Curso de
Física Básica
H. Moyses Nussenzveig
Resolução do
Volume II
Capítulo 10
A Segunda Lei da
Termodinâmica
1 – Demonstre que duas adiabáticas nunca podem se cortar. Sugestão: Supondo que isto fosse possível, complete um ciclo com uma isoterma e mostre que a 2ª lei da termodinâmica seria violada se um tal ciclo existisse. (Resolução)
2 – Uma usina termoelétrica moderna opera com vapor de água superaquecido, a temperaturas da ordem de 500°C, e é resfriada com água de rio, tipicamente a 20°C. Devido a inúmeros tipos de perdas, a eficiência máxima que se consegue atingir na prática é da ordem de 40%. Que fração da eficiência máxima idealmente possível para esses valores isto representa? (Resolução)
3 – Chama-se coeficiente de desempenho K de um refrigerador a razão Q2/W, onde Q2 é a
quantidade de calor removida da fonte fria (congelador) e W o trabalho fornecido pelo compressor, por ciclo de refrigeração.
a) Para um refrigerador de Carnot ideal, exprima K em função das temperaturas T1 e T2 das
fontes quente e fria, respectivamente.
b) Exprima K em função da eficiência da máquina de Carnot obtida operando o refrigerador em sentido inverso.
c) Um dado refrigerador doméstico tem coeficiente de desempenho 40% do ideal; o motor do compressor tem 220 W de potência e o congelador é mantido a –13°C. Para uma temperatura ambiente de 27°C, qual é a quantidade de calor removida do congelador, em 15 min de funcionamento do motor? Que quantidade de gelo ela permitiria formar, partido de água a uma temperatura próxima de 0°C? O calor latente de fusão do gelo é 80 cal/g. (Resolução)
4 – Um mol de um gás ideal diatômico (γ = 7/5) descreve o ciclo ABCDA (fig.), onde P é medido em bar e V em l.
a) Calcule a temperatura nos vértices.
b) Calcule a eficiência de um motor térmico operando segundo esse ciclo.
c) Compare o resultado (b) com a eficiência máxima ideal associada às temperaturas extremas do ciclo.
(Resolução)
5 – Um gás ideal com γ = 5/3 sofre uma expansão isotérmica em que seu volume aumenta de 50%, seguida de uma contração isobárica até o volume inicial e de aquecimento, a volume constante, até a temperatura inicial.
a) Calcule o rendimento deste ciclo.
b) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre as mesmas temperaturas extremas. (Resolução)
6 – Um gás ideal de coeficiente adiabático γ é submetido ao ciclo ABCA da fig., onde AB é um segmento de reta.
a) Calcule o rendimento.
b) Mostre que ele é menor do que o rendimento de um ciclo de Carnot operando entre as mesmas temperaturas extremas. (Resolução)
7 – Numa máquina térmica, o agente é um gás ideal de coeficiente adiabático γ, que executa o ciclo da fig., onde BC é uma adiabática e CA uma isoterma.
a) Calcule o rendimento em função de r e γ.
b) Exprima o resultado em função da razão ρ = T1/T2 entre
as temperaturas extremas.
c) Para γ = 1,4 e r = 2, qual a razão entre o rendimento obtido e o rendimento de um ciclo de Carnot que opere entre T1 e
T2? (Resolução)
8 – A fig., onde AB e CD são adiabáticas, representa o ciclo de Otto, esquematização idealizada do que ocorre num motor a gasolina de 4 tempos: AB representa a compressão rápida (adiabática) da mistura de ar com vapor de gasolina, de um volume inicial V0 para V0/r (r = taxa de compressão); BC representa o
aquecimento a volume constante devido à ignição; CD é a expansão adiabática dos gases aquecidos, movendo o pistão; DA simboliza a queda de pressão associada à exaustão dos gases da combustão. A mistura é tratada como um gás ideal de coeficiente adiabático γ.
