A CENTRO DE CIˆ ENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA CURSO DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA MESTRADO EM MATEM ´ ATICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR ´

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CENTRO DE CIˆ

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DEPARTAMENTO DE MATEM ´

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AFICOS RADIAIS COMPLETOS SOBRE

S

Jobson de Queiroz Oliveira

GR ´

AFICOS RADIAIS COMPLETOS SOBRE

S

Disserta¸c˜ao submetida `a Coordena¸c˜ao do Curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Ma-tem´atica, da Universidade Federal do Cear´a, para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros.

Oliveira, Jobson de Queiroz

O47g Gr´aficos Radiais Completos Sobre Sn+1 Jobson de Queiroz Oliveira. - Fortaleza: 2007.

32f. Orientador: Prof. Dr. Abdˆenago Alves de Barros.

3

Agradecimentos

Gostaria de agradecer inicialmente ao professor Abdˆenago Barros por ter aceitado me orientar e pela paciˆencia durante este per´ıodo.

Ao professor Pacelli Bessa, por seus conselhos.

Ao professor Luqu´esio Jorge por mostrar que Matem´atica deve ser um prazer e n˜ao um trabalho.

`

A Andr´ea pela eficiˆencia e paciˆencia.

Aos amigos: Alisson, Carpegiani, C´ıcero, Darlan Gir˜ao, Darlan Portela, Feliciano, Gleydson, Ivy, Jˆanio, Joserlan, Luiza, Michel, Paulo, Ronny, Silvana, Tony.

.

“O rio atinge seus objetivos porque

apren-deu a contornar obst´aculos.”

Resumo

Seja Sn+1 _{a esfera euclidiana n}+_{1-dimensional e p0 ∈} Sn+1_{. Dado r > 0,} considere o conjunto Sn_{(r) = {q ∈ S}n+₁

; dist (q,p0) = r}. Seja Mn ⊂ Sn+1

gr´afico radial completo sobre Sn_{(r). Demonstraremos que se M}n _tem

Sum´ario

1 Introduc¸˜ao 9

2 Preliminares 12

2.1 Curvaturas . . . 13 2.2 Gradiente, Divergente e Laplaciano . . . 14 2.3 Campos de Jacobi em variedades com curvatura constante . 19 2.4 Imers ˜oes Isom´etricas . . . 20

3 A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 25

3.1 Func¸˜ao Suporte . . . 25 3.2 Laplaciano da Func¸˜ao Suporte . . . 29

4 Gr´aficos Radiais 36

4.1 Gr´aficos Radiais . . . 36

Cap´ıtulo 1

Introduc¸˜ao

O estudo de superf´ıcies compactas com curvatura m´edia constante no espac¸o euclidiano tridimensional foi um dos principais problemas da Ge-ometria Diferencial Cl´assica. Um dos primeiros resultados acerca desse problema, devido a Delanay, diz que toda superf´ıcie de revoluc¸˜ao com-pacta com curvatura m´edia constante ´e uma esfera redonda. Em 1853, Jellet mostrou que toda superf´ıcie estreladaM⊂R3_{, com curvatura m´edia} constante ´e uma esfera redonda. Posteriormente, Hopf mostrou que se uma superf´ıcie Σ _⊂ R3 _{com curvatura m´edia constante ´e homeomorfa a uma}

esfera, ent˜aoΣ_{tamb´em ´e uma esfera redonda. A generalizac¸˜ao das} curva-turas m´edia e gaussiana para uma hipersuperf´ıcieMnno espac¸o euclidiano (n+_{1)-dimensional s˜ao as r-´esimas curvaturas m´ediasHr,r} = _{1, . . . ,n, que} s˜ao definidas pelos r-´esimos polin ˆomios sim´etricos elementares avaliados nas curvaturas principais de Mn. Posteriormente, S ¨uss (1952) mostrou que se uma hipersuperf´ıcie Mn _{no espac¸o euclidiano ´e compacta,}

con-vexa, com Hr constante, para algumr = _{1, . . . ,n, ent˜ao M}n _{´e uma esfera.}

A demonstrac¸˜ao de S ¨uss baseia-se nas f ´ormulas integrais de Minkowski, no entanto, tal demonstrac¸˜ao n˜ao se aplica a hipersuperf´ıcies compactas quaisquer. Alexandrov (1956) mostrou que toda hipersuperf´ıcie compacta mergulhada no espac¸o euclidiano que tem curvatura m´edia constante ´e

CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ ˜AO 10

uma esfera redonda. Ros (1987) estendeu o resultado de Alexandrov mos-trando que a esfera redonda ´e a ´unica hipersuperf´ıcie compacta, mergu-lhada no espac¸o euclidiano com curvatura escalar constante. Em seguida, Ros (1988) estendeu este resultado para qualquer curvatura de ordem su-perior, mostrando que a esfera ´e a ´unica hipersuperf´ıcie compacta mergu-lhada no espac¸o euclidiano comHrconstante. Ap ´os este trabalho, Montiel e Ros (1991) obtiveram um resultado semelhante para o espac¸o hiperb ´olico e para a esfera euclidiana, sendo que, para esta ´ultima, com a hip ´otese adi-cional de a hipersuperf´ıcie estar totalmente contida num hemisf´erio. A hip ´otese de estar totalmente contida num hemisf´erio ´e essencial pois um produto de esferas gera hipersuperf´ıcies da esfera euclidiana com curva-tura m´edia constante. Revisitando o teorema de Jellett, Barros e Sousa (2006) estenderam tal teorema para hipersuperf´ıcies da esfera. Nosso objetivo principal neste trabalho ´e apresentar uma demonstrac¸˜ao desse resultado. Mais precisamente temos o seguinte teorema:

Teorema 1 Seja Mn _{⊂ S}n+₁

um gr´afico radial completo sobre uma esfera de raio

R contida em Sn+₁

. Se Mn _{tem curvatura m´edia constante n˜ao nula ent˜ao M}n _´e

uma esfera geod´esica.

Na sua demonstrac¸˜ao ser´a utilizada a primeira f ´ormula integral de Min-kowski, juntamente com um corol´ario do teorema a seguir, obtido por Sousa (2004).

