ANÁLISE DE PROBLEMAS CONJUGADOS EM MICRODISSIPADORES TÉRMICOS POR TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL EM DOMÍNIO ÚNICO E TÉCNICAS ÓPTICAS NÃO INTRUSIVAS

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ANÁLISE DE PROBLEMAS CONJUGADOS EM MICRODISSIPADORES TÉRMICOS POR TRANSFORMAÇÃO INTEGRAL EM DOMÍNIO ÚNICO E

TÉCNICAS ÓPTICAS NÃO INTRUSIVAS

Diego Campos Knupp

Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica.

Orientadores: Renato Machado Cotta Carolina Palma Naveira Cotta

Rio de Janeiro Outubro de 2013

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TÉCNICAS ÓPTICAS NÃO INTRUSIVAS Diego Campos Knupp

TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.

Examinada por:

________________________________________________ Prof. Renato Machado Cotta, Ph.D.

________________________________________________ Profa. Carolina Palma Naveira Cotta, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Márcio da Silveira Carvalho, Ph.D.

________________________________________________ Prof. Francesco Scofano Neto, D.Sc.

________________________________________________ Prof. Antônio José da Silva Neto, Ph.D.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL OUTUBRO DE 2013

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iii Knupp, Diego Campos

Análise de Problemas Conjugados em Microdissipadores Térmicos por Transformação Integral em Domínio Único e Técnicas Ópticas Não Intrusivas/ Diego Campos Knupp. – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2013.

XXVIII, 246 p.: il.; 29,7 cm.

Orientadores: Renato Machado Cotta

Carolina Palma Naveira Cotta

Tese (doutorado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia Mecânica, 2013.

Referências Bibliográficas: p. 232-246.

1. Problemas conjugados. 2. Convecção interna. 3. Técnica da Transformada Integral Generalizada. 4. Dissipadores térmicos. 5. Microcanais. 6. Termografia por Infravermelho. 7. Fluorescência Induzida por Laser. I. Cotta, Renato Machado, et al. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. Título.

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“Do suspiro na fonte saudosa, Há três almas que gemem de dor, Repetindo esta prece maviosa Da saudade, do ciúme e do amor Estas serras de enorme estatura, Alcançando das nuvens o véu, São degraus colocados na altura, São escadas que vão para o céu.” Hino de Nova Friburgo

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v

A

GRADECIMENTOS

Primeiramente agradeço a Deus, pela força e coragem para suportar as barreiras e desafios, e por iluminar meu caminho.

Aos meus familiares em especial meus pais, Jorge Gilberto Banjar Knupp e Rosiara Campos Knupp, minha esposa, Karini Cristina Cabral Knupp, e meus avós, Maria do Carmo Coelho Campos, Vicente Campos (in memoriam), Norma Margarida Banjar Knupp e Agnaldo Aristides Knupp (in memoriam), pelo carinho, incentivo e por direta ou indiretamente terem me passado ensinamentos que me permitissem seguir durante a árdua jornada. Também agradeço aos animais de estimação Avgvstvs Caesar (cachorro) e Mimosa (gata) que foram leal companhia em boa parte da solitária tarefa de redação deste trabalho.

Aos meus orientadores, Profs. Renato e Carolina Cotta, primeiramente pela amizade, sendo para mim exemplos de caráter, confiança e excelência acadêmica, e também por terem me guiado com segurança na condução deste trabalho.

Ao Eng. Eduardo Feres Aua, engenheiro residente da Agência Nacional de Transportes Terrestres no trecho da BR-116/RJ, primeiramente pela grande amizade e pelos ensinamentos, e também pela concessão de horário de trabalho especial e incentivo para que este trabalho pudesse ser desenvolvido.

Ao amigo Prof. Antônio J. Silva Neto (IPRJ/UERJ), que vem incentivando minha formação acadêmica desde a Iniciação Científica, agradeço pela amizade, confiança e ensinamentos que muito contribuíram na minha formação.

Ao Prof. Fernando Pereira Duda que, como coordenador do Programa de Engenharia Mecânica, confiou no meu potencial e me incentivou a apresentar trabalhos do nosso grupo de pesquisa representando a COPPE, o que muito contribuiu na minha formação.

Aos amigos Ivana Fernandes, Ivana Cerqueira, e José Martim, que me fizeram companhia durante praticamente todos os dias em que estive no laboratório para

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vi

condução deste trabalho, seja ajudando nos experimentos, discutindo teoria, ou conservanso sobre a vida.

Ao amigo Eng. João Vítor Cabral Ayres, que há quatro anos, ainda como aluno, começou o projeto de fabricação de materiais nanocompósitos, o que muito ajudou na faísca inicial deste trabalho.

Ao amigo Sébastien Wahl, ex-aluno do INSA (Institut National des Sciences Appliquées) de Toulouse, França, que entre agosto e setembro de 2012 esteve no laboratório, em estágio técnico, e muito contribuiu com as primeiras simulações usando o Comsol Multiphysics.

Aos alunos Thales Bonan, que deu prosseguimento na fabricação das amostras em resina poliéster e me ajudou em vários experimentos, e Bruno Novais que fabricou o dissipador em PMMA.

Aos Profs. Dimos Poulikakos e Manish Tiwari (ETH-Zürich) pela recepção amigável no meu período de estágio técnico na Suíça e por terem me orientado durante este período. Em Zurique, também agradeço ao Dr. Adrian Renfer, que esteve comigo quase que diariamente, me instruindo sobre o laboratório, equipamentos e procedimentos experimentais, e ao físico e técnico de laboratório Jovo Vidic, pela amizade e por ter me ajudado a solucionar inúmeras dificuldades no experimento.

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Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.Sc.)

TÉCNICAS ÓPTICAS NÃO INTRUSIVAS

Diego Campos Knupp Outubro/2013

Orientadores: Renato Machado Cotta

Carolina Palma Naveira Cotta Programa: Engenharia Mecânica

Motivado pela crescente demanda de dissipação de calor em componentes eletrônicos e pelo paulatino desenvolvimento da microfluidica em diferentes contextos da engenharia, no presente trabalho é introduzida uma nova abordagem para análise de problemas conjugados de transferência de calor em escoamentos internos através da reformulação do problema em um modelo de domínio único e solução através da Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT). A abordagem é sistematicamente desenvolvida e criticamente verificada para diversas situações físicas em ordem crescente de complexidade. Após o estabelecimento e validação da teoria, é proposta a análise de dissipadores térmicos com microcanais, incluindo a validação experimental do modelo. No primeiro caso é analisado um dissipador nanocompósito com investigação experimental através de termografia por infravermelho; no segundo caso é investigado um dissipador fabricado em polimetilmetacrilato, onde a investigação experimental é conduzida para medição da temperatura no fluido, através da técnica de fluorescência induzida por laser na microescala (µ-LIF).

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Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)

ANALYSIS OF CONJUGATED PROBLEMS IN MICRO-HEAT SPREADERS VIA INTEGRAL TRANSFORMS IN SINGLE DOMAIN FORMULATIONS AND

NON-INTRUSIVE OPTICAL TECHNIQUES

Diego Campos Knupp

October/2013

Advisors: Renato Machado Cotta

Carolina Palma Naveira Cotta

Department: Mechanical Engineering

Motivated by the inscreasing demand for heat dissipation technologies in electronics and the development of microfluidics in different contexts of engineering, in the present work it is introduced a new approach for the analysis of conjugated heat transfer problems in internal flows by means of the problem reformulation into a single domain model and solution via the Generalized Integral Transform Technique (GITT). The approach is methodically derived and critically verified for several physical considerations with increasing difficulty. After the theoretical formalization and validation, it is proposed the analysis of heat spreaders with etched microchannels, including the experimental validation of the model. In the first case, it is investigated a nanocomposite heat spreader with temperature measurements via infrared thermography; in the second case, it is investigated a polymethylmethacrylate heat spreader aiming at fluid temperature measurements with the µ-LIF (Laser Induced Fluorescence) technique.

