6 - VIGA. Fernando Musso Junior Estruturas de Concreto Armado 23

VIGA - VÃO EFETIVO DE VIGA

VIGA - MOMENTO FLETOR, FORÇA CORTANTE, MOMENTO TORÇOR E FLECHA Momento Fletor ( = a/L;  = b/L)

Sistema

Carga Mmáx; xo/L Mmáx; xo/L Mdir Mmáx; xo/L Mesq Mdir Mesq

5 , 0 ; 8 pL2 375 , 0 ; 128 pL 9 2 8 pL2  ;0,5 24 pL2 12 pL2  12 pL2  2 pL2  577 , 0 ; 3 9 pL2 447 , 0 ; 5 15 pL2 15 pL2  ;0,548 64 , 46 pL2 30 pL2  20 pL2  3 pL2  423 , 0 ; 3 9 pL2 329 , 0 ; 65 , 23 pL2 120 pL 7 2  ;0,452 64 , 46 pL2 20 pL2  30 pL2  6 pL2  5 , 0 ; 4 PL 5 , 0 ; 32 PL 5 16 PL 3  ;0,5 8 PL 8 PL  8 PL  2 PL    ;PL PL; 2 3 2 PL 2 1 2     222PL; 2PL 2PL PL

Força Cortante ( = a/L;  = b/L)

Sistema

Carga Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq Vdir Vesq

2 pL 2 pL  8 pL 3 8 pL 5  2 pL 2 pL  pL 6 pL 3 pL  10 pL 5 pL 2  0,15pL 0,35pL 2 pL 3 pL 6 pL  40 pL 11 40 pL 9  0,35pL 0,15pL 2 pL 2 P 2 P  16 P 5 16 P 11  2 P 2 P  P P  P P 2 3_2 P 2 3 2     (3_2_)_2P P ) 2 3 ( _{  }2  P

Momento Torçor ( = a/L;  = b/L)

Carga

Sistema Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir Tesq Tdir

2 tL 2 tL  6 tL 3 tL  3 tL 6 tL  2 T 2 T   T T

Tesq Tesq Tesq Tesq Tesq

tL 2 tL 2 tL T T Flechas ( = a/L;  = b/L) Sistema Carga máx; xo/L máx; xo/L máx; xo/L dir 5 , 0 ; EI 384 pL 5 4 422 , 0 ; EI 6 , 184 pL4 5 , 0 ; EI 384 pL4 EI 8 pL4 519 , 0 ; EI pL 00652 , 0 4 447 , 0 ; EI 3 , 419 pL4 525 , 0 ; EI 2 , 764 pL4 EI 120 pL 11 4 481 , 0 ; EI pL 00652 , 0 4 402 , 0 ; EI 1 , 328 pL4 475 , 0 ; EI 2 , 764 pL4 EI 30 pL4 5 , 0 ; EI 48 PL3 447 , 0 ; EI 5 48 PL3 5 , 0 ; EI 192 PL3 EI 48 PL 5 3 5 , 0 ; EI 48 PL ) 4 3 ( 2 3      - - EI 6 PL ) 3 ( _{ }2 3 [MUSSO] a b L/2 a b L/2 a b L/2 L/2 a b

VIGA - FLECHAS EM DIVERSOS SISTEMAS COM DIFERENTES CARREGAMENTOS

6.2 - VIGA - DIMENSIONAMENTO NO

ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)

VIGA - DIMENSÕES LIMITES DE VIGAS

6.2.1 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À

MOMENTO FLETOR (ELU-M)

VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M)

As área da seção da armadura longitudinal fyk resistência característica de escoamento do aço

tracionada h altura da seção transversal

s

A área da seção da armadura longitudinal Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo

comprimida Md,lim momento fletor de cálculo máximo com

As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal armadura simples

tracionada MG momento fletor da ação permanente G

As,lim área da seção da armadura tracionada MQ momento fletor da ação variável Q

correspondente a Md,lim T força de tração na armadura longitudinal

b largura da seção transversal x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) C força de compressão no concreto xlim profundidade máxima da linha neutra para

d altura útil da seção transversal ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) distância do centróide da armadura tracionada à z braço de alavanca (braço do binário) borda comprimida da seção transversal c encurtamento da fibra extrema de concreto

d distância do centróide da armadura comprimida yd fyd/Es deformação de escoamento do aço

