classes de morfismos (E, M) constituem sistemas de facto-rização se e só se
(i) E e M contêm todos os isomorfismos; (ii) E e M são fechadas para a composição;
(iv) e ↓ m, com e ∈ E, m ∈ M.
Em particular, se todo o morfismo f : A → B numa categoria C se factoriza na forma f = m ◦ e sendo m monomorfismo e e epimorfismo regular então a categoria C tem um sistema de factorização (EpiReg, M ono). De facto, a classe E dos epimorfismos regulares e a classe M dos monomorfismos numa categoria C contêm os isomorfismos de C, portanto satisfazem a condição (i). Essas classes também satisfazem (iv): se e = co-ig(u, v) e m ◦ s = t ◦ e com
m ∈ M então, C0 D A C ... ... m ... ... ... ... ... ... ... ... s ...e .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... t A0 ... ... v ...u .. ...
como m é um monomorfismo e m ◦ s ◦ u = m ◦ s ◦ v, vem que s ◦ u = s ◦ v.
Portanto, por definição de co-igualizador, existe um único morfismo d : C → C0
tal que d ◦ e = s. Além disso m ◦ d ◦ e = m ◦ s = t ◦ e implica que m ◦ d = t, sendo d o único morfismo nessas condições, como é fácil verificar.
Admitindo que todo o morfismo de C tem uma factorização (E, M), isto é a
condição (iii), resta provar (ii). Dados e1 : A → B e e2 : B → C com e1, e2 ∈ E
suponhamos que e2◦ e1 = m ◦ e é a factorização (E, M) de e2◦ e1.
D A ... ... ... ... ... ... ... ... e C ...m ... ... B ...e1 ... ... ........... C .. ... . e2 .... .... .... . .... .... .... . .... .... .... . .... .... .... . .... .... .... . .... .... .... . .... .... ... ... d1 .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . ... ... d2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Por (iv) existe d1 tal que d1◦ e1 = e e m ◦ d1 = e2. De m ◦ d1= e2 e (iv) deduz-se
a existência de um único d2 tal que d2 ◦ e2 = d1 e m ◦ d2 = 1C. Como m é
monomorfismo e epimorfismo cindido é um isomorfismo, portanto e2◦ e1∈ E.
Em qualquer categoria a classe M é fechada para a composição, pois a composição de monomorfismos é sempre um monomorfismo.
Proposição 1.4.2 Seja C uma categoria com um sistema de factorização
(EpiReg, M ono). Se X é uma subcategoria plena, repleta e regular epireflectiva
1.5 Relações binárias internas 15
(i) X tem factorizações (EpiReg, M ono);
(ii) o functor inclusão preserva e reflecte epimorfismos regulares; (iii) se m : C → X é monomorfismo em C e X ∈ X então C ∈ X.
Proposição 1.4.3 Para um sistema de factorização (E, M) numa categoria C tem-se as seguintes propriedades:
(i) f ∈ E ∩ M ⇒ f é um isomorfismo;
(ii) a factorização f = m ◦ e, m ∈ M, e ∈ E, de um morfismo f de C é única a menos de um isomorfismo; (iii) f ∈ M se e só se e ↓ f , com e ∈ E; (iv) f ◦ g ∈ M e f ∈ M ⇒ g ∈ M, (v) no produto fibrado • • • • ...m .. ... ...n ... ... ... ... ... ... ... ... .. ... a ... ... ... ... ... ... .. ... b se m ∈ M, então n ∈ M.
As propriedades duais de (iii), (iv), (v) são válidas para morfismos em E. A propriedade (v) não é em geral válida para morfismos da classe E. Os siste-mas que verificam essa propriedade, isto é, tais que a classe E é estável para
produtos fibrados designam-se porsistemas de factorização estáveis.
1.5 Relações binárias internas
Definição 1.5.1 Seja C uma categoria. Uma relação binária interna em X ∈ C é um objecto R ∈ C juntamente com um par de morfismos conjuntamente mo-nomórfico
R ...r1 ... ... X ... ...
Definição 1.5.2 Seja C uma categoria com produtos binários. Um par R ...f ... ... X
...g .. ... de morfismos numa categoria C (ou o morfismo indu-zido pelo produto < f, g >: R → X × X), diz-se uma relação de pré-ordem em X se
(i) (f, g) é um par de morfismos monomórfico, isto é < f, g > é um monomor-fismo;
(ii) existe um morfismo δ : X → R tal que f ◦ δ = 1X, g ◦ δ = 1X;
(iii) existe um morfismo σ : R ×X R → R tal que f ◦ σ = f ◦ ρ1, g ◦ σ = g ◦ ρ2,
onde o produto fibrado é o apresentado no seguinte diagrama
R R ×X R X R ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ρ1 ...ρ2... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... f ... ... g
Definição 1.5.3 Seja C uma categoria com produtos binários. Um par R ...f ... ... X
... ...
g de morfismos de C (ou o morfismo induzido pelo produto
< f, g >: R → X × X), diz-se uma relação de equivalência em X se
(i) (f, g) é um par de morfismos monomórfico, isto é < f, g > é um monomor-fismo;
(ii) a diagonal ∆ : X → X × X factoriza-se através de < f, g >; (iii) existe um morfismo t : R → R tal que f ◦ t = g e g ◦ t = f ;
(iv) para o diagrama produto fibrado
R A X R ... ... ... ... ... ... ... ... . ... f0 ...g0 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... f ... ... g < f ◦ f0, g ◦ g0 >: A → X × X factoriza-se através de < f, g >.