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S

UMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ... XIII

LISTA DE TABELAS ... XXIII

LISTA DE SÍMBOLOS ... XXVI

LETRAS GREGAS ... XXVII

SUBSCRITOS E SUPERESCRITOS ... XXVIII

1 INTRODUÇÃO ... 1

1.1 MOTIVAÇÃO ... 1

1.2 OBJETIVOS ... 3

1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ... 5

2 REVISÃO DE LITERATURA ... 6

2.1 TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM MICROCANAIS ... 6

2.2 CONVECÇÃO FORÇADA EM ESCOAMENTOS INTERNOS COM BAIXOS NÚMEROS DE PÉCLET ... 10

2.3 PROBLEMAS CONJUGADOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR ... 13

2.4 TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA... 16

3 METODOLOGIA DE SOLUÇÃO ATRAVÉS DA TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA ... 18

3.1 SOLUÇÃO FORMAL DE UM PROBLEMA CONVECTIVO-DIFUSIVO GERAL ... 18

3.2 ATÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA PARA PROBLEMAS DE AUTOVALOR ... 24

4 DESENVOLVIMENTO E VALIDAÇÃO DA FORMULAÇÃO DE DOMÍNIO ÚNICO ... 31

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4.1 PROCEDIMENTO GERAL DE FORMULAÇÃO E SOLUÇÃO EM DOMÍNIO ÚNICO

... 32

4.1.1 Equação da Quantidade de Movimento ... 32

4.1.2 O Problema Conjugado Condução-Convecção ... 36

4.2 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS SEM CONDUÇÃO AXIAL ... 41

4.2.1 Formulação em Domínio Único ... 42

4.2.2 Solução através da Proposição de um Problema de Autovalor com Coeficientes Constantes ... 45

4.2.3 Solução através da Proposição de um Problema de Autovalor com Coeficientes Variáveis ... 49

4.2.4 Solução Exata ... 52

4.2.5 Cálculo do Número de Nusselt ... 55

4.2.6 Resultados ... 56

4.3 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS COM CONDUÇÃO AXIAL ... 64

4.3.1 Solução através da Proposição de um Problema de Autovalor Não-Clássico ... 66

4.3.2 Solução através de Transformação Parcial ... 71

4.4 ESCOAMENTO ENTRE PLACAS PARALELAS COM CONDUÇÃO AXIAL A MONTANTE DA SEÇÃO DE TROCA TÉRMICA ... 85

4.4.1 Formulação e Solução do Problema ... 85

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xi

4.5.1 Formulação do Problema ... 101

4.5.2 Metodologia de Solução ... 105

4.5.3 Solução do Problema de Autovalor Bidimensional com Coeficientes Variáveis ... 108

4.5.4 Resultados ... 112

4.6 ESCOAMENTO EM UM CANAL DE SEÇÃO TRANSVERSAL COM GEOMETRIA ARBITRÁRIA ... 120

4.6.1 Equação da Quantidade de Movimento ... 121

4.6.2 O Problema Conjugado Condução-Convecção ... 133

5 ANÁLISE TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE DISSIPADORES DE CALOR COM MICROCANAIS ... 139

5.1 INVESTIGAÇÃO DE DISSIPADORES NANOCOMPÓSITOS COM TERMOGRAFIA POR INFRAVERMELHO ... 143

5.1.1 Termografia por Infravermelho... 143

5.1.2 Dissipadores de Calor de Materiais Nanocompósitos com Microcanais ... 147

5.1.3 Aparato Experimental e Procedimento ... 153

5.1.4 Formulação do Problema e Solução ... 157

5.1.5 Resultados ... 163

5.2 INVESTIGAÇÃO DE UM DISSIPADOR DE POLIMETILMETACRILATO (PMMA) COM FLUORESCÊNCIA INDUZIDA POR LASER E TERMOGRAFIA POR INFRAVERMELHO ... 185

5.2.1 Fluorescência Induzida por Laser (LIF) ... 185

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5.2.1.2 Calibração ... 189

5.2.1.3 Processamento das Imagens e Procedimento de Calibração .... 193

5.2.1.4 Investigação Experimental do Dissipador de PMMA com µ-LIF .. ... 198

5.2.2 Termografia por Infravermelho: Aparato Experimental e Procedimento ... 199

5.2.3 Modelos Computacionais ... 201

5.2.3.1 Comsol Multiphysics ... 201

5.2.3.2 Modelo em domínio único e solução via Transformação Integral . ... 202

5.2.4 Resultados ... 205

6 CONCLUSÕES ... 229

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xiii

L

ISTA DE

F

IGURAS

Figura 4.1: Representação esquemática de um canal de seção transversal com geometria arbitrária. ... 33 Figura 4.2: Representação esquemática do problema de escoamento entre placas paralelas com temperatura prescrita na face externa da parede do canal. ... 42 Figure 4.3: Representação dos coeficientes com variação espacial como funções com transição abrupta na interface fluido-parede. (a) U(Y). (b) K(Y)... 57 Figura 4.4: Perfis de temperatura calculados com a utilização da formulação de domínio único com proposição do problema de autovalor com coeficientes constantes em comparação com a solução exata. ... 58 Figura 4.5: Comparação da evolução da temperatura no centro do canal ao longo do escoamento (Y = 0) de Z = 0 até Z = 1.6, com a utilização da formulação de domínio único com proposição do problema de autovalor com coeficientes constantes em comparação com a solução exata e a solução do problema de Graetz com condição de contorno do primeiro tipo. ... 59 Figura 4.6: Ilustração da convergência da 10ª autofunção como solução do problema (4.24) para diferentes ordens de truncamento, M = 10, 12, 14 e 16. ... 62 Figura 4.7: Números de Nusselt locais calculados a partir da solução aproximada com formulação de domínio único com proposição do problema de autovalor com coeficientes variáveis, e calculados a partir da solução exata, em comparação com o problema de Graetz clássico com condição de contorno do primeiro tipo. ... 64 Figura 4.8: Convergência da 25a autofunção como solução do problema (4.36) com a GITT, Pe = 0.5. ... 77 Figura 4.9: Comparação entre a alternativa de solução através da proposição do problema de autovalor não-clássico (Seção 4.3.1) (curvas pretas) e a alternativa de transformação parcial (Seção 4.3.2) (curvas vernelhas): perfis de temperatura transversais do centro do canal até a face externa da parede, Pe = 0.5. ... 78 Figura 4.10: Comparação entre a alternativa de solução através da proposição do problema de autovalor não-clássico (Seção 4.3.1) (curvas pretas) e a alternativa de

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xiv

transformação parcial (Seção 4.3.2) (curvas vermelhas): evolução da temperatura ao longo da direção de escoamento para diferentes posições tranversais, Pe = 0.5. ... 79 Figura 4.11: Comparação entre a alternativa de solução através da proposição do problema de autovalor não-clássico (Seção 4.3.1) (curvas pretas) e a alternativa de transformação parcial (Seção 4.3.2) (curvas vermelhas): evolução da temperatura no centro do canal ao longo da direção de escoamento para diferentes Pe... 80 Figura 4.12: Isotermas na região do canal (Y entre -0.5 e 0.5) e suas paredes (Y entre -1 e -0.5 e entre 0.5 e 1), Pe = 0.5. ... 81 Figura 4.13: Representação esquemática do problema conjugado com participação da região a montante da seção de troca térmica. ... 86 Figura 4.14: Influência do parâmetro