Teorema 2 Seja M uma variedade riemanniana de dimens˜ao n+_{1e V um campo}

conforme em M. Seja M uma hipersuperf´ıcie de M e η um campo de vetores

unit´ario, normal a M em M. Defina f : M→R_por

f(p)=_{hV(p), η(p)ient˜ao}

∆_f =_{−nhV,gradHi −(Ric (η)}+_|Aη|2_{)f −n(ψH}+_η[ψ]),

CAP´ITULO 1. INTRODUC¸ ˜AO 11

segunda forma fundamental de M,ψ ´e o fator de conformidade do campo V e∆ _´e

o Laplaciano de M na m´etrica induzida por M.

Corol´ario 1 Seja x : M → Qn+₁

c uma imers˜ao isom´etrica com curvatura m´edia

constante H de uma variedade riemanniana orient´avel M. Considere o campo

tangente V =_{Scgradρent˜ao}

∆_f =_−|Aη|2_{f −nHθc,}

onde ∆ _{´e o Laplaciano em M, η´e normal a imers˜ao, |Aη| ´e a norma da segunda}

forma fundamental Aηda imers˜ao,ρ: M→R´e a distˆancia intr´ınseca a um ponto

p0 ∈Mnfixado, Sc =sinρeθc =cosρ.

Finalmente, vamos enunciar a primeira f ´ormula integral de Minkowski que sera ´util na demonstrac¸˜ao do teorema 1:

Teorema 3 (Primeira F ´ormula Integral de Minkowski): Seja Mn _uma

va-riedade riemanniana compacta e x:Mn _→Qn+₁

c uma imers˜ao isom´etrica, ent˜ao

Z

M

HgdA=₋

Z

M θcdA,

Cap´ıtulo 2

Preliminares

Neste cap´ıtulo apresentaremos alguns conceitos e resultados b´asicos que ser˜ao utilizados ao longo deste trabalho.

Denotaremos porMn, ou simplesmente M, uma variedade riemanniana de dimens˜ao n. A conex˜ao de M ser´a denotada por ∇ eh, irepresentar´a sua m´etrica. Designaremos por X_{(M) o conjunto dos campos de vetores}

de classe C∞ em M e por D(M) o anel das func¸ ˜oes reais de classe C∞

definidas em M. Se p ∈ M, ent˜ao TpM denotar´a o espac¸o tangente a M em p. Enunciaremos agora um importante teorema, cuja prova pode ser encontrada em do Carmo (1988).

Teorema 4 (Levi-Civita) Seja Mn _{uma variedade riemanniana. Ent˜ao existe}

uma ´unica conex˜ao afim ∇ em M satisfazendo, ∀X,Y,Z ∈ X_{(M), as seguintes}

condic¸˜oes:

a) ∇ ´e livre de torc¸˜ao, isto ´e,∇XY− ∇YX−[X,Y]=_0;

b) ∇ ´e compat´ıvel com a m´etrica, isto ´e,

Preliminares 13

2.1

Curvaturas

Nesta secc¸˜ao relembraremos definic¸ ˜oes e propriedades b´asicas a respeito das curvaturas seccional, escalar e de Ricci.

O tensor curvatura R de uma variedade riemanniana Mn _{´e uma}

cor-respondˆencia que associa a cada par X,Y ∈ X_{(M) uma aplicac¸˜ao linear}

R(X,Y) :X_(M)−→X_{(M) dada por}

R(X,Y)Z=_{∇Y∇XZ− ∇Y∇XZ}+_{∇[X,Y]Z ,}

∀Z∈X_(M).

Verifica-se que o tensor curvatura satisfaz as seguintes propriedades para quaisquerX,Y,Z,T∈X_(M)

a) hR(X,Y)Z,Ti+_hR(Y,Z)X,Ti+_hR(Z,X)Y,Ti=_{0 (1}a_{Identidade de}

Bian-chi);

b) hR(X,Y)Z,Ti=_{−hR(Y,X)Z,Ti;} c) hR(X,Y)Z,Ti=_{−hR(X,Y)T,Zi;} d) hR(X,Y)Z,Ti=_hR(Z,T)X,Yi.

Lema 1 Sejam M uma variedade riemanniana e p ∈ M. Defina uma aplicac¸˜ao trilinear R′ :TpM×TpM×TpM→TpM por

hR′_(X,Y,W),Zi=_{hX,WihY,Zi − hY,WihX,Zi,∀X,Y,Z,W ∈TpM.}

Ent˜ao M tem curvatura seccional constante c se e somente se R=_cR′_{,onde R ´e a}

curvatura de M.

Sejaσ⊂TpMum subespac¸o bidimensional do espac¸o tangenteTpMe sejam

x,y ∈ σ dois vetores linearmente independentes. Definimos a curvatura seccionalKdeMempsegundoσpor

K(x,y)= hR(x,y)x,yi

Preliminares 14

onde|x∧ y|2 _{=hx,xihy,yi − hx,yi}2_.

Seja X ∈ TpM um vetor unit´ario. Tomemos {z1, . . . ,zn−1,zn = X} uma

base ortonormal deTpM.

A curvatura de Ricci deMna direc¸˜ao deXemp´e definida por

Ricp(X)=

1

n−1

n−1

X

i=₁

hR(X,zi)X,zii .

A curvatura escalar deMemp ´e definida como

S(p)= 1

n n

X

j=₁

Ricp(zj) .

2.2

Gradiente, Divergente e Laplaciano

Nesta secc¸˜ao ser˜ao provados alguns resultados b´asicos envolvendo o gradiente e o Laplaciano de func¸ ˜oes reais de classeC∞_{definidos emMe}

a divergˆencia de campos de vetores emM.

Seja f ∈ D(M). O gradiente de f ´e o campo de vetores emM, definido pela seguinte condic¸˜ao

hgrad f,Xi=_{X(f) , ∀X∈}X_{(M) .}

Decorre da definic¸˜ao que se f,g∈D(M) ent˜ao: 1. grad (f +_g)=_{grad f} +_{grad g;}

2. grad (f.g)= _{fgrad g}+_{ggrad f.}

SejaX ∈X_{(M). A divergˆencia deX´e a func¸˜aoDiv X:M−→}R_{, definida} por

Preliminares 15

As propriedades abaixo decorrem diretamente da definic¸˜ao. 1. Div(X+_Y)=_{Div X}+_{Div Y;}

2. Div(f.X)= _{f.Div X}+_{hgrad f,Xi ,}

para quaisquerX,Y∈X_{(M) e qualquer f ∈D(M).}

Seja f _∈ D(M). O Laplaciano de f ´e o operador ∆ _{: D(M) −→ D(M)} definido por

∆_f =_{Div(grad f).}

Usando as propriedades do gradiente e divergente, prova-se facilmente que

1. ∆_(f +_g)= ∆_f + ∆_g;

2. ∆_(f.g)= _f∆_g+_g∆_f +_{2hgrad f,grad gi,} para quaisquer f,g∈D(M).