Definição 1.5.4 Uma relação de equivalência diz-se efectiva se é o par núcleo de algum morfismo.
1.6 Espaços de Stone 17
1.6 Espaços de Stone
Um espaço topológico X diz-se
• totalmente desconexo se os únicos subconjuntos conexos de X são os
sub-conjuntos singulares;
• totalmente separado se para quaisquer dois pontos distintos de X existe
um subconjunto aberto-fechado de X que contém um e não contém o outro;
• zero dimensional se os subconjuntos abertos-fechados de X formam uma
base para a topologia.
Proposição 1.6.1 Para um espaço topológico X são equivalentes as seguintes condições:
(i) X é compacto, Hausdorff e totalmente desconexo; (ii) X é compacto e totalmente separado;
(iii) X é compacto, T0 e zero dimensional.
Um espaço de Stone, também chamado espaço profinito, é um espaço topo-lógico satisfazendo uma e, portanto, todas as condições da proposição anterior. Denotamos por Stone a subcategoria plena da categoria dos espaços topológi-cos constituída por estes espaços. Sendo uma subcategoria reflectiva ([BJ01] 3.4.4) ela é fechada para produtos e subespaços. Efectivamente, Stone é uma subcategoria regular epireflectiva de CHaus, tendo, portanto, as propriedades referidas em 1.4.2.
1.7 Espaços topológicos ordenados
Tal como em [DP90] um terno (X, τ, ≤) diz-se um espaço topológico
orde-nado (pré-ordeorde-nado) se (X, τ ) é um espaço topológico e (X, ≤) é um conjunto
Neste trabalho não utilizamos a definição de espaço topológico ordenado (pré-ordenado) de L. Nachbin ([Nac65]) visto não incluirmos a condição de a relação de ordem (pré-ordem) ser fechada em X ×X. No entanto essa condição surge naturalmente em determinados tipos de espaços como veremos.
A categoria T opOrd é a categoria cujos objectos são os espaços topológicos ordenados e os morfismos são as aplicações contínuas que preservam a ordem e o mesmo para T opP reord.
Proposição 1.7.1 As categorias T opOrd e T opP reord são completas.
Demonstração: Dado um conjunto {(Xi, τi, ≤i)|i ∈ I} de espaços topológicos
ordenados o seu produto é o terno (X, τ, ≤), onde X =Qi∈IXi é o produto dos
conjuntos subjacentes, τ é a topologia produto e (xi)i∈I ≤ (yi)i∈I se e só se
xi ≤i yi para todo o i ∈ I, munido das projecções pi : (X, τ, ≤) → (Xi, τi, ≤i).
Como o espaço singular é objecto terminal em T opOrd, concluímos que esta categoria tem produtos.
O igualizador em T opOrd de f, g : (X, τ, ≤) → (Y, τ, ≤) é o par (E, i) onde
E = {x|f (x) = g(x)} é o subconjunto de X equipado com a topologia e a ordem
de subespaço de X e i : E → X é a inclusão.
Sendo uma categoria com produtos e igualizadores T opOrd tem limites ([Mac97], capV 2, teorema 2), isto é, é uma categoria completa. E o mesmo se
verifica para T opP reord. ¤
O functor de esquecimento U : T opP reord → T op preserva limites. O resul-tado seguinte dá-nos uma boa razão para esse facto e diz-nos que U também preserva colimites.
Proposição 1.7.2 O functor U : T opP reord → T op tem adjunto à esquerda e adjunto à direita.
Demonstração: Os functores F, G : T op → T opP reord definidos em objectos
por F (X, τ ) = (X, τ, ∆X), onde ∆X = {(x, x)|x ∈ X}, e G(X, τ ) = (X, τ, X × X)
1.7 Espaços topológicos ordenados 19
Seja P reord a categoria dos conjuntos pré-ordenados e das funções que
preservam as pré-ordens. Denotemos por RX o subconjunto {(x, x0)|x ¹ x0} de
X × X para (X, ¹) ∈ P reord.
Lema 1.7.3 ([JS02] 2.2) Um morfismo f : (X, ¹) → (Y, ¹) é um epimorfismo regular em P reord se e só se f (X) = Y e RY é o fecho transitivo de f × f (RX).
Usamos também ¹X para denotar RX.
Seja V : T opP reord → P reord o functor de esquecimento.
Proposição 1.7.4 O morfismo f : (X, τ, ¹) → (Y, τ, ¹) é um epimorfismo re-gular em T opP reord se e só se U f é epimorfismo rere-gular em T op e V f é epimor-fismo regular em P reord.