à borda comprimida da seção transversal s alongamento da armadura tracionada

d  h - d  s encurtamento da armadura comprimida

dlim altura útil mínima com armadura simples  x/d profundidade da linha neutra adimensional

Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço  0,8 coeficiente de redução da altura comprimida

fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à  da seção (diagrama retangular x parabólico)

compressão  0,85 coeficiente de redução da resistência de

fck resistência característica do concreto à cálculo do concreto à compressão

compressão aos 28 dias  Md/(bd

2_f

cd) momento fletor adimensional

fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento sd tensão de compressão na armadura longitudinal

do aço 

A – Momento fletor de cálculo máximo com armadura simples (dados b, d e fck, obter Md,lim)

Modelo resistente à momento fletor no estado limite último

fck < 35 MPa > 35 MPa Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim)

xlim 0,5d 0,4d A1

Md,lim 0,272bd2fcd 0,22848bd2fcd A2

As,lim 0,34bdfcd/fyd 0,272bdfcd/fyd A3

B – Altura útil mínima da seção com armadura simples (dados Md e b, obter dlim)

fck < 35 MPa > 35 MPa dlim cd d bf 272 , 0 M cd d bf 22848 , 0 M B1

C - Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Md, b, d, fck e fyk, obter As e As’)

Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim)

           cd 2 d f bd 425 , 0 M 1 1 d 25 , 1 x C1 yd cd s 0,68bxf /f A  _C2



0,15%;0,035f /f



bh máximo A_s,mín _{cd yd C3} fckMPa 20 25 30 35 (a) Md Czf(x)bxfcd(dx/2) (b) TA_sf_ydCbxf_cdouA_s bxf_cd/f_yd : f bd ) a (  2cd       _    2d x 1 d x f bd M cd 2 d _ou





                                   cd 2 d d 2 2 f bd M 2 1 1 d ) M ( f x ou 2 1 1 ) c ( 0 ) ( 2 / ) ( 2 / ) ( ) ( 2 / 1

As,mín/(bh) 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% Armadura dupla (seção com As eAs

; M

d > Md,lim; x = xlim)

Armadura dupla (seção com As eAs

; M

d > Md,lim; x = xlim)

) d d ( f M M A A yd lim , d d lim , s s _{ }    _C4 ) d d ( M M A sd lim , d d s _{  }    _C5 yd s yd sd f se   ; _sd E_s_s se_s _{yd C6} fck < 35 MPa > 35 MPa s  0,007(0,5d/d) 0,00875(0,4d/d) C7 fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa

yd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ C8 (d) M_d M_d,limMouMM_dM_d,lim (e) MA_s_sd(dd)ouA_s M/[_sd(dd)] (f) A_sf_ydA_s,limf_ydA_s_sd ouA_s A_s,limA_s_sd/f_yd [MUSSO] x Md x T = Asfyd C = bxfcd 2 / x d z  fcd h d b As LN fcd d xlim Md Asfyd sd s A

=

sd s A sd s A M d-d´ As,limfyd Md,lim xlim

+

fcd fcd d b As LN s A d d xlim c = 3,5‰ s d s  d lim lim s x ‰ 5 , 3 d x    

VIGA - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR

VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR

VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR

VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR (ELU-M) (hf < xlim ;  = 0,8 ;  = 0,85)

A - Momento fletor resistido pela mesa comprimida (MRf) B - Momento fletor máximo com armadura simples (Md,lim)

) 2 / h d ( f h b Cz M_Rf   _{f f}_cd  _f  A1 ) 2 / x d ( f x b ) 2 / h d ( f h ) b b ( z C z C M M M lim cd lim w f cd f w f w w a a lim , w a lim , d               B1

C - Profundidade limite da linha neutra (xlim) xlim = 0,5d se fck < 35 MPa xlim = 0,4d se fck > 35 MPa C1 D - CASO 1 – Seção T com Md < MRf (parte da mesa comprimida) G - Armadura mínima para seção T (As,mín)

armadura simples seção retangular com Md e b = bf As,mín máximo(0,15%;0,024fcd/fyd)A G1

fck MPa 20 25 30 35 As,mín/A 0,15% 0,15% 0,15% 0,15% h b h ) b b ( A _f  _{w f} _w (área da seção T) G2