Proposic¸˜ao 1 Sejam(x1, . . . ,xn)um sistema de coordenadas locais em M e f ∈

D(M). Ent˜ao

grad f =

n

X

i,j=₁

gij∂f ∂xj

∂ ∂xi,

onde gij=h_∂∂_xi,_∂∂_xjie(gij)´e a inversa da matriz(gij). Prova: Como grad f ∈ X_{(M) e {} ∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn} constitui uma base, podemos

escrever

grad f =

n

X

i=₁

ai ∂ ∂xi .

Portanto *

grad f, ∂ ∂xj

+ =

n

X

i=₁

ai * ∂ ∂xi, ∂ ∂xj + = n X

i=₁

aigij =

n

X

i=₁

Preliminares 16

Assim considerando as matrizes F =

hgrad f, ∂ ∂xji

n×1,

A = _(ak)n

×1 e G =

(gij)n×n, decorre queF = GA. Ent˜ao sendo G invert´ıvel temosA = G−1F e

com isso um elemento gen´erico de A se escreve como

ai =

n

X

j=₁

gijfj ,

onde fj =_{hgrad f,} ∂ ∂xji

= ∂f

∂xj. Portanto

grad f =

n

X

i=₁

        n X

j=₁

gijfj

        ∂ ∂xi = n X

i,j=₁

gij∂f ∂xj

∂ ∂xi.

Proposic¸˜ao 2 Sejam(x1, . . . ,xn)um sistema de coordenadas locais em M e X =

n

P

j=₁

aj_∂∂_xj um campo de vetores em M. Ent˜ao

div X=

n

X

i=₁

        n X

j=₁

ajΓi_ij+ ∂ai ∂xi         ,

ondeΓk

ijs˜ao os s´ımbolos de Christoffel da m´etrica em M. Prova: Por definic¸˜ao,div X=_{tr[Y7→ ∇YX]. Ent˜ao}

∇ ∂ ∂_xiX

= _{∇ ∂} ∂_xi         n X

j=₁

aj ∂ ∂xj         = n X

j=₁

∇ ∂ ∂_xi

"

aj ∂ ∂xj

#

=

n

X

j=₁

"

aj∇ ∂ ∂_xi ∂ ∂xj + ∂aj ∂xi ∂ ∂xj # .

Fac¸a∇ ∂ ∂_xi

∂ ∂xj

=

n

P

k=₁

Γk ij

∂

∂xk, para obter

∇ ∂ ∂_xiX

=

n

X

j=₁

       n X

k=₁

ajΓk_ij ∂ ∂xk + ∂aj ∂xi ∂ ∂xj        = n X

k=₁

        n X

j=₁

Preliminares 17

Comodiv X=

n

X

i,l=₁

gil

*

∇ ∂ ∂_xiX,

∂ ∂xl

+

, temos que

div X=

n

X

i=₁

        n X

j=₁

ajΓi_ij+ ∂ai ∂xi         .

Proposic¸˜ao 3 Sejam(x1, . . . ,xn)um sistema de coordenadas locais em M e X =

n

P

i=₁

ai_∂∂_x

i um campo de vetores em M. Ent˜ao

div X = _√1

g n

X

i=₁

∂ ∂xi(ai

√

g),

onde g =_det(gij).

Prova: Temos, inicialmente, que

Γi ij = 1 2 n X

l=₁

"

∂ ∂xigjl+

∂ ∂xj

gli− ∂

∂xlgij

#

gli.

Ent˜ao 2

n

X

ij=₁

ajΓi_ij = n

X

i,j=₁

aj        n X

l=₁

"

∂ ∂xigjl+

∂ ∂xjgli−

∂ ∂xlgij # gli        = n X

ij,l=₁

aj ∂gjl ∂xi g li₊ n X

i,j,l=₁

aj ∂gli ∂xj g li − n X

i,j,l=₁

aj ∂gij

∂xl g li_.

(2.2)

Trocandoiporlna primeira parcela, temos que (2.2) se reduz a

2

n

X

i,j,l=₁

ajΓi

ij = n

X

i,j,l=₁

aj∂gli ∂xj g

li₌ n

X

i,j,l=₁

ai∂glj ∂xi g

li_{. (2.3)}

Logo, usando (2.3) e a Proposic¸˜ao 2, temos

div X =

n

X

i=₁

        ai 2 n X

j,l=₁

glj∂glj ∂xi + ∂ai ∂xi         = n X

i=₁

        ai 2 n X

j,l=₁

Preliminares 18

Usando o fato de que

n

X

j,l=₁

gjl∂gjl ∂xi =

1

g ∂g

∂xi, obtemos

div X =

n

X

i=₁

" ai 2 1 g ∂g ∂xi + ∂ai ∂xi # = n X

i=₁

"

ai

2 1

√_g∂ √ g ∂xi + ∂ai ∂xi #

= _√1

g n

X

i=₁

"

∂ai ∂xi

√

g+_ai(

√_g)

∂xi

#

= _√1

g n

X

i=₁

∂(ai√g)

∂xi .

Proposic¸˜ao 4 Sejam(x1, . . . ,xn)um sistema de coordenadas locais em M e f ∈

D(M). Ent˜ao

∆_f = _√1

g n

X

i,j=₁

∂ ∂xi

√

ggij∂f ∂xj

!

.

Prova: Por definic¸˜ao temos que

∆_f =_{Div(grad f) .} Assim, pela Proposic¸˜ao 1, temos que

grad f =

n

X

i,j=₁

gij∂f ∂xj

∂ ∂xi .

Usando a Proposic¸˜ao 3, obtemos que

∆_f = _{Div(grad f)}= _√1

g n

X

i=₁

∂ ∂xi                 n X

j=₁

gij∂f ∂xj         √ g        

= _√1

g n

X

i,j=₁

∂ ∂xi

√

ggij∂f ∂xj

!