η

na intensidade de transição entre dois valores característicos:

ϑ

₁2 =0 e

ς

₁2 =9.87; ... 97 Figura 4.15: Convergência da solução através da formulação de domínio único na direção longitudinal para a temperatura média do fluido com relação a diferentes valores do parâmetro

η

. ... 99 Figura 4.16: Comparação entre a solução obtida através da formulação de domínio único e a solução obtida através da abordagem tradicional em Castellões et al. (2010), para Pe = 1, Pe = 10 e Pe = 30. ... 100 Figura 4.17: Representação esquemática do problema de escoamento em um canal retangular: (a) sistema de coordenadas; (b) seção transversal. ... 101 Figura 4.18: Coeficientes com variação espacial: (a) U X Y ; (b) ( , ) K X Y ... 114 ( , ) Figura 4.19: Convergência de

ψ

₁₀

( , )

X Y

para diferentes ordens de truncamento M. . 115 Figura 4.20: Perfis de temperatura transversais ao longo da altura (Y ), em X =0, do centro do canal até a face externa da parede, para diferentes posições longitudinais. Razão de aspecto: 1. ... 117 Figura 4.21: Aproximação progressiva da solução para canais retangulares com razões de aspecto crescentes em direção ao caso limite de escoamento entre placas paralelas. *Escoamento entre placas paralelas (Seção 4.3)... 118

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xv

Figura 4.22(a): Perfis de temperatura transversais ao longo da altura (Y ), em X =0 , do centro do canal até a face externa da parede, para diferentes posições longitudinais. Razão de aspecto: 5/2. ... 119 Figura 4.22(b): Perfis de temperatura transversais ao longo da largura (X ), em Y =0, do centro do canal até a face externa da parede, para diferentes posições longitudinais. Razão de aspecto: 5/2. ... 120 Figura 4.23: Representação esquemática da seção transversal do domínio utilizado na formulação em domínio único para solução do campo de velocidades completamente desenvolvido em um canal circular. ... 122 Figura 4.24: Campo de velocidade no domínio de solução através da formulação em domínio único. ... 123 Figura 4.25(a): Perfil de velocidade ao longo da direção r1 (ver fig. 4.23): comparação da solução exata com a aproximação de formulação em domínio único. ... 124 Figura 4.25(b): Perfil de velocidade ao longo da direção r2 (ver fig. 4.23): comparação da solução exata com a aproximação de formulação em domínio único. ... 124 Figura 4.26: Representação esquemática da seção transversal do domínio utilizado na formulação em domínio único para solução do campo de velocidade completamente desenvolvido em um canal de seção transversal arbitrária. ... 128 Figura 4.27: Campo de velocidade no domínio de solução através da formulação em domínio único (canal de seção transversal arbitrária). ... 129 Figura 4.28(a): Perfis de velocidade ao longo da direção y (para x = 0, 0.3 e 0.6): comparação da solução através da formulação em domínio único e transformação integral com a solução numérica (Comsol Multiphysics). ... 130 Figura 4.28(b): Perfis de velocidade ao longo da direção x (para y = 0.3, 0.5 e 0.8): comparação da solução através da formulação em domínio único e transformação integral com a solução numérica (Comsol Multiphysics). ... 131 Figura 4.29: Representação esquemática da seção transversal do canal considerado para solução do problema transiente conjugado condução-convecção. ... 133

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xvi

Figura 4.30(a): Coeficiente ( , )u x y com transição abrupta na interface entre fluido, ( , ) _f( , )

u x y =u x y , e parede, u=0. ... 134

Figura 4.30(b): Coeficiente ( , )k x y com transição abrupta na interface entre fluido,

0.25

s

k

=

, e parede, k_f =1. ... 134

Figura 4.31(a): Perfis de temperatura transversais ao longo da largura (x) do centro do canal até a face externa da parede, para diferentes posições longitudinais (z). .. 135

Figura 4.31(b): Perfis de temperatura transversais ao longo da altura (y), da face externa inferior até a face externa superior da parede, para diferentes posições longitudinais (z). ... 136

Figura 4.31(c): Evolução da temperatura no centro do canal (x=0, y=1) ao longo do tempo (

t

), para diferentes posições longitudinais (z). ... 136

Figura 5.1: Câmera termográfica empregada nos experimentos: FLIR A645sc. ... 145

Figura 5.2(a): Misturador BioMixer 78HW-1. ... 148

Figura 5.2(b): Molde para fabricação das peças. ... 149

Figura 5.2(c): Momento em que a mistura é despejada no molde. ... 150

Figura 5.2(d): Resina com carga de alumina no molde fechado. ... 150

Figura 5.3(a): Placa fabricada em resina poliéster. ... 151

Figura 5.3(b): Placa fabricada com nanocompósito (resina poliéster e nanopartículas de óxido de alumínio). ... 151

Figura 5.4: Fotomicrografia: (a) aumento de 100 x da seção transversal do canal; (b) aumento de 200x da seção longitudinal do canal. ... 153

Figura 5.5: Representação esquemática do experimento de convecção forçada de água aquecida no interior do microcanal da placa nanocompósita... 154

Figura 5.6: Aparato experimental para análise de problema conjugado em dissipador térmico com microcanal. ... 155

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Figura 5.8: Imagem termográfica do caso de perfusão em canal único central com vazão volumétrica de 1.0 mL/min em regime permanente. ... 157 Figura 5.9: Representação esquemática e sistema de coordenadas do dissipador de calor de material nanocompósito com microcanal. ... 160 Figura 5.10: Perfis de temperatura na superfície da placa, na direção transversal, em x = 0.02 m, para as três réplicas experimentais realizadas para o caso de vazão volumétrica de 1.0mL/min. ... 165 Figura 5.11(a): Comportamento do coeficiente com variação espacial ( , )u y z para o caso de vazão volumétrica com 1.0 mL/min. ... 169 Figura 5.11(b): Comportamento do coeficiente com variação espacial ( , )k y z . ... 169 Figura 5.12(a): Convergência do perfil de temperatura na superfície da placa na direção transversal com relação à ordem de truncamento M do problema de autovalor algébrico. ... 170 Figura 5.12(b): Convergência do perfil de temperatura na superfície da placa ao longo da direção de escoamento com relação à ordem de truncamento M do problema de autovalor algébrico ... 171 Figura 5.13: Comparação entre a simulação obtida com a formulação de domínio único e medidas experimentais para o caso de vazão volumétrica de 1.0 mL/min: perfil de tempertatura na superfície da placa ao longo da direção transversal, em (a)

0.01 m

x= ; (b) x=0.02 m; (c) x=0.03 m; (d) evolução da temperatura na superfície da placa ao longo da direção de escoamento na região de localização do canal (y=0.02 m). ... 174 Figura 5.14: Comparação entre a simulação obtida com a formulação de domínio único e medidas experimentais para o caso de vazão volumétrica de 0.5mL/min: perfil de tempertatura na superfície da placa ao longo da direção transversal, em (a)

0.01 m

x= ; (b) x=0.02 m; (c) x=0.03 m; (d) evolução da temperatura na superfície da placa ao longo da direção de escoamento na região de localização do canal (y=0.02 m). ... 175 Figura 5.15: Comparação entre a simulação obtida com a formulação de domínio único e medidas experimentais para o caso de vazão volumétrica de 0.75mL/min: perfil

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xviii

de tempertatura na superfície da placa ao longo da direção transversal, em (a) 0.01 m