Demonstração: Se f é um epimorfismo regular em T opP reord então f é o
co-igualizador do seu par núcleo (π1, π2) e, por 1.7.2, (U π1, U π2) é o par núcleo
de U f e U f é o co-igualizador de (U π1, U π2). Além disso, supondo que RY
contém estritamente o fecho transitivo de f × f (RX), seja Y0 o espaço com o
mesmo espaço topológico subjacente de Y e RY0o fecho transitivo de f ×f (RX).
O morfismo f0 : X → Y0 definido por f0(x) = f (x), para todo o x ∈ X, é tal que
f0◦ π
1 = f0◦ π2 mas não se factoriza através de f . Consequentemente, f não
é co-igualizador de (π1, π2).
Reciprocamente, se U f e V f são epimorfismos regulares em T op e P reord,
respectivamente, e g ◦ π1 = g ◦ π2 em T opP reord, então existe um morfismo
h ∈ T op tal que h ◦ f = g.
Além disso, se y ¹ y0em Y , pela lema anterior, existe uma sequência finita
x0 ¹ x00, x1 ¹ x01, . . . , xn¹ x0n
em X tal que y = f (x0), f (x0i) = f (xi+1), para i = 0, 1, . . . , n − 1, e y0 = f (x0n).
Então h(y) = g(x0) ¹ g(x00) = g(x1) ¹ . . . ¹ g(x0n) = h(y0) e, pela transitividade,
h(y) ¹ h(y0). Portanto, h ∈ T opP reord e é o único morfismo que satisfaz a
Proposição 1.7.5 T opOrd é uma subcategoria plena e regular epireflectiva de T opP reord
Demonstração: Para X = (X, τ, ¹) em T opP reord define-se uma relação de
equivalência em X da seguinte forma
x ∼ x0 ⇔ x ¹ x0 e x0¹ x
e toma-se I(X) = (X/ ∼, τ, ≤) onde X/ ∼ é o conjunto quociente, τ é a topologia
quociente relativamente à projecção canónica pX : X → X/ ∼ e ≤ é o fecho
transitivo de pX × pX(RX), que é uma ordem em X/ ∼. Então pX : X → I(X)
é a reflexão de X em T opOrd. Além disso, por 1.7.4, pX é um epimorfismo
regular sendo portanto T opOrd uma subcategoria plena e regular epireflectiva
de T opP reord. ¤
Seja CP reord a subcategoria plena de T opP reord cujos objectos são ternos (X, τ, ¹) tais que (X, τ ) é objecto da subcategoria plena C de T op. Denotamos por U e V os correspondentes functores de esquecimento de CP reord em C e em P reord.
As proposições desta secção são casos particulares das que reunimos no teorema que se segue.
Teorema 1.7.6 Em CP reord
(i) O functor U : CP reord → C tem adjunto à esquerda e à direita;
(ii) um functor D : I → CP reord tem limite se e só se U D : I → C tem limite em C;
(iii) se C é fechada para produtos fibrados um morfismo f ∈ CP reord é epi-morfismo regular se e só se U f e V f são epiepi-morfismos regulares em C e em P reord, respectivamente;
(iv) se, para (X, τ, ¹) ∈ CP reord, X/ ∼ com a topologia quociente pertence ainda a C então COrd é uma subcategoria regular epireflectiva de CP reord.
1.8 Espaços de Priestley 21
1.8 Espaços de Priestley
Seja X um espaço topológico ordenado (pré-ordenado). Um subconjunto I de X diz-se decrescente em X se
x, y ∈ X, y ∈ I e x ≤ y ⇒ x ∈ I.
Denotamos por AF D(X) o conjunto dos subconjuntos abertos-fechados de-crescentes de X.
Definição 1.8.1 O espaço topológico ordenado (pré-ordenado) (X, τ, ≤) diz-se totalmente desconexo em relação à ordem (pré-ordem) se dados x, y ∈ X tais que y 6≤ x existe um subconjunto U aberto-fechado decrescente de X tal que x ∈ U e y 6∈ U .
Proposição 1.8.2 Todo o espaço totalmente desconexo em relação à ordem é espaço de Hausdorff.
Demonstração: Seja (X, τ, ≤) um espaço totalmente desconexo em relação
à ordem. Vejamos que é de Hausdorff. Sejam x, y ∈ X tais que x 6= y.
Suponhamos que y 6≤ x. Então, como (X, τ, ≤) é totalmente desconexo em relação à ordem, existe U , subconjunto aberto-fechado decrescente de X, tal
que x ∈ U e y /∈ U .
Sendo U aberto-fechado, X − U é aberto-fechado. Como y /∈ U , então
y ∈ X − U . Assim existem os abertos U , X − U tais que x ∈ U , y ∈ X − U e
U ∩ (X − U ) = ∅, ou seja (X, τ ) é espaço de Hausdorff. ¤
Proposição 1.8.3 Todo o subespaço de um espaço totalmente desconexo em relação à ordem é ainda totalmente desconexo em relação à ordem.
Demonstração: Seja (X, τ, ≤) um espaço topológico totalmente desconexo
em relação à ordem. Seja A um subespaço de X.
