Indução Matemática é um processo de prova ou demonstração de propriedades definidas
sobre o conjunto dos números inteiros que, baseada numa quantidade finita de observações, estende
e generaliza a propriedade para todo o conjunto de números inteiros. O processo de prova baseia-se nos seguintes argumentos:
Prove que a propriedade vale para
n=1, supondo que a propriedade vale para n,
prove que
ela também vale para n+1.
Elaine Teixeira de Oliveira
Princípio da Indução
Matemática
Princípio de Indução Matemática
Para provar
n
N P(
n
):
Provar:
1.
P(0)
(caso base)
2.
(
k)[P(k)
P(k+1)]
(passo indutivo)Lembrete:
Para provar que alguma coisa é verdadeira para
todo inteiro n que
algum valor, pense em indução.
Demonstrações por Indução Matemática
Árvore genealógica da família Silva Geração
Descendentes
1 2 = 21
2 4 = 22
3 8 = 23
. . . . . . . . .
Princípio de Indução Matemática
Exemplo 6.4:
20 = 1 = 21 – 1
20 + 21 = 1 + 2 = 3 = 22 – 1
20 + 21 + 22 = 1 + 2 + 4 = 7 = 23 – 1
20 + 21 + 22 + 23 = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 24 – 1
No exemplo acima o padrão mais geral parece com:
20 + 21 + 22 +…+ 2n = 2n-1 – 1
Mas, não podemos afirmar que este padrão será sempre verdadeiro para todos os valores de n a menos que provemos.
Prove que para todo número natural n, 20 + 21 + 22Princípio de Indução Matemática
1.
Prove que
n
N, 3|(n
3– n), ou seja, que n
3– n
é divisível por 3.
2.
Prove que
n
5, 2
n> n
2.
3.
Prove que para todo inteiro positivo
n
, n
2>
n
4.
Prove que n
2> 3n para n
4.
5.
Prove que o número 2
2n– 1,
n
N é divisível
por 3.
6.
1
2 +2
2 + … +n
2= k(k+1)(2k+1)/6
Relações de Recorrência
Definições recorrentes
Uma definição onde o item sendo definido aparece
como parte da definição é chamada de
definição
recorrente
ou
definição
por
recorrência
ou ainda
definição por indução
.
Como??
1.
Uma
base
, ou condição básica, onde
alguns
casos
simples (pelo menos um) do item que
está sendo definido são dados
explicitamente
.
Seqüências Definidas por
Recorrência
Define-se o primeiro valor (ou alguns poucos )
na seqüência e depois os valores
subseqüentes na seqüência em termos de
valores anteriores
Exemplo:
A seqüência S é definida por recorrência por
1.
S(1) = 2
2.
S(
n
) = 2S(
n
-1) para n
2
Algoritmos Definidos por Recorrência
S(inteiro n)
//função que calcula iterativamente o valor S(n) para a seqüência S do exemplo //anterior
Variáveis locais:
inteiro i //índice do laço
Valor corrente // valor corrente da função S se n = 1 então
retorne 2 senão i = 2
ValorCorrente = 2 enquanto i <= n faça
ValorCorrente = 2 * ValorCorrente i = i + 1
fim do enquanto
//agora o ValorCorrente tem o valor S(n) retorne ValorCorrente
fim do se fim da função S
Algoritmos Definidos por Recorrência
S(inteiro n)
//função que calcula o valor S(n) de forma recorrente para a //seqüência S do exemplo anterior
se n = 1 então
retorne 2
senão
retorne 2 * S(n - 1)
fim do se
fim da função S
Algoritmo
Recorrente
Mais curto Mais complicado
Pode acontecer
Resolvendo relações de recorrência
Lembrando, do exemplo anterior:S(1) = 2 (1)
S(n) = 2S(n - 1) para n 2 (2)
Como
S(1) = 2 = 21
S(2) = 4 = 22
S(3) = 8 = 23
S(4) = 16 = 24
e assim por diante, vemos que S(n) = 2n (3)
É possível calcular diretamente S(n) sem ter que calcular explicitamente ou por recorrência.
Solução em forma fechada
para a relação de recorrência (2) sujeita à
Problemas Recorrentes
Problemas onde soluções utilizam a idéia de
recorrência
, onde a solução de cada
problema depende de soluções de casos
mais simples do mesmo problema.
A Torre de Hanói
Matemático francês Édouard
Lucas em 1883 (8 discos).
Lenda romântica sobre a Torre
Problemas Recorrentes – Torre de
Hanói
Considerando uma torre com n discos
1. n – 1 discos menores para pino intermediário (Tn-1
movimentos)
2. maior disco (um movimento)
3. n – 1 discos menores em cima do maior (Tn-1 movimentos)
Tn 2Tn + 1, para n > 0
Corremos o risco de mover o maior disco mais de uma vez Tn 2Tn + 1, para n > 0
Essas duas inequações junto com a trivial para n = 0, fornecem
T0 = 0
Tn = 2Tn-1 + 1, para n > 0
Problemas Recorrentes – Torre de
Hanói
Uma possibilidade é adivinhar a solução e depois provar que adivinhamos corretamente. (Casos mais simples)
T1 = 2 * 0 + 1 = 1
T2 = 2 * 1 + 1 = 3
T3 = 2 * 3 + 1 = 7
T4 = 2 * 7 + 1 = 15
T5 = 2 * 15 + 1 = 31
T6 = 2 * 31 + 1 = 63
Está parecendo que Tn = 2n – 1
Problemas Recorrentes – Torre de
Hanói
Dicas para encontrar uma forma fechada, ou seja, encontrar uma solução da relação de recorrência:
1.
Considere casos simples. Isso nos faz compreender melhor o problema e nos ajuda nas etapas 2 e 3.2.
Ache uma expressão matemática e prove sua validade.3.
Ache uma forma fechada para a expressão matemática e demonstre sua validade.Curiosidade:
Para a Torre de Brama (n=64), serão necessários 264 –1 movimentos