H - Tensão na armadura comprimida (sd) ) ( f_{yd s yd} sd     ;_sd E_s_s (_s _yd) _H1 fck < 35 MPa > 35 MPa s          d d 5 , 0 007 , 0         d d 4 , 0 00875 , 0 H2            cd 2 f d f d b 425 , 0 M 1 1 d 25 , 1 x D1

fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa

s A mín , s yd cd f s 0,68b xf /f A A   _{D2 yd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ H3}

E - CASO 2 - Seção T com MRf < Md < Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas)

Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida)

abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw)

armadura simples ) 2 / h d ( f h ) b b ( z C M_a  _{a a}  _f  _{w f}_cd  _f E1 Mw MdMa E4 f f _1,25h h x    E2            cd 2 w w f d b 425 , 0 M 1 1 d 25 , 1 x E5 w a s A A A   yd cd w f a 0,68(b b )xf /f A   _E3 A_w 0,68b_wxf_cd/f_{yd E6}

F - CASO 3 - Seção T com Md > Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas)

Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida)

abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw)

armadura dupla ) 2 / h d ( f h ) b b ( z C M_a  _{a a}  _f  _{w f}_cd  _f F1 Mw MdMa F4 ) 2 / x d ( f x b

M_w,lim  _w _lim_cd  _{lim F5}

yd cd lim w lim , w 0,68b x f /f A  _F6 f f _1,25h h x    F2 ) d d ( M A sd s _{  }    ; MM_wM_{w,lim F7} w a s A A A   s A yd cd w f a 0,68(b b )xf /f A   _F3 Aw Aw,lim Assd/fyd F8 [MUSSO] x MRf x = hf T = Asfyd C = bf hffcd z = d - hf/2 fcd h d bf As LN bw hf _x lim Md,lim xlim T = As,limfyd Ca = (bf- bw)hffcd za = d - hf/2 fcd h d bf As LN bw hf a w a zw = d -xlim/2 Cw = bwxlimfcd h d bf As bw hf Md _Ma bf - bw Aa hf d bw Aw x Mw d Ma bf - bw Aa hf d h d bf As bw hf Md d bf As x Md h d bf As bw hf Md d s A bw Aw xlim Mw s A d d sd s A sd s A M d-d´

+

Aw,limfyd Mw,lim bwxlimfcd

=

VIGA - LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T

6.2.2 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À

FORÇA CORTANTE (ELU-V)

VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE (ELU-V)

Asw área da seção da armadura transversal h altura da seção transversal

Asw,mín área mínima da seção da armadura transversal Md momento fletor de cálculo

b largura da seção transversal s espaçamento longitudinal entre estribos C força de compressão nas bielas de concreto 100 cm (para obter Asw em cm

2

/m)

d altura útil da seção transversal Vc força cortante resistida por outros mecanismos

distância do centróide da armadura tracionada Vd 1,4(VG + VQ) força cortante de cálculo

à borda comprimida da seção transversal VRd2 força cortante de cálculo máxima resistida por

fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão diagonal das bielas de concreto

compressão VG força cortante da ação permanente G

fck resistência característica do concreto à VQ força cortante da ação variável Q

compressão aos 28 dias Vsw força cortante de cálculo resistida pela

fctd fctk/1,4 resistência de cálculo do concreto à armadura transversal

tração z braço de alavanca

fctk 0,7fctm resistência característica do concreto à  ângulo da tensão principal de tração

tração  0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de

fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa) resistência média do redução da resistência do concreto fissurado

concreto à tração por força cortante

fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento c tensão principal de compressão

do aço t tensão principal de tração

fyk resistência característica de escoamento do aço  tensão tangencial da força cortante

Fc força de compressão no concreto  ângulo das bielas de concreto comprimidas

Fs força de tração na armadura longitudinal  Analogia de treliça

A – Verificação da compressão diagonal do concreto (dados b, d e fck, obter VRd2; Vd < VRd2)

Modelo resistente à força cortante no estado limite último

Compressão diagonal das bielas de concreto (corte a-a) cálculo simplificado _(45o ) refinado  (30o a 45o) VRd2 0,45bdfcd 0,45bdfcdsen2 A1 fck MPa 20 25 30 35  0,552 0,540 0,528 0,516 (45o ) 0,355 0,434 0,509 0,581 ) bd /( V_Rd2 (30o ) 0,307 0,376 0,441 0,503 obs.: VRd2/(bd) em kN/cm2