Sejam a, a0 ∈ A tais que a 6≤ a0. Então existe U ∈ AF D(X) tal que a0 ∈ U e
a /∈ U . Se U é aberto-fechado decrescente de X então U ∩ A é aberto-fechado
decrescente de A, e assim A é totalmente desconexo em relação à ordem. ¤
Proposição 1.8.4 O espaço produto de espaços topológicos totalmente desco-nexos em relação à ordem é ainda um espaço totalmente desconexo em relação à ordem.
Demonstração: Sejam (Xi)i∈I uma família de espaços topológicos
ordena-dos totalmente desconexos em relação à ordem.
Vejamos que o espaço topológico produto,Qi∈IXi, é totalmente desconexo
em relação à ordem.
Sejam (xi)i∈I, (yi)i∈I ∈
Q
i∈IXi tais que (xi)i∈I 6≤ (yi)i∈I. Então existe um
índice i0 ∈ I para o qual xi0 6≤ yi0. Em Xi0 existe Ui0 ∈ AF D(Xi0) tal que
yi0 ∈ Ui0 e xi0 ∈ U/ i0.
Fazendo Ui = Xi, para todo o i 6= i0, em U =
Q
i∈IUi, U é um subconjunto
aberto-fechado decrescente do espaço produto,Qi∈IXi, tal que (yi)i∈I ∈ U e
(xi)i∈I ∈ U . Logo o espaço produto considerado é totalmente desconexo em/
relação à ordem. ¤
Um espaço de Priestley é um espaço topológico ordenado, compacto e to-talmente desconexo em relação à ordem, portanto os espaços de Priestley são espaços de Stone visto serem espaços compactos, Hausdorff e totalmente des-conexos.
Denotamos por P sp a subcategoria plena de T opOrd constituída pelos es-paços de Priestley.
Proposição 1.8.5 Se X é um espaço totalmente desconexo em relação à ordem então a relação é fechada.
Demonstração: Seja (X, τ, ≤) um espaço totalmente desconexo em relação
à ordem e seja RX = {(x, y) ∈ X × X|x ≤ y}. Mostremos que RX é um
1.8 Espaços de Priestley 23
Consideremos A = (X × X) − RX e vejamos que A é um aberto de X × X.
Seja (x, y) ∈ A, isto é x 6≤ y. Como X é um espaço totalmente desconexo em relação à ordem, existe U aberto-fechado decrescente de X tal que y ∈ U e
x /∈ U . Logo existe um subconjunto aberto de X × X, (X − U ) × U , que contém
(x, y). Vejamos que (X − U ) × U ⊆ A.
Seja (a, b) ∈ (X − U ) × U . Suponhamos que (a, b) /∈ A. Então a ≤ b, como
b ∈ U e U é decrescente, tem-se a ∈ U , o que é um absurdo. ¤
Em particular, num espaço de Priestley a relação de ordem é interna. De
facto, RX sendo um subespaço fechado de X × X é compacto e totalmente
desconexo em relação à ordem. Além disso P sp é uma subcategoria plena de
T opOrd.
Um espaço finito e discreto é um espaço de Priestley relativamente a qual-quer ordem.
F. Borceux e G. Janelidze, em [BJ01] 3.4.7, caracterizam os espaços de Stone como sendo limites de espaços topológicos finitos e discretos. Para obter uma "versão ordenada" deste resultado, seguindo um raciocínio semelhante, temos que passar a um patamar mais elevado de generalidade e considerar os espaços de Stone pré-ordenados que são totalmente desconexos em rela-ção à pré-ordem. A correspondente subcategoria plena de T opP reord vai ser denotada por P P reord.
Proposição 1.8.6 As categorias P sp e P P reord são completas.
Demonstração: Como o produto de espaços compactos é compacto, de 1.8.4
e atendendo a que o objecto terminal de T opOrd e T opP reord (o espaço orde-nado singular) é o terminal em P sp e em P P reord, vem que estas categorias têm produtos.
De 1.8.2 e 1.8.3 conclui-se que o igualizador de qualquer par de morfismos em P sp ou P P reord ainda pertence a essas categorias: basta ver que no igua-lizador (E, i) do par f, g : X → Y , E é um subconjunto fechado de X (porque
estamos a trabalhar com espaços Hausdorff) portanto compacto.
Concluímos portanto que P sp e P P reord tendo produtos e igualizadores
têm todos os limites. ¤
Teorema 1.8.7 Um espaço topológico pré-ordenado é objecto de P P reord se e só se é limite de espaços pré-ordenados finitos e discretos.
Demonstração: Um espaço finito e discreto é compacto. Ele é também
to-talmente desconexo em relação a qualquer pré-ordem (tal como a qualquer ordem). Pela proposição anterior concluímos que o limite de espaços pré--ordenados finitos e discretos é ainda um objecto de P P reord.