0.01 m

x= ; (b) x=0.02 m; (c) x=0.03 m; (d) evolução da temperatura na superfície da placa ao longo da direção de escoamento na região de localização do canal (y=0.02 m). ... 178 Figura 5.18(a): Imagem termográfica do caso de perfusão em dois canais paralelos. . 179 Figura 5.18(b): Imagem termográfica do caso de perfusão em três canais paralelos. .. 179 Figura 5.19: Comparação entre a simulação obtida com a formulação de domínio único e medidas experimentais para o caso de perfusão em dois canais: perfil de tempertatura na superfície da placa na direção transversal, em: (a) x=0.01 m; (b)

0.02 m

x= ; (c) x=0.03 m. ... 181 Figura 5.20: Comparação entre a simulação obtida com a formulação de domínio único e medidas experimentais para o caso de perfusão em dois canais: temperatura na superfície da placa ao longo da direção longitudinal (z) na região localizada sobre (a) canal 1 (y = 0.01 m); e (b) canal 2 (y = 0.03 m). ... 182 Figura 5.21: Comparação entre a simulação obtida com a formulação de domínio único e medidas experimentais para o caso de perfusão em três canais: perfil de tempertatura na superfície da placa na direção transversal, em: (a) x=0.01 m; (b)

0.02 m

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xix

Figura 5.22: Comparação entre a simulação obtida com a formulação de domínio único e medidas experimentais para o caso de perfusão em três canais: temperatura na superfície da placa ao longo da direção longitudinal (z) na região localizada sobre (a) canal 1 (y = 0.01 m); (b) canal 2 (y = 0.02 m); e canal 3 (y = 0.03 m). ... 184 Figura 5.23: Espectro de fluorescência de solução de Rodamina B. Adaptado de (Coolen et al., 1999)... 186 Figura 5.24: Microdissipador de polimetil-metacrilato (PMMA) fabricado no LabMEMS, COPPE/UFRJ. ... 188 Figura 5.25: Aparato experimental montado para estudo do microdissipador de PMMA com a técnica µ-LIF (LTNT, ETH-Zürich). ... 188 Figura 5.26: Detalhes do microdissipador fixado ao microscópio para utilização do

µ-LIF. ... 189 Figura 5.27: Detalhe do chip com microcanais utilizado para calibração do sistema LIF posicionado no microscópio. ... 190 Figura 5.28: Ajuste linear dos dados de relação entre resistência do RTD (integrado ao chip com microcanais) e temperatura para estabelecimento da curva de calibração entre resistência e temperatura. ... 192 Figura 5.29(a): Média de 25 aquisições dos microcanais preenchidos com solução de Rodamina B (sem escoamento) a 30 °C. ... 194 Figura 5.29(b): Média de 25 aquisições após subtração do ruído de fundo. ... 195 Figura 5.29(c): Média de 25 aquisições após subtração do ruído de fundo e correção das não-homogeneidades. ... 195 Figura 5.30: Dados utilizados no processo de calibração do sistema LIF – relação entre temperatura e intensidade de fluorescência, e ajuste linear dos dados. ... 196 Figura 5.31: Distribuição de temperatura ao longo do centro dos sete microcanais preenchidos com solução de Rodamina B a 30 °C. ... 197 Figura 5.32: Histograma correspondente às temperaturas medidas ao longo do centro dos sete microcanais preenchidos com solução de Rodamina B a 30 °C. ... 198

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xx

Figura 5.33: Representação esquemática do microdissipador analisado e localização das posições onde foram realizadas medidas experimentais (pontos vermelhos). .... 199 Figura 5.34: Aparato experimental montado no LabMEMs para investigação experimental do microdissipador de PMMA com termografia por infravermelho. ... 200 Figura 5.35: Malha utilizada na solução numérica (COMSOL) do problema conjugado condução-convecção, acoplado ao problema de escoamento no microdissipador. ... 201 Figura 5.36: Perfis de velocidade ao longo da seção transversal dos canais (a 0.125 mm da parede superior). ... 202 Figura 5.37(a): Representação esquemática do problema simplificado para formulação em domínio único. ... 203 Figura 5.37(b): Detalhes da seção transversal do modelo empregado na formulação em domínio único. ... 203 Figura 5.38(a): Distribuição de temperaturas no fluido (µ-LIF) na entrada do canal 1.

... 206 Figura 5.38(b): Distribuição de temperaturas no fluido (µ-LIF) na entrada do canal 3.

... 207 Figura 5.38(c): Distribuição de temperaturas no fluido (µ-LIF) na entrada do canal 6.

... 207 Figura 5.39(a): Perfis de temperatura no fluido transversais ao canal (µ-LIF) na entrada do canal 1 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5). ... 208 Figura 5.39(b): Perfis de temperatura no fluido transversais ao canal (µ-LIF) na entrada do canal 3 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5). ... 208 Figura 5.39(c): Perfis de temperatura no fluido transversais ao canal (µ-LIF) na entrada do canal 6 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5). ... 209 Figura 5.40(a): Distribuição de temperaturas no fluido (µ-LIF) no meio do canal 1. .. 210 Figura 5.40(b): Distribuição de temperaturas no fluido (µ-LIF) no meio do canal 3. . 210 Figura 5.40(c): Distribuição de temperaturas no fluido (µ-LIF) no meio do canal 6. .. 211

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xxi

Figura 5.41(a): Perfis de temperatura no fluido transversais ao canal (µ-LIF) no meio do

canal 1 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5). ... 212

Figura 5.41(b): Perfis de temperatura no fluido transversais ao canal (µ-LIF) no meio do canal 3 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5). ... 212

Figura 5.41(c): Perfis de temperatura no fluido transversais ao canal (µ-LIF) no meio do canal 6 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5). ... 213

Figura 5.42(a): Distribuição de temperaturas no fluido (µ-LIF) na saída do canal 1. .. 213

Figura 5.42(b): Distribuição de temperaturas no fluido (µ-LIF) na saída do canal 3. . 214

Figura 5.42(c): Distribuição de temperaturas no fluido (µ-LIF) na saída do canal 6. .. 214

Figura 5.43(a): Perfis de temperatura no fluido transversais ao canal (µ-LIF) na saída do canal 1 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5). ... 215

Figura 5.43(b): Perfis de temperatura no fluido transversais ao canal (µ-LIF) na saída do canal 3 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5). ... 215

Figura 5.43(c): Perfis de temperatura no fluido transversais ao canal (µ-LIF) na saída do canal 6 (em x = = -0.1, 0, 0.2, e 0.5). ... 216

Figura 5.44: Posições de profundidade para avaliação do perfil de temperatura teórico na direção transversal ao escoamento. ... 217

Figura 5.45(a): Perfil de temperatura transversal ao canal 1 (Meio, fig. 5.33). ... 218

Figura 5.45(b): Perfil de temperatura transversal ao canal 3 (Meio, fig. 5.33). ... 218

Figura 5.45(c): Perfil de temperatura transversal ao canal 6 (Meio, fig. 5.33). ... 219

Figura 5.46(a): Evolução da temperatura média no fluido ao longo do escoamento no canal 1. ... 221

Figura 5.46(b): Evolução da temperatura média no fluido ao longo do escoamento no canal 3. ... 221

Figura 5.46(c): Evolução da temperatura média no fluido ao longo do escoamento no canal 6. ... 222

Figura 5.47 (a): Imagem termográfica da face de frente (sem alimentação de fluido) em regime permanente. ... 223

(22)

xxii

Figura 5.47 (b): Imagem termográfica da face de trás (com alimentação de fluido) em regime permanente. ... 223 Figura 5.48: Campo de temperatura (a) experimental e (b) obtido da simulação no Comsol Multiphysics, da superfície de frente da placa onde não há alimentação de fluido. ... 224 Figura 5.49: Campo de temperatura (a) experimental e (b) obtido da simulação no Comsol Multiphysics, da superfície de trás da placa onde há alimentação de fluido. ... 225 Figura 5.50(a): Perfil de temperatura transversal à direção de escoamento na região central, na superfície de frente da placa. ... 226 Figura 5.50(b): Perfil de temperatura transversal à direção de escoamento na região central, na superfície de trás da placa... 226 Figura 5.51(a): Perfil de temperatura na direção de escoamento, na região central, na superfície de frente da placa. ... 227 Figura 5.51(b): Perfil de temperatura na direção de escoamento, na região central, na superfície de trás da placa. ... 227