,

Preliminares 19

Seja f ∈D(M). Definimos o Hessiano de f em p∈ Mcomo o operador linearHess f :TpM−→TpM, dado por

(Hess f)Y=_{∇Ygrad f , ∀Y∈TpM .}

Podemos considerarHess f como um tensor tal que para cada par de camposX,Y∈ X_{(M), temos}

(Hess f)(X,Y)=_{h(Hess f)(X),Yi.}

2.3

Campos de Jacobi em variedades com

curva-tura constante

SejaMn_{uma variedade riemanniana ep∈ M}n_{e sejaγ: [0,a]→ M}n

uma geod´esica deMn_{. Um campo de vetores Jao longo deγ ´e um campo}

de Jacobi se vale:

D2_J

dt2 +R(γ

′_(t),J(t))γ′_(t)=_{0,∀t∈[0,a]}

Tome agora Mvariedade riemanniana com curvatura seccional constante

c,γ : [0,a] → Mgeod´esica normalizada emMe Jum campo de Jacobi ao longo deγ, normal aγ′_.

Segue do lema 1 da sec¸˜ao 2.1 e do fato de|γ′_|=_{1 queR(γ}′_,J)γ′ =_cJ. De fato, para todo campoTao longo deγtemos

hR(γ′,J)γ′,Ti=_c{hγ′_{, γ}′_{ihJ,Ti − hγ}′_{,TihJ, γ}′_i}=_chJ,Ti. DondeR(γ′_,J)γ′ =_cJ.

Temos ent˜ao que a equac¸˜ao de Jacobi se escreve

D2_J

Preliminares 20

Sejaω(t) um campo paralelo ao longo deγcomhγ′_{(t), ω(t)i}=_{0 e|ω(t)|}=_1. Temos que o campo J(t) dado por

J(t)=                         

tω(t), se c=₀ sin(√ct)

√

c ω(t), se c>0

sinh(√−ct)

√

−c ω(t), se c<0

´e soluc¸˜ao da equac¸˜ao de Jacobi, com condic¸ ˜oes as iniciaisJ(0)=_{0 e J}′₍₀₎=

ω(0). Portanto, os campos de Jacobi numa variedade riemanniana com curvatura seccional constante s˜ao da forma J(t) acima.

2.4

Imers ˜oes Isom´etricas

Considere (Mn_{,g) e (M}m_{,g) variedades riemannianas. Uma aplicac¸˜ao}

diferenci´avel x : M −→ M ´e uma imers˜ao sedxp : TpM −→ Tx(p)M for

in-jetiva∀p ∈ M. Se, al´em disso,xfor um homeomorfismo sobre x(M), com

x(M) munido com a topologia induzida porM, diz-se quex´e ummergulho. Quandox∗_g= _{g, ou seja, a m´etrica em M ´e opull-back, viaxda m´etrica em}

M, dizemos quex ´eimers˜ao isom´etrica. Por simplicidade, denotaremos ge

gporh, i. Assimx∗_g=_{gsignifica que}

hz,wip =hdxp(z),dxp(w)ix(p) .

As conex ˜oes riemannianas de M eMser˜ao denotados por∇e∇, respecti-vamente. Considerandox: M−→Muma imers˜ao isom´etrica temos quex

´e localmente um mergulho, ou seja,∀p∈M, existe uma vizinhanc¸aU⊂M

Preliminares 21

e cada vetor tangente υ ∈ TpMcomdxp(υ) ∈ Tx(p)M. Desse modo temos a

decomposic¸˜ao

TpM=_TpM⊕(TpM)⊥

em cada pontop ∈ M, j´a que ´e poss´ıvel estender campos de vetores defi-nidos numa vizinhanc¸a Udex(p) emM. Nesse mesmo contexto prova-se que ∇ = _∇⊤_{, isto ´e,∇XY} = _(∇

XY)⊤, ondeX,Y ∈ X(M) eX,Ys˜ao extens ˜oes

de X,Y, respectivamente aX_(M).

ConsiderandoX,Y∈X_{(U) eX,Yextens ˜oes de X,Y a}X_{(x(U)) temos que}

a aplicac¸˜aoAη : X(U)×X(U)−→X(U)⊥, dada por

α(X,Y)=_∇

XY− ∇XY,

´e bilinear e sim´etrica, onde X_(U)⊥ _{´e o conjunto dos campos de vetores}

normais a x(U) ≈ U. Assim, dado η ∈ (TpM)⊥_{, definimos uma forma}

bilinear e sim´etricaHη : TpM×TpM−→Rpor

Hη(X,Y)=_{hα(X,Y), ηi.} A forma quadr´aticaIIη_{, definida emTpMpor}

IIη(X)=_Hη(X,X),

´e denominada segunda forma fundamental da imers˜ao x segundo o vetor normalη. `A formaHη podemos associar um operador linear auto-adjunto

Aη : TpM−→TpM, satisfazendo

hAη(X),Yi=_{Hη(X,Y) .}

Por abuso de linguagem tamb´em designaremosAη porsegunda forma

fun-damentalda imers˜aoxsegundo o vetor normalη.

Assim, ´e f´acil provar que, sep∈ M,X ∈TpMeη∈(TpM)⊥_{, ent˜ao}

Preliminares 22

ondeη ´e uma extens˜ao local deηnormal `a M. A f ´ormula de Gauss ´e um resultado fundamental no estudo das imers ˜oes e pode ser encontrada em do Carmo (1988), que estabelece o seguinte:

Teorema 5 (Equac¸˜ao de Gauss) : Sejam p ∈ M, X,Y vetores ortonormais de TpM. Ent˜ao

K(X,Y)−K(X,Y)=_{hα(X,X), α(Y,Y)i − |α(X,Y)|}2 _,

onde K(X,Y)e K(X,Y)denotam, respectivamente, as curvaturas seccionais de M e M com relac¸˜ao ao plano gerado por X e Y.

Agora consideremos uma imers˜ao x : Mn _{−→ M}n+1_{. Sejam p ∈ M,} η ∈ (TpM)⊥ _{e {e}

1, . . . ,en} uma base ortonormal de TpM para a qual Aη ´e diagonal. Por simplicidade denotaremos Aη por A, j´a que a codimens˜ao da imers˜ao ´e um. TemosA(ei) =_{kiei, os auto-valores k}′

iss˜ao as curvaturas

principais de M emp. Ent˜ao

H(ei,ei)=_{ki .}

Portanto a equac¸˜ao de Gauss se escreve como

K(ei,ej)−K(ei,ej)=_kikj,∀i, _j .