B – Dimensionamento da armadura transversal

(dados Vd, b, d, fck e fyk, obter Asw) (a) V_Rd2 Csenbzf_cdcossen0,45bdf_cdsen2 cálculo simplificado _(45o

)

refinado  (30o

a45o) Tração transversal dos estribos (corte b-b) Asw yd c d df 9 , 0 s ) V V (    cot df 9 , 0 s ) V V ( yd c d B1 o d V V  V_dV_o c V V_o o V _o o 2 Rd d 2 Rd _V V V V V         B2 o V 0,6bdf_ctd B3 Asw,mín 0,2bsfctm/fyk B4 fck MPa 20 25 30 35 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 ) bd /( Vo 0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 ) bs /( A_sw,mín 0,088% 0,103% 0,116% 0,128%

obs.: Vo/(bd) em kN/cm2 e Asw,mín/(bs) para fyk = 500 MPa

(b) V_d V_swV_c ouV_sw V_dV_c (c)   f cot s A d 9 , 0 cot f s A z V sw _yd yd sw sw (b) em (c):    cot df 9 , 0 s ) V V ( A yd c d sw [MUSSO]       t c 2 t c t _ c  tração compressão b a b a Vsw = (zcot/s)Aswfyd estribos fissuras s  zcot Vd Vc z = 0,9d Md

número de estribos em zcot b h Asw d Fs Fc fissuras C = b(zcosfcd  zcos Fs bielas   Md VRd2 b h Asw d z = 0,9d Fc

VIGA - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE

VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - SIMPLIFICADO

VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À FORÇA CORTANTE - REFINADO

6.2.3 - VIGA - DIMENSIONAMENTO À

MOMENTO TORÇOR (ELU-T)

VIGA - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR (ELU-T)

A bh área da seção transversal Fs força de tração na armadura longitudinal

Ae behe área limitada pela linha média da seção h altura da seção transversal

vazada s espaçamento longitudinal entre estribos

As área da seção da armadura longitudinal 100 cm (para obter Asw em cm2/m)

tracionada te máximo(A/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da

As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal parede da seção vazada

no perímetro ue Td 1,4(TG + TQ) momento torçor de cálculo

Asw área da seção da armadura transversal TRd2 momento torçor de cálculo máximo resistido por

Asw,mín área mínima da seção da armadura transversal compressão diagonal das bielas de concreto

b largura da seção transversal TG momento torçor da ação permanente G

c1 ctt/25cm TQ momento torçor da ação variável Q

ct cobrimento do estribo u 2(b + h) perímetro da seção transversal

d altura útil da seção transversal ue 2(be + he) perímetro da área Ae

fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à be b – te largura da área Ae

compressão he h – te altura da área Ae

fck resistência característica do concreto à  diâmetro da armadura longitudinal

compressão aos 28 dias t diâmetro da armadura transversal

fctm 0,3fck 2/3

(fck em MPa) resistência média do  0,5(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de

concreto à tração  redução da resistência do concreto fissurado fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento  por momento torçor

do aço  tensão tangencial do momento torçor

fyk resistência característica de escoamento do aço  ângulo das bielas comprimidas de concreto

Seção vazada de cálculo com espessura te Modelo resistente à momento torçor no estado limite

último

Compressão diagonal e tração longitudinal (1 parede)

A – Verificação da compressão diagonal do concreto (dados b, h e fck, obter TRd2; Td < TRd2) simplificado refinado cálculo  (45o )  (30o a 45o) TRd2 Aetefcd Aetefcdsen2 A1 fck MPa 20 25 30 35  0,460 0,450 0,440 0,430 (45o ) 0,657 0,804 0,943 1,075 ) t A /( TRd2 e e _(30o ) 0,569 0,696 0,817 0,931 obs.: TRd2/(Aete) em kN/cm2

B – Dimensionamento da armadura transversal (dados Td, b, h e fyk, obter Asw por parede)

(a) Csent h f cossen A 2 h T cd e e e e 2 Rd ou T_Rd2 A_et_ef_cdsen2 (b) Ccos2(F_s /2)(A_s/u_e)h_ef_yd (c)     h f tan u A tan ) cos C ( Csen A 2 h T yd e e s e e d ou   tan f A 2 u T A yd e e d s

simplificado refinado Tração transversal (1 parede) cálculo  (45o )  (30o a 45o) Asw yd e d f A 2 s T  cot f A 2 s T yd e d B1 Asw,mín 0,2tesfctm/fyk B2

C – Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Td, b, h e fyk, obter As total no perímetro ue)

simplificado refinado cálculo  (45o )  (30o a 45o) As yd e e d f A 2 u T  tan f A 2 u T yd e e d C1 As,mín 0,2teuefctm/fyk C2 (d) e _{sw yd} e e d f A s cot h A 2 h T   ou   cot f A 2 s T A yd e d sw [MUSSO] torção de fluxo ) t (_e  e e 2 e e 1 ( t )h ;V ( t )b V     2 / h V 2 2 / b V 2 T_d  _{1 e}  _{2 e} e e e e e e)h b ( t )b h t (      2( t_e)A_e e d e A 2 T ) t (  e e d 1 A 2 h T V 

;

e e d 2 A 2 b T V  Td V2 Td he be V1 V2 V1 te Ae (behe) seção real seção de cálculo e e 2 Rd A 2 h T e e d A 2 h T fissura C = te(hecosfcd  hecos Fs/2 = (As/ue)hefyd/2 biela   Fs/2 he

armadura longitudinal na parede he

b h As d Ae, ue te A, u Td (hecot/s)Aswfyd estribos fissuras s  hecot he

número de estribos em hecot

b h Asw d Ae, ue te A, u Td _e e d A 2 h T

VIGA - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À M. TORÇOR, M. FLETOR E FORÇA CORTANTE

A – Verificação da compressão diagonal do concreto A bh área da seção transversal

(dados Vd, Td, b, h e fck: Vd/ VRd2 + Td/ TRd2 < 1) Ae behe área limitada pela linha média da seção

simplificado refinado vazada

cálculo

 (45o

)  (30o a 45o) As,M área da seção da armadura longitudinal

VRd2 0,45bdfcd 0,45bdfcdsen2 A1 tracionada para Md

fck MPa 20 25 30 35 As,T área da seção da armadura longitudinal

 0,552 0,540 0,528 0,516 tracionada para Td

simplificado refinado Asw,T área da seção da armadura transversal para Td

cálculo _{ (45}o

)  (30o a 45o) Asw,V área da seção da armadura transversal para Vd

TRd2 Aetefcd Aetefcdsen2 A2 b largura da seção transversal

fck MPa 20 25 30 35 c1 ctt/25cm

 0,460 0,450 0,440 0,430 ct cobrimento do estribo

Superposição de força cortante e momento torçor d altura útil da seção transversal

fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à

1 T T V V 2 Rd d 2 Rd d _{ } A3 compressão

B – Dimensionamento da armadura transversal fck resistência característica do concreto à

(dados Vd, Td, b, d, h, fck e fyk, obter Asw,total) compressão aos 28 dias

simplificado refinado fctd fctk/1,4 resist. de cálculo do concreto à tração

cálculo

 (45o

)  (30o a 45o) fctk 0,7fctm resist. característica do concreto à tração

fctm 0,3fck 2/3

(fck em MPa) resistência média do

Asw,V yd c d df 9 , 0 s ) V V (    cot df 9 , 0 s ) V V ( yd c d B1 concreto à tração o d V

V  V_dV_o fyd fyk/1,15 resist. de cálculo de escoamento do aço

B2 fyk resistência característica de escoamento do aço

c V V_o o V _o o 2 Rd d 2 Rd _V V V V V        

h altura da seção transversal

o

V 0,6bdf_ctd B3 Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo

fck MPa 20 25 30 40 Md,lim momento fletor de cálculo máximo com

fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 armadura simples

) bd /(

Vo kN/cm

2

0,0663 0,0769 0,0869 0,0963 s espaçamento longitudinal entre estribos simplificado refinado 100 cm (para obter Asw em cm

2

/m) cálculo

 (45o

)  (30o a 45o) te máximo(A/u; 2c1); < b/2; < h/2 espessura da

parede da seção vazada Asw,T por parede e yd d f A 2 s T  cot f A 2 s T yd e d B4

Td 1,4(TG + TQ) momento torçor de cálculo

Superposição de armaduras transversais TRd2 momento torçor de cálculo máximo resistido por

