Projeto e Análise de Algoritmos

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Universidade Federal Rural de Pernambuco

Projeto e Análise de Algoritmos

Introdução a Análise de Algoritmos

Prof. Tiago Buarque Assunção de Carvalho

Unidade Acadêmica de Garanhuns – UFRPE Bacharelado em Ciências da Computação

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Roteiro

1 _Introdução

2 _{Invariante de laço e Corretude de algoritmos iterativos}

3 _{Análise de eficiência de algoritmos iterativos}

4 Corretude do procedimento iterativo MERGE

5 _{Algoritmos de divisão e conquista}

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Análise de Algoritmos

• Para algoritmos recursivos e iterativos

• Eficiência

• Corretude

• Notação Assintótica

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Eficiência

Tempo Algoritmo

c1n2 ordenação por inserção

c2nlgn ordenação por intercalação

• né o tamanho da entrada,lgn=_log₂_n.

• mesmo comc1 <c2estas constantes tem pouca influência no tempo

de execução. • lg 1.000_≈9,9.

• Exemplo,c1 =2,c2=50,n=107:

• Ord. por inserção em um computador rápido (1010instruções por

segundo),2(107)/1010 =₂₀_.₀₀₀segundos (mais de 5,5 horas);

• Ord. por intercalação em um computador lento (107instruções por

segundo, 1.000 vezes mais lento que o primeiro),

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Exercícios

1. Cite aplicações que exijam algoritmos rápidos.

2. Suponha que duas implementações de ordenação por inserção e por

intercalação tem tempo de execução de8n2 e64nlgn,

respectivamente. Se ambas as implementações vão ser executadas

na mesma máquina, diga quais valores denfazem a ordenação por

intercalação mais rápida.

3. Em quais casos você utilizaria ordenação por inserção ou por

intercalação?

4. Qual o menor valor denpara o qual um algoritmo com tempo de

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Exercícios

5. Suponha que o tempo de execução para uma operação seja10−6

segundos. Para cada tamanho de entradan, calcule o tempo de

execução para cada função de tempo da tabela abaixo:

n lgn √n nlgn n2 n3 2n _n_!

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Exercícios

6. Suponha que o tempo de execução para uma operação seja10−6

segundos. Calcule o maior valor denpara que o tempo de execução

esteja dentro do limite estabelecido na tabela.

1 segundo 1 minuto 1 hora 1 mês 1 ano 1século

lgn

√_n

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Invariante de laço e Corretude de algoritmos iterativos

• Corretude(ou correção): propriedade de um algoritmo estar correto.

• Invariante de laço: propriedade que se mantém do começo ao final

de um laço. Útil para mostrar a corretude de um algoritmo algoritmo iterativo. 3 etapas:

• Inicialização: ele é verdadeiro antes da primeira iteração do laço.

• Manutenção: se ele é verdadeiro antes de uma iteração do laço, permanecerá verdadeiro antes da próxima iteração.

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Invariante de laço na Ordenação por Inserção

• Invariante: os elementos deA[1..j₋1]são os elementos que

estavam originalmente na posições 1 aj₋1, mas agora em

sequência ordenada.

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Invariante de laço na Ordenação por Inserção

• Manutenção: insereA[j]na posição adequada fazendo com que

A[1..j]fique ordenado; quandojfor incrementado na próxima

iteraçãoA[1..j₋1]estará ordenado. Obs.: assumindo que o laço

while está correto.

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Exercícios

1. Utilizando o exemplo da figura acima, mostre as etapas de

ordenação por inserção paraA=_h₃₁_,₄₁_,₅₉_,₂₆_,₄₁_,₅₈_i.

2. Prove o invariante de laço para owhilena ordenação por inserção.

3. Reescreva o pseudo-código da ordenação por inserção para ordenar

em ordem decrescente.

4. Prove que sua resposta da questão anterior está correta utilizando

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Exercícios

5. Considere o problema de busca:

Entrada:uma sequência de númerosA=_h_a₁_,_a₂_{, . . . ,}_a_n_ie um valor v. Saída:um índiceital quev=_A_[_i_]ou o valor especial NIL, se_v

não pertencer aA.

Escreva o pseudocódigo parabusca linear, que faça a varredura da

sequência, procurando porv. Usando um invariante de laço, prove

que seu algoritmo é correto. Certifique-se de que seu invariante de laço satisfaz as três propriedades necessárias.

6. Considere o problema da soma de dois inteiros binários denbits,

armazenados em dois arrays de elementosAeB. A soma dos dois

inteiros deve ser armazenada um array binárioCden+₁elementos.

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Análise de eficiência de algoritmos iterativos

• Analisar um algoritmo: prever quando recurso ele necessita.

Recursos:tempo, memória, largura de banda, energia elétrica...

• Análise de tempo em função dotamanho da entrada, representado

porn.

• Análise domelhor casoé o tempo requerido para a situação na qual

o algoritmo vai demandar menos recursos.

• Análise dopior casoé o tempo requerido para a situação na qual o

algoritmo vai demandar mais recursos. É o LIMITE SUPERIOR.