Reciprocamente, seja X ∈ P P reord e R o conjunto das relações de equi-valência R em X tais que o espaço topológico quociente X/R relativamente à
projecção canónica pR: X → X/R é finito e discreto. Considerando o conjunto
R ordenado por inclusão como uma categoria seja
D : R → P P reord
o functor definido por D(R) = X/R, o espaço quociente com a relação de
pré--ordem que é o fecho transitivo de pR× pR(¹X).
Se R ⊆ R0 temos um morfismo X/R → X/R0 definido por [x]
R 7→ [x]R0,
denotando por [x]R e por [x]R0 as correspondentes classes de equivalência de
x ∈ X.
Seja (λR : L → X/R)R∈R o limite de D. Como (pR : X → X/R)R∈R é um
cone de X para D, pela definição de limite, existe um único morfismo g em
P P reord tal que λR◦ g = pRpara todo o R ∈ R.
Pelo teorema 3.4.7 em [BJ01], g é um homeomorfismo. Suponhamos agora que g(x) ¹ g(y) e que x 6¹ y. Então, porque X é totalmente desconexo em relação à pré-ordem, existe U subconjunto aberto-fechado decrescente de X
tal que y ∈ U e x /∈ U .
Tomemos a relação de equivalência RU em X correspondente à partição
{U, X − U }. Então RU ∈ R. Vejamos que [x]RU 6¹ [y]RU.
Suponhamos que [x]RU ¹ [y]RU, então existem
x0
1.8 Espaços de Priestley 25
[x0
1]RU = [x]RU, [x1]RU = [x02]RU, . . . , [xn]RU = [y]RU.
Assim, como y ∈ U então xn ∈ U e, também, x0n ∈ U , pois U é um
sub-conjunto decrescente. Aplicando o mesmo raciocínio sucessivamente temos
também x0
1 ∈ U .
Por outro lado, x /∈ U logo x ∈ X − U , e, como [x01]RU = [x]RU, também
x0
1 ∈ X − U . O que é um absurdo.
Assim existe uma relação de equivalência RU ∈ R tal que [x]RU 6¹ [y]RU,
portanto g(x) 6¹ g(y).
Portanto X é limite de espaços topológicos pré-ordenados finitos e
discre-tos, a menos de um isomorfismo. ¤
Partindo de um espaço de Priestley X, as relações induzidas em X/R pelo fecho transitivo podem não ser, e não são em geral, relações de ordem. Con-tudo o limite L sendo isomórfico em P P reord a X é ordenado: considerando os espaços pré-ordenados X/R, mais precisamente o correspondente diagrama em P P reord definido pela categoria R e o seu limite em P P reord obtemos o espaço de Priestley X de que partimos.
Assim, o teorema anterior dá-nos uma forma de construir espaços de Pries-tley.
Corolário 1.8.8 Todo o espaço de Priestley é limite de espaços finitos, discre-tos e pré-ordenados.
2
Adjunção dual entre T opOrd
e Ret
0,1
Seja T opOrd a categoria dos espaços topológicos ordenados e das aplicações
contínuas que preservam a ordem, definida na secção 1.7. Ret0,1 denota a
categoria cujos objectos são os reticulados limitados e que tem por morfismos os homomorfismos de reticulados que preservam o zero e o um.
Vamos estabelecer uma adjunção entre T opOrd e a categoria dual da
ca-tegoria Ret0,1 cuja equivalência induzida, no sentido de 1.1.4, é exactamente
a dualidade de Priestley. Daí se deduz a reflexão da categoria CHausOrd dos espaços compactos Hausdorff ordenados em P sp.
2.1 Adjunção entre T opOrd e Ret
op0,1O conjunto 2 = {0, 1} com a ordem 0 < 1 é um reticulado limitado, que
denotamos por 2r. O mesmo conjunto ordenado equipado com a topologia
dis-creta é um espaço topológico ordenado, denotado por 2t.
Para um objecto L de Ret0,1, consideremos o conjunto Hom(L, 2r) com a
ordem ponto a ponto, isto é f ≤ g se e só se f (a) ≤ g(a) para todo o a ∈ L, 27
sendo a topologia a menor topologia na qual todos os subconjuntos
Ua= {f ∈ Hom(L, 2r)|f (a) = 1}, a ∈ L (2.1)
e os seus complementos são subconjuntos abertos.
Proposição 2.1.1 Existe um functor U : Retop0,1 → T opOrd que a cada L ∈ Ret0,1 faz corresponder o espaço topológico Hom(L, 2r) e a todo o
mor-fismo f : L → K em Ret0,1 faz corresponder o morfismo U (f ) : Hom(K, 2r) →
Hom(L, 2r) definido por U (f )(g) = g ◦ f .
Demonstração: De facto, para todo o morfismo f : L → K em Ret0,1 a aplicação
U f : Hom(K, 2r) −→ Hom(L, 2r)
g −→ g ◦ f
é contínua e preserva a ordem, pois sejam g, h ∈ Hom(K, 2r) tais que g ≤ h,
isto é g(b) ≤ h(b) para todo o b ∈ K. Seja a ∈ L.
U f (g)(a) = (g ◦ f )(a) = g(f (a)) ≤ h(f (a)) = (h ◦ f )(a) = U f (h)(a). Então U f (g) ≤ U f (h), isto é U f preserva a ordem.