T , sw V , sw total , sw A 2A

A   B5 compressão diagonal das bielas de concreto

C – Dimensionamento da armadura longitudinal ue 2(be + he) perímetro da área Ae

(dados Md, Td, b, d, h, fck e fyk, obter As por face) u 2(b + h) perímetro da seção transversal fck < 35 MPa > 35 MPa Vc força cortante resistida por outros mecanismos

xlim 0,5d 0,4d C1 Vd 1,4(VG + VQ) força cortante de cálculo

Md,lim 0,272bd2fcd 0,22848bd2fcd C2 VRd2 força cortante de cálculo máxima resistida por

Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) compressão diagonal das bielas de concreto

be b – te largura da área Ae C3 he h – te altura da área Ae            cd 2 d f bd 425 , 0 M 1 1 d 25 , 1 x

x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU)

yd cd M

,

s 0,68bxf /f

A  (face tracionada) _{C4 xlim profundidade máxima da linha neutra para} simplificado refinado  ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) cálculo

 (45o

)  (30o a 45o)  diâmetro da armadura longitudinal t diâmetro da armadura transversal

As,T em ue e yd e d f A 2 u T  tan f A 2 u T yd e e d C5  0,5(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de

Superposição de armaduras longitudinais redução da resist. do concreto fissurado por Td

e e T , s M por comprimida face , s A b /u A  _{C6  0,6(1 – fck/250) (fck em MPa) coeficiente de} e e T , s lateral face cada , s A h /u

A  _{C7 redução da resist. do concreto fissurado por Vd}

e e T , s M , s M por tracionada face , s A A b /u

A   _{C8  ângulo das bielas comprimidas de concreto}

VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - SIMPLIFICADO

VIGA - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO TORÇOR - REFINADO

6.3 - VIGA - VERIFICAÇÃO NO ESTADO

LIMITE DE SERVIÇO (ELS)

6.3.1 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE

FLECHA (ELS-DEF)

VIGA - VERIFICAÇÃO DE FLECHA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-DEF)

As área da seção da armadura longitudinal Lbal comprimento do balanço

tracionada MG momento fletor da ação permanente G

s

A área da seção da armadura longitudinal MQ momento fletor da ação variável Q

comprimida MQP MG + 2MQ momento fletor da ação quase

b largura da seção transversal permanente pQP (momento positivo no vão;

d altura útil da seção transversal momento no engaste, no caso de balanço) distância do centróide da armadura tracionada Mr Wcfctf momento fletor de fissuração

à borda comprimida da seção transversal n Es/Ecs razão entre os módulos de elasticidade

d distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto

à borda comprimida da seção transversal pQP G + 2Q ação quase permanente

d h - d Q ação variável

Ecs 4760fck 1/2

MPa módulo de elasticidade secante x2 profundidade da linha neutra no estádio 2

do concreto xc profundidade da linha neutra da seção bruta

Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção bruta à fibra

fck resistência característica do concreto à extrema comprimida

compressão aos 28 dias t tempo que se deseja calcular a flecha (meses) fctf fctm resistência do concreto à tração na flexão to idade do concreto ao entrar em carga (meses)

fctm 0,3fck 2/3

(fck em MPa) resistência média do yt h - xc distância do centróide da seção bruta à

concreto à tração fibra extrema tracionada

fdiferida flecha do efeito da fluência do concreto Wc Ic/yt (bh 2

/6 para seção retangular) felástica flecha obtida com p = pQP, E = Ecs e I = Ic módulo resistente da seção bruta

fimediata flecha da viga ao entrar em carga  1,0 (EC2); 1,5 seção retangular (NBR 6118)

flimite flecha máxima para limitar efeito visual f coeficiente para levar em conta a fluência do

desagradável concreto no cálculo da flecha diferida

ftotal fimediata + fdiferida flecha total 2 0,3 para edifícios residenciais

G ação permanente 0,4 para edifícios comerciais, de escritórios, h altura da seção transversal estações e edifícios públicos

I2 momento de inércia da seção no estádio 2 0,6 para bibliotecas, oficinas e garagens

Ic bh 3

/12 para seção retangular fator de redução da ação variável para momento de inércia da seção bruta combinação de ação quase permanente Ie momento de inércia efetivo da seção ’ As’/(bd) taxa geométrica de armadura

L vão entre apoios longitudinal comprimida

A – Flecha elástica F - Parâmetros auxiliares

elástica

f fck MPa 20 25 30 35

(ver flechas em diversos sistemas) A1 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210