Em particular, se a curvaturaKdeMfor constante e igual ac, obtemos

K(ei,ej)=_c+_kikj.

Lema 2 Seja x : Mn _{→ S}n+₁

uma imers˜ao isom´etrica ent˜ao |A|2 _{≥ nH}2 _{e vale a}

igualdade se e somente se M ´e umb´ılica.

Prova: Considere os vetores v1 = (k1,k2, . . . ,kn),v2 = (1,1, . . . ,1) ∈ Rn,

Preliminares 23

vale a igualdade se e somente sev1 =kv2,comk∈R.Donde obtemos

1

n(k1+k2+. . .+kn)

2

≤k₁2+_k2

2+. . .+k2n.

Mas|A|2 _=k2 1+k

2

2+. . .+k 2

nenH2 =n(n1

Pn

j=₁kj)2= 1_n(k1+k2+. . .+kn)2donde

segue o resultado. Se vale a igualdade ent˜aokj =_{k, ∀j}= _{1, . . . ,nisto ´e,M} ´e umb´ılica.

Lema 3 Na esfera euclidianaSn+1_{vale a seguinte relac¸˜ao}

Hessρ(X,Y)= cosρ

senρ[hX,Yi −XρYρ],

onde ρ ´e a distˆancia intr´ınseca a um ponto p0 ∈ Sn+1 fixado e senρ ´e soluc¸˜ao da

equac¸˜ao y′′+_y=_{0com condic¸˜oes iniciais y(0)}=_{0e y}′₍₀₎=_1.

Prova: Seja p0 ∈ Sn+1 fixado e considere a func¸˜ao ρ : Sn+1 → R dada por

ρ = _distSn+1(p,p₀) ent˜ao temos queρ =θondeθ ´e o ˆangulo formado pelos

vetorespep0, portanto

cosρ= hp,p0i

|p||p0|

=_hp,p0i. Dado um campo de vetoresXemSn+₁

temos

Xcosρ =_−senρXρ. Por outro lado,

Xcosρ=_Xhp,p0i=_hX,p0i. DondehX,p0i=−senρXρ.

Preliminares 24

emSn+1_{, obtemos}

YXcosρ = _{Y(−senρXρ)}

= _{−senρYXρ−cosρYρXρ.}

Mas

YhX,p0i=h∇YX,p0i=h∇YX+α(X,Y),p0i,

onde∇´e a conex˜ao doRn+1_{eα(X,Y) a segunda forma fundamental de}Sn+1 vista como hipersuperf´ıcie deRn+1_.

Na esferaSn+₁

sabemos queα(X,Y)=_{−hX,Yipda´ı temos}

−senρYXρ−cosρYρXρ=_{h∇YX− hX,Yiip,p0i,} isto ´e,

−senρYXρ−cosρXρYρ=_h∇YX,p

0i − hX,Yicosρ.

Note queh∇YX,p0i=∇YXhp,p0i=∇YXcosρ=−senρ∇YXρ.

Substituindo na express˜ao acima, obtemos

−senρYXρ−cosρXρYρ=_{−senρ∇YXρ− hX,Yicosρ.} Donde

cosρ[hX,Yi −XρYρ]=_{−senρ∇YXρ}+_senρYXρ. ComoHessρ(X,Y)=_{XYρ− ∇XYρ} =_{h∇Xgradρ,Yi,vem que}

−senρ∇YXρ+_senρYXρ=_{senρHessρ(X,Y).} Logo,

Hessρ(X,Y)= cosρ

senρ[hX,Yi −XρYρ],

como quer´ıamos demonstrar.

Cap´ıtulo 3

A Primeira F ´ormula Integral de

Minkowski

3.1

Func¸˜ao Suporte

No que segueQn+₁

c denotar´a uma variedade riemanniana (n+1)-dimensional,

completa, simplesmente conexa com curvatura seccional constantec. Seja x : Mn _{→ R}n+₁

uma imers˜ao isom´etrica e tome p0 ∈ Rn+1, defina

χ : Mn _{→ R}n+₁

por χ(p) = _{p − p0 onde aqui fazemos a identificac¸˜ao}

x(M)≈_M.

Definag: Mn_{→Ra func¸˜ao suporte da imers˜aoχpor} g(p)=_{hχ(p),N(p)i,}

onde N ´e o vetor unit´ario normal a M em p e h,i ´e o produto interno can ˆonico doRn+1_.

Desejamos agora estender as noc¸ ˜oes de vetor posic¸˜ao e func¸˜ao suporte para variedades com curvatura seccional constante n˜ao-nula. Para isso utilizaremos a noc¸˜ao de campos de Jacobi em variedades com curvatura constante.

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 26

Sejamγ: (−ǫ, ǫ)→Qn+₁

c uma geod´esica normalizada tal queγ(0)=p0,E(t)

campo paralelo ao longo deγcomhγ′_(t),E(t)i=_0,|E(t)|=_{1 eJ(t)}=_Sc(t)E(t) o campo de Jacobi normal ao longo de γ que se anula em t = _{0. Fixado}

p0 ∈Qnc+1considere a func¸˜aoρ: Qn

+₁

c →Rdada porρ(p)=dist (p,p0) onde

dist ´e a distˆancia intr´ınseca de Qn+₁

c e denote por gradρ o gradiente da

func¸˜aoρemQn+₁

c .

Sec=_{0 temos, fixandop0} =_{(a1, . . . ,an+1)}

ρ(p)=_{dist (p,p0)}=_kp−p0k= p_(x1−a1)2+_{. . .}+_{(xn+1−an+1)}2_.

Comoc=_{0 ent˜ao gradρ}=₍∂ρ ∂x1, . . . ,

∂ρ

∂xn+1) onde ∂ρ

∂xj =

1

2kp−p0k

−122(xj−aj)= (pj−aj)

kp−p0k

1 2

= pj−aj

ρ(p) .

Logo

gradρ(p)=₍p1−a1

ρ(p) , . . . ,

pn+₁−an+₁

ρ(p) )=

χ(p)

ρ(p):χ(p)=ρ(p)gradρ(p).

Por analogia com o caso c = _{0 definiremos o campo de vetores χ como}

χ(p)= _{Sc(ρ(p))gradρ(p). Este campo ´e chamado de vetor posic¸˜ao com} ori-gemp0.

