Contoh Soal Bab Trigonometri

(1)

S

Soaoall--soasoal l TriTrigongonomometetriri

1.

1. sin (a-b)sin (a-b)_tan_tan_a_a₋₋_tan_tan_b_b = = ……

a. a. CCoossaaccoossbb _d_d_._._-_-_S_S_i_i_n_n_a_a_si_si_n_n_b_b b. b. SSiin n a a ssiin n bb ee..CCoos s ((aa--bb)) c. c. – –CCoos s a a ccoos s bb Pe Pemmbahabahassan an :: sin (a-b) sin (a-b) tan

tanaa−−tantanbb ==

sinacosb

sinacosb−−cosasinbcosasinb sin sinaa cos cosaa−− sinb sinb cos cosbb = = sinacosb

sinacosb−−cosasinbcosasinb sinacosb

sinacosb−−cosasinbcosasinb cosacosb cosacosb =

= sinacosbsinacosb−−cocosassasinbinb xx

cosa cosacoscosbb sinacosb

sinacosb−−cosasinbcosasinb = cos a cos b = cos a cos b 2. 2. SSiin n 2 2 ɵɵ ssamama a dedennggan…an… a. a. pq pq

√ √

pp22qq22 d d.. 2q 2q

√ √

pp22++qq22 b. b. pq pq p p22++qq22 ee.. pq pq

√ √

pp22qq22

√ √

p p 2 2₊₊ q q22

p

(2)

c.

2pq p2+q2

Pembahasan :

Menurut dalil Pythagoras, panjang kaki segitiga disamping adalah

√

p2+q2

Sin =ɵ q

√

p2+q2 dan Cos =ɵ p

√

p2+q2 Sin 2 = ɵ 2 Sin Cosɵ ɵ = 2 q

√

p2+q2 . p

√

p2+q2 = 2pq p2+q2 3. Sin 3p + sin p =… a. 4 sin p cos2p d.2 sin p cos2p b. 4 sin2 p cos2p e.2sin2 p cos2p c. 4 sin2 p cosp Pembahasan : sin3 p+sin p=2sin 1

2(3 p+ p)cos 1

2(3 p− p) = 2 sin 2p cos p

= 2 (2sin p cos p)cos p = 4 sin p cos2p

4.Nilai

sin10 5o+sin 15o

cos 75o−cos5o adalah..

a. −√ 3 d. 1 2 √ 2 b. −¿ 1 e. √ 3 c. 1 2 Pembahasan : sin105o+sin15o cos 75o−cos5o = 2cos 1 2(105+15)cos 1 2(105−15) −2sin 1 2( 75+15)sin 1 2 ( 75−15)

q

(3)

= −cos 1 2(120)cos 1 2(90) sin 1 2(90)sin 1 2(60) = −cos 60cos 45 sin 45sin30 = −cos60 sin30 = -1 5. Jika sinα = 3 5 dan tan α = 4

5 , α dan β adalah sudut

lancip, maka nilai sin ( α + β ) adalah… a. 9 25 d. 1 b. 27₂₅ e. 32 25 c. 18₂₅ Pembahasan 

sin ( α + β ) = sin α . c!s β "c!s α . sin β = 3₅ . 3₅ " 4₅ .4₅ = 1 #. Jika tan 5° =x, tentukan nilai tan 50°… a. 1+ x 1− x b. 1₁₊+ x_x c. 1₁−₋ x_x d. 1+ x 2 1− x2

(4)

e. 1−_x2 1+_x2 Pembahasan : tan 50° = tan (45° + 5°) = tan 45o+tan 5o 1−tan 45otan5o = 1+ x 1− x 7.Jika tg x 2 +1 = a2 maka sin x=…2 a. 1−_a2 a2 d. a2 a2+1 b. −a2 a2+1 e. a2−1 a2 c. 1 a2 Pembahasan : Tg2 x +1 = a2 Tg2x = a – 2 1 Tg x =

√

a2 – 1 Maka Sin2x = a2−1 a2

8.Jika tan x + tan y = p dengan p ≠ 0, maka

cos x cos y sin( x+ y) =… a. 1 p d. 2p b. 2 p e. p2 c.p Pembahasan : tan x + tan y = p

cos x cos y+cos x cos y cos x+cos y = p

√

a2 – 1

a2

(5)

sin(_x+_y) cos_xcos_y= p

cos xcos y sin( x+ y)=

1 p

9.Jika 1 +tan x 2 = a, a>1 dan ) ≤ x ≤ 90 , maka sin2x…

a.a d. a−1 a b.a-1 e.