B – Flecha imediata fctf,EC2 MPa 2,210 2,565 2,896 3,210

Ecs MPa 21287 23800 26072 28161 n = Es/Ecs 9,865 8,824 8,055 7,457 e c elástica imediata I I f f  B1

G – Seção equivalente (seção fissurada – estádio 2)

seção fissurada (MQP > Mr) 2 3 QP r c 3 QP r e I M M 1 I M M I                        (BRANSON) B2

seção não fissurada (MQP < Mr)

c e I I  B3 C – Flecha diferida imediata f diferida f f  C1

seção real seção equivalente de concreto ' 50 1 ) t ( ) t ( _o f _{ }      C2 x₂ [a₂  a₂24a₁a₃]/(2a₁) G1 ) meses 70 t (   _0,68(0,996t_)t0,32 _{a b/2} 1 G2 ) meses 70 t (   2 C3 a2 nAs (n1)As G3 t meses 1 3 6 12 > 70 a₃  nA_sd(n1)A_sd G4 (t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00 D – Flecha total ite lim diferida imediata total f f f f    D1 2 2 s 2 2 s 3 2 2 nA (d x ) (n 1)A (x d) 3 bx I         G5 E – Flecha limite 250 L

f_limite  (L = 2Lbal, no caso de balanço) E1

profundidade da l. neutra





 x_iA_i A_i x momento de inércia



   (I A ) I _{i i i}2 [MUSSO] d b As LN s A d x2 d b nAs LN (n-1)A_s d x2 d-x2

VIGA - SEÇÃO EQUIVALENTE DE CONCRETO (SEÇÃO HOMOGENEIZADA OU TRANSFORMADA)

No estado limite de serviço de deformações (ELS-DEF), tanto o concreto quanto o aço tem comportamento  linear. Assim, a área [A+(n-1)As] é uma área fictícia só de concreto (seção equivalente), que quando

submetida a tensão c resulta na mesma carga P que atua na seção real composta de concreto e aço

MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO BRUTA IC E MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO FISSURADA I2

Seção real Seção bruta de concreto Seção fissurada (estádio 2 puro)

Armadura Simples ) a 2 /( ] a a 4 a a [ x₂   ₂  ₂2  _{1 3 1} (3) 2 / b a₁ s 2 nA a  d nA a₃  _s 2 2 s 3 2 2 nA (d x ) 3 bx I    (4) Armadu ra Du pla 2 h x_c  (1) 12 bh I 3 c  (2) ) a 2 /( ] a a 4 a a [ x₂   ₂ ₂2  _{1 3 1} (5) 2 / b a₁  s s 2 nA (n 1)A a     d A ) 1 n ( d nA a₃  _s   _s  2 2 s 2 2 s 3 2 2 nA (d x ) (n 1)A (x d) 3 bx I         (6) Armadura Simples f 1 3 1 2 2 2 2 [ a a 4a a ]/(2a ) h x      (9) 2 / b a₁ _w s f w f 2 (b b )h nA a    d nA 2 / h ) b b ( a₃ _f  _{w f}2  _s 2 2 s 2 f 2 f w f 3 f w f 3 2 w 2 ) x d ( nA 2 h x h ) b b ( 12 h ) b b ( 3 x b I                (10) Armadu ra Du pla              f w f w 2 f w f 2 w c h ) b b ( h b h ) b b ( h b 2 1 x (7) 2 f c f w f 3 f w f 2 c w 3 w c 2 h x h ) b b ( 12 h ) b b ( x 2 h h b 12 h b I       _                (8) f 1 3 1 2 2 2 2 [ a a 4a a ]/(2a ) h x      (11) 2 / b a₁  _w s s f w f 2 (b b )h nA (n 1)A a       d A ) 1 n ( d nA 2 / h ) b b ( a₃  _f  _{w f}2  _s   _s                  2 2 s 2 f 2 f w f 3 f w f 3 2 w 2 ) x d ( nA 2 h x h ) b b ( 12 h ) b b ( 3 x b I 2 2 s(x d) A ) 1 n (      (12)

Obs.:xprofundidadedalinhaneutra



xiAi /



Ai; Imomento deinércia



(Ii Aii2)