(23)

xxiii

L

ISTA DE

T

ABELAS

Tabela 4.1(a): Convergência do perfil de temperatura para a solução obtida com a formulação de domínio único com proposição do problema de autovalor com coeficientes constantes em Z = 0.01, para a região de escoamento de fluido. ... 60 Tabela 4.1(b): Convergência do perfil de temperatura para a solução obtida com a formulação de domínio único com proposição do problema de autovalor com coeficientes constantes em Z = 0.05, para a região de escoamento de fluido. ... 60 Tabela 4.2: Convergência dos 10 primeiros autovalores na solução do problema (4.12) com a GITT. ... 61 Tabela 4.3: Comparação entre as soluções aproximadas (Seções 4.2.2 e 4.2.3) obtidas com a formulação de domínio único e a solução exata, em Z = 0.01. ... 63 Tabela 4.4: Convergência dos dez primeiros autovalores na solução do problema (4.24) com a GITT, Pe = 0.5. ... 76 Tabela 4.5(a): Convergência da solução obtida através da alternativa de proposição do problema de autovalor não-clássico (Seção 4.3.1), Pe = 0.05... 82 Tabela 4.5(b): Convergência da solução obtida através da alternativa com transformação parcial (Seção 4.3.2), Pe = 0.05. ... 82 Tabela 4.6(a):Convergência da solução obtida através da alternativa de proposição do problema de autovalor não-clássico (Seção 4.3.1), Pe = 0.5... 83 Tabela 4.6(b): Convergência da solução obtida através da alternativa com transformação parcial (Seção 4.3.2), Pe = 0.5. ... 83 Tabela 4.7(a):Convergência da solução obtida através da alternativa de proposição do problema de autovalor não-clássico (Seção 4.3.1), Pe = 5... 84 Tabela 4.7(b): Convergência da solução obtida através da alternativa com transformação parcial (Seção 4.3.2), Pe = 5. ... 84 Tabela 4.8: Convergência da solução através da formulação de domínio único na direção longitudinal para a temperatura média do fluido com relação a diferentes valores do parâmetro

η

_{. ... 98}

(24)

xxiv

Tabela 4.9: Verificação da solução do problema de autovalor bidimensional para o caso com

X

_i

→

1

e

Y

_i

→

1

_{. ... 113} Tabela 4.10: Convergência dos dez primeiros autovalores no problema de autovalor bidimensional para o problema conjugado com

X

_i

= =

Y

_i

0.5

_{. ... 115} Tabela 4.11: Convergência da expansão do campo de temperatura em autofunções... 117 Tabela 4.12: Convergência dos autovalores a partir da solução do problema de autovalor com a GITT. ... 125 Tabela 4.13: Convergência do perfil de velocidade ao longo de r1 (com ordem de truncamento na expansão da solução mantida com N = 50 termos) ao se variar a ordem de truncamento na solução do problema de autovalor (M) ... 126 Tabela 4.14(a): Convergência do perfil de velocidade na direção r1 com respeito ao número de termos empregados na expansão final da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fixa em M = 120 termos. ... 126 Tabela 4.14(b): Convergência do perfil de velocidade na direção r2 com respeito ao número de termos empregados na expansão final da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fixa em M = 120 termos. ... 127 Tabela 4.15(a): Convergência da velocidade calculada ao longo da direção y (y = 0.2, 0.4, 0.6 e 0.8, com x = 0), com respeito ao número de termos empregados na expansão final da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fixa em M = 80 termos. ... 132 Tabela 4.15(b): Convergência da velocidade calculada ao longo da direção x (x = 0.2, 0.4, 0.6 e 0.8, com y = 0.8), com respeito ao número de termos empregados na expansão final da solução (N), mantendo-se a ordem de truncamento da solução do problema de autovalor fixa em M = 80 termos. ... 132 Tabela 4.16(a): Convergência da expansão do campo de temperatura em autofunções.

(25)

xxv

Tabela 4.16(b): Convergência da expansão do campo de temperatura em autofunções. ... 138 Tabela 5.1: Dados técnicos da FLIR A645sc. ... 146 Tabela 5.2: Valores típicos das propriedades da resina poliéster insaturada curada. ... 147 Tabela 5.3: Valores típicos das propriedades da alumina. ... 147 Tabela 5.4: Médias e variâncias amostrais e seus intervalos de confiança de 95% das temperaturas medidas em diferentes posições transversais, em x = 0.02 m, pela termografia em três réplicas experimentais para o caso de vazão de 1.0 mL/min. ... 165 Tabela 5.5: Resumo dos casos experimentais conduzidos. ... 167 Tabela 5.6(a): Convergência do campo de temperatura na superfície da placa com relação à ordem de truncamento do problema de autovalor algébrico auxiliar em x = 0.01 m. ... 171 Table 5.6(b): Convergência do campo de temperatura na superfície da placa com relação à ordem de truncamento do problema de autovalor algébrico auxiliar em x = 0.02 m ... 172 Table 5.6(c): Convergência do campo de temperatura na superfície da placa com relação à ordem de truncamento do problema de autovalor algébrico auxiliar em x = 0.03 m ... 172 Tabela 5.7: Dados utilizados para estabelecimento da curva de calibração entre resistência do RTD (integrado ao chip com microcanais) e temperatura. ... 191 Tabela 5.8: Dados obtidos no processo de calibração do sistema LIF – relação entre temperatura e intensidade de fluorescência... 196

(26)

xxvi

L

ISTA DE

S

ÍMBOLOS

Bi Número de Biot;

d Operador de dissipação linear no problema geral (Capítulo 3); g Termo fonte da equação ou aceleração da gravidade na eq. (6.8b);

e

h

Coeficiente de transferência de calor efetivo entre a face externa da parede do canal e o ambiente;

k Condutividade térmica;

K Condutividade térmica adimensional ou coeficiente do operador difusivo no problema geral (Capítulo 3);

e

L

Distância do centro do canal até a face externa da parede do canal;

f

L Altura do canal;

d

L

Distância lateral do centro do canal até a face externa da parede do canal (figura 4.16);

w

L

Largura do canal (figura 4.16);

T Temperatura ou potencial no problema geral (Capítulo 3);

M Ordem de truncamento do problema de autovalor algébrico auxiliar; N Ordem de truncamento da expansão do potencial em autofunções;

i

N

Integrais de normalização;

NP Número de potenciais acoplados no problema geral (Capítulo 3); Nu Número de Nusselt;

(27)

xxvii Pe Número de Péclet;

Pr Número de Prandtl; Ra Número de Rayleigh; Re Número de Reynolds; s Desvio padrão amostral; s2 Variância amostral;

t

Variável temporal;

u

Campo de velocidade do escoamento;

U Campo de velocidade adimensional do escoamento;

w

Capacidade térmica ou coeficiente do operador transiente no problema geral (Capítulo 3);

W Capacidade térmica adimensional;

x Vetor posição;

, ,

x y z Variáveis espaciais; , ,

X Y Z Variáveis espaciais adimensionais;

L

ETRAS GREGAS

α

Difusividade térmica ou operador na condição de contorno do problema geral (Capítulo 3);

β Operador na condição de contorno no problema geral (Capítulo 3);

δ

Delta de Kronecker ou função de transição abrupta (eqs. 4.58 e 5.10);