√

a− 1 a c. a a−1 Pembahasan : tan x = √ a−1 sin2x = a a−1 10. Sin 75 + Sin 15 =… a.-1 d. 1 2 √ 6 b.0 e.1 c. 1 2 √ 2 Pembahasan : Sin 75 + Sin 15 = 2 sin 1 2(75+15)cos 1 2(75−15) = 2 sin 45 cos 30 = 2 1 2 √ 2. 1 2 √ 3 = 1 2 √ 6

11. Tg x = a , Maka nilai sin 2x adalah… a. a

√

a2+1 √ a √ a−1 1

(6)

b. 2a

√

a2+1 c. a a2+1 d. 2a a2+1 e. 2a a2−1 Pembahasan : Tg x = a Sin 2x = 2 sin x cos x = 2 a

√

a2+1 1

√

a2+1 = 2_a a2+1 12. Tg A = p, maka cos 2A =… a. 2_p2 p2+1 b. 2 p2 p2−1 c. p2−1 p2+1 d. p2+1 p2−1 e. 1−_p2 p2+1 Pembahasan : Tg A = p Cos 2 A = 1 – 2 Sin2A = 1 – 2

(

p2

√

p2+1

)

. p2

√

p2+1

√

a2+1 a

√

p2+

(7)

= 1.

(

p2+1 p2+1

)

-2 p2 p2+1 = 1−_p2 p2+1 13. Jika A + B + C= 180, maka sin 1 2 (B +C)=... a.Cos 1 2 A d. Cos 2A b.Sin 1 2 A e.Sin2A c.Tg (B + C) Pembahasan : A + B + C= 180 B + C = 180 – A 1 2 (B +C) = 90 -1 2 A sin 1 2 (B+C )=sin

(

90− 1 2 A

)

= Cos 1 2 A 14. Jika tan 6o =p, Tentukan nilai tan 1410=… a. ₁1₋+ p_p b. 1+ p 1+2 p c. ₁1₊−_2 p p d. p₁₊−_p1 e. p+1 p−1 Pembahasan : Tan 1410= tan (1350+ 60)

(8)

=

1tan 135−tan 135.tan 6+tan6

=

p1+− p1

15. Diketahui sin α cos α = 8 25 .Nilaidari 1 sin_α− 1 cos_α =... a. 3 25

d.

8 25 b. 9 25

e.

15 8 c. 5 8 Pembahasan : 1 sin α − 1 cosα = cosα −sinα sinα .cosα

=

((cosα −sinα ) 2₎ 2 1 sinα . cosα

=

(

cos 2 α +sin2α −2sinαcosα

)

₂1 sinαcosα

=

(1−16 25) 1 2 8 25

=

3 5 . 25 8

=

15 8 16. Bentuk sin5 x+sin3 x

cos5 x+cos3 x senilai dengan ...

a.Tan 2x c. Cotan 4x b. Tan 4x d. Cotan 8x

c.Tan 8x Pembahasan :

(9)

sin5 x+sin3 x cos5 x+cos3 x

=

2sin 1 2(8 x)cos 1 2(2 x) 2 cos 1 2(8 x)cos 1 2(2 x) = tan 4x

17. Jika p-q = cos A dan √ 2 pq = sin A, maka p2+q2 =...

a.0 d. 1 2 b. 1 8 e. 1 c. 1 4 Pembahasan : (p-q)2= p2+q2 -2pq Cos2A = p2+q2 –sin A2 p2+q2 = 1

18. Diketahui tan A = 2

3 (A sudut lancip). Nilai dari sin 2 A = … a. 1 13 d. 12 13 b. 12 13 e. 1 c. 6 13 Pembahasan : tan A = 2 3 sin 2 A = 2 sin A cos A = 2 2 √ 13 . 3 √ 13 = 12 13 √ 13 2 3

(10)

19. Jika sin α = 3

5 dan tan β= 4

3 , α dan β

adalah sudut blancip, maka nilai sin (α − β ) adalah… a. 9 25 d. 1 b. 24 25 e. 32 25 c. 18 25 Pembahasan : sin α = 3 5 dan tan β= 4 3 cos ¿ 4 5 , sin β= 4 5 dan cos β= 3 5 sin (α + β )=sin α cos β +sin β cosα = 3 5 . 3 5 + 4 5 . 4 5 = 1 20. Nilai dari Cos 2850=… a.(√ 6+√ 2 ) d. 1 4

(

√ 6+√ 2

)

b. 1 2

(

√ 6+√ 2

)

e. 1 4

(

√ 6−√ 2

)

c. 1 2

(

√ 6−√ 2

)

Pembahasan _: Cos 2850=_cos₍₃₆₀0_-₇₅0₎ Cos 750 = cos (450+300)

= cos 450 cos 300 –sin 450 sin 300 = 1 2 √ 2. 1 2 √ 3 -1 2 √ 2 . 1 2 = e. 1 4

(

√ 6−√ 2

)