Seja Mn _{uma variedade riemanniana orient´avel e x : M}n _{→ Q}n+₁

c uma

imers˜ao isom´etrica. Como estamos identificandoMn _≈x(Mn_{) ent˜ao}

pode-mos definir, para todopemMn_{, o vetorN(p), normal aM}n_≈x(Mn_{) emx(p).}

Novamente por analogia com o casoc=_{0, definimos a func¸˜aog: M}n_→R por:

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 27

onde χ(p) = _{Sc(ρ)gradρ ´e o vetor posic¸˜ao com origem p0 ∈ M}n _{eh,i ´e o}

produto interno dado pela m´etricahdeQnc+1.

A func¸˜ao gdefinida acima ´e chamada de func¸˜ao suporte da imers˜aox. Uma interpretac¸˜ao geom´etrica para a func¸˜ao gno casoc = _{0 ´e que|g(p)| ´e} a distˆancia dep0 ao hiperplano tangente ax(M) emx(p).

De fato, note que sec=_{0 ent˜ao temosx: M}n_→Rn+₁

da´ı

|g(p)| = _{|hχ(p),N(p)i|} = |hχ(p),N(p)i|

|N(p)|2 |N(p)|

= _|Projχ(p)

N (p)|

= _{dist (p0,TpM),}

ou seja,|g(p)| ´e a distˆancia dep0ao hiperplano tangente aχ(M) emχ(p).

No casoc >0 podemos assumir, sem perda de generalidade, queQn+₁

c ´e a

esfera de raio _√1

cnoR n+₂

. Neste caso,|g(p)|´e igual a distˆancia euclidiana do pontop0ao hiperplano que cont´em a hipersuperf´ıcie totalmente geod´esica

tangente aχ(M) emχ(p).

Inicialmente, note que podemos escrever

p0 =cos (

√

cρ(p))p− sin( √

cρ(p))

√

c gradρ.

De fato, sejamp,p0 ∈S_√1

c ⊂

Rn+₂

ent˜ao

p0 =ap+b

gradρ

|gradρ|,hp,p0i=

1

c cosθ,

ondeh,i ´e o produto interno can ˆonico doRn+2_.Logo 1

ccosθ=hp,p0i=a

1

c +bhp,gradρi

e

1

c =hp0,p0i=a

21

c +2abhp,

gradρ

|gradρ|i+b

2

hgradρ |gradρ|,

gradρ

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 28

Sendohp,gradρi=_{0 ent˜ao segue que}

a=_cosθ=_cos(√_cρ(p))

b2= 1

c(1−cos

2_θ)= 1

csin

2_θ

Dondeb =_−√1

csin (

√

cρ(p)).Logo

p0 =cos (

√

cρ(p))p− sin ( √

cρ(p))

√

c gradρ,

da´ı

hp,N(p)i = _{hcos (}√_cρ(p))p− sin (

√

cρ(p))

√

c gradρ,N(p)i

= _{cos (}√_{cρ(p))hp,N(p)i −} sin (

√

cρ(p))

√

c hgradρ,N(p)i

= sin(

√

cρ(p))

√

c hgradρ,N(p)i.

Portanto

hp0,N(p)i = −

sin (√cρ(p))

√

c hgradρ,N(p)i

= _{−hχ(p),N(p)i} = _−g(p).

E ent˜ao |g(p)| = _{| − g(p)|} = _|hp

0,N(p)i| que ´e a distˆancia euclidiana de p0

ao hiperplano gerado por N(p) que cont´em a hipersuperf´ıcie totalmente geod´esica tangente aχ(M) emχ(p).

Definic¸˜ao 1 Uma subvariedade M ⊂ Qn+₁

c ´e dita totalmente geod´esica se para

todo v ∈ TM, γv, geod´esica de Qn+₁

c que passa por p e tem vetor velocidade v em

p est´a totalmente contida em M ou, equivalentemente, se toda geod´esica de M ´e

goed´esica de Qn+₁

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 29

3.2

Laplaciano da Func¸˜ao Suporte

Definic¸˜ao 2 Sejaω∈ Tr_{(M), isto ´e, ω´e um r-tensor covariante e V ∈X(M). A} derivada de Lie deωcom respeito a V, denotada por LVω´e definida por:

(LV)ω(X1, . . . ,Xr)=V[ω(X1, . . . ,Xr)−Prj=₁ω(X1, . . . ,[V,Xj], . . . ,Xr).

Exemplo 1 Seω´e a m´etricah,ide M ent˜ao:

LVω(X,Y) = _{V[hX,Yi]− hX,[V,Y]i − h[V,X],Yi}

= _h∇VX,Yi+_{h∇VY,Xi − hX,[V,Y]i − h[V,X],Yi} = _{h∇VX−[V,X]i}+_{h∇VY−[V,Y],Xi}

= _h∇XV,Yi+_h∇YV,Xi,

onde na ´ultima igualdade usamos o fato de∇ser sim´etrica.

Definic¸˜ao 3 Seja V ∈X_{(M), dizemos que V ´e conforme se existeψ∈ C}∞_(M)tal

que LVh,i=_2ψh,i.

O pr ´oximo teorema, provado inicialmente em Sousa (2003) ser´a um dos ingrediantes principais na demosntrac¸˜ao do nosso principal resultado.

Teorema 6 Seja M uma variedade riemanniana de dimens˜ao n+_{1e V um campo}

conforme em M. Seja M uma hipersuperf´ıcie de M e η um campo de vetores

unit´ario, normal a M em M. Defina f : M→R_por

f(p)=_{hV(p), η(p)ient˜ao}

∆_f =_{−nhV,gradHi −(Ric (η)}+_|Aη|2_{)f −n(ψH}+_η[ψ]),

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 30

Corol´ario 2 Seja x : M → Qn+₁

c uma imers˜ao isom´etrica com curvatura m´edia

constante H de uma variedade riemanniana orient´avel M. Considere o campo

tangente V =_{Scgradρent˜ao}

∆_f =_−|Aη|2_{f −nHθc,}

onde ∆ _{´e o Laplaciano em M, η´e normal a imers˜ao, |Aη| ´e a norma da segunda}

forma fundamental Aηda imers˜ao,ρ: M→R´e a distˆancia intr´ınseca a um ponto

p0 ∈Mnfixado, Sc =sinρeθc =cosρ.