(28)

xxviii

φ Termo fonte da condição de contorno;

σ

Razão entre a distância do centro do canal até a face externa da parede e a altura do canal;

ψ

, ξ, ζ ,Ω Autofunções;

µ

,

λ

_{, ,}ϑ ς Autovalores correspondentes às autofunções

ψ

, Ω, ξ e ζ respectivamente;

ν

Viscosidade cinemática;

ϖ

Coeficiente de expansão térmica na eq. (6.8b);

τ

Variável temporal adimensional;

θ

Temperatura adimensional;

S

UBSCRITOS E

S

UPERESCRITOS

ad Denota a região a montante na Seção 4.3; f Denota a região de fluido;

in Denota a posição de entrada do canal;

s

Denota a região de sólido;

w

Denota a posição na face externa da parede do canal;

∞ Ambiente;

* Potencial filtrado;

Potencial transformado; ~ Autofunções normalizadas;

(29)

1

C

APÍTULO

1

1 I

NTRODUÇÃO

1.1 M

OTIVAÇÃO

Em 1981, Tuckerman e Pease propuseram o emprego de microcanais para a dissipação de calor, através de um substrato com vários canais e aletas organizados paralelamente. O estudo foi conduzido com água, em regime laminar, e microcanais fabricados em um substrato de silício. Fluxos de até 790 W/cm2 foram gerados pelo chip com sua temperatura estabilizada em menos de 110ºC.

Desde este trabalho, grande esforço tem sido despendido pela comunidade científica para o estudo e desenvolvimento de tecnologias de dissipação de calor, que se tornou paulatinamente mais importante com a crescente demanda por equipamentos micro-eletrônicos com dimensões cada vez menores e com crescente capacidade de processamento. Paralelamente, vem ocorrendo o desenvolvimento da microfluidica em diferentes contextos da engenharia, física, química, e biologia, especialmente em relação a microssistemas eletromecânicos (MEMS – Micro Electro-Mechanical Systems), extensivamente revisados por Tabeling (2003), Karniadakis et al. (2005), Yener et al. (2005), Barber e Emerson (2006), e Sobhan e Peterson (2008).

Portanto, nos últimos anos tem sido grande o esforço de pesquisa voltado para modelagem de fenômenos de transporte em microssistemas. Em revisões comparativas como as apresentadas por Morini (2004) e Yener et al. (2006) e como será detalhadamente apresentado no Capítulo 2 deste trabalho, a simples extensão de correlações experimentais existentes, e o emprego de expressões analíticas deduzidas no contexto da macroescala pode levar a desvios significativos na predição de parâmetros relevantes para propósito de projetos. Estes estudos têm mostrado que tais desvios são resultado de efeitos tradicionalmente desprezados na análise de sistemas da macroescala, mas cujos efeitos na microescala são significativos.

(30)

2

Como conseqüência destas observações, é grande a necessidade de pesquisa na proposição e desenvolvimento de modelos e metodologias de solução para o problema de escoamento e transferência de calor em microcanais. Dentro deste contexto, apenas para apresentar algumas publicações recentes do estudo da modelagem e otimização de projeto de dissipadores de calor com microcanais, citam-se os trabalhos de Hung et al. (2012) e Wang et al. (2011) com o objetivo de otimizar parâmetros geométricos de microcanais de dissipadores de calor; os estudos de Asthana et al. (2011) para verificação da intensificação térmica alcançada com a utilização de emulsões líquido-líquido, através da inserção de bolhas de óleo no escoamento de água em microcanais; o trabalho de Tuckerman et al. (2011), fazendo uma revisão da utilização de microcanais na refrigeração de componentes eletrônicos e introduzindo o potencial de aplicação de calor rejeitado, neste artigo apresentando o estudo da pasteurização de leite usando microcanais; o trabalho de Sherma et al. (2012) para determinação das condições ótimas de operação de um chip eletrônico refrigerado através de um dissipador de calor com microcanais; e ainda dentro do contexto de sustentabilidade, (Zimmerman et al., 2012) utilizaram calor rejeitado da refrigeração de um supercomputador através de microcanais para aquecimento de ambientes internos, minimizando-se o efeito do custo adicional de energia necessário para o trabalho da bomba responsável pelo escoamento do líquido de refrigeração. Ainda destacam-se os estudos de Lin et al. (2012) e Rouizi et al. (2012) com o objetivo de se obter estimativas das temperaturas do fluido de trabalho em microcanais a partir de imagens termográficas da superfície do substrato.

No contexto de metodologias de solução de problemas convectivo-difusivos, técnicas híbridas de solução de equações diferenciais parciais, que exploram o conhecimento analítico disponível e se aproveitam de modernas plataformas de computação simbólica, têm se destacado na comunidade científica em várias aplicações e apresentado complementaridade e vantagens relativas sobre as mais difundidas abordagens puramente numéricas. Neste cenário se destaca a Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) na solução híbrida numérico-analítica para problemas convectivo-difusivos (Cotta, 1990; Cotta, 1993; Cotta, 1994; Cotta & Mikhailov, 1997; Cotta, 1998; Cotta & Mikhailov, 2006). O objetivo é a extensão da Técnica da Transformada Integral Clássica, tornando-a suficientemente flexível para analisar problemas não transformáveis a priori, como acontece em problemas com coeficientes

(31)

3

com dependência espacial arbitrária e/ou não-lineares, seja na equação ou nas condições de contorno. Esta técnica foi recentemente aplicada na análise de problemas de condução de calor em meios heterogêneos, onde ao invés de se tratar o problema acoplado, é proposta a modelagem com a adoção de propriedades termofísicas com transição abrupta na interface (Naveira-Cotta et al., 2009). Além disso, o esforço no desenvolvimento e unificação da base de conhecimentos da Técnica da Transformada Integral Generalizada resultou em um projeto onde o principal objetivo é a construção de um código aberto para a solução automática de equações diferenciais parciais uni- ou multidimensionais, em formulação geral. Este código, em constante aperfeiçoamento e desenvolvimento, recebeu o nome de UNIT (UNified Integral Transforms), (Sphaier et al., 2011; Cotta et al., 2013). Atualmente um grande esforço é despendido por parte dos pesquisadores envolvidos no projeto com o objetivo de tornar o código UNIT cada vez mais geral, permitindo a solução de uma maior gama de problemas mesmo por parte de usuários com pouca experiência teórica nessa classe de métodos híbridos.

1.2 O

BJETIVOS

No presente trabalho será desenvolvida uma metodologia para o tratamento alternativo de problemas conjugados de transferência de calor através da proposição de uma reformulação do problema em um domínio unificado que leva em conta os fenômenos de transferência de calor tanto na região do fluido em escoamento, quanto na região das paredes do canal. Para tanto, os coeficientes das equações de conservação são representados como funções dependentes das variáveis espaciais, apresentando transições abruptas na interface sólido-líquido, e inserindo desta forma a informação a respeito dos dois domínios originais do problema no modelo matemático. Essa formulação do problema em domínio único torna a solução através de transformações integrais muito simplificada, uma vez que o domínio não precisa ser decomposto em diferentes formulações a serem transformadas. Como será demonstrado neste trabalho, esta abordagem é particularmente interessante no tratamento de geometrias mais complexas (que não podem ser representadas por relações matemáticas simples), e permite o emprego da Técnica da Transformada Integral Generalizada de forma bastante prática na solução de problemas conjugados de transferência de calor

(32)

4

condução-convecção interna, sendo de particular interesse para utilização em rotinas de solução automática, como o recém-desenvolvido código UNIT (UNified Integral Transforms), (Sphaier et al., 2011; Cotta et al., 2013).