(11)

21. Jika tan x = 2 dan sin (x+y)=5 cos (y-x), maka tan y sama dengan… a. −3 11 d. 3 11 b. −1 2 e. 1 2 c. 0 Pembahasan : sin (x+y)=5 cos (y-x) sin (x+y)=5 cos (x-y) sin( x+ y) cos( x− y) = 5 Tan (x-y) = 5 tan x−tan y 1+tan x tan y = 5 2−tan y 1+2 tan y=5 2- tan y = 5 +10 tan y -11 tan y = 3 Tan y = −3 11 22. Jika 2 tan x 2 + 3 tan x - 2 =0 dengan batas 900<x<1800, maka nilai sin x + cos x = … a. −3 5 √ 5 d. 1 5 √ 5 b. −5 4 √ 5 e. 3 5 √ 5 c. 0 Pembahasan :

2 tan x 2 + 3 tan x - 2 =0 adalah persamaan kuadrat (2tan x - 1) ( tan x + 2)= 0

Tan x = 1

(12)

Sin x = 2 5 √ 5 dan cos x = −1 5 √ 5 Jadi sin x + cos x = 1 5 √ 5 23. Jika cos x tan x + 1 2 √ 3=0 untuk 2700<x<3600, maka cos x=… a.-2 d. 2 3 √ 3 b. −2 3 √ 3 e. −1 2 c. 1 2 Pembahasan : cos x tan x + 1 2 √ 3=0 sin x = -1 2 √ 3 x = 3000 Jadi cos x = 1 2 24. Jika tan x- 3 sin2 x = 0, maka nilai sin x . cos x adalah…

a. 1 3 d. 2 3 b. 1 3 √ 2 e. 1 3 √ 5 c. 1 3 √ 3 Pembahasan : tan x−3sin2 x=0

(13)

sin x−3sin2 x .cos x

cos x = 0 sin x

cos x (1- 3sin x. cos x )= 0 Jadi sin x . cos x =

1 3

25. Bentuk tan x 2 – cos x 2 identik dengan … a.Sin x 2 – cos x2 d.sec2x-cosec2x

b.Sec x-2 cos x2 e.cosec x-2 sec x2 c.Cosec x- 2 sin x2

Pembahasan :

tan x 2 – cos x 2 = sec x 2 – 1 – (cosec x-2 1) = sec x 2 – 1 – cosec x 2 +1 = sec x– 2 cosec x2

26. Untuk 0<x<1800 , banyaknya nilai-nilai x yang memenuhi 8cos x 4 – 8cos x 2 = 0 adalah…

a.2 d.5 b.3 e.7 c.4 Pembahasan : 8cos x 4 – 8cos x 2 = 0 ; 0$ x$% 8cos x 4 – (cos x-2 1) = 0

Sehingga diperoleh,

- cos x = 0 x = 900, 2700 - cos x = 1 x = 00, 360 - cos x = -1 x = 1800

Jadi x= 00, 900, 1800, 2700, 3600 Sehingga nilai n (x)=5

27. Jika untuk 0≤ x ≤2 π , 0≤ y ≤ 2 π , berlaku 4 cos (x-y)=cos (x+y), maka nilai dari tan x tan y=…

a.

− 4 5

d.

3 5

b.

−3 5

e.

4 5

(14)

c.

0

Pembahasan : 0≤ x ≤2 π _, 0≤ y ≤ 2 π 4 cos (x-y)=cos (x+y)

4 cos x cos y + 4 sin x sin y = cos x xos y – sin x sin y 5 sin x sin y = -3 cos x cos y sin x sin y cos x cos y = -5 3 Tan x tan y = −3 5 28. sin x .cos x tg x sama dengan… a.Sin x2 d.sin x b.Cos2x _e.cos_x c. 1 sin x Pembahasan : sin x .cos x tg x = sin x . cos x sin x cos x = sin x . cos x . cos x sin x = cos x2

29. Nilai dari sin 1050- sin 150 adalah…

a.

1 4 d. 1 2 √ 2

b.

1 2

e.

1 2 √ 3 c. 1 4 √ 2 Pembahasan: sin 1050- sin 150= 2sin 1 2(105−15)cos 1 2 (105+15) = 2 sin 45 cos 60

Contoh Soal Bab Trigonometri

√ √

√ √

√ √

√ √

p

p

√

√

√

√

√

q

√

√

√

√

√

√

√

(

√

)

√

√

√

(

)

(

)

=

=

d.

e.

=

=

(

)

=

=

=

=

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

a.

d.

b.

e.

c.

a.

b.

e.

=

d.

e.

=

Ol

eh

:

Kar

i

na

El

f

a

P.

Kel

as

:

XI

I

PA