a) Mostre que o rendimento do ciclo é dado por
1 B C A D r 1 1 T T T T 1 − γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = − − − = η
b) Calcule η para γ = 1,4 e r = 10 (compressão máxima permissível para evitar pré-ignição). (Resolução)
9 – O ciclo Diesel, representado na fig., onde AB e CD são adiabáticas, esquematiza o que ocorre num motor Diesel de 4 tempos. A diferença em relação ao ciclo de Otto (Problema 8) é que a taxa rc = V0/V1 de compressão adiabática é maior, aquecendo
mais o ar e permitindo que ele inflame o combustível injetado sem necessidade de uma centelha de ignição: isto ocorre a pressão constante, durante o trecho BC; a taxa de expansão adiabática associada a CD é re = V0/V2.
a) Mostre que o rendimento do ciclo Diesel é dado por
( ) ( )
e c c e B C A D r 1 r 1 r 1 r 1 . 1 1 T T T T 1 1 − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ γ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − γ − = η γ γ b) Calcule η para rc = 15, re = 5, γ = 1,4.c) Compare o resultado com o rendimento de um ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas extremas. (Resolução)
10 – O ciclo de Joule, representado na fig., onde AB e CD são adiabáticas, é uma idealização do que ocorre numa turbina a gás: BC e DA representam, respectivamente, aquecimento e resfriamento a pressão constante; r = PB/PA é a taxa de compressão.
a) Mostre que o rendimento do ciclo de Joule é dado por γ − γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = η 1 r 1 1
11 – O ciclo da fig. é formado por isotermas de temperaturas T1 (BC), T3 (DE) e T2 (FA), e pelas adiabáticas AB, CD e EF. As taxas de expansão isotérmica VC/VB e VE/VD, são ambas iguais a r. Calcule o rendimento do ciclo e mostre que é menor do que o rendimento de um ciclo de Carnot entre as mesmas temperaturas extremas. (Resolução)
12 – A partir dos dados fornecidos no Problema 2 do Cap. 8, calcule a entropia molar s do NaCl a baixas temperaturas, T << TD é a temperatura de Debye (para um sólido a baixas temperaturas, CV = CP). Tome s = 0 para T = 0. (Resolução)
13 – Um fluido é submetido a um ciclo reversível. Se o ciclo é representado por um diagrama no plano (T, S), onde S é a entropia do fluido:
a) Mostre que o trabalho associado ao ciclo é dado por W= TdS
∫
, a área orientada por ele compreendida.b) Represente um ciclo de Carnot para um gás ideal no plano (T, S). Verifique o resultado da parte (a) neste caso.
c) Calcule o rendimento η do ciclo de Carnot da parte (b) diretamente a partir do diagrama (T, S). (Resolução)
14 – Um quilograma de gelo é removido de um congelador a –15°C e aquecido, até converter-se totalmente em vapor, a 100°C. Qual é a variação de entropia deste sistema? O calor especifico do gelo é de 0,5 cal/g°C; o calor latente de fusão do gelo é de 79,6 cal/g, e o calor latente de vaporização da água é de539,6 cal/g. (Resolução)
15 – Dois litros de ar (γ = 1,4), nas condições normais de temperatura e pressão, sofrem uma expansão isobárica até um volume 50% maior, seguida de um resfriamento a volume constante até baixar a pressão a 0,75 atm. De quanto varia a entropia deste sistema? (Resolução)
16 – Um recipiente de paredes adiabáticas contém 2 l de água a 30°C. Coloca-se nele um bloco de 500 g de gelo.
a) Calcule a temperatura final do sistema. Tome 80 cal/g para o calor latente de fusão do gelo.
b) Calcule a variação de entropia do sistema. (Resolução) 17 – Um litro de água, inicialmente a 100°C, é totalmente vaporizado:
a) Em contato com um reservatório térmico a 100°C. b) Em contato com um reservatório térmico a 200°C.