Prova: Para usar o teorema acima devemos mostrar que o campoVdado por V = _{Scgradρ ´e conforme, ou seja, devemos mostrar que existe uma} func¸˜aoψ∈ C∞_{(M) tal queLVh,i(X,Y)}=_{2ψhX,Yi,∀X,Y ∈}X_(M).

Sabemos queLV(X,Y)=_h∇XV,Yi+_{h∇YV,Xie sendoSc} =_{Sc(ρ) ent˜ao}

∇XScgradρ = _Sc∇Xgradρ+_X(Sc)gradρ = _Sc∇Xgradρ+_{θc(Xρ)gradρ.} Logo

LVh,i(X,Y) = _{h∇XScgradρ,Yi}+_{h∇YScgradρ,Xi}

= _{Sch∇Xgradρ,Yi}+_{2θchgradρ,Xihgradρ,Yi}+_{Sch∇Ygradρ,Xi} = _{Sch∇Xgradρ,Yi}+_{2θcX(ρ)Y(ρ)}+_{Sch∇Ygradρ,Xi.}

Mas

h∇Xgradρ,Yi= θc

Sc[hX,Yi −XρYρ].

Da´ı

LVh,i(X,Y) = _Sc{θc

Sc[hX,Yi −X(ρ)Y(ρ)]+ θc

Sc[hX,Yi −X(ρ)Y(ρ)]}+2θcX(ρ)Y(ρ)

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 31

LogoV =_{Scgradρ ´e conforme.} Pelo teorema acima temos que

∆_f = _{−f(Ricp(η)}+_|Aη|2_{)−nhgradH,Vi −n(ψH}+_η[ψ]) Sendo gradH=_{0 eV}=_{Scgradρconforme vem que}

∆_f = _−(Ricp(η)+_|Aη|2_{)f −n(ψH}+_η[ψ]) = _−(Ricp(η)+_|Aη|2_{)f −n(ψH}+_η[ψ]). Note queη[S′

c(ρ)]=S′′c(ρ)hgradρ, ηi.ComoS′′c +cSc =0 e f =hScgradρ, ηi

obtemosη[S′

c(ρ)]=−c f.

Portanton(η[S′

c(ρ)])=−cn f.

Mas Ricp(η)=Pnj=₁hR(η,ej)η,eji, onde{e1, . . . ,en}´e base ortonormal deTpM.

Da´ı

Ricp(η)= n

X

j=₁

hR(η,ej)η,eji=

n

X

j=₁

c=_nc

donde

Ricp(η)f =nc f.

Temos ent˜ao que

∆_f =_−|Aη|2_{f −nHθc.}

Teorema 7 (Primeira F ´ormula Integral de Minkowski): Seja Mn _uma

va-riedade riemanniana compacta e x:Mn →Qn+₁

c uma imers˜ao isom´etrica. Ent˜ao

Z

M

HgdA=₋

Z

M θcdA,

onde H´e a curvatura m´edia da imers˜ao.

Prova: SejaXo vetor posic¸˜ao com origem emp0 ∈Me{E1, . . . ,En}

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 32

as componentes tangente e normal do vetorX.

Note quehX⊥,Eji=0,∀j, da´ı, sendo∇a conex˜ao riemanniana deQn

+₁

c vem

que

0=_EjhX⊥_,Eji=_h∇E

jX⊥,Eji+h∇EjEj,X⊥i, isto ´e,

h∇EjX⊥,Eji = −h∇EjEj,X⊥i

= _−h(∇E

jEj)

⊤+_(∇E

jEj) ⊥_,X⊥_i

= _−h(∇E

jEj) ⊥_,X⊥_i

= _−h(∇E

jEj)⊥,Xi.

Sabemos queDivM(X)=_{tr(Y(p)7→ ∇YX(p)).Logo}

DivM(X⊤) =

n

X

j=₁

h∇EjX ⊤_,Eji

=

n

X

j=₁

h∇Ej(X−X⊥),Eji

=

n

X

j=₁

h∇EjX,Eji −

n

X

j=₁

h∇EjX ⊥_,Eji

=

n

X

j=₁

h∇EjX,Eji+

n

X

j=₁

h(∇EjEj)⊥,Xi.

Afirmac¸˜ao: Pn

j=₁h∇EjX,Eji=nθc,ondeX=Sc(ρ)gradρ.

Prova: Inicialmente, note que

∇EjSc(ρ)gradρ = Sc(ρ)∇Ejgradρ+Ej(Sc(ρ))gradρ

= _Sc(ρ)∇E

jgradρ+S′c(ρ)hgradρ,Ejigradρ.

h∇EjSc(ρ)gradρ,Eji = hSc(ρ)∇Ejgradρ+S′c(ρ)hgradρ,Ejigradρ,Eji

= _Sc(ρ)h∇E

jgradρ,Eji+θchgradρ,Eji

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 33

Temos ent˜ao que

n

X

j=₁

h∇EjX,Eji =

n

X

j=₁

h∇EjSc(ρ)gradρ,Eji

=

n

X

j=₁

{Sc(ρ)h∇Ejgradρ,Eji+θc(ρ)hgradρ,Eji

2

}

= _Sc(ρ)

n

X

j=₁

h∇Ejgradρ,Eji+θc(ρ)

n

X

j=₁

hgradρ,Eji2.

Usando que

h∇Vgradρ,Wi= θc

Sc(hV,Wi −VρWρ),∀V,W∈ X(Q n+₁

c ),

obtemos em particular

h∇Ejgradρ,Eji=

θc

Sc(1− hgradρ,Eji

2_).

Portanto

n

X

j=₁

h∇EjX,Eji = Sc(ρ)

n

X

j=₁

h∇Ejgradρ,Eji+θc(ρ)

n

X

j=₁

hgradρ,Eji2

= _Sc(ρ)

n

X

j=₁

(θc

Sc(1− hgradρ,Eji

2_)+θc(ρ)

n

X

j=₁

hgradρ,Eji2

= _Sc(ρ)

n

X

j=₁

θc Sc

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 34

Note quehPn

j=₁(∇EjEj)⊥, ηi=nHpois

H = 1

ntr(Aη(Ej))

= 1

n n

X

j=₁

hAη(Ej),Eji

= 1

n n

X

j=₁

hB(Ej,Ej), ηi

= 1

n n

X

j=₁

h(∇EjEj) ⊥_{, ηi}

= _h1

n n

X

j=₁

(∇EjEj)⊥, ηi.

