C ONVECÇÃO F ORÇADA EM E SCOAMENTOS INTERNOS COM B AIXOS

COM BAIXOS NÚMEROS DE PÉCLET

O problema de convecção forçada do escoamento laminar incompressível de um fluido no interior de um tubo desprezando-se a condução axial, considerando-se um escoamento já completamente desenvolvido hidrodinamicante, mas em desenvolvimento térmico, foi investigado e analiticamente solucionado por Graetz (1883, 1885) e Nusselt (1910). A hipótese de desprezar-se a condução axial traz uma grande simplificação matemática e é adequada para escoamentos com altos números de Péclet, o que de fato engloba uma vasta quantidade de aplicações.

Os trabalhos de Tan e Hsu (1972) e Tan e Normandia (1975) estão entre os primeiros a propor soluções analíticas exatas para problemas de convecção forçada em escoamentos internos com baixos números de Péclet, onde a condução axial desempenha um papel importante e não pode ser desprezada. Nestes trabalhos eles abordaram um problema de transferência de massa, onde o domínio do canal foi estendido à montante, com uma seção considerada adiabática, e à jusante da seção do canal propriamente dito, passando a ser tratado como um canal infinito. Neste trabalho foi considerada uma condição de contorno de primeiro tipo na parede e o problema foi então resolvido com a proposição de funções ortonormais a partir das autofunções não-ortogonais, de modo que o problema foi separado e então obtida uma solução analítica exata.

Campo e Auguste (1978) estudaram problemas térmicos em escoamentos com baixos números de Péclet onde condições de contorno de troca térmica (conveção e radiação) foram consideradas com o meio externo. A solução do problema foi obtida numericamente, através de esquema de diferenças finitas. Suas conclusões sugeriram que a importância do efeito da condução axial estaria fortemente ligada com as condições da troca térmica com o ambiente externo.

Apesar de algumas técnicas que pudessem levar à solução analítica exata do problema de convecção interna forçada com baixos números de Péclet já terem sido propostas, como em Tan e Normandia (1975), foram os trabalhos conduzidos por Vick et al. (1980), Vick e Özisik (1981) e Vick et al. (1983), fundamentados em

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transformações integrais, que trouxeram uma metodologia de solução exata muito menos custosa, sem envolver procedimentos complexos e longos de ortonormalização. A solução proposta envolve a formulação de um problema de autovalor não-clássico e é aplicada ao problema de um tubo infinito, considerando-se uma região adiabática à montante da seção de troca térmica e a seção de troca térmica é considerada infinitamente longa, o que permite o desenvolvimento térmico completo. Soluções foram apresentadas para a seção de troca térmica com condição de contorno tanto de primeiro, como de terceiro tipo.

Laohakul et al. (1985) propuseram uma solução analítica aproximada para o problema de Graetz com condução axial de modo que, em virtude da aproximação realizada, os autovalores e autofunções do problema de autovalor poderiam ser calculados explicitamente, tornando a metodologia de solução de muito mais fácil aplicação e extensão para outros problemas.

Pagliarini (1989) estudou o problema de convecção interna forçada em um escoamento laminar em desenvolvimento tanto térmico quanto hidrodinâmico, levando-se em conta tanto a difusão axial de calor, quanto a de momentum. O problema foi formulado em forma variacional com o método dos resíduos ponderados de Galerkin e então foi solucionado numericamente via método dos elementos finitos, tendo sido a solução validada com os resultados de Tan e Hsu (1972). Resultados foram apresentados para números de Prandtl entre 0.1 e 100 e números de Péclet entre 5 e 500, e evidenciam regiões onde a difusão axial apresenta efeitos importantes.

Oliveira et al. (1995) partiram dos desenvolvimentos analíticos obtidos por Vick et al. (1980), Vick e Özisik (1981) e Vick et al. (1983), e propuseram a solução aproximada do problema de autovalor não-clássico resultante do problema de Graetz com condução axial. Esta solução aproximada está fundamentada na proposição de um problema de autovalor auxiliar clássico do tipo Sturm-Liouville e com solução analítica conhecida e, então, soluções aproximadas são obtidas para as autofunções e autovalores do problema de autovalor não-clássico, com a utilização da Técnica da Transformada Integral Generalizada (Cotta, 1993). Os resultados apresentados demonstram a excelente taxa de convergência da aproximação.

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Barletta e Schio (2000) conduziram uma investigação teórica do problema de escoamento laminar em regime permanente no interior de canais submetidos a condições de contorno de fluxo prescrito com variação periódica ao longo do comprimento do canal, com o objetivo de se investigar o efeito da difusão axial no fluido. Foram comparados os números de Nusselt calculados para diferentes valores do número de Péclet para soluções onde a difusão axial foi considerada, em comparação com soluções onde a difusão axial foi desprezada.

Campo et al. (2003) desenvolveram um estudo teórico onde a influência do número de Péclet foi investigada com respeito à difusão axial em escoamentos internos laminares. O problema proposto envolve uma região à montante, onde a parede externa do canal foi considerada adiabática, e a região de troca térmica propriamente dita, onde foi considerado um fluxo constante aplicado ao canal. Na solução do problema se adotou uma modelagem por parâmetros concentrados que levou a um modelo uni-dimensional.

Jeong e Jeong (2006), motivados pela aplicação de escoamento de gases em microcanais, consideraram na proposição do modelo, além da condução axial, efeitos da dissipação viscosa e da rarefação (condições de deslizamento e salto de temperatura na parede), com a solução sendo obtida a partir da proposição da expansão da solução em autofunções. Resultados foram apresentados para diversas variações nos parâmetros adimensionais (números de Péclet, Knudsen e Brinkman).

Castellões et al. (2010) investigaram os efeitos de corrugações da parede na intensificação térmica de microcanais. Dada a aplicação ser essencialmente voltada para microcanais, onde é típica a presença de escoamentos com baixos números de Reynolds (e por conseqüência, baixos números de Péclet), o modelo proposto incluiu a difusão axial. A solução foi obtida fundamentada numa transformação integral parcial na direção transversal obtida através da Técnica da Transformada Integral Generalizada (Cotta, 1993), resultando em um sistema de equações parciais diferenciais unidimensionais, resolvido numericamente. Outro destaque para este trabalho é a possibilidade de análise do transiente, o que pode ser especialmente importante em aplicações com conjugação em microcanais, ressaltando que a maioria dos trabalhos

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publicados neste assunto dá conta apenas do regime permanente, de modo a trazer redução de custo para a solução do modelo.

Cole e Çetin (2011), também motivados pelo crescente interesse em aplicações envolvendo microcanais, e necessidade de modelos confiáveis para fins de otimização de projetos, apresentaram a solução para o problema de Graetz com condução axial, levando-se em conta a parede do canal (problema conjugado), obtida através de funções de Green. Resultados do número de Nusselt foram apresentados para várias variações nos parâmetros do problema (vazão volumétrica do escoamento, espessura da parede do canal, condutividade térmica da parede, etc.).