Mostremos que U f é uma aplicação contínua. Seja b ∈ L. (U f )−1(Ub) = {g ∈ Hom(K, 2r)|(U f )(g) ∈ Ub} = {g ∈ Hom(K, 2r)|(g ◦ f ) ∈ Ub} = {g ∈ Hom(K, 2r)|(g ◦ f )(b) = 1} = {g ∈ Hom(K, 2r)|g(f (b)) = 1} = Uf (b), subconjunto aberto de Hom(K, 2r).
(U f )−1(Hom(L, 2r) − Ub) = {g ∈ Hom(K, 2r)|U f (g) /∈ Ub}
= {g ∈ Hom(K, 2r)|(g ◦ f )(b) 6= 1}
= {g ∈ Hom(K, 2r)|g(f (b)) 6= 1}
= Hom(K, 2r) − Uf (b), subconjunto aberto
de Hom(K, 2r).
É óbvio que U (idL) = idU L e que U (g ◦ f ) = U f ◦ U g já que U é uma
"elevação" do functor Hom(−, 2r) : Retop0,1 → Conj para T opOrd, onde Conj
2.1 Adjunção entre T opOrd e Retop0,1 29
Vamos agora provar que também o functor Hom(−, 2t) : T opOrd → Conj
admite uma "elevação" para F : T opOrd → Retop0,1.
Para um objecto X ∈ T opOrd, o conjunto Hom(X, 2t) com a ordem ponto
a ponto é um reticulado limitado, onde o zero (limite inferior) e o um (limite superior) são definidos por
θX : X → 2t, θ(x) = 0, ∀x ∈ X
ιX : X → 2t, ι(x) = 1, ∀x ∈ X,
respectivamente, e
(f ∧ g)(x) = f (x) ∧ g(x), ∀x ∈ X (f ∨ g)(x) = f (x) ∨ g(x), ∀x ∈ X
Proposição 2.1.2 Define-se um functor F : T opOrd → Retop0,1 fazendo
corres-ponder a cada X ∈ T opOrd o reticulado limitado Hom(X, 2t) e a cada
mor-fismo f : X → Y em T opOrd a função F (f ) : Hom(Y, 2t) → Hom(X, 2t) tal que
F (f )(g) = g ◦ f .
Demonstração: Para qualquer morfismo f : X → Y em T opOrd a aplicação
F f : Hom(Y, 2t) −→ Hom(X, 2t)
g −→ g ◦ f
é um morfismo de reticulados limitados. De facto tem-se, para qualquer x ∈ X,
F f (θY)(x) = (θY ◦ f )(x) = θY(f (x)) = 0;
F f (ιY)(x) = (ιY ◦ f )(x) = ιY(f (x)) = 1;
F f (g ∧ h)(x) = (F f (g) ∧ F f (h))(x), ∀g, h ∈ Hom(Y, 2t);
F f (g ∨ h)(x) = (F f (g) ∨ F f (h))(x), ∀g, h ∈ Hom(Y, 2t).
E para quaisquer g, h ∈ Hom(Y, 2t) tais que g ≤ h, isto é tal que g(y) ≤ h(y)
para todo o y ∈ Y , g ◦ f ≤ h ◦ f . Logo F define um functor de T opOrd em Retop0,1.
¤ Para todo o espaço topológico ordenado X e x ∈ X a aplicação de avaliação,
avX,x : Hom(X, 2t) → 2r tal que avX,x(i) = i(x), para todo o i ∈ Hom(X, 2t), é
Proposição 2.1.3 A função que a cada X ∈ T opOrd faz corresponder
ηX : X −→ U F X = Hom(Hom(X, 2t), 2r)
x −→ avX,x
é uma transformação natural η : IdT opOrd→ U F .
Demonstração: A aplicação ηX preserva a ordem. Vejamos que é contínua.
Seja f ∈ F X. η−1X (Uf) = {x ∈ X|ηX(x) ∈ Uf} = {x ∈ X|avX,x(f ) = 1} = {x ∈ X|f (x) = 1} = f−1(1), subconjunto aberto de X. η−1X (U F X − Uf) = {x ∈ X|ηX(x) /∈ Uf} = {x ∈ X|avX,x(f ) 6= 1} = f−1(0), subconjunto aberto de X.
Sejam X, Y espaços topológicos ordenados. Seja f : X −→ Y uma aplicação contínua que preserva a ordem. Mostremos que o seguinte diagrama comuta
Y X U F Y U F X ... ... ... ... ... ... ... ... . ... f ...ηX ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... U F f ... ... ηY Seja x ∈ X. (ηY ◦ f )(x) = ηY(f (x)) = avY,f (x). (U F f ◦ ηX)(x) = U F f (ηX(x)) = U F f (avX,x) = avX,x◦ F f .
Vejamos que avY,f (x= avX,x◦ F f .
Seja i ∈ Hom(Y, 2t).
avY,f (x(i) = i(f (x)).