O calor latente de vaporização da água é de 539,6 cal/g. Calcule a variação total de entropia do universo devida exclusivamente ao processo de vaporização, nos casos (a) e (b), e relacione os resultados com a reversibilidade ou não do processo. (Resolução)
18 – Um cilindro contendo 1 kg de He a 150 atm, em equilíbrio térmico com o ambiente a 17°C, tem um pequeno vazamento através do qual o gás escapa para a atmosfera, até que o tanque se esvazia por completo do hélio. Qual é a variação de entropia do gás hélio? Que quantidade de trabalho é desperdiçada por esse processo? (Resolução)
19 – Uma chaleira contém 1 l de água em ebulição. Despeja-se toda a água numa piscina, que está à temperatura ambiente de 20 °C.
a) De quanto variou a entropia da água da chaleira? b) De quanto variou a entropia do universo? (Resolução)
20 – Chama-se energia livre (de Helmholtz) de um sistema a função de estado F = U – TS, onde U é a energia interna e S a entropia do sistema. Esta função desempenha um papel importante nas transformações isotérmicas, tais como as que se produzem à temperatura ambiente. Mostre que, numa transformação isotérmica:
a) Se a transformação é reversível, o trabalho W realizado pelo sistema é igual ao decréscimo de F.
b) No caso irreversível, W é menor que este decréscimo, de modo que o decréscimo de F dá a energia máxima disponível para realizar trabalho.
c) Mostre que, numa expansão livre, o decréscimo de F dá o trabalho desperdiçado.
(Resolução)
Resolução
R-2) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ° = = ° = = η K 293 C 20 T K 773 C 500 T 40 , 0 2 1 R2 2 T Q 1 1 T Q =
1 2 1 2 I T T 1 Q Q 1− = − = η
⇒ ηI = 0,62
62 , 0 40 , 0 I R = η η ⇒ ηR = 0,644.ηI R-3) a) K Q2 W =
W = Q1 - Q2, onde Q1 é a quantidade de calor absorvida (que entra) pela fonte quente. Como 1 1 2 2 Q T Q =T 1 2 1 2 T Q Q T = (*) Substituindo (*) na expressão de K:
(
)
(
)
1 2 1 2 1 1 2 1 Q T T Q K W Q Q T T = = − − 2 1 2 T K T T = − com T1 > T2 b) Lembrando que 2 1 1 2 1 1 1 T T T T η η = − ⇒ = − 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 T T T K T T 1 1 η η η − − = = − = − = − − + 1 K η η − = c) 260 6 5 300 260 f I q f T K , T T = = = − − Portanto: Kp = 0,4(6,5) = 2,6 2 Qf Q K W W = = onde W = P.Δt = 220(15 x 60) = 1,98 x 105 J Q2 = K.W = 2,6(1,98 x 105) ⇒ Q2 = 5,1 x 105 J Q2 =m.L ⇒ m.g = (5,1 x 105)/(80 x 4,186) ⇒ m = 1,5 kg R-8) a) 1 0 B 1 0 A r V . T V . T − γ − γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇒ A B 1 r 1 . T T − γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =(I) 1 D D 1 0 C T .V r V . T γ− − γ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⇒ 1 C D r 1 . T T − γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =
(II) Substituindo TA e TD abaixo:
QDA = ΔUDA = n.CV.(TA - TD) ⇒
(
B C)
1 V DA .T T r 1 . C . n Q ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − γ (III) Como QDA é o calor que sai do sistema:QDA = - QDA , logo:
(
C B 1 V DA .T T r 1 . C . n Q ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = γ−) (IV)
QBC = ΔUBC = n.CV.(TC - TB) (V)O rendimento é dado por:
BC DA q f q ciclo Q Q 1 Q Q 1 Q W − = − = = η
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
(
C B)
V B C V BC B C 1 V A D V DA T T . C . n T T . r 1 . C . n 1 T T . C . n T T . C . n 1 Q Q 1 − − − = − − − = − − = η − γ 1 r 1 1 − γ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = η b) ⇒ 10 r 4 , 1 ⎭ ⎬ ⎫ = = γ 60 , 0 10 1 1 1 4 , 1 = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = η −Outro modo de resolver:
BC W Q η= Caminho W ΔQ ΔU AB WAB 0 ΔUAB = - WAB BC 0 QBC ΔUBC = QBC = nCV(TC - TB) CD WCD 0 ΔUCD = - WCD DA 0 QDA ΔUDA = QDA = nCV(TA - TD) ABCDA WAB + WCD QBC + QDA 0 = - WAB - WCD + QBC + QDA WT = QBC + QDA
(
)
(
)
1 1 V A D BC DA T DA BC fornecido BC BC V C B nC T T Q Q W Q W Q Q Q Q nC T T η= = = + = + = + − − 1 A D 1 D C B C B T T T T T T T T η= + − ≅ − − − − A R-14) 0 1 0 15 15 f Tf ( ) f i gelo( ) gelo( ) gelo gelo( ) i Ti T d ' Q dT S S S S S m.g.c m.g.c .ln T T ° ° − ° − ° ⎛ ⎞ Δ = − = − = = = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠
∫
∫
T2 0 f gelo F f i agua gelo ( ) i m .L d ' Q Q S S S S S T T T ° Δ = − = − =
∫
= = 100 3 100 0 0 f Tf ( ) f i agua( ) agua( ) gelo agua gelo agua( ) i Ti T d ' Q dT S S S S S m .c m .c .ln T T ° ° ° ° ⎛ ⎞ Δ = − = − = = = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠
∫
∫
T 4 100 f gelo V f i vapor agua ( ) i m .L d ' Q Q S S S S S T T T ° Δ = − = − =∫
= =Variação de entropia do sistema: ΔS = ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 +ΔS4 ΔS = 2076 cak/k = 8680 J/k R-16) V0 = 2 l ⇒ ma = 2000 g Ta = 30°C = 303 K ca = 1 cal/g°C mg = 500 g Tg = 0°C = 273 k a) QF + Qa + Qg = 0 mg.LF + ma.ca (T - Ta) + mg.ca (T - Tg) = 0 T = 8°C b) ΔS = ΔS1 + ΔS2 + ΔS3 cal/K 52 , 146 T L . m T Q T dQ S g F f F 1 = = Δ = = Δ
∫
g g i g cal/K 76 , 150 T dT . c . m T dQ S T a a f A 2 = = = Δ∫
∫
T i a cal/K 44 , 14 T dT . c . m T Q ' d S T T a g f i g 3= = = Δ∫
∫
g a ΔS = 10,2 cal/K 17) V = 1 litro ⇒ m = 1000 ga) Variação de entropia: UNIVERSO = RESERVATÓRIO + ÁGUA
u r S S S Δ = − 1000 1446 26 373 V V a a m.L .L S , T Δ = = = 1446 26 V r r m.L S , T Δ = − = −
Logo: ΔSu = 0 ⇒ reversível. b) 373 V a m.L S Δ = − 473 V r m.L S Δ = − ΔSu = 307,26 cal/k ⇒ ΔSu > 0 ⇒ irreversível.
R-18) Dados: m = 1 kg de He; P = 150 atm; T = 17°C = 290 K; MHe = 4 g/mol. a)
Volume ocupado pelo gás a 1 atm:
PV = nRT ⇒ 1.Vf = 250 . 0,082 . 290 ⇒ Vf = 5945 l Dentro do cilindro:
PV = nRT ⇒ 150 . V = 250 . 0,082 . 290 ⇒ Vi = 39,63 l
Escolhe-se um caminho onde o processo seja reversível para calcular ΔS; aproveita-se do fato de T ser constante, logo:
ΔU = 0 ⇒ Q = W f f f Vf Vf f f i i i i i Vi Vi V d ' Q d ' W P.dV n.R.T dV S S S dV n.R n.R.ln T T T V .T V V ⎛ ⎞ Δ = − = = = = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
∫
∫
∫
∫
∫
ΔS = 1,04 . 104 J/Kb) W Desperdiçado: o trabalho que deixou de ser realizado. Expansão livre: ΔU = 0; ΔQ = 0; ΔW = 0
W = ΔS.T = (1,04 . 10 4).290 ⇒ W = 3,02 . 106 J R-19) T1 = 100°C = 373K; T2 = 20°C = 298K a) 2 1 2 1 1 1 T chal T d ' Q dT T S m.c. m.c.l T T ⎛ ⎞ Δ = = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