Para a solução do problema de transferência de calor em domínio único resultante, a Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) é utilizada com a proposição de problemas de autovalor com coeficientes variáveis, de modo que a informação da transição entre os dois domínios é transferida ao problema auxiliar, que neste caso não mais apresenta uma solução analítica e por sua vez, deve ser também resolvido pela Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT), acelerando-se a convergência da solução.

Para validar esta nova metodologia de análise desenvolvida nesta tese, diferentes casos-teste serão apresentados, com grau de complexidade crescente, onde a solução obtida será comparada a metodologias alternativas, incluindo a solução analítica exata, no caso mais simples onde tal abordagem é possível (Knupp et al., 2012c), a solução através da formulação de problemas de autovalor não-clássicos que incorporam o fenômeno de difusão axial em canais semi-infinitos (Knupp et al., 2013), e a solução clássica com acoplamento através de condições de continuidade na interface no caso onde a seção à montante da seção de troca térmica é levada em conta em problemas de baixos números de Péclet (Knupp et al., 2013b). Nos problemas tridimensionais, será utilizada a plataforma Comsol Multiphysics para gerar soluções puramente numéricas de modo a permitir a verificação das soluções obtidas através da metodologia desevoldida neste trabalho.

Por fim, para se demonstrar a aplicação prática da metodologia desenvolvida no presente trabalho, será realizada a análise teórico-experimental de dissipadores de calor com microcanais. No primeiro caso será analisado um dissipador nanoestruturado, fabricado com resina poliéster e nanopartículas de óxido de alumínio, e investigação experimental através de termografia por infravermelho (Knupp et al., 2013c). No segundo caso será investigado um dissipador fabricado em polimetilmetacrilato (PMMA), onde a investigação experimental é conduzida para medição da temperatura no fluido, através da técnica de fluorescência induzida por laser na microescala (µ-LIF).

(33)

5

1.3 O

RGANIZAÇÃO DO

T

RABALHO

No Capítulo 2 é apresentada a revisão de literatura realizada no presente trabalho, englobando transferência de calor em microcanais, conveção forçada em escoamentos internos com baixos números de Péclet, problemas conjugados condução-convecção e a Técnica da Transformada Integral Generalizada.

No Capítulo 3 a Técnica da Transformada Integral Generalizada é formalizada para a solução de problemas convectivo-difusivos e é deduzida a sua aplicação na solução de problemas de autovalores.

O Capítulo 4 introduz a formulação de domínio único e são apresentados casos para diversas considerações físicas, como por exemplo a consideração da condução axial, participação da região a montante da seção de troca térmica e o caso tridimensional.

No Capítulo 5 é apresentada a análise teórico-experimental de dissipadores de calor com microcanais empregando-se a metodologia desenvoldida neste trabalho, ilustrando seu potencial de aplicação em problemas práticos de grande interesse atual na comunidade científica e indústria. No primeiro caso é analisado um dissipador nanoestruturado e investigação experimental através de termografia por infravermelho. No segundo caso é investigado um dissipador fabricado em polimetilmetacrilato (PMMA), onde a investigação experimental é conduzida para medição da temperatura no fluido, através da técnica de fluorescência induzida por laser na microescala (µ-LIF).

Finalmente, no Capítulo 6 são discutidas as conclusões e sugestões de trabalhos futuros.

(34)

6

C

APÍTULO

2

2 R

EVISÃO DE

L

ITERATURA

A seguir é apresentada a revisão de literatura deste trabalho, compreendendo os diferentes aspectos do problema aqui tratado: transferência de calor em microcanais, convecção forçada em escoamentos internos com baixos números de Péclet, problemas conjugados de transferência de calor, e Técnica da Transformada Integral Generalizada.

2.1 T

RANSFERÊNCIA DE

C

ALOR EM

M

ICROCANAIS

Peng et al. (1994, 1994a) realizaram um estudo experimental do escoamento e transferência de calor com água e microcanais retangulares com diâmetros hidráulicos de 133-367 µm fabricados em aço inoxidável, concluindo que seus resultados, tanto com respeito ao comportamento térmico quanto ao comportamento do escoamento, apresentaram significativo desvio com relação aos valores previstos em correlações clássicas para a macro-escala.

Mais tarde, Xu et al.(2000) conduziram experimentos com escoamento de líquido em microcanais com diâmetro hidráulico de 30-344 µm e números de Reynolds variando de 20 a 4000 e concluíram que as características do escoamento estavam de acordo com o comportamento convencional predito pelas equações de Navier-Stokes, sugerindo que desvios observados em trabalhos anteriores provavelmente eram resultados de erros de medição no micro-sistema ao invés de efeitos inesperados por causa da micro-escala.

Esta conclusão foi confirmada, posteriormente, nos trabalhos de Judy et al. (2002) e Liu e Garimella (2004). No primeiro, a perda de carga foi extensivamente investigada em experimentos conduzidos com números de Reynolds variando de 8 a 2300 em micro-tubos com diâmetros de 15 a 150 µm, onde foram empregados três tipos

(35)

7

diferentes de líquidos, tubos com dois materiais diferentes, além de tubos com duas geometrias de suas seções transversais distintas. No segundo, Liu e Garimella (2004) demonstraram que as correlações clássicas apresentavam predições razoáveis quanto ao comportamento do escoamento, com líquidos em regime laminar escoando no interior de microcanais. Os experimentos foram conduzidos com microcanais retangulares com diâmetro hidráulico variando de 244 a 974 µm.

Paralelamente, outros experimentos também foram conduzidos para se avaliar o comportamento térmico da convecção forçada, através do escoamento laminar monofásico de líquidos no interior de microcanais, como por exemplo, nos trabalhos de Harms et al. (1999) e Qu e Mudawar (2002), onde nos experimentos realizados foi demonstrado que a teoria clássica para escoamento em desenvolvimento térmico poderia fornecer predições precisas com respeito ao comportamento térmico do sistema. Tais conclusões foram posteriormente confirmadas no trabalho de Lee et al. (2005), onde microcanais retangulares com espessuras variando de 194 a 534 µm foram empregados em experimentos com água e números de Reynolds variando de 300 a 3500. Predições calculadas através da mecânica do contínuo foram realizadas para diferentes hipóteses de simplificação, e foi concluído que para um modelo cuidadoso e adequadamente escolhido, os dados experimentais estavam em boa concordância com as avaliações teóricas.

Tunc & Bayazitoglu (2001) apresentaram a solução de um problema de convecção forçada em microcanais retangulares em regime permanente, para escoamento laminar hidrodinamicamente desenvolvido, mas termicamente em desenvolvimento, onde foram consideradas condições de salto na temperatura na parede e dissipação viscosa, investigando dois termos que são geralmente desprezíveis na macroescala, mas cujos efeitos no escoamento de gases na microescala podem ser significativos. O canal foi considerado submetido a duas diferentes condições de contorno, fluxo prescrito e temperatura prescrita, e a solução foi obtida através da Técnica da Transformada Integral Generalizada. Foi concluído que com o aumento do número de Prandtl o efeito da condição de salto na temperatura diminuía, e por conseqüência ocorreria um aumento no número de Nusselt.

(36)

8

Hetsroni et al. (2005) apresentaram uma análise teórico-experimental da transferência de calor no escoamento monofásico em microcanais, onde foram investigados dados experimentais de vários trabalhos independentes, com microcanais de diferentes seções transversais (circular, retangular, triangular e trapezoidal) e com diâmetros hidráulicos variando de 60 a 2000 µm. Analisando-se os dados através do foco da teoria clássica, algumas de suas conclusões foram: (i) A utilização de modelos simplificados (por exemplo, modelos unidimensionais, hipóteses de fluxo uniforme e coeficiente de transferência de calor constante, etc.) levaram a predições com grande desvio dos dados experimentais; (ii) A utilização de modelos mais completos (por exemplo levando-se em conta a geometria real, conjugação com as paredes do microcanal, condições de contorno não-adiabáticas na entrada e na saída do microcanal, condução axial, etc.) levaram a predições com boa concordância com os dados experimentais; (iii) Com relação aos modelos mais completos, concluíram que o efeito da dissipação viscosa é desprezível em condições típicas de escoamento de líquidos e o efeito da condução axial no fluido e nas paredes do microcanal possui um efeito significativo em várias aplicações de interesse prático.

Jambal et al. (2005, 2005a) realizaram um estudo teórico da transferência de calor em escoamentos de fluidos não-Newtonianos em dutos anulares levando em conta a dissipação viscosa e condução axial. Para os casos investigados, os autores concluíram uma forte dependência do número de Nusselt com relação à dissipação viscosa e à condução axial no fluido.

Mokrani et al. (2009) construíram microcanais retangulares experimentais com altura variando entre 50 e 500 µm e com largura suficientemente grande, de modo que o fenômeno físico pudesse ser interpretado como um escoamento entre placas paralelas. Para o cálculo do número de Nusselt, sendo necessário o conhecimento da temperatura na face interna da parede e da temperatura média de mistura do fluido, e sendo inviável a medição experimental desses valores, foi empregada uma análise inversa para se obter inferências. O modelo proposto envolveu o problema de condução de calor na parede do microcanal, portanto levando a um problema conjugado com a convecção no interior do microcanal. Para o problema convectivo foi considerado o efeito da condução axial e adotado um modelo unidimensional em regime permanente. Os autores também

(37)

9

concluíram que os resultados experimentais obtidos para o número de Nusselt foram coerentes com predições clássicas da macro-escala.

Motivados pelo crescente interesse em micro-sistemas eletromecânicos (MEMS), com o intuito de se investigar efeitos que são tradicionalmente desprezíveis na macro-escala, mas que podem ser importantes na micro-escala, Çetin (2008, 2009) estenderam a análise teórica do problema de convecção forçada de gases no interior de micro-tubos – problema de Graetz (1883, 1885) – de modo a incluir efeitos de rarefação (através da modelagem de condições de deslizamento e salto de temperatura na parede), dissipação viscosa e condução axial.

Naveira-Cotta et al. (2010) apresentaram uma análise teórica de um problema de escoamento de gás no interior de microcanais, considerando condições de deslizamento e salto na temperatura na parede, onde o objetivo foi estimar os coeficientes de acomodação térmica e de momentum, além do coeficiente de troca térmica da face externa do microcanal com o ambiente externo. Para tanto foram consideradas apenas medições externas de temperatura, típico da aquisição via sistemas termográficos, sendo utilizadas a Tecnica da Transformada Integral na solução do problema direto e a Inferência Bayesiana através do Método de Monte Carlo via Cadeia de Markov (MCMC) na solução do problema inverso.

Castellões et al. (2010) desenvolveram uma investigação teórica da transferência de calor em canais corrugados e baixos números de Reynolds, com o intuito de se analisar a intensificação térmica alcançada. Dados os baixos números de Reynolds (e por conseqüência baixos números de Péclet), a difusão axial no fluido foi considerada, assim como regiões adiabáticas a montante e a jusante da seção de troca térmica. O problema proposto foi resolvido através de uma proposta híbrida numérico-analítica fundamentada na Técnica da Transformada Integral Generalizada.

(38)

10

2.2 C

ONVECÇÃO

F

ORÇADA EM

E

SCOAMENTOS INTERNOS

COM

B

AIXOS

N

ÚMEROS DE

P

ÉCLET

O problema de convecção forçada do escoamento laminar incompressível de um fluido no interior de um tubo desprezando-se a condução axial, considerando-se um escoamento já completamente desenvolvido hidrodinamicante, mas em desenvolvimento térmico, foi investigado e analiticamente solucionado por Graetz (1883, 1885) e Nusselt (1910). A hipótese de desprezar-se a condução axial traz uma grande simplificação matemática e é adequada para escoamentos com altos números de Péclet, o que de fato engloba uma vasta quantidade de aplicações.

Os trabalhos de Tan e Hsu (1972) e Tan e Normandia (1975) estão entre os primeiros a propor soluções analíticas exatas para problemas de convecção forçada em escoamentos internos com baixos números de Péclet, onde a condução axial desempenha um papel importante e não pode ser desprezada. Nestes trabalhos eles abordaram um problema de transferência de massa, onde o domínio do canal foi estendido à montante, com uma seção considerada adiabática, e à jusante da seção do canal propriamente dito, passando a ser tratado como um canal infinito. Neste trabalho foi considerada uma condição de contorno de primeiro tipo na parede e o problema foi então resolvido com a proposição de funções ortonormais a partir das autofunções não-ortogonais, de modo que o problema foi separado e então obtida uma solução analítica exata.

Campo e Auguste (1978) estudaram problemas térmicos em escoamentos com baixos números de Péclet onde condições de contorno de troca térmica (conveção e radiação) foram consideradas com o meio externo. A solução do problema foi obtida numericamente, através de esquema de diferenças finitas. Suas conclusões sugeriram que a importância do efeito da condução axial estaria fortemente ligada com as condições da troca térmica com o ambiente externo.

Apesar de algumas técnicas que pudessem levar à solução analítica exata do problema de convecção interna forçada com baixos números de Péclet já terem sido propostas, como em Tan e Normandia (1975), foram os trabalhos conduzidos por Vick et al. (1980), Vick e Özisik (1981) e Vick et al. (1983), fundamentados em

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transformações integrais, que trouxeram uma metodologia de solução exata muito menos custosa, sem envolver procedimentos complexos e longos de ortonormalização. A solução proposta envolve a formulação de um problema de autovalor não-clássico e é aplicada ao problema de um tubo infinito, considerando-se uma região adiabática à montante da seção de troca térmica e a seção de troca térmica é considerada infinitamente longa, o que permite o desenvolvimento térmico completo. Soluções foram apresentadas para a seção de troca térmica com condição de contorno tanto de primeiro, como de terceiro tipo.

Laohakul et al. (1985) propuseram uma solução analítica aproximada para o problema de Graetz com condução axial de modo que, em virtude da aproximação realizada, os autovalores e autofunções do problema de autovalor poderiam ser calculados explicitamente, tornando a metodologia de solução de muito mais fácil aplicação e extensão para outros problemas.

Pagliarini (1989) estudou o problema de convecção interna forçada em um escoamento laminar em desenvolvimento tanto térmico quanto hidrodinâmico, levando-se em conta tanto a difusão axial de calor, quanto a de momentum. O problema foi formulado em forma variacional com o método dos resíduos ponderados de Galerkin e então foi solucionado numericamente via método dos elementos finitos, tendo sido a solução validada com os resultados de Tan e Hsu (1972). Resultados foram apresentados para números de Prandtl entre 0.1 e 100 e números de Péclet entre 5 e 500, e evidenciam regiões onde a difusão axial apresenta efeitos importantes.

Oliveira et al. (1995) partiram dos desenvolvimentos analíticos obtidos por Vick et al. (1980), Vick e Özisik (1981) e Vick et al. (1983), e propuseram a solução aproximada do problema de autovalor não-clássico resultante do problema de Graetz com condução axial. Esta solução aproximada está fundamentada na proposição de um problema de autovalor auxiliar clássico do tipo Sturm-Liouville e com solução analítica conhecida e, então, soluções aproximadas são obtidas para as autofunções e autovalores do problema de autovalor não-clássico, com a utilização da Técnica da Transformada Integral Generalizada (Cotta, 1993). Os resultados apresentados demonstram a excelente taxa de convergência da aproximação.