[MUSSO] d h As b d h As’ As b d´ bw As bf hf d h h b xc LN bw bf hf h xc LN bw As bf hf d d´ h As’ bw nAs bf hf d d´ x2 (n-1)As’ LN d nAs b x2 LN bw nAs bf hf d x2 LN d (n-1)As’ nAs b d´ x2 LN cs s c c cs s s cs c c s s s E E n onde n E E E E              ] A ) 1 n ( A [ ) nA A ( A n A A A Pc cs s c c c s c c s c   s nAs

P

As Ac A (n-1)As

P

s = c s Es 1 s aço c Ecs 1 c concreto Ac A real equivalente

VIGA - TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T

VIGA - GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2

VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2

VIGA - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO DE SEÇÃO RETANGULAR - BRANSON

6.3.2 - VIGA - VERIFICAÇÃO DE

ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)

VIGA - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA EM VIGA DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-W)

Seção não Fissurada (Estádio 1) wk = 0

Módulo de Elasticidade do Aço Es e Módulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs

aço  Es = 210.000 MPa (11) concreto 

2 / 1 ck 2 / 1 ck ci cs 0,85E 0,85(5600)f 4760f E    MPa (12)

Verificação da Segurança ELS-W

w

k

< w

lim (15)

[MUSSO]

Momento Fletor de Cálculo MF

MF = MGk + 1MQ1k + n2jMQjk (1)

(combinação freqüente) MGk parcela permanente

1MQ1k parcela variável principal

n2jMQjk demais parcelas variáveis

Tabela 1 – Coeficientes 1 e 2

Finalidade da Estrutura 1 2

edifício residencial 0,4 0,3 edifício comercial 0,6 0,4 biblioteca; oficina; garagem 0,7 0,6

Momento de Fissuração Mr,w

É o valor do momento fletor que produz na seção bruta (secão de concreto desprezando armadura) uma tensão igual a fct,f na fibra extrema tracionada

W , ct c W , r W f M  (2)

Wc módulo resistente da seção bruta em relação a

fibra extrema tracionada Ic/yt (3)

Ic momento de inércia da seção bruta

yt distância do centróide à fibra ext. tracionada

fct,W resistência do concreto à tração na flexão

(módulo de ruptura) (MPa) ) gular tan re seção ( f 05 , 1 _ctm  (NBR 6118) (4a) ) T seção ( f 84 , 0 _ctm  (NBR 6118) (4b) ) 2 EC ( f_ctm  (4c)

M

F

< M

r,w

?

Sim

Não

Seção Fissurada (Estádio 2)

) 6 ( 45 4 E 5 , 12 w ); 5 ( f 3 E 5 , 12 w r s s 1 2 ctm s s s 1 1                  ) w ; w ( mínimo wk  1 2 (7)

wk abertura de fissura característica

 diâmetro da barra da armadura longitudinal 1 coeficiente de conformação superficial da barra

s tensão no aço tracionado no estádio 2

Es módulo de elasticidade do aço

fctm resistência média do concreto à tração = 0,3fck2/3 (MPa) (8)

r taxa de armadura As na região de envolvimento Acr

= As/Acr (9)

As área de aço da armadura longitudinal tracionada

Acr área da região de envolvimento

Área de Envolvimento Acr Acr = mín[(y+7,5; h/2].b (10) d h Acr b < h/2 7,5  y 

Tensão no Aço Tracionado na

Seção Fissurada s (Estádio 2 puro)

) x d ( I M n n 2 2 F c s      (14) n razão Es/Ecs (13)

MF momento fletor para combinação frequente

I2 momento de inércia da seção no estádio 2

d altura útil da seção

x2 profundidade da linha neutra no estádio 2

x2; I2 (ver ELS-DEF)

Tabela 2 - Coeficiente de Conformação Superficial 1

Tipo de Barra 1

lisa (CA-25) 1,00

entalhada (CA-60) 1,40

alta aderência (CA-50) 2,25

Tabela 3 - Abertura de Fissura Limite wlim

Classe de Agressividade

Ambiental

Agressividade Tipo de Ambiente wlim (mm)

I fraca rural ou submerso 0,4

II moderada urbano

III forte marinho ou industrial 0,3

VIGA BIAPOIADA - (b = 20 cm; C25)

VIGA MONOENGASTADA - (b = 20 cm; C25)

VIGA BIENGASTADA - (b = 20 cm; C25)

VIGA EM BALANÇO - (b = 20 cm; C25)