• Análise domédio casopode ser quase tão custoso quanto o pior

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Análise ordenação por inserção

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-Análise ordenação por inserção, MELHOR CASO

Todos os elementos estão ordenados.

Não entra no while (linha 5) poisA[i]_≤chave,tj =1paraj=2,3, . . . ,n.

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Análise ordenação por inserção, PIOR CASO

Todos os elementos estão na ordem inversa.

O while (linha 5) executajvezes (o máximo possível),tj=j.

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Ordem de crescimento

• Taxa de crescimento ou ordem de crescimento.

• Mantém o termo de maior ordem.

• Exemplo: emT(n)=_an2+_bn+_c, mantém_an2.

• Descarta as constantes, mantémn2.

• O tempo de execução da ordenação por inserção no pior caso é

Θ₍_n2₎_,

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Análise ordenação por inserção, CASO MÉDIO

• Metade estão na ordem inversa.(Pode-se ter outras interpretações

de caso médio. Pode-se usar casos aleatórios.) • O while (linha 5) executaj/2vezes,tj=j/2.

• T(n)é umafunção quadrática,T(n)=_an2+_bn+_c.

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Exercícios

1. Expresse a funçãon3/1000+₁₀₀_n2₋₁₀₀_n+₃em termos da notação

Θ.

2. Considere a ordenação dennúmeros armazenados no arrayA,

localizando primeiro o menor elemento deAe permutando esse

elemento com o elemento contido emA[1]. Em seguida, determine o

segundo menor elemento deAe permute-o comA[2]. Continue

dessa maneira para os primeirosn₋1elementos deA. Escreva o

pseudocódigo para esse algoritmo, conhecido comoordenação por

seleção. Qual invariante de laço esse algoritmo mantém? Por que

ele só precisa ser executado para os primeirosn₋1elementos, e

não para todos os elementos? Forneça os tempos de execução do

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Exercícios

3. Considere novamente a busca linear. Quantos elementos da

sequência de entrada precisam ser verificados em média, considerando que o elemento que está sendo procurado tenha a mesma probabilidade de ser qualquer elemento no array? E no pior caso? Quais os tempo do caso médio e pior caso utilizando a

notaçãoΘ?

4. Como podemos modificar praticamente qualquer algoritmo para ter

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MERGE

intercalação de duas sequências ordenadas

A[p..q]eA[q+₁_.._r_]estão ordenados (_p_≤_q_<_r), MERGE(_A_,_p_,_q_,_r₎faz com queA[p..r]fique ordenado.

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-Invariantes do MERGE

• No início de cada iteração do laçofor(linhas 12 a 17), o subarray

A[p..k₋1]contém osk₋pmenores elementos deL[1..n1+1]e

R[1..n2+1], em sequência ordenada.

• Além disso,L[i]eR[j]são os menores elementos se seus arranjos

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Inicialização dos invariantes do MERGE

• Inicialização 1:k=_p,_A_[_p_.._p₋_1]é vazio.

• Invariante 1: No início de cada iteração do laçofor(linhas 12 a 17), o subarrayA[p..k₋1]contém osk₋pmenores elementos deL[1..n1+1]

eR[1..n2+1], em sequência ordenada.

• Inicialização 2:i=_j=1, nada foi copiado para_A.

• Invariante 2: Além disso,L[i]eR[j]são os menores elementos se

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Manutenção dos invariantes do MERGE

• Manuteção 1: Copia o menor valor entreL[i]eR[j]paraA[k]então

incrementak.

• Manutenção 2: incrementai(seL[i]foi copiado) ouj(seR[j]foi copiado).

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Término dos invariantes do MERGE

• Término 1: k=_r+1,_A_[_p_.._r_]está ordenado.

• Término 2: todos os outros elementos que não as sentinelas (_∞)

foram copiados paraA.

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Algoritmos de divisão e conquista

• Algoritmosrecursivoscom três etapas:

• Divideo problema em determinado número de subproblemas que são instâncias menores do problema original.

• Conquistaos subproblemas, resolvendo-os recursivamente. Quando osubproblema é pequeno, resolve-se diretamente.

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Ordenação por intercalação (MERGE-SORT)

• Dividea sequência denelementos que deve ser ordenada em duas

subsequências den/2elementos cada uma.

• Conquistaordena cada subsequência recursivamente.

Se a subsequência temapenas um elemento(caso base da

recursão) ela já está ordenada.

• Combinaintercala as subsequências ordenadas para gerar a

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Análise de algoritmos divisão e conquista

• O tempo de execução de algoritmos divisão e conquista pode ser

descrito por umaequação de recorrênciaT(n):

• Θ₍₁₎é o tempo dos casos pequenos;

• D(n)é o tempo de divisão em subproblemas;

• aT(n/b)é o tempo de conquistar cada subproblema;

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Análise do MERGE-SORT

• Divisão,D(n)= Θ₍₁₎ • Conquista=₂_T₍_n_/₂₎

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a

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Referência

Livro:

T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein.Algoritmos: Teoria e

Prática. Elsevier, 2012.