LogonHη=Pn

j=₁(∇EjEj)⊥.Temos ent˜ao que

DivM(X⊤) =

n

X

j=₁

h∇EjX,Eji+

n

X

j=₁

h(∇EjEj)⊥,Xi

= _nθc+_h

n

X

j=₁

(∇EjEj) ⊥_,Xi

= _nθc+_hnHη,Xi = _nθc+_nHg.

Integrando sobreMn_obtemos

Z

M

DivM(X⊤)dA=

Z

M

n(θc+_Hg)dA.

Pelo Teorema da Divergˆencia Z

M

Div(X⊤)dA= Z

∂M

hX⊤,NidA=_0, poisM ´e compacta sem bordo. Da´ı

0= Z

M

DivM(X⊤)dA= Z

M

A Primeira F ´ormula Integral de Minkowski 35

Logo,

Z

M

(θc+_Hg)dA=_0, ou seja

Z

M

HgdA=₋

Z

M θcdA.

Cap´ıtulo 4

Gr´aficos Radiais

4.1

Gr´aficos Radiais

SejaMn _⊂Rn+₁

um gr´afico radial sobreSn_{(r) e considereX: U ⊂R}n_→

Sn_{(r) parametrizac¸˜ao de}Sn_{(r) eY :U ⊂}Rn_→Mn_{parametrizac¸˜ao deM}n_{. Se}

σ(u1, . . . ,un) =|Y(u1, . . . ,un)|> 0 ent˜aoY = σX. Considere agora a func¸˜ao

f : Mn _{→ R definida por f(Y) = hY,NYi, onde NY ´e um campo unit´ario}

normal `aMn_.

Observe queYj = ∂Y

∂uj

=_σXj+_σjX.Da´ı

hσX,(σX1+σ1X)∧. . .∧(σXn+σnX)

|Y1∧. . .∧Yn| i

=_hσX,(σX1)∧. . .∧(σXn)

|Y1∧. . .∧Yn| i

.

Portanto

f(Y) = _hσX, Y1∧. . .∧Yn

|Y1∧. . .∧Yn|i

= |X1∧. . .∧Xn|

|Y1∧. . .∧Yn|

σn+1hX,NXi

= ₋|X1∧. . .∧Xn|

|Y1∧. . .∧Yn|

σn+₁1

rhX,Xi

= ₋|X1∧. . .∧Xn|

|Y1∧. . .∧Yn|

σn+11 r <0.

Gr´aficos Radiais 37

Aqui tomamosNX=₋1

rXo campo unit´ario, normal `aS

n_{(r) de modo que a}

curvatura m´ediaHSn_(r)seja estritamente positiva.

Sejamp0 ∈ Sn+1 er >0 e tome o conjunto Sn(r) = {q ∈ Sn+1; dist (q,po) = r}.

Seja ent˜ao Mn _{⊂ S}n+₁

gr´afico radial sobre Sn_{(r). Supondo M}n _⊂ Sn+1 ₋ [p0,−p0], considere a projec¸˜ao estereogr´aficaP : Sn+1−[p0] → Rn+1 eVSn+1

o campo vetor posic¸˜ao com basep0emSn+1. Ent˜ao temos o seguinte lema:

Lema 4 Nas condic¸˜oes acima, a func¸˜ao f :Mn _{→R, definida por} f(p)=_hVSn+1(p),NY(p)i,

tem sinal bem definido.

Prova: SejamX,Yparametrizac¸ ˜oes deSn_{(r) eM}n _{respectivamente. Ent˜ao}

P(X) ´e uma esfera emRn+1_{eP(Y) ´e gr´afico sobreP(X). ComoP ´e aplicac¸˜ao} conforme ent˜ao existeeφ _{∈ D(M}n_{) tal que}

hdPqV,dPqWi=_e2φ_{hV,Wi,∀V,W ∈TqM}n_,

ou seja,dPqpreserva o ˆangulo entre os vetoresVeW, logo, existem func¸ ˜oes g1,g2: P(Y)→Rcont´ınuas, ambas positivas ou ambas negativas tais que

dPq(VSn+1)= g₁VRn+1

e

dPq(NY)= g2NP(Y).

Da´ı

e2φ_hV

Sn+1,NYi = hdP_q(VSn+1),dP_q(NY)i = hg₁VRn+1,g₂N_P(Y)i > 0(ou < 0).

Comoe2φ _{>0 segue que a func¸˜ao f tem sinal bem-definido.}

Gr´aficos Radiais 38

Teorema 8 Seja Mn _{⊂ S}n+₁

um gr´afico radial completo sobre o conjuntoSn_(r)

definido acima. Se Mn tem curvatura m´edia constante n˜ao nula H ent˜ao Mn ´e

uma hipersuperf´ıcie totalmente umb´ılica.

Prova: Pelo Corol´ario 1, do cap´ıtulo 3, considerando f = _hVSn+1(p),NY(p)i

temos que

∆_f =_−|Aη|2_{f −nHθc,}

ondeAη ´e a segunda forma fundamental deMn. Da´ı, integrando sobreM obtemos

Z

M

∆_{f dA}= Z

M

|Aη|2f dA=− Z

M

nHθcdA.

Pelo Teorema da Divergˆencia temos Z

M

∆_{f dA} =_0. Logo

Z

M

|Aη|2f dA =− Z

M

nHθcdA.

Da Primeira F ´ormula Integral de Minkowski vem que Z

M

H f dA=₋ Z

M θcdA.

Multiplicando ambas pornHe usando queH ´e constante n˜ao nula temos Z

M

nH2f dA=₋ Z

M

nHθcdA=

Z

M

|Aη|2f dA.

Note agora que, como o sinal da func¸˜ao f ´e bem definido segue que, supondo f n˜ao negativa, temos, pelo Lema 2, que|Aη|2f ≥nH2f.

isto implica queR_M|Aη|2f dA ≥ R

MnH

Gr´aficos Radiais 39

Como vale a igualdade entre essas integrais ent˜ao Z

M

(|Aη|2f −nH2f)dA=0.

Conseq ¨uentemante, pelo Lema 2 do cap´ıtulo 2 vem queM ´e umb´ılica.