(avX,x◦ F f )(i) = avX,x(F f (i)) = avX,x(i ◦ f ) = (i ◦ f )(x) = i(f (x)). ¤
Para todo o reticulado limitado L e a ∈ L a aplicação avaliação,
avL,a : Hom(L, 2r) → 2t tal que avL,a(i) = i(a) para todo o i ∈ Hom(L, 2r), é
2.1 Adjunção entre T opOrd e Retop0,1 31
Proposição 2.1.4 A função que a cada L ∈ Ret0,1 faz corresponder
²L: L −→ Hom(Hom(L, 2r), 2t)
a −→ avL,a
é uma transformação natural ² : IdRet0,1 → F U .
Demonstração: A aplicação ²Lé um morfismo de reticulados limitados.
Seja f : L −→ K um morfismo de reticulados limitados. Vejamos que o diagrama seguinte comuta
K L F U K F U L ... ... ... ... ... ... ... ... . ... f ...²L ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... F U f ... ... ²K Seja a ∈ L.
(F U f ◦ ²L)(a) = F U f (²L(a)) = F U f (avL,a) = avL,a◦ U f .
(²K◦ f )(a) = ²K(f (a)) = avK,f (a).
Vejamos que avL,a◦ U f = avK,f (a).
Seja i ∈ Hom(L, 2r).
(avL,a◦ U f )(i) = avL,a(U f (i))
= avL,a(i ◦ f )
= (i ◦ f (a)) = i(f (a)) = avK,f (a).
¤
Teorema 2.1.5 O functor F é adjunto à esquerda do functor U : Retop0,1 → T opOrd.
Demonstração: Vamos provar que os functores F , U e as transformações
naturais η e ² satisfazem as identidades triangulares, isto é que
U ²L◦ ηU L= IdU Le F ηX ◦ ²F X = IdF X, para todo L ∈ Ret0,1 e X ∈ T opOrd.
(F ηX ◦ ²F X)(f ) = F ηX(²F X(f )) = F ηX(avF X,f) = avF X,f◦ ηX.
Vejamos que avF X,f ◦ ηX = f .
Seja x ∈ X.
(avF X,f ◦ ηX)(x) = (avF X,f)(ηX(x)) = (avF X,f)(avX,x) = avX,x(f ) = f (x).
Similarmente, U ²L◦ ηU L= IdU L. ¤
2.2 Dualidade de Priestley
Vamos agora determinar a equivalência induzida, no sentido de 1.1.4, pela adjunção definida na secção anterior.
Dado um espaço topológico ordenado X , o conjunto dos abertos-fechados decrescentes de X, AF D(X), é um reticulado distributivo limitado para a re-lação de inclusão.
Proposição 2.2.1 Seja X um espaço topológico ordenado. O reticulado limi-tado F (X) = Hom(X, 2t) é isomorfo a AF D(X)op.
Demonstração: Consideremos a aplicação
ϕ : Hom(X, 2t) −→ (AF D(X))op
f −→ f−1({0})
e provemos que ϕ é isomorfismo de reticulados limitados.
Dado f ∈ Hom(X, 2t), isto é f : X → 2t é uma aplicação contínua que
preserva a ordem, f−1({0}) ∈ AF D(X).
Sejam f, g ∈ Hom(X, 2t) tais que f 6= g, isto é existe x ∈ X tal que
f (x) 6= g(x), logo tem-se (x ∈ f−1({0}) e x /∈ g−1({0})) ou (x /∈ f−1({0}) e
x ∈ g−1({0})), e portanto ϕ é uma aplicação injectiva.
De seguida mostremos que ϕ é uma aplicação sobrejectiva.
Dado A ∈ AF D(X), seja f : X → 2ttal que
f (x) =
(
0 se x ∈ A,
2.2 Dualidade de Priestley 33
Ora f ∈ Hom(X, 2t) e ϕ(f ) = A. Logo ϕ é sobrejectiva.
ϕ(θX) = θ−1X ({0}) = {x ∈ X|θX(x) = 0} = X ϕ(ιX) = ι−1X ({0}) = {x ∈ X|ιX(x) = 0} = ∅ ϕ(f ∧ g) = (f ∧ g)−1({0}) = f−1({0}) ∪ g−1({0}) = ϕ(f ) ∪ ϕ(g), ∀f, g ∈ Hom(X, 2t). ϕ(f ∨ g) = (f ∨ g)−1({0}) = f−1({0}) ∩ g−1({0}) = ϕ(f ) ∩ ϕ(g), ∀f, g ∈ Hom(X, 2t).
Sejam g, h ∈ Hom(X, 2t) tais que g ≤ h, isto é g(x) ≤ h(x), para todo o
x ∈ X. Então h−1(0) ⊆ g−1(0). ¤
Dado um reticulado limitado L, o conjunto dos ideais primos de L,
de-notado por Ip(L), é um espaço topológico ordenado. A topologia tem como
subbase de abertos o conjunto
S = {Vb|b ∈ L} ∪ {IP(L) − Vc|c ∈ L},
sendo
Vb= {I ∈ Ip(L)|b /∈ I}. (2.2)
Proposição 2.2.2 Para todo o reticulado distributivo limitado L o espaço to-pológico dos ideais primos de L, X = (Ip(L), τ ), é compacto.
Demonstração: Pelo Lema da subbase de Alexander, basta provarmos que
toda a cobertura aberta de X por elementos de S tem uma subcobertura finita.
Sejam A0, A1 ⊆ L tais que
X ⊆ ( [ b∈A0 Vb) ∪ ( [ c∈A1 (X − Vc))
Seja J o ideal gerado por A0 e G o filtro gerado por A1. Suponhamos que
J ∩ G = ∅, pelo Teorema do Ideal Primo, existe I ideal primo de L tal que J ⊆ I e I ∩ G = ∅
Como I ∈ X, então
Se I ∈ Vb então b /∈ I. Mas b ∈ A0⊆ J ⊆ I. O que é um absurdo.
Se I ∈ (X − Vc) então c ∈ I. Mas c ∈ A1 ⊆ G e I ∩ G = ∅. O que é um
absurdo. Então J ∩ G 6= ∅ Seja a ∈ J ∩ G.
Temos os seguintes casos:
1. Suponhamos que A0 6= ∅, A1 6= ∅
Então, como
J = (A0] =↓ {b1∨ b2∨ ... ∨ bn|n ∈ IN, a1, a2, ..., an∈ A0} (1)
G = [A1) =↓ {c1∧ c2∧ ... ∧ ck|k ∈ IN, c1, c2, ..., ck∈ A1}
existe n, k ∈ IN, b1, ..., bn∈ A0, c1, ..., ck∈ A1 tal que
c1∧ ... ∧ ck≤ a ≤ b1∨ ... ∨ bn.
Seja I ∈ X.
Se a ∈ I então c1∧ ... ∧ ck ∈ I, logo I /∈ Vc1∧...∧ck = Vc1 ∩ ... ∩ Vck. Então
I ∈ (X − Vc1) ∪ ... ∪ (X − Vck).
Se a /∈ I então b1∨ ... ∨ bn ∈ I e, consequentemente I ∈ V/ b1∨...∨bn = Vb1 ∪
...∪Vbn. Concluímos então que X = Vb1∪...∪Vbn∪(X −Vc1)∪...∪(X −Vck),
isto é, existe uma subcobertura finita.
2. Suponhamos que A0 6= ∅ e A1 = ∅. Neste caso G = {1}, então a = 1
e 1 ∈ J. Existe n ∈ IN e b1, ..., bn ∈ A0 tal que 1 ≤ b1 ∨ ... ∨ bn. Então
1 = b1 ∨ ... ∨ bn e V1 = Xb1∨...∨bn = Vb1 ∪ ... ∪ Vbn. Logo existe uma
subcobertura finita.
3. Se A0 = ∅ e A1 6= ∅, de uma forma similar prova-se que existe uma
subcobertura finita.
4. Se A0= ∅ e A1 = ∅, é trivial que existe uma subcobertura finita.
¤
Proposição 2.2.3 Dado um reticulado distributivo limitado L e o espaço to-pológico ordenado dos ideais primos de L, X = (Ip(L), τ, ⊆), tem-se:
2.2 Dualidade de Priestley 35
(i) I, J ∈ Ip(L), J 6⊆ I ⇒ ∃a ∈ L : I ∈ Vae J /∈ Va;
(ii) Os subconjuntos abertos-fechados decrescentes de X são exactamente os conjuntos Va= {I ∈ Ip(L)|a /∈ I} com a ∈ L.
Demonstração:
(i) Sejam I, J ideais primos de L tais que J 6⊆ I. Então existe a ∈ L tal que
a ∈ J e a /∈ I logo J /∈ Vae I ∈ Va.
Mais, para todo o a ∈ L, Va é um subconjunto aberto-fechado de X,
por-que Va∈ S, e X − Va∈ S.
(ii) Sejam I ∈ Vae J ∈ Ip(L) tais que J ⊆ I. Se a ∈ J temos a ∈ I, o que é um
absurdo, porque I ∈ Va, logo J ∈ Va. Então Vaé decrescente.
Seja V um subconjunto aberto-fechado decrescente de X.
Se V = ∅, então V = V0.
Se V = X então V = V1.
Suponhamos que V 6= ∅ e V 6= X. Seja J ∈ X − V . Para todo o I ∈ V
,tem-se J 6⊆ I, porque V é decrescente e J /∈ V . Por 1, para todo o I ∈ V , existe
aI ∈ L tal que I ∈ VaI e J /∈ VaI. Logo
V ⊆ [ I∈V VaI e J /∈ [ I∈V VaI.
Como X é compacto e V é fechado, V é compacto. Como VaI é aberto para
todo o I ∈ V , existe U ⊆ V não vazio e finito tal que
V ⊆ [ I∈V VaI Seja bJ = _ I∈V aI. Então V ⊆ VbJ e J /∈ VbJ. Seja J ∈ X − V . Tem-se X − V ⊆ [ J∈X−V (X − VbJ) e V ⊆ \ J∈X−V